2026年九年级中考数学一轮复习【几何模型：两定一动+两动一定+两定两动+三动点+定点一定长（轴对称将军饮马）】

常考的重难点几何模型 八年级上册 初中数学 目录 八年级上册 · 轴对称 模型1：将军饮马——“两定一动”……………………………………………… 2 模型2：将军饮马——“两动一定”……………………………………………… 4 模型3：将军饮马——“两定两动”……………………………………………… 6 模型4：将军饮马——“三动点”………………………………………………… 7 模型5：将军饮马——“定点一定长”…………………………………………… 9 实战演练……………………………………………………………………………… 11 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：将军饮马——“两定一动” 题目条件中含有两定点、一动点，需要解决求两条线段和的最小值问题时，考虑用此模型 一、异侧两点求线段和最小A B l 已知：如图，定点A，B在直线l的两侧 求作：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 依据：两点之间线段最短；轴对称的性质 作法：如图，连接AB，AB与直线l的交点即为所求的点PA B l P 证明：∵ PA+PB≥AB ∴ PA+PB的最小值为线段AB的长 二、同侧两点求线段和最小A B l 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 求作：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 依据：两点之间线段最短；轴对称的性质 作法：如图，作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’，AB’与直线l的交点即为所求的点P 证明：∵ PA+PB=PA+PB’≥AB’A B l P B’ ∴ PA+PB的最小值为线段AB’的长 三、同侧两点求线段差最大 已知：如图，两定点A，B在直线l的同侧A B l 求作：在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大 依据：两点之间线段最短；轴对称的性质 作法：如图，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求A B l P P’ 证明：∵ 当A，B，P三点共线时，|PA－PB|=AB； 当A，B，P三点不共线时，|P’A－P’B|＜AB ∴ |PA－PB|≤AB ∴ 当A，B，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB的长 四、异侧两点求线段差最大A B l 已知：如图，两定点A，B在直线l的两侧 求作：在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大 依据：两点之间线段最短；轴对称的性质 作法：如图，作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’并延长，与直线l交于点P，点P即为所求A B l P’ P B’ 证明：∵ 当A，B’，P三点共线时，|PA－PB|=|PA－PB’|=AB’； 当A，B’，P三点不共线时，|P’A－P’B|=|P’A－P’B’|＜AB’ ∴ |PA－PB|≤AB’ ∴ 当A，B’，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB’的长 敲黑板，记重点 解题方法：求线段和最小时，异侧直连接，同侧作对称； 求线段差最大时，同侧直连接，异侧作对称. 【例1】如图，在等边中，点E是边的中点， 点P是的中线上的动点，且，则 的最小值是（    ） A．12 B．10 C．6 D．3 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 是等边三角形，是边上的中线， ， 是的垂直平分线， 点关于的对应点为点， 就是的最小值． 是等边三角形，是边的中点， 是的中点， 是的中线， ， 即的最小值为， 故选：B． 模型2：将军饮马——“两动一定” 题目条件中含有两动点、一定点，需要解决三角形周长的最值问题时，考虑用此模型 已知：如图，P为∠AOB内一点 求作：在线段OA，OB上分别找点M，N，使△PMN的周长最小 作法：如图，分别作点P关于射线OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，P1P2与两条射线的交点即为所求点M，N 证明：∵ C△PMN=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN≥P1P2 ∴ 当P1，M，N，P2，四点共线时，PM+PN+MN的最小值为线段P1P2的长 A P O B A P O B P1 N M P2 【例1】如图，，点P为内一点，点、分别在、上、当周长最小时，的度数是（  ）      A． B． C． D． 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、，交于，交于，的周长最小值等于长，依据等腰△中，， 即可得出． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接、，交于，交于，则 ，，， 根据轴对称的性质可得，， 的周长的最小值， 由轴对称的性质可得， 等腰△中，， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△中的度数是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 模型3：将军饮马——“两定两动” 题目条件中含有两定点+两定线上找两动点，需要解决线段和（两动点与两定点围成的四边形的周长）最值问题时，考虑用此模型 已知：如图，P，Q为角内两定点 求作：在射线l1，l2上分别找点M，N，使四边形PQMN的周长最小 作法：如图，作点P关于射线l2的对称点P’，作点Q关于射线l1的对称点Q’，连接P’Q’，P’Q’与两条射线的交点即为所求点M，N 证明：∵ 四边形PQMN的周长PQ+QM+MN+PN=PQ+Q’M+MN+P’N≥PQ+P’Q’ ∴ 当Q’，M，N，P’四点共线时，四边形PQMN的周长最小值为线段PQ+P’Q’的值 l1 P O l2 Q l1 P O l2 Q M N P’ Q’ 【例1】如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出△为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3； 故答案为：3 模型4：将军饮马——“三动点” 题目条件中含有三动点，需要解决线段和最值问题时，考虑用此模型 已知：如图，已知D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点 求作：△DEF周长的最小值 作法：如图，先将点D视为定点，再利用将军饮马——“两动一定”模型求出 证明：分别作点D关于AC，BC的对称点D’，D’’，连接D’D’’，分别交AC，BC于点E，F，连接CD’，CD，CD’’ 由对称性知DE=DE’，DF=D’’F，故DE+EF+DF=D’E+EF+D’’F≥D’D’’ ∴ 当D’，E，F，D’’四点共线时，△DEF周长的最小值为线段D’D’’的长 ∵ ∠D’CD’’=2∠ACB，CD’=CD’’=CD ∴ 当CD最短，即CD⊥AB时，△DEF周长的最小值为线段D’D’’的长 F E D C A B F E D C A B D’’ D’ 敲黑板，记重点 动点所在直线就是对称轴. 【例1】如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【分析】作于，作关于和的对称点和，连接交于，交于，则，求得即可； 【详解】解：如图2，作于，作关于和的对称点和， 连接交于，交于， 由对称性得， ，， ，，，， ，即△DEF周长的最小值是GH的长， ， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， 的周长的最小值是； 故答案为： 模型5：将军饮马——“两定点一定长” 题目条件中含有两定点、一定长，需要解决两条线段（或三条线段，其中一条线段为定长）和的最小值问题时，考虑用此模型 一、异侧两定点一定长 已知：如图，直线m∥n，A，B分别为直线m上方和直线n下方的两个定点（直线AB不与m垂直） 求作：在m，n上分别求作点M，N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小 作法：如图，将点A向下平移得到点A’，使AA’=MN，连接AB’，交直线n于点N，过点N作MN⊥m于点M，则点M，N即为所求 证明：由平移性质知AM=A’N ∴ AM+MN+BN=A’N+MN+BN ∵ MN为定长敲黑板，记重点 异侧两定点一定长的解题方法： 先平移，再连接线段. 同侧两定点一定长的解题方法： 先平移，再作对称，最后连接线段. ∴ 只需要求A’N+BN的最小值 ∵ A’，B两点之间，线段A’B最短 ∴ AM+MN+BN的最小值为A’B+MN的值 M N B A n m M N B A n m A’ 二、同侧两定点一定长 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 求作：在直线l上求作两点M，N（点M在点N的左边），且AM+MN+BN的值最小 作法：如图，将点A向右平移MN个单位长度得到点A’，作点A’关于l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，连接A’N，将点N向左平移MN个单位长度得到点M，则点M，N即为所求A B l N M 证明：由平移性质知AM=A’N ∴ AM+MN+BN=A’N+MN+BN ∵ MN为定长 ∴ 只需要A’N+BN的最小值 ∵ 点A’和点A’’关于直线l对称A B l N M A’’ A’ ∴ A’N=A’’N ∴ A’N+BN=A’’N+BN ∵ A’’，B两点之间，线段A’’B最短 ∴ AM+MN+BN的最小值为A’’B+MN的值 【例1】如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【分析】根据两点间直线距离最短，使为平行四边形即可，即垂直河岸且等于河宽，接连即可． 【详解】解：作垂直于河岸，使等于河宽， 连接，与另一条河岸相交于F，作于点E， 则且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． ∴C选项符合题意， 故选：C． 实 战 演 练 【将军饮马——“两定一动”】 1．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 1．B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 2．M是直线l上一点，N是直线l外一点，在直线l上求作一点P，使得的值最大，则这点P（    ） A．与M重合 B．在M的左边 C．在M的右边 D．是直线l上任一点 【分析】点P，点M，点可构成，根据三角形三边关系分析即可． 【详解】当点P，点M，点N可构成，根据三角形三边关系得： ； 点P与点M重合时，； ∴， 即当点P与点M重合时，的值最大， 故选：A． 【点睛】本题考查最短路线问题，利用三角形三边关系分析问题是解题的关键． 3．如图，在中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为 ．    【分析】连接，根据，的面积为12，D为边的中点，得到，，直线是的垂直平分线，结合的垂直平分线交于点F，设与交于点N，则，；延长到点G，使得，连接交于点H，则，根据等腰三角形三线合一性质，得到直线是线段的垂直平分线，故直线是线段的垂直平分线，故点D与点G关于直线对称，从而得到当点M与定N重合时，，从而得到的周长最小值为． 【详解】如图，连接，因为，的面积为12，D为边的中点， 所以，，直线是的垂直平分线， 因为的垂直平分线交于点F， 设与交于点N，则，； 延长到点G，使得， 连接交于点H，则， 根据等腰三角形三线合一性质，得到直线是线段的垂直平分线， 故直线是线段的垂直平分线， 故点D与点G关于直线对称， 所以当点M与定N重合时，， 所以的周长最小值为： ．    故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段的垂直平分线性质，线段最短原理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质，线段最短原理是解题的关键． 4．已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点； （2）连接，作线段的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （3）连接并延长交直线于点，假设直线上有一点（异于点），连接、，点即为所作． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：如图，点即为所作， 由线段垂直平分线的性质可得，此时； （3）解：如图，点即为所作， 在中，，则最大． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【将军饮马——“两动一定”】 5．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A． B． C．6 D．3 【分析】作点P关于OB的对称点D，点P关于OA的对称点C，连接CD与OA，OB分别交于点M与N则CD的长即为△PMN周长的最小值；连接OC，OD，过点O作OH⊥CD，在Rt△OCH中求出HC即可求出CD． 【详解】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图， 则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=4，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC， ∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN周长最小，最小值是DC的长， 作OH⊥CD于H，则CH=DH， ∵∠OCH=30°， ∴OH=OC=2，CH==2， ∴CD=2CH=4． ∴△PMN周长的最小值是4， 故选：B． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为CD的长是解题的关键． 6．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出，得出等边三角形，求出，求出的周长，即可求出答案． 【详解】解：作P关于的对称点D，作P关于的对称点E，连接交于M，交于N，连接，则此时的周长最小， 连接， ∵P、D关于对称， ∴， 同理， ∴， ∵P、D关于对称， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质，关键是画出符合条件的图形． 7．如图，在四边形中，，在，上分别找一点G，H，使周长最小时，则 ． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题，：延长到点，使得，延长到点，使得，连接交，于点G，H，则有，，即可得到当E，G，H，F四点共线时，的周长最小为长，然后根据等边对等角和三角形的内角和解答即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，连接交，于点G，H， ∵， ∴，， ∴的周长为 根据两点间线段最短可得，当E，G，H，F四点共线时，的周长最小为长， 这时，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．如图，若∠MON＝60°，A，B分别是射线OM，ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为PP，当点A、B在PP上时，△PAB周长为PA+AB+BP=PP"，此时周长最小根．据轴对称的性质,可求出∠APB的度数． 【详解】解：如答图，分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″，连接OP，OP′，OP″，P′P″，P′P″交OM，ON于点A，B，连接PA，PB，则AP＝AP′，BP＝BP″，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长． 由轴对称的性质可得OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， ∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°， ∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝(180°－120°)÷2＝30°． 由轴对称的性质可得，OP′＝OP，AP＝AP′，∵OA=OA ∴△O AP′≌△OAP ∴∠OPA=∠OP′P″=30° 同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°， ∴∠APB＝30°＋30°＝60°． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,多数情况要作点关于某直线的对称点． 【将军饮马——“两定两动”】 9. 如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得． 【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ ∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，、关于y轴对称， ∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴， ∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°， ∵轴，B、关于AG对称，∴,， ∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M， ∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴， ∴，同理可得,即．故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键． 10．如图，在矩形中，，，，，，分别是边，上的动点，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查矩形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识点，如图，作点E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于点G，交于点H，连接，，则，，若在，上分别任取一点，，由可知，进而可知当，分别与H，G重合时，四边形的周长最小，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于点G，交于点H，连接，，则，， 若在，上分别任取一点，， ， 当，分别与H，G重合时，四边形的周长最小，由题意得，，，，， ，， ，， 四边形的周长的最小值为， 在边、上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小，最小值为． 故选：D． 11．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是 ．    【详解】解：作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N',连接两对称点M'N'，交OB、OA于P、Q.此时MP＋PQ＋QN有最小值，    根据线段垂直平分线性质和两点之间线段最短，MP＋PQ＋QN=M'P+PQ＋QN'=M'N'，M'N'的长度就是所求的MP＋PQ＋QN的最小值. 分别连接OM',ON',∠N'OA＝∠AOB＝30°，∠M'OB＝∠AOB＝30°，所以∠M'ON'=90º，所以三角形M'ON'是直角三角形,OM'=OM＝1，ON'=ON＝3，由勾股定理得M'N'为. 所以MP＋PQ＋QN的最小值是. 故答案是：． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点． （1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值． 【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得，同样的方法可得，从而可得，最后根据两点之间线段最短即可得出答案． 【详解】证明：（1）在中，，， 点是斜边的中点，，是等边三角形； （2）如图，连接， 和都是等边三角形，，， ，垂直平分，， 同理可得：垂直平分，，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 故的最小值为4． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 【将军饮马——“三动点”】 13．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，当时，最短，此时的周长最小，最小值为的长． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，如图所示： 由对称性可知，，， 的周长， ，， ， ， ， ， 当时，最短，此时的周长最小， ，的面积9， ， 的周长最小值为6， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，三角形面积公式是解题的关键． 14．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【分析】先找出点E关于AC的对称点E’，过点E’作E’F⊥BC于F，交AC于P，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知E’F为PE＋PF的最小值的最小值，过点C作CG⊥AD于G，再根据平行线间的距离相等即可得解． 【详解】解：如图，点E关于AC的对称点E’，过点E’作E’F⊥BC于F，交AC于P，则PE＋PF＝E’F为最小值的情况， 过点C作CG⊥AD于G， ∵，， ∴CG＝4÷＝2， ∵AD∥BC， ∴E’F＝CG＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，作出图形，确定出最短路线为菱形的对边的距离是解题的关键． 15．如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．    【分析】如图，作点G关于的对称点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，交于点，连接、，四边形的周长最小，求出此时即可． 【详解】解：如图，作点G关于的对称点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，交于点，连接、，四边形的周长最小，    由对称的性质知，， ∴，当、、三点共线时值最小； 同理可得：，当、、、四点点共线时值最小； ∵，正方形是正方形； ∴，， 由对称的性质知，，，，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用作轴对称图形解决最值问题是解题关键． 16．如图，已知，点为边中点，点在线段上运动，点在线段上运动，连接，则周长的最小值为 ． 【分析】作梯形ABCD关于AB的轴对称图形，将BC'绕点C'逆时针旋转120°，则有GE'=FE'，P与Q是关于AB的对称点，当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合，F'M为所求长度；过点F'作F'H⊥BC'，M是BC中点，则Q是BC'中点，由已知条件∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，可得C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，所以F'H=，HC'=1，在Rt△MF'H中，即可求得F'M． 【详解】作梯形ABCD关于AB的轴对称图形， 作F关于AB的对称点G，P关于AB的对称点Q， ∴PF=GQ， 将BC'绕点C'逆时针旋转120°，Q点关于C'G的对应点为F'， ∴GF'=GQ， 设F'M交AB于点E'， ∵F关于AB的对称点为G， ∴GE'=FE'， ∴当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合， ∴F'M为所求长度； 过点F'作F'H⊥BC'， ∵M是BC中点， ∴Q是BC'中点， ∵∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4， ∴C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°， ∴F'H=，HC'=1， ∴MH=7， 在Rt△MF'H中，F'M； ∴△FEP的周长最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点问题的最短距离，涉及的知识点有：勾股定理，含30度角直角三角形的性质，能够通过轴对称和旋转，将三角形的三条边转化为线段的长是解题的关键． 17．如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 【分析】过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，求出，推出的最小值为，再作点D关于的对称点，，连接，、，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识，证明出是等边三角形，且边长等于，是解题的关键． 【详解】解：过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， ∵锐角的面积为，， ∴， ， ∵的面积为2，， ∴，点D是直线l上的动点， ∴， ， ∵， 的最小值为， 作点D关于的对称点，，连接，、，，， 则，，，，， 当共线时，周长最小为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 周长的最小值为， 故答案为：． 【将军饮马——“定点一定长”】 18．如图，矩形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为 ． 【分析】作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，利用已知可以得出长度不变，求出最小时即可得出四边形周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出． 【详解】解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，G为边的中点， ∴， 由勾股定理得∶， 即的最小值为5． 故答案为： 5． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键． 19．如图，菱形ABCD的边长为6，，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若，则的最小值为 ． 【分析】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F， ∵AC，BD是菱形ABCD的对角线， ∴BD⊥AC， ∵AM⊥AC， ∴AM∥BD， ∴AM∥EF， ∵AM＝EF，AM∥EF， ∴四边形AEFM是平行四边形， ∴AE＝FM， ∴AE＋CF＝FM＋FC＝CM， 根据两点之间线段最短可知，此时AE＋FC最短， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60° ∴BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6， 在Rt△CAM中，CM＝ ∴AE＋CF的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题． 20．已知，如图，线段长为，于，于，，，为线段上两动点，在右侧且，则由到的路径：的最小值为 ． 【分析】过点作且，作关于的对称点，连接交于点，连接交于点，过点作交于，证明，再根据全等三角形的性质，得出，再根据轴对称的性质，得出，进而得出，再根据两点之间线段最短，得出的最小值为的长，此时，的值最小，过点作交的延长线于，再根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出，进而即可得出答案． 【详解】解：过点作且，作关于的对称点，连接交于点，连接交于点，过点作交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长，此时，的值最小， 过点作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、勾股定理，解本题的关键在正确作出辅助线． 21．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE； （2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度； （3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点， ∴BQ=CQ=4，CE=2， ∴AB=CQ， ∵PQ=2， ∴BP=2， ∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP≌△QCE（SAS）， ∴AP=QE； （2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°， ∴CQ=EC， ∴6-x=2， 解得x=4， ∴BP=4； （3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $常考的重难点几何模型 八年级上册 初中数学 目录 八年级上册 · 轴对称 模型1：将军饮马——“两定一动”……………………………………………… 2 模型2：将军饮马——“两动一定”……………………………………………… 3 模型3：将军饮马——“两定两动”……………………………………………… 4 模型4：将军饮马——“三动点”………………………………………………… 5 模型5：将军饮马——“定点一定长”…………………………………………… 6 实战演练……………………………………………………………………………… 7 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：将军饮马——“两定一动” 题目条件中含有两定点、一动点，需要解决求两条线段和的最小值问题时，考虑用此模型 一、异侧两点求线段和最小A B l 已知：如图，定点A，B在直线l的两侧 求作：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 依据：两点之间线段最短；轴对称的性质 作法：如图，连接AB，AB与直线l的交点即为所求的点PA B l P 证明：∵ PA+PB≥AB ∴ PA+PB的最小值为线段AB的长 二、同侧两点求线段和最小A B l 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 求作：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 依据：两点之间线段最短；轴对称的性质 作法：如图，作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’，AB’与直线l的交点即为所求的点P 证明：∵ PA+PB=PA+PB’≥AB’A B l P B’ ∴ PA+PB的最小值为线段AB’的长 三、同侧两点求线段差最大 已知：如图，两定点A，B在直线l的同侧A B l 求作：在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大 依据：两点之间线段最短；轴对称的性质 作法：如图，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求A B l P P’ 证明：∵ 当A，B，P三点共线时，|PA－PB|=AB； 当A，B，P三点不共线时，|P’A－P’B|＜AB ∴ |PA－PB|≤AB ∴ 当A，B，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB的长 四、异侧两点求线段差最大A B l 已知：如图，两定点A，B在直线l的两侧 求作：在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大 依据：两点之间线段最短；轴对称的性质 作法：如图，作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’并延长，与直线l交于点P，点P即为所求A B l P’ P B’ 证明：∵ 当A，B’，P三点共线时，|PA－PB|=|PA－PB’|=AB’； 当A，B’，P三点不共线时，|P’A－P’B|=|P’A－P’B’|＜AB’ ∴ |PA－PB|≤AB’ ∴ 当A，B’，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB’的长 敲黑板，记重点 解题方法：求线段和最小时，异侧直连接，同侧作对称； 求线段差最大时，同侧直连接，异侧作对称. 【例1】如图，在等边中，点E是边的中点， 点P是的中线上的动点，且，则 的最小值是（    ） A．12 B．10 C．6 D．3 模型2：将军饮马——“两动一定” 题目条件中含有两动点、一定点，需要解决三角形周长的最值问题时，考虑用此模型 已知：如图，P为∠AOB内一点 求作：在线段OA，OB上分别找点M，N，使△PMN的周长最小 作法：如图，分别作点P关于射线OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，P1P2与两条射线的交点即为所求点M，N 证明：∵ C△PMN=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN≥P1P2 ∴ 当P1，M，N，P2，四点共线时，PM+PN+MN的最小值为线段P1P2的长 A P O B A P O B P1 N M P2 【例1】如图，，点P为内一点，点、分别在、上、当周长最小时，的度数是（  ）      A． B． C． D． 模型3：将军饮马——“两定两动” 题目条件中含有两定点+两定线上找两动点，需要解决线段和（两动点与两定点围成的四边形的周长）最值问题时，考虑用此模型 已知：如图，P，Q为角内两定点 求作：在射线l1，l2上分别找点M，N，使四边形PQMN的周长最小 作法：如图，作点P关于射线l2的对称点P’，作点Q关于射线l1的对称点Q’，连接P’Q’，P’Q’与两条射线的交点即为所求点M，N 证明：∵ 四边形PQMN的周长PQ+QM+MN+PN=PQ+Q’M+MN+P’N≥PQ+P’Q’ ∴ 当Q’，M，N，P’四点共线时，四边形PQMN的周长最小值为线段PQ+P’Q’的值 l1 P O l2 Q l1 P O l2 Q M N P’ Q’ 【例1】如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 模型4：将军饮马——“三动点” 题目条件中含有三动点，需要解决线段和最值问题时，考虑用此模型 已知：如图，已知D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点 求作：△DEF周长的最小值 作法：如图，先将点D视为定点，再利用将军饮马——“两动一定”模型求出 证明：分别作点D关于AC，BC的对称点D’，D’’，连接D’D’’，分别交AC，BC于点E，F，连接CD’，CD，CD’’ 由对称性知DE=DE’，DF=D’’F，故DE+EF+DF=D’E+EF+D’’F≥D’D’’ ∴ 当D’，E，F，D’’四点共线时，△DEF周长的最小值为线段D’D’’的长 ∵ ∠D’CD’’=2∠ACB，CD’=CD’’=CD ∴ 当CD最短，即CD⊥AB时，△DEF周长的最小值为线段D’D’’的长 F E D C A B F E D C A B D’’ D’ 敲黑板，记重点 动点所在直线就是对称轴. 【例1】如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 模型5：将军饮马——“两定点一定长” 题目条件中含有两定点、一定长，需要解决两条线段（或三条线段，其中一条线段为定长）和的最小值问题时，考虑用此模型 一、异侧两定点一定长 已知：如图，直线m∥n，A，B分别为直线m上方和直线n下方的两个定点（直线AB不与m垂直） 求作：在m，n上分别求作点M，N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小 作法：如图，将点A向下平移得到点A’，使AA’=MN，连接AB’，交直线n于点N，过点N作MN⊥m于点M，则点M，N即为所求 证明：由平移性质知AM=A’N ∴ AM+MN+BN=A’N+MN+BN ∵ MN为定长敲黑板，记重点 异侧两定点一定长的解题方法： 先平移，再连接线段. 同侧两定点一定长的解题方法： 先平移，再作对称，最后连接线段. ∴ 只需要求A’N+BN的最小值 ∵ A’，B两点之间，线段A’B最短 ∴ AM+MN+BN的最小值为A’B+MN的值 M N B A n m M N B A n m A’ 二、同侧两定点一定长 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 求作：在直线l上求作两点M，N（点M在点N的左边），且AM+MN+BN的值最小 作法：如图，将点A向右平移MN个单位长度得到点A’，作点A’关于l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，连接A’N，将点N向左平移MN个单位长度得到点M，则点M，N即为所求A B l N M 证明：由平移性质知AM=A’N ∴ AM+MN+BN=A’N+MN+BN ∵ MN为定长 ∴ 只需要A’N+BN的最小值 ∵ 点A’和点A’’关于直线l对称A B l N M A’’ A’ ∴ A’N=A’’N ∴ A’N+BN=A’’N+BN ∵ A’’，B两点之间，线段A’’B最短 ∴ AM+MN+BN的最小值为A’’B+MN的值 【例1】如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 实 战 演 练 【将军饮马——“两定一动”】 1．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 2．M是直线l上一点，N是直线l外一点，在直线l上求作一点P，使得的值最大，则这点P（    ） A．与M重合 B．在M的左边 C．在M的右边 D．是直线l上任一点 3．如图，在中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为 ．    4．已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 【将军饮马——“两动一定”】 5．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A． B． C．6 D．3 6．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 7．如图，在四边形中，，在，上分别找一点G，H，使周长最小时，则 ． 8．如图，若∠MON＝60°，A，B分别是射线OM，ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 【将军饮马——“两定两动”】 9. 如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．如图，在矩形中，，，，，，分别是边，上的动点，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是 ．    12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点． （1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值． 【将军饮马——“三动点”】 13．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 14．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 15．如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．    16．如图，已知，点为边中点，点在线段上运动，点在线段上运动，连接，则周长的最小值为 ． 17．如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 【将军饮马——“定点一定长”】 18．如图，矩形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为 ． 19．如图，菱形ABCD的边长为6，，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若，则的最小值为 ． 20．已知，如图，线段长为，于，于，，，为线段上两动点，在右侧且，则由到的路径：的最小值为 ． 21．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $