2025--2026学年人教版数学九年级上册期末专题突破：弧长和扇形面积 专题

人教版数学九年级上册期末专题突破：弧长和扇形面积专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是(    ) A. B. C. D. 2.用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为(    ) A. B. C. D. 3.如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为(    ) A. ，B. ， C. ，D. ， 4.圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是(    ) A. B. C. D. 5.正如我们小学学过的圆锥体积公式表示圆周率，表示圆锥的底面半径，表示圆锥的高一样，许多几何量的计算都要用到祖冲之是世界上第一个把计算到小数点后位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了年，才有人把计算得更精确在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对位数字反复进行次以上的各种运算，包括开方在内即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹小竹棍或小竹片进行的，这需要怎样的细心和毅力啊他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习． 下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于，则这个圆锥的高等于(    ) A. B. C. D. 6.如图是一个几体何的三视图图中尺寸单位：，则这个几何体的侧面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，四边形是的内接四边形，，若的半径为，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是(    ) A. B. C. D. 9.在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是(    ) A. B. C. D. 10.如图所示，边长为的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 11.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，，分别与切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为(    ) A. B. C. D. 12.如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 13.如图，的半径为，点，，都在上，若，则的长为          结果用含有的式子表示 14.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的母线长为          ． 15.如图，在菱形中，对角线，交于点，，，分别以点、点为圆心，以的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为          结果保留 16.如图，边长为的正方形外切于圆，切点分别为、、、，则图中阴影部分的面积为          ． 17.如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为          ． 18.如图，、、是上的三点，且四边形是菱形．若点是圆上异于、、的另一点，则的度数是          ． 19.如图，等边三角形的边长为，以为圆心，为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为          ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 如图，在中，，点在上，以为半径的交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接。 判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，，，求线段的长。 21.本小题分 如图，已知为的直径，是的弦，是的切线，切点为，点，是的三等分点，，的延长线相交于点． 求证：是的切线； 若的半径为，求阴影部分面积． 22.本小题分 如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形阴影部分，点在对角线上若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，求圆锥的底面圆的半径． 23.本小题分 如图，已知点，的坐标分别为，． 将向上平移个单位得到，画出； 将绕点按逆时针方向旋转得到，画出； 在的条件下，边扫过的面积是______保留 24.本小题分 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，连接． 求证：； 若，，求，两点旋转所经过的路径长之和． 25.本小题分 如图，正六边形内接于，是的直径，连接，延长，过作，垂足为． 求证：是的切线； 已知，求图中阴影部分的面积． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】 解：扇形的面积是：． 2.【答案】  【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得 ， 解得． 故选：． 设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解． 本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 3.【答案】  【解析】【分析】 连接、，根据正六边形的性质求出，根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出的长． 本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的中心角是解题的关键． 【解答】 解：连接、， 六边形为正六边形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 的长为：， 故选：． 4.【答案】  【解析】解：圆锥的底面半径，高， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积． 故选D． 根据圆锥的侧面积，求出圆锥的母线即可解决问题． 本题考查圆锥的侧面积，以及勾股定理． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练运用圆锥的计算公式，本题属于中等题型．设母线长为，底面圆半径为，根据弧长公式、扇形面积公式以及圆锥体积公式即可求出圆锥的高． 【解答】 解：设母线长为，底面圆半径为，圆锥的高为， 由于圆锥的侧面展开图是个半圆 侧面展开图的弧长为：， 底面圆的周长为：， ， ， 由勾股定理可知：， 圆锥的体积等于， ， ， ． 故选D． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为，底面圆的直径为，然后根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【解答】 解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为，底面圆的直径为， 所以这个几何体的侧面积 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为 ，弧长 连接  ，根据圆内接四边形的性质得出 ，再根据三角形的内角和求出 ，进而得出 ，最后根据弧长公式即可求解． 【解答】 解：连接 ． 四边形是  的内接四边形， ，  ．   ，   ，   ，   ， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：正六边形的外角和为， 每一个外角的度数为， 正六边形的每个内角为． 设这个圆锥底面圆的半径是， 根据题意得， 解得，． 故选：． 首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可． 本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．此题难度不大． 9.【答案】  【解析】解：半径为、圆心角为的扇形弧长是：， 设圆锥的底面半径是， 则， 解得：． 故选：． 根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求解即可． 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： 圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．熟记这两个关系是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图，设与交于点，中点。 ，， ， 同理，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 ， 故选：． 根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 11.【答案】  【解析】解：连接，， 、分别与相切于点、， ， 由四边形内角和为可得， ， 的长． 故选：． 连接，，求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可． 本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：四边形是矩形，， ，， ， ， ，， ， 阴影部分的面积 ． 故选：． 根据矩形的性质得出，，求出，再分别求出扇形和矩形、的面积，即可得出答案． 本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出长和的度数是解此题的关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 利用圆周角定理和圆的弧长公式解答即可． 本题主要考查了圆周角定理，圆的弧长公式，正确利用上述性质解答是解题的关键． 【解答】 解：，， ． 的长为， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆锥的计算，掌握圆锥侧面积的计算方法是解题的关键． 根据圆锥的侧面积计算公式计算即可． 【解答】 解：设圆锥的母线长为， 则， 解得，， 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 根据菱形的性质得到，由得到和是等边三角形，，求出、，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可． 【解答】 解：四边形是菱形，，， ，， 、都是等边三角形， ，， 在中，根据勾股定理得，， ， ，， 阴影部分的面积为： ， 故答案为： 16.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质、矩形的判定得出圆的半径是解题的关键．连接，延长交于点，证四边形为矩形知为的直径，同理得为的直径，再证四边形、四边形、四边形、四边形均为正方形得出圆的半径及为等腰直角三角形，根据阴影部分面积可得答案． 【解答】 解：如图，连接，延长交于点， 正方形外切于， ， 四边形为矩形， ， 又， 点于点重合， 则为的直径， 同理为的直径， 由，且知，四边形为正方形， 同理四边形、四边形、四边形均为正方形， ，， ， 则阴影部分面积 ， 故答案为． 17.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了扇形面积的计算及勾股定理等知识，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积进行求解． 先根据勾股定理求得，再将求不规则的阴影部分的面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可． 【解答】 解：根据题意可知， 则， 设，， ， ，即， ． 故答案为：． 18.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，则故可得出是等边三角形，所以，，据此可得出结论． 【解答】 解：连接， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ，． 故答案为或． 19.【答案】  【解析】解：过作于，于， 等边三角形的边长为，， ， ， ，， ，， ，， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 过作于，于，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论． 本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20.【答案】解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 则， ， 为圆的半径， 直线与相切； 连接， ，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 解得， ．  【解析】直线与圆相切，连接，由，利用等边对等角得到，再利用线段垂直平分线的性质得到，等量代换得到为直角，即可得证； 连接，设，则，，在直角三角形和直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，解方程得到的值，即可确定出的长． 本题考查线段垂直平分线的概念及其性质，切线的判定，以及勾股定理。 21.【答案】证明：连接，如图， 点，是的三等分点， 弧弧弧， ， 在和中， ， ≌， ． 是的切线， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ．  【解析】根据点，是的三等分点，得到弧弧弧，从而证得，根据证明≌即可证明是的切线； 先利用是的切线得到，进而求得，，根据勾股定理求得的值，从而得到，，再根据即可解答． 本题考查了切线的判定与性质，掌握切线的判定与性质是解题的关键． 22.【答案】解：正方形的边长为， ， 是正方形的对角线， ， ， 圆锥底面周长为，解得， 该圆锥的底面圆的半径是．  【解析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可． 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 23.【答案】解： 如图所示； 如图所示；    【解析】【分析】 本题考查了利用平移变换作图，利用旋转变换作图，扇形的面积熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于观察出扫过的面积等于两个扇形的面积的差． 根据网格结构找出点、、向上平移个单位的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； 根据网格结构找出点、绕点按逆时针方向旋转的对应点、的位置，然后顺次连接即可； 利用勾股定理列式求出，再根据边扫过的面积等于，列式计算即可得解． 【解答】 解：见答案； 见答案； 由勾股定理得，， 边扫过的面积， ， ， 24.【答案】证明：由题意，≌，且， ， 是等边三角形， ， ， ． 解：由题意，，，， ，两点旋转所经过的路径长之和．  【解析】只要证明即可， 由题意，，，，利用弧长公式计算即可． 本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25.【答案】解：证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积．  【解析】【分析】 本题考查了正多边形与圆，切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 连接，，由，得到，求得，得到，求得，于是得到结论； 由，得到，得到是等边三角形，求得，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $