寒假作业03 应用一元二次方程12大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 应用一元二次方程 一、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答； 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a； （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数； （3）面积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程； 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一元二次方程的应用之传播问题 1．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 3．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在化学老师的讲解下，小明同学第一个学会电解水实验，在接下来的分组实验课中，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问每个人一节课教会了多少名同学? 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． (1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ (2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 题型二 一元二次方程的应用之增长率问题 6．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套．如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 9．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 10．（25-26九年级上·广东深圳·月考）某电脑销售商试销某一品牌电脑（出产价为3000元）以元/台销售时，平均每月可销售台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来月份平均销售量的基础上，经月份的市场调查，月份调整价格后，月销售额达到元．已知电脑价格每台下降元，月销售量将上升台． (1)求月份到月份销售额的月平均增长率； (2)求月份时该电脑的销售价格． 题型三 一元二次方程的应用之与图形有关的问题 11．（25-26九年级上·重庆·月考）春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广，某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元．随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子．已知矩形硬纸板的长宽分别为，．    (1)求从正月初一到初三该影院票房收入的日平均增长率． (2)求纸盒的高 12．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划问题 素材 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 问题解决 任务1 （1）纵向道路宽度的取值范围是________． 任务2 （2）若中间种植的面积是，则纵向道路的宽度应为多少？ 13．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，用总长米的篱笆靠墙围成如图所示的①②③三块矩形区域（墙足够长），且三块区域面积相等，设长为米． (1)求证：； (2)的长为_____米，的长为______米；（用含的代数式表示） (3)当矩形的面积为平方米时，求的长． 14．（2025九年级上·河南南阳·专题练习）如图所示，为美化校园环境，某校计划在一块长为、宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为． (1)用含的式子表示花圃的面积 ； (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； (3)已知某园林公司修建通道的单价是元，并且通道宽的值能使关于x的方程有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于且不超过，如果学校决定由该公司承建此项目，求修建该通道的总费用为多少． 15．（25-26九年级上·河南南阳·月考）某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 题型四 一元二次方程的应用之数字问题 16．（25-26九年级上·全国·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 17．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 18．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 19．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 20．（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 题型五 一元二次方程的应用之营销问题 21．（吉林省延边州2025~2026学年上学期九年级教学质量检测数学期末测试卷）某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． (1)每天可销售 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）． (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ (3)店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 22．（25-26九年级上·山西太原·期中）第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销． 信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表： 每周销量 80个 每个盈利 16元 市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个 问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？ 23．（25-26九年级上·重庆开州·月考）城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． (1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ (2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 24．（25-26九年级上·江西抚州·期中）项目学习方案： 项目 情景 近年来，随着国家对生态环境的不断优化治理，生态环境持续向好，生态旅游成为一种时尚，旅游用品也随之热销． 素材 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个， 任务一 根据题意，若售价增长1元，每月能售出① 个背包，若售价增长元，每月能售出② 个背包（用含的代数式表示）； 任务二 当为何值时，月销售利润为3120元． 25．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为16元/斤时，每月能售出700斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少25斤，已知该品相黄芪的平均成本价为12元/斤． 解决问题： (1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由． (2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得高于25元，若要使销售黄芪的月利润达到6000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 题型六 一元二次方程的应用之动态几何问题 26．（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 27．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 28．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 29．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 30．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． (1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ (2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 题型七 一元二次方程的应用之工程问题 31．（2022·上海闵行·二模）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 32．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 33．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 34．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 35．（24-25九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 题型八 一元二次方程的应用之行程问题 36．（25-26九年级上·河北唐山·月考）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 37．（25-26九年级上·吉林白城·月考）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 38．（24-25九年级上·山东德州·月考）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 39．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 40．（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 题型九 一元二次方程的应用之图表信息题 41．（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 42．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 43．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 44．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 45．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 题型十 一元二次方程的应用之握手、循环赛问题 46．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 47．（24-25九年级上·广东汕尾·月考）某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 48．（25-26九年级上·河北唐山·期中）（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 49．（25-26九年级上·江西宜春·期中）2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 50．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 题型十一 一元二次方程的应用之其他问题 51．（25-26八年级下·全国·期末）某工厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 A，B．原计划A 生产线每小时生产护目镜 400 个，B 生产线每小时生产护目镜 500 个． (1)若生产线A，B共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？ (2)原计划A，B生产线每天平均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足的原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 52．（25-26九年级上·山西太原·月考）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 53．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某企业2021年新能源汽车的销售额为1亿，截止到年增长到亿．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是万辆季度，若每增加个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． (1)求该企业2021年到2023年新能源汽车销售额的年平均增长率； (2)现该企业要保证每季度生产汽车万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 54．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． 某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元． (1)请求出参加这次旅游的人数； (2)若该公司又组织第二批员工50人到该风景区旅游并支付了这批员工的费用．如果这两批员工合并成一批去旅游，则该公司可节约旅游费用多少元？ 55．（25-26九年级上·湖南常德·月考）如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值？ (2)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明一人的说法是否正确．若正确，则数a表示是10月几日？ 题型十二 一元二次方程与一次函数综合 56．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） (2)若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ (3)若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 57．（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）某水果店以20元／千克的价格新进—批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示． (1)销售量y（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数表达式． (2)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？ (3)在（2）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元/千克且全部售完，求平均每次降价的百分比． 58．（24-25八年级上·上海·月考）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，点、分别在线段、上，且． (1)求、两点的坐标； (2)求的度数； (3)如果三角形的面积是面积的，求点的坐标． 59．（24-25九年级上·广西桂林·月考）阳朔糍粑是桂林的特色美食．今有某店铺销售，通过分析销售情况发现，阳朔糍粑的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如表，已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元． 销售单价x（元/盒） 15 17 日销售量y（盒） 150 100 (1)求糍粑的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式． (2)十一国庆为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销方式，当销售单价x（元/盒）定为多少时，日销售利润为1000元？ 60．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 1．（25-26九年级上·全国·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个. 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若每个零件在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元/个？ 2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）近年来，兴城泳装行业蓬勃发展，泳装销量逐年提升，为进一步扩大市场，某商店在“泳装节”期间对一款泳装进行降价出售，这款泳装原来的价格是200元/套，经两次降价后变为162元/套． (1)若该商店两次降价的百分率相同，求该款泳装价格每次下降的百分率； (2)活动结束后，经市场调研发现，当这种款式泳装每套盈利10元时，月销售量为500套，如果调整销售单价，每涨价1元，则月销售量就减少25套，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该款式泳装每套应涨价多少元？ 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为平方米，墙的长为米． (1)据学校管理人员介绍，该基地年的面积只有平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，学校打算在基地内用总长度为米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为平方米，求矩形空地的宽为多少米． 4．（25-26九年级上·广东河源·期中）河源市是客家人的发祥地之一，拥有丰富的历史文化，包括客家文化，恐龙文化和水文化．为了弘扬河源地方文化，让更多游客了解客家文化，某文旅公司推出多款文创产品．某款吉祥物受到广大游客的喜爱，6月份的销量为200件，8月份的销量为288件，已知该款吉祥物的成本价是30元．当售价为40元时，每天可售出60件，调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件． (1)求该款吉祥物月份的销量的月平均增长率； (2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是630元； (3)该文旅公司每天的利润能达到1000元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 6．（25-26八年级上·上海长宁·月考）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 7．（25-26九年级上·山西临汾·月考）综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 8．（24-25九年级上·福建宁德·期中）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． (1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； (2)如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 9．（25-26九年级上·山西临汾·月考）第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ (2)从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 10．（24-25九年级上·山西太原·月考）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． (1)第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为____； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； (2)第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ (3)第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 11．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图①，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条、横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（注意：为了使同学们更好的解答本题，我们提供了一种思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题的解答．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．） 分析：由横、竖彩条宽度比为，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好的寻找题目中的等量关系、将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图2的情况，得到矩形． 结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示： ； ；矩形的面积为 ．列出方程并完成本题的解答． 12．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 13．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）湘绣是在湖南民间刺绣基础上发展起来的一种传统工艺，与苏绣、粤绣、蜀绣并称为中国的四大名绣，素有“湘绣甲天下”的美誉．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批湘绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．社团希望通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到400元，则文化衫应降价多少元？ 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，完成探索任务： 如何裁剪出符合要求的长方形彩纸？ 素材1 如图1是一张等腰直角三角形彩纸，，甲、乙、丙三名同学分别用这样的彩纸试图裁剪出不一样的长方形，并使长方形的四个顶点都在的边上．                  素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形；乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为的矩形；丙同学想裁出面积最大的正方形．            问题解决 任务1 请帮助甲同学判断此裁剪方案能否实现？并说明理由． 任务2 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形彩纸的面积． 任务3 请帮助丙同学在图4和图5中各画出一种裁剪方案，并通过计算说明哪种方案裁得的正方形面积最大． 1．（24-25九年级·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）综合与实践 中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案? 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元? 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行，如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 3．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 6．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 应用一元二次方程 一、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答； 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a； （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数； （3）面积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程； 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一元二次方程的应用之传播问题 1．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1) (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． （2）解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在化学老师的讲解下，小明同学第一个学会电解水实验，在接下来的分组实验课中，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问每个人一节课教会了多少名同学? 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个人一节课教会x名同学，则第一节课教会x名同学，第二节课教会名同学，根据“经过两节课全班49人恰好都会做这个实验了”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每个人一节课教会x名同学，则第一节课教会x名同学，第二节课教会名同学， 根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：每个人一节课教会6名同学． 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． (1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ (2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 【答案】(1)每轮传播中平均一个人传播个人； (2)被感染的人数会超过800人． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每轮传播中平均一个人传播x个人，根据经过两轮感染后就会有100人被感染即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传播后被感染的人数经过两轮传播后被感染的人数经过两轮传播后被感染的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一个人传播x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传播中平均一个人传播个人； （2）三轮感染后，患病的人数为（人）． ∵， 被感染的人数会超过800人． 答：被感染的人数会超过800人． 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】(1)甲和乙 (2)丙的说法不正确 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 题型二 一元二次方程的应用之增长率问题 6．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套．如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【答案】(1)该款帐篷价格每次下降的百分率为 (2)该款帐篷每套可以涨价20或40元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据题意，根据降价前的价格两次降价后的价格列方程求解即可； （2）设该款帐篷每套涨价元，根据月销售利润达到9600元列方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款帐篷价格每次下降的百分率为， 依题意得：， 解得，（舍去）． 答：该款帐篷价格每次下降的百分率为． （2）解：设该款帐篷每套涨价元， 依题意得：， 解得，． 答：该款帐篷每套可以涨价20或40元． 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】(1)四、五月份销售量平均增长率为； (2)商品降价5元时，商场获利2250元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）设四、五月份销售量平均增长率为x，那么四月份的销量为，五月份销量为，根据题意列出方程求出x的值即可； （2）设商品降价m元，那么销量为件，每件的利润为元，利用销量每件商品的利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设四、五月份销售量平均增长率为， 则， 解得，（舍去） 答：四、五月份销售量平均增长率为． （2）解：设商品降价m元，则 解得，（舍去） 答：商品降价5元时，商场获利2250元． 9．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【答案】(1) (2)20元或40元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设每次降价的百分率为，则，再求解即可； （2）设每套涨价元，则月销售量减少套，得到利润，再求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； （2）解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 10．（25-26九年级上·广东深圳·月考）某电脑销售商试销某一品牌电脑（出产价为3000元）以元/台销售时，平均每月可销售台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来月份平均销售量的基础上，经月份的市场调查，月份调整价格后，月销售额达到元．已知电脑价格每台下降元，月销售量将上升台． (1)求月份到月份销售额的月平均增长率； (2)求月份时该电脑的销售价格． 【答案】(1)月份到月份销售额的月平均增长率为； (2)月份时该电脑的销售价格为元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的增长率和营销问题的实际应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）由题意可得，1月份的销售额为：元；设月份到月份销售额的月平均增长率为，则二月份的销售额为：；三月份的销售额为：，又知三月份的销售额为：元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）已知电脑价格每台下降元，月销售量将上升台，所以设月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降元，那么三月份销售量为台．即此时，三月份的销售额为：，又知三月份的销售额为：元，由此等量关系列出方程求出y的值，所以三月份的销售价格为元． 【详解】（1）解：设月份到月份销售额的月平均增长率为， 由题意得：， ， ， ， ， ， ，（舍）. 答：月份到月份销售额的月平均增长率为． （2）设月份时该电脑的销售价格在每个元销售的基础上下降元， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． 当时，月份该电脑的销售价格为元（舍去）；当时，月份该电脑的销售价格为元． 答：月份时该电脑的销售价格为元． 题型三 一元二次方程的应用之与图形有关的问题 11．（25-26九年级上·重庆·月考）春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广，某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元．随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子．已知矩形硬纸板的长宽分别为，．    (1)求从正月初一到初三该影院票房收入的日平均增长率． (2)求纸盒的高 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查列一元二次方程解决平均增长率的问题及图形问题： （1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为a，根据题意列出方程并求解即可； （2）设纸盒的高为，根据图形表示出盒子底面积并列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为a， 则， 解得：，（舍去）， 即从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）解：设纸盒的高为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：纸盒的高为． 12．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划问题 素材 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 问题解决 任务1 （1）纵向道路宽度的取值范围是________． 任务2 （2）若中间种植的面积是，则纵向道路的宽度应为多少？ 【答案】（1）；（2）5米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据道路宽度不超过12米，且不小于5米解答即可； （2）根据中间的种植园区的面积是，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：纵向道路宽度的取值范围为：； （2）根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． ， 道路的宽度应为5米． 13．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，用总长米的篱笆靠墙围成如图所示的①②③三块矩形区域（墙足够长），且三块区域面积相等，设长为米． (1)求证：； (2)的长为_____米，的长为______米；（用含的代数式表示） (3)当矩形的面积为平方米时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)米 【分析】本题考查矩形的性质，代数式的表示，一元二次方程的实际应用，通过面积相等推导线段关系是解题关键． （1）由矩形②、③面积相等，结合它们的高相同，得，再结合矩形性质可知，由矩形①、②面积相等，结合矩形面积公式，可推导出． （2）根据（1）的结论，梳理篱笆的组成，用含的式子表示所有垂直边的总长，再通过“篱笆总长=垂直边总长+平行边总长”列关系式． （3）确定矩形的长和宽，结合面积条件列方程，解出未知数的值，再代入的表达式求出的长． 【详解】（1）证明：矩形②与矩形③面积相同，且两矩形高相等，则底相等， ， 四边形是矩形， ， ， ， 矩形①与矩形②面积相同， ， ， ． （2）解：由题意和（1）可知，米，，， 则米，米， 米． 故答案为：，． （3）解：已知米，根据矩形性质可知米， 根据题意可得， 化简得，即， 解得， 故米． 答：米． 14．（2025九年级上·河南南阳·专题练习）如图所示，为美化校园环境，某校计划在一块长为、宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为． (1)用含的式子表示花圃的面积 ； (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； (3)已知某园林公司修建通道的单价是元，并且通道宽的值能使关于x的方程有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于且不超过，如果学校决定由该公司承建此项目，求修建该通道的总费用为多少． 【答案】(1)； (2)通道的宽为； (3)修建的通道的总费用为元． 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用含的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列方程解答即可； （）由方程有两个相等的实根，得，所以，，又，得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：花圃的面积是： 故答案为：； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽为； （3）解：∵方程有两个相等的实根， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当时， ， 总费用（元）， 答：修建的通道的总费用为元． 15．（25-26九年级上·河南南阳·月考）某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 【答案】(1) (2)x的值为20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程． （1）根据题意列代数式即可求解； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故x的值为20． 题型四 一元二次方程的应用之数字问题 16．（25-26九年级上·全国·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设个位数字为x，则十位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可得出这个两位数是或． 【详解】解：设这个两位数个位数字为，则十位数字为， 依题意得方程：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故这个两位数为或． 17．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）较小的数是3， 较大的数是4， 它们的平方和是． 答：它们的平方和是25； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：这两个正整数分别是8和9． 18．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 【答案】(1)120 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解． （1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和． （2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际． 【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为． 根据题意，， 解得或（日期不能为负，舍去）． 所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23． 它们的和为． （2）设最小的数为，则这个数的和为 化简得． 若和为192，则 解得． 此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际， 所以这个数字的和不能是192． 19．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【答案】(1) (2)552 (3)两人的说法都正确，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d； （2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （3）两人说法都正确，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出结论；根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：； （2）观察日历表，可知：a的最大值为23， 的最大值为． 故答案为：552； （3）两人的说法都正确，理由如下： 子怡的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月8日为周三，符合题意， 子怡的说法正确； 瑾萱的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月6日为周一，符合题意， 瑾萱的说法正确． 20．（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】(1)510 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，一元二次方程的实际应用，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）根据图形，列出算式进行计算即可； （2）类比十进制的加减运算，进行计算即可； （3）根据进制之间的换算关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（天）； 故答案为：510； （2）； 故答案为： （3）由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故． 题型五 一元二次方程的应用之营销问题 21．（吉林省延边州2025~2026学年上学期九年级教学质量检测数学期末测试卷）某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． (1)每天可销售 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）． (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ (3)店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 【答案】(1), (2)每件卫衣降价25元时,平均每天可盈利1050元 (3)不能实现．见解析 【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得． 本题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找到等量关系是解题关键． 【详解】（1）设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：,． （2）解：由题意得 解得, ∵为了扩大销售量,尽快减少库存, ∴ 答：每件卫衣降价25元时,平均每天可赢利1050元． （3）解：不能实现． 理由：由题意得 整理得 ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元,所以店长的愿望实现不了． 22．（25-26九年级上·山西太原·期中）第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销． 信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表： 每周销量 80个 每个盈利 16元 市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个 问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列方程求解是关键．设每件玩具应降价x元，则此款玩具的销售利润为元，销量为个，即可列方程求解． 【详解】解：设每件玩具应降价元， 由题意，得， 解，得， 答：每件玩具应降价4元． 23．（25-26九年级上·重庆开州·月考）城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． (1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ (2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 【答案】(1)每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． (2)精英型帐篷的售价为元或元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用． （1）设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，利用“购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元”建立方程组求解即可； （2）由原有的销售量加上增加的销售量得到精英型帐篷每天的销量，由每顶帐篷的利润乘以销售量等于总利润建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得： ， 解得， 答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． （2）解：降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶； 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴精英型帐篷的售价为元或元． 24．（25-26九年级上·江西抚州·期中）项目学习方案： 项目 情景 近年来，随着国家对生态环境的不断优化治理，生态环境持续向好，生态旅游成为一种时尚，旅游用品也随之热销． 素材 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个， 任务一 根据题意，若售价增长1元，每月能售出① 个背包，若售价增长元，每月能售出② 个背包（用含的代数式表示）； 任务二 当为何值时，月销售利润为3120元． 【答案】任务一：，；任务二：为或 【分析】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月均销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）通过售价每增长元，月均销量就相应减少个，得出售价每增长元，月均销量就相应减少个，所以售价增长元，每月能售出个背包，售价增长元，即可用含x的代数式表示出月均销量； （2）利用总利润每个的利润月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：售价每增长元，月均销量就相应减少个， 售价每增长元，月均销量就相应减少个， 售价增长元，每月能售出个背包， 售价增长元，每月能售出个背包， 故答案为：；； （2）根据题意得， 整理得， 解得：， ， 当x为或时，月销售利润为元． 25．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为16元/斤时，每月能售出700斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少25斤，已知该品相黄芪的平均成本价为12元/斤． 解决问题： (1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由． (2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得高于25元，若要使销售黄芪的月利润达到6000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 【答案】(1)作图见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了菱形和矩形的性质，一元二次方程的应用， 对于（1），分别连接矩形和菱形的对角线，再分别过对角线的交点作直线即可将这块土地分成面积相等的两部分； 对于（2），设黄芪的销售单价定为x元，根据利润相等列出一元二次方程，并舍去不符合题意的解，可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的直线； （2）解：设黄芪的销售单价定为x元，根据题意，得 ， 解得（不符合题意，舍去）， 所以，李伯将销售单价定为24元． 题型六 一元二次方程的应用之动态几何问题 26．（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1)或 (2)能， 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 27．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了动点问题、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意即可解题； （2）设运动时间为，用代数式表示出的面积，进而解方程即可； （3）根据题意列出方程，发现无解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：； （2）解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； （3）解：不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为． 28．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或7 【分析】（1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形． （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了动点问题，勾股定理，矩形和菱形的性质，一元二次方程的解法，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． 29．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 【答案】(1)28 (2)不能，理由见解析 (3)6或 【分析】本题考查矩形上的动点问题，勾股定理，一元二次方程的应用，用含t的式子正确表示出相关线段长度是解题的关键． （1）当时，计算出相关线段长度，根据求解； （2）根据列关于t的一元二次方程，利用判别式判断是否有实数根即可； （3）当恰好是直角三角形时，，根据列关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，，， 矩形中，，， ，， ， 故答案为：28； （2）解：在运动过程中的面积不能为，理由如下： 根据题意得，，， ，， 当时， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴的面积不可能为； （3）解：由题意知， ， 当恰好是直角三角形时，， ∴， ∴， 解得，， 即t的值为6或． 30．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． (1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ (2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3秒 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，根据勾股定理可得，然后再代入相应数据可得方程，再解即可； （2）设秒后的面积是，利用矩形面积的面积周围三个三角形面积和列方程即可． 【详解】（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 当时， ， 解得：，（舍去）； 答：3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； （2）不存在，理由如下： 设秒后的面积是16， ． ， 整理得， ∴该方程无解， 不存在时间使得的面积是16． 题型七 一元二次方程的应用之工程问题 31．（2022·上海闵行·二模）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 32．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 33．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 34．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 35．（24-25九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 题型八 一元二次方程的应用之行程问题 36．（25-26九年级上·河北唐山·月考）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 37．（25-26九年级上·吉林白城·月考）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 38．（24-25九年级上·山东德州·月考）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【答案】(1)4；6 (2)①4秒；②20米 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 39．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 40．（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 题型九 一元二次方程的应用之图表信息题 41．（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 42．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 43．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 44．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可； （2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可． 【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:(元)， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 45．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 题型十 一元二次方程的应用之握手、循环赛问题 46．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【答案】(1)15场 (2)说法正确，理由见解析 (3)14 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为，即可求解； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有人参赛，则比赛的总场数为，然后取当，，，计算的值，结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解： 故按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小博的说法正确． 理由：设有人参赛， 由题意得， 整理得， 解得 的取值不为整数，即方程的解不符合实际， 小博的说法正确； （3）解：设有人参赛，则比赛的总场数为， 当时，； 当时，； 当时，； 又比赛场次控制在90~100之间， ∴应该安排14名参赛者， 故答案为：14． 47．（24-25九年级上·广东汕尾·月考）某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 【答案】(1)10人； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该邀请赛的参赛选手人数为x，根据实行单循环赛制共赛了45场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设平均每次协商后降价的百分率为a，根据两次降价列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设该邀请赛的参赛选手人数为x人． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：该邀请赛的参赛人数为10人； （2）解：设平均每次协商后降价的百分率为a． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：平均每次协商后降价的百分率为． 48．（25-26九年级上·河北唐山·期中）（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 49．（25-26九年级上·江西宜春·期中）2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 【答案】(1)10 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键： （1）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出算式进行计算即可； （2）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，宜春队要跟其他的5个队各踢2场， ∴宜春队第一阶段共参与（场）比赛； 故答案为：10； （2）由题意，， 整理，得：， 解得或（舍去）； 故． 50．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 【答案】(1)3；15 (2)10人 (3)不可能；理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳推出一般规律，令，解一元二次方程即可得； （3）参照（2）的规律，归纳推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次）， 若参加聚会的人数为6，则共握手（次）． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （3）解：角的总数不可能是20；理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． 题型十一 一元二次方程的应用之其他问题 51．（25-26八年级下·全国·期末）某工厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 A，B．原计划A 生产线每小时生产护目镜 400 个，B 生产线每小时生产护目镜 500 个． (1)若生产线A，B共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？ (2)原计划A，B生产线每天平均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足的原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 【答案】(1)B生产线至少生产护目镜7小时 (2)该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量的关系，正确列出一元一次不等式；列出一元二次方程． （1）设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂每天生产护目镜总数量不少于个，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （2）设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂实际一天生产的护目镜将比原计划多个，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为7． 答：生产线至少生产护目镜7小时； （2）解：设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时． 52．（25-26九年级上·山西太原·月考）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 【答案】任务一：15600 任务二：； 任务三：100 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． 任务1：根据题意“当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元”列出算式即可求解； 任务2：设镇流器补进件，根据题意列出代数式即可求解； 任务3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元， 答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元； 任务2：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为（元）， 补进灯管的总价为：（元）， 故答案为：；． 任务3：依题意，， 解得， ， ， 答：补进镇流器100件． 53．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某企业2021年新能源汽车的销售额为1亿，截止到年增长到亿．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是万辆季度，若每增加个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． (1)求该企业2021年到2023年新能源汽车销售额的年平均增长率； (2)现该企业要保证每季度生产汽车万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【答案】(1) (2)应该再增加3个工厂． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售额的平均年增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设应该再增加m个工厂，根据每季度生产汽车27万辆，列一元二次列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售额的平均年增长率为x； 解得：（舍），， （2）解：设应该再增加m个工厂， （舍）， 答：应该再增加3个工厂． 54．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． 某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元． (1)请求出参加这次旅游的人数； (2)若该公司又组织第二批员工50人到该风景区旅游并支付了这批员工的费用．如果这两批员工合并成一批去旅游，则该公司可节约旅游费用多少元？ 【答案】(1)参加这次旅游的有45人 (2)该公司可节约旅游费用元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数四则运算的实际应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设参加这次旅游的人数是x人，求出人数为30时的旅游费用，比较后可得出，根据旅游费用人数人均费用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）分别求出两批员工单独支付的费用和合并成一批支付的费用作差即可． 【详解】（1）解：设参加这次旅游的人数是x人， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． （2）解：∵， ∴第二批员工支付费用为（元）， 则两批员工单独支付的总费用为 （元）， 若这两批员工合并成一批去旅游，， ， 则两批员工合并成一批去旅游支付费用为（元）， 则该公司可节约旅游费为（元）， 答：该公司可节约旅游费用元． 55．（25-26九年级上·湖南常德·月考）如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值？ (2)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明一人的说法是否正确．若正确，则数a表示是10月几日？ 【答案】(1)552 (2)两人的说法都正确；10月8日，10月6日 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （2）两人说法都正确，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出结论；根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察日历表，可知：a的最大值为23， ∴的最大值为， 故答案为：552； （2）解：两人的说法都正确，理由如下： 子怡的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得： （不符合题意，舍去）， ∵10月8日为周三，符合题意． ∴子怡的说法正确； 瑾萱的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得： （不符合题意，舍去）， ∵10月6日为周一，符合题意， ∴瑾萱的说法正确． 题型十二 一元二次方程与一次函数综合 56．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） (2)若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ (3)若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)应该定价45元 (3)商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，配方法的意义，一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式和列出方程求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，据此列出方程求解即可； （3）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，设出总利润关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为， 把图象上两点，代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得（舍去）或， 答：应该定价45元； （3）解：设商店的利润为W元， 由题意得 ， ∵， ∴，当且仅当，即时取得等号， ∴商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元． 57．（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）某水果店以20元／千克的价格新进—批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示． (1)销售量y（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数表达式． (2)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？ (3)在（2）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元/千克且全部售完，求平均每次降价的百分比． 【答案】(1) (2)销售价格应定为90元/千克． (3)平均每次降价的百分比是． 【分析】本题考查了一次函数的应用及一元二次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为把，把代入即可求出； （2）根据“销售利润达到1400元”列出方程求解，最后分别求出两个销售成本的值，舍去不符合题意的值即可得出答案； （3）设平均每次降价的百分比是m，根据“经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完”列出方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为把， 代入得， 解得， y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得， 解得，． 当时，销售成本为：， 当时，销售成本为：， 答：销售价格应定为90元/千克． （3）解：设平均每次降价的百分比是m，根据题意得， 解得，（舍去）． 答：平均每次降价的百分比是． 58．（24-25八年级上·上海·月考）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，点、分别在线段、上，且． (1)求、两点的坐标； (2)求的度数； (3)如果三角形的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将和代入即可求得、两点的坐标； （2）利用勾股定理得到，进而得到，结合直角三角形性质可得，从而可得，再根据三角形外角性质即可求得的度数； （3）过点作于点，过点作于点，根据（2）可得为线段中垂线，，再结合，，设，可得，可得到，又根据，建立等式，可求得的值，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 将代入，得，解得， 点的坐标为，点的坐标为； （2）解：，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， 由（2）可知：， ， 设， 为线段中垂线， ，， 又，， ， 则， ， ， 解得：或， 当时，，的坐标为， 当时，，的坐标为， 的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图像与坐标轴交点情况，坐标与图形，等腰三角形性质，勾股定理，三角形外角性质，一元二次方程应用，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 59．（24-25九年级上·广西桂林·月考）阳朔糍粑是桂林的特色美食．今有某店铺销售，通过分析销售情况发现，阳朔糍粑的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如表，已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元． 销售单价x（元/盒） 15 17 日销售量y（盒） 150 100 (1)求糍粑的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式． (2)十一国庆为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销方式，当销售单价x（元/盒）定为多少时，日销售利润为1000元？ 【答案】(1) (2)13元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）利用待定系数法，求出y关于x的函数关系式； （2）根据各数量之间的关系，找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据给定数据，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数表达式， （2）利用总利润每盒的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合要尽可能让利顾客，即可得出结论， 【详解】（1）解∶设y关于x的函数表达式为， 将，代入 得∶， 解得∶， y关于x的函数表达式为； （2）解：当时，． 每盒糍粑的销售利润为 (元)， 每盒糍粑的成本为 (元)， 根据题意得∶， 整理得∶． 解得∶，， 要尽可能让利顾客， ． 答∶当销售单价x(元/盒)定为13时，日销售利润为1000元． 60．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒 【分析】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 1．（25-26九年级上·全国·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个. 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若每个零件在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】任务1：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为；任务2：该零件的实际售价应定为50元/个 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题，总利润与每个利润和数量的关系，是解题的关键． 任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，由题意易得，进而问题可求解； 任务2：设该零件的实际售价应定为y元，由题意易得，然后进行求解即可 【详解】解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 根据题意，得， 解得，不符合题意，舍去 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； （2）设该零件的实际售价应定为每个y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为每个50元． 2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）近年来，兴城泳装行业蓬勃发展，泳装销量逐年提升，为进一步扩大市场，某商店在“泳装节”期间对一款泳装进行降价出售，这款泳装原来的价格是200元/套，经两次降价后变为162元/套． (1)若该商店两次降价的百分率相同，求该款泳装价格每次下降的百分率； (2)活动结束后，经市场调研发现，当这种款式泳装每套盈利10元时，月销售量为500套，如果调整销售单价，每涨价1元，则月销售量就减少25套，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该款式泳装每套应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)4元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据题意，根据降价前的价格降价后的价格列方程求解即可． （2）设该款式泳装每套涨价元，根据月销售利润达到5600元列方程，解方程后根据让顾客得到实惠确定结果． 【详解】（1）解：设该款泳装价格每次下降的百分率为， 根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：该款泳装价格每次下降的百分率； （2）解：设该款式泳装每套涨价元， 根据题意得：， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该款式的泳装每套应涨价4元． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为平方米，墙的长为米． (1)据学校管理人员介绍，该基地年的面积只有平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，学校打算在基地内用总长度为米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为平方米，求矩形空地的宽为多少米． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设这个增长率为，由题意得到，利用直接开平方法求解即可得到答案； （2）设矩形空地的宽为米，则的长为米，从而得到方程，利用因式分解法求解，再根据取值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 则由题意得， 解得（负值不合题意，舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：设矩形空地的宽为米，则的长为米， 则由题意得矩形面积为， 即， 整理得， ， 解得，， 米， ，则， 取，则米， 答：矩形空地的宽为米． 4．（25-26九年级上·广东河源·期中）河源市是客家人的发祥地之一，拥有丰富的历史文化，包括客家文化，恐龙文化和水文化．为了弘扬河源地方文化，让更多游客了解客家文化，某文旅公司推出多款文创产品．某款吉祥物受到广大游客的喜爱，6月份的销量为200件，8月份的销量为288件，已知该款吉祥物的成本价是30元．当售价为40元时，每天可售出60件，调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件． (1)求该款吉祥物月份的销量的月平均增长率； (2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是630元； (3)该文旅公司每天的利润能达到1000元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元； (3)不能，理由见解析 【分析】（）设该款吉祥物月份的销量的月平均增长率为，根据题意方程并解方程即可； （）设该款吉祥物应该降价元，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出方程，再根据方程解的情况即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设该款吉祥物月份的销量的月平均增长率为， 则， 解得（不合题意，舍去）， 即该款吉祥物月份的销量的月平均增长率为； （2）解：设该款吉祥物应该降价元， 由题意得，， 整理得：， 解得， ∵要让利顾客， ， 答：该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元； （3）解：不能达到元，理由如下： 设吉祥物应降价元， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴该方程无实数根， 答：该文旅公司每天的利润不能达到元． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 6．（25-26八年级上·上海长宁·月考）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)与墙垂直的边的长为 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据“长方形仓库占地面积为1500平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据“长方形面积扩大到2000平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴与墙垂直的边的长为； （2）解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得， 整理可得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形面积扩大到2000平方米． 7．（25-26九年级上·山西临汾·月考）综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3)当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的运用， （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息，可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：，，点从，速度为，点从，速度为，设运动时间为， ∴点从的时间为，点从的时间为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，，且， ∴，整理得，， 解得，（舍去），， ∴当时，； （3）解：存在，理由如下， 已知，， ∴， ∵五边形的面积为矩形面积的， ∴，则， ∴， 整理得，， 解得或， ∴当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 8．（24-25九年级上·福建宁德·期中）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． (1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； (2)如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 【答案】(1)20，40 (2)不能 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，，． 故答案为：20；40； （2）解：设收纳盒高为， 根据题意得， ，（舍去）， 收纳盒长、宽、高分别为、、， ， 玩具机械狗不能放入该收纳盒． 9．（25-26九年级上·山西临汾·月考）第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ (2)从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】(1) (2)8元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 10．（24-25九年级上·山西太原·月考）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． (1)第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为____； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； (2)第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ (3)第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的实际应用，设计轴对称图案，理解题意是解题的关键． （1）根据比例尺求出的长，根据中点求出的长即可； （2）设小路的宽为厘米时符合设计要求，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （3）连接，交于点，两部分作为花坛即可． 【详解】（1）解：由题意得：图纸上画出矩形的宽为6厘米，矩形的长为8米，宽为6米． 故， ∵H为边的中点， ∴， 故答案为：． （2）解：设小路的宽为时符合设计要求，根据题意，得 ， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为时符合设计要求； （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴，且阴影部分是轴对称图形； ∴第三小组计划设计的花坛部分符合要求． 11．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图①，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条、横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（注意：为了使同学们更好的解答本题，我们提供了一种思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题的解答．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．） 分析：由横、竖彩条宽度比为，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好的寻找题目中的等量关系、将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图2的情况，得到矩形． 结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示： ； ；矩形的面积为 ．列出方程并完成本题的解答． 【答案】；；；每个横、竖彩条的宽度分别为， 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程解决实际问题，用含的代数式表示出矩形的面积是解题的关键． 因为每个竖彩条的宽为，图中有两个竖条，得到，又每个横彩条的宽为，图中有两个横条，所以，然后用即为矩形的面积，从题中已知可知矩形的面积等于总体面积的，根据题中的等量关系：矩形的面积列出方程求解，再根据条件取值． 【详解】解：， ， 矩形的面积为∶， 根据题意，得， 整理，得， 解方程，得 (不合题意，舍去)， 则 每个横、竖彩条的宽度分别为，． 故答案为；； 12．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 【答案】【理解应用】② 【类比迁移】 【拓展应用】；3；1或 【分析】本题考查整式乘法与几何图形，解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． [理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． [类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案． [拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】解：[理解应用] 变形为， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； [类比迁移]第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 故答案为：； [拓展应用]∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴， 解得，， 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为1； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为：或． 13．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）湘绣是在湖南民间刺绣基础上发展起来的一种传统工艺，与苏绣、粤绣、蜀绣并称为中国的四大名绣，素有“湘绣甲天下”的美誉．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批湘绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．社团希望通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到400元，则文化衫应降价多少元？ 【答案】(1)每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元 (2)文化衫应降价8元或者2元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （）设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，根据采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍．列出分式方程求解并检验即可； （）先求出降价前文化衫每件的利润为元，设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，根据平均每天的总利润达到400元，列出关于x的一元二次方程求出的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，文化衫的数量为件，书签的数量为个， 由题意得，， 解得，   经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元； （2）解：降价前文化衫每件的利润为元， 设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元， 根据题意，得， 解得，， 答：文化衫应降价8元或者2元． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的运用，解一元二次方程，分别写出和窗框面积的代数式是解题的关键． （1）根据窗框的总长度计算即可； （2）根据题意，列关于x的一元二次方程并求解即可． 【详解】（1）解：， 窗框面积， 故答案为：；； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，完成探索任务： 如何裁剪出符合要求的长方形彩纸？ 素材1 如图1是一张等腰直角三角形彩纸，，甲、乙、丙三名同学分别用这样的彩纸试图裁剪出不一样的长方形，并使长方形的四个顶点都在的边上．                  素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形；乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为的矩形；丙同学想裁出面积最大的正方形．            问题解决 任务1 请帮助甲同学判断此裁剪方案能否实现？并说明理由． 任务2 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形彩纸的面积． 任务3 请帮助丙同学在图4和图5中各画出一种裁剪方案，并通过计算说明哪种方案裁得的正方形面积最大． 【答案】任务1：不能，理由见解析；任务2：或；任务3：图见解析，按图4裁剪的正方形面积最大为． 【分析】任务1：由是等腰直角三角形，可知是等腰直角三角形，则，设，则，根据矩形的性质得到关于的一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式得出无解，即此裁剪方案不能实现； 任务2：标记矩形顶点，过点作，设，先得出，都是等腰直角三角形，从而得到，，，再根据矩形两边长之比为，列方程分别求出的值，再计算矩形彩纸的面积； 任务3：按图4裁剪，设正方形的边长为，则，先得出，是等腰直角三角形，进而得出，，再根据求出的值计算正方形面积；按图5裁剪，设正方形的边长为，则，同理可得，是等腰直角三角形，根据求出的值计算正方形面积，再比较大小即可． 【详解】解：任务1：此裁剪方案不能实现，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 矩形的面积为， ， 整理得：， ， 方程无解， 即此裁剪方案不能实现； 任务2：如图，标记矩形顶点，过点作， 设， ∵是等腰直角三角形，四边形是矩形，， ，，，，， ，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵矩形两边长之比为， ∴或， ∴或， 解得：或， 当时，，，此时矩形彩纸的面积为； 当时，，，此时矩形彩纸的面积为； 综上可知，符合乙同学裁剪方案的矩形彩纸的面积为或； 任务3： 画图如下： 按图4裁剪，设正方形的边长为， 则， ∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴正方形面积为； 按图5裁剪，设正方形的边长为， 则， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴正方形面积为； 综上所述，按图4裁剪的正方形面积最大为． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，一元二次方程根的判别式，矩形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意数形结合，注意分类讨论． 1．（24-25九年级·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，列代数式，一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得，再根据路程速度时间求出，，再根据即可． （2）根据题意，当为等腰三角形时，，建立一个关于的方程，解方程即可． （3）用含的代数式表示出四边形的面积，利用四边形的面积为建立一个关于方程，解方程即可．若有解，则存在，若无解则不存在． 【详解】（1）解：，，， ． ，； （2）由题意，得 ， ． 当时，为等腰三角形； （3）假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则 解得． 假设成立， 所以当时，四边形面积的面积等于． 2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）综合与实践 中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案? 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元? 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行，如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 【答案】任务1：每只龙泉青瓷茶杯的进价120元； 任务2：该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：方案可行，每售出一只茶杯就捐款2元，日捐款总额为160元．表格见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系列出方程和不等式是解题的关键． 任务1：先求出当时y的值，设每只龙泉青瓷茶杯的进价元，根据“当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元”列出一元一次方程，解方程即可； 任务2：根据“某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元”，列出一元二次方程，解方程取合适的值即可； 任务3：先求出当时y的值，再根据“日销售利润不低于3030元”列出关于的一元一次不等式，解不等式得的取值范围，取符合题意的值即可得方案． 【详解】解：任务1：当时，， 设每只龙泉青瓷茶杯的进价元， 根据题意得， 解得， 答：每只龙泉青瓷茶杯的进价120元； 任务2：根据题意得，，即， 整理方程得，， 解得或（不合题意舍去）， 答：该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：当时，， 根据题意得， 解得， 又∵且m为整数， ∴时满足条件， 当时，日捐款总额为（元）， 即方案可行，每售出一只茶杯就捐款2元，日捐款总额为160元． 填表如下： 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 2 160 3．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． (1)若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ (2)若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 【答案】(1) (2)，底面正三角形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）设裁去的正方形边长为，由题意得：，再解一元二次方程即可； （2）延长交于点，由题意可设，设，在中，，则，那么，在中，，，则，过点作于点，则，则，而，则，解得，再代入①即可求解． 【详解】（1）解：设裁去的正方形边长为， 由题意得：， 解得：或（不合题意，舍）， 答：裁去的正方形边长； （2）解：延长交于点， ∵等边， ∴， 由矩形可得： ∴设， 由题意得：四边形为矩形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴由勾股定理得：， ∵ ∴ ∵， ∴ 过点作于点，则， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等， ， ∴， 将代入， 则 解得：， ∴等边三角形边长为． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元 (2) 【分析】本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）根据(国外的售价成本)销售的数量国内的6倍，列方程解出即可； （2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答． 【详解】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；②（1）中的正方形，面积较大． 【分析】（1）①由正方形的性质结合题意可求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可求出，最后根据正方形的面积公式列方程即可； ②根据直接开平方法求出x的值，即可求出和的长，最后根据求解即可； （2）①过点A作，设为裁剪线，将绕点A逆时针旋转得出，从而可证四边形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出的长，从而可求出，最后比较即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②解：， ， ∴，（舍）， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：①过点A作，设为裁剪线， ∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴，， ∴将绕点A逆时针旋转得出，如图， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴C、D、N三点共线， ∴， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知， 又∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中的正方形，面积较大． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 6．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）当点落到边上时，则点与点重合，从而有，即可求出得值； （）分当时，当时，当时情况讨论即可求解； （）当时（）时，（）时（）时，（），讨论即可求解； 此题考查了矩形的折叠与动点，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）当点落到边上时， 则点与点重合， ∴， ∴； （2）当时，如图， ， 当时，如图， ， 当时，如图， ， 综上可知：； （3）如图，， （）时，即， 整理得：， 解得：（舍去），， （），即， 无解， 如图，当，延长交于点， （）时，即， 解得：，， 以上解均不符合题意， （），即， 整理得：， 解得：（舍去），， 综上可知：或． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $