精品解析：北京市十一学校2025-2026学年九年级上学期1月数学学习诊断试题

北京市十一学校2026届初三年级1月数学学习诊断 试卷满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．直接根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将抛物线的一般式化成顶点式是解题的关键． 利用配方法将抛物线解析式化成顶点式，即可求得其顶点坐标． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．利用圆周角定理证得，，根据直角三角形的两锐角互余，进行计算求解即可． 【详解】解：在中，为直径， ， ，为圆上的点，， ， ． 故选：B． 5. 如图，、分别与相切于、两点，点在上，连接、．若，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，勾股定理，等边对等角，解题的关键连接圆心与切点构造辅助线．连接、、，根据切线的性质可得，根据等边对等角结合已知易求得和的度数，根据四边形的内角和可求得，从而利用勾股定理求解半径长即可． 【详解】解：如图，连接、、， 、分别与相切于、两点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设的半径为，则有， 在中，， 解得， 即的半径为． 故选：A． 6. 如图，小明在综合实践活动课上用纸板制作了一个底面半径为，高为的圆锥形漏斗模型，则这个圆锥形漏斗的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，掌握圆锥的侧面积是解题的关键． 先利用勾股定理求出长，再将相关值代入公式中求解即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ， 这个圆锥形漏斗的侧面积是． 故选：D． 7. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 8. 如图，为的弦，为圆上的两个动点．记弦所对的圆心角度数为．弦所对的圆心角度数为．若，正确的是（ ） ①；②若，则；③若为弧的中点，则；④． A. ①② B. ②④ C. ①②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，证明，得到，，进而得到判断①；根据，推出为等边三角形，进而得到，解直角三角形得到，判断②；假设，求出，得到只有当，，判断③；勾股定理结合等量代换判断④即可． 【详解】解：延长交于点，连接，则：，， ∴， ∵弦所对的圆心角度数为．弦所对的圆心角度数为， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴；故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，；故②正确； ∵若为弧的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴只有当时，③成立；故③不正确， 在中，， ∵， ∴；故④正确； 综上所述，一定正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造直角三角形和全等三角形是解题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 如图，图形是由一个绕某点连续旋转若干次得到，每次旋转相同角度，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．由题意依据每次旋转相同角度，旋转了次，旋转一周后（包含原始位置）共，进行分析即可得出答案． 【详解】解：每次旋转相同角度， 该图案可由绕点旋转次，旋转一周后（包含原始位置）共， ． 故答案为：． 10. 函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围______． 【答案】 且 【解析】 【分析】函数与轴有两个不同的交点，等价于对应二次方程有两个不等实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，解不等式组即可；本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象与轴的交点横坐标就是对应的一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：由条件得， 解得 且 ． 故答案为： 且 ． 11. 如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案． 【详解】解：∵正方形的边长是，且 ∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm ∴矩形的面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键． 12. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑球”的概率． 【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率． 13. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理列式计算，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，，     根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 故答案为： 14. 如图，二次函数的图象经过点．如下四个推断：①抛物线开口向下；②当时，取最大值；③当时，关于的一元二次方程总有两个不相等的实根；④若直线经过点，当时，的取值范围是．其中推断正确的是____________（填写序号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质，逐项进行判断即可． 【详解】由图象可知点，，，代入得到， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∵， ∴当时，y取最大值，故②错误； ∵的顶点坐标是， 当时，直线与抛物线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根；故③正确； ∵直线经过点A，C， ∴当时，x的取值范围是或，故④错误； 综上可知，正确的是①③． 故答案为：①③ 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，利用图象法判断方程的根和求不等式的解集等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 15. 已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得离对称轴越远，函数值越大，根据题意可得点A一定在点B的左侧，那么点A和点B不能同时在对称轴右侧，据此可得，当时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足；当时，则的最小值一定要大于的最大值，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点A一定在点B的左侧， 又∵， ∴点A和点B不能同时在对称轴右侧（在对称轴右侧y随x增大而增大，此时必定不满足题意）， ∴， ∴； 当，即时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足； 当时，， ∵要恒成立， ∴的最小值一定要大于的最大值， ∴， 解得， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 16. 实验室需要购买三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元．现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买型号的盒子的个数分别为6，1，其余购买B型号盒子．则购买总费用为_____元； （2）一次性购买所需盒子总费用最少为______元． 【答案】 ①. 59 ②. 56 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值． （1）设购买B型号盒子个，列方程求出，进而根据单价计算即可． （2）设购买A、B、C盒子个数分别为、、，分情况求出总费用的代数式，根据题意得到，则时，总费用为，时，总费用为，可知最小时总费用最小，分别求出最小值，进而比较即可． 【详解】解：（1）设购买B型号盒子个， ∴， 即， 解得． 总费用为（元）． 故答案为：； （2）设购买A、B、C盒子个数分别为、、， 若，总费用为； 若，总费用为； ∵现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个， ∴即， 则时，总费用为 ； 则最小时总费用最小， 当，时，，不合题意； 当，时，，总费用为元， 当，时，，不合题意； 若时，总费用为 ， 则最小时总费用最小， 当，时，，总费用为元， 综上所述，最小费用为56元． 故答案为：56． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先用根的判别式判断方程根的情况，再运用公式法求解即可．本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： ， 则， ∴． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 12 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义得到，把原式变形后利用整体代入的方法计算即可． 本题主要考查了代数式求值，一元二次方程的根的定义和整体思想，熟练掌握一元二次方程的根的定义和整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ． 19. 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O． 求作：⊙O的内接正方形． 作法：① 作⊙O的直径AB； ② 分别以点A，B为圆心，大于AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N； ③ 作直线MN交⊙O于点C，D； ④ 连接AC，BC，AD，BD． ∴ 四边形ACBD就是所求作的正方形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵ MN是AB的 ， ∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°． ∴ AC = BC = BD = AD．（ ）（填推理依据） ∴ 四边形ACBD是菱形． 又∵AB是⊙O的直径， ∴ ∠ACB = 90°．（ ）（填推理依据） ∴ 四边形ACBD是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对的圆周角是90° 【解析】 【分析】（1）根据题目要求进行作图即可得到答案； （2）根据题意可知MN⊥AB则∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°，由圆心角与弦之间的关系可得AC=BC=BD=AD即可证明四边形ACBD是菱形，再由直径所对的圆心角是90度即可证明四边形ACBD是正方形． 【小问1详解】 解：如下图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵ MN是AB的垂直平分线， ∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°． ∴ AC = BC = BD = AD．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）， ∴ 四边形ACBD是菱形． 又∵AB是⊙O的直径， ∴ ∠ACB = 90°．（直径所对的圆周角是90°）， ∴ 四边形ACBD是正方形． 故答案为：垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对的圆周角是90°． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段垂直平分线，直径所对的圆周角是90°，菱形的判定，正方形的判定，圆心角与弦直径的关系等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 21. 如图，正方形中，点在边上，在边的延长线上，，．若按顺时针方向旋转后恰好与重合． （1）则旋转中心是点______；线段扫过的面积为______； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的定义可直接确定旋转中心，旋转角，再根据旋转前后两图形全等，可得，最后根据扇形面积计算公式计算即可； （2）由旋转的性质可得，即可得解． 【小问1详解】 解：按顺时针方向旋转后恰好与重合， 旋转中心是点；旋转角为，， ， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得：， 如图所示，线段扫过的面积为扇形的面积， ； 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CFBD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由题意易得AB⊥CD，，则有，由平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点， ∴AB⊥CD， ∴， ∴， ∵CF∥BD， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理、平行线的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、平行线的性质及圆周角定理是解题的关键． 23. 在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到 （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 【答案】（1）0.5 （2）2（个） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数； （3）先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：由题可得，当很大时，摸到白球的频率接近； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）摸到白球的概率为， 所以可估计口袋中白种颜色的球的个数（个）； 【小问3详解】 解：列表得： 第二次 第一次 白1 白2 黑1 黑2 白1 （白1，白1） （白1，白2） （白1，黑1） （白1，黑2） 白2 （白2，白1） （白2，白2） （白2，黑1） （白2，黑2） 黑1 （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，黑1） （黑1，黑2） 黑2 （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，黑1） （黑2，黑2） 由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能． （颜色相同）． 24. 如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于，连接，，过点作交延长线于，作于，交于点，交于． （1）求证：为切线； （2）若，，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是灵活应用相关性质定理． （1）连接，根据角平分线的性质和等边对等角，通过角的等量代换证得，从而得到，进而可得，即可得证； （2）通过证，得到，求得的长，由勾股定理求得的长，证明，求得、的长，证明，求得、、的长，进而可得的长，证明，即可得到的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：为直径，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，即， ． 25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：），水温（单位：）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1 从开始加热至水量与时间对照表 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4.5 8 11.5 15 18.5 22 表 水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温和加热时间呈线性关系． （1）表中的值为______； （2）根据表中的数据，补充完成以下内容： 在图中补全水温与时间的函数图象； 当时，______； （3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明往水壶中注入温度为的水，当水加热至后立即关闭电源．等水降温后再喝，从他注水开始计算，小明至少需要______分钟才能喝到不高于的水． 【答案】（1） （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，用描点法画函数图象，用表格表示变量间的关系，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，从而计算出每增加分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）描点并连线即可； 当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每分钟水温上升的温度， 据此列方程求出，再计算出剩下的时间，根据表，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （3）分别计算的水从加热到需要时间；以及计算水温从降到需要的时间，即可得解． 【小问1详解】 解：由表可知，在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， 在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， ， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：补全水温与时间的函数图象如图所示： 当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每分钟水温升高， 由此得， 解得， （分）， 根据表的数据可知，经过分后降到了， 当时，． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由表可知，的水从加热到需要：分， 由表可知，水温从降到需要：（分）， （分）， 小明至少需要分钟才能喝到不高于的水． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； （2）过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为，点 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，图形的轴对称变换，分类讨论思想，正确推导抛物线轴左侧部分翻折后的解析式是解题关键． （1）利用二次函数对称轴公式求对称轴，代入求点的坐标即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，结合折叠的性质得出翻折后的抛物线的解析式，从而得出图形，表示出，再结合二次函数的性质计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线为， ∴对称轴为， 当时，， 故点的坐标为． 答：对称轴为，点． 【小问2详解】 解：已知抛物线为，配方得， ∴原抛物线顶点为， ∵过点作轴的垂线，与轴交点的坐标为， ∴直线的方程为， ∵将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折， ∴翻折后的抛物线的顶点坐标为，即， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 故图形的分段函数为： ， 点和点是图形上的点， ∵， ∴在轴右侧，故， 在轴左侧，， 故， 此时， 由可知其是开口向下的函数，对称轴为， 当时，随的增大而增大； 27. 如图，在中，，，，分别为上两动点，．过点作交于，以为斜边，在的下方作等腰，连接． （1）如图，当点与点重合时，点、、重合，连接，若，求的长； （2）如图，点与点不重合，且时，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理易得的长，由等腰直角三角形的性质可得的长，，进而再次根据勾股定理求解即可； （2）过点作交延长线于点，过点作交于点，连接，先证，再证，可得，，所以为等腰直角三角形，最后证，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ，为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 在中， ， 即； 解得（负值已舍去）， 在中，； 【小问2详解】 解：． 证明：如图，过点作交延长线于点，过点作交于点，连接， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ，，， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 28. 给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合.在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在点，，中，与点关于线段双对合的点是______； （2）点是轴上一动点，的直径为1． ①若点与点关于双对合，求的取值范围； ②当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）D，F； （2）①；②或． 【解析】 【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案； （2）①由双对合定义可知随着直径的端点G，H在上运动，点在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A），由此求出取值范围；②找出临界图形，计算可以求出取值范围． 【小问1详解】 由双对合定义可知：， ，， 轴， ，， ， O关于线段的双对合点是D，F； 故答案为D，F； 【小问2详解】 ①设是上任意一条直径，则． 设点是与点A关于双对合的点，将点A和点分别关于点G，H对称后重合的点记为，所以点G，H分别是和 的中点． 由三角形中位线的知识，可知． 随着点G，H在上运动，点在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A），将它记为S．因为点A与点关于双对合， 所以当S与y轴相交时，可求得t 的值为和． 所以t 的取值范围是． ②当上的一点在上时，如图，则上离最近的点到的距离为：时存在，解得； 当上的一点在BC上时，则上的点离最近的点到的距离不大于1， 即K到的距离不大于， ，即与x轴的夹角为45°， 交点， 这时， 即； 当上的一点在上时，则上的点离最近的点到的距离大于1，不存在； 综上所述：或 【点睛】本题考查新定义，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校2026届初三年级1月数学学习诊断 试卷满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 4. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，、分别与相切于、两点，点在上，连接、．若，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明在综合实践活动课上用纸板制作了一个底面半径为，高为的圆锥形漏斗模型，则这个圆锥形漏斗的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 8. 如图，为的弦，为圆上的两个动点．记弦所对的圆心角度数为．弦所对的圆心角度数为．若，正确的是（ ） ①；②若，则；③若为弧的中点，则；④． A. ①② B. ②④ C. ①②③④ D. ①②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 如图，图形是由一个绕某点连续旋转若干次得到，每次旋转相同角度，则的最小值为______． 10. 函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围______． 11. 如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______． 12. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为_______． 13. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是_____． 14. 如图，二次函数的图象经过点．如下四个推断：①抛物线开口向下；②当时，取最大值；③当时，关于的一元二次方程总有两个不相等的实根；④若直线经过点，当时，的取值范围是．其中推断正确的是____________（填写序号）． 15. 已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 16. 实验室需要购买三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元．现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买型号的盒子的个数分别为6，1，其余购买B型号盒子．则购买总费用为_____元； （2）一次性购买所需盒子总费用最少为______元． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O． 求作：⊙O的内接正方形． 作法：① 作⊙O的直径AB； ② 分别以点A，B为圆心，大于AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N； ③ 作直线MN交⊙O于点C，D； ④ 连接AC，BC，AD，BD． ∴ 四边形ACBD就是所求作的正方形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵ MN是AB的 ， ∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°． ∴ AC = BC = BD = AD．（ ）（填推理依据） ∴ 四边形ACBD是菱形． 又∵AB是⊙O的直径， ∴ ∠ACB = 90°．（ ）（填推理依据） ∴ 四边形ACBD是正方形． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 21. 如图，正方形中，点在边上，在边的延长线上，，．若按顺时针方向旋转后恰好与重合． （1）则旋转中心是点______；线段扫过的面积为______； （2）求四边形的面积． 22. 如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CFBD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF． 23. 在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到 （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 24. 如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于，连接，，过点作交延长线于，作于，交于点，交于． （1）求证：为切线； （2）若，，求． 25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：），水温（单位：）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1 从开始加热至水量与时间对照表 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4.5 8 11.5 15 18.5 22 表 水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温和加热时间呈线性关系． （1）表中的值为______； （2）根据表中的数据，补充完成以下内容： 在图中补全水温与时间的函数图象； 当时，______； （3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明往水壶中注入温度为的水，当水加热至后立即关闭电源．等水降温后再喝，从他注水开始计算，小明至少需要______分钟才能喝到不高于的水． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； （2）过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，，分别为上两动点，．过点作交于，以为斜边，在的下方作等腰，连接． （1）如图，当点与点重合时，点、、重合，连接，若，求的长； （2）如图，点与点不重合，且时，用等式表示，，的数量关系，并证明． 28. 给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合.在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在点，，中，与点关于线段双对合的点是______； （2）点是轴上一动点，的直径为1． ①若点与点关于双对合，求的取值范围； ②当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $