期末专题突破：解一元二次方程专题2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册期末专题突破：解一元二次方程专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 2.用配方法解方程时，原方程变形为(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程，变形后结果正确的是(    ) A. B. C. D. 4.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5.关于的一元二次方程的两个根分别是，，则，的值为  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. D. 且 8.下列一元二次方程中，没有实数根的是(    ) A. B. C. D. 9.已知，是一元二次方程的两个实数根，则等于(    ) A. B. C. D. 10.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在实数范围内定义运算“”和“”，其规则为：，，则方程的解为          ． 12.当          时，代数式和的值互为相反数． 13.对于实数，，定义运算“”如下：若，则          ． 14.若，则          ． 15.关于的一元二次方程有一个根是，则的值是          ． 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 解方程： ； ． 17. 本小题分 用适当的方法解一元二次方程： ； ． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：此方程总有两个不相等的实数根． 若为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的两个根． 19.本小题分 阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程：． 解：移项，得 两边同时除以，得 配方，得， 即 ， 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤_______填序号，原因是______________________________________________________________________________． 请写出正确的解答过程． 20.本小题分 阅读材料： 若，求，的值． 解：， ， ． ，．，． 根据上述材料，解答：已知，，求方程的解． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键． 首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解． 【解答】 解：， ， ， ． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：， 则，即， 故选：． 两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 本题主要考查解一元二次方程的方法--配方法，掌握配方法是解本题的关键． 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】【分析】 本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键． 先化成一般式后，再求根的判别式． 【解答】 解：原方程可化为：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：根据题意得且， 解得且． 故选：． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】解：根据一元二次方程根与系数的关系得． 故选：． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可． 【解答】 解：， ， ， 把代入得：， 解得：，此时，符合题意， 故选：． 11.【答案】，  【解析】本题考查新定义，解一元二次方程．根据新定义，得，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ， 解得：，， 方程的解为，． 故答案为：，． 12.【答案】或  【解析】依题意得，  即，，即，  解得或． 13.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程． 【解答】 解：根据题意得， ， ， 或， 所以，． 故答案为或． 14.【答案】  【解析】解：设，则原方程转化为， 即， 解得，， ， ． 故答案为：． 本题主要考查换元法解一元二次方程．掌握是解题的关键． 设，则原方程转化为关于的一元二次方程，解一元二次方程即可． 15.【答案】  【解析】解：把代入方程得， 即， 则或， 解得或， 当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去， 故的值为． 16.【答案】，  ，  【解析】解：移项得， ，即， 或， ，； ， ， ，即， 或， ，． 利用配方法解一元二次方程即可得出结果； 利用配方法解一元二次方程即可得出结果． 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 17.【答案】，  ，  【解析】解：， ， ， ， ， ，； ， ， ， ， 或， ，． 根据配方法解一元二次方程即可； 根据因式分解法解一元二次方程即可． 本题考查了解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法． 18.【答案】【小题】 解：二次函数为， ，，， ， 此方程总有两个不相等的实数根． 【小题】 当时，原方程为， 原式可化为，则， 或， 当时，或满足题意答案不唯一．   【解析】  表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可得出结论．   求出两根，根据方程的根都是整数，可求得的值． 19.【答案】解：；配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加； 移项，得， 两边同时除以，得， 配方，得， 即， ， ，．  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．根据配方法解析即可． 【解答】 原解析步骤是错误的，因为配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加； 故答案为；配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加； 正确的解析步骤见答案． 20.【答案】解：， ． 将代入中，得． ， ，． ，． ． 把，，代入方程中，得， 解得，．  【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $