专题8.2 立体图形的直观图讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦立体图形直观图的核心知识点，系统梳理斜二测画法的步骤（平面与立体图形画法）、直观图与原图转换规律（平行于x轴线段长度不变，y轴线段直观图减半或还原加倍）及面积关系，构建从基础步骤到应用再到计算的完整学习支架。 资料通过例题与变式题结合，如辨析矩形直观图形状、由直观图还原原图等，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），通过面积关系推导与计算锻炼推理能力（数学思维）。课中辅助教师讲解重点，课后练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

专题8.2 立体图形的直观图 模块导航 · 模块一 斜二测画法的步骤 · 模块二 斜二测画法有关的计算 · 模块三 课后练习 模块一 斜二测画法的步骤 · 基础知识 1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们化成对应轴与轴，两轴相交于点，且使（或135°），它们确定的平面表示水平面。 （2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴与轴的线段。 （3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。 2．用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤 一般地，用斜二测画法画立体图形直观图的步骤如下： (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的轴和轴，作出水平平面上图形的直观图（保留轴与轴）。 （2）在立体图形中，过轴或轴的交点取轴，并使轴垂直于轴与轴。过轴与轴的交点作轴对应的轴垂直于轴与轴。 （3）图形中与轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度不变。 （4）顺次连接有关线段。 3．直观图还原平面图形 由直观图还原为平面图的关键：找与轴、轴平行的直线与线段，且平行于轴的线段还原时长度不变，平行于轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。 【考点1 斜二测画法画平面图形的直观图】 【例题1.1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【详解】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 【例题1.2】利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 【变式1.1】画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．    【答案】作图见解析 【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，然后取，画出轴和轴；根据斜二测画法的原则，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的，由此可见得到直观图. 【详解】第一步：已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴，垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系，画相应的轴和轴，使, 第二步：在轴上截取，在轴上截取，过点作轴的平行线，在沿轴正方向取点，使得，连接, 第三步：所得四边形就是直角梯形的直观图.    【变式1.2】如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】按照直观图的概念依次判断即可. 【详解】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图.    故可能是的直观图的有：③④. 故选：B. 【变式1.3】用斜二测画法，可得矩形的直观图一定为（    ） A．矩形 B．梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由斜二测画法规则能直接得到答案. 【详解】由斜二测画法规则知：平行性不变，矩形的直观图一定是平行四边形，平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半， 故选：D. 【考点2 斜二测画法画立体图形的直观图】 【例题2.1】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【分析】根据斜二测画法，即可判断选项. 【详解】平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 故选：A 【例题2.2】用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图． 【答案】作图见解析 【分析】利用斜二测画法可得直观图. 【详解】（1）先建立如图所示的空间直角坐标系，其中； （2）在轴的正半轴上截取线段，在轴的正半轴上截取线段， 过作轴的平行线，过作轴的平行线，交点为，平行四边形为长方体的底面的直观图， （3）在轴的正半轴上截取，过分别作轴的平行线，在这些平行线上分别截取， （4）顺次连接， 由上述4步则可得如图所示的长、宽、高分别为5、3、3的长方体的直观图. 【变式2.1】一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【答案】D 【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解. 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图， 直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm． 故选：D. 【变式2.2】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【答案】画图见解析 【分析】由斜二测画法的规则画出直观图即可. 【详解】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使, . ②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图. ③分别过点B、C、D作，，，且． ③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．   【变式2.3】画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可. 【详解】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得 . （2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH, 使 ,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm, 连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图. （3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线， 在这些平行线上分别截取5cm长的线段 . （4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图 【考点3 由直观图形还原几何图形】 【例题3.1】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图的画法，还原实际图形. 【详解】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为. 故选：A 【例题3.2】若一个水平放置的三角形ABC的斜二测直观图是一条边是水平线段的等边三角形，则三角形ABC的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】根据斜二测画法的规则，画出原图形即可. 【详解】如图所示，若一个水平放置的三角形ABC的斜二测直观图是一条边是水平线段的等边三角形， 则三角形ABC的形状是钝角三角形. 故答案为：钝角三角形 【变式3.1】如图，是的直观图，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】依题意，由斜二测画法规则画出对应的原图形， 在中，，，则，， 在中，，， 所以的面积为． 故答案为： 【变式3.2】水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（   ）    A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用斜二测画法的性质即可求解原图性质. 【详解】结合直观图的画法，画出原如下图：    其中，, 所以，. 所以为等腰三角形，且腰和底边不相等. 故选：B 【变式3.3】水平放置的图形直观图如图所示，其中，，那么原图形是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边互不相等的三角形 D．三边中只有两边相等的等腰三角形 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则还原平面图求解即可. 【详解】因为直观图中，，， 所以原如图，，， 所以，即是等边三角形. 故选：A 模块二 斜二测画法有关的计算 · 基础知识 1．直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为，则有或.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积。 【考点1 圆柱的认识及相关计算】 【例题1.1】如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】利用面积公式，求出直观图的高，求出，然后求出的长，即可得出三角形面积. 【详解】因为轴，所以的中，， 又三角形的面积为16，所以.∴， 所以. 如图作于， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 【例题1.2】已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是 . 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原，可得原图底边长和高，即可求出原图的面积. 【详解】还原该坐标系和直观图可得： 由斜二测画法的规定可知： ，， 则. 故答案为：. 【变式1.1】如图，四边形O'A'B'C'是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图，其中，，，.则四边形的面积是（    ） A．3 B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据斜二测画法得出，，，由此即可得解. 【详解】将直观图还原，如下图.四边形是直角梯形， 上、下底分别为，，高， 所以四边形的面积. 故选：A. 【变式1.2】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则四边形的面积为 【答案】3 【分析】画出直观图，结合斜二测画法得到各边长，并得到平面图形ABCD为梯形，求出面积. 【详解】因为，所以， 又，所以， 画出直观图，如下： 故平面图形为梯形，面积为. 故答案为：3 【变式1.3】已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（　　）    A．8 B．4 C．4 D．4 【答案】B 【分析】根据平面图形直观图的画法，将直观图还原可得. 【详解】因为是直角三角形，，所以，画出如图所示，，所以． 故选：B．    1、如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知因为，，，所以， 故，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：D. 2、如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为的等腰梯形，则原梯形面积为（   ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图：    由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图：    易知，，， 所以原梯形面积为. 故选：C. 3、用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 【答案】B 【分析】根据斜二测法的原则，结合各选项中图形的性质，即可判断正误. 【详解】由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚， 对于选项A，菱形的直观图是平行四边形，所以A错误， 对于选项B，矩形的直观图为平行四边形，所以B正确， 对于选项C，平行四边形的直观图是平行四边形，所以C错误， 对于选项D，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成，其不为等腰三角形，所以D错误， 故选：B. 4、如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图，其中.则四边形OABC的面积是（    ） A．3 B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】由斜二测画法知道四边形形状，并得到对应线段长度，由面积公式求得结果. 【详解】由斜二测画法知，四边形OABC是直角梯形，上、下底分别为，高， 所以四边形OABC的面积. 故选：A. 5、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 【答案】D 【分析】先求出直观图的面积，再利用斜二测画法的性质求解即可 【详解】由题直观图的面积为， 原图的面积等于直观图面积的倍， 所以原图的面积为，故D正确. 故选：D. 6、如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（ ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】求出矩形的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案. 【详解】依题意，矩形的面积， 而斜二测画法中直观图面积是原图形面积的， 所以的面积为. 故选：D 7、如图所示为一个平面图形采用斜二测画法得到的直观图，其直观图是一个边长为2的菱形，则该平面图形的面积为（   ）    A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用斜二测画法的规则，得到原平面图形，结合长方形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可得直观图中的菱形对应长方形， 且长方形的底边，高，面积为. 故选：C    8、已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是 【答案】 【分析】先由直观图还原，可得原图底边长和高，即可求出原图的面积. 【详解】还原该坐标系和直观图可得： 由斜二测画法的规定可知： ，， 则. 故答案为：. 9、四边形OABC的直观图为如图所示的矩形，其中，则四边形OABC的周长为 ，面积为 . 【答案】 【分析】在直观图中，设与轴交于点，根据题意求得，进而求得原图中平行四边形的高，利用勾股定理求得，从而求得平行四边形的周长和面积. 【详解】在直观图中，设与轴交于点，则. 在四边形OABC中，点的对应点为，且，所以. 又因为，且四边形是平行四边形，所以它的周长为，面积为. 故答案为：；. 10、画出下列图形的直观图： (1)棱长为4cm的正方体； (2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥． 【答案】(1)画法见解析， ； (2)画法见解析， 【分析】根据要求用斜二测法画出符合要求的直观图 【详解】（1）如下图所示，按如下步骤完成： 第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD， 第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作等于4cm，顺次连接， 第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图. （2）如下图所示，按如下步骤完成： 第一步：作水平放置的圆的直观图，使cm，cm. 第二步：过作轴，使，在上取点，使=4cm，连接，. 第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 立体图形的直观图 模块导航 · 模块一 斜二测画法的步骤 · 模块二 斜二测画法有关的计算 · 模块三 课后练习 模块一 斜二测画法的步骤 · 基础知识 1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们化成对应轴与轴，两轴相交于点，且使（或135°），它们确定的平面表示水平面。 （2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴与轴的线段。 （3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。 2．用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤 一般地，用斜二测画法画立体图形直观图的步骤如下： (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的轴和轴，作出水平平面上图形的直观图（保留轴与轴）。 （2）在立体图形中，过轴或轴的交点取轴，并使轴垂直于轴与轴。过轴与轴的交点作轴对应的轴垂直于轴与轴。 （3）图形中与轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度不变。 （4）顺次连接有关线段。 3．直观图还原平面图形 由直观图还原为平面图的关键：找与轴、轴平行的直线与线段，且平行于轴的线段还原时长度不变，平行于轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。 【考点1 斜二测画法画平面图形的直观图】 【例题1.1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【例题1.2】利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A． B．   C．   D．   【变式1.1】画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．    【变式1.2】如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1.3】用斜二测画法，可得矩形的直观图一定为（    ） A．矩形 B．梯形 C．菱形 D．平行四边形 【考点2 斜二测画法画立体图形的直观图】 【例题2.1】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【例题2.2】用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图． 【变式2.1】一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【变式2.2】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【变式2.3】画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5． 【考点3 由直观图形还原几何图形】 【例题3.1】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A．B．C．D． 【例题3.2】若一个水平放置的三角形ABC的斜二测直观图是一条边是水平线段的等边三角形，则三角形ABC的形状是 ． 【变式3.1】如图，是的直观图，若，则的面积为 ． 【变式3.2】水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（   ）    A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式3.3】水平放置的图形直观图如图所示，其中，，那么原图形是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边互不相等的三角形 D．三边中只有两边相等的等腰三角形 模块二 斜二测画法有关的计算 · 基础知识 1．直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为，则有或.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积。 【考点1 圆柱的认识及相关计算】 【例题1.1】如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ． 【例题1.2】已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是 . 【变式1.1】如图，四边形O'A'B'C'是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图，其中，，，.则四边形的面积是（    ） A．3 B． C．6 D．4 【变式1.2】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则四边形的面积为 【变式1.3】已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（　　）    A．8 B．4 C．4 D．4 1、如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2、如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为的等腰梯形，则原梯形面积为（   ）    A．2 B． C．4 D． 3、用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（ ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 4、如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图，其中.则四边形OABC的面积是（    ） A．3 B． C．6 D．4 5、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 6、如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（ ） A．4 B． C．8 D． 7、如图所示为一个平面图形采用斜二测画法得到的直观图，其直观图是一个边长为2的菱形，则该平面图形的面积为（   ）    A．4 B． C．8 D． 8、已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是 9、四边形OABC的直观图为如图所示的矩形，其中，则四边形OABC的周长为 ，面积为 . 10、画出下列图形的直观图： (1)棱长为4cm的正方体； (2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥． 学科网（北京）股份有限公司 $