精品解析：四川省射洪中学校2025-2026学年高一上学期1月期末模拟测评数学试题

射洪中学高2025级高一上期期末模拟测评 数学试题 (考试时间：120分钟 满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 函数f(x)在（0，+∞）上单调递增， ∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0， ∴f(3)·f(e)＜0， ∴在区间（e，3）内函数f(x)存在零点. 故选C. 3. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数的定义与性质求解即可. 【详解】由于函数是幂函数，且在上单调递减， 则，且，解得或（舍）， 故选：B. 4. ，则，，的大小关系为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，且，所以， 所以， 故选:B. 5. 下列命题是真命题的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质，及不等式同向可加性和同向同正可乘性，以及作差法比较大小，即可求解. 【详解】当时，若，则，这是真命题，但是当时，显然，故A错误； 由可得，，利用同向不等式可加性得：，故B错误； 由， 因为，所以，即，故C正确； 若，则，这里，不妨取， 则，与相矛盾，故D错误； 故选：C. 6. 若函数在定义域上是单调递增函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数在定义域上是单调递增函数，则有：，解得. 故选D. 点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是指数函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于一.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边不大于右边，这样才能满足在身上单调递增. 7. 已知函数的图象恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质可得点，则可得，再根据基本不等式“”的代换可得最值. 【详解】由已知函数恒过定点， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 8. 已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数有个零点转化为方程有5个实根，令，解得 ，，即或，结合函数图象即可求出答案. 【详解】画出函数的大致图象，如下图所示： 因为函数恰好有个不同的零点， 所以方程有个根， 设，则方程化为， 解得，， 即或， 由图可知方程有两个根， 则方程有三个根，所以由图可知， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（     ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“”是假命题 C. 若正实数满足，则的最小值是 D. 函数的定义域为，则的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由命题的否定、命题真假判断AB；利用基本不等式和指数运算判断C；根据抽象函数定义域的求法判断D. 【详解】分析选项：命题“”是全称命题， 其否定应为特称命题，即“”，而不是“”，所以选项错误. 分析选项：对于命题“”， 可将进行配方：. 因为，所以恒成立， 即不存在，使得，该命题是假命题，选项正确. 分析选项：已知正实数满足， 根据基本不等式(，当且仅当时等号成立). 对于，有. 把代入可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项正确. 分析选项：因为函数的定义域为，即，那么. 对于函数，则. 由对数函数的单调性，， 所以，即的定义域为，选项正确. 故选：. 10. 下列命题正确的有（     ） A. 若是第一象限角，则一定是锐角 B. “”是“”的充分不必要条件． C. 若，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据象限角及锐角的概念即可判断出选项A；根据三角函数的求值及充分条件、必要条件、充要条件的概念即可判断出选项B；根据诱导公式即可判断出选项C；根据扇形弧长公式和面积公式即可判断出选项D. 【详解】选项A：第一象限角的范围为，.如是第一象限角，但不是锐角，A错误； 选项B：充分性：若，则，充分性成立； 必要性：若，则或，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 选项C：因为，所以，C正确； 选项D：设扇形的半径为，则，所以， 所以该扇形的面积为，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（ ） A. B. C. 与的图象关于对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数和关于对称，根据与垂直与反函数的性质结合对称性可得. 【详解】由和得，， 即，，两式相加得， 因为和关于对称，所以，所以， ，则选项正确； ，而点不在 上，所以与的图象不关于对称，则不正确， 在同一平面直角坐标系中作出，其中，， 可知， 所以，则选项正确； 故选：. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 角为的内角，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由两边平方得， ， . 故答案为： 13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为____________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用奇函数的定义和性质，结合已知区间的解析式，代入化简即可推出未知区间的解析式. 【详解】设，则， 所以， 根据奇函数性质得：， 所以当时，的解析式为：. 故答案为： 14. 已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为________________． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据已知结合单调性的定义可得出在上的单调性.根据奇函数的性质，即可得出在R上的单调性.将不等式化为，分以及，化简不等式，结合的单调性，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】令， 可得，， 由可得，， 即成立，所以在上为减函数. 又为R上的偶函数，所以， 所以，，为R上的奇函数. 又在上为减函数，，所以在R上为减函数. 由可得，. ①当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得或，所以； ②当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得， 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解对数不等式求得集合，进而求得. （2）根据得到，对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意知：，解得：，即， 当时，，所以 ； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，； 当时，且解得：， 综上所述：． 16. 求值： （1）； （2）； （3）已知，，求的值. 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则化简求值即可. （2）根据对数的运算法则及换底公式化简求值即可. （3）根据指数与对数的互化及换底公式化简求值即可. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 【小问3详解】 由，得， 由，得， 所以. 17. 如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. （1）求； （2）求； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义可求出答案； （2）由题意知，利用三角函数的定义和诱导公式即可求出答案. （3）利用诱导公式化简即可求出答案. 【小问1详解】 因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得. 【小问2详解】 因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 由题意知， 所以，， 所以. 【小问3详解】 ， ， ， ， 所以. 18. 已知函数． （1）求的单调区间及最大值． （2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定的定义域，将其整理为，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值； （2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为，采用分离变量法可得，结合对勾函数单调性可求得，由此可得结果. 【小问1详解】 由得：，的定义域为； ， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为； 由单调性可知：. 【小问2详解】 在上恒成立，， 即，在上恒成立， ； 令，则在上单调递增，在上单调递减， ，，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数单调性和最值的求解、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够将对数函数值之间的大小关系转化为一元二次不等式在区间内恒成立问题的求解，进而可采用分离变量的方法或讨论二次函数图象的方式来进行求解. 19. 若，已知函数为奇函数. （1）求实数的值. （2）用定义证明的单调性. （3）若函数在区间上的值域是，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）知， 不妨设，所以， 因为，且在上单调递增，所以，即， 又所以， 即，所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由，恒成立，得到定义域为，由，求得，再验证即可； （2由，利用单调性的定义证明； （3）由上知在上单调递增，得到，从而是关于的方程在上的两个不等根求解. 【小问1详解】 ，则恒成立，所以定义域为， 则，所以， 此时， 符合题意，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由上知在上单调递增， 所以， 整理得， 则是关于的方程在的的两个不等根， 令，则函数在上有两个不同零点， 易知， 当时，，所以方程有一个正根和一个负根，不合题意，舍去； 当，对称轴， 所以，解不等式组得， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2025级高一上期期末模拟测评 数学试题 (考试时间：120分钟 满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合（   ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. ，则，，的大小关系为（   ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若函数在定义域上是单调递增函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知函数的图象恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（     ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“”是假命题 C. 若正实数满足，则的最小值是 D. 函数的定义域为，则的定义域为 10. 下列命题正确的有（     ） A. 若是第一象限角，则一定是锐角 B. “”是“”的充分不必要条件． C. 若，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（ ） A. B. C. 与的图象关于对称 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 角为的内角，且，则______ 13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为____________ 14. 已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 求值： （1）； （2）； （3）已知，，求的值. 17. 如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. （1）求； （2）求； （3）求的值. 18. 已知函数． （1）求的单调区间及最大值． （2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 若，已知函数为奇函数. （1）求实数的值. （2）用定义证明的单调性. （3）若函数在区间上的值域是，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $