2025--2026学年人教版数学九年级上册期末专题突破：圆专题

人教版数学九年级上册期末专题突破：圆专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.平面内，的半径为，点到的距离为，过点可作的切线条数为(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条 2.如图，点，，，，在上，，，则(    ) A. B. C. D. 3.如图，内接于，是的切线，连接并延长交弦于点若所对圆心角的度数为，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，点，，，都在半径为的上，若，，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，点，，在上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知是的直径，是弦，若，则等于(    ) A. B. C. D. 9.如图，的直径的长度为定值，和是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于点，，设，，当，的值变化时，下列代数式的值不变的是  (    ) A. B. C. D. 10.如图，扇形中，，，点在上，连接，点关于的对称点刚好落在上，则的长是(    ) A. B. C. D. 11.如图，四边形内接于，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 12.如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13.如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为          ． 14.如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是          ． 15.如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角即平行于的光线与的切线所成的锐角的大小为          ． 16.如图所示，某型号纸杯的侧面展开图为扇环，其两条弧所在圆的圆心重合，测得，间的距离为，，间的距离为，如图所示，若在矩形纸板中剪下如图的扇环，扇环的各个顶点均在矩形的边上，且较长弧与矩形一边相切，则的长是          ． 17.如图，从一块边长为，的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以为圆心的圆上阴影部分，且圆弧与，分别相切于点，，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是          ． 18.如图，是的外接圆，为直径，若，，点在内运动且始终保持，则的最小值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，是的弦，连接，过点作，交于，连接，且，求证：是的切线． 20.本小题分 如图，为的直径，直线与相切于点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于另一点，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交直线于点，交于点，连接． 求证： 若，，求的长． 21.本小题分 如图，是的直径，是的切线，为切点，是上一点，，连接交于点，连接，且，连接并延长，交于点． 求证： 若的半径，，求线段的长． 22.本小题分 如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且______，______． 给出以下信息：，，与相切． 请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：______，______，结论：______． 如图，在的条件下，点在上，且，连接，求证：． 23.本小题分 如图，在中，，在其内部有一点，以为圆心，过点与相切于点，交于点，连接交于点． 求证： 连接，若，且，，求的半径． 24.本小题分 如图，是正方形与正六边形的外接圆． 正方形与正六边形的边长之比为          ； 连接，是否为的内接正边形的一边？如果是，求出的值；如果不是，请说明理由． 25.本小题分 如图，在中，，点在上，以为直径作，过点作的切线交于点，且． 求证：． 若，，求的长． 26.本小题分 在平面内，对于给定的，如果存在一个半圆或优弧与的两边相切，且该弧上的所有点都在的内部或边上，则称这样的弧为的内切弧．当内切弧的半径最大时，称该内切弧为的完美内切弧．注：弧的半径指该弧所在圆的半径在平面直角坐标系中，，． 如图，在弧，弧，弧中，是的内切弧的是______； 如图，若弧为的内切弧，且弧与边，相切，求弧的半径的最大值； 如图，动点，连接，． 直接写出的完美内切弧的半径的最大值； 记中得到的半径最大时的完美内切弧为弧点为弧上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交轴和直线于点，，点为线段的中点，直接写出线段长度的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有个公共点的直线，理解定义是关键． 先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案． 【解答】 解：的半径为，点到圆心的距离为， ， 点与的位置关系是：在外， 过圆外一点可以作圆的条切线， 故选：． 2.【答案】  【解析】解：连接、， ，， ， ． 故选D． 连接、，可得，由圆周角定理即可得． 本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】【分析】      根据切线的性质得到，求出，根据切线长定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．      本题考查的是切线的性质、切线长定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【解答】 解：是的直径，是的切线， ， ， ，是的切线， ， ， ， 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是勾股定理，垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 根据垂径定理得到，，根据圆周角定理求出，根据勾股定理列方程求出，计算即可． 【解答】 解：如图， ， ，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故选D． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．直接由圆周角定理求解即可． 【解答】 解：， ， 故选B． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． 根据是的直径，可得，根据同弧所对圆周角相等可得，进而可得的度数． 【解答】 解：是的直径， ， ， ． 故选：． 9.【答案】  【解析】如图，过作于． 、与分别相切于点、， ，， 又， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 切于， ，， ，  在中，由勾股定理得， ， 代数式的值不变的是，故选C． 10.【答案】  【解析】连接，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的性质求出，结合图形求出，根据弧长公式计算，得到答案． 本题考查的是弧长的计算、轴对称的性质，掌握弧长公式是解题的关键． 【解答】 解：连接， 点是点关于的对称点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的长， 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 由于四边形内接于，根据圆内接四边形的对角互补即可求得的度数，而、是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到的度数． 【解答】 解：四边形内接于， ，而， ， ． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点． 根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，当点是线段延长线与圆的交点时，最大，再根据三角形的中位线定理可得结论． 【解答】 解：如图， 点为平面直角坐标系内一点，， 点在上，且半径为， 取，连接， 为中点， ，， 是的中位线， ． 当最大时，即最大，而当，，三点共线，即在的延长线上时，最大， ，， ， ， ，即的最大值为， 故选：． 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．首先根据底面半径，高，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【解答】 解：它的底面半径，高． ， 这个圆锥的侧面积是： 故答案为：． 15.【答案】  【解析】， ． ， ． 是的切线，， ， ， 故答案为． 16.【答案】  【解析】略 17.【答案】  【解析】解：连接、，如图， 四边形为菱形， ，， 为等边三角形， 圆弧与相切于， ， ， ， 设圆锥的底面圆半径为， 根据题意得，解得， 即圆锥的底面圆半径为． 故答案为． 连接、，如图，利用菱形的性质得到，，则可判断为等边三角形，再根据切线的性质得，所以，利用勾股定理计算出，设圆锥的底面圆半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，所以，然后解方程即可． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了菱形的性质和圆锥的计算． 18.【答案】  【解析】解：取的中点， 是直径，， ， ， ， ， 点在以为直径的上运动，当，，共线时，的值最小，在中，，， ，又，， 的最小值为． 19.【答案】证明：如图，连接． ，． ，． ，． ，， 即， 是的半径，是的切线．  【解析】略 20.【答案】【小题】 证明：由作图可知，平分， ，，如解图，连接， 为的切线， ， ， ， ． 又， ， ， 即 【小题】 ．   【解析】 略  略 21.【答案】【小题】 证明：如图，连接， 为的直径，， ，． 是的切线，为切点， ，， ． ， ． ， 即， 【小题】 线段的长为．   【解析】 略  略 22.【答案】解：，；与相切． 证明：如图，连接． 在的垂直平分线上， ， ，点在上， ． ， ， ， 是的切线． 连接，． ， ． ， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， ．  【解析】根据“过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明； 根据等边三角形的“三线合一”进行证明． 本题考查了命题与定理，掌握线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、等边三角形的性质及切线的判定定理是解题的关键． 23.【答案】【小题】 证明略 【小题】 的半径为．   【解析】 略  略 24.【答案】【小题】 【小题】 解：是的内接正十二边形的一边，理由如下： 连接，，． 在正方形中，． 在正六边形中，． ． ， 是的内接正十二边形的一边．   【解析】 略  略 25.【答案】【小题】 证明：是的切线，为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 【小题】 ．   【解析】 略  略 26.【答案】解：如图，在弧，弧，弧中，是的内切弧的是，． 故答案为，． 如图， 弧与边，相切， 弧所在的圆的圆心在的角平分线上，当点落在轴上时，的半径最大， 过点作于． ，，， ≌， ，， 在中，， ， 设， 则有， ， ， 弧的半径的最大值为． 如图中，当时，的完美内切弧的半径最大，设圆心为，，为切点，连接，，． ，，， ≌， ， ，， ， ， ， ， 的完美内切弧的半径的最大值为． 如图中，当直线经过切点时，可证，此时的值最大，此时， 如图中，当与半圆弧相切时，的值最小， ， ， ， 当直线经过切点时，线段不存在，此时， 综上所述，满足条件的的值为：且．  【解析】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，的完美内切弧的定义，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 根据内切弧的定义解决问题即可． 当弧与边，相切，且弧所在的圆的圆心在的角平分线上，当点落在轴上时，的半径最大． 如图中，当时，的完美内切弧的半径最大，设圆心为，，为切点，连接，，解直角三角形求出即可． 如图中，当直线经过切点时，可证，此时的值最大，此时如图中，当与半圆弧相切时，的值最小．当直线经过切点时，线段不存在，此时，由此即可解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $