专题13 规律性问题 重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题13 规律性问题目录 A · 重难点题型分类 题型1：图形类规律性问题……………………………………………………… 1 题型2：整式的乘法与因式分解中的数字类规律问题………………………… 2 题型3：分式中的数字类规律问题……………………………………………… 4 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 7 重难点题型分类 【题型1：图形类规律性问题】 【例1】用小棋子按如图方式摆图，则第50个图形需要棋子的个数是（    ） A．144 B．147 C．150 D．153 【变式1-1】如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 【变式1-2】如图，将一张等边三角形纸片沿三边中点连线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到85个小三角形，则需要操作的次数是（　　） A．25 B．28 C．33 D．34 【变式1-3】设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型2：整式的乘法与因式分解中的数字类规律问题】 【例1】我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如下图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（   ） A．10 B．12 C．14 D．60 【变式1-1】观察下列各式： ； ； ； … 根据以上规律计算：=（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】“杨辉三角”揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律，如图表： 展开式 通过观察寻求规律，写出的展开式共有 项，各项系数的和是 ． 【变式1-3】探索规律 …… (1)试求的值； (2)试求：的值； (3)试猜想：的值． (4)根据以上规律求：的结果． 【变式1-4】探索题： …… (1)根据规律可得 （其中为正整数）； (2)仿照上面等式分解因式： ； (3)根据规律可得 （其中n为正整数）； (4)计算： ； (5)计算：①； ②． 【题型3：分式中的数字类规律问题】 【例1】下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为，；第②个方程的解为，；第③个方程的解为 ，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于 ． 【变式1-1】观察下列等式： 第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 按这样的规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【变式1-3】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：； 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______ (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【变式1-4】观察下列各式： ， (1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________； (2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，； (3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值． 能力提升 一、单选题 1．（2025·重庆·模拟预测）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，……将这种做法继续下去（如图2，图3……），则图5中挖去三角形的个数为（    ） A．121 B．362 C．364 D．729 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于轴对称，第2次关于轴对称，第3次关于轴对称，……，依次类推．若点，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的角平分线，两条角平分线交于点，得；和的角平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）课本“阅读材料”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对两数和平方公式的推广，告诉我们二项式乘方展开式的系数规律：                               1              展开式系数和为1，                          1  1        展开式系数和为                  1  2  1      展开式系数和为          1  3  3  1    展开式系数和为 1  4  6  4  1  展开式系数和为 ……                                 ……         …… 根据上述规律，展开式的系数和是（　　） A．32 B．64 C．88 D．128 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式所有项的系数和是（    ） A．4050 B． C． D． 二、填空题 8．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列因式分解的结果： ①；②；③；……； 按照此规律，（n为大于1的整数）因式分解的结果为 ． 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； (2)写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； (3)利用材料中的规律计算：． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 14．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）观察下列各式 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； ．．．．．． (1)第5个式子：________； (2)试猜想第个式子（为正整数）； (3)请直接用（2）中的规律化简． 15．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为______； (2)关于的方程的解为______； (3)试求：关于的方程的解． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）用你发现的规律解答下列问题．，， (1)计算_______． (2)探究_______．（用含有n的式子表示） (3)若的值为，求n的值． (4)解方程： 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题13 规律性问题目录 A · 重难点题型分类 题型1：图形类规律性问题……………………………………………………… 1 题型2：整式的乘法与因式分解中的数字类规律问题………………………… 4 题型3：分式中的数字类规律问题……………………………………………… 10 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 15 重难点题型分类 【题型1：图形类规律性问题】 【例1】用小棋子按如图方式摆图，则第50个图形需要棋子的个数是（    ） A．144 B．147 C．150 D．153 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据前三个图形中棋子的数量得到第n个图案中，棋子总数有枚，代入即可求出结果． 【详解】解：第一个图案中，棋子总数是； 第二个图案中，棋子总数为； 第三个图案中，棋子总数为； ， 第n个图案中，棋子总数有枚； 当时， 故选：C． 【变式1-1】如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出，，有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，， 在与中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 【变式1-2】如图，将一张等边三角形纸片沿三边中点连线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到85个小三角形，则需要操作的次数是（　　） A．25 B．28 C．33 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的规律探究，根据图形规律转化为数字规律是解题的关键． 按照同样的操作，依次剪出的三角形的个数为4，7，10，13……，由此数据可知，第n次操作后三角形共有个，根据题意得，求得n的值即可． 【详解】解：由题意， 第一次操作，小三角形的个数为4个； 第二次操作，小三角形的个数为7个； 第三次操作，小三角形的个数为10个； …… 第n次操作，小三角形的个数为个； 由， 解得， 故选：B． 【变式1-3】设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律探索，找出点D，E角标的序号数与等分点的关系是解题关键，由题意得分别是的2025等分点，再根据，分别求出面积即可求出结论． 【详解】解：由题意得分别是的2025等分点，如下图： ， ， 故选：D． 【题型2：整式的乘法与因式分解中的数字类规律问题】 【例1】我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如下图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（   ） A．10 B．12 C．14 D．60 【答案】B 【分析】本题考查整式乘法运算的规律探究，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律．根据题意得到规律并利用规律求解即可得到答案． 【详解】根据杨辉三角可知，， ∴展开式中含项是展开式中第二项， ∴展开式中含项的系数是：， 故选：B． 【变式1-1】观察下列各式： ； ； ； … 根据以上规律计算：=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘法规律探究，找出规律是解题的关键．观察等式得出，利用归纳总结的规律求解即可． 【详解】解：由原题中的等式可得：， 当时，． 故选：D． 【变式1-2】“杨辉三角”揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律，如图表： 展开式 通过观察寻求规律，写出的展开式共有 项，各项系数的和是 ． 【答案】 7 64 【分析】本题考查数字类规律，多项式乘多项式，根据已有等式，得到的展开式中，共项，且所有系数的和为，进行求解即可． 【详解】解：由题可知：的展开式中，共一项，且所有系数的和为； 展开式中，共二项，且所有系数的和为； 展开式中，共三项，且所有系数的和为； 展开式中，共四项，且所有系数的和为； 展开式中，共五项，且所有系数的和为 ∴的展开式中，共项，且所有系数的和为； 则展开式共有7项，所有项的系数和为 故答案为：7，64 【变式1-3】探索规律 …… (1)试求的值； (2)试求：的值； (3)试猜想：的值． (4)根据以上规律求：的结果． 【答案】(1) (2)31 (3) (4) 【分析】此题考查代数式的计算规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知条件即可得到规律； （2）根据，由题中规律即可计算； （3）题中已知条件的规律即可归纳出一般性规律即，将所求式乘以即可变形为符合规律的形式，由此即可得到答案； （4）将所求式乘以即可变形为符合规律的形式，由此即可求解． 【详解】（1）解：由前三个等式可知：． （2） ； （3）由已知等式可得： 依题意得： ， （4） ． 【变式1-4】探索题： …… (1)根据规律可得 （其中为正整数）； (2)仿照上面等式分解因式： ； (3)根据规律可得 （其中n为正整数）； (4)计算： ； (5)计算：①； ②． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)①；② 【分析】本题考查整式运算规律，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． （1）由题中所给的式子即可得到规律，从而确定答案； （2）由（1）中所得的规律直接求解即可得到答案； （3）由（1）中所得的规律直接求解即可得到答案； （4）由（3）中所得的规律直接求解即可得到答案； （5）由（1）中所得的规律直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：由（1）中规律可知， ， 故答案为：； （3）解：由（1）中规律可知， ， 故答案为：； （4）解：由（3）中规律可知，， ， 故答案为：； （5）解：① ； ②设， 令， ； ， 由①知，； ． 【题型3：分式中的数字类规律问题】 【例1】下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为，；第②个方程的解为，；第③个方程的解为 ，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于 ． 【答案】 或 【分析】此题主要考查了分式方程的解，利用已知得出分式方程的解，找到规律是解题关键．根据已知分式方程的变化规律求出该方程的解，再利用已知解题方法得出方程的解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得 解得 故分式方程的解为， 由①得得， 由②得得， 由③得得， 可得第个方程为， 解得 将变形， 或 方程的解为 当时， 当时， 的值为10或9． 故答案为：，10或9． 【变式1-1】观察下列等式： 第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 按这样的规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给的等式，分析数字变化的规律，再进行总结即可． 【详解】解：∵第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 可以看出：等式的左边是两个连续整数的倒数和与它们积的倒数的差，等式右边分母与左边较大整数相同，分子是2， 按这样的规律，第n个等式为： 故选：B． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式分析清楚存在的规律． 【变式1-2】观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【答案】 【分析】先根据已知等式归纳类推出，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，归纳类推得：， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键． 【变式1-3】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：； 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______ (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律，分式的运算,解题的关键是从等式中找出规律． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后根据分式的运算证明猜想． 【详解】（1）解：根据题意得，第5个等式为：． 故答案为： （2）解：第n个等式为：， 证明：． 【变式1-4】观察下列各式： ， (1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________； (2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，； (3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)， 【分析】（1）根据所给的三个等式归纳规律解答即可； （2）利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式； （3）根据（2）中的规律，当m=2时，得出a，b，c，d的值，再进行化简求值． 【详解】（1）解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出： ； 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ∴， 设（）， ∴ ∵， ∴； （3）解：由（2）可知， 当时，则 ， ∵， ∴， ∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d； ∴a=17，b=5，c=3，d=1； ∵ ， 当a=17，b=5，c=3，d=1； ∴原式； 【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的关键． 能力提升 一、单选题 1．（2025·重庆·模拟预测）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，……将这种做法继续下去（如图2，图3……），则图5中挖去三角形的个数为（    ） A．121 B．362 C．364 D．729 【答案】A 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，根据空白三角形的分布依次写出前五个图形中的空白三角形的数量即可． 【详解】解：图1，； 图2，； 图3，； 图4，； 图5，； 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解题关键． 根据等高的三角形推出，，推出，可得，依此类推可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ，， ，， ， ， 同理可得：， ， 同理可得：， 依此类推：． 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于轴对称，第2次关于轴对称，第3次关于轴对称，……，依次类推．若点，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组依次循环是解题的关键． 观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限即可解答． 【详解】解：点第一次关于轴对称后在第四象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第二象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 所以，每四次轴对称变换为一个循环组依次循环， 余1， 经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 故选：B． 4．（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的角平分线，两条角平分线交于点，得；和的角平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义可得 ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得，，⋯， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形类规律探索，先根据前面几个点的坐标发现并总结出规律是解题的关键．根据题意得出，，，，总结得出坐标规律，则，最后写出结果即可． 【详解】解：由题意可得，点，将先关于x轴对称，再向右平移一个单位长度得到，继续对称平移后得到，，， ∴由点坐标规律可得， ∴的坐标为． 故选：D． 6．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）课本“阅读材料”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对两数和平方公式的推广，告诉我们二项式乘方展开式的系数规律：                               1              展开式系数和为1，                          1  1        展开式系数和为                  1  2  1      展开式系数和为          1  3  3  1    展开式系数和为 1  4  6  4  1  展开式系数和为 ……                                 ……         …… 根据上述规律，展开式的系数和是（　　） A．32 B．64 C．88 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律问题，找到规律是解题的关键；根据规律得展开式系数和为2的乘方，这里2的指数与多项式的指数相同，由此即可求解． 【详解】解：，展开式系数和为1， ，展开式系数和为， ，展开式系数和为， ，展开式系数和为， ，展开式系数和为， ……                                   …… 由上述规律得：展开式系数和为， 故选：D． 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式所有项的系数和是（    ） A．4050 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，根据前几个等式中的系数变化规律可得结论．根据题意得到展开式的所有项的系数和为，即可得到答案． 【详解】解：根据图中所给等式， 展开式的第二项为    ， 展开式的第二项为， 展开式的第二项为， ……， 根据变化规律，展开式的所有项的系数和为， ∴则的展开式所有项的系数和是， 故选：D． 二、填空题 8．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列因式分解的结果： ①；②；③；……； 按照此规律，（n为大于1的整数）因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，整式的变化规律； 观察已知等式可知：因式分解的结果第一个因式为，第二个因式中x的次数从依次递减到0． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，整式混合运算，解答的关键是由所给的等式分析归纳出存在的规律． 根据所给的等式的形式进行分析归纳第n个等式为：，然后将代入即得． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等2式； 第3个等式； 第4个等式； ……， 第n个等式， 当时，． ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； (2)写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； (3)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五；六；32 (2)；64 (3) 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）把，代入，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得：， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五；六；32． （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：；64． （3）解：把，代入， 得：， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘法的规律探究，观察等式发现规律是解题关键． （1）利用题中已知等式的规律得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差； （2）将原式变形为，再利用所得规律计算可得； （3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得． 【详解】（1）解：若为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得： ， 故答案为：； （2） （3） ． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 14．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）观察下列各式 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； ．．．．．． (1)第5个式子：________； (2)试猜想第个式子（为正整数）； (3)请直接用（2）中的规律化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查规律探索，分式的化简求值，结合题干找出规律是解题关键． （1）根据例题计算即可； （2）根据题中例子找出规律即可； （3）根据规律拆分计算即可． 【详解】（1）解：； （2）猜想第个式子为； （3） 15．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为______； (2)关于的方程的解为______； (3)试求：关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)， ； (3)或 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是， ； 故答案为：， ； （3）解：， 方程变形得：， 即 ∴或 ， 解得：或 ． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）用你发现的规律解答下列问题．，， (1)计算_______． (2)探究_______．（用含有n的式子表示） (3)若的值为，求n的值． (4)解方程： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其规律和拆分法的应用． （1）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案； （2）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案； （3）结合（2）中所求，进而分解各数，化简求得n的代数式，然后建立关于n的方程，即可求解； （4）先化简左边得出，进而得出，即，求解即可得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴， 解得： 经检验：为原方程的解； （4）解： ∴，即， ∴， ∴， 经检验：为原方程的解． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $