重难点08 对数函数的图象和性质12考点（期末真题汇编，广东专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题08 对数函数的图象和性质 12大高频考点概览 考点01对数型函数的定义域问题 考点02对数型函数的值域问题 考点03对数函数的图象辨析问题 考点04根据对数型函数的图象求参 考点05对数型函数的恒过定点问题 考点06对数型函数的图象应用 考点07判断对数型函数的单调性 考点08根据对数型函数的单调性求参 考点09比较大小 考点10解不等式 考点11对数型函数的最值问题 考点12反函数 地 城 考点01 对数型函数的定义域问题 1．（21-22高一上·广东茂名·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·广东梅州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东·期末）函数的定义域为 ． 4．（24-25高一上·广东梅州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为 . 地 城 考点02 对数型函数的值域问题 6．（22-23高一上·广东湛江·期末）若定义运算，则函数的值域是 . 7．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 8．（21-22高一上·广东茂名·期末）已知． (1)设，求t的最大值与最小值； (2)求的值域． 9．【多选】（23-24高一上·广东梅州·期末）下列关于函数的说法中，正确的有（    ） A．函数的图像是轴对称图形 B．函数的图像是中心对称图形 C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间是 10．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 ． 11．（22-23高一上·广东广州·期末）已知的值域为，则实数 . 地 城 考点03 对数函数的图象辨析问题 12．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 13．（22-23高一上·广东广州·期末）在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能为（   ） A． B． C． D． 14．（21-22高一上·广东珠海·期末）在同一平面直角坐标系中，函数，的图象只可能是（　　） A．   B．   C．     D．   地 城 考点04 根据对数型函数的图象求参 15．【多选】（22-23高一上·广东广州·期末）函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．3 16．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数的图象经过一、三、四象限，则a的取值范围是 ． 地 城 考点05 对数型函数的恒过定点问题 17．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 18．（22-23高一上·广东广州·期末）已知函数且的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值为 ． 地 城 考点06 对数型函数的图象应用 19．【多选】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，若，则下列结论可能成立的为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数解，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D．    21．（23-24高一上·广东深圳·期末）设函数，对任意给定的，都存在唯一的，使得成立，则a的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 22．（22-23高二上·广东河源·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则或 D．若方程有两个不同的实数根，则 地 城 考点07 判断对数型函数的单调性 23．（22-23高一上·广东广州·期末）下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·广东广州·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·广东茂名·期末）下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·广东广州·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·广东阳江·期末）已知幂函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则（   ） A．e B． C． D．2e 地 城 考点08 根据对数型函数的单调性求参 29．（23-24高一下·广东·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 30．【多选】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知函数且的定义域为，当时，有，则实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 32．（23-24高一上·广东深圳·期末）若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 地 城 考点09 比较大小 33．【多选】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 34．【多选】（24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·广东深圳·期末）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高二下·广东云浮·期末）已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 37．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·广东潮州·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·广东清远·期末）已知，设，则（   ） A． B． C． D． 地 城 考点10 解不等式 41．（23-24高一上·广东茂名·期末）（1）已知函数，，求函数的值域； （2）解关于x的不等式：（且）. 42．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数且 (1)求函数的定义域且判断奇偶性； (2)求不等式的解集． 43．（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)解不等式. 44．（24-25高一上·广东清远·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，，则满足的的取值范围为 ． 45．（22-23高一下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点11 对数型函数的最值问题 46．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为M. (1)求M； (2)当时，求函数的最大值. 47．（23-24高一上·广东清远·期末）已知幂函数在上是增函数. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最小值. 48．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，且． (1)若，求方程的解； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 49．（23-24高一上·广东广州·期末）函数（，，），若，则的值为（   ） A．4 B．4或 C．2或 D．2 50．（22-23高一下·广东深圳·期末）已知函数（且）在上的最大值为. (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 51．（22-23高一上·广东惠州·期末）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)当时，恒成立．求实数的取值范围． 地 城 考点12 反函数 52．（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数（且）的图象经过点，则函数的反函数 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 对数函数的图象和性质 12大高频考点概览 考点01对数型函数的定义域问题 考点02对数型函数的值域问题 考点03对数函数的图象辨析问题 考点04根据对数型函数的图象求参 考点05对数型函数的恒过定点问题 考点06对数型函数的图象应用 考点07判断对数型函数的单调性 考点08根据对数型函数的单调性求参 考点09比较大小 考点10解不等式 考点11对数型函数的最值问题 考点12反函数 地 城 考点01 对数型函数的定义域问题 1．（21-22高一上·广东茂名·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接求即可. 【详解】要使函数有意义，则 ，即， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．（21-22高一上·广东梅州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可得答案． 【详解】解：因为， 所以由，可得， 所以函数的定义域为， 故选：D. 3．（25-26高一上·广东·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用对数的性质列不等式求函数的定义域. 【详解】依题意，则， 故所求定义域为. 故答案为： 4．（24-25高一上·广东梅州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分式的分母不为0求的取值范围即可. 【详解】由题意：，所以所求函数的定义域为：. 故选：B 5．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为 . 【答案】或 【分析】根据真数大于零，求解一元二次不等式，即可求得结果. 【详解】要使得函数有意义，则，即， 解得或.故的定义域：或. 故答案为：或. 地 城 考点02 对数型函数的值域问题 6．（22-23高一上·广东湛江·期末）若定义运算，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据给定的定义，求出函数的解析式，再分段求出值域作答. 【详解】依题意，由，得，即，解得， 由解得，因此， 显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是， 所以函数的值域为. 故答案为： 7．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得到方程，求出方程的根； （2）换元后得到的单调性，结合复合函数的单调性得到单调递增，求出值域. 【详解】（1），故，， 所以，解得； （2）令，当时，， 故，由于在上单调递增， 故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 8．（21-22高一上·广东茂名·期末）已知． (1)设，求t的最大值与最小值； (2)求的值域． 【答案】(1)，； (2)[3，4]. 【分析】(1)利用对数函数的单调性即得； (2)换元后结合二次函数的性质可得函数在上单调递增，即求. 【详解】（1）因为函数在区间[2，4]上是单调递增的， 所以当时，， 当时，． （2）令，则， 由（1）得，因为函数在上是单调增函数， 所以当，即时，；当，即时，， 故的值域为. 9．【多选】（23-24高一上·广东梅州·期末）下列关于函数的说法中，正确的有（    ） A．函数的图像是轴对称图形 B．函数的图像是中心对称图形 C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间是 【答案】ACD 【分析】对于AB：先猜想函数的图像是轴对称图形，然后证明即可； 对于C：根据的范围可判断；对于D：利用复合函数的单调性规则来判断. 【详解】对于AB：函数的定义域为， ，即，猜测函数的图像是轴对称图形， 证明：， ， 所有， 即函数的图像关于对称，故A正确，B错误； 对于C：当时，，则的值域为，C正确； 对于D：在上单调递增，在上单调递增，所以函数的单调递增区间是，D正确. 故选：ACD. 10．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，转化为的值域取遍一切正实数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，令， 令，可得， 要使得函数的值域为， 则的值域能取遍一切正实数， 当时，则满足，解得； 当时，可得，符合题意； 当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 11．（22-23高一上·广东广州·期末）已知的值域为，则实数 . 【答案】1 【分析】根据值域为可得，且， ，因此为的实数解，从而可求. 【详解】因为的值域为，故恒成立且等号可取. 若，则， 若，则， 故为的实数解， 故，整理得到：， 故即，解得. 当时，， 当时，， 对于任意给定的正数，当， 有，故， 而当时，， 综上，时，的值域为. 故答案为：1. 地 城 考点03 对数函数的图象辨析问题 12．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 13．（22-23高一上·广东广州·期末）在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数过定点，以及函数的单调性，排除选项. 【详解】指数函数与轴没有交点，过点，故排除AC， 两个函数的底数互为倒数，一个在，另一个就在， 所以两个函数的单调性相反，故排除B. 故选：D 14．（21-22高一上·广东珠海·期末）在同一平面直角坐标系中，函数，的图象只可能是（　　） A．   B．   C．     D．   【答案】C 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】因为，所以在定义域上递增，且， 所以在定义域上递减， 故选：C 地 城 考点04 根据对数型函数的图象求参 15．【多选】（22-23高一上·广东广州·期末）函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．3 【答案】AC 【分析】由对数函数、幂函数的性质判断即可. 【详解】由图像结合对数函数的性质可知，则D错误； 由图像可知函数为奇函数，则B错误，AC正确； 故选：AC 16．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数的图象经过一、三、四象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，则，求出答案. 【详解】函数在定义域内单调递增，图象经过一、三、四象限， 所以函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，则， 故，解得. 故答案为： 地 城 考点05 对数型函数的恒过定点问题 17．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 18．（22-23高一上·广东广州·期末）已知函数且的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据函数恒过定点求出，使用基本不等式中“1”的代换求的最小值. 【详解】∵函数且的图象恒过定点A， ∴当时，，∴，又点A在一次函数的图象上， ∴，又， ∴，（当且仅当时取“”）， 故答案为：2. 地 城 考点06 对数型函数的图象应用 19．【多选】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，若，则下列结论可能成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】在同一直角坐标系画出与的图象，根据分类讨论，判断选项. 【详解】根据题意在同一直角坐标系中画出与的图象，如图所示， 当时，此时,即，故，故A正确； 当时，此时，即，故，故B正确； 当时，此时，即，故，故D正确. 故选：ABD 20．（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数解，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系 ,把方程看作两个函数：和，在同一个坐标系中画出图象分析即可． 【详解】根据题意，画出函数和的图象如下图：    当  时，，，， 由图象可知当时，方程有三个解． 故选：C 21．（23-24高一上·广东深圳·期末）设函数，对任意给定的，都存在唯一的，使得成立，则a的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】令，结合二次函数性质求上的值域，画出的大致图象，根据已知及图象有是的子集，求a的范围即可. 【详解】令，开口向上且对称轴为， 则在上递增，故对应值域为， 由解析式可得函数大致图象如下， 令，则或时有一个解；时有两个解，结合图象， 当，则，此时有两个解； 当，则或，此时有两个解； 当，则，此时有一个解； 任意给定的，存在唯一的使成立， 所以，且是的子集，所以，即. 故选：C 【点睛】关键点点睛：将问题化为在上的值域为的子集为关键. 22．（22-23高二上·广东河源·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则或 D．若方程有两个不同的实数根，则 【答案】D 【分析】根据给定的分段函数逐项分析计算即可判断作答. 【详解】对于：当时，，解得； 当时，，解得，则或，故选项不正确； 对于：， ，故选项错误； 对于：当时，，即，解得； 当时，，解得，则或，故选项不正确； 对于：函数在上单调递增，值域为R，则时，， 函数在上单调递减，值域为，则时，， 因此，方程有两个不同的实数根，则，故选项正确. 故选：. 地 城 考点07 判断对数型函数的单调性 23．（22-23高一上·广东广州·期末）下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD作答. 【详解】对于A，函数，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，A不是； 对于B，函数在R上单调递增，B是； 对于C，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，C不是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：B 24．（24-25高一上·广东广州·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解ABC，根据指数型复合函数的单调性即可求解D. 【详解】对于A, 在单调递增，故A错误， 对于B，在上单调递减，B正确， 对于C，在单调递增，故C错误， 对于D，在单调递增，在单调递减，故D错误， 故选：B 25．（23-24高一上·广东茂名·期末）下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂指对函数的增减性的判定即可得出答案． 【详解】，因为，所以在上为增函数，故A错误； 在上为减函数，所以在上为增函数，故B错误； ，所以在上为减函数，故C正确； ，所以在上为增函数，故D错误； 故选：C． 26．（23-24高一上·广东广州·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得或， 又由函数在单调递减，在单调递增， 因为在定义域上为单调递增函数， 结合复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为. 故选：D. 27．（24-25高一上·广东阳江·期末）已知幂函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义与性质求解值，再由复合函数的单调性得答案． 【详解】由函数是幂函数，且在上单调递增， 得，解得： 函数， 由，解得或， 而函数在上单调递增，且函数是定义域内的增函数， 则函数的单调递增区间为 故选：B. 28．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则（   ） A．e B． C． D．2e 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再求出函数值. 【详解】令，则，且，显然函数在上单调递增， 当时，，于是，令，函数在上单调递增， 又，因此，，所以. 故选：C 地 城 考点08 根据对数型函数的单调性求参 29．（23-24高一下·广东·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案 【详解】令，， 当在上单调递增时， 因为是上的增函数， 则需使是上的增函数且，则且， 解得，必有，故必要性成立； 当时，取，可知在上有小于零的情况， 此时无意义，即充分性不成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C． 30．【多选】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知函数且的定义域为，当时，有，则实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据对数函数的定义域求出的范围，利用复合函数的单调性再求出的另一个范围，结合选项即可求解. 【详解】由题意知，，则， 又且，故解得且； 令，其图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递减， 又时，，即在上单调递减， 所以函数为增函数，则， 所以实数的取值范围为. 故选：AB 31．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数及对数函数的单调性列出不等式求解. 【详解】由分段函数在上单调递增可得， 当时，即， 当时，单调递减，不合题意； 当时，单调递增，时，单调递增， 且，符合函数单调递增； 当时， 则，即，解得； 综上，. 故答案为： 32．（23-24高一上·广东深圳·期末）若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数在上是增函数，则每一段都是增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解. 【详解】函数的定义域为， 对任意，都有成立， 则函数是上的单调递增函数， 解得， 的取值范围是. 故答案为：. 地 城 考点09 比较大小 33．【多选】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A，利用不等式性质判断；对 B，利用幂函数单调性判断；对C，利用对数函数单调性判断；对D，利用对数函数单调性判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，函数在上单调递增，又，所以，故B正确； 对于C，因为在上单调递减，又，所以，故C正确； 对于D，因为在上单调递减，又，所以，故D错误. 故选：BC. 34．【多选】（24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质可判断A，根据幂函数的单调性可判断C，取特殊值可判断BD. 【详解】因为，所以，故A正确； 当，，时，，，，故B错误； 因为在单调递增，所以，故C正确； 当，，时，，故D错误； 故选：AC. 35．（23-24高一上·广东深圳·期末）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质进行比较即可. 【详解】，， ，. 故选：D. 36．（24-25高二下·广东云浮·期末）已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数运算法则化简，再根据对数函数的性质比大小. 【详解】， ， ， 因为， 所以． 故选：A 37．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断可得答案. 【详解】因为， ，可得. 故选：A. 38．（24-25高一上·广东潮州·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定与0和1的大小，即可； 【详解】因为，，，所以. 故选：C. 39．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接计算出的值，再根据对数函数的单调性可知，从而判断a，b，c的大小关系. 【详解】由题意，，，， 所以， 故选：C. 40．（24-25高一上·广东清远·期末）已知，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性得到，，结合的单调性比较出大小. 【详解】因为，当时，单调递增， 所以，， 又，所以， 即． 故选：D． 地 城 考点10 解不等式 41．（23-24高一上·广东茂名·期末）（1）已知函数，，求函数的值域； （2）解关于x的不等式：（且）. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用指数函数单调性求出值域即得. （2）按分类，结合对数函数单调性求解不等式即得. 【详解】（1）函数在上单调递增，则，即， 所以函数，的值域为. （2）当时，在上单调递减，由， 得，解得，因此不等式的解集为； 当时，在上单调递增，由， 得，解得，因此不等式的解集为； 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 42．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数且 (1)求函数的定义域且判断奇偶性； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)函数的定义域为，偶函数 (2)答案见解析 【分析】（1）构造函数，根据对数函数的定义即可求出定义域，再根据奇偶性的定义即可判断； （2）需要分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可，注意定义域． 【详解】（1）令， ∵，解得，∴函数的定义域为， ， ∴为偶函数，即为偶函数； （2）∵，∴， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，当时，解集为，当时，解集为． 43．（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质求解析式即可； （2）利用对数函数的性质结合整体思想解含绝对值不等式即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以， 所以. （2）由（1）及对数复合函数单调性知：， 整理得，所以， 所以不等式的解集为. 44．（24-25高一上·广东清远·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得到，构造函数，通过单调性、奇偶性即可求解； 【详解】因为， 所以，所以， 令，则，所以函数在上单调递增，因为是定义在上的奇函数， 所以，所以对， 所以函数为上的奇函数，且． 由，可得，即，所以或，解得． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由，得到，构造函数. 45．（22-23高一下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集. 【详解】函数的定义域为， 且，即是偶函数， 当时，， 构造，， 令，则在上单调递增，又也是增函数， 则在上单调递增， 又是定义域内的增函数，故在上单调递增， 不等式等价于， 即，平方得：，解得且， 则不等式的解集为. 故选：B. 地 城 考点11 对数型函数的最值问题 46．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为M. (1)求M； (2)当时，求函数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解出不等式组即可； （2）利用换元法令，则原函数等价求函数于，的最值，分为和两种情形，根据二次函数的单调性得其最大值. 【详解】（1）由题意知，解得， 故. （2）， 令，，可得，，其对称轴为直线， 当，即时，. 当，即时，. 综上可知， 47．（23-24高一上·广东清远·期末）已知幂函数在上是增函数. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得，进而求得. （2）根据复合函数的单调性求得在上的最小值. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或. 又在上是增函数，则，即， 所以，则. （2）由（1）得，所以. 令，当时，单调递减. 又函数在其定义域内单调递增， 由复合函数的单调性可得在上单调递减， 所以. 48．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，且． (1)若，求方程的解； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）令，利用换元法将原方程转化为，则或，结合对数的运算性质即可求解； （2）令，原不等式可转变为在上恒成立，结合二次函数的性质分类讨论，求出即可求解. 【详解】（1）令，则， 当时，等价于，即， 得，有或， 则或，所以或. （2）法一：令，由，得， 依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立， 令，对称轴， ①当时，即，，得.所以. ②当，即，，得.所以. 综上所述，的取值范围为. 法二：令，由，得， 依题意得恒成立，令， ①当时，易知在上单调递增，且当时，， 所以此时没有最小值，即不存在使得不等式恒成立. ②当时，易知在上单调递增，故恒成立，解得， 即当时，不等式恒成立. ③当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 要使原不等式成立，须使恒成立，解得 综上所述，的取值范围为. 法三：令，由，得， 依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立， 由，得， ①当时，恒成立，R； ②当，，所以在上恒成立， 令，， 则， 在上单调递减，所以， 所以，的取值范围为. ③当，，所以在上恒成立， 令，， 则， 当且仅当，即，，时等号成立，即， 所以，的取值范围为 综上所述，的取值范围为. 49．（23-24高一上·广东广州·期末）函数（，，），若，则的值为（   ） A．4 B．4或 C．2或 D．2 【答案】C 【分析】将，利用换元，化为，分类讨论a的取值范围，结合函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案. 【详解】由题意得，， 令，则， 则函数，即为， 当时，在上单调递增，由可得： ； 当时，在上单调递减，由可得： ； 故的值为2或， 故选：C 50．（22-23高一下·广东深圳·期末）已知函数（且）在上的最大值为. (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值； （2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 则，解得； 当时，函数在上单调递减， 则，舍去； 综上可知，； （2）由（1）得，， 当时，， 即，化简得， 构造， 和分别在上单调递增， 在上单调递增，， 故实数的取值范围是. 51．（22-23高一上·广东惠州·期末）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)当时，恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可. （2）该题参数已经分离，所以只需要利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出的取值范围，由于不等式左侧的最小值取不到，则可以取该值. 【详解】（1）由函数，得， 即，解得或， 所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， ， 所以是奇函数； （2）恒成立，则， 即在恒成立， 令， 因为在上单调递增， 当时，， 所以时，， 则实数的取值范围是． 地 城 考点12 反函数 52．（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的定义，结合反函数的概念即可求解. 【详解】设指数函数且，点在的图象上， 所以，解得. 所以，故反函数. 故选：A 53．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数（且）的图象经过点，则函数的反函数 ． 【答案】 【分析】代入求出，得到，进而求出反函数. 【详解】函数（，且）的图象经过点，则， 所以，故的反函数 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $