期末常考点题型分类专题（基础题+中档题+拨高题）- 2025-2026学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义通过分类考点系统梳理人教版八上知识体系，按基础题（★）、中档题（★★）、拔高题（★★★）分层呈现45个核心考点，覆盖轴对称、分式、全等三角形等重点内容，以目录框架清晰呈现知识脉络，突出各考点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与素养导向练习，基础题如“轴对称图形识别”培养几何直观，中档题如“添加条件判定三角形全等”强化推理意识，拔高题如“分式方程增根问题”“动态几何探究”发展模型意识。每个考点配典型例题，基础生可掌握方法，优秀生能深入拓展，教师可据此实施分层教学，助力精准复习。

期末常考点题型分类专题（基础题+中档题+拨高题） 人教版八上 目录 一．选择题 2 【★考点1】轴对称图形的识别 2 【★考点2】科学记数法表示绝对值小于 1 的数 4 【★考点3】幂的运算 5 【★考点4】分式有意义的条件 6 【★考点5】最简分式与约分 7 【★考点6】完全平方公式的运算 9 【★考点7】等腰三角形的定义 11 【★★考点8】添加条件判定三角形全等 12 【★★考点9】用 ASA/AAS 证明三角形全等 14 【★★考点10】因式分解的定义 16 【★★考点11】多项式乘多项式的运算 18 【★★考点12】因式分解的简单应用 19 【★★考点13】幂的乘方的逆用 20 【★★考点14】线段垂直平分线的性质 21 【★★考点15】角平分线的尺规作图 23 【★★★考点16】分式方程增根、无解问题 25 【★★★考点17】平方差公式的几何意义 27 【★★★考点18】格点图中构造等腰三角形 29 【★★★考点19】全等三角形的性质与 ASA/AAS、HL 综合应用 31 【★★★考点20】分式加减的实际应用（方案辨析） 34 二．填空题 36 【★考点21】三角形的三边关系 36 【★考点22】单项式除以单项式的运算 37 【★考点23】三角形外角的定义及性质 38 【★考点24】零指数与负指数幂 39 【★考点25】等边对等角的简单应用 41 【★★考点26】成轴对称图形的特征及相关计算 42 【★★考点27】求完全平方式中的字母系数 44 【★★考点28】因式分解 45 【★★考点29】分式化简求值（不含参数） 47 【★★考点30】角平分线的性质定理 48 【★★考点31】线段垂直平分线的性质应用 50 【★★★考点32】分式的规律性问题 52 【★★★考点33】三线合一证明等边三角形的性质（含辅助线） 54 【★★★考点34】用 SAS 证明三角形全等（含动点背景） 59 【★★★考点35】最短路径问题（轴对称应用） 62 三．解答题 66 【★★考点36】整式的乘法 66 【★★考点37】因式分解 68 【★★考点38】分式化简求值 70 【★★考点39】解分式方程 73 【★★考点40】全等三角形性质与判定综合 76 【★★考点41】等腰三角形性质与判定综合 83 【★★考点42】分式方程的经济类实际问题 93 【★★考点43】分式方程的工程、行程问题 96 【★★考点44】全等三角形的性质与判定动态问题探究 99 【★★考点45】等腰三角形与全等三角形综合探究 107 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示中档题，带“★★★”表示拨高题 一．选择题 【★考点1】轴对称图形的识别 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是理解“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形”． 根据轴对称图形的定义，逐一分析四个选项的图形是否存在这样的对称轴，进而确定正确选项． 【详解】解：轴对称图形的核心是存在一条对直线，使图形沿该直线折叠后两侧完全重合． A、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形； B、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形； C、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形； D、存在一条直线，沿该直线折叠后，图形两侧能够完全重合，是轴对称图形． 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南周口·月考）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选C． 【★考点2】科学记数法表示绝对值小于 1 的数 1．（25-26八年级上·云南昭通·月考）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】解：． 故选B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）成人每天维生素D的摄入量约为0.000046g，0.000046用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法表示较小数，形式为，其中，由原数左边起第一个非零数字前的0的个数决定，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 确定的值以及的值，即可将用科学记数法表示． 【详解】解：∵中第一个非零数字前有个（包括小数点前的）， ∴ ，且，满足， ∴ ， 故选：B. 3．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）宋•苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示1粒粟的重量约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法以及实际问题中的数值计算，掌握“用科学记数法表示较小数时，的指数由原数左边起第一个非零数字前的0的个数决定”是解题的关键． 先求一粒粟的重量，再转化为科学记数法形式即可求解． 【详解】解：200粒粟的重量约为1克， 1粒粟的重量约为克， ． 故选：D． 【★考点3】幂的运算 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、和 不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘；同底数幂相乘：底数不变、指数相加，是解题的关键． 本题需根据规则逐一计算并判断选项正误． 【详解】解：幂的乘方法则：，同底数幂相乘法则：． A、，不符合题意； B、，且负号在外， ，不符合题意； C、， ，与选项一致，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·重庆永川·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项的法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 【★考点4】分式有意义的条件 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）无论取什么值时，下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，据此逐项判断即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 、∵分母为 ， ∴该分式一定有意义，该选项符合题意； 、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·吉林长春·月考）当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）若分式的值为0，则的值为（    ） A．1或−1 B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是熟练掌握分式值为0时，则分子为0，分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴. 故选：C． 【★考点5】最简分式与约分 1．（25-26八年级上·云南保山·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式，根据最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查各选项分子与分母是否可约分． 【详解】解：∵选项A∶，分子与分母有公因式x，可化简为，不是最简分式； ∵ 选项B∶，分子x与分母3x+1无公因式，是最简分式； ∵ 选项C∶ ，分子与分母有公因式3，可化简为，不是最简分式； ∵ 选项D∶，分母，与分子有公因式，可化简为，不是最简分式． 故选B． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，解题的关键在于对每一个选项的分子分母进行因式分解，看是否存在公因式，若不存在，则为最简分式． 通过检查各选项分子与分母是否有公因式，判断是否可约分，从而确定最简分式． 【详解】解：、因为分子分母有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分子与分母无公因式，所以不可约分，是最简分式； 故选：． 3．（25-26八年级上·山东威海·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义、分式的基本性质、分式值为0的条件和最简分式的概念．根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A． ∵ 分母π是常数，不是字母， ∴ 是整式，不是分式，故A错误． B． ∵ x，y都扩大3倍后，分式变为，值扩大3倍，故B错误． C． ∵ 分式值为0， ∴ 分子且分母． 由得，由得， ∴ ，故C正确． D． ∵ （），可约分， ∴ 不是最简分式，故D错误． 因此，正确的是C． 故选：C． 【★考点6】完全平方公式的运算 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、完全平方公式、平方差公式和整式的除法，需根据运算法则逐一判断． 按照运算法则判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 2．（2025·四川乐山·二模）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·天津滨海新·月考）下列式子：①；②；③．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．② D．① 【答案】A 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 利用平方的性质：任何数的平方都等于其相反数的平方，即，对每个式子进行变形验证． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，且， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确． ∴①②③均正确， 故选：A． 【★考点7】等腰三角形的定义 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性、三角形形状的判定，解题的关键是利用非负性求出边的关系． 根据绝对值和平方数的非负性，由已知等式得出，进而判断三角形形状． 【详解】解：绝对值和平方数均具有非负性，即， 且，即， ， 由于是的两边长，因此有两边相等，是等腰三角形． 故选：B． 2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则它的周长为（    ） A．18或21 B．18 C．21 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： （1）腰长为5，则周长为： （2）腰长为8，则周长为： 综上，周长为18或21． 故选：A． 3．（2025·广东清远·一模）将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：C． 【★★考点8】添加条件判定三角形全等 1．（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，，若用“”判定，则需要添加的条件是（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在与中，已知，添加一个条件，使，下列各选项中，添加不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边判定三角形全等是关键． 根据全等三角形的判定分析即可． 【详解】解：根据题意，， A、添加，可以运用边角边证明，不符合题意； B、添加，不能运用边边角证明，符合题意； C、添加，可以运用角角边证明，不符合题意； D、添加，则，即， 结合题意，可以运用角边角证明，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴，即，且， 添加①，运用边角边可判定； 添加②，不能运用边边角判定； 添加③，运用角边角判定； 添加④，不能判定． 综上所述，可以使的有①③，共2个， 故选：C． 【★★考点9】用 ASA/AAS 证明三角形全等 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在和中，点B、F、C、E在同一直线上，，，请添加一个条件，能用“”使，这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键．根据已知条件易证得，，要根据得出，则需添加条件即可． 【详解】解：， ，即， ， ， 添加，可根据得出，故C选项符合题意， 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）假如航天员在维护中国空间站核心舱时，发现一块三角形硅晶体太阳能电池板因微陨石撞击碎裂成三块（如图所示）．为确保电池板结构完整与输出效率，需在地面紧急制造一块完全相同的备用件．依据全等三角形的判定条件，利用哪块碎片能最高效准确地复现原电池板？（   ） A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定，逐项分析判断即可． 【详解】解：由图，可知， 第①块碎片只知道一个角，第②块碎片所有的角与边都不知道，无法复现电池板； 第③块碎片包括两个角与一条夹边，根据，得利用碎片③能最高效准确地复现原电池板． 故选C． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，且，请添加一个条件能用“”使是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，常用的判定定理有、、、、，解题的关键是熟知这些基本判定定理．根据平行线的性质定理可判定，然后结合四个选项中给定的条件，逐个判断能否使． 【详解】解：A项，， ， 由得， ， ， ， 故A选项不符合题意； B项，， ， 故B选项不符合题意； C项，添加的条件不能使， 故C选项不符合题意； D项，， 故D选项符合题意． 【★★考点10】因式分解的定义 1．（25-26八年级上·新疆·月考）下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，需从左边多项式变形到右边积的形式，据此求解即可． 【详解】A．左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B．左边是多项式，右边是整式的平方（即积的形式），属于因式分解； C．右边不是积的形式，而是和的形式，不是因式分解； D．左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解． 故选：B． 2．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键；将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，从而求出参数 a 的值． 【详解】解：∵， 又∵能因式分解为， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解： A．右边为 ，不是积的形式，故错误，不符合题意； B． ∵ ，故错误，不符合题意； C．左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解，故错误，不符合题意； D．，符合因式分解的定义并分解正确，符合题意． 故选：D． 【★★考点11】多项式乘多项式的运算 1．（25-26八年级上·河南信阳·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式求得，再根据多项式相等的条件求出的值即可掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 比较一次项系数，得， 即， 故选：． 2．（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握其运算规则是解题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）已知 ，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值．通过展开表达式，并利用已知条件和代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 又∵，， ∴， 故选：D． 【★★考点12】因式分解的简单应用 1．（25-26八年级上·新疆·月考）学校有一块长和宽分别为，的长方形育苗基地，它的周长为，面积为，则的值为（   ）． A．480 B．240 C．120 D．200 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用长方形周长和面积公式求出，，再将所求代数式因式分解后代入计算． 【详解】∵周长为， ∴， ∴， ∵面积为， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 利用平方差公式因式分解，并代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期中）对于任意整数n，多项式都能被以下哪个数整除（   ） A．9 B．2 C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，将多项式进行因式分解后进行判断即可． 【详解】解： ； 故多项式能被9整除； 故选A． 【★★考点13】幂的乘方的逆用 1．（25-26八年级上·福建莆田·月考）计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． 逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选C． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较幂的大小关系，将指数统一为11次幂，比较底数大小即可 【详解】∵ ，，， 又∵， ∴， 即； 故选C． 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）已知，其中为正整数，则（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则，将转化为与的乘积，再代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 【★★考点14】线段垂直平分线的性质 1．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图、线段的垂直平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，垂直平分， ∴． 故选：C ． 2．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，垂直平分，若，，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得出，由此可得出结论． 【详解】解：∵垂直平分，，， ∴， ∴的周长 ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，分别是的边、的垂直平分线，若，，则的周长是多少（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵，分别是的边、的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故选：A． 【★★考点15】角平分线的尺规作图 1．（2025·北京·一模）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定．根据证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ， 射线平分． 故选：B． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点H，若，，则的面积是（    ） A．3.5 B．7 C．14 D．14.5 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由作图过程可知，射线为的平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由作图过程可知，射线为的平分线， 过点作于点， ， ， 的面积是． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东·课后作业）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 由题意可知，点O为各个内角的平分线的交点，结合各选项图的作图痕迹可得答案． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴点O是角平分线的交点， 由各选项的作图痕迹可知，D选项中，点O为和的平分线的交点，即D选项符合题意． 故选：D． 【★★★考点16】分式方程增根、无解问题 1．（2022·四川眉山·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即或，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得： ， 化简得：， ∵增根为或， 当时，代入得：，解得； 当时，代入得：，解得； ∴m的值为6或； 故选B． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据方程无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况． 对分式方程进行求解整理，然后根据分式无解的情况进行求参数即可． 【详解】解： 当时，方程无解，此时，； 当时，即时，方程无解，此时； 故选：D． 【★★★考点17】平方差公式的几何意义 1．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图所示，将一个边长为的正方形减去一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于的恒等式． 【详解】解:正方形中，， 拼接后等腰梯形的面积， ∵面积相等， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，利用如图所示的几何图形可以证明（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平方差公式几何意义，解题关键在于结合面积的计算方法进行验证． 利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可解答． 【详解】解：根据图形大正方形的面积为， 小正方形的面积为， 每个梯形的高为， 利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 可得式子， 所以利用如图所示的几何图形可以证明， 故选：A． 3．（25-26八年级上·河南新乡·月考）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图1），然后将剩余部分剪拼成一个梯形（图2）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于底为，高为的梯形的面积，由此即可得． 【详解】解：根据题意可知，图①剩余部分的面积为：， 图②拼成的梯形的底为，高为， ∴剩余部分的面积为， 故． 故选：D． 【★★★考点18】格点图中构造等腰三角形 1．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．结合图形，利用格点，分别讨论A、B、C分别为顶点时的情况，即可解决． 【详解】解：如图，以A为顶点时，符合条件的C点有、、、、，以B为顶点时，符合条件的C点有、，当C点为顶点时，没有符合条件的C点，故符合条件的点C共有7个． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点； 当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、； 综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是， 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 【★★★考点19】全等三角形的性质与 ASA/AAS、HL 综合应用 1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，在中，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据，求出，再证，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了三角形面积的计算，利用全等求高是解答本题的关键．作，垂足为E，作，交的延长线于点F，先根据等腰三角形的性质得，再证明，得，即可求的面积． 【详解】解：由题意，作，垂足为E，作，交的延长线于点F，如图： 是等腰三角形的中线， ， 的面积为：． 故选：D． 3．（2025八年级上·安徽·专题练习）如图，中，点D为的中点．点E是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图所示： ∵点D为的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【★★★考点20】分式加减的实际应用（方案辨析） 1．（25-26八年级上·广西来宾·期中）新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该车间有名工人，依题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该车间有名工人，依题意得： ， 故选：C． 2袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么x满足怎样的分式方程？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两块试验田每公顷产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为，利用种植面积=总产量÷每公顷的产量，结合两块试验田的面积相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为， ∴第二块试验田每公顷的产量为， 根据题意得，， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 二．填空题 【★考点21】三角形的三边关系 1．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）等腰三角形一边长为8，一边长为2，则第三边是 ． 【答案】8 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．分8为腰和底边两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为8，另一边长为2， ∴当8为腰长时，底为2，第三边的长也是8，，符合三角形三边关系； 当8为底时，腰长为2，第三边的长是2，，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形 ∴第三边的长为8． 故答案为：8． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若三角形的三边长为整数，且，，那么边c的最大值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键；根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解c的取值范围，再取最大整数值即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得，即， ∵三角形的三边长为整数， ∴边c的最大值为7； 故答案为：7． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知、是等腰的两边且，则的周长是 ． 【答案】10或11 【分析】该题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，利用非负数的性质求出a和b的值，再根据等腰三角形的定义，分情况讨论三角形的三边组成，并验证三角形不等式是否成立，从而求出周长． 【详解】解：由，根据非负数的性质，得且， 解得，． 因为是等腰三角形，且和是两边，所以有两种情况： ①当腰长为3，底边为4时，三边分别为3、3、4，满足三角形不等式（，，），周长为； ②当腰长为4，底边为3时，三边分别为4、4、3，满足三角形不等式（，，），周长为． 故答案为：10或11． 【★考点22】单项式除以单项式的运算 1．（25-26八年级上·广东惠州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，解决本题的关键是正确使用运算法则并计算． 运用法则将多项式的每一项分别除以单项式，再结合同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为 ． 2．（25-26八年级上·天津宁河·月考）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）已知长方形的面积是，若其一边长是，则另一边长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的应用，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，据此列式求解即可． 【详解】解： ∴另一边长是， 故答案为：． 【★考点23】三角形外角的定义及性质 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 在中，，外角，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角、邻补角的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先得到的度数，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，，如果，，那么的度数为 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，点A与点B，点C与点D是对应顶点，， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点；若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，三角形的外角性质，根据的角平分线和的外角平分线交于点，得，结合三角形的外角性质进行分析，则，代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：∵的角平分线和的外角平分线交于点， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【★考点24】零指数与负指数幂 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】8 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，正确地计算是解题的关键． 利用负整数指数幂和零指数幂法则进行计算即可． 【详解】解：∵， = 1， ∴原式． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用积的乘方逆运算进行计算，再根据零指数幂和负指数幂法则计算其他项，最后进行加减运算 【详解】解：原式= = = =． 故答案为． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）计算： ． 【答案】 【分析】应用负整数指数幂和零指数幂的运算法则分别计算各部分后相加即可；本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 【★考点25】等边对等角的简单应用 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，于点，则= ° 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等、直角三角形两锐角互余是解题的关键． 先根据等腰三角形性质求出底角的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·河南安阳·期中）在中，，，则的度数为 【答案】 【分析】本题主要考查等边对等角、三角形内角和定理等知识点，掌握等边对等角是解题的关键． 根据等边对等角可得，再结合利用三角形内角和为求解即可． 【详解】解：∵， ∴（等边对等角）． ∵，且， ∴，即， 又∵， ∴． 故答案为70． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，若，则 ． 【答案】 【分析】题目主要考查了等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．先根据，得，则，结合三角形内角和性质以及，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【★★考点26】成轴对称图形的特征及相关计算 1．（25-26七年级上·上海·月考）如果点与点关于直线对称，而且点到的距离是，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握“关于某直线对称的两点，到对称轴的距离相等，且对称轴是两点连线的垂直平分线”是解题的关键． 根据轴对称的性质，确定点、到对称轴的距离关系，进而计算线段的长度． 【详解】解：∵点与点关于直线对称， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查轴对称的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，根据轴对称的性质先求出等于，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵与关于直线对称， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；由轴对称的性质可知，然后根据及三角形的周长公式可进行求解． 【详解】解：由轴对称的性质可知， ∵，的周长， ∴的周长， 故答案为：9． 【★★考点27】求完全平方式中的字母系数 1．（25-26八年级上·内蒙古·期末）若是一个完全平方式，则实数的值为 【答案】 【分析】本题考查了求完全平方式中字母系数，关键是将一般形式变形为然后将其展开，对比一次项系数即可． 【详解】解：因为 是一个完全平方式， 所以可以变形为 所以． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式的特点．给定整式为完全平方式，可将其与展开式比较系数，从而建立关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的整式是某个整式的平方， ∴可设， 比较系数得：． 当时， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得：． 故的值为或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 根据完全平方公式，对于形如的二次式，若其为完全平方式，则常数项等于一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解：由题意，整式为某完全平方式展开后的结果，则根据完全平方公式，可得， ， 故答案为：． 【★★考点28】因式分解 1．（2025·新疆·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再对应用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·期末）教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用十字相乘法求解一元二次方程，判断是否可以利用十字相乘法是解题的关键． 首先观察这个式子的二次项系数，常数项和一次项系数，利用十字相乘法运算得到即可． 【详解】解：∵这个式子的二次项系数，常数项，一次项系数， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东临沂·月考）因式分解： （1） （2） 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，包含平方差公式与完全平方公式的使用，解决本题的关键是正确使用公式化简． （1）连续两次应用平方差公式进行分解即可； （2） 先提取公因式，再应用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 【★★考点29】分式化简求值（不含参数） 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，则 ． 【答案】 1 + 2 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，将已知条件平方后减去常数项，即可求解； 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：. 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）若，，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式化简求值，先化简得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故答案为：4． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的加减乘除法则，先将分式进行化简，然后根据题意可知，代入即可求值． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【★★考点30】角平分线的性质定理 1．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，角平分线的性质定理，含直角三角形的性质， 先根据线段垂直平分线的性质定理得，再根据“等边对等角”得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出，即可根据角平分线的性质定理得，接下来根据直角三角形的性质得，最后根据得出答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：9． 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，平分，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点D作于点E，于点F， ∵平分， ∴， 又，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，利用角平分线的性质，推导点到、的距离相等是解题关键． 作到、、的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过的面积求出垂线段长度，用该长度计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点分别作、、的垂线，交延长线于点，交延长线于点，交于点． 平分，平分， ，， ， 已知，，， ， 解得，即， ． 故答案为：． 【★★考点31】线段垂直平分线的性质应用 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，进而求解即可．． 【详解】解：是的垂直平分线 ∵ ∴． 故答案为：3． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边点D、E且的周长为，则的长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出、是解此题的关键． 根据线段垂直平分线性质得出，，求出即可． 【详解】解：，分别是，的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， 即， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：由作图可知，， 的周长， ， ， 故答案为： 【★★★考点32】分式的规律性问题 1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上面的规律归纳出一个一般的结论 （用含n的等式表示，n为正整数）． 【答案】 【分析】此题考查了解决数式变化规律问题的能力，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律．通过前4个等式的规律可得此题结果． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第个等式为 ， 故答案为：． 2．（20-21八年级上·甘肃陇南·期末）观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【答案】 【分析】先根据已知等式归纳类推出，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，归纳类推得：， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键． 3．（21-22八年级下·广东佛山·月考）已知（a不取0和-1），，… 按此规律，请用含a的代数式表示 ． 【答案】a+1/ 1+a 【分析】根据题意可得，，，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得的值． 【详解】解：∵（a不取0和-1）， ∴， ， ， …， ∴3个一循环， ∵2020÷3=673…1， ∴． 故答案为：a+1． 【点睛】本题考查数字的变化类、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律． 【★★★考点33】三线合一证明等边三角形的性质（含辅助线） 1．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则 ，的长为 ． 【答案】 9或1 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交AC于点M， 由知为等边三角形， ，， 为等边的边的中点， ，， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或 故答案为：，9或 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，过作的平行线交于点，所以，又是等边三角形，得，，，然后证明，故有，因为，是等边三角形，所以，，设，则，，最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作的平行线交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在等边中，，点在边上，；点是边上一点，连接．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的定义以及性质．连接，证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出，，利用外角的定义以及性质得出，证明，由全等三角形的性质可得出，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 【★★★考点34】用 SAS 证明三角形全等（含动点背景） 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形： 如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【★★★考点35】最短路径问题（轴对称应用） 1．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）如图，等腰腰长为6，等腰的斜边，点为边的中点，若等腰绕点旋转，则点到点的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，连接，如图所示，由等腰直角三角形的判定与性质得，然后利用三角形三条边的关系求解即可．确定当三点共线且点不位于点之间时有最大值是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 在等腰中，，且， ∵点为边的中点， 由等腰三角形三线合一性质可知，即是斜边上的高线， ∴， 、均为等腰直角三角形， ． 等腰的斜边， ． 当三点不共线时，由三角形的三边关系可知，此时一定有；即当三点共线且点不位于点之间时有最大值，此时有， 等腰腰长为6， ∴，即点到点的距离的最大值为． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故答案为：8，8． 3．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，点C、D在线段的同侧，，M是的中点， ； ②长的最大值是 . 【答案】 /60度 19 【分析】根据补角的定义即可求解；②作点A关于的对称点，作点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：，， ， 故答案为：； ②如图，作点A关于的对称点，作点B关于的对称点， ∵，， ， ， ， 为等边三角形， ， 的最大值为19， 故答案为：19． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题． 三．解答题 【★★考点36】整式的乘法 1．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的混合运算，掌握乘方、零指数幂的运算法则，单项式乘除法则是解题关键． （1）先处理乘方、零指数幂、绝对值等特殊运算，再按乘除加减顺序计算． （2）先分别算整式的乘除，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·全国·期末）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法以及整式的运算． （1）先根据同底数幂的乘法，再根据幂的乘方、积的乘方计算，接着根据同底数幂的除法计算，最后合并同类项计算即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据单项式乘以多项式计算，最后合并同类项计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算与化简求值 (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘除，即可得出答案； （2）先去括号，再合并同类项，化简后再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ， 当时， ． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）先运用完全平方公式和平方差公式展开式子，然后合并同类项即可． （2）先计算积的乘方，再计算多项式除以单项式． 【详解】（1）解： （2）解： 【★★考点37】因式分解 1．（25-26八年级上·海南海口·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法因式分解． （1）先将原式变形为，再提取公因式，然后运用平方差公式分解因式即可； （2）运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·海南海口·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． （）先提取公因式，再根据平方差公式二次分解即可； （）先提取公因数，再根据完全平方公式进行二次分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是∶ （1）根据十字相乘法进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 4．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）运用提公因式以及公式法分解因式即可． （2）两次运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） ． 【★★考点38】分式化简求值 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）直接运用分式的混合运算法则计算即可； （2）先运用分式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当时，原式． 2．（22-23八年级上·四川泸州·期末）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算多项式乘以多项式和完全平方公式，然后去括号合并即可； （2）首先将括号内通分然后相加，然后将括号外除法转化为乘法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 3．（25-26九年级上·广东梅州·期中）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先通分，再把分子相加减即可； （2）先算括号里面的，再算除法，再把代入进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 【★★考点39】解分式方程 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 所以，是原方程的根． 2．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）解分式方程． (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程． （1）两边乘化为整式方程，求解后检验即可； （2）原方程化为，两边乘化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】（1）解：， 两边乘得， ， ， ， 检验：当时，， 故是原方程的解； （2）解：， 原方程化为， 两边乘得， ， ， ， 检验：当时，分母，故是增根，原方程无解． 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，同时要注意验根，避免增根． （1）先去分母化为整式方程求解，最后验根发现增根，确定方程无解； （2）先对分母因式分解找到最简公分母，去分母转化为整式方程求解，验根后确定解的有效性． 【详解】（1）解：， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解：， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， 系数化为1：， 经检验，是原方程的根， ∴原方程的解是． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意需检验． （1）根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再检验即可解答． （2）根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再检验即可解答． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 检验：把代入最简公分母，， 故原分式方程的解为； （2）解： 变形为， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 检验：将代入中可得， 故原方程的解为． 【★★考点40】全等三角形性质与判定综合 1．（23-24七年级上·全国·期末）如图，中，，分别平分，相交于点P． (1)求的度数； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形． （1）先由，得到，然后由分别平分得到的值，进而得到的度数； （2）在上截取，连接，然后证明，从而得到，然后由得到，进而得到，可证，即可得到，最后得到． 【详解】（1）解：， ， 分别平分， ， ， ． （2）解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又∵平分， ， 在和中 ， ， ， ． 2．（21-22七年级下·陕西西安·期末）如图1，在中，，的平分线BD，CE相交于点O． (1)试说明． (2)如图2，． ①的度数为__________； ②猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析． (2)①，②，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）①先根据求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出答案； ②在边上截取，连接，只要证明，可得即可证明． 【详解】（1）解：∵分别为角平分线， ∴， ； （2）解：①， ， ∵分别为，角平分线， ∴， ； 故答案为：； ②，理由如下： 在边上截取，连接，如图： 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用证明即可； （2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵F为的中点， ∴， 又∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，． (1)如图1，证明：； (2)如图2，，点，分别在，上，连接，过点作，连接，，恰好满足平分．请猜想线段，，间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1)证明见详解 (2)，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意可得，再利用证明即可； （2）在上截取，连接、，由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，证明，出，，证明，得出，从而求出，再证明，得出，即可推出，即可得证； 【详解】（1）证明: ， ，即， 又，， ． （2）解：，证明如下： 在上截取，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【★★考点41】等腰三角形性质与判定综合 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知等腰中，．过点作射线，上取一动点，连结．过点作平分交的延长线于点． (1)若，当时，请求出的度数； (2)当点与点恰好关于对称，且时，求证：； (3)在点运动的过程中，与是否存在某一不变的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据题意，，解答即可； （2）先根据点与点恰好关于对称，且，计算，再根据平行线的性质，等腰三角形的性质，确定，根据平行线的判定即可得证； （3）根据平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，变形证明即可． 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：点与点恰好关于对称， ， ∵平分， ∴， 又， ，， ， 等腰中，， 又， ， ． （3）解：，理由如下： ， ， 又， 设， 则 平分， 设， 则 在中， 由为的外角，得， ． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在中，，点是的中点，过点作，且与延长线相交于点． (1)如图，连接，求证：是等腰三角形； (2)如图，当时，求证：； (3)如图，当时，线段，，之间又存在怎样的数量关系？请给出证明． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点是的中点，，则点在的垂直平分线上，然后根据垂直平分线性质可得，然后通过等腰三角形定义即可求证； （）过作于点，由角平分线性质可得，然后证明，所以，从而有，然后通过线段和差即可求证； （）设，交于点，过作，连接，由垂直平分线性质可得，则，然后证明，所以，然后证明 ，最后通过线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：∵点是的中点，， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：过作于点， ∵是等腰三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，设，交于点，过作，连接， 由垂直平分线性质可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，     ∴． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在等边三角形中，点分别在边和边上（点不与点重合，点不与点重合），且． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)求证：是等腰三角形； (3)若是锐角三角形，请直接写出度数的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明即可； （2）由，得到，等边三角形，得到，则，继而由等角对等边证明即可； （3）找出两个临界位置，当时，可得，则，再由互余求解，当点重合时，如图，此时，即可求解范围． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：当时，如图， ∵由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点重合时，如图，此时， ∴是锐角三角形时，． 4．（21-22七年级下·四川成都·期末）已知中，以点为直角顶点作等腰，，． (1)如图1，若，求点到线段的距离； (2)如图2，当改变线段，的长度时，直角边交线段延长线于点，斜边交线段延长线于点，且点恰为中点时，连接，求证：； (3)如图3，当改变线段，的长度时，直角边交线段延长线于点，斜边交线段延长线点，若始终是平分线，试探究：线段与之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于点D，根据题意证明出，得到即可求解； （2）过点作交延长线于点，先证明就可以得出，，再证明就可以得出结论； （3）在上截取，连接，由对称性得，，可证，再证明就可以得出结论． 【详解】（1）如图所示，过点C作于点D ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴点到线段的距离为2； （2）证明：过点作交延长线于点， ， ． ， ． ，， ， ． 在和中 ， ． ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：在上截取，连接    由对称性得，． ． ． 是的平分线， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ． ． 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 【★★考点42】分式方程的经济类实际问题 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元； (2)最多可以采购个乙种型号玩偶． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程． （1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可； （2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得 ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设可以采购个乙型玩偶， 根据题意得，， ， ， 解得． 答：最多可以采购个乙种型号玩偶． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【答案】(1)该商店“湘湘”的购进单价为30元 (2)“超超”的售价最低应该定为每件42元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元，根据“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个，列出分式方程，解方程即可； （2）设“超超”的售价应该定为每件m元，根据要使得总利润不低于640元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商店“湘湘”的购进单价为30元； （2）解：由（1）可知，“湘湘”的购进单价为30元，则其购进数量为（个）；“超超”的购进单价为（元），则其购进数量为（个）， 设“超超”的售价应该定为每件m元， 由题意得：， 解得：， 答：“超超”的售价最低应该定为每件42元． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 【答案】(1)羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元 (2)最多能培育黑松露36公斤 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意是解题关键； （1）设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元， 根据题意得，，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元． （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤． 由题意得，，解得， 又∵，∴， ∴的最大值为36 答：最多能培育黑松露36公斤． 4．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）生长在海拔2100—2400米的甘肃临夏地区的啤特果，果味酸甜、性温，有多种氨基酸、糖类、维生素和钾、钙、铁等微量元素，是一种品质极高的绿色食品，由它加工成的果汁，酸甜可口，性温护胃．某超市一月份购进了一批红色礼盒和蓝色礼盒包装的啤特果果汁饮料，已知用4000元购进红色礼盒的数量与用5000元购进蓝色礼盒的数量一样多，其中每盒蓝色礼盒的进价比每盒红色礼盒的进价多10元． (1)每盒红色礼盒和蓝色礼盒的进价分别是多少元？ (2)该超市计划春节期间销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料共800盒，每盒红色礼盒和蓝色礼盒售价分别为60元和80元，销售利润为22000元，销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料各多少盒？ 【答案】(1)红色礼盒进价40元，蓝色礼盒进价50元 (2)销售红色礼盒200盒，蓝色礼盒600盒 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）利用购进数量相等列方程求进价即可； （2）利用总盒数和总利润列方程组求销售数量即可． 【详解】（1）解：设红色礼盒进价为x元/盒，则蓝色礼盒进价为元/盒． 根据题意，， 方程两边同时乘以，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以红色礼盒进价40元，蓝色礼盒进价50元； （2）解：设销售红色礼盒a盒，蓝色礼盒b盒． ， 解得：， 所以销售红色礼盒200盒，蓝色礼盒600盒． 【★★考点43】分式方程的工程、行程问题 1．（25-26七年级上·上海·月考）聪聪在长为180米的跑道上训练机器人． (1)若A机器人匀速行走1分钟后，提速到原速的1.5倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点．求A机器人走完全程所花的时间．（用一元分式方程求解） (2)若B机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；C机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．已知，，，试比较B、C两机器人行走的时间，大小，并说明理由． 【答案】(1)分钟 (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：B机器人所需时间， C机器人所需时间， ， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 1．如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 2．B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 【答案】A型机单独工作完成这批零件需要15小时 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 设A型机完成这批零件所用的时间为小时，则B型机完成这批零件所用的时间为小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：A型机单独工作完成这批零件需要小时，则B型机单独工作完成这批零件需要小时． 依题意得： 解得： 检验：当时，，，，符合题意， 所以原分式方程的解为． 答：A型机单独工作完成这批零件需要15小时． 3．（17-18八年级下·湖南·期末）某项工程需要在规定的时间内完成，若甲队单独做正好可以如期完成，若乙队单独做，将会延期三天完成．现由甲乙两队合作两天，余下的工程由乙队单独做，恰好也如期完成． (1)问规定的工期是多少天？ (2)若先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成吗？为什么？ 【答案】(1)规定的工期为天 (2)能完成，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）设规定的工期为天，则乙完成需要天，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由（1）可得，甲完成需要天，乙完成需要天，再根据题意列式计算即可得解． 【详解】（1）解：设规定的工期为天，则乙完成需要天， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴规定的工期为天； （2）解：能完成，理由如下： 由（1）可得，甲完成需要天，乙完成需要天， ， 故先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成． 4．（18-19九年级上·辽宁大连·期末）举世瞩目的港珠澳大桥于年月日建成通车，这对促进我国三地经济发展具有十分重要的战略意义，今后，香港、澳门、珠海三地之间的时空距离将大大缩短，大桥建成前，驾车从香港特别行政区到珠海某地路程为千米，大桥建成后，两地路程缩短为原来的一半，平均速度也比原来快千米/小时，这样，相同的两地行驶时间只需原来的，求港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度？ 【答案】千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，设港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度是千米/小时，根据“相同的两地行驶时间只需原来的，”建立方程求解，并检验，即可解题． 【详解】解：设港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度是千米/小时， 根据题意得：， 解得，， 经检验， 是原方程的解且符合题意． 答：港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度是千米/小时． 【★★考点44】全等三角形的性质与判定动态问题探究 1．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)不变， 【分析】（）连接，证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵，，是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：四边形面积不会发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积不会发生变化，面积为． 2．（21-22八年级上·浙江台州·期末）如图，已知等边，点D、E是、上的动点，连结，相交于点O，． (1)求证：； (2)连接，若，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度是2或4 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质； （1）根据等边三角形的性质证明，进而可以解决问题； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵是等边三角形． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当时， ∵， ∴． 设∵， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得； ②当时，，， 设， 同理可得， ． 综上可知：的长度是2或4． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）和是全等的等腰直角三角形，、、，点E是上一动点，点F在线段的延长线上，当时，交于点G，连接． (1)求证：． (2)当点E运动到使的位置时，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)是等腰直角三角形，详见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角以及已知条件可得，即，进而得到即可解答． 【详解】（1）证明：∵和是全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴等腰直角三角形． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M，试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点D在射线上时，连接交直线于点M，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算，掌握三角形全等的判定是解题的关键． （1）根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）理由：如图2，作交的延长线于点F，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）如图3，点D在的延长线上，作交的延长线于点F，则，根据全等三角形 的判定和性质定理得到，得到，求得，设，则，得到，如图4，点D在线段上，设，则，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：， 理由：如图2，作交的延长线于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵． （3）解：当点D在的延长线上时，作交的延长线于点F，如图3， 则， ∴ 又∵，即 ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ∴， ， ∴， ∴ 的值为； 当点D在线段上时，如图4， 由（1）知：， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 【★★考点45】等腰三角形与全等三角形综合探究 1．（25-26八年级上·安徽六安·期末）问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， (1)如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为_____； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． (3)如图3，当，（），且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①，，理由见解析；② (3)当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时， 【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． （1）利用三角形外角的性质可得，，根据可得； （2）证明，可得，，根据可得，问题得证； （3）分两种情况讨论：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，在上截取，连接，证明，根据等腰三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解：①结论：，； 证明：由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； ②∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：； （3）解：当点D在线段上时，在上截取，连接，如图所示： 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点D在线段延长线上时，在延长线上截取，连接，如图所示： 同理可证∴，， ， ∴ 综上所述：当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【答案】(1)等边三角形 (2)见解析 (3) 【分析】根据全等三角形的判定与性质得出，，进而利用等边三角形的判定解答即可； 根据等边三角形的性质得出，，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； 作交于点E，可证明是等边三角形，则，而是等边三角形，所以，，则，进而证明，得． 此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【详解】（1）解：点O是线段的中点， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）证明：是等边三角形，是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，作交于点E，则，， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形； ，， ， 在和中， ， ， ， 的度数是． 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，，三点共线时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，找出等量条件证明三角形全等以及准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，求证即可； （2）由（1）中全等，得出，结合角度计算即可； （3）首先根据中点的性质，准确添加辅助线，属于倍长中线模型，即可得，结合前两问中的等量关系，证明出，故可得，即可证出． 【详解】（1）解：∵与均为等边三角形， ∴，，且， ∵，， ∴，结合，， ∴， ∴． （2）解：若，，三点共线， 则 由（1）中， ∴， ∵，， ∴． （3）解，延长至点，使得，连接，如下图所示： ∵点为中点， ∴，又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴， 由（1）中， ∴，结合，， ∴， ∴，∵， ∴． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，再求得，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得，，再证明，然后由全等三角形的性质即可得到结论； （3）先证明是等腰三角形，得，再证明，进而证明，然后证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为等边三角形， ，， 由（1）可知，， 在与中， ， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ，，， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末常考点题型分类专题（基础题+中档题+拨高题） 人教版八上 目录 一．选择题 2 【★考点1】轴对称图形的识别 2 【★考点2】科学记数法表示绝对值小于 1 的数 3 【★考点3】幂的运算 3 【★考点4】分式有意义的条件 4 【★考点5】最简分式与约分 4 【★考点6】完全平方公式的运算 4 【★考点7】等腰三角形的定义 5 【★★考点8】添加条件判定三角形全等 5 【★★考点9】用 ASA/AAS 证明三角形全等 6 【★★考点10】因式分解的定义 7 【★★考点11】多项式乘多项式的运算 7 【★★考点12】因式分解的简单应用 7 【★★考点13】幂的乘方的逆用 8 【★★考点14】线段垂直平分线的性质 8 【★★考点15】角平分线的尺规作图 9 【★★★考点16】分式方程增根、无解问题 10 【★★★考点17】平方差公式的几何意义 11 【★★★考点18】格点图中构造等腰三角形 12 【★★★考点19】全等三角形的性质与 ASA/AAS、HL 综合应用 12 【★★★考点20】分式加减的实际应用（方案辨析） 13 二．填空题 14 【★考点21】三角形的三边关系 14 【★考点22】单项式除以单项式的运算 14 【★考点23】三角形外角的定义及性质 15 【★考点24】零指数与负指数幂 15 【★考点25】等边对等角的简单应用 16 【★★考点26】成轴对称图形的特征及相关计算 16 【★★考点27】求完全平方式中的字母系数 17 【★★考点28】因式分解 17 【★★考点29】分式化简求值（不含参数） 17 【★★考点30】角平分线的性质定理 18 【★★考点31】线段垂直平分线的性质应用 18 【★★★考点32】分式的规律性问题 19 【★★★考点33】三线合一证明等边三角形的性质（含辅助线） 20 【★★★考点34】用 SAS 证明三角形全等（含动点背景） 20 【★★★考点35】最短路径问题（轴对称应用） 21 三．解答题 22 【★★考点36】整式的乘法 22 【★★考点37】因式分解 23 【★★考点38】分式化简求值 23 【★★考点39】解分式方程 24 【★★考点40】全等三角形性质与判定综合 24 【★★考点41】等腰三角形性质与判定综合 26 【★★考点42】分式方程的经济类实际问题 27 【★★考点43】分式方程的工程、行程问题 28 【★★考点44】全等三角形的性质与判定动态问题探究 29 【★★考点45】等腰三角形与全等三角形综合探究 30 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示中档题，带“★★★”表示拨高题 一．选择题 【★考点1】轴对称图形的识别 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南周口·月考）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【★考点2】科学记数法表示绝对值小于 1 的数 1．（25-26八年级上·云南昭通·月考）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）成人每天维生素D的摄入量约为0.000046g，0.000046用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）宋•苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示1粒粟的重量约为（    ） A． B． C． D． 【★考点3】幂的运算 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·重庆永川·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【★考点4】分式有意义的条件 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）无论取什么值时，下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林长春·月考）当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）若分式的值为0，则的值为（    ） A．1或−1 B．0 C． D．1 【★考点5】最简分式与约分 1．（25-26八年级上·云南保山·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东威海·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【★考点6】完全平方公式的运算 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川乐山·二模）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 3．（25-26八年级上·天津滨海新·月考）下列式子：①；②；③．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．② D．① 【★考点7】等腰三角形的定义 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则它的周长为（    ） A．18或21 B．18 C．21 D．22 3．（2025·广东清远·一模）将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D． 【★★考点8】添加条件判定三角形全等 1．（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，，若用“”判定，则需要添加的条件是（   ）      A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在与中，已知，添加一个条件，使，下列各选项中，添加不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【★★考点9】用 ASA/AAS 证明三角形全等 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在和中，点B、F、C、E在同一直线上，，，请添加一个条件，能用“”使，这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）假如航天员在维护中国空间站核心舱时，发现一块三角形硅晶体太阳能电池板因微陨石撞击碎裂成三块（如图所示）．为确保电池板结构完整与输出效率，需在地面紧急制造一块完全相同的备用件．依据全等三角形的判定条件，利用哪块碎片能最高效准确地复现原电池板？（   ） A．① B．② C．③ D．①③ 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，且，请添加一个条件能用“”使是（ ） A． B． C． D． 【★★考点10】因式分解的定义 1．（25-26八年级上·新疆·月考）下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【★★考点11】多项式乘多项式的运算 1．（25-26八年级上·河南信阳·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）已知 ，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【★★考点12】因式分解的简单应用 1．（25-26八年级上·新疆·月考）学校有一块长和宽分别为，的长方形育苗基地，它的周长为，面积为，则的值为（   ）． A．480 B．240 C．120 D．200 2．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26九年级上·广东东莞·期中）对于任意整数n，多项式都能被以下哪个数整除（   ） A．9 B．2 C．11 D．13 【★★考点13】幂的乘方的逆用 1．（25-26八年级上·福建莆田·月考）计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）已知，其中为正整数，则（   ） A．5 B．6 C． D． 【★★考点14】线段垂直平分线的性质 1．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，垂直平分，若，，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．16 D．18 3．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，分别是的边、的垂直平分线，若，，则的周长是多少（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【★★考点15】角平分线的尺规作图 1．（2025·北京·一模）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点H，若，，则的面积是（    ） A．3.5 B．7 C．14 D．14.5 3．（25-26九年级上·山东·课后作业）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【★★★考点16】分式方程增根、无解问题 1．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 3．（25-26八年级上·重庆·月考）若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 【★★★考点17】平方差公式的几何意义 1．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图所示，将一个边长为的正方形减去一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到一个等式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，利用如图所示的几何图形可以证明（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南新乡·月考）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图1），然后将剩余部分剪拼成一个梯形（图2）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【★★★考点18】格点图中构造等腰三角形 1．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【★★★考点19】全等三角形的性质与 ASA/AAS、HL 综合应用 1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，在中，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 3．（2025八年级上·安徽·专题练习）如图，中，点D为的中点．点E是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【★★★考点20】分式加减的实际应用（方案辨析） 1．（25-26八年级上·广西来宾·期中）新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（   ） A． B． C． D． 2袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么x满足怎样的分式方程？（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 二．填空题 【★考点21】三角形的三边关系 1．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）等腰三角形一边长为8，一边长为2，则第三边是 ． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若三角形的三边长为整数，且，，那么边c的最大值为 ． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知、是等腰的两边且，则的周长是 ． 【★考点22】单项式除以单项式的运算 1．（25-26八年级上·广东惠州·期中）计算： ． 【答案】 2．（25-26八年级上·天津宁河·月考）计算 ． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）已知长方形的面积是，若其一边长是，则另一边长是 ． 【★考点23】三角形外角的定义及性质 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 在中，，外角，则 ． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，，如果，，那么的度数为 ． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点；若，则 ． 【★考点24】零指数与负指数幂 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 2．（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）计算： ． 【★考点25】等边对等角的简单应用 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，于点，则= ° 2．（25-26八年级上·河南安阳·期中）在中，，，则的度数为 3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，若，则 ． 【★★考点26】成轴对称图形的特征及相关计算 1．（25-26七年级上·上海·月考）如果点与点关于直线对称，而且点到的距离是，那么线段的长是 ． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，且，，则的度数为 ． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是 ． 【★★考点27】求完全平方式中的字母系数 1．（25-26八年级上·内蒙古·期末）若是一个完全平方式，则实数的值为 2．（25-26七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为 ． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为 ． 【★★考点28】因式分解 1．（2025·新疆·模拟预测）分解因式： ． 2．（25-26八年级上·全国·期末）教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式： ． 3．（25-26八年级上·山东临沂·月考）因式分解： （1） （2） 【★★考点29】分式化简求值（不含参数） 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，则 ． 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）若，，则代数式的值是 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【★★考点30】角平分线的性质定理 1．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，，，则的长为 ． 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，平分，，，则 ． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ． 【★★考点31】线段垂直平分线的性质应用 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边点D、E且的周长为，则的长为 ． 3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为 ． 【★★★考点32】分式的规律性问题 1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上面的规律归纳出一个一般的结论 （用含n的等式表示，n为正整数）． 2．（20-21八年级上·甘肃陇南·期末）观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 3．（21-22八年级下·广东佛山·月考）已知（a不取0和-1），，… 按此规律，请用含a的代数式表示 ． 【★★★考点33】三线合一证明等边三角形的性质（含辅助线） 1．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则 ，的长为 ． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在等边中，，点在边上，；点是边上一点，连接．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的长是 ． 【★★★考点34】用 SAS 证明三角形全等（含动点背景） 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为 ． 【★★★考点35】最短路径问题（轴对称应用） 1．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）如图，等腰腰长为6，等腰的斜边，点为边的中点，若等腰绕点旋转，则点到点的距离最大值为 ． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 3．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，点C、D在线段的同侧，，M是的中点， ； ②长的最大值是 . 三．解答题 【★★考点36】整式的乘法 1．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）计算： (1) (2) 2．（25-26八年级上·全国·期末）计算∶ (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算与化简求值 (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）计算： (1) (2) 【★★考点37】因式分解 1．（25-26八年级上·海南海口·期末）分解因式： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·海南海口·月考）因式分解： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）分解因式： (1)； (2)． 4．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）因式分解 (1) (2) 【★★考点38】分式化简求值 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 2．（22-23八年级上·四川泸州·期末）（1）计算： （2）化简： 3．（25-26九年级上·广东梅州·期中）先化简，再求值：，其中m满足． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【★★考点39】解分式方程 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 2．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）解分式方程． (1)； (2) 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）解分式方程 (1) (2) 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）解方程： (1)； (2)． 【★★考点40】全等三角形性质与判定综合 1．（23-24七年级上·全国·期末）如图，中，，分别平分，相交于点P． (1)求的度数； (2)若，，求线段的长． 2．（21-22七年级下·陕西西安·期末）如图1，在中，，的平分线BD，CE相交于点O． (1)试说明． (2)如图2，． ①的度数为__________； ②猜想的数量关系，并说明理由． 3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，． (1)如图1，证明：； (2)如图2，，点，分别在，上，连接，过点作，连接，，恰好满足平分．请猜想线段，，间的数量关系，并进行证明． 【★★考点41】等腰三角形性质与判定综合 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知等腰中，．过点作射线，上取一动点，连结．过点作平分交的延长线于点． (1)若，当时，请求出的度数； (2)当点与点恰好关于对称，且时，求证：； (3)在点运动的过程中，与是否存在某一不变的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在中，，点是的中点，过点作，且与延长线相交于点． (1)如图，连接，求证：是等腰三角形； (2)如图，当时，求证：； (3)如图，当时，线段，，之间又存在怎样的数量关系？请给出证明． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在等边三角形中，点分别在边和边上（点不与点重合，点不与点重合），且． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)求证：是等腰三角形； (3)若是锐角三角形，请直接写出度数的取值范围． 4．（21-22七年级下·四川成都·期末）已知中，以点为直角顶点作等腰，，． (1)如图1，若，求点到线段的距离； (2)如图2，当改变线段，的长度时，直角边交线段延长线于点，斜边交线段延长线于点，且点恰为中点时，连接，求证：； (3)如图3，当改变线段，的长度时，直角边交线段延长线于点，斜边交线段延长线点，若始终是平分线，试探究：线段与之间存在的数量关系，并说明理由． 【★★考点42】分式方程的经济类实际问题 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 4．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）生长在海拔2100—2400米的甘肃临夏地区的啤特果，果味酸甜、性温，有多种氨基酸、糖类、维生素和钾、钙、铁等微量元素，是一种品质极高的绿色食品，由它加工成的果汁，酸甜可口，性温护胃．某超市一月份购进了一批红色礼盒和蓝色礼盒包装的啤特果果汁饮料，已知用4000元购进红色礼盒的数量与用5000元购进蓝色礼盒的数量一样多，其中每盒蓝色礼盒的进价比每盒红色礼盒的进价多10元． (1)每盒红色礼盒和蓝色礼盒的进价分别是多少元？ (2)该超市计划春节期间销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料共800盒，每盒红色礼盒和蓝色礼盒售价分别为60元和80元，销售利润为22000元，销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料各多少盒？ 【★★考点43】分式方程的工程、行程问题 1．（25-26七年级上·上海·月考）聪聪在长为180米的跑道上训练机器人． (1)若A机器人匀速行走1分钟后，提速到原速的1.5倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点．求A机器人走完全程所花的时间．（用一元分式方程求解） (2)若B机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；C机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．已知，，，试比较B、C两机器人行走的时间，大小，并说明理由． 2．（25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 1．如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 2．B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 3．（17-18八年级下·湖南·期末）某项工程需要在规定的时间内完成，若甲队单独做正好可以如期完成，若乙队单独做，将会延期三天完成．现由甲乙两队合作两天，余下的工程由乙队单独做，恰好也如期完成． (1)问规定的工期是多少天？ (2)若先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成吗？为什么？ 4．（18-19九年级上·辽宁大连·期末）举世瞩目的港珠澳大桥于年月日建成通车，这对促进我国三地经济发展具有十分重要的战略意义，今后，香港、澳门、珠海三地之间的时空距离将大大缩短，大桥建成前，驾车从香港特别行政区到珠海某地路程为千米，大桥建成后，两地路程缩短为原来的一半，平均速度也比原来快千米/小时，这样，相同的两地行驶时间只需原来的，求港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度？ 【★★考点44】全等三角形的性质与判定动态问题探究 1．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 2．（21-22八年级上·浙江台州·期末）如图，已知等边，点D、E是、上的动点，连结，相交于点O，． (1)求证：； (2)连接，若，当为直角三角形时，求的长度． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）和是全等的等腰直角三角形，、、，点E是上一动点，点F在线段的延长线上，当时，交于点G，连接． (1)求证：． (2)当点E运动到使的位置时，判断的形状，并说明理由． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M，试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点D在射线上时，连接交直线于点M，若，求的值． 【★★考点45】等腰三角形与全等三角形综合探究 1．（25-26八年级上·安徽六安·期末）问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， (1)如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为_____； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． (3)如图3，当，（），且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，，三点共线时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，连接，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $