精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

高三数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组数据2，3，4，5，6，9，10，x的第75百分位数为8，则x的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若和在上均单调递减，则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（ ） A B. C. D. 6. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（ ） A. C与D是对立事件 B. A与D是互斥事件 C. B与D是相互独立事件 D. A与C是相互独立事件 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. 当取最大值时， C. D. 10. 某校开展劳动教育课程，为有效推动课程实施，开展劳动知识比赛.比赛中每位选手需回答A，B，C(分别为日常生活类，生产劳动类，服务性劳动类)3道试题，回答结果相互独立.已知甲答对A，B，C 3道试题的概率分别为，则（ ） A. 甲至少答对1题的概率为 B. 甲恰好答对1题的概率为 C. 当第二个问题是B时，甲恰好连续2题答对的概率为 D. 当第二个问题是C时，甲恰好连续2题答对的概率最小 11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时， B. 当时，∥平面 C. 当时，点的轨迹长度为 D. 当直线和所成的角的大小为30°时，点在离心率为的双曲线上 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为____. 13. 6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有____种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有____种.(请用数字作答) 14. 桌面游戏简称“桌游”，是一种面对面的游戏，非常注重交流，因此是家庭休闲、朋友聚会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式.已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足球”游戏，并约定第一轮甲、乙对打，丙、丁对打，两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打.若每轮比赛无平局，且各人之间比赛胜利的概率均为，则第7轮甲、丁对打的概率为____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知盒中有质地相同的2个红球和3个黑球，游戏规则如下：有放回地随机取2次，每次取1个球，2次取到的球都是红球，则中一等奖，2次取到的球中只有1个红球，则中二等奖，其余情况不中奖. （1）甲有放回地随机取2次球，每次取1个，求甲中二等奖的概率； （2）假设一、二等奖的奖金分别为12元，6元，每次游戏（取2个球）收费（）元，从游戏举办方可获利的角度考虑，求的最小值. 16. 已知函数在点处切线方程为. （1）求的值; （2）当时，，求的最大值. 17. 某区举行模拟考试，共有5000名学生参加，考试分两次，对第一次考试成绩不满意的学生可参加第二次考试.为了解考生情况，随机抽取了100名学生第一次考试中某科目的成绩(满分:100分)，并绘制样本频率分布直方图，如图所示. （1）若学生第一次考试中某科目的成绩X近似服从正态分布，其中μ为样本平均数的估计值，请估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的人数.(同一组数据用该区间的中点值作代表) （2）设第一次考试中某科目成绩在区间内对应的等级分别为优秀、良好、合格与不合格，若该科目第一次考试等级为良好，合格与不合格的学生都参加了第二次考试，假设第二次考试后，原等级为良好、合格与不合格的学生分别有的概率提升一个等级，不晋级则保留原等级，每位学生的考试成绩相互独立.将频率视为概率，从全体学生中任取一人，求在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率. 附:若随机变量，则 18. 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下: 宣传天数x 1 2 3 4 5 不了解的人数 120 100 90 80 70 （1）若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的经验回归方程. （2）从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下2×2列联表: 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联? （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表， 再从这7份调查表中任意抽取3份，记X为抽到调查表来自女性调查表的份数，求X的分布列及期望. 附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 19. 已知椭圆:的离心率为，且过抛物线的焦点. （1）求椭圆的方程. （2）是椭圆上两点(异于点). （i）若，求的最大值. （ii）作，垂足为点.若直线与的斜率之和为2，是否存在圆心在x轴上的定圆，使得点在该定圆上?若存在，请写出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组数据2，3，4，5，6，9，10，x的第75百分位数为8，则x的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算. 【详解】因为数据个数为，且，所以第75百分位数为从小到大排列后第个数的平均数， 又第75百分位数为8，则只能是，得. 故选：B 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算可求得的虚部. 【详解】. 所以的虚部为. 故选：C. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，确定的值，代入计算，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 令，可得，所以展开式中的系数为. 故答案为：. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若和在上均单调递减，则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象变换可得，结合余弦函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可知：，， 令，解得， 因为和在上均单调递减，则， 所以m的最大值为. 故选：B. 5. 袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意知：取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3， 所求概率. 故选：A. 6. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的意义计算即可求得的值. 【详解】， 由题意知，所以，所以，即=2， 解得. 故选：C. 7. 已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分布结合数学期望及方差定义计算，再应用充分必要定义判断即可. 【详解】当时，得，则，，充分性成立； 反之，，即，解得或，必要性不成立. 故选:A. 8. 一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（ ） A. C与D是对立事件 B. A与D是互斥事件 C. B与D是相互独立事件 D. A与C是相互独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件和独立事件的定义、公式进行逐项判断即可. 【详解】由题意知，， 事件有，共4个，， 事件有，共3个，. 易知与是互斥事件，但不是对立事件，与可同时发生，不是互斥事件， ，与不是相互独立事件， ，与是相互独立事件. 故选：D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. 当取最大值时， C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式、期望、方差公式和性质逐项判断. 【详解】， 对于A：，A正确； 对于B：，由二项式系数的性质， 当时，是中的最大值，此时取得最大值，B项正确； 因为，所以， ，则，C不正确，D正确. 故选：ABD 10. 某校开展劳动教育课程，为有效推动课程实施，开展劳动知识比赛.比赛中每位选手需回答A，B，C(分别为日常生活类，生产劳动类，服务性劳动类)3道试题，回答结果相互独立.已知甲答对A，B，C 3道试题的概率分别为，则（ ） A. 甲至少答对1题的概率为 B. 甲恰好答对1题的概率为 C. 当第二个问题是B时，甲恰好连续2题答对的概率为 D. 当第二个问题是C时，甲恰好连续2题答对的概率最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：先求甲3题都答错的概率，再求甲至少答对1题的概率；对于B：根据独立事件概率公式运算求解；对于CD：分类讨论第二个问题，求甲恰好连续2题答对的概率，进而分析判断. 【详解】对于选项A：因为甲3题都答错的概率为， 所以甲至少答对1题的概率为，故A正确； 对于选项B：甲只答对1题的概率为，故B正确； 对于选项CD：当第二个问题A时， 甲恰好连续2题答对的概率为； 当第二个问题为B时，甲恰好连续2题答对的概率为； 当第二个问题为C时，甲恰好连续2题答对的概率为； 可得，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时， B. 当时，∥平面 C. 当时，点的轨迹长度为 D. 当直线和所成的角的大小为30°时，点在离心率为的双曲线上 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系、线面平行的判定定理、动点轨迹问题判断各个选项. 【详解】由题意知点在底面内(含边界). 对于A项，易知为的中点，又为的中点，则∥， 易知与相交但不垂直，故与不垂直，A项错误; 对于B项，易知为的中点，取的中点，连接，易知∥∥， 则易得平面∥平面，⊂平面，则∥平面，B项正确; 对于C项，，易知，则点在以为圆心的圆上， 易知点的轨迹长度为，C项正确; 对于D项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 化简得，对应的双曲线的离心率，D项错误. 故选：BC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，结合交集关系确定参数范围. 【详解】由区间的定义知， 当时，则，，满足题意； 当时，则，，满足题意； 当时，则，为离散集合，显然不合题意. 综上，. 故答案为： 13. 6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场不同情况有____种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有____种.(请用数字作答) 【答案】 ①. 120 ②. 210 【解析】 【分析】（1）用定序问题即可求解. （2）利用分组分配即可求解. 【详解】甲、乙、丙按顺序进场不同情况有=120种， A项目恰有2人游玩的组合有(+)=210种. 故答案：；. 14. 桌面游戏简称“桌游”，是一种面对面的游戏，非常注重交流，因此是家庭休闲、朋友聚会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式.已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足球”游戏，并约定第一轮甲、乙对打，丙、丁对打，两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打.若每轮比赛无平局，且各人之间比赛胜利的概率均为，则第7轮甲、丁对打的概率为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件、互斥事件的概率分析得到递推数列公式，进而求出数列的通项公式，即可求出第7轮甲、丁对打的概率. 【详解】设在第轮甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， 由题意知，， 甲与乙对打：甲、乙比赛后，胜者进入胜者组，败者进入败者组；同时丁的对手为丙，丙、丁比赛后也分出胜负. 要让下一轮甲、丁对打，需甲、丁同属胜者组或同属败者组，概率为. 甲与丙对打：同理，下一轮甲、丁对打的概率为. 甲与丁对打：此轮比赛后，甲、丁分别进入胜者组/败者组，下一轮不可能对打. 由于每轮对战的对手组合只有三种（甲乙、甲丙、甲丁），故. 因此第轮甲、丁对打的概率：，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 因此. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知盒中有质地相同的2个红球和3个黑球，游戏规则如下：有放回地随机取2次，每次取1个球，2次取到的球都是红球，则中一等奖，2次取到的球中只有1个红球，则中二等奖，其余情况不中奖. （1）甲有放回地随机取2次球，每次取1个，求甲中二等奖的概率； （2）假设一、二等奖奖金分别为12元，6元，每次游戏（取2个球）收费（）元，从游戏举办方可获利的角度考虑，求的最小值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式得到取出红球或黑球的概率，再根据独立事件与互斥事件的概率计算公式即可求解. （2）根据离散型随机变量的数学期望求出每次游戏可获得的期望奖金，结合获利条件即可确定收费的最小值. 【小问1详解】 甲中二等奖即取出的2个球恰好一红一黑. 每次取到红球的概率为，每次取到黑球的概率为. 因此中二等奖的概率为（二等奖）=. 【小问2详解】 设每次游戏可获得的奖金金额为，则的所有可能取值为0，6，12， ，，， 则， 从获利角度考虑，需满足收费大于期望奖金，即， 又为正整数，所以的最小值为5. 16. 已知函数在点处的切线方程为. （1）求的值; （2）当时，，求的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据点在切线上得出及导数是切线斜率列式求解参数； （2）先应用参数分离，再构造函数，应用导函数得出函数单调性进而得出最大值. 【小问1详解】 由题意知，即，得， ，，解得. 【小问2详解】 由题意知， 设， ， 设，， 函数在上单调递增，， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 即，故的最大值为. 17. 某区举行模拟考试，共有5000名学生参加，考试分两次，对第一次考试成绩不满意的学生可参加第二次考试.为了解考生情况，随机抽取了100名学生第一次考试中某科目的成绩(满分:100分)，并绘制样本频率分布直方图，如图所示. （1）若学生第一次考试中某科目的成绩X近似服从正态分布，其中μ为样本平均数的估计值，请估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的人数.(同一组数据用该区间的中点值作代表) （2）设第一次考试中某科目成绩在区间内对应的等级分别为优秀、良好、合格与不合格，若该科目第一次考试等级为良好，合格与不合格的学生都参加了第二次考试，假设第二次考试后，原等级为良好、合格与不合格的学生分别有的概率提升一个等级，不晋级则保留原等级，每位学生的考试成绩相互独立.将频率视为概率，从全体学生中任取一人，求在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率. 附:若随机变量，则. 【答案】（1）114人； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的均值计算公式得出平均数，再利用正态分布的对称性求出概率，进而得出人数； （2）根据频率分布直方图得出评级为合格、不合格的概率，再利用条件概率的计算公式即可. 【小问1详解】 样本平均数的估计值为 ，即， 又，则，则， 又，所以估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的学生有114人. 【小问2详解】 由频率分布直方图知第一次考试评级是良好的频率为(0.024+0.012)×10=0.36， 评级为合格的频率为，评级为不合格的频率为， 记事件A为“第二次考试后该学生晋级”，事件B为“该学生第一次考试评级为合格”， ，，所以， 故在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率为 18. 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下: 宣传天数x 1 2 3 4 5 不了解的人数 120 100 90 80 70 （1）若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的经验回归方程. （2）从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下2×2列联表: 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联? （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表， 再从这7份调查表中任意抽取3份，记X为抽到的调查表来自女性调查表的份数，求X的分布列及期望. 附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） （2）（i）无关；（ii）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用表中数据和最小二乘法公式计算求解即可； （2）（i）根据表中数据计算由独立性检验的方法判断即可求解；（ii）由题意可得可能的取值为，结合超几何分布分别求得相应的概率，列出分布列，再求期望. 【小问1详解】 由表中数据得，， ， ，， 所以，， 所求回归直线方程为. 【小问2详解】 （i）零假设为:是否了解中国民间传统文化与性别相互独立， 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立， 所以可以认为成立， 因此，不能认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联. （ii）由题意易知抽取的7份调查表中，有4份调查表来自男性调查表，有3份调查表来自女性调查表， 则的所有可能取值为0，1，2，3， ,，,， 的分布列为 0 1 2 3 所以. 19. 已知椭圆:的离心率为，且过抛物线的焦点. （1）求椭圆的方程. （2）是椭圆上两点(异于点). （i）若，求的最大值. （ii）作，垂足为点.若直线与的斜率之和为2，是否存在圆心在x轴上的定圆，使得点在该定圆上?若存在，请写出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）由离心率和抛物线的焦点坐标可求出，进而得到椭圆的方程. （2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理，根据向量数量积为0列出等式并化简，可求得，然后求出的范围，根据和基本不等式的性质求出结果即可；（ii）先求出直线的方程为，直线的方程为y=-，然后联立两个直线的方程求出的定值. 【小问1详解】 由题意知，则，由，， 解得，故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设. （i）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得，， 根据韦达定理得，. ，显然，， 即， 即， 化简得，则（舍去）， 此时，， 则. 设，， 当且仅当，即时取等号. 因为，所以， 当且仅当时取等号.故的最大值为. （ii）假设存在以为圆心的定圆N满足题意. 当的斜率存在时，显然， ， 得，此时，存在解集，即存在直线使得直线与的斜率之和为2， 则直线的方程为，直线的方程为. 由得，即， . 当时，为定值. 当直线的斜率不存在时，，解得， 此时，满足题意. 故存在定圆N:，使得点M在定圆N上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $