专题07 期末真题百练通关（100题14大压轴题型）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题07 期末真题百练通关（100题14大压轴题型） 一、填选压轴集合基础 二、填选压轴函数图象的应用 三、填选压轴不等式 四、填选压轴恒成立问题 五、填选压轴函数奇偶性与单调性 六、填选压轴分段函数 七、填选压轴零点求参 八、填选压轴新定义 九、解答题压轴集合 十、解答压轴函数不等式恒成立和有解问题 十一、解答压轴函数性质综合 十二、解答压轴三角函数、数列 十三、函数模型 十四、解答压轴新定义 一、填选压轴集合基础 1．已知非空集合，设集合，.分别用、、表示集合、、中元素的个数，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则可能为18 D．若，则不可能为19 【答案】D 【知识点】集合元素互异性的应用、组合数的计算、组合意义理解、描述法表示集合 【分析】分析集合中的元素，将问题转化为排列组合问题，求出的最大值，若集合由相邻元素构成时，则取得最小值，依次分析各个选项，即可得解. 【详解】已知，. 又、、表示集合、、中元素的个数，将问题转化为排列组合问题， 对于AB，，，，则，故B正确； 但若考虑重复情况，即由相邻元素构成，例，则，，即，故A正确； 对于CD，，，，则，故D错误； 但若考虑重复情况，即由相邻元素构成，例，则，，即，故可能为18，故C正确； 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查利用排列组合思想求集合中元素的个数，解题的关键是分析集合中的元素，即从多个元素中选出两个元素的组合求其和与差，即可将问题转化为排列组合的问题，考查学生的逻辑思维与转化思想，属于较难题. 2．已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案. 【详解】都不是空集，设，则；，则. 当时：方程的解为 此时，满足； 当时：的解为或 ，则或 ，则无解， 综上所述：， 故选 【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 3．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 二、填选压轴函数图象的应用 4．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】利用奇偶性分析图象对称性排除CD项，再根据在区间内的函数值符号可得答案. 【详解】由，解得， 因此定义域为，关于原点对称， 由， 因此是奇函数，图象关于原点对称，故可排除选项CD； 当时，，因此， 即函数在上的图象位于轴上方，故可排除B项； 故选：A. 5．如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为 ．    【答案】 【知识点】对数函数图象的应用 【详解】设 因为 ，所以 ，因为是等腰直角三角形，所以可得 ，又因为在函数图象上，所以 ，解得 点A的横坐标为 ，故答案为. 三、填选压轴不等式 6．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由条件得到，通过换元，得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 令， 因为都是正数， 所以即， 且，同时， 所以     当且仅当时等号成立，此时. 故选：A 7．（24-25高一上·上海·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、函数不等式恒成立问题 【分析】先根据函数为奇函数求出函数的解析式，再分三种情况讨论，结合二次函数的图象以及左右平移的原则即可得出答案. 【详解】因为奇函数的定义域为， 所以， 令，则， 故， 所以， 所以， 当时，显然不符合题意； 当时，则，奇函数函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，若对，恒成立， 则函数的图象恒在函数的上方，， 而，函数的图象是由函数的图象向右平移个单位， 画出函数和函数的图象如图所示， ， 而， ， 由，解得（和舍去）， 因为随着的图象左移至的过程中， 均有的图象恒在的图象的上方， 所以实数的取值范围是， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】利用二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为函数,与均不大于1.5， 得到, 先考虑，整理得, 设，因为， 所以判别式，即,解得：， 若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时， 即，即，将代入中， 得到，整理得，得到或， 结合，得到或； 再考虑，整理得， 设， 若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时， 即，即，将代入中， 得到，整理得，得到， 综上可知：， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题干列出不等式，再根据不等式的求解设出函数，利用极端情况满足存在实数t使两个不等式成立，两个函数得需有交点. 9．（24-25高一上·上海·月考）已知，若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数、指数幂的运算、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意，分析得，进而得到，从而利用“1”的代换与基本不等式即可得解. 【详解】因为， 则方程与有相同的解，不妨设为， 则，故，即，整理得， 因为， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得方程与有相同的解，从而得到，由此得解. 10．已知正数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】由题意，再代入化简，再换元应用基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意，，故， 因为正数a，b满足，故. 令，则，， 故. 又，故当且仅当，即时， 取最大值. 故答案为： 11．（25-26高一上·上海嘉定·月考）不等式的解集为，则 ． 【答案】-8 【知识点】根式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据平方根的被开方数非负的要求，求出，从而得到是方程的解，进而求出答案． 【详解】由得 ， 又不等式的解集为，该解集只有左端为闭区间，故，即， 从而可得是方程的解，代入可得， 解得：，经检验满足题意. ． 故答案为： 四、填选压轴恒成立问题 12．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知.若任取、，均有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】问题转换成，画出，图像，结合图像分类讨论. 【详解】原题等价于存在，，使得. 在同一坐标系中画出，图像， 如图，当时，显然成立. 当或时，显然不成立. 下面讨论时.令，. 当时，，对称轴，区间中点， 所以. 又在单调递减，在单调递增，所以 ， 所以， 综上， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：当时. ，此时. 13．（24-25高一上·上海·期末）设函数，已知对任意，若满足，，则，则正实数的最大值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意将不等式转化为恒成立，根据、的取值范围可得 对恒成立，分离参数可得，设，利用基本不等式即可求解. 【详解】显然，由对任意，若满足，， 可得， 对于，恒成立， 即为， 化简可得， 即， 即恒成立， 由，， 可得， 即对恒成立， 可得， 设， 则， 当，即，上式取得等号， 由，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 14．（24-25高一上·上海·期末）设常数，存在实数，使得对于任意，关于的不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数不等式恒成立问题 【分析】根据二次函数、一次函数的性质分析得必为的对称轴左侧的零点，且在区间内，且不大于的对称轴右侧的零点，利用零点求参数m，进而确定a的范围，即可得结果, 【详解】对于的函数图象开口向上，对于在定义域上单调递增， 要使在上恒成立， 所以必为的对称轴左侧的零点，且在区间内， 即，故， 且不大于的对称轴右侧的零点， 所以，整理得，可得， 又，故，则， 所以的对称轴右侧的零点为， 综上，，故的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用相关函数的性质分析得到必为的对称轴左侧的零点，且在区间内，且不大于的对称轴右侧的零点为关键. 15．（24-25高一上·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 【答案】 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题、根据函数的最值求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先得到在上恒成立，参变分离得到，求出，故，再由在上有根， 即在上有根，求出，需满足，故. 【详解】由题意得在上恒成立， 故， ， 故只需求出， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且或2时，，故的最大值为3， 故， 故， 另外，在上有根， 即，， 故在上有根， 根据的单调性可知，在处取得最小值， 故，， 要想在上有根， 需满足， 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 五、填选压轴函数奇偶性与单调性 16．定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数函数单调性的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据已知得为定值，且，进而求得，将问题化为求的解的范围，利用对应函数的单调性，结合各项区间端点出函数值大小确定解的范围. 【详解】由题设为定值，且， 所以，则，易知，故， 由，则，显然在第一象限有一个交点， 又在上分别单调递增，单调递减， 由，，，故方程解在上. 故选：C 17．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由奇偶性求参数 【分析】结合函数奇偶性，借助赋值法可求出、，则可解出、，再利用赋值法，得到将，从而计算即可得. 【详解】由为奇函数，则， 令，则，故， 由为偶函数，则， 令，则，故，即， 对，令，则， 即，，解得， 故当时，， 对，令，则， 对，令，则， 则. 故选：C. 18．设t为实数，已知函数，，若存在实数a，b（）同时满足和，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用 【分析】由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解. 【详解】，定义域为， 所以， 所以，所以为奇函数， 在上单调递增，在上单调递增， 故函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 存在实数a，b（）同时满足，故，且. ，即， 令， ， 在上为减函数，所以. 故选：. 19．（24-25高三上·上海·期中）设奇函数的定义域为，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】令，由已知可得函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化，求解即可． 【详解】令，因为是定义域为R的奇函数， 所以的定义域为，且是偶函数， 且， 因为对任意，都有， 即对任意，都有， 所以时，， 所以在上单调递减，所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 当时，不等式等价于， 即，所以，解得， 当时，不等式等价于， 即，所以，解得， 综上，原不等式的解集为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，进而根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 20．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知函数的定义域均为，给出下列两个命题： 命题甲：若均为奇函数，则均为奇函数； 命题乙：若均为上的严格增函数，则至少有一个是上的严格增函数． 下列说法正确的是（   ） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由函数的奇偶性的定义可判断命题甲；利用赋值法可判断命题乙. 【详解】因为均为奇函数， 所以，① ，② ；③ ①+②+③得, 所以，④ ④-①得，④-②得，④-③， 所以. 所以均为奇函数，故命题甲为真命题； 取， 所以， 则均为上的严格增函数， 但在上均不为严格增函数，故命题乙是假命题. 故选：B. 21．（25-26高一上·上海·月考）若函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】先将函数分离常数，构造奇函数，再利用奇函数的性质求出的最大值与最小值，进而得到的最值和，最后计算即可. 【详解】， 令， 则，则函数为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 所以，， 则. 故答案为：4. 22．已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为 . 【答案】 【知识点】抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式 【详解】构造函数，对任意时，有成立，即，即在上单调递增，原不等式 即，得到，即，解得，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，属于难题. 求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据已知条件的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 23．（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知函数定义在上,且对任意的、,,都有，,则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，结合函数单调性的定义可知在上为减函数，且，将所求不等式变形为，利用函数的单调性、定义域可得出关于的不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】不妨设，则， 由可得， 所以， 不等式两边同时除以得， 令，其中，则， 即函数在上为减函数，且， 由可得， 由题意可知，所以，即， 所以，解得或. 因此原不等式的解集为. 故答案为：. 24．（25-26高一上·上海·月考）已知函数，若实数、满足，则的最大值为 【答案】/ 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、基本不等式求积的最大值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】判断出函数在上为增函数，以及，由得出，可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为， 对任意的，，即函数的定义域为， 因为函数在上为增函数，函数在上为增函数， 由复合函数法可知函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数， 因为， 所以，故函数的图象关于点对称， 由可得， 所以，则，即， 要考虑的最大值，只需考虑时， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 25．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则称函数具有性质，已知函数具有性质，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由对任意的，且，可得在上递减. 注意到，结合为奇函数及可得相关性质，即可得答案. 【详解】因对任意的，且，都有， 则在上单调递减，又因为奇函数及， 则为偶函数，且，在上单调递增. 因，则. 当， ； 当， 时， ，则； 当， 时， ，则； 综上，不等式的解集为. 故答案为： 六、填选压轴分段函数 26．（25-26高一上·上海嘉定·月考）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、分段函数的值域或最值、与二次函数相关的复合函数问题、根据值域求参数的值或者范围 【分析】画出函数的图象，即可求解． 【详解】画出函数的图象，如图所示： 若的值域是，得， 即的值域为：． 故选：A 27．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知m、n都是实数，，若函数的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、函数与方程的综合应用、对数函数图象的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】再同一坐标系内画出和的图象，数形结合得到，且时满足题目中的两个条件，其他情况不合要求，得到答案. 【详解】定义域为，其在定义域内单调递减， 定义域为R，且，故为偶函数， 当时，单调递增，由复合函数单调性得单调递减， 同一坐标系内，画出和的图象，如下： 的值域为R， 显然， 若，此时不满足值域为R， 若，此时图象如下： 满足值域为R，但不满足关于x的方程有且只有一个实数解，不合要求， 若，此时图象如下： 满足值域为R，也满足关于x的方程有且只有一个实数解，满足要求， 若，此时的值域不为R，舍去， 综上，满足要求，即满足要求的只有1个，即. 故选：B 【点睛】方法点睛：方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 28．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、根据二次函数零点的分布求参数的范围、由奇偶性求函数解析式 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为，又， 所以函数的图象存在“隐对称点”等价于与在上有交点，即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为与在上有交点的问题，从而求解. 29．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数，若函数 恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】函数恰有三个不同的零点，令，可以看成函数恰有三个不同的零点，即函数的图像与直线有三个交点．根据函数的单调性和最值，结合函数的图像即可求解． 【详解】当时，函数是对勾函数， 因为，当且仅当，即时，取最小值． 所以函数最小值为2，且在上为减函数，在上为增函数． 当时，是减函数，且，所以为增函数，且， 所以函数为增函数，且， 故函数图像如图所示． 令，函数恰有三个不同的零点，可以看成函数恰有三个不同的零点， 故函数的图像与直线有三个交点． 由图像可知. 故答案为：. 30．（2025·上海徐汇·一模）设，若实数满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题目条件，令，用替换，构造函数结合基本不等式求值. 【详解】已知分段函数，且实数满足， 令, 对于，由，， 对于，， 因，故，，否则不满足， ， 故， 设，令，等价于求的最大值， ，当且仅当即时取等号, 此时，故, 综上，的最小值为. 故答案为： 31．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、已知二次函数单调区间求参数值或范围、由指数函数的单调性解不等式、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解. 【详解】当时，在上单调递增， 所以时，； 当时，， ①若，则在上单调递增，在上单调递减， 则时，，即时，， 又时，， 此时，函数的值域为，不满足题意，舍去； ②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去； ③当时，在上单调递减， 则时，，即时，， 因为函数的值域为， 又时，； 则时，且， 不等式解得：， 不等式等价于时，， 设（）， 因为在上单调递增，在上是增函数， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 则不等式解得：， 所以时，的解集为， 综上：实数的取值范围是， 故答案为：. 七、填选压轴零点求参 32．（24-25高一上·上海·期末）设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】首先由，确定，再根据含绝对值三角不等式，确定，放在利用参变分离，转化为函数图象的交点个数问题，求参数的取值范围. 【详解】易知函数在定义域内单调递增，且， ，因为， 所以，且，即， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 当时，无解；当时，有四个整数解， 由图得． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键1是确定，关键2是含绝对值不等式的应用. 33．（25-26高一上·上海·月考）已知函数若恰有3个零点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、函数图象的应用 【分析】将恰有3个零点，转化为函数的图象与直线恰有三个交点.作出函数的图象，结合图象分析零点的取值情况，由此得到的取值范围. 【详解】由恰有个零点，得方程有个实根， 即函数的图象与直线恰有三个交点. 函数在上单调递减，且当时，； 又，所以. 所以，所以； 由，得， 因为，所以，所以，即，. 所以. 因此，，即. 故选：C. 34．（24-25高一上·上海静安·期末）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用常变量分离法，结合二次函数的性质、数形结合思想进行求解即可. 【详解】由于关于的方程有4个不同的实数解， 当时，原式为，解得，不满足题意； 故，则可转化成， 所以或，所以或， 所以时，是此方程的1个根，故关于的方程有3个不同的非零非4的实数解， 所以有3个不同的非零且非4的实数解， 即函数的图象与函数的图象有3个不同的交点， 在同一直角坐标系作图： 由图可知，即，所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用转化法，结合数形结合思想进行求解是解题的关键. 35．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、求二次函数的值域或最值、求函数的零点、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】根据题设可得、是函数的零点，也是的两个根，即可得函数解析式，进而有，应用换元法及二次函数性质求其最大值. 【详解】由，可得为的两个零点， 又函数图象关于直线对称，则、也是函数的零点， 所以是的两个根，则， 所以 ， 令，则， 所以，当，即时，最大值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据对称性可得是的两个根，即可得参数值，再应用换元法将函数化为二次函数求最值. 36．已知定义在正实数集上的函数，设是互不相同的实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用、分段函数的性质及应用 【分析】结合分段函数区间端点处的函数值与函数的单调性作出的图象，再结合图象得的范围，由对数运算性质可得，再由的范围可得范围. 【详解】， 令，解得； 令，解得； 令，则； 由， 则在上单调递减，在单调递增，在单调递减. 画出的图象如下图所示， 由题意是互不相同的实数，满足，不妨设. 则由图可知，. 则由， 可得，解得. 结合图象可知， 所以的取值范围是. 故答案为：. 37．（21-22高一上·上海徐汇·期末）设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】作出f(x)的图像，当时，，当时，.令，则，则该关于t的方程有两个解、，设＜，则，.令，则，据此求出a的范围，从而求出b的范围． 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 则f(x)图像如图所示： 当时，，当时，． 令，则， ∵关于x的方程恰有六个解， ∴关于t的方程有两个解、，设＜， 则，， 令，则， ∴且， 要存在a满足条件，则，解得． 故答案为：． 38．设，函数恰有三个零点，则a的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先根据绝对值的性质分析可知，再讨论的符号去绝对值，分别研究的零点个数，即可得结果. 【详解】因为， 1.若，则，显然等号不同时成立， 所以恒成立，不合题意； 2.若，令，解得，即有两个零点，不合题意； 3. 若，构建， 因为，即函数有两个零点， 且，即不是的零点， （1）当，即时，则， 令，解得或， 且，即， 所以在有两个零点； （2）当，即或时，则， 由题意可知：在内有且仅有一个零点， （ⅰ）当时，则，且， 此时在上的零点为，符合题意； （ⅱ）当且时，令，解得或， 且， 即， ①若，解得，所以在内的零点是，符合题意； ②若，则在内的零点是，不合题意； 综上所述：或. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：根据，可得函数有两个零点，结合二次不等式分类讨论去绝对值. 39．已知函数 与 的图像有3个不同公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、对数的运算 【分析】将函数写成分段函数的形式，作出函数与的图象，数形结合即可得解. 【详解】由得，由得． ∴函数转化为， 在同一坐标系中作出函数与的图象如下图所示 由图可得：实数a的取值范围是. 故答案为：. 40．（25-26高一上·上海·月考）对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”．已知函数，若对任意的，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意可知对任意的恒有两个不同的解，再根据根的判别式结合恒成立问题求解即可． 【详解】由题意可知，对任意的恒有两个不同的解， 即由，需使对任意的恒成立， 即关于的不等式对任意的恒成立 当时，，需使，解得，则； 当时，，需使，解得，则且． 综上，． 故答案为：． 八、填选压轴新定义 41．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【知识点】集合新定义、常用数集或数集关系应用 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 42．（24-25高一上·上海徐汇·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．4 B．2 C．6 D．1 【答案】A 【知识点】描述法表示集合、函数新定义 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示：    由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是4.， 故选：A 【点睛】关键点点睛：明确点集表示的几何意义为平面区域，这是解答的关键. 43．（24-25高三上·上海·期中）已知定义在集合上的函数满足.（其中）.记的最小值为，最大值为，若，.设表示集合中元素的个数，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】函数新定义、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据题意确定取最大最小值时自变量的个数，结合逐个辨析即可. 【详解】对于A：若，不妨设中仅有1个元素，即的最小值为，若， 根据，有，故，与为最小值矛盾，故A错误； 对于B：若，不妨设中仅有1个元素， 即的最大值为，若， 根据，有，故， 因为为最大值，且若，则，无解，故， 故不等式必成立，故B正确； 对于C：若，则，同A可得C错误； 对于D：若，则，不妨设有两根，且， 则若存在使得，则由A可得， 此时不成立，故D错误； 故选：B 44．（24-25高一上·上海杨浦·期末）定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、函数新定义 【分析】对于A，根据题中条件进行验证即可；对于B，根据定义得到关于的方程组，解出即可判断；对于C，利用赋值法结合零点存在性定理即可判断；对于D，代入分析即可. 【详解】对于A，设，则， 当，满足，则是“相依函数”，不唯一，故A错误； 对于B，当时，对任意都成立， 化为， 则有，无解，则不是“相依函数”，故B错误； 对于C，若， 令，则， 当时，有实根， 当时，， 根据零点存在性定理知，在区间上必有实根， 所以“2025相依函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，， 当，， 若，则， 不能判定方程在内有根， 根据实数的任意性，不能确定在上有无零点，故D错误， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“相依函数”的定义，通过验证、列方程组、零点存在性定理以及赋值法即可判断. 45．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.若函数具有性质，且的图象是一条连续不断的曲线，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】零点存在性定理的应用、函数新定义 【分析】设，，可知具有性质，分，和三种情况，结合零点存在性定理得出在上存在零点，即可得答案. 【详解】设，因为，所以， 设，， 因为， 所以具有性质，， 令得，， ①若，则函数在存在零点； ②若，即时，当时， ，即， 所以在区间存在零点； ③若，即， 因为，所以， 所以，当时， ，即， 所以在区间存在零点； 综上所述，，都存在零点，即都有， 即函数的值域为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，考查函数与方程，考查函数的值域，考查零点存在性定理的应用，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查分类思想和计算能力，属于较难题. 46．对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题： ①存在函数满足：，且有最小值； ②设，若，则； ③若，则为单调函数； ④设，则． 其中所有正确命题的序号为 ． 【答案】②④ 【知识点】函数新定义、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据方程实数根的个数分析函数性质．①用反证法判断，②利用和的解的个数相同，可判断，③举一反例，设，可判断，④利用图象平移可说明判断． 【详解】①若有最小值，则存在实数，使得，则当时，无实数根，即与矛盾，①错； ②，故当时，无实数根，，所以，所以无实数根，则．②正确； ③设，易知对任意的实数，有且只有一个根，所以，但不是单调函数，③错误； ④，为向左平移个单位所得图象对应的函数（时，表示向右平移个单位），因此和的解的个数相等，所以，④正确． 故答案为：②④. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题关键是理解新定义的意义，根据新定义问题转化为方程解的个数．这样我们或兴例说明，或通过的解的个数确定函数的性质，完成求解． 47．（25-26高一上·上海静安·月考）已知为实数，用表示不大于的最大整数.对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”.若函数是“函数”，则实数的取值范围是 . 【答案】，且. 【知识点】函数新定义 【分析】由函数定义得且，，且，进而有能成立，就的不同取值范围分类讨论后可求参数的取值范围. 【详解】且，使，， 且， 所以能成立，即能成立，则，又， 所以. 若，则，舍去； 若，则， 此时，即； 若，则， 此时，即； 若，则，与题设矛盾； 若，则，此时，即； 若，则，舍去. 综上，实数的取值范围是，且. 故答案为：，且. 九、解答题压轴集合 48．（19-20高一上·上海浦东新·期末）已知函数，其中，是非空数集且.设，. （1）若，，求； （2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由； （3）若且，，单调递增，求集合，. 【答案】（1）；（2）存在，3；（3），，其中或，，其中或，，或， 【知识点】分段函数的值域或最值、并集的概念及运算 【解析】（1）依题意分别表示时的值域，结合的图像和性质和二次函数的图像和性质分别求出此分段函数两支上的值域，即可得出结论； （2）抓住线索，逐层深入，先判断，得的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定的值； （3）根据函数的单调性，可得，再证明在上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合. 【详解】（1）， ， ； （2）若则，不合题意， 从而， ，得. 若，则， 的原象且， ，矛盾. ，此时可取，满足题意. （3）是单调递增函数，对任意， ，同理可得：. 若存在，使得则， 于是，记， ，同理可知，由， 得， ， 对于任意，取 中的自然数，则 综上所述，满足条件的必有如下表示： ，其中， 或，其中， 或，或. 【点睛】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题和解决问题的能力，属于较难题. 49．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 【答案】(1)不是闭集合；为闭集合，理由见解析 (2)不一定，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】并集的概念及运算、集合新定义 【分析】（1）根据“闭集合”的定义对集合进行判断. （2）通过举反例的方法说明不一定是闭集合. （3）利用反证法，结合“闭集合”的定义证得. 【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，， 则且， 所以，同理，，故为闭集合. （2）结论：不一定. 不妨令，， 则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，， 因此，不一定是闭集合. （3）不妨假设，则由，得存在且，故. 同理，存在且，故. 因为，所以或. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 综上，不成立，故. 50．（25-26高一上·上海·期中）对于集合，其中，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分成两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等就称集合为“可调和集合”. (1)判断集合和是否为“可调和集合”（不必写过程）； (2)求证：集合，其中不是“可调和集合”； (3)若集合，其中是“可调和集合”. ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值. 【答案】(1)都不是； (2)证明见详见； (3)①证明见详见；②7 【知识点】集合新定义 【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论； （2）不妨设，若去掉的元素为，则有①，或者②；若去掉的元素为，则有③，或者④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论； （3）①设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析可得集合中元素个数为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当时，当时，当时集合是否为“可调和集合”，从而证明结论. 【详解】（1）当去掉集合中的元素3时，剩余元素1、2、5， 显然无法分成两个非空集合，并且两个集合的所有元素之和相等， 故集合不是“可调和集合”； 若两个集合的元素之和相等，则所有元素同时除以2后，元素之和也相等， 所以，若集合是“可调和集合”，则集合也是“可调和集合”， 当去掉元素1时，剩余元素之和为，为奇数， 所以，不可能将剩余元素分成两个非空数集，且元素之和相等， 所以，集合不是“可调和集合”. （2）不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾. 因此当时，集合一定不是“可调和集合”； （3）①设集合所有元素之和为. 由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数. 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数. 如果为偶数，则均为偶数， 此时设，则也是“可调和集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可调和集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数. 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②当时，显然任意集合不是“可调和集合”. 当时，第（2）问已经证明集合不是“可调和集合”. 当时，集合，因为： ，，，，， ，， 则集合是“可调和集合”. 所以集合中元素个数的最小值是7. 51．（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是“好集”，理由见解析 (2)，，，， 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、集合新定义 【分析】（1）根据好集的定义判断即可； （2）判断包含于的好集的特征，再求得满足条件的集合A. 【详解】（1）由，得. 因为，所以是“好集”． （2）由于所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 52．（25-26高一上·上海·期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质并说明理由； (2)若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 【答案】(1)集合不具有性质，理由见解析 (2)充要条件，证明见解析 【知识点】充要条件的证明、集合新定义 【分析】（1）从集合中任取三个元素，分情况讨论是否满足性质的三个条件； （2）根据“期待子集”的定义构造元素，证明满足性质的条件. 【详解】（1）集合不具有性质的三元子集，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③， （ii）从集合中任取三个元素有一个为2，另外两个为奇数时. 由于，中小于2的数只有1个，所以不能取2. 当时，，则，，所以，所以，不满足条件②； 当时，，因为中大于2的元素都是奇数，所以，所以，即，不满足③. 综上所述，可得集合不具有性质. （2）集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质， 证明如下： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，则且，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 由知. 令，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 53．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 【答案】(1)是； (2)，证明见解析； (3). 【知识点】集合新定义、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）根据“和积平衡集”的定义，进行判断即可； （2）根据“和积平衡集”的定义，结合一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设A中的 ，进行分类讨论求解. 【详解】（1）， 又， 满足 集合是“和积平衡集”； （2）以为根的一个一元二次方程可为， 是两个不同的正数，且是“和积平衡集”， ， 又和为的两个不同的正根， ， 又，则， 若都小于等于2，则，矛盾， 所以至少有一个大于2； （3）设中的，且， 由， 当时，由， 而且都为正整数，明显等式不可能成立， 所以，故， 所以， 当时，，所以只能有， 由，得，此时的“和积平衡集”为， 当时， 又，即， 即，与矛盾，所以不满足条件， 所以符合条件的“和积平衡集”有且只有，此时的“和积平衡集”为． 十、解答压轴函数不等式恒成立和有解问题 54．（24-25高一上·上海·期末）已知函数（常数）. (1)若，且，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数； (3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、指数式与对数式的互化、由函数奇偶性解不等式、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由题意利用换元法令可得，解出t的值进而即可求出的值； （2）利用定义法（作差法），分别取且，，然后作差比较与的大小，根据单调性的定义证明即可； （3）根据奇函数可得，由（2）可知当时，则原不等式可转化为存在使得不等式成立，对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）由，可得， 设可得即，解得， 所以，即. （2）设且， ， 由可得即， 由可得，故， 又，所以， 所以即， 所以函数在上是严格增函数. （3）因为的定义域为， 当为奇函数时，由解得，所以， 检验：，满足题意， 由（2）可知当时在上是严格增函数，所以， 则原不等式可转化为存在使得不等式成立， 只需的最小值小于0即可，令 因为一元二次函数的开口向上，对称轴为， ①即时，当时，函数取得最小值，解得， 所以； ②当即时，当时，函数取得最小值，解得或， 所以； ③当即时，当时，函数取得最小值，解得， 所以； 综上的取值范围. 【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论： ①存在解；恒成立； ②存在解；恒成立； ③存在解；恒成立； ④存在解；恒成立 55．（24-25高一上·上海·期末）设为正实数，函数； (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)设，记，若对任意，均满足，求的取值范围； 【答案】(1)当 时，函数 既不是奇函数也不是偶函数 ；当 时，函数 是偶函数；，理由见解析 (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、复合函数的最值 【分析】（1）先求出函数 的定义域，讨论和，利用函数的奇偶性的概念即可求解； （2）化简，令，讨论函数在的单调性并求出其最值，从而可得的最值，由题设可得，从而得解. 【详解】（1）函数 的定义域为 ， 当 时，定义域不关于原点对称，因此 既不是奇函数也不是偶函数； 当 时，定义域关于原点对称，且 ，   ， 即 ，所以 是偶函数. 综上，当 时， 既不是奇函数也不是偶函数；当 时， 是偶函数. （2） ， 令，其图象开口向下，对称轴为 ， 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 在时取得最大值， 且 在 上先增后减，，， 根据复合函数的单调性性质可知， 在 上单调递增，在 上单调递减， 因此， 在 上的最大值为 ，最小值大于 ； 根据题意，任意， 使得 ， 因此， ， 即 ，解得 ； 【点睛】关键点点睛：第（1）小问需考虑和；第（2）小问需构造，利用复合函数的单调性求出在 上的单调性和最值是解题关键. 56．（24-25高一上·上海·期末）已知函数，记． (1)求函数的零点； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； (3)若对于恒成立，试问是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)0 (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】研究对数函数的单调性、求函数的零点、复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）令，根据指数运算和指数函数的性质解方程即可； （2）由题意得函数和在区间上的值域的交集不为空集；然后根据指数函数的单调性可求函数的值域，根据对数函数的单调性和复合函数单调性的判断方法可求函数的值域，根据交集不为空集列不等式，即可求解实数的取值范围； （3）根据复合函数单调性的判断方法可知函数有最大值，构造函数，根据单调性可知，又，所以不存在实数满足题意. 【详解】（1）由题意，，令，即， 则，即，所以或（舍去）， 所以，则函数的零点是． （2）设函数在区间上的值域分别为，由题意可得， 因为函数和在上都单调递增， 所以函数上单调递增，所以， 函数，， 令，， 则， 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且函数在区间上单调递增， 所以函数区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，函数有最大值， 当时，，当时，， 所以，又，所以，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为对于恒成立， 又， 所以，解得. 因为为严格增函数，所以， 因为函数为严格增函数， 所以，所以，又， 所以不存在实数，使得成立． 57．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数 (1)求不等式 的解集; (2)设 均为实数，当 时， 的最大值为 1，且满足此条件的任意实数 及 的值，使得关于 的不等式 恒成立，求的取值范围; (3)设 为实数，若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 、 且 ，试将 表示为关于 的函数，并写出此函数的定义域. 【答案】(1) (2) ； (3)，定义域为 . 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）把转化为或，分别求得不等式组的解集，即可求解； （2）根据题意求得的范围，把不等式 恒成立，转化为恒恒成立，结合基本不等式，即可求解； （3）由题意得到，转化为分别是方程的根，且，并求得的范围，进而求得 关于的函数，即可求解. 【详解】（1） 等价为 或 ， 即为 或 ， 则不等式的解集为 ； （2）当 时， 的最大值为1，故 . 要使不等式 3 恒成立， 需要 ， 即 对任意 都成立 ， ，则 ∵ =4， ∴ 故的取值范围是 ； （3）函数，的图象如图所示 当时，，； 当0时，，； 当时，，. 所以 ① 若 ，则方程 变为， 即 ，且 ； ② 若 ，则方程 变为， 即 ，且 . 于是 分别是方程 的根，且 ，， 此函数的定义域为 . 【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立. 58．（24-25高一上·上海·期末）已知定义在上的函数是偶函数 (1)求的值； (2)解不等式； (3)设函数，.若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用偶函数的定义推理即可求得的值； （2）化简推理得，设，由解得或，继而可求得原不等式的解集； （3）先求出在上的最小值为3，依题意，只需使在上的函数值大于等于3，化简此不等式为，即得时，恒成立，从而将问题转化成求的最小值，利用基本不等式即得参数的范围. 【详解】（1）依题意，由可得： 即，即， 即得，因不恒为0，故得；，解得. （2）由可得， 即，整理得：，设，则有， 解得或，即或， 故原不等式的解集是. （3）在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值是，只需在时的函数值大于等于3， 因，则， 由可得， 当时，不等式恒成立； 当时，，即，即， 因，当且仅当，即时等号成立， 故，即的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 对于不等式的恒成立与有解问题。一般按照以下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，总有成立，则； （2）若，有成立，则； （3）若，有成立，则； （4）若，有，则的值域是值域的子集． 59．已知函数（且，）是偶函数，函数（且）. (1)求的值； (2)若函数有零点，求a的取值范围： (3)当时，若，，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由题意建立等式，化简得到即可求出的值； （2）由有零点，转化为有解，令，转化为函数图象与直线有交点求解； （3）根据，，使得恒成立，由求解. 【详解】（1）∵恒成立，∴函数的定义域为， ∵函数为偶函数，所以，即， ∴，则， ∴. （2）， 有零点，即有解， 即方程有解， 则与有交点， 当时，∵∴函数，∴与没有交点，舍去； 当时，令，函数在上单调递增， ∵在上单调递减，且，所以在上单调递减，且，即的值域为 此时方程有解，即. 综上所述： （3）， 当时，， ，当且仅当，即时取等号，所以， 因为，，使得恒成立， 所以， 即对任意恒成立， ∵，∴对任意恒成立， 令函数，所以函数在上单调递减，故， 故． 【点睛】方法点睛，将双变量不等式在对应区间上成立问题，需要转换为两个函数在各区间上函数值的最值的大小关系，接下来就是求两个函数在对应区间上的最值了. 60．（22-23高三上·上海杨浦·月考）若函数在区间上有最大值4和最小值1，设 (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)关于的方程有且仅有二个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、根据二次函数的最值或值域求参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由二次函数的性质得最大值和最小值，从而求得； （2）化简不等式得，令，则，求得，求得在上的最大值即得； （3）方程变形为，令，得，由函数的性质得出方程的解的情况，然后由二次方程根的分布知识得结论． 【详解】（1），对称轴，，在上单调递增， 所以，解得； （2）由（1）知，化为， 即， 令，则，因为，所以， 问题化为， 记，因为，所以， 所以； （3）原方程化为，, 令，时，是减函数，且，时，是增函数且，，则， 所以时，有两个实数解，时，无实数解． 原问题转化为（*）在上只有1个实根， 令，或， 时，方程（*）的解为，满足题意； 时，方程（*）的解为，满足题意， ，即或时，方程（*）有两个不等的实根，，不妨设， 则，， 当，即时，方程（*）的解为，，满足题意． 当即时，，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：本题考查二次函数的性质，考查不等式有解，方程根的分布问题，解题方法是换元法，利用换元法把指数不等式转化为二次不等式，再转化为求二次函数的最值，把指数型方程转化为二次方程，利用二次方程根的分布知识求解，本题属于难题，对学生的运算求解能力，逻辑思维能力要求较高． 61．（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知函数,. (1)当时，请直接写出函数的严格增区间（不必证明）； (2)若任意，函数的图象总在的图象下方，求实数a的取值范围； (3)若存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）带入，将分段函数求出，即可判断单调性； （2）将问题转化成不等式，分离参数解不等式即可； （3）分别讨论对称轴与的大小，再分离参数，借助函数图象的交点个数等价于方程根的个数来求解t的取值范围. 【详解】（1）当时，函数， 当时，，开口向下，对称轴为， 此时函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，开口向上，对称轴为， 此时函数在上单调递增， 则函数的严格增区间是，. （2）依题意得对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意的恒成立. 即当时，，且， 而函数在区间上单调递增， 则时，， 函数在区间上单调递增， 则时，， 综上可得，实数a的取值范围是. （3）由题知：， 因为，，，， （ⅰ）当时， ，，于是可得的图象如图， 据图可得，在上是增函数，不合题意. （ⅱ）当时，，，于是可得的图象，如图， 由题意得，，即，则， 又当时，，所以. 综上所述，实数t的取值范围为. 十一、解答压轴函数性质综合 62．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，. (1)若，，经甲变化得到，求方程的解； (2)若，经乙变化得到，求不等式的解集； (3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、简单的指数方程、解含有参数的一元二次不等式、解含参数的绝对值不等式 【分析】（1）由题设可得，求解即可. （2）由题设有，讨论、分别求解即可. （3）将题设化为对于任意存在，即可证结论. 【详解】（1）由题设，甲变化为，则， ∴，解得. （2）由题设，，又， ∴， 当，即时，则，恒成立； 当，即时，则，解得：或. 综上，不等式解集为. （3）由题设，，则， ，则， ∵当成立，在上单调递增， ∴， ∴对于任意总存在成立， ∴在R上单调递增，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意存在，判断函数在实数域上单调性. 63．（23-24高一上·上海·期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性求参数值、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）先分析得到，然后根据得到的关系，由此完成证明； （2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果； （3）先根据条件证明“，都有”，然后采用反证法证明“当时，”和“当时，”，由此完成证明. 【详解】（1）因为，所以对有， 令，且， 因为， 所以， 所以， 所以，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数； （2）当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上， 所以在上单调递增，在上单调递增， 不妨假设， 所以， 即， 设， 当时，，在上单调递增，显然满足要求， 当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得， 当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求， 综上可知，的取值范围是； （3）不妨设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得； 假设存在，使得， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得， 由上可知，当时，； ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则， 所以，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有， 所以是上的严格增函数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的综合应用，对学生理解与分析问题的能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，有时解答问题时还需要用类比的方法去理解问题，本题第三问用反证法证明较为方便. 64．（17-18高一·上海长宁·期末）已知函数（其中a为常数）． （1）当a=1时，求f（x）在上的值域； （2）若当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）[2，] （2）-＜a＜（3）（-，-）∪（，） 【知识点】函数综合、利用函数单调性求最值或值域、函数基本性质的综合应用 【分析】（1）当a=1时，f（x）=x+，结合对勾函数的图象和性质，可得f（x）在[，2]上的值域； （2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a＜-2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，则t∈[1，2]，y=-2t2+t+1，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a的取值范围； （3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2ymin＞ymax 【详解】解：（1）函数， 当a=1时，f（x）=x+，导数为f′（x）=1-=， f（x）在[，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数， ∴当x=，或x=2时，函数最最大值，当x=1时，函数取最小值2， 故f（x）在[，2]上的值域为[2，]； （2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立， 即2x+＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a2＜1+4•2x在[0，1]上恒成立， 1+4•2x在[0，1]递增，可得最小值为1+4=5，即a2＜5，解得-＜a＜； （3）设t=g（x）==-1+在x∈[0，]递减，可得t∈[，1]，则y=t+， 原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间[，1]上，恒有2ymin＞ymax． 讨论：①当0＜a2≤时，y=t+在[，1]上递增，∴ymin=3a2+，ymax=a2+1， 由2ymin＞ymax得a2＞，∴＜a≤；或-≤a＜-； ②当＜a2≤时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增， ∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=a2+1， 由2ymin＞ymax得2-＜|a|＜2+，∴＜|a|≤； ③当＜|a|＜1时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增， ∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=3a2+， 由2ymin＞ymax得＜|a|＜，∴＜|a|＜1； ④当|a|≥1时，y=t+在[，1]上单调递减，∴ymin=a2+1，ymax=3a2+， 由2ymin＞ymax得a2＜，∴1≤a2＜； 综上，a的取值范围是（-，-）∪（，）． 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用问题，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理分类讨论求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和转化思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 65．（25-26高一上·上海·月考）已知函数． (1)求的定义域并证明是奇函数； (2)解不等式． 【答案】(1)定义域为R，证明过程见解析； (2) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、具体函数的定义域 【分析】（1）先得到定义域为R，并得到，所以为奇函数； （2）先根据奇偶性得到，并得到函数单调性，从而得到，变形后，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出解集. 【详解】（1）由于恒成立，恒成立， 故的定义域为R， 又 ， 所以是奇函数， （2）， 因为为奇函数，故， 所以， 又当时，单调递增， 故在上单调递增， 又为奇函数，且，故在R上单调递增， 所以，即， 故，所以，解得， 所以不等式解集为. 66．（25-26高一上·上海嘉定·月考）已知函数， (1)若函数在区间上最小值为，求； (2)已知在区间为严格增函数，求的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且，当时，，且，求时表达式. 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）运用二次函数在闭区间上的最值判断方法，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，利用最小值条件建立方程求解参数； （2）由严格增函数的定义得出差值需恒正，得到关于参数的不等式条件；通过取特殊点得出参数需小于关于变量的分式函数；利用分离常数法与换元法将分式化为对勾函数形式，再根据单调性定义证明该函数在指定区间单调递增，从而求出其最小值；最终得到参数的上限； （3）综合运用奇函数的性质与周期函数的定义，先利用周期将区间变换到已知表达式区间，再利用奇函数的对称性求出对应区间上的表达式，最后结合周期性与奇函数的特性确定特殊点处的函数值. 【详解】（1），对称轴， 若即，最小值在， ，符合； 若即，最小值在， ，符合； 若即，最小值在， ，不在内，舍去. 所以或. （2）设， 则, 因为在上严格递增，且， 所以, ① 取，代入①得对任意：恒成立， 即②，对任意恒成立， 令，则， 令，根对勾函数性质知在上单调递增， 于是， 所以，当且仅当时等号成立， 由②可知，对任意有， 而，因此， 经验证当时，符合题意， 上，的取值范围为. （3）是奇函数且周期，时， 当时，， 且是奇函数，， 而时， 所以时. 当时，， 当时，有，又，所以， ∴. 67．（25-26高一上·上海嘉定·月考）已知函数 (1)当时，求函数的值域 (2)不等式有解，求的取值范围 (3)讨论函数的奇偶性 【答案】(1) (2) (3)时为偶函数，其它情况为非奇非偶函数 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、分类讨论解绝对值不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）分类讨论法去掉绝对值，利用函数的单调性求值域； （2）由三角不等式化简后转化为最值问题； （3）当时，证．分类讨论的其他6种情况都为非奇非偶函数 【详解】（1）时， 当时； 当时； 当时； 因此函数的值域为． （2）， 不等式有解，需最小值，解得：， 故的取值范围为：； （3）当时，，其定义域为R， 且 故当时，为偶函数， 当时，，其定义域为R， 则， 当时，令， 得， 分以下三种情况讨论： ①当时，，，若，得（不成立）； 若，得即（不成立）；故此可得为非奇非偶函数； ②当时，，，易得且，故此可得为非奇非偶函数； ③当时，，，易得且，故此可得为非奇非偶函数． 当时，令，得， 也分以下三种情况讨论： ①当时，，，易得且，故此可得为非奇非偶函数． ②当时，，，易得且，故此可得为非奇非偶函数． ③当时，，，易得且，故此可得为非奇非偶函数． 综上，当时，为偶函数，其它情况为非奇非偶函数． 68．（25-26高一上·上海青浦·月考）已知定义在R上的函数的表达式为. (1)证明为奇函数； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)函数在R上是增函数；； (3). 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围、根据函数的单调性解不等式、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性和奇偶性将函数不等式转化成不等式存在性问题，参变分离转换成最值问题，求出函数最值即可得出答案； （3）将零点问题转换成方程解的个数问题，换元，进一步转成一元二次方程根的分布问题. 【详解】（1）由题定义域为R，关于原点对称，任意的 ，所以为奇函数； （2）函数在R上是增函数； 所以， 即， 所以原问题转化为存在，使成立， 令，， 对称轴为，且开口向上，所以， 所以； （3）令， 即， 令，得， 所以原问题转化成关于的方程存在两个不同的正数解， ， 故. 十二、解答压轴三角函数、数列 69．（24-25高一上·上海宝山·期末）小丁同学在某数学练习书上看到一道题：已知，求. 题目附有解答如下：. (1)小丁认真研究题目和解答，判断（    ） A．题目正确，解答巧妙！  B．题目错误！  C．解答推理错误！ 爱思考的她仿照老师对问题进行改编并推广，她想研究（为正整数），查阅资料后她有下面的结论：若（为正整数），则的表达式为一个最高次为次的多项式. (2)求的表达式； (3)请帮她判断函数的奇偶性； (4)试帮她确定系数（用含的代数式表示）. （可使用以下她预习的证明方法） 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当取第一个值（为正整数）时，命题成立； （2）假设当（，为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立. 那么，命题对于从开始的所有正整数都成立.这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction）. 【答案】(1)B (2) (3)当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数 (4) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、三角恒等变换的化简问题、数学归纳法、函数新定义 【分析】（1）B，原解答假设可以接受不同的参数，比如，而通过变量替换的方式得到结果，但题目中可能存在是否定义在某个特定区间或者是否有唯一性的问题，原解答可能没有意识到这一点，直接进行了变量替换，所以解答过程可能有错误. （2）利用三角恒等式 ，得 ，令，则 （3）根据函数奇偶性的定义即可判断； （4）根据数学归纳法的步骤即可作答． 【详解】（1）B， 题目中函数 的定义存在矛盾。例如，当 和 时，，但 分别取 1 和 −1，导致 无法唯一确定，因此解答错误. （2）， 令，则. （3）判断的奇偶性.通过观察的性质，当为偶数，是偶函数，对应的多项式应仅包含偶次项，如，故为偶函数。当为奇数时，虽然本身是偶函数，但多项式展开后仅包含奇次项，如，因此为奇函数， 例如，当为偶数时，，所以，即偶函数； 当为奇数时，，但根据多项式的展开后仅包含奇次项，因此为奇函数， 所以 因此，可以判断，当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数. （4）证明存在一个次项系数为的次多项式，使得： ①当时，；当时，； ②假设当，（为正整数）时，结论成立， 即存在一个次和次多项式和， 使得，， 则当时，由于， 两式相加得， 综上所述，由数学归纳法得存在一个次多项式， 使得，且的次项系数为. 【点睛】对于新定义新方法下的即时应用问题，应该根据给出的定义和给出的方法进行推理，注意依据定义合理变形. 70．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的图像绕着原点旋转角后，与原来图像重合，则称函数为角旋转周期函数. (1)判断奇函数是否是角旋转周期函数，若是，求出；若不是，说明理由； (2)若是角旋转周期函数，判断以下四个点，哪个点可能在的图像上； (3)若是角旋转周期函数且上的点除原点外必不在的图像上，求所有满足要求的（可用三角比或具体数值表示）. 【答案】(1)是，； (2)可能的图像上； (3). 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、函数新定义 【分析】（1）奇函数图像关于原点对称，根据角旋转周期函数的定义直接判断即可； （2）角旋转周期函数绕着原点旋转角后与原来图像重合，且图像上没有两点的横坐标相同，据此可作出判断； （3）据题意知应满足或，即可. 【详解】（1）是， （2）将每个点旋转，旋转5次得到 ，，，，，， 这六个点构成正六边形都有两种取值，所以不可能在的图像上；      同理，两点也不可能在的图像上； 旋转得到的正六边形每个顶点和原点连线作为终边的角分别是 ，没有两点的横坐标相同，所以可能在的图像上 （3）和（2）类似，可以将点绕原点旋转12次，每次旋转，这样可得到一个正十二边形， 如果这个正十二边形有两个顶点关于轴对称，那么这样的点必然不能在的图像上， 反之如果没有任何两个顶点关于轴对称，那么这样的点可能会在的图像上. 设正十二边形所对应的十二个角为， 当会出现上述关于轴的对称顶点.所以当起始点位于或的终边上时，会出现有两个顶点关于轴对称， 所以（这里后两种情况可用表示）      【点睛】关键点点睛：本题是给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键就是要理解函数的新定义，明确其含义，依此去判断解决问题. 71．（24-25高一上·上海静安·期末）设函数对任意实数都有 (1)若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明 (2)设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明 (3)设，若在区间上严格递增，求：的取值范围 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、数学归纳法证明数列问题 【分析】（1）先根据，求，，猜测的表达式，再用数学归纳法证明.注意一定要分情况讨论. （2）利用数学归纳法证明等式：. （3）先用累加法求的不等式，再根据二次函数的单调性求参数的取值范围. 【详解】（1）令得：. 又， 令，则； 令，，则. 猜测：当时，.（下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当时，. 又令，，则； 令，则； 令，，则. 猜测：当为负整数时，亦有：.（数学归纳法证明略） 综上：，. （2）（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，则. 当时，，，命题成立； 假设时，命题成立，即. 当时，， 所以 . 所以当时，命题也成立. 综上可知：，成立. （3）因为，， 所以. 所以，，，，，. 各式相加得：. 因为在区间上严格递增，所以函数的对称轴， 所以. 【点睛】关键点点睛：再第一问中，一定要注意对，，分情况讨论，最后综合得到答案. 十三、函数模型 72．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，） （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 【答案】（1），（2）①（），②28毫克/立方米 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用给定函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可 （2）①由题意可得（），②由于可化为，然后利用基本不等式可求出其最小值 【详解】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度， 则当时，由，得，所以， 当时，由，得，，得，所以， 综上，， 所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时， （2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为 （毫克/立方米）， 所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为 （）， ②（）， ，当且仅当，即时取等号， 所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米 【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想，考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题 73．（25-26高一上·上海普陀·月考）如图，在等腰梯形中，，，点沿折线移动，点沿折线移动.已知点P，Q同时从点A出发，P每秒移动2个单位长度，Q每秒移动3个单位长度，当点P，Q重合时，停止移动.设它们的运动时间为x秒，记的面积为S. (1)当时，求的面积S的值； (2)试将S表示为x的函数，并求当运动时间x为多少秒时，的面积S达到最大，最大值是多少? 【答案】(1) (2)，当时，的最大值为 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、图形的性质 【分析】（1）首先求出梯形的高，即可求出，当求出、，再求出的高，即可得解； （2）首先可判断，再分、、三种情况讨论，分别求出函数解析式，再根据分段说明函数的单调性，求出函数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）解：在等腰梯形中，，，则梯形的高为， 所以，则，所以， 当时，，，此时的高， 所以； 所以当时，求的面积S的值为 （2）解：因为，又， 所以两点相遇于点， 因为，所以； 过两点分别作与垂直，垂足分别为． 由平面几何知识可得：，，， ， ①当时，在线段（不含点）上，在上，且，， 此时的高 所以． ②当时，在线段（不含端点）上，在上，且， 所以． ③当时，在线段（不含点）上，在上，且，， 此时的高 所以． 综上，. 当时，则在上单调递增， 又，所以． 当时，则在上单调递增，所以． 当时，， 所以在上单调递减，又，所以， 综上可得， 所以的最大值为，当且仅当时取得最大值. 十四、解答压轴新定义 74．（25-26高一上·上海·月考）若对于给定的正实数，集合定义域内任意都有. (1)若，证明：； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求函数值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、集合新定义 【分析】（1）由题设可得，再结合题设定义，即可求解； （2）根据题设条件知恒成立，从而有恒成立，且，再利用一元二次不等式恒成立，即可求解. 【详解】（1）因为，定义域为，且， 当时，若取时，有，不满足使得定义域内任意都有， 故. （2）由题知，对任意的，有， 又由题知，则需使，整理得，解得或（舍） 所以实数的取值范围为. 75．（25-26高一上·上海静安·月考）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：不是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，证明见解析； (2)存在，； (3)． 【知识点】函数新定义、根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）先由指数函数单调性求出值域，再由“翻倍区间”定义即可得解； （2）先假设存在一个“翻倍区间”，再利用“翻倍区间”定义结合幂函数单调性列等量关系求出参数即可分析求解； （3）由“翻倍区间”定义将题设等价转化为方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，再利用二次函数性质列不等式组即可求解. 【详解】（1）证明：由函数在上单调增函数知函数在上的值域为， 而“翻倍区间”要求的值域为，二者不符， 故不是函数的一个“翻倍区间”； （2）假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数得， 解得，，由知所有“翻倍区间”为； （3）由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数，而， 所以，解得， 由知，可得是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 76．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、绝对值的三角不等式应用、分类讨论解绝对值不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明； （2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可； （3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定，再分和两种情况讨论求解可得的值. 【详解】（1）不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为. （2）不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立. 故，解得或，故实数的取值范围. （3）由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故. 综上所述：. 故. 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，所以， 所以，解得或. 当，， 当，， 当，，，符合题意， 当，， 当，，， 当，，，符合题意. 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：对于解集非空问题即有解问题，可以分离变量转化为函数的最值问题， 即有解，有解. 77．定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数． （1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）. 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、指数函数模型的应用（1）、函数新定义 【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值． 【详解】（1）任意,, 因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数． （2）. 因为是“距”增函数，所以恒成立， 因为,所以在上恒成立， 所以，解得，因为,所以. （3）因为，，且为“2距”增函数， 所以时，恒成立， 即时，恒成立， 所以， 当时，，即恒成立， 所以, 得; 当时，， 得恒成立， 所以,得, 综上所述，得. 又， 因为,所以， 当时，若，取最小值为； 当时，若，取最小值. 因为在R上是单调递增函数， 所以当，的最小值为；当时的最小值为， 即 . 【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题． 78．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)当时，求函数的定义域； (2)若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； (3)设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的最值求参数或范围、根据函数零点的个数求参数范围、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由对数及分式的性质求函数定义域； （2）将问题化为有唯一解，且，利用二次函数的性质求参数范围，注意保证且即可； （3）根据解析式判断函数的区间单调性，进而化为在上恒成立，整理并应用换元法、对勾函数性质求右侧的最大值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，则且，即， 所以函数的定义域为； （2）由，则有唯一解， 所以，而在定义域上单调递增， 则有唯一解，而， 所以，即，此时， 又且，则，显然、时满足， 所以； （3）当，，在上的最大值与最小值的差都不超过， 由在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，则， 所以，则在上恒成立， 由，显然时，， 若，，则， 而在上单调递减，故在上单调递增， 所以，故参数范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问，把问题化为在上恒成立为关键. 79．（24-25高一上·上海·期末）对函数，若满足，则称与对易； (1)已知，判断以下函数是否与对易：①；②；③（直接写出结果）； (2)已知； ①若且与对易，求； ②问：共有多少种不同的集合，同时满足①是的子集且的元素个数大于或等于100；②中任意两个元素均对易. 【答案】(1)函数①与② 和不对易，③与对易； (2)① ；② 满足条件的集合的数量为 【知识点】已知函数类型求解析式、函数新定义 【分析】（1）按照函数新定义分别求得和，比较即得； （2）①设，利用函数对易的要求，可推得，结合，即得函数；②根据两函数对易，可得，当两函数对易的条件是且时，该等式恒成立，由题意可得中的元素只能是自身对易的函数，故而满足条件的集合的数量为从个函数中选取100个到个的方案数之和. 【详解】（1）对于①与不对易，因，显然； 对于②与不对易，因，显然； 对于③与对易，因，即. （2）① 设，则 ，由于，故得， 解得，因，当时，函数； ② 集合中的函数形式为，，其中， 由，， 则，当两函数对易的条件是且时，该等式恒成立， 即形如的函数与自身对易.由于与都有101种取值.因此，集合中共有个函数. 满足条件的集合的元素个数大于等于100，且任意两个元素均对易，因此中的元素只能是自身对易的函数. 因此，满足条件的集合的数量为从个函数中选取100个到个的方案数之和，即. 【点睛】关键点点睛：本题（2）②中，先由两函数对易，得出，当两函数对易的条件是且时，该条件恒成立，推出形如的函数与自身对易，结合题意，即得满足条件的集合的数量. 80．（24-25高一上·上海虹口·期末）对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. (1)判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由； (2)求证：函数在上存在“漂移点”； (3)若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围. 【答案】(1)没有飘移点，理由见解析； (2)证明见解析； (3) 【知识点】对数的运算、函数与方程的综合应用、零点存在性定理的应用、函数新定义 【分析】（1）按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断； （2）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号； （3）若函数在上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决． 【详解】（1）假设函数有“飘移点” ，则有解， 即，由于方程无实根，与题设矛盾，所以函数没有飘移点． （2）令 ， 所以， ．所以， 又在连续， 所以在至少有一个实根， 即函数在上存在漂移点； （3）若在上有飘移点， 所以成立，即，， 整理得， 由，，则． 则实数的取值集合是． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是函数的方程与函数间的关系，即利用函数思想解决方程根的问题，利用方程思想解决函数的零点问题. 81．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数” (1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围 (2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证： (3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，0 【知识点】根据函数的最值求参数、函数新定义 【分析】（1）分析可知为上的严格增函数，即可得结果； （2）根据题意可得，进而分析证明； （3）根据题意利用反证法可得，再举例说明不恒成立，进而分析求解. 【详解】（1）若为定义在区间上的“1阶增函数”， 可得对任取，均有， 可知为上的严格增函数，所以. （2）因为为定义在区间上的“1阶增函数”，且， 则， 即，. 可得，所以. （3）假设存在，使，则， 因为为定义在区间上的“2阶增函数”， 则对任意的，都有， 令，则对任意的，都有，与有上界矛盾， 若“2阶增函数”有上界，则对任意，都有. 假设存在，使， 则对任意的，都有，故，矛盾， 所以“2阶增函数”有上界，都有恒成立，即存在均满足题意， 假设存在符合题意，例如， 则在上是严格增函数， 且，则是有上界的“2阶增函数”. 但当时，有，矛盾， 所以的取值范围为，即的最小值为0. 【点睛】关键点点睛：对于（2）中问题：直接说明比较麻烦，可以利用反证法，说明，再举例说明不恒成立. 82．（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2) (3)，. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、函数新定义 【分析】（1）分别求出函数和在区间上的值域，再根据值域的关系判断即可； （2）分类讨论求函数在区间上的值域，再根据值域的关系列不等式，求解即可； （3）由唯一性得，即两个函数的值域相等，分类讨论求值域，列方程组求解即可. 【详解】（1）因为函数是增函数，所以值域， 当时，函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不具有性质. （2）①当时，函数， 此时函数在区间上单调递减，所以值域为， 又，函数在上单调递减，所以值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，因为， 所以，解得， 因此，a的取值范围为. （3）由题意得，的值域为，即， 的对称轴，且开口向下， ①当时，在上单调递减，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ②当时，在上单调递增，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ③当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又，， （i）当，即时，的值域， 由，得，解得，，符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得，解得，所以符合题意， 综上所述，t的取值为，. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于由唯一性得值域相等，再分类讨论求值域即可. 83．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 【答案】(1)①不是，②是，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】根据函数的单调性求参数值、指数函数最值与不等式的综合问题、根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）根据题中定义判断①②即可； （2）分析可知在上是严格减函数．且恒成立，求出函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）当时，化简函数的解析式，结合题中定义可证得结论成立；然后就、两种情况讨论，结合题中定义进行推导，说明定义不成立，即可证得结论成立. 【详解】（1）①不是，②是，理由如下： 对于①，，取，则， 所以两个函数不是“在上的函数对”； 对于②，在上是严格减函数， 当时，，则，故此时的函数值恒大于零， 所以这两个函数是“在上的函数对”. （2）由题意函数在上是严格减函数，且在上恒成立， 故有在上恒成立， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围为． （3）证明：当时， ， 因为函数、在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 得在上是严格减函数，且对任意恒成立. 当时， 在上恒成立， 取，得，不成立； 此时函数和不是“在上的函数对”． 当时，则， 当时，， 取，得， 所以函数在上不是减函数， 此时函数和不是“在上的函数对”． 综上，的值有且仅有一个. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 84．（24-25高一上·上海松江·期末）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”． (1)判断函数，是否是“型函数”； (2)若函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数满足的关系式： (3)若定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域． 【答案】(1)函数不是“型函数”；函数是“型函数” (2) (3) 【知识点】指数幂的运算、抽象函数的值域、函数新定义 【分析】（1）根据“型函数”定义，代入直接判断即可； （2）由题中条件得到对定义域中的任意都成立，变形整理即可得到答案； （3）由条件得，且，利用时，的值域为，得出时，，再利用，得出时,，依次类推可知时，，从而时，，利用得出时，，综合可得答案. 【详解】（1）对于函数， 对定义域中的任意不可能恒成立, 因此函数不是“型函数”； 对于函数， , 故存在实数对，使对定义域中的任意都成立， 因此函数是“型函数”. （2）因为函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对， 所以对定义域中的任意都成立， 则， 所以且，所以. （3）∵定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和， ∴，且， 由，用替换可得, ∵当时，的值域为， 当时，，，∴， 当时，，即． 由，用替换可得, 又，，则， 用替换可得. 当时, ，，∴， 当时, ，，∴， 依次类推可知，当时,， 当时，， ∴当时，， 当时，，∴， ∴， 综上可知，当时，函数的值域为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 85．（24-25高一上·上海奉贤·期末）定义：对于函数，，若任意、、，都有，则称是的一个具有三角形性质的关联函数；若都有，则称是自身具有三角形性质的函数． (1)判断函数是不是函数的一个具有三角形性质的关联函数，简要说明理由； (2)若二次函数是的一个具有三角形性质的关联函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，是自身具有三角形性质的函数．求实数的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、求对数函数在区间上的值域、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用题中定义验证即可； （2）由题中定义可知，对任意的、、，有，结合基本不等式可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得的取值范围； （3）分、、三种情况讨论，求出函数在上的值域，根据题意可得出关于的不等式，综合可解得实数的取值范围. 【详解】（1）对任意、、，，， ，则，则， 因此，函数是函数的一个具有三角形性质的关联函数. （2）由题意可知，对任意的、、，有， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 由题意可得对任意的恒成立，所以，， 令，则， 因为函数在上为增函数，则，且，故. （3）因为，， 则，所以，，所以，，分以下三种情况讨论： 当时，则，显然对任意的、、，成立； 当时，则， 对任意的、、，成立， 只需，解得，此时，； 当时，则， 只需，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 86．（24-25高一上·上海静安·期末）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. (1)已知函数，判断是否为“局部奇函数”； (2)若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 【答案】(1)不是局部奇函数 (2) (3) 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据函数是幂函数求参数值、函数与方程的综合应用、函数新定义 【分析】（1）求出即可判断是否为“局部奇函数”； （2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围； （3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在其定义域内不存在非零实数使得， 即不存在使得， 所以不是“局部奇函数”； （2）因为是幂函数，则，所以，， 所以，， 因为在上是“局部奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，且，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即， 故； （3）由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即，故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为. 【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“局部奇函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 87．（24-25高一上·上海浦东新·期末）若函数满足：在定义域内存在，使得成立， 则称函数为“函数”. (1)若，问是否为“函数”，请说明理由； (2)若，问是否为“函数”，请说明理由: (3)若，且是“函数”，则求实数的取值范围. 【答案】(1)不是“函数”，理由见解析 (2)是“函数”，理由见解析 (3) 【知识点】函数新定义、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）利用“函数”的定义验证即可； （2）若存在满足条件，根据“函数”的定义可得出，构造函数，分析该函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）令，可知关于的方程有正根，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）若函数为“函数”， 则，得，明显不成立， 所以不为“函数”. （2）若存在满足条件，即， 则，整理可得， 设，则函数在上为增函数， 因为，，所以，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 故函数为“函数”. （3）由条件得， 令，可得，整理可得， 所以关于的方程有正根， 则，可得，解得或， 设方程的两根分别为、，则， 且，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 88．（24-25高一上·上海虹口·期末）对于函数，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. (1)判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； (2)若函数存在“优美区间”，求的最小值； (3)若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数新定义 【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定义判断即可； （2）函数在为增函数，又为的“优美区间”，则，即是的两个不等的正整数根，结合根与系数的关系即可求解； （3）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值. 【详解】（1）因为函数在为增函数，所以在也为增函数， 又因为，所以的值域为， 所以为函数的“优美区间”. （2）因为在上为单调增函数，又为的“优美区间”， 所以，所以是方程的两个不等正整数根，即是的两个不等的正整数根， 所以，解得或， 所以的最小值为4. （3）定义域为，假设或， 在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以， 所以是方程的两个不等的实数根，即是的两个同号且不等实数根， 所以或，又， 所以， 当时，取得最大值为. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 89．（24-25高一上·上海嘉定·期末）对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量的值、，如果总有，则称函数在区间上是“舒缓函数”. (1)判断函数、在上是否是“舒缓函数”，并说明理由； (2)若函数在上是“舒缓函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数，的最大值是、最小值是，在上是“舒缓函数”，且，求证：. 【答案】(1)在上是“舒缓函数”，在上不是“舒缓函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】根据函数的单调性求参数值、绝对值的三角不等式应用、函数新定义 【分析】（1）由题干中所给“舒缓函数”定义可完成判断； （2）不妨设，，则，进而结合恒成立问题求解即可； （3）设，并不妨设，当时，由题意易得结论成立，当时，利用及可完成证明. 【详解】（1）令， 则， 故在上是“舒缓函数”； 令， 则，取， 则， 故在上不是“舒缓函数”； （2）因函数在上是“舒缓函数”， 则对， 不妨设，则有， ，则， 则，时， ， 即. （3）设，不妨设. 若，因在上是“舒缓函数”， 则； 若，则 . 综上， 【点睛】关键点睛：本题关键为能理解“舒缓函数”概念.第一问，通过举反例可判断不是“舒缓函数”；第二问关键为得到；第三问改编自1983年高中数学联赛第2部分第2题，关键为. 90．（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． (1)若，，对进行变换后得到函数，解方程． (2)若，对进行变换后得到函数，解不等式． (3)若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数， 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、解含有参数的一元二次不等式、指数幂的运算、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据函数的变换可得函数解析式，解方程即可； （2）根据函数的变换可得函数解析式，即可得不等式，分情况解不等式即可； （3）根据函数变化可得函数解析式，由可得，由，可知且，结合函数在上是严格增函数，可知当时，，即可得，再利用定义法证明函数单调性. 【详解】（1）由已知可得， 又， 即，解得； （2）由已知， 又，即， 由已知， 则当，即时，， 解得或，即或； 当，即时，，即，不等式恒成立，即； 综上所述，或； （3）由题意对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 所以对任意，， 当时，，又函数在上是严格增函数， 则，即， 由于，可知且，若其中，则， 即当时，， 任取，令， 存在，使， 由函数在上是严格增函数，可知，则， 依此类推可得，即， 即函数在上是严格增函数. 91．已知函数. (1)当时，求的值域. (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. (3)若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的值域、由指数（型）的单调性求参数、函数新定义 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果； （2）根据题意，分，，讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 令，则，， 所以的值域为； （2）令，，则，， 因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增， 只需在上单调递增， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得， 所以实数的取值范围是； （3）由是的图象的局部对称点，可得，， 代入整理得，① 令，则，， 代入①式得，， 当时，函数和均单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解；研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决. 92．（24-25高一上·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为． (1)若，，求； (2)已点，点在直线上，证明； (3)已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值、奇偶函数对称性的应用、函数新定义 【分析】（1）由，两点绝对和的定义即可求解； （2）根据点在直线上，设点，代入两点绝对和公式，再利用绝对值不等式即可证明； （3）易知，设，.根据函数的奇偶性，只需讨论在的最大值.对参数进行分类讨论，去绝对值，研究二次函数单调性与最值即可求得，再根据分段函数单调性即可求解. 【详解】（1），，∴由题知. （2）∵点在直线上，∴设. ，. 由绝对值不等式可知：， 当且仅当，即时等号成立. . （3）∵动点在函数，的图象上，∴设，. ，. 设，. 则的定义域关于原点对称，且， ∴函数，为偶函数， 故只需研究函数在的最大值即可. 当时，，， 由二次函数性质可知：图象开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递增，； 当时，，， 由二次函数性质可知：图象开口向下，对称轴为， 故函数在上单调递增，在上单调递减，； 当时，令得，， 由二次函数性质可知：开口向下，对称轴为； 开口向上，对称轴为，故在上单调递增. ①当，即时，在上单调递增，此时，，； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，此时，，. 综上，. 当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递增，. ∴函数的最小值为. 【点睛】本题为新定义题型，在理解题意的基础上写出函数，再利用分类讨论和数形结合思想研究二次函数最值即可. 93．已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 【答案】(1)函数是函数在上的“L函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可； （2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可； （3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可. 【详解】（1）对任意的，且， . 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”； （2）因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得； （3）对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以. 此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可. 94．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. (1)若函数具有性质，求的值； (2)证明：存在常数，使得函数具有性质； (3)若函数具有性质，且其图像是一条连续不断的曲线，证明：关于的方程有解. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】零点存在性定理的应用、函数新定义 【分析】（1）利用性质，通过代入和，逐步推导得的值； （2）化简性质对应的等式，转化为方程后，结合函数单调性与零点存在性确定的存在； （3）设，可知具有性质，分，和三种情况，结合零点存在性定理得出在上存在零点，即可证明． 【详解】（1）因具有性质，即对任意，. 令，得； 令，得. 将代入，得，故. （2）需找到，使得对任意，. 左边化简为，故等式等价于（消去）， 即需证明方程有正实数解. 构造函数（）： 当时，； 当时，. 由零点存在定理，在内存在零点，满足，即. 因此存在，使得，即具有性质. （3）设，因为，所以， 设， 因为， 所以具有性质，， 令得，， ①若，则函数在存在零点； ②若，即时， 当时，， 即， 所以在区间存在零点； ③若，即， 由题意，用替换， 得，即. 应用该式次可得， 令，得，所以， 当时，， 即， 所以在区间存在零点； 综上所述，，都存在零点， 即对任意实数m，关于x的方程都有解． 所以关于的方程有解. 95．设函数定义域为D，如果存在常数K满足：任取，都有，则称是L型函数，K是这个L型函数的一个L常数. (1)判断函数，是否为L型函数？若是，给出一个对应的L常数；若不是，请说明理由. (2)设函数是定义在区间上的L型函数（对应的L常数为），是常数，证明：函数也是L型函数，并指出其L常数； (3)设函数是定义在上的L型函数，其L常数，且的值域也是，求的解析式. 【答案】(1)是，常数为 (2)证明见解析，其常数为 (3)或 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、绝对值的三角不等式应用、函数新定义 【分析】（1）利用绝对值不等式性质，结合L型函数定义可得； （2）设，，，利用证明函数也是L型函数； （3）利用值域条件可知存在，使得，结合L型函数定义构造两边夹不等式得到，再设，分类分析的范围可得或，最后再结合定义构造两边夹不等式求解函数可得. 【详解】（1）设，则 ， 所以存在，使得对于任意，都有， 故函数，是型函数，一个对应的常数为. （2）由函数定义在区间上，则函数定义在区间上. 设，，，则， 已知函数是定义在区间上的型函数（对应的常数为）， 则对于任意，有. 则对于函数，有 ， 所以函数是型函数，其常数为. （3）因为函数是定义在上的型函数，其常数， 所以对任意，则. 因为的值域是， 则存在，使得. 由， 且； 由， 且， 可得，且， 联立可得，，则， 由及可得，故； 同理，由及可得，故. 设，则， 且， 假设，由，解得； 由，则； 则， 所以， 解得或，这与矛盾，故或. 当，即时， 则对任意，有，则； 且，则； 故； 当，即时， 则对任意，有，则； 且，则； 故； 综上所述，或. 96．若为定义在上的单调函数，且存在（其中），使得当时，的取值范围为，则称是上的正函数，为等域区间. (1)判断是否为函数的一个等域区间（不用说明理由，直接写出答案） (2)是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. (3)设函数，且不等式的解集恰为，求的解析式，并判断是否为的等域区间. 【答案】(1)是 (2)存在； (3)答案见解析 【知识点】函数新定义、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用新定义结合幂函数的性质计算即可； （2）利用新定义结合二次函数的性质先得出的等量关系与，消元计算参数范围即可； （3）利用不等式的解集计算的可能取值，结合新定义分析计算即可. 【详解】（1）是函数的一个等域区间； 由于是定义域内的增函数，， 取值范围是， 故是函数的一个等域区间； （2）因为是上的减函数， 所以当时，，即， 两式相减得，即， 由，，得，解得， 所以， 记，在单调递增， 所以时，， 即，所以， 所以存在，使得是上的正函数． （3）由不等式的解集为， 得，且，，， 所以①，②， 将代入①，得，即， 因为， ，所以或， 解得或， 当时，，， 当时，不具有单调性，且， 所以不是的等域区间； 当时，，， 当时，不具有单调性，且， 所以不是的等域区间． 97．对于定义在实数集上的函数，给出如下的三个定义： ①记，，，，，其中. ②对任意的区间，记集合，并规定. 例如：若，则； ③若定义在上的函数满足对任意的区间，都存在正整数，使得，则称为区间上的“阶交汇函数”. (1)若函数，求； (2)若，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”； (3)设，若，试证明对任意的区间，总存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”. 【答案】(1) (2)，是 (3)证明见解析 【知识点】函数新定义 【分析】（1）根据函数新定义求解即可； （2）利用一次函数的单调性求值域，按照“2阶交汇函数”定义判断即可； （3）先根据分段函数性质证明，然后分析得到对任意的，，，进而根据函数新定义证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）因为函数在上单调递增，所以当时，， 所以，当时，， 所以，因为， 所以为上的“2阶交汇函数”. （3）对于任意有限的区间，记表示区间的长度， 如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和， 对于任意的区间，，， 不妨设，， 若，则，， 若，则，， 若，则， ，所以， 对于任意的区间，显然存在正整数，使得， 因此在，，，（它们的长度和大于1）中， 必然存在正整数，，使得， 因此必存在，，使得， 又，则， 则当时，， 当时，， 又，因此对任意的，，， 所以，，，， 这表示，取， 所以对任意的区间，存在正整数，使得， 即对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数” 98．对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： ①对任意的，都有； ②存在常数，使得对任意的，都有； 则称为区间上的压缩函数 特别地，若常数，我们称为区间I上的严格压缩函数． (1)判断是否为区间上的压缩函数，并说明理由； (2)已知，函数，证明：“是区间上的压缩函数”的充要条件是“”； (3)若函数是区间上的严格压缩函数，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】（1）反证法先假设是压缩函数，借助导数求解函数单调性，利用洛比达法则分析函数极限值，根据压缩函数的定义探究的范围推出矛盾即可； （2）对于充分性利用压缩函数定义即可证明，对于必要性可用反证法证明，结合压缩函数定义中的不等式恒成立化简，转化为，再按与的大小分类探求可得； （3）首先由，可得，再分类讨论存在性，然后再利用反证法证明唯一性即可. 【详解】（1）假设函数是区间上的压缩函数， 则存在常数，使得对任意的，都有 ， 当，时，， 则，即， 令， 则， 构造函数，其中， 则， 则在内单调递减，由此，则， 所以，则在内单调递减， 又因为，则恒成立， 故要使恒成立，则， 这与矛盾，故假设错误， 所以函数不是区间上的压缩函数. （2）充分性：当时，， 对于任意，，满足条件①， 对于任意，， 即存在，满足， 所以是区间上的压缩函数. 必要性：已知是区间上的压缩函数， 则存在常数，对于任意，都有， 因为，则有，， 所以，所以，又因为， 所以，故对于任意，， 若， 当，时，则恒成立； 由，由函数在上单调递减， 可得， 所以可化为，化简得； 则，这与矛盾，故不满足题意； 若， 当，时， 由，可得，即恒成立， 由函数在上也单调递减， 则，这与矛盾，故也不满足题意； 若，对于任意，，满足题意； 因此是区间上的压缩函数，则. 综上所述，“是区间上的压缩函数”的充要条件是“”. （3）令，因为在上的图像是一段连续曲线， 所以在上也是连续的，且对任意， 所以由，则， 则，，即； 同理，则，，即. 若，或，则或， 故满足，使得； 若，且，则且，且在上连续， 则由零点存在性定理可知，，使得； 下面证明唯一存在性. 假设存在，，使得，， 则， 由题意函数是区间上的严格压缩函数， 但根据条件②，存在，使得， 即， 则，这与矛盾，故假设错误； 所以存在唯一的，使得． 99．对于定义在的两个函数和，若函数满足： ①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的P函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的P函数对”，并说明理由： ①，；②，； (2)设常数，若和为“在上的P函数对”，求m的取值范围； (3)设常数，若和为“在上的P函数对”，求证：k的值有且仅有一个． 【答案】(1)①不是，②是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据P函数对的定义即可判断； （2）根据P函数对的定义可得，分离参数转化为函数最值问题，而的单调性直接判断即可； （3）根据P函数对的定义可得，分离参数转化为函数最值问题，可得， 由单调递减，根据单调递减的定义列式可得出即可得证. 【详解】（1）①不是 ，该函数不是恒大于0，故函数和不是在上的P函数对． ②是 由于在上是严格减函数；恒大于0，故函数和为“在上的P函数对”. （2），记， ①由，得，故（若解得得1分）． ②由于在上是严格减函数， 故在上是严格减函数， 综上． （3），记， ①由，当时不等式成立， 当时，不等式可化为， 记，显然在上单调递增， 当时，，所以的上界为-3，故． ②若函数为严格减函数，则对于任意给定，且 ， 化简可得，而，所以. 当时，满足①②，故函数和为“在上的P函数对”． 综上：的值有且仅有一个，且． 100．已知函数，，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域上是“-利普希茨条件函数” (1)判断函数①②是否是“1-利普希茨条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由； (2)若函数是“-利普希茨条件函数”，求常数的最小值； (3)若是定义在闭区间上的“2-利普希茨条件函数”，且，求最小的实数，使得对任意的都有. 【答案】(1)是，不是 (2) (3)，证明见解析 【知识点】函数新定义 【分析】（1）证明即可判断，举出反例即可判断； （2）分离参数，将不等式变为关于的不等式，结合定义域即可求得常数的最小值； （3）对任意的都有，只需要即可，根据新定义求出即可得出答案. 【详解】（1）对于函数，不妨设，则，符合题意， 所以函数是“1-利普希茨条件函数”， 对于，因为， 所以不是“1-利普希茨条件函数”； （2）若函数是“-利普希茨条件函数”， 则对定义域内任意均有， 即， 设，则，即， 因为，所以，所以， 所以的最小值为 （3）设，当时， 因为是定义在闭区间上的“2-利普希茨条件函数”， 所以， 当时，由得， 故 恒成立， 综上所述恒成立，则，最小的实数. 试卷第1页，共3页 1 / 138 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期末真题百练通关（100题14大压轴题型） 一、填选压轴集合基础 二、填选压轴函数图象的应用 三、填选压轴不等式 四、填选压轴恒成立问题 五、填选压轴函数奇偶性与单调性 六、填选压轴分段函数 七、填选压轴零点求参 八、填选压轴新定义 九、解答题压轴集合 十、解答压轴函数不等式恒成立和有解问题 十一、解答压轴函数性质综合 十二、解答压轴三角函数、数列 十三、函数模型 十四、解答压轴新定义 一、填选压轴集合基础 1．已知非空集合，设集合，.分别用、、表示集合、、中元素的个数，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则可能为18 D．若，则不可能为19 2．已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 二、填选压轴函数图象的应用 4．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为 ．    三、填选压轴不等式 6．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为 . 9．（24-25高一上·上海·月考）已知，若，则的最小值为 . 10．已知正数a，b满足，则的最大值为 . 11．（25-26高一上·上海嘉定·月考）不等式的解集为，则 ． 四、填选压轴恒成立问题 12．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知.若任取、，均有成立，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·上海·期末）设函数，已知对任意，若满足，，则，则正实数的最大值为 ． 14．（24-25高一上·上海·期末）设常数，存在实数，使得对于任意，关于的不等式恒成立，则的最大值为 ． 15．（24-25高一上·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 五、填选压轴函数奇偶性与单调性 16．定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． 17．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 18．设t为实数，已知函数，，若存在实数a，b（）同时满足和，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高三上·上海·期中）设奇函数的定义域为，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知函数的定义域均为，给出下列两个命题： 命题甲：若均为奇函数，则均为奇函数； 命题乙：若均为上的严格增函数，则至少有一个是上的严格增函数． 下列说法正确的是（   ） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 21．（25-26高一上·上海·月考）若函数的最大值为，最小值为，则 . 22．已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为 . 23．（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知函数定义在上,且对任意的、,,都有，,则不等式的解集为 . 24．（25-26高一上·上海·月考）已知函数，若实数、满足，则的最大值为 25．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则称函数具有性质，已知函数具有性质，则不等式的解集为 ． 六、填选压轴分段函数 26．（25-26高一上·上海嘉定·月考）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知m、n都是实数，，若函数的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 28．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数，若函数 恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 30．（2025·上海徐汇·一模）设，若实数满足，且，则的最小值为 ． 31．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 七、填选压轴零点求参 32．（24-25高一上·上海·期末）设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·上海·月考）已知函数若恰有3个零点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·上海静安·期末）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为 35．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为 . 36．已知定义在正实数集上的函数，设是互不相同的实数，满足，则的取值范围为 . 37．（21-22高一上·上海徐汇·期末）设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是 ． 38．设，函数恰有三个零点，则a的取值集合为 . 39．已知函数 与 的图像有3个不同公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是 . 40．（25-26高一上·上海·月考）对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”．已知函数，若对任意的，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围为 ． 八、填选压轴新定义 41．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 42．（24-25高一上·上海徐汇·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．4 B．2 C．6 D．1 43．（24-25高三上·上海·期中）已知定义在集合上的函数满足.（其中）.记的最小值为，最大值为，若，.设表示集合中元素的个数，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 44．（24-25高一上·上海杨浦·期末）定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 45．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.若函数具有性质，且的图象是一条连续不断的曲线，则函数的值域为 . 46．对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题： ①存在函数满足：，且有最小值； ②设，若，则； ③若，则为单调函数； ④设，则． 其中所有正确命题的序号为 ． 47．（25-26高一上·上海静安·月考）已知为实数，用表示不大于的最大整数.对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”.若函数是“函数”，则实数的取值范围是 . 九、解答题压轴集合 48．已知函数，其中，是非空数集且.设，. （1）若，，求； （2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由； （3）若且，，单调递增，求集合，. 49．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 50．（25-26高一上·上海·期中）对于集合，其中，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分成两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等就称集合为“可调和集合”. (1)判断集合和是否为“可调和集合”（不必写过程）； (2)求证：集合，其中不是“可调和集合”； (3)若集合，其中是“可调和集合”. ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值. 51．（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 52．（25-26高一上·上海·期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质并说明理由； (2)若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 53．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 十、解答压轴函数不等式恒成立和有解问题 54．（24-25高一上·上海·期末）已知函数（常数）. (1)若，且，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数； (3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 55．（24-25高一上·上海·期末）设为正实数，函数； (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)设，记，若对任意，均满足，求的取值范围； 56．（24-25高一上·上海·期末）已知函数，记． (1)求函数的零点； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； (3)若对于恒成立，试问是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 57．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数 (1)求不等式 的解集; (2)设 均为实数，当 时， 的最大值为 1，且满足此条件的任意实数 及 的值，使得关于 的不等式 恒成立，求的取值范围; (3)设 为实数，若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 、 且 ，试将 表示为关于 的函数，并写出此函数的定义域. 58．（24-25高一上·上海·期末）已知定义在上的函数是偶函数 (1)求的值； (2)解不等式； (3)设函数，.若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 59．已知函数（且，）是偶函数，函数（且）. (1)求的值； (2)若函数有零点，求a的取值范围： (3)当时，若，，使得恒成立，求实数的取值范围. 60．（22-23高三上·上海杨浦·月考）若函数在区间上有最大值4和最小值1，设 (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)关于的方程有且仅有二个不同的实根，求实数的取值范围. 61．（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知函数,. (1)当时，请直接写出函数的严格增区间（不必证明）； (2)若任意，函数的图象总在的图象下方，求实数a的取值范围； (3)若存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围. 十一、解答压轴函数性质综合 62．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，. (1)若，，经甲变化得到，求方程的解； (2)若，经乙变化得到，求不等式的解集； (3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增. 63．（23-24高一上·上海·期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 64．已知函数（其中a为常数）． （1）当a=1时，求f（x）在上的值域； （2）若当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由． 65．（25-26高一上·上海·月考）已知函数． (1)求的定义域并证明是奇函数； (2)解不等式． 66．（25-26高一上·上海嘉定·月考）已知函数， (1)若函数在区间上最小值为，求； (2)已知在区间为严格增函数，求的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且，当时，，且，求时表达式. 67．（25-26高一上·上海嘉定·月考）已知函数 (1)当时，求函数的值域 (2)不等式有解，求的取值范围 (3)讨论函数的奇偶性 68．（25-26高一上·上海青浦·月考）已知定义在R上的函数的表达式为. (1)证明为奇函数； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 十二、解答压轴三角函数、数列 69．（24-25高一上·上海宝山·期末）小丁同学在某数学练习书上看到一道题：已知，求. 题目附有解答如下：. (1)小丁认真研究题目和解答，判断（    ） A．题目正确，解答巧妙！  B．题目错误！  C．解答推理错误！ 爱思考的她仿照老师对问题进行改编并推广，她想研究（为正整数），查阅资料后她有下面的结论：若（为正整数），则的表达式为一个最高次为次的多项式. (2)求的表达式； (3)请帮她判断函数的奇偶性； (4)试帮她确定系数（用含的代数式表示）. （可使用以下她预习的证明方法） 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当取第一个值（为正整数）时，命题成立； （2）假设当（，为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立. 那么，命题对于从开始的所有正整数都成立.这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction）. 70．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的图像绕着原点旋转角后，与原来图像重合，则称函数为角旋转周期函数. (1)判断奇函数是否是角旋转周期函数，若是，求出；若不是，说明理由； (2)若是角旋转周期函数，判断以下四个点，哪个点可能在的图像上； (3)若是角旋转周期函数且上的点除原点外必不在的图像上，求所有满足要求的（可用三角比或具体数值表示）. 71．（24-25高一上·上海静安·期末）设函数对任意实数都有 (1)若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明 (2)设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明 (3)设，若在区间上严格递增，求：的取值范围 十三、函数模型 72．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，） （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 73．（25-26高一上·上海普陀·月考）如图，在等腰梯形中，，，点沿折线移动，点沿折线移动.已知点P，Q同时从点A出发，P每秒移动2个单位长度，Q每秒移动3个单位长度，当点P，Q重合时，停止移动.设它们的运动时间为x秒，记的面积为S. (1)当时，求的面积S的值； (2)试将S表示为x的函数，并求当运动时间x为多少秒时，的面积S达到最大，最大值是多少? 十四、解答压轴新定义 74．（25-26高一上·上海·月考）若对于给定的正实数，集合定义域内任意都有. (1)若，证明：； (2)若，且，求实数的取值范围. 75．（25-26高一上·上海静安·月考）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：不是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 76．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 77．定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数． （1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值． 78．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)当时，求函数的定义域； (2)若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； (3)设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 79．（24-25高一上·上海·期末）对函数，若满足，则称与对易； (1)已知，判断以下函数是否与对易：①；②；③（直接写出结果）； (2)已知； ①若且与对易，求； ②问：共有多少种不同的集合，同时满足①是的子集且的元素个数大于或等于100；②中任意两个元素均对易. 80．（24-25高一上·上海虹口·期末）对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. (1)判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由； (2)求证：函数在上存在“漂移点”； (3)若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围. 81．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数” (1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围 (2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证： (3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由. 82．（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 83．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 84．（24-25高一上·上海松江·期末）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”． (1)判断函数，是否是“型函数”； (2)若函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数满足的关系式： (3)若定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域． 85．（24-25高一上·上海奉贤·期末）定义：对于函数，，若任意、、，都有，则称是的一个具有三角形性质的关联函数；若都有，则称是自身具有三角形性质的函数． (1)判断函数是不是函数的一个具有三角形性质的关联函数，简要说明理由； (2)若二次函数是的一个具有三角形性质的关联函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，是自身具有三角形性质的函数．求实数的取值范围． 86．（24-25高一上·上海静安·期末）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. (1)已知函数，判断是否为“局部奇函数”； (2)若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 87．（24-25高一上·上海浦东新·期末）若函数满足：在定义域内存在，使得成立， 则称函数为“函数”. (1)若，问是否为“函数”，请说明理由； (2)若，问是否为“函数”，请说明理由: (3)若，且是“函数”，则求实数的取值范围. 88．（24-25高一上·上海虹口·期末）对于函数，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. (1)判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； (2)若函数存在“优美区间”，求的最小值； (3)若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值. 89．（24-25高一上·上海嘉定·期末）对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量的值、，如果总有，则称函数在区间上是“舒缓函数”. (1)判断函数、在上是否是“舒缓函数”，并说明理由； (2)若函数在上是“舒缓函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数，的最大值是、最小值是，在上是“舒缓函数”，且，求证：. 90．（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． (1)若，，对进行变换后得到函数，解方程． (2)若，对进行变换后得到函数，解不等式． (3)若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数， 91．已知函数. (1)当时，求的值域. (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. (3)若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 92．（24-25高一上·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为． (1)若，，求； (2)已点，点在直线上，证明； (3)已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值． 93．已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 94．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. (1)若函数具有性质，求的值； (2)证明：存在常数，使得函数具有性质； (3)若函数具有性质，且其图像是一条连续不断的曲线，证明：关于的方程有解. 95．设函数定义域为D，如果存在常数K满足：任取，都有，则称是L型函数，K是这个L型函数的一个L常数. (1)判断函数，是否为L型函数？若是，给出一个对应的L常数；若不是，请说明理由. (2)设函数是定义在区间上的L型函数（对应的L常数为），是常数，证明：函数也是L型函数，并指出其L常数； (3)设函数是定义在上的L型函数，其L常数，且的值域也是，求的解析式. 96．若为定义在上的单调函数，且存在（其中），使得当时，的取值范围为，则称是上的正函数，为等域区间. (1)判断是否为函数的一个等域区间（不用说明理由，直接写出答案） (2)是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. (3)设函数，且不等式的解集恰为，求的解析式，并判断是否为的等域区间. 97．对于定义在实数集上的函数，给出如下的三个定义： ①记，，，，，其中. ②对任意的区间，记集合，并规定. 例如：若，则； ③若定义在上的函数满足对任意的区间，都存在正整数，使得，则称为区间上的“阶交汇函数”. (1)若函数，求； (2)若，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”； (3)设，若，试证明对任意的区间，总存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”. 98．对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： ①对任意的，都有； ②存在常数，使得对任意的，都有； 则称为区间上的压缩函数 特别地，若常数，我们称为区间I上的严格压缩函数． (1)判断是否为区间上的压缩函数，并说明理由； (2)已知，函数，证明：“是区间上的压缩函数”的充要条件是“”； (3)若函数是区间上的严格压缩函数，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 99．对于定义在的两个函数和，若函数满足： ①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的P函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的P函数对”，并说明理由： ①，；②，； (2)设常数，若和为“在上的P函数对”，求m的取值范围； (3)设常数，若和为“在上的P函数对”，求证：k的值有且仅有一个． 100．已知函数，，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域上是“-利普希茨条件函数” (1)判断函数①②是否是“1-利普希茨条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由； (2)若函数是“-利普希茨条件函数”，求常数的最小值； (3)若是定义在闭区间上的“2-利普希茨条件函数”，且，求最小的实数，使得对任意的都有. 试卷第1页，共3页 1 / 138 学科网（北京）股份有限公司 $