寒假作业02 一元二次方程解法和根与系数的关系10大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 一元二次方程解法和根与系数的关系 一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件: ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式； 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了； （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式； 二、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 三、一元二次方程的解法 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程； 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±； 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数； ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程； ③方法是根据平方根的意义开平方； 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法； （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解； 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式； （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法； （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根； 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0； 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法； 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）； （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解； 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一元二次方程的相关概念 1．（25-26九年级上·全国·期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列方程中是关于的一元二次方程的是（  ） A． B．其中、、是常数 C． D． 4．（25-26九年级上·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ）． A． B． C． D． 5．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 6．（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 7．（25-26九年级上·江苏常州·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 8．（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）关于x的方程，m取何值时，方程是一元二次方程？ 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 题型二 一元二次方程的一般式 11．（25-26九年级上·广西南宁·期中）将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·四川泸州·月考）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（   ） A．5 B． C．2 D． 14．（25-26九年级上·河南郑州·月考）关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（25-26九年级上·广东梅州·期中）若方程的二次项系数是1，则一次项系数是 ． 16．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为正数，则常数项是 ． 18．（25-26九年级上·江西上饶·期中）将一元二次方程 化为一般形式，已知该方程的二次项系数为2，则常数项是 ． 19．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 20．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 题型三 一元二次方程的解 21．（25-26九年级上·河北唐山·月考）若是关于x的方程的一个根，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 23．（25-26九年级上·河南漯河·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（） A．2023 B．2022 C．2021 D．2024 24．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 26．（25-26九年级上·福建三明·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025九年级·全国·专题练习）根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 28．（25-26九年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 29．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 30．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知、、是的三条边长，若是关于的一元二次方程的根． (1)是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明； (2)若代数式有意义，且为方程的根，求的周长． 题型四 一元二次方程的四种解法 31．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 32．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 33．（24-25九年级上·辽宁锦州·月考）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 34．（25-26九年级上·全国·阶段练习）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）． (2)（配方法）． (3)（公式法）． (4)（因式分解法）． 35．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 36．（25-26九年级上·江西抚州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 37．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）解方程： (1) (2)． 38．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 39．（25-26九年级上·河北保定·月考）对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ (1)已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． (2)请给出正确的解答过程． 40．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______； (2)请用“平均数法”解方程：． 题型五 配方法的应用 41．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 42．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 43．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 44．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 45．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 46．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）若将一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 47．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M N ．（填 “＞”，“”或“”） 48．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为 ． 49．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 50．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 51．（25-26八年级上·上海·月考）下列关于的方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 52．（25-26九年级上·云南昭通·月考）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 53．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程的根的情况是 ． 54．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 55．（2021·黑龙江·二模）对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 56．（25-26九年级上·吉林·期末）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根为0，则________． 57．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数（）的图像经过第一、二、四象限，求方程有几个根． 58．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为，求的值． 59．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 60．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）对于一元二次方程，若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)判断：________“勾系一元二次方程”；（填“是”或“不是”） (2)当时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； (3)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 61．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 62．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 63．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 64．（25-26九年级上·河南许昌·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 65．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 66．（25-26八年级上·上海嘉定·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 67．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ． 68．（24-25九年级上·广东汕头·月考）已知关于的一元二次方程． (1)当时，请用适当方法解此方程； (2)若方程有两个相等的实数根，则的值为______； 69．（25-26九年级上·广西南宁·期中）【阅读理解】 我们将函数的自变量的值与函数值相等时的函数值，称为函数的和谐值，此时的点称为函数的和谐点．例如，对于函数，当时，可得，我们就说1是函数的和谐值，点是函数的和谐点． 【问题解决】 (1)已知函数，求它的和谐点坐标； (2)若二次函数只有一个和谐点，求实数m的值． 70．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若方程满足，则称它为“优方程”． (1)下列方程是“优方程”的是________； ①；②；③；④． (2)若关于的一元二次方程是“优方程”，求的值． (3)若“优方程”有两个相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号是________． 题型八 换元法解一元二次方程 71．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 72．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）已知，则的值为（   ） A．或2 B．或4 C．4 D．2 73．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 74．（25-26九年级上·福建福州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 75．（2025九年级上·河北·专题练习）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ． 76．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是 ． 77．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知和3是关于的一元二次方程的两根，则关于的方程的根为 ． 78．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 79．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 80．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 题型九 一元二次方程根与系数的关系 81．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 82．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 83．（25-26九年级上·广东广州·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A．3 B． C．3或 D．不存在 84．（25-26八年级上·上海静安·期末）方程的根是与，则 ． 85．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知，是方程的两个实数根，则的值是 ． 86．（25-26八年级上·上海·期中）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为 ． 87．（25-26九年级上·四川内江·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，则，．利用以上关系及所学知识，解决以下问题 ①若一元二次方程的两根分别为m，n，则= ． ②若一元二次方程的两个根为，则最小值为 88．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 89．（25-26九年级上·福建福州·月考）在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 90．（25-26九年级上·四川巴中·月考）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 题型十 一元二次方程的新定义运算 91．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 92．（2025·陕西渭南·一模）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 93．（25-26九年级上·甘肃甘南·月考）对于任意实数、，定义新运算：．例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 94．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为 ． 95．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数 ． 96．（25-26九年级上·江西宜春·月考）新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______． (2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根． 97．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）【阅读理解】 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 98．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 99．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 100．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称；若关于的多项式关于对称，则 ； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求关于的方程：的根． (3)关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值2，且关于的方程：只有一根大于3，求的取值范围． 1．（25-26九年级上·河南新乡·月考）若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京昌平·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 4．（25-26九年级上·全国·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．（25-26九年级上·河北沧州·期中）小明在解关于x的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“”，得到其中一个根是，则方程根的情况，下列判断不正确的是（　　） A．无实数根 B．时，有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若是方程的根，则 ． 7．（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·四川内江·月考）、是方程的两个根，则 ． 9．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么 ． 10．（25-26九年级上·四川内江·期中）已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ； 11．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 12．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______． (2)若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 13．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； 15．（25-26九年级上·四川内江·月考）阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西崇左·月考）规定：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： 方程是倍根方程； 若关于x的方程是倍根方程，则； 若点在函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是 ． 4．（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 4 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 一元二次方程解法和根与系数的关系 一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件: ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式； 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了； （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式； 二、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 三、一元二次方程的解法 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程； 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±； 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数； ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程； ③方法是根据平方根的意义开平方； 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法； （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解； 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式； （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法； （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根； 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0； 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法； 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）； （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解； 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一元二次方程的相关概念 1．（25-26九年级上·全国·期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据其定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程”即可求解． 【详解】解：A、化简得，，不是一元二次方程，不符合题意； B、，当时，该方程不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C ． 2．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．根据一元二次方程必须满足两个条件：（）含有一个未知数，未知数的最高次数是；（）二次项系数不为．据此逐项判定即可． 【详解】解：①是整式方程，且只有一个未知数，最高次项为次，是一元二次方程； ②含有分式项，不是整式方程，不是一元二次方程； ③可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程； ④可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程． ∴一元二次方程有①、③、④，共个． 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列方程中是关于的一元二次方程的是（  ） A． B．其中、、是常数 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐项判断即可． 【详解】解：A．，是整式方程，只含一个未知数x，且最高次数为2，故是一元二次方程； B．，a、b、c为常数，但a可能为0，当时不是二次方程，故不一定是一元二次方程； C．，含有项，不是整式方程，故不是一元二次方程； D．，化简为，是一元一次方程，故不是一元二次方程， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零列式解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 故选：B． 5．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，则二次项系数， 解得， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏常州·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零． 【详解】解：方程 是一元二次方程的条件是二次项系数 ， 解得 ． 故答案为 ． 8．（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，构造一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式 ，由题意二次项系数 ，常数项 ，且一个根为．把代入方程，可求出一次项系数 ，从而得到方程． 【详解】解：由题意，设所求一元二次方程为； 将代入方程得：， 解得：． 则方程为：； 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）关于x的方程，m取何值时，方程是一元二次方程？ 【答案】时，方程是一元二次方程 【分析】根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，可得答案；本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， ∴时，方程是一元二次方程． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1)， (2)当时，此方程为一元二次方程； 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，掌握一元一次方程和一元二次方程的定义和一般形式是解题的关键． （1）根据题意可得进而得到的值，再将的值代入求得此一元一次方程的根； （2）根据题意可得，进而得到满足条件的的值，从而可以写出此一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】（1）解：是一元一次方程， 解得， ，解得， 故答案为：，． （2）解：是一元二次方程， ，解得， 故答案为：当时，此方程是一元二次方程； 它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 题型二 一元二次方程的一般式 11．（25-26九年级上·广西南宁·期中）将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程一般式；将方程化为一般式的形式，需将所有项移到等号左边． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 故选：B． 12．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 13．（25-26九年级上·四川泸州·月考）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 将方程整理成一般形式后作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴一般形式为，其中． 故选：B． 14．（25-26九年级上·河南郑州·月考）关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，比较系数即可，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故一次项系数为，常数项为， 故选：D． 15．（25-26九年级上·广东梅州·期中）若方程的二次项系数是1，则一次项系数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，项与系数，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数即可． 【详解】解：原方程为 化为， 合并同类项得 ． 故一次项系数为：2． 16．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项，再求它们的和． 【详解】解：方程 移项得 ， 则 ，，， ∴ ， 故答案为：0． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为正数，则常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程一般形式． 将方程化为一般形式，并确保二次项系数，再确定常数项． 【详解】解：原方程为， 移项得， 再乘以得， 其中二次项系数为， 常数项为． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江西上饶·期中）将一元二次方程 化为一般形式，已知该方程的二次项系数为2，则常数项是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，常数项即为方程中的常数项． 【详解】解：将方程移项，得， 所以常数项为． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可． 【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 9 4 1 2 20．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 题型三 一元二次方程的解 21．（25-26九年级上·河北唐山·月考）若是关于x的方程的一个根，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根及代数式求值：将根代入方程得到关系式，进而求出的值，再计算表达式． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 22．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 23．（25-26九年级上·河南漯河·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（） A．2023 B．2022 C．2021 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义可得的值，然后整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即． ∴． 故选A． 24．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 25．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念．根据一元二次方程根的定义可知，。将的表达式代入，将式子重新组合为含有和的形式，即可求得其值为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ． 故选：A． 26．（25-26九年级上·福建三明·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【详解】解：当时，， 当时，， 方程的一个正根的取值范围为：， 故选：B． 27．（2025九年级·全国·专题练习）根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，故其正数解的整数部分是，十分位是即可求解． 【详解】解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间（不包括与）， 方程的正数解满足解的整数部分是，十分位是 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于1.1与1.2之间是解题的关键． 28．（25-26九年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．把方程的解代入原方程，可得，所求代数式可化简为，再将代入其中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， 原式 ． 29．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2)或 【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简． （1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可； （2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，在中， ，，， ∴， ∴是“归零方程”， 在中， ，，， ∴， ∴不是“归零方程”，． 故答案为：是，不是． （2）解：∵是“归零方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴， 解得或． 30．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知、、是的三条边长，若是关于的一元二次方程的根． (1)是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明； (2)若代数式有意义，且为方程的根，求的周长． 【答案】(1)是等腰三角形，不是等边三角形，证明见解析 (2)的周长为 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入一元二次方程计算得出，从而可得是等腰三角形，再由一元二次方程的定义得出，从而可得不是等边三角形； （2）根据二次根式有意义的条件得出，解一元二次方程得出或，再分两种情况并结合三角形三边关系计算即可得解． 【详解】（1）解：是等腰三角形，不是等边三角形，证明如下： ∵是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴不是等边三角形； （2）解：∵代数式有意义， ∴，， ∴， ∴， ∵为方程的根， ∴， 解得或， ∴或， 当时，，满足三角形三边关系，此时的周长为， 当时，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，的周长为． 题型四 一元二次方程的四种解法 31．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可； （2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得，直接开方求解即可； （3）将所有项移到方程左边，然后提公因式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解： ，； （3）解： 或 ，． 32．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程． （1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式的值，继而求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， 或 解得． 33．（24-25九年级上·辽宁锦州·月考）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 34．（25-26九年级上·全国·阶段练习）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）． (2)（配方法）． (3)（公式法）． (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟记各类解法是解题的关键. （1）开平方法需要转化成的形式，再根据平方根的定义求解，若则方程无解； （2）配方法的关键是要把二次项系数化为以后，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解; （3）公式法的核心是利用二次公式：，适用于所有有实数根的一元二次方程求解； （4）因式分解法需要把左边化成因式的积，右边为的形式再求解. 【详解】（1）解： 移项，得， ∴ ， 解得． （2） 移项，得， 配方，得，即， ， ∴． （3） ， ， ∴． （4） 把方程左边因式分解，得， 或， ∴． 35．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解：方程整理得， ∴，，， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴ ∴，； （4）解： 或 ∴，． 36．（25-26九年级上·江西抚州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法，即可解答； （2）利用因式分解法，即可解答， 【详解】（1） 解：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴，即，， 解得：，． 37．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用不同方法解方程是解题的关键． （1）利用公式法即可解答； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ∴，； （2）解： 移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 38．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （4）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， （3）解： ， （4） ，. 39．（25-26九年级上·河北保定·月考）对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ (1)已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【分析】本题一元二次方程的解法，等式的基本性质，理解“等式两边不能同时除以一个可能为 0 的代数式”是解题关键． （1）步骤②直接除以，未考虑可能为的情况，会丢失方程的根； （2）先对原方程右边因式分解，移项后提公因式，将方程化为乘积为的形式，再令各因式为，可求得方程的两个根． 【详解】（1）解： 根据题意，可知步骤②两边同时除以， 未考虑可能为的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②． （2）解：已知， 因式分解并移项： ， ； 提公因式： ； 化简求解： ， ， 则或， 解得，． 40．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______； (2)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1)5，3 (2) ，． 【分析】本题考查解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法，理解“平均数法”解一元二次方程的方法是解答的关键． （1）根据“平均数法”的定义求解即可得出a、b的值； （2）根据“平均数法”的定义求解即可． 【详解】（1）解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，， 故， 故答案为：5，3． （2）解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 题型五 配方法的应用 41．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 42．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选C． 43．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 44．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 45．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【详解】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 46．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）若将一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查配方法的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，确定参数m和n的值，再代入计算即可． 【详解】解：原方程， 配方得， 即， 与形式对比， 得，， ∴． 故答案为：5． 47．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 48．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键． 仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 49．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【详解】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 50．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据完全平方公式解答即可； （）仿照（一）解答即可； （）仿照（二）解答即可； 本题考查了完全平方公式，配方法及因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ 即代数式的最小值是． 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 51．（25-26八年级上·上海·月考）下列关于的方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式、解分式方程，利用一元二次方程的判别式判断根的情况是解题的关键．通过计算每个方程的判别式或解方程，判断方程是否有实数根，即可得出答案． 【详解】A、， ， ∴方程没有实数根，故此选项不符合题意； B、 去分母，得， 即， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原方程无解，故此选项不符合题意； C、 去分母，得， 整理得， ， ∴方程没有实数根，故此选项不符合题意； D、 ， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项符合题意； 故选：D． 52．（25-26九年级上·云南昭通·月考）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根是解题的关键．通过计算判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵ 一元二次方程的判别式， ∴，且， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 53．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实根 【分析】本题主要考查了根的判别式，正确利用根的判别式公式是解题的关键． 首先利用判别式计算，判断此值与0的大小关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∵， ∴，即恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 54．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 55．（2021·黑龙江·二模）对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 【答案】①②④ 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，根据得到是原方程的一个根，进而得到，判断①；根据根的判别式判断②；把代入方程，判断③；公式法求方程的根，判断④． 【详解】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 56．（25-26九年级上·吉林·期末）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根为0，则________． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查的是一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系及根的判别式． （1）根据一元二次方程的根的判别式列出关于m的代数式，再由完全平方式的非负性证明即可． （2）根据方程根的定义，把代入方程，求出m值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程， ∴， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入，得 ， 解得． 故答案为：2． 57．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数（）的图像经过第一、二、四象限，求方程有几个根． 【答案】两个不相等的实数根 【分析】本题考查一次函数的图像，一元二次方程根的判别式，掌握一次函数的图像和通过一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 根据一次函数的图像经过的象限得到k，b的符号，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：一次函数的图像经过第一、二、四象限， ， ∴， ∴ ∵方程中，， 方程有两个不相等的实数根． 58．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据根的判别式即可求证； （）先把代入得，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根为， ∴， ∴， ∴． 59．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的判别式和根的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据根的判别式判断即可； （2）先利用因式分解解方程，再进行求解即可； 【详解】（1）证明：由题可得：，，， ， 方程总有两个实数根； （2）方程可因式分解为， 或， 或， 恒成立， 当方程有两个相等的实数根时，满足条件，即，； 当方程有两个不相等的实数根时，方程只有一个根小于时，需另一个解， ． 的取值范围为或． 60．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）对于一元二次方程，若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)判断：________“勾系一元二次方程”；（填“是”或“不是”） (2)当时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； (3)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】(1)是 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程． （1）根据“勾系一元二次方程”的定义判断即可； （2）先根据求出，再根据“勾系一元二次方程”的定义写出该“勾系一元二次方程”，最后利用公式法解方程即可； （3）根据一元二次方程根的判别式证明即可． 【详解】（1）解：在中，，即， ∵， ∴是“勾系一元二次方程”； 故答案为：是； （2）解：当时，则，解得． ， ， ∴相应的“勾系一元二次方程”为． ， ， ； （3）证明：∵方程是“勾系一元二次方程”， 又 故关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 61．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的概念，根据方程是一元二次方程且有实数根，则且，然后求出的取值范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵方程是一元二次方程且有实数根， ∴且， ∵， ∴，即， 解得， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 62．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：当时，方程化为，解得； 当时，则，解得且， 综上所述，的取值范围为． 故选：C． 63．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于零．注意二次项系数不为零和判别式大于零的条件，解不等式时注意符号变化． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴，即． 判别式． ∵有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴． 综上，且． 故选：D． 64．（25-26九年级上·河南许昌·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判别式的意义；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零且判别式大于零，列不等式求解． 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 即 解得：且． 故选：C． 65．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 当时，则，解得且； 当时，则， ∵， ∴， 又∵， ∴恒成立， ∴此时； 综上所述，， 故答案为：． 66．（25-26八年级上·上海嘉定·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握一元二次方程的二次项系数不能为零是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件“二次项系数不为零且判别式大于零”，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即； ．解得：． 综上，的取值范围为且． 故答案为：且． 67．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件，判别式需大于等于零，且二次项系数不为零；根据直线经过第一、二、三象限的条件，可知．综合这些条件求出整数的值，并计算它们的和． 【详解】解：方程 为一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 且； 直线经过第一、二、三象限， ， 解得：， 且， 又为整数， 为 ，，， 它们的和为 ． 故答案为： 68．（24-25九年级上·广东汕头·月考）已知关于的一元二次方程． (1)当时，请用适当方法解此方程； (2)若方程有两个相等的实数根，则的值为______； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求参数，解题的关键是掌握配方法和根的判别式． （1）利用配方法进行求解即可； （2）根据根的判别式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得： ， ， ， ， ，； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得，， 故答案为：3． 69．（25-26九年级上·广西南宁·期中）【阅读理解】 我们将函数的自变量的值与函数值相等时的函数值，称为函数的和谐值，此时的点称为函数的和谐点．例如，对于函数，当时，可得，我们就说1是函数的和谐值，点是函数的和谐点． 【问题解决】 (1)已知函数，求它的和谐点坐标； (2)若二次函数只有一个和谐点，求实数m的值． 【答案】(1)它的和谐点坐标为， (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，自变量和函数值； （1）令， 整理得，因式分解法解方程即可； （2）令，得到，根据题意判别式，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时， 整理得：， ∴， ∴， 答：它的和谐点坐标为，； （2）解：对于二次函数，令， 则可得方程， 移项化为一元二次方程的一般形式：， ∵二次函数只有一个和谐点，所以一元二次方程有且只有一个解， 即判别式， 解得， 答：实数m的值为1． 70．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若方程满足，则称它为“优方程”． (1)下列方程是“优方程”的是________； ①；②；③；④． (2)若关于的一元二次方程是“优方程”，求的值． (3)若“优方程”有两个相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】(1)①③④ (2) (3)②④ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、“优方程”的定义以及一元二次方程根的判别式． （1）明确“优方程”需满足 (，，为方程标准形式系数)，分别计算四个方程的值，等于的即为“优方程”； （2）确定方程二次项系数、一次项系数、常数项，根据“优方程”定义列方程，解出的值后，排除使二次项系数为的情况； （3）由“优方程”得，根据方程有两个相等的实数根，可知根的判别式，代入化简得，逐一验证结论是否符合即可求解． 【详解】（1）解：对于①，标准形式为，计算，符合“优方程”定义； 对于②，计算，不符合“优方程”定义； 对于③，计算，符合“优方程”定义； 对于④，计算，符合“优方程”定义； 故答案为：①③④； （2）由题知，方程为“优方程”，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 根据“优方程”定义：， ， ， 或， 又因一元二次方程二次项系数不为，即， 故， ； （3）“优方程”满足，故， 因方程有两个相等的实数根，故判别式， 将代入， 得， ， ， ， 分析结论： ①，错误； ②，正确； ③，错误； ④，正确； 故答案为：②④． 题型八 换元法解一元二次方程 71．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 72．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）已知，则的值为（   ） A．或2 B．或4 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设，将原方程转化为二次方程求解，再根据平方和的非负性确定的值． 【详解】解：∵， 设，则原方程化为： ， 解得：或， 又∵， ∴舍去， ∴． 故选：D． 73．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． 74．（25-26九年级上·福建福州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先求得，代入即可得出答案． 【详解】∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ 故选 B. 75．（2025九年级上·河北·专题练习）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 76．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 19 【分析】本题考查了换元法、完全平方公式，熟练掌握换元法是解题的关键． 通过变量代换，将原方程转化为关于新变量的平方和，利用完全平方公式展开并简化，即可求解． 【详解】解：设，则，． 代入原方程：， 展开完全平方：， 合并同类项：， 移项：， ， 即． 故答案为：． 77．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知和3是关于的一元二次方程的两根，则关于的方程的根为 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法，设，将方程转化为，利用已知根和是原方程的根，得到的值，进而求解． 【详解】解：设，则方化为， ∵和3是关于的一元二次方程的两根， ∴和是方程的根， ∴或． 当时，，解得； 当时，，解得； 故方程的根为，． 故答案为：0或4． 78．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）先换元，再求出的值，最后求出答案即可； （2）先换元，再求出的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：设， 则原方程可化为：， 即， 解得，， ∵时，，，无解． ∴． 79．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 80．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 题型九 一元二次方程根与系数的关系 81．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义． 利用根与系数的关系求出的值，并根据方程解的定义得到的值，然后整体代入求解． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，且， 即． ∴． 故选：A． 82．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 83．（25-26九年级上·广东广州·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A．3 B． C．3或 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程有两个不相等的实数根，根据判别式大于零求出k的取值范围；再根据根与系数的关系，将条件转化为关于k的方程，解出k的值，并验证是否满足取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 又∵，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴符合，不符合 故， 故选：A． 84．（25-26八年级上·上海静安·期末）方程的根是与，则 ． 【答案】28 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再根据完全平方公式求解． 【详解】解：∵方程的根是与， ∴，． ∴． 故答案为：28． 85．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知，是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用根与系数的关系求出两根之和，并将原表达式化简为含两根之和的形式． 【详解】解：因为m是方程的根， 所以， 即． 代入原式得：． 又，是方程的两个实数根， 所以， 所以原式． 故答案为：2026． 86．（25-26八年级上·上海·期中）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理，活用代数式的变形是解题的关键．由根与系数的关系可得，，利用方程根的性质，将和用和表示，代入代数式化简，最后利用的值求解． 【详解】解：与是方程的两个不同的根， ，， ， ． 由根与系数的关系可得，， ， 原式． 故答案为：． 87．（25-26九年级上·四川内江·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，则，．利用以上关系及所学知识，解决以下问题 ①若一元二次方程的两根分别为m，n，则= ． ②若一元二次方程的两个根为，则最小值为 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、韦达定理以及根的判别式，熟记公式并整体代入是解题关键．①利用根与系数的关系求出两根和与积，再代入所求式化简计算；②利用根与系数的关系将表达式转化为，再利用配方法变形为，由即可解答． 【详解】解：①对于方程，由根与系数的关系，得，， 则， 故答案为：； ②对于方程，由根与系数的关系，得，， 则， ∵， ∴， 则的最小值为． 故答案为：． 88．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一根为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为n，由根与系数的关系可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为n， 则， ∴， ∴，方程的另一根为． 89．（25-26九年级上·福建福州·月考）在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 【答案】(1)23或2 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行解答即可． 【详解】（1）、满足， ①当时，原式； ②当时，、可看作是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 或2． （2）将方程两边同乘以2得：， 实数，满足：，且， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又，是方程的两个不相等的实数根， 方程根的判别式，解得， ， ． 90．（25-26九年级上·四川巴中·月考）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两个不相等的实数根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意可得：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ； （3）解：把变形为，又， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 题型十 一元二次方程的新定义运算 91．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 【答案】B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 92．（2025·陕西渭南·一模）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故方程根为． 故选：C． 93．（25-26九年级上·甘肃甘南·月考）对于任意实数、，定义新运算：．例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式． 根据新运算的定义，将方程化为标准二次方程，利用判别式大于零求解． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， ∴． 故选：A． 94．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 95．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：4，（舍去）， ∴， 综上，， 故答案为：4． 96．（25-26九年级上·江西宜春·月考）新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______． (2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根． 【答案】(1) (2)，． 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及解一元二次方程． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入求得的值，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入得，， 解得； 当时，， 因式分解得， 解得，． 97．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）【阅读理解】 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】(1)②③ (2)的值是3或 (3)或． 【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义“同伴方程”．熟练掌握以上知识点是关键． （1）分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：①解方程， 可得：； ②解方程， 可得：，； ③解方程， 可得：，； 其中方程②和方程③有且只有一个相同的实数根， 方程②③是“同伴方程”； 故答案为：②③； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入可得， 解得：； 此时方程为， 可得，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入可得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是3或； （3）解：由条件可知方程的解是，， 方程可整理为 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 98．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】(1)①② (2)7或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． （3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 99．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 100．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称；若关于的多项式关于对称，则 ； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求关于的方程：的根． (3)关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值2，且关于的方程：只有一根大于3，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的不同的解法以及配方法的应用，能够对多项式进行配方是解题的关键． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对进行配方，根据新定义分别求出a，c的值，再把a，c的值代入，对方程进行求解即可； （3）对进行配方，根据新定义分别求出m，n的值，再把m，n的值代入中，并用因式分解法求解，再根据只有一根大于3，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称； ∵关于的多项式关于对称， ∴； 故答案为：，． （2）解：∵关于的多项式关于对称，， ∴， 解得． ∵当时，多项式的值为5， ∴， ∴． ∴方程为， ∵， ∴，， 即关于的方程：的根为， ． （3）解：∵关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值2， ∴， 解得，， ∴方程为， ， ，， ∵只有一根大于3，， ∴， 解得． 1．（25-26九年级上·河南新乡·月考）若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京昌平·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握好判别式的计算公式是解题关键． 一元二次方程有两个实数根需满足判别式非负且二次项系数不为零． 【详解】解：方程的判别式， ∵有两个实数根， ∴且， 即， 化简得，， ∴， 当时， 两边同除以得，，即， ∵， ∴， 当时， 两边同除以得，，即， ∵， ∴ 综上所述，或． 故选：A． 4．（25-26九年级上·全国·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先利用新规定得到，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据规定得，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 5．（25-26九年级上·河北沧州·期中）小明在解关于x的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“”，得到其中一个根是，则方程根的情况，下列判断不正确的是（　　） A．无实数根 B．时，有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根， 通过错误方程求出，再计算原方程的判别式，故总有实数根，从而判断选项． 【详解】解：∵小明抄错一次项符号，得方程，且为其根， ∴代入得，即， ∴． 对于原方程，即， 判别式 ∴原方程总有实数根，故A错误； 当时，，有两个相等实数根，故B正确； ，总有实数根，故C正确； 将代入，，故恒为根，D正确． 故选：A． 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若是方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程得到，然后通过代数变形求解的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得， 将方程变形：，即， 因此，． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将方程化为配方形式，利用平方数的非负性直接求解． 本题考查了实数的非负性的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：原方程可化为． 由于， 因此方程有实数根当且仅当，即， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·四川内江·月考）、是方程的两个根，则 ． 【答案】175 【分析】本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程，又由韦达定理知，据此来求代数式的值，并作出选择即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，，， 即，． ∴． 故答案为：175． 9．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． 根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程应能表示为的形式，通过比较系数，可求解和，进而计算． 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 10．（25-26九年级上·四川内江·期中）已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键；利用根与系数的关系得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵两实数根，， ∴，， 由 ， 代入得 ， 即 ， 化简得 ， 即， 解得 ，， 又判别式 ， 即 ， 故 不符合，舍去， 符合， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法解方程是解题关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，． 12．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______． (2)若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 【答案】(1) (2)的值为，另一个实数根为 【分析】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据方程总有两个实数根，可得，代入数值化简即可． （2）根据根与系数的关系，得，，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程总有两个实数根， ∴， 即， 解得：． 则m的取值范围是：， 故答案为：． （2）解：设另一个实数根为， 由根与系数的关系，得， 即， 整理得：， 解得：， 代入中，即， ∴， ∴的值为，另一个实数根为． 13．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； 【答案】(1)2 (2)0 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、“倍根方程”的定义，熟练掌握根与系数的关系，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）设方程的两个根为，，根据一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； （2）求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， 由一元二次方程根和系数的关系得，，， 即，， 则方程的两个根为和， 因此， 故答案为：； （2）解：解方程，得，， 由于方程是“倍根方程”， 若，即， 解得，即， 若，即， 解得，即， 当时，； 当时，； 综上所述，代数式的值为． 15．（25-26九年级上·四川内江·月考）阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2)2或 (3)7 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）由，，将、看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根， ， ， ， 则， ， ， ， ， 的最大值为7． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、不等式的求解．利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入不等式求解，并考虑判别式确保方程有实根． 【详解】方程的根为，， 由根与系数关系，，， 代入不等式， 得， 化简得， ， ， 又方程有实根， 判别式， ． 综上，，故选． 2．（25-26九年级上·广西崇左·月考）规定：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： 方程是倍根方程； 若关于x的方程是倍根方程，则； 若点在函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题依据“倍根方程”主要考查根与系数的关系，结合题意按照要求验证每个结论是否符合“倍根方程”的定义，即一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，逐项判断即可． 【详解】解：结论①∶∵ 方程， 因式分解得， ∴根为和，且， 则是倍根方程，正确 结论②∶ ∵方程是倍根方程， 设根为和，则，解得，， ∴， ，解得， 若，则； 若，则， ∴，但结论仅说，∴错误 结论③∶∵ 点在上， ∴， 则方程变为， ∵， ∴ 假设该方程是倍根方程，设根为和，则，解得， ∵，得，无实数解， ∴不是倍根方程，错误 综上，仅结论①正确． 故选：C． 3．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程中根与系数的关系，利用根与系数的关系得到和，进而将用和表示为，然后通过计算和的表达式，分情况讨论和的符号关系，判断大小顺序． 【详解】解：对于方程（），有两个不相等的实数根，（），由根与系数的关系，得， 对于方程，解得：， 代入根与系数的关系，， ∴， ， 分情况讨论： 当时，，则，，所以，结论①正确； 当时，，则，，所以，结论③正确； 当时， 若，则，，， 所以，结论①正确； 若，则，，， 所以，结论③正确； 综上，所有可能正确的结论是①和③． 故答案为：①③． 4．（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是“立格方程” (2)k的值不存在 (3)m的取值范围为或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“立格方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“立格方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入整理可得，根据一元二次方程的判别式可得知该一元二次方程无解，即k的值不存在； （3）解该一元二次方程，得出，，或，，再根据此方程为“立格方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围，最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； （2） 即 ，， ， ， 即， 由于， 则无解， 故k的值不存在； （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 此方程有两个不相等的实数根， ，即， 且， 分类讨论：①当，时， ， ， ， ， 当，时， ， ， ， ， 综上所述，m的取值范围为或． 2 / 79 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $