2026年中考数学一轮复习核心讲义(核心考点+模拟真题突破)专题13二次函数 全国通用版

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数专题，覆盖中考核心考点如定义、图象性质、最值、平移及与方程几何综合应用，构建“核心知识梳理+模拟题型实战”体系，通过考点分层梳理、方法归纳（如平移规律、最值分类）和真题训练，帮助学生系统突破难点。 亮点在于“易错点精准突破”和“分层实战训练”，如针对“忽略自变量范围求最值”等易错点专项讲解，通过8类模拟题型（基础到压轴）培养学生抽象能力与模型意识，教师可依托资料把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

专题13二次函数中考一轮复习核心讲义 · 分值占比：二次函数是中考核心重难点，总分值约 20 分，覆盖选择、填空、解答（多为压轴题）三种题型。 · 常考考点：聚焦图象与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等）、解析式求解（一般式 / 顶点式 / 交点式）、最值应用、与一次函数 / 几何图形综合、实际应用（利润 / 面积建模）、新定义创新题六大方向。 · 命题趋势：基础题侧重性质与解析式的直接应用，中档题强化数形结合与最值分析，难题多为函数与几何图形的综合探究（常作为压轴题），且实际应用与新定义题型的考查占比逐年提升。 核心知识 点梳理 1.二次函数的定义 2.二次函数的图象与性质 3.二次函数最值问题 4.二次函数的平移规律 5.二次函数与一元二次方程.不等式的关系 6.中考常考综合题型要点 中考模拟 题型实战 1.二次函数的定义.系数作用与基础图象性质 2.二次函数与方程.不等式 3.二次函数与一次函数综合 4.二次函数与几何图形综合 5.二次函数图象的平移与变换 6.二次函数的最值问题 7.二次函数与坐标交点相关 8.二次函数综合探究 【知识点01.二次函数定义】 1.一般形式：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数。 2.自变量取值范围：一般为全体实数；实际问题中需根据题意确定。 3.三种常见表达式 表达式类型 形式 适用条件 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 已知抛物线上任意三点坐标 顶点式 y=a(x−h)2+k(a≠0) 已知抛物线的 顶点坐标(h,k)或对称轴、最值 交点式 y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1​,0)、(x2​,0) 【知识点02.二次函数的图象与性质】 1.图像形状：抛物线，是轴对称图形，对称轴为直线x=−（一般式）或直线x=h（顶点式）。 2.系数a、b、c的作用 a：决定抛物线的开口方向和开口大小 a>0→开口向上；a<0→开口向下 ∣a∣越大，抛物线开口越窄；∣a∣越小，开口越宽 b：与a共同决定对称轴的位置（左同右异） ab>0→对称轴在y轴左侧；ab<0→对称轴在y轴右侧 b=0→对称轴为y轴 c：决定抛物线与y轴的交点位置 c>0→交点在y轴正半轴；c<0→交点在y轴负半轴 c=0→抛物线过原点 3.顶点坐标 一般式推导：(−​,​) 顶点式直接得：(h,k) 4.增减性（结合开口方向与对称轴判断） a>0：在对称轴左侧（x<−），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>−），y随x的增大而增大 a<0：在对称轴左侧（x<−），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>−），y随x的增大而减小 【知识点03.二次函数的最值问题】. 1.无自变量取值范围限制 a>0：当x=−时，y有最小值 a<0：当x=−时，y有最大值​ 2.有自变量取值范围限制（如m≤x≤n） 第一步：判断对称轴x=−是否在取值范围[m,n]内 第二步： 若对称轴在范围内：顶点纵坐标为一个最值，再代入区间端点m、n求另一个最值 若对称轴不在范围内：直接代入区间端点m、n，比较两个函数值的大小，确定最值 【知识点04.二次函数的平移规律】 核心口诀：左加右减，上加下减（仅针对顶点式y=a(x−h)2+k） 1.左右平移：y=a(x−h)2+k → y=a(x−h±t)2+k（t>0，加t向左移，减t向右移） 2.上下平移：y=a(x−h)2+k → y=a(x−h)2+k±t（t>0，加t向上移，减t向下移） 注意：若为一般式，需先化为顶点式再平移 【知识点05.二次函数与一元二次方程.不等式的关系】 1.与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标，就是方程ax2+bx+c=0的根 判别式Δ=b2−4ac的作用： Δ>0→抛物线与x轴有两个不同交点 Δ=0→抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上） Δ<0→抛物线与x轴无交点 2.与一元二次不等式的关系 a>0时： ax2+bx+c>0的解集→抛物线在x轴上方部分对应的x取值 ax2+bx+c<0的解集→抛物线在x轴下方部分对应的x取值 a<0时：需结合开口方向和交点坐标判断，或转化为a>0的不等式求解 【知识点06.中考常考题型综合题型要点】 1.二次函数与一次函数的交点问题：联立两个函数解析式，解方程组即可求得交点坐标 2.二次函数与几何图形结合：常涉及线段长度、图形面积、相似三角形、直角三角形存在性等，需结合几何性质和函数性质求解 3.二次函数实际应用：常见于利润最值、面积最值、抛体运动等问题，解题关键是建立二次函数模型，结合自变量取值范围求最值 易错点总结 1.忽略自变量的实际取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值 2.平移规律混淆 “左加右减” 的对象，误对一般式直接平移 3.判断b的符号时，忘记结合a的符号使用 “左同右异” 4.混淆 “抛物线与x轴的交点” 和 “与y轴的交点” 的求解方法 【模拟01.二次函数的定义.系数作用与基础图象性质】 1．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 2．（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 3．（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再根据轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：13． 4．（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为， ∴当时，该函数的最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：． 故选：C． 5．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①根据当时，该函数最小值为求解即可；②由称轴在直线与之间可知当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意），则，分别求出最小值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， （2）解：①， ∴抛物选开口向上， ， ∴当时，该函数最小值为 ∵该函数的最小值为， ， ∴， ②∵抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等 当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意） 当时， 当时， ∵两个函数的最小值相等， ，即 【点睛】本题考查二次函数的对称轴与最值，涉及的知识点是二次函数的对称轴公式、顶点式变形、函数的单调性．解题中用到的方法是 “顶点式分析法”，通过将函数化为顶点式，快速确定对称轴与最值；解题关键是根据的符号判断函数的开口方向，进而确定最值的位置．易错点是忽略的符号对函数开口方向的影响，误判最值的位置． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出，两点关于抛物线的对称轴对称，据此得出，之间的关系，再将点和点代入二次函数解析式，进一步得出，之间的关系，最后用表示出和即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，在二次函数图象上， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②； ③若，，是抛物线上的三点，则；④对于抛物线上任意一点，不等式恒成立．其中正确结论的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据抛物线的开口方向可得，由对称轴可得，即得，再根据抛物线与轴的交点位置可得，得到据此可判断①；把代入二次函数解析式可得，进而得，代入代数式计算可判断②；根据函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大，由可判断③；结合函数图象得，开口方向向上，当时，二次函数有最小值，且为，则对于抛物线上任意一点，不等式恒成立，即可作答． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①符合题意；； ∵抛物线经过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②不符合题意；； 由函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大， 依题意，， ∴，故③符合题意；； 结合函数图象得，开口方向向上，当时，二次函数有最小值，且为， ∴对于抛物线上任意一点，不等式恒成立． 故④不符合题意； ∴正确的结论有①③， 故选：B． 【模拟02.二次函数与方程.不等式.】 8．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 9．（2025·湖北孝感·二模）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 10．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，，代入即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、， 、为方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 11．（2025·安徽池州·三模）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为 ． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为 【答案】 4 或 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）把把代入求出抛物线解析式为，然后把代入得； （2）先求出．再根据①当时，，根据直线与抛物线解析式求出交点坐标，或 ②当直线经过的中点M时，，求出直线 抛物线解析式求出交点坐标． 【详解】解：（1）把代入得， ∴抛物线解析式为，把代入得； （2）令，得，解得，． ∵点A位于x负半轴上，∴． 由，得直线． ①当时，， 设，，得，即， 由得，， 把代入得，∴． ②当直线经过的中点M时，， 由，得， 由，，得直线 由解得，， 把代入得 ∴ 故答案为：（1）4；（2）或. 12．（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 13．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 14．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形求值，利用二次函数图象解不等式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由得到，则，再由得到，再结合二次函数的图象解不等式． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∴结合二次函数图象可解得：， ∵， ∴， 故选：B． 15.．（2025·江西赣州·一模）已知二次函数（）． 【特例研究】（1）若二次函数（）经过点时，回答下列问题： ①_________．； ②请在平面坐标系中画出该函数图象； ③已知，结合所画的图象，则y的取值范围是 【深入探究】（2）若时，，求a的值； 【拓展提升】（3）将（）在间的图象记为G，若图象G与直线有2个交点，请求出a的取值范围． 【答案】（1）①1 ②见解析 ③ （2）或 （3）且 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，一次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）①将点代入抛物线的解析式，进而得出结果； ②列表，描点，连线得出图象； ③取顶点得出最小，取求得最大值； （2）分和两种情况得出结果； （3）当时，G和直线只有一个公共点，当时，当时，G与直线有两个交点，进而得出结果． 【详解】解：（1）①由题意得，， ∴， 故答案为：1； ②如图1， 列表： x      1 3 4 y 5 0 0 5 描点，连线， ③当时，，当时，， ∴， 故答案为：； （2）当时，∵， ∴当时，， ∴， 当时，∵对称轴为，， ∴当时，， ∴， ∴， 综上所述：或； （3）∵， ∴抛物线交x轴于点，， 直线交x轴于点， ∴函数与始终有一个交点， ①当时， 由图象明显可知在这段只有一个交点，不合题意； ②当时， 由图象可知，两个函数有一个交点为， 当时，， 对于抛物线而言，则当时，即可有两个交点， ∴，解得， 时，， 解得；此时只有一个交点； 当时，，当经过点时，， 解得， ∴， 综上所述：且． 【模拟03.二次函数与一次函数综合】 16．（2025·安徽安庆·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 17．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 18．（2025·湖南株洲·三模）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点，其中，下列四个结论，①；②当时，随自变量的增大而增大；③与的另一个交点的横坐标为；④当时，．正确的结论有 （在横线上填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的交点问题，二次函数的图像和性质，根据直线经过抛物线的顶点，结合根与系数的关系即可得出顶点坐标，进而可判断①，根据对称轴为直线，分或结合二次函数的图像和性质可判断②令，结合得出关于x的一元二次方程，求解即可判断③，用，然后分或结合二次函数的图像和性质可判断④ 【详解】解：抛物线的顶点横坐标为， 把代入，得顶点横坐标为：， ∵直线经过抛物线的顶点， ∴， 化简得，即，故①正确， ∵， ∴抛物线的对称轴直线为， 若，抛物线开口向上，当时，随自变量的增大而增大， 若，抛物线开口向下，当时，随自变量的增大而减小，故②不一定正确． 令， 即， ∵， ∴， ∴ 解得∶，， ∵顶点坐标对应， ∴与的另一个交点的横坐标为，故③正确． ， 当时，，则当时，， 当时，，则当时，，故④不一定正确． 故答案为：①③ 19．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 20．（2025·广东深圳·三模）如图，坐标平面内，点是抛物线上异于点的任一点，与抛物线的交点记为，现请你考查这一比值，它是否会随着点的位置改变而发生改变？若改变，说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小．下列对上述问题的回答正确的是（ ） A．改变；该比值会随x的增大而增大 B．改变；该比值会随的增大而减小 C．不变；比值大小为2 D．不变；比值大小为 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题．假设设，写出直线的解析式，代入另一个抛物线，求得坐标，从而可以求得． 【详解】解：设， 直线的解析式为：， 代入抛物线，， 或， ， 是的中点， ， 即比值不变，恒为 故选：C． 21．（2025·河北沧州·一模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，找出一次函数图象位于二次函数图象下方对应的自变量的取值范围即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象位于二次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或， 故选：． 22．（2025·湖北武汉·三模）已知，是关于的函数，函数，的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数与具有性质，以下函数与具有性质的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，依次画出图象，即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； B、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； C、如图： 与有三个公共点，故选项符合题意； D、如图： 与只有一个公共点，故选项不符合题意； 故选：C． 【模拟04.二次函数与几何图形综合】 23．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 24．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，抛物线与某一直线交于，两点，其中抛物线的对称轴为直线，设点坐标为，点坐标为，则对于过平面直角坐标系上的两点、的直线一定不过（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查一次、二次函数图像问题，熟悉图像与各系数间的关系是解题的关键． 先由二次函数图像可得，，，再根据点，坐标得到，最后确定点的位置即可． 【详解】由图可知，，对称轴，即， 又抛物线与轴无交点，所以， 时，，综上，，，； 又，，， ， 即点在轴的负半轴， ， 在第一象限， 则直线大致图像如下： 所以直线一定不过第二象限， 故选：B． 25．（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确； ②当时，，即抛物线与y轴交点坐标为，故②错误； ③ 把A点坐标代入抛物线解析式，整理得∶ 再代入，整理得： 由已知抛物线与x轴有两个交点，则： ，整理得∶，即， ∵开口向上， ∴ ， ∴， 解得：， 而抛物线与轴负半轴相交， ∴， 解得：， ∴，故③正确； ④由抛物线的对称性，B点的坐标为， 当抛物线经过A点时，此时抛物线与线段有两个公共点， 当抛物线经过B点时， ∵其与线段恰有一个公共点， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， 即不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值大于，故⑤错误； 故答案为：①③④． 26．（2025·新疆伊犁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，是线段上的动点（在上方）．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，勾股定理，二次函数的性质，将线段和进行转化是解题的关键；根据抛物线的解析式得出坐标，进而可得是等腰直角三角形，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形，得出的坐标，根据，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵对于抛物线，令， 则，即， 解得或，所以．则， 令，则，所以．则， ∵ ∴是等腰直角三角形， 如图，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位， ∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值 ∴ 即的最小值为． 27．（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意可得抛物线的解析式为，分析可知当最小时，的周长最小，利用轴对称分别作出点M关于x轴和y轴的对应点，分别求解出直线的解析式，找到最短路线，分别求出的值，比较两种情况取值更小的结果即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，，是抛物线上的一点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴，， 的周长为，且是定值，所以只需最小； 如图，过点，作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，； ，，，，， ∴， 此时的周长为； 同理，如图，过点，作关于x轴对称的点，，连接，与x轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，， ，，，，， ∴， 此时△PMN的周长为； ，， ∴， ∴点P在y轴上时，的周长最小，此时点P的坐标是，． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称－－最短路线问题、二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平面直角坐标系中两点距离公式，在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是要在坐标轴上找一点P，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，要分类讨论比较后再判断． 28．（2025·山东青岛·二模）已知：如图，菱形中，，对角线与相交于点，直线以从点出发，沿方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点，过点作，交于点 (1)求线段的长；（用含的代数式表示） (2)设的面积为（单位：），求与的函数关系式； (3)是否存在某时刻，使线段恰好经过点？若存在求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在某时刻，使线段恰好经过点， 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可； （2）过点Q作于点E，解直角三角形求出，，根据，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）过点Q作于点E，求出，，根据得出，再根据解析（2）得出，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴，，， ， ∴， 根据平移可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点Q作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ； （3）解：存在某时刻，使线段恰好经过点； 过点Q作于点E，如图所示： 则， 根据解析（2）可知：，， ∵， ∴， 当经过点O时，， ， 根据解析（2）可知：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，解直角三角形的相关计算，三角形面积的计算，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 29．（2025·湖南长沙·二模）如图，已知半径为半圆的直径为，点在半径上运动（点不与点重合），点是半圆弧的中点，点C在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点． (1)若点为的中点，求的值； (2)连接，①当点在半径上运动时，的度数是否发生变化，若不变，求出，若变化，请说明理由； ②若，，求矩形的边的长； (3)假设，，求与之间的函数关系，当时，求函数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)； 【分析】（1）连接，由点是半圆弧的中点，得出，由点A为的中点，得出，再在中，即可得出； （2）①连接，利用圆周角定理得出，利用圆内接四边形得出，结合，可得； ②过点作于点，连接，证明，得出，即，即可求出，则，在中，，列式求出，则，再利用勾股定理求解即可； （3）延长交的延长线于点，由四边形是矩形，得出，，可知，得出，则，证明，得出，则，，同（2）②可得，即，求出，在中，，列式即可得出，由当时，随的增大而减小，可得随着的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， . ∵点是半圆弧的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （2）解：①的度数不会发生变化， 如图，连接， ∵点是半圆弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：（舍），， ∴， ∴； （3）解：延长交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 同（2）②可得， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 化简得：， ∵当时，随的增大而减小， ∴随着的增大而增大，且当时，当时， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角函数，圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关系，矩形的性质，二次函数的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 30．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 【答案】(1)， (2) (3) (4)存在这样的点，使得为等腰三角形；或 (5) 【分析】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式、圆周角定理、二次函数与几何综合等知识点，根据所求的最值构造合适的辅助线是解题的关键． （1）将和点代入抛物线求出抛物线解析式，再将解析式化为顶点式即可； （2）首先将的值最大转化为点A，D，P在同一条直线上，再求出直线的解析式即可得到点P的坐标； （3）首先将转化为为的平分线，再构造辅助线，利用直线与抛物线的交点即为点E，求解直线的解析式即可； （4）首先利用得到，此时可以得到的关系式，进而分类讨论为等腰三角形的情况，求解的值即可； （5）首先利用得到点F在圆上，再构造辅助圆求解圆心的坐标和半径，再将最小值转化为点外一点到圆上一点的最短距离，即为，再利用两点间的距离求解的长即可求解最小值． 【详解】（1）解：∵经过点和点， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴点； （2）解：如图，∵在中，， ∴当点A，D，P在同一条直线上时，，此时的值最大， 如图，可设直线的解析式为， ∴代入，，得， ∴解得， ∴点； （3）解：∵，，， ∴，， ∵点E在第二象限抛物线上，且， ∴为的平分线， ∴， 如图，过点D作交的延长线于点F， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∴, ∴， 设直线的解析式为， ∴将，代入得，，解得：， ∴， 联立，解得：（与点B重合，舍去），， ∴； （4）解：存在点M，使得为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ①当时，此时， ∴， ∴； ②当时，∴， ∴， ∴，解得：， ∵，即， 解得：； ③当时，此时点M与点B重合， ∴不符合题意， ∴此情况不存在； ∴的长为1或． （5）解：如图：∵点F在x轴下方，， ∴点F在上，过点A，O，且始终为， 设圆心，半径为r， ∴点Q在的垂直平分线上， ∴，即， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴，， ∵最小值为， ∴， ∴最小值为． 【模拟05.二次函数图象的平移与变换】 31．（2025·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．先将二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标，根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断平移后抛物线的顶点所在的象限即可． 【详解】解：， 该抛物线顶点坐标是， 将其沿轴向下平移个单位后得到的抛物线的顶点坐标是， ， ， ， ， 顶点在第四象限． 故答案为：四． 32．（2025·甘肃张掖·三模）将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数平移问题，根据平移后的抛物线的表达式为：，再根据平移后的抛物线与抛物线重合，得出，求出结果即可． 【详解】解：抛物线的表达式为， 平移后的抛物线的表达式为： ， ∵平移后的抛物线与抛物线重合， ∴， 解得． 故选：A． 33．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，根据已知，代入计算解答即可； （2）根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为；故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，根据函数的增减性解答即可． 本题考查了函数值的计算，抛物线的平移，二次函数的增减性，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 当时，点，，此时，， 故，， 故． （2）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 故抛物线的对称轴为直线，的对称轴为直线，              根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为 ； 故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，， 由对于，都有， 故或， 解得或，     故t的取值范围是或． 34．（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）抛物线的对称轴是直线 ． （2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）由题意直接求解即可； （）分当时和当时两种情况结合图象即可求解． 【详解】解：（）∵抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上， ∴点与点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （）如图，当时， 在中，令得， ∴， ∵，， ∴点在线段上，而， 由图可知，当点在点下方（包括点）时，抛物线与线段恰有一个公共点， ∴，解得， ∴； 如图，当时，同可知，点在线段上，， ∵， ∴，即点在点下方且在抛物线内部， ∴抛物线与线段无公共点， 综上所述，抛物线与线段恰有一个公共点时，， 故答案为：． 35．（2025·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过矩形的顶点和，轴．若将抛物线向左（右）平移不超过个单位长度，使其经过点，可与抛物线重合，记抛物线和在该矩形内部的部分为图象，点在图象上，则点的横坐标的取值范围是 ．（表达式中可含有，，） 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数与一元二次方程、矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识点，学会利用数形结合的思想解决问题．代入和到抛物线可得，，得到点在点的上方，利用矩形的性质得到，，利用二次函数的对称性得到抛物线也经过点，得到抛物线在、之间的部分图象在矩形内部；结合图象可得将抛物线向左平移个单位，可使其经过点，可与抛物线重合，则有抛物线，令可得抛物线恰好经过点，再利用二次函数的对称性得到抛物线也经过点，得到抛物线在、之间的部分图象在矩形内部，根据题意即可得出结论． 【详解】解：代入和到抛物线得， ，，即， 点在点的上方， 矩形，，，轴， ，， ，， 抛物线对称轴为直线，点关于直线的对称点为， 抛物线也经过点， 在矩形的边上， 抛物线在、之间的部分图象在矩形内部，且随的增大而减小； ，， 将抛物线向左平移个单位，可使其经过点，可与抛物线重合， 抛物线， 令，则， ， 解得：，， 抛物线经过点，即恰好经过点， 抛物线对称轴为直线，点关于直线的对称点为， 抛物线也经过点， 在矩形的边上， 抛物线在、之间的部分图象在矩形内部，且随的增大而增大； 记抛物线和在该矩形内部的部分为图象，点在图象上， 点在、之间的抛物线图象上，或在、之间的抛物线图象上， 点的横坐标的取值范围是或． 故答案为：或． 36．（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键． （1）①把代入，得，即可得出顶点坐标； ②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解． （2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： . 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【模拟06.二次函数的最值问题.】 38．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数．下面五个结论： ①图象过点； ②图象的最低点坐标为； ③图象无最高点且分为两段； ④若，在图象上且，则； ⑤若，在图象上，且，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标特征，函数的最值，以及函数图象的形状．对于判断函数图象是否过某点，将点代入函数解析式看是否成立，对于函数的最值以及函数值的大小，需对函数进行变形分析是解决本题的关键． 将点代入函数解析式可判断①；将函数解析式进行变换并换元为二次函数，根据二次函数的开口方向和对称轴可判断②；根据变形后的函数解析式结合二次函数的性质可判断④；取两个满足的x的值代入，求解并对比函数值即可判断④；将进行变形并换元，根据求出元的范围，再代入到函数解析式即可判断⑤． 【详解】解：函数为， 将代入函数解析式， 函数图象过点，①正确； 函数，令， 函数可化为， 是关于t的二次函数，开口方向向上，且对称轴为直线， 当时，函数有最低点，此时， 当时，， 函数图象的最低点坐标为，②正确； 由②知，函数有最低点无最高点， 函数， ， 即函数在处取不到函数，即函数图象为两段， 图象无最高点且分为两段，③正确； 若，在图象上且， 令， ，， ，④错误； ，在图象上，且， ， 令，则有，， 对于函数，则有，， ， ， ，⑤正确 正确结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】 39．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点关于对称轴的对称点，连接，的长即为的最小值，勾股定理求出的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 40．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为d、n，当时，则m的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性与最值，掌握二次函数图象的性质，数形结合思想是解题的关键． 过点B作轴交抛物线于点E，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，②当点P在点C和点E之间时，③当点P在点E上方时，分别根据列式求解即可． 【详解】解：过点B作轴交抛物线于点E， ∵， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， ∴点E与点B关于对称轴对称，，如图所示： ①当点P在点B和点C之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）； ②当点P在点C和点E之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∴符合题意， ∴， ③当点P在点E上方时，即时，最低点为点，最高点点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴． 综上所述，m的取值范围为或． 41．（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线， ∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1， ∵当时，函数值；当时，， ∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若点，均在对称轴的右侧， 此时， ∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 即， 此时； 若点，均在对称轴的两侧，则 ， 即； 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 42．（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． (1)若抛物线经过点； ①求点B的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求t的值； (2)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围． 【答案】(1)①② (2)或 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由，的抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），得与线段有且只有一个点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点 ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线与轴交于点， ∴令，则， ∴点A坐标为， ∵过点作轴，与抛物线交于点 当时，即， 即 ∴，， ∴， ②∵ ∴抛物线开口向下，顶点坐标为 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴时，为最大值， 即 ∴ 解得（舍）或； Ⅱ．当时，则在中，时，y的最大值为，不合题意， 综上所述，t的值为； （2）解：依题意，抛物线 ∴抛物线的对称轴为，顶点为 ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时 即： ∴ 解得 Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为 ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得： 综上，a的取值范围是或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，解不等式组，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解是解题的关键． 43．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，其图像与轴的交点记为C． (1)当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积 (2)已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，根据二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系来求解是本题解题的关键， （1）当 时，函数为 ．求出抛物线坐标轴交点坐标，进而求出三角形面积； （2）联立二次函数 与直线 ：，得方程，根据线段与二次函数有两个不同的交点，可得函数，与x轴有两个交点，且和3中间．由此可得得顶点在第一象限，当时，，由此解不等式即可； （3）根据对称轴的位置分类讨论，由当时，的最大值为1，最小值，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：当 时，函数为 ． 当时，，解得， 所以，点 ， ， ∴ 当时， ，所以 ． （2）∵点 ， ， ∴直线 函数解析式为 ． 联立二次函数 与直线 ：，得 整理得：， ∵线段与二次函数有两个不同的交点， ∴函数，与x轴有两个交点，且和3中间．如图： ∴当时，，即 ， 解得： 当时，， 当时，，即 ∴， 综上所述： 的取值范围为 （3）∵当 时， 恒成立， ∴当 时，， ∵的图象开口向下，对称轴是，如图： 此时最大值为 当  时，即 ． 解得：， 当 时，即 ． ，不等式组无解； 当 时，即 ． ，不等式组无解； 综上， 的取值范围为 ． 44．（2025·天津滨海新·二模）已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． (1)当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； (2)若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 【答案】(1)①， ② (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①利用点的坐标确定抛物线解析式，即可求解； ②将的长度转化为点到直线的距离，通过求二次函数的最大值确定的值； （2）通过几何变换将折线最短路径问题转化为直线距离，结合勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 解得：， 将代入抛物线方程：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 顶点横坐标为，此时， ∴， 当时，， 解得：或， ∴， ∴，； ②如图： . 过点作直线，由题意知，当直线与抛物线相切时，的值最大， 设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线：， ∴可设直线的解析式为：， 联立，整理得， ∴， 解得：， 代入方程得， 解得：， ∴的横坐标为， 即； （2）如图： 由题意知，抛物线解析式为：， ∵， ∴有，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴，，，， 过点作，且， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 当时， 解得：或， ∵， ∴． 【模拟07.二次函数与坐标交点相关】 45．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题．求得三点的坐标，即可求解． 【详解】解：当时，，解得，， ∴点，． 当时，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 46．（2025·福建泉州·模拟预测）数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 【答案】①③ 【分析】本题考查了反比例的应用，二次函数的应用，一次函数的应用．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求得四个点的坐标分别为，，，，求得它们在双曲线上，据此求解即可判断． 【详解】解：如图，，，，是四个面积相等的直角三角形， 设，，，，它们的面积都是， ∴，，，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， ∴，，，， ∵， ∴它们在双曲线上，即它们在双曲线的同一分支上，说法③正确； 它们中的任意三点都不在同一直线上， ∴说法①正确，说法②错误； 它们不可能在同一条抛物线上， ∴说法④错误， 综上①③正确， 故答案为：①③． 47．（2025·广东广州·一模）已知． (1)化简A； (2)若点是抛物线上的一点，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键． （1）先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A； （2）再把点代入得到，则，整体代入化简的A中计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点是抛物线上的一点， ∴ ∴ ∴． 48．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)； (3)． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质． （1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可； （2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可； （3）由（2）的结论，列式整理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形，. ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 49．（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【答案】A 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，． 首先根据一次函数 的图像交于点 ，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，解得：， 当时，，， 当时，， ∵函数 的图像与 轴仅有一个交点， 的图象与轴的交点为， ∴ 又∵， ∴ ， ∴，解得： ∴， 故选：A． 50．（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值； (3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）由题意得可推出是等腰直角三角形，，求出直线的解析式；设，则，可得，根据 即可求解； （3）设，则，分别求出直线和的解析式，与抛物线方程联立可得，；据此即可求解； 【详解】（1）解：令，则； 令，则，解得； ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当最大时，的面积最大； 当时，有最大值，的面积有最大值； （3）解：设，则， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，重点涉及了二次函数与面积问题，设点，由点的坐标表示线段的长度，进而表示图形的面积是解题关键． 51．（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据直线解析式为，根据选项令和，结合抛物线与线段有且只有一个交点利用排除法判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标，与轴交点坐标，， ∵点，点， ∴直线解析式为， 当时，点，点，此时点即为抛物线与线段唯一交点，符合题意，故排除选项C、D； 当时，点，点， 联立，解得或，则抛物线与线段有两个交点和，不合题意，故排除选项B； 故选：A． 52．（2025·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出b，c的值； (2)如图，当时，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当时，请结合l关于m的函数图象，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到求二次函数解析式，二次函数与角度综合，二次函数与三角函数综合； （1）把，代入计算即可； （2）在上截取，连接，则，，得到，，先求出，再求出直线的解析式为，即可得到直线的解析式为，最后与抛物线解析式联立求交点即可； （3）①作于点G，则，轴，，，，，再根据得到，代入计算即可，注意分情况讨论去绝对值； ②，先求出两种情况下时的值，再画出l与m的图象，根据图象得到当时， m的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可得，， 在上截取，连接， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴， ∴m的值为； （3）解：①∵，， ∴设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 作于点G， ∵， ∴， ∵过点P作y轴的平行线交于点M，点P的横坐标为m． ∴轴，，，， ∴， ∴， ∴． ∴， 当时，，； 当时，，； 综上所述，； ②l与m的图象如图3所示． 当时， 解得，，（舍去）． 当，， 解得，    由图象可知，当时，或． 【模拟08.二次函数综合探究】 53．（2025·浙江温州·三模）如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对应点为， ∵， ∴． 故选：A 54．（2025·内蒙古通辽·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴为：直线， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于直线的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 错误的个数只有个， 故选：A． 55．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（   ） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值 C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为, 由题意知 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象开口向上，顶点为， ∴顶点在第四象限，函数有最小值， 令，则， ∴或， ∴图象与x轴的一个交点是和， 故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意． 故选：C． 56.．（2025·四川乐山·二模）二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②；③；④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键． 根据开口方向及顶点坐标求出，，可求得①②③，根据图像和韦达定理即可判断④⑤． 【详解】解：顶点坐标为， ， ，， 抛物线的开口向上， ， ，， ，故①正确； 当时，， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，，故②正确； ，， ，故③错误； 方程有两个根和， 抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和， ，故④正确； 方程有四个根， 方程有2个根，方程有2个根， 这四个根的和为，故⑤正确， 综上可知，正确的有①②④⑤， 故选：D． 57．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 58．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 59．（2025·山东济南·二模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ .专题13二次函数中考一轮复习核心讲义 · 分值占比：二次函数是中考核心重难点，总分值约 20 分，覆盖选择、填空、解答（多为压轴题）三种题型。 · 常考考点：聚焦图象与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等）、解析式求解（一般式 / 顶点式 / 交点式）、最值应用、与一次函数 / 几何图形综合、实际应用（利润 / 面积建模）、新定义创新题六大方向。 · 命题趋势：基础题侧重性质与解析式的直接应用，中档题强化数形结合与最值分析，难题多为函数与几何图形的综合探究（常作为压轴题），且实际应用与新定义题型的考查占比逐年提升。 核心知识 点梳理 1.二次函数的定义 2.二次函数的图象与性质 3.二次函数最值问题 4.二次函数的平移规律 5.二次函数与一元二次方程.不等式的关系 6.中考常考综合题型要点 中考模拟 题型实战 1.二次函数的定义.系数作用与基础图象性质. 2.二次函数与方程.不等式 3.二次函数与一次函数综合 4.二次函数与几何图形综合 5.二次函数图象的平移与变换 6.二次函数的最值问题 7.二次函数与坐标交点相关 8.二次函数综合探究 【知识点01.二次函数定义】 1.一般形式：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数。 2.自变量取值范围：一般为全体实数；实际问题中需根据题意确定。 3.三种常见表达式 表达式类型 形式 适用条件 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 已知抛物线上任意三点坐标 顶点式 y=a(x−h)2+k(a≠0) 已知抛物线的 顶点坐标(h,k)或对称轴、最值 交点式 y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1​,0)、(x2​,0) 【知识点02.二次函数的图象与性质】 1.图像形状：抛物线，是轴对称图形，对称轴为直线x=−（一般式）或直线x=h（顶点式）。 2.系数a、b、c的作用 a：决定抛物线的开口方向和开口大小 a>0→开口向上；a<0→开口向下 ∣a∣越大，抛物线开口越窄；∣a∣越小，开口越宽 b：与a共同决定对称轴的位置（左同右异） ab>0→对称轴在y轴左侧；ab<0→对称轴在y轴右侧 b=0→对称轴为y轴 c：决定抛物线与y轴的交点位置 c>0→交点在y轴正半轴；c<0→交点在y轴负半轴 c=0→抛物线过原点 3.顶点坐标 一般式推导：(−​,​) 顶点式直接得：(h,k) 4.增减性（结合开口方向与对称轴判断） a>0：在对称轴左侧（x<−），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>−），y随x的增大而增大 a<0：在对称轴左侧（x<−），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>−），y随x的增大而减小 【知识点03.二次函数的最值问题】. 1.无自变量取值范围限制 a>0：当x=−时，y有最小值 a<0：当x=−时，y有最大值​ 2.有自变量取值范围限制（如m≤x≤n） 第一步：判断对称轴x=−是否在取值范围[m,n]内 第二步： 若对称轴在范围内：顶点纵坐标为一个最值，再代入区间端点m、n求另一个最值 若对称轴不在范围内：直接代入区间端点m、n，比较两个函数值的大小，确定最值 【知识点04.二次函数的平移规律】 核心口诀：左加右减，上加下减（仅针对顶点式y=a(x−h)2+k） 1.左右平移：y=a(x−h)2+k → y=a(x−h±t)2+k（t>0，加t向左移，减t向右移） 2.上下平移：y=a(x−h)2+k → y=a(x−h)2+k±t（t>0，加t向上移，减t向下移） 【知识点05.二次函数与一元二次方程.不等式的关系】 1.与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标，就是方程ax2+bx+c=0的根 判别式Δ=b2−4ac的作用： Δ>0→抛物线与x轴有两个不同交点 Δ=0→抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上） Δ<0→抛物线与x轴无交点 2.与一元二次不等式的关系 a>0时： ax2+bx+c>0的解集→抛物线在x轴上方部分对应的x取值 ax2+bx+c<0的解集→抛物线在x轴下方部分对应的x取值 a<0时：需结合开口方向和交点坐标判断，或转化为a>0的不等式求解 【知识点06.中考常考题型综合题型要点】 1.二次函数与一次函数的交点问题：联立两个函数解析式，解方程组即可求得交点坐标 2.二次函数与几何图形结合：常涉及线段长度、图形面积、相似三角形、直角三角形存在性等，需结合几何性质和函数性质求解 3.二次函数实际应用：常见于利润最值、面积最值、抛体运动等问题，解题关键是建立二次函数模型，结合自变量取值范围求最值 易错点总结 1.忽略自变量的实际取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值 2.平移规律混淆 “左加右减” 的对象，误对一般式直接平移 3.判断b的符号时，忘记结合a的符号使用 “左同右异” 4.混淆 “抛物线与x轴的交点” 和 “与y轴的交点” 的求解方法 【模拟01.二次函数的定义.系数作用与基础图象性质】 1．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 2．（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 3．（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 4．（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②； ③若，，是抛物线上的三点，则；④对于抛物线上任意一点，不等式恒成立．其中正确结论的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【模拟02.二次函数与方程.不等式.】 8．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 9．（2025·湖北孝感·二模）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．    10．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 11．（2025·安徽池州·三模）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，且经过，． （1）n的值为 ． （2）若P为第一象限内抛物线上的一点，且，则点P的坐标为 12．（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 14．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15.．（2025·江西赣州·一模）已知二次函数（）． 【特例研究】（1）若二次函数（）经过点时，回答下列问题： ①_________．； ②请在平面坐标系中画出该函数图象； ③已知，结合所画的图象，则y的取值范围是 【深入探究】（2）若时，，求a的值； 【拓展提升】（3）将（）在间的图象记为G，若图象G与直线有2个交点，请求出a的取值范围． x      1 3 4 y 5 0 0 5 【模拟03.二次函数与一次函数综合】 16．（2025·安徽安庆·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 18．（2025·湖南株洲·三模）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点，其中，下列四个结论，①；②当时，随自变量的增大而增大；③与的另一个交点的横坐标为；④当时，．正确的结论有 （在横线上填写序号）． 19．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． B． C． D． 20．（2025·广东深圳·三模）如图，坐标平面内，点是抛物线上异于点的任一点，与抛物线的交点记为，现请你考查这一比值，它是否会随着点的位置改变而发生改变？若改变，说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小．下列对上述问题的回答正确的是（ ） A．改变；该比值会随x的增大而增大 B．改变；该比值会随的增大而减小 C．不变；比值大小为2 D．不变；比值大小为 21．（2025·河北沧州·一模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 22．（2025·湖北武汉·三模）已知，是关于的函数，函数，的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数与具有性质，以下函数与具有性质的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【模拟04.二次函数与几何图形综合】 23．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 24．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，抛物线与某一直线交于，两点，其中抛物线的对称轴为直线，设点坐标为，点坐标为，则对于过平面直角坐标系上的两点、的直线一定不过（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 26．（2025·新疆伊犁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，是线段上的动点（在上方）．若，则的最小值为 ． 27．（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 28．（2025·山东青岛·二模）已知：如图，菱形中，，对角线与相交于点，直线以从点出发，沿方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点，过点作，交于点 (1)求线段的长；（用含的代数式表示） (2)设的面积为（单位：），求与的函数关系式； (3)是否存在某时刻，使线段恰好经过点？若存在求出此时的值；若不存在，请说明理由． 29．（2025·湖南长沙·二模）如图，已知半径为半圆的直径为，点在半径上运动（点不与点重合），点是半圆弧的中点，点C在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点． (1)若点为的中点，求的值； (2)连接，①当点在半径上运动时，的度数是否发生变化，若不变，求出，若变化，请说明理由； ②若，，求矩形的边的长； (3)假设，，求与之间的函数关系，当时，求函数的取值范围． 30．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 【模拟05.二次函数图象的平移与变换】 31．（2025·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在第 象限． 32．（2025·甘肃张掖·三模）将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 33．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 34．（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）抛物线的对称轴是直线 ． （2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是 ． 35．（2025·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过矩形的顶点和，轴．若将抛物线向左（右）平移不超过个单位长度，使其经过点，可与抛物线重合，记抛物线和在该矩形内部的部分为图象，点在图象上，则点的横坐标的取值范围是 ．（表达式中可含有，，） 36．（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 37．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【模拟06.二次函数的最值问题.】 38．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数．下面五个结论： ①图象过点； ②图象的最低点坐标为； ③图象无最高点且分为两段； ④若，在图象上且，则； ⑤若，在图象上，且，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 39．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 40．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为d、n，当时，则m的取值范围为 ． 41．（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 42．（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． (1)若抛物线经过点； ①求点B的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求t的值； (2)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围． 43．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，其图像与轴的交点记为C． (1)当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积 (2)已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 44．（2025·天津滨海新·二模）已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． (1)当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； (2)若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 【模拟07.二次函数与坐标交点相关】 45．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 46．（2025·福建泉州·模拟预测）数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 47．（2025·广东广州·一模）已知． (1)化简A； (2)若点是抛物线上的一点，求A的值． 48．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 49．（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 50．（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值； (3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 51．（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 52．（2025·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出b，c的值； (2)如图，当时，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当时，请结合l关于m的函数图象，求m的取值范围． 【模拟08.二次函数综合探究】 53．（2025·浙江温州·三模）如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 54．（2025·内蒙古通辽·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 55．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（   ） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值 C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下 56.．（2025·四川乐山·二模）二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②；③；④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 57．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 58．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 59．（2025·山东济南·二模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $