68.三角函数的图像翻折变换（含绝对值型）（提升）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 68.三角函数的图像翻折变换（含绝对值，型）（提升）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】三角函数的轴方向翻折变换（型） ￮ 定义表述：对于函数，函数的图像是将的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，轴上方的部分保持不变得到的。 ￮ 数学符号/表达式：，当时， ￮ 关键特征： - 翻折后函数的值域为； - 若是周期函数，的周期可能变为原函数周期的一半（如周期为，原函数周期为）； - 翻折后函数的奇偶性与原函数一致。 ￮ 跨章节关联：适用于所有初等函数的图像翻折变换，关联函数的定义域、值域、周期性、单调性等性质。 2. 【概念2】三角函数的轴方向翻折变换（型） ￮ 定义表述：对于函数，函数的图像是将的图像位于轴右侧的部分保留，并沿轴翻折到轴左侧，轴左侧原图像消失，最终得到的图像关于轴对称。 ￮ 数学符号/表达式：，当时， ￮ 关键特征： - 翻折后函数为偶函数，图像关于轴对称； - 不是周期函数，打破了原函数的周期性； - 翻折后函数在的部分与原函数的图像完全一致。 ￮ 跨章节关联：关联函数的奇偶性、对称性、周期性，适用于研究函数图像的对称变换问题。 三、题型分类与例题精析 题型1：型函数的图像与基本性质（周期、最值、单调区间） 题型特征：直接考查或其变形的图像绘制、周期计算、最值求解和单调区间判断，属于基础翻折变换问题。 解题步骤： 1. 明确翻折规则：确定是轴方向翻折（），明确翻折后图像的变化规律； 2. 化简函数解析式：将函数化为的标准形式； 3. 分析核心性质：根据翻折规则计算周期、最值，结合图像求单调区间； 4. 验证结论：通过图像或特殊值验证所求性质的正确性。 例题1 已知函数，完成下列问题： (1) 画出函数在上的图像； (2) 求的最小正周期、值域和单调递增区间； (3) 比较与的大小。 举一反三1-1 求函数的最小正周期、值域和单调递减区间。 举一反三1-2 下列关于函数的说法正确的是（） A. 是偶函数 B. 的最大值为 C. 的最小正周期为 D. 在上单调递减 举一反三1-3 求函数在区间上的最值及对应的值。 题型2：型三角函数的图像与性质（以为例） 题型特征：考查型三角函数的对称性、周期性、单调性，核心是利用偶函数的性质，结合的部分图像分析整体性质。 解题步骤： 1. 判断函数奇偶性：确定是偶函数，图像关于轴对称； 2. 分析的部分：画出时的图像，明确其性质； 3. 翻折得到整体图像：将的部分沿轴翻折，得到的部分图像； 4. 整合函数性质：结合奇偶性和的性质，推导函数的整体单调性、最值等。 例题2 已知函数，完成下列问题： (1) 判断的奇偶性； (2) 画出在上的图像； (3) 分析在上的单调性。 举一反三2-1 函数的最小正周期和单调递减区间分别是（） A. B. C. D. 举一反三2-2 求函数在上的值域。 举一反三2-3 判断函数的奇偶性，并求其在上的单调递增区间。 题型3：含绝对值三角函数的图像变换综合问题（平移+伸缩+翻折） 题型特征：将绝对值翻折变换与平移、伸缩变换结合，考查函数图像的变换过程和变换后函数的性质，属于综合提升类题型。 解题步骤： 1. 明确变换顺序：严格按照“平移、伸缩、翻折”或题目指定的顺序进行变换； 2. 分步推导解析式：每一步变换后写出对应的函数解析式； 3. 分析变换后性质：根据最终解析式，结合翻折、平移、伸缩的规律，求周期、最值、单调区间； 4. 图像验证：通过分步画图验证变换的正确性。 例题3 已知函数的图像经过如下变换： ① 横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到； ② 对作的翻折变换，得到； ③ 向右平移个单位，得到。 (1) 求的解析式； (2) 求的最小正周期和单调递增区间。 举一反三3-1 将函数的图像向左平移个单位，再横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，求的周期和值域。 举一反三3-2 已知函数是由的图像先作变换，再向上平移个单位得到，求的解析式和奇偶性。 举一反三3-3 函数（）的最大值为，最小值为，周期为，求和的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期为（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列函数中，是偶函数且值域为的有（） A. B. C. D. 3. 填空题 函数的单调递减区间为____________________。 4. 解答题 (1) 求函数的值域和最小正周期。 (2) 判断函数的奇偶性，并求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数，则下列说法正确的有（） A. 是偶函数 B. 的最大值为 C. 在上单调递增 D. 的最小正周期为 3. 填空题 函数在上的单调递增区间为____________________。 4. 解答题 (1) 已知函数（）的周期为，求的值，并求在上的最值。 (2) 将函数的图像先作变换，再向左平移个单位，得到的图像，求的解析式和单调递减区间。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期为（） A. B. C. D. 非周期函数 2. 多选题 已知函数（）的最大值为，最小值为，周期为，且，则下列说法正确的有（） A. B. C. D. 的单调递增区间为 3. 填空题 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是。 4. 解答题 (1) 已知函数的最小值为，求实数的值，并求在上的最大值。 (2) 已知函数，若存在，使得，求的最大值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 68.三角函数的图像翻折变换（含绝对值，型）（提升）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】三角函数的轴方向翻折变换（型） ￮ 定义表述：对于函数，函数的图像是将的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，轴上方的部分保持不变得到的。 ￮ 数学符号/表达式：，当时， ￮ 关键特征： - 翻折后函数的值域为； - 若是周期函数，的周期可能变为原函数周期的一半（如周期为，原函数周期为）； - 翻折后函数的奇偶性与原函数一致。 ￮ 跨章节关联：适用于所有初等函数的图像翻折变换，关联函数的定义域、值域、周期性、单调性等性质。 2. 【概念2】三角函数的轴方向翻折变换（型） ￮ 定义表述：对于函数，函数的图像是将的图像位于轴右侧的部分保留，并沿轴翻折到轴左侧，轴左侧原图像消失，最终得到的图像关于轴对称。 ￮ 数学符号/表达式：，当时， ￮ 关键特征： - 翻折后函数为偶函数，图像关于轴对称； - 不是周期函数，打破了原函数的周期性； - 翻折后函数在的部分与原函数的图像完全一致。 ￮ 跨章节关联：关联函数的奇偶性、对称性、周期性，适用于研究函数图像的对称变换问题。 三、题型分类与例题精析 题型1：型函数的图像与基本性质（周期、最值、单调区间） 题型特征：直接考查或其变形的图像绘制、周期计算、最值求解和单调区间判断，属于基础翻折变换问题。 解题步骤： 1. 明确翻折规则：确定是轴方向翻折（），明确翻折后图像的变化规律； 2. 化简函数解析式：将函数化为的标准形式； 3. 分析核心性质：根据翻折规则计算周期、最值，结合图像求单调区间； 4. 验证结论：通过图像或特殊值验证所求性质的正确性。 例题1 已知函数，完成下列问题： (1) 画出函数在上的图像； (2) 求的最小正周期、值域和单调递增区间； (3) 比较与的大小。 解析： (1) 图像绘制 ① 先画在上的图像； ② 将轴下方的部分（）沿轴翻折到轴上方； ③ 保留轴上方的部分（），得到的图像，图像在处取，在处取。 (2) 性质分析 - 周期：观察图像可知，，故最小正周期； - 值域：由图像得； - 单调递增区间：结合周期和图像，递增区间为。 (3) 大小比较 是偶函数，故； ； 因此。 答案： (1) 图像见解析； (2) 最小正周期为，值域为，单调递增区间为； (3) 举一反三1-1 求函数的最小正周期、值域和单调递减区间。 解析： 1. 标准形式：，其中； 2. 周期计算：的周期； 3. 值域：，故； 4. 单调递减区间：先求的递减区间，再结合翻折变换调整。 令， 解得， 即单调递减区间为。 答案：最小正周期为，值域为，单调递减区间为 举一反三1-2 下列关于函数的说法正确的是（） A. 是偶函数 B. 的最大值为 C. 的最小正周期为 D. 在上单调递减 解析： A选项：定义域为，，是偶函数，正确； B选项：当时，若，；若，，故最大值为，正确； C选项：，不是周期函数，错误； D选项：当时，，单调递减，正确。 答案：ABD 举一反三1-3 求函数在区间上的最值及对应的值。 解析： 的周期为，在上，； 当时，，对应； 当时，，对应。 答案：最大值为（对应），最小值为（对应） 题型2：型三角函数的图像与性质（以为例） 题型特征：考查型三角函数的对称性、周期性、单调性，核心是利用偶函数的性质，结合的部分图像分析整体性质。 解题步骤： 1. 判断函数奇偶性：确定是偶函数，图像关于轴对称； 2. 分析的部分：画出时的图像，明确其性质； 3. 翻折得到整体图像：将的部分沿轴翻折，得到的部分图像； 4. 整合函数性质：结合奇偶性和的性质，推导函数的整体单调性、最值等。 例题2 已知函数，完成下列问题： (1) 判断的奇偶性； (2) 画出在上的图像； (3) 分析在上的单调性。 解析： (1) 奇偶性判断 定义域为，，故是偶函数。 (2) 图像绘制 ① 当时，，画出上的图像； ② 利用偶函数对称性，将的图像沿轴翻折，得到的图像； ③ 整合得到上的图像，注意处图像连续。 (3) 单调性分析 - 当时，，单调递减； - 当时，，单调递增； - 当时，，单调递增； - 当时，，单调递减。 答案： (1) 偶函数； (2) 图像见解析； (3) 单调递增区间为和，单调递减区间为和 举一反三2-1 函数的最小正周期和单调递减区间分别是（） A. B. C. D. 解析： ，故最小正周期为； 单调递减区间为。 答案：D 举一反三2-2 求函数在上的值域。 解析： 是偶函数，先分析的情况： 当时，，，，故； 由偶函数对称性，时，值域为。 答案： 举一反三2-3 判断函数的奇偶性，并求其在上的单调递增区间。 解析： 1. 奇偶性判断 ，故非奇非偶。 2. 单调递增区间（） 当时，； 令，结合，得递增区间为和。 答案：非奇非偶；单调递增区间为和 题型3：含绝对值三角函数的图像变换综合问题（平移+伸缩+翻折） 题型特征：将绝对值翻折变换与平移、伸缩变换结合，考查函数图像的变换过程和变换后函数的性质，属于综合提升类题型。 解题步骤： 1. 明确变换顺序：严格按照“平移、伸缩、翻折”或题目指定的顺序进行变换； 2. 分步推导解析式：每一步变换后写出对应的函数解析式； 3. 分析变换后性质：根据最终解析式，结合翻折、平移、伸缩的规律，求周期、最值、单调区间； 4. 图像验证：通过分步画图验证变换的正确性。 例题3 已知函数的图像经过如下变换： ① 横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到； ② 对作的翻折变换，得到； ③ 向右平移个单位，得到。 (1) 求的解析式； (2) 求的最小正周期和单调递增区间。 解析： (1) 分步求解析式 ① 横坐标缩短为原来的：； ② 轴方向翻折：； ③ 向右平移个单位：。 (2) 性质分析 - 周期：中，故； - 单调递增区间：令， 解得， 即递增区间为。 答案： (1) 的解析式为； (2) 最小正周期为，单调递增区间为 举一反三3-1 将函数的图像向左平移个单位，再横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，求的周期和值域。 解析： 1. 向左平移个单位：； 2. 横坐标伸长为原来的倍：； 3. 周期：，； 4. 值域：，故。 答案：周期为，值域为 举一反三3-2 已知函数是由的图像先作变换，再向上平移个单位得到，求的解析式和奇偶性。 解析： 1. 变换：； 2. 向上平移个单位：； 3. 奇偶性判断：，定义域为，故是偶函数。 答案：解析式为，奇偶性为偶函数 举一反三3-3 函数（）的最大值为，最小值为，周期为，求和的值。 解析： 由的最值得： ，解得； 由周期，解得。 答案：， 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期为（） A. B. C. D. 解析：，最小正周期为。 答案：B 2. 多选题 下列函数中，是偶函数且值域为的有（） A. B. C. D. 解析： A选项：偶函数，值域，正确； B选项：，值域，错误； C选项：偶函数，值域，正确； D选项：偶函数，值域，错误。 答案：AC 3. 填空题 函数的单调递减区间为。 解析：的单调递减区间与一致，为。 4. 解答题 (1) 求函数的值域和最小正周期。 解析：，故；周期。 答案：值域为，最小正周期为 (2) 判断函数的奇偶性，并求的值。 解析：，是偶函数；。 答案：偶函数；的值为 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期为（） A. B. C. D. 解析：的周期，，故。 答案：C 2. 多选题 已知函数，则下列说法正确的有（） A. 是偶函数 B. 的最大值为 C. 在上单调递增 D. 的最小正周期为 解析： A选项：，偶函数，正确； B选项：当，，正确； C选项：时，，单调递减，错误； D选项：，最小正周期，正确。 答案：ABD 3. 填空题 函数在上的单调递增区间为。 解析：当时，，递增区间；当时，，无单调性。 4. 解答题 (1) 已知函数（）的周期为，求的值，并求在上的最值。 解析：周期，得；在上最大值为，最小值为。 答案：的值为；最大值为，最小值为 (2) 将函数的图像先作变换，再向左平移个单位，得到的图像，求的解析式和单调递减区间。 解析：；向左平移个单位得；单调递减区间为。 答案：解析式为；单调递减区间为 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 函数的最小正周期为（） A. B. C. D. 非周期函数 解析：；，故最小正周期。 答案：C 2. 多选题 已知函数（）的最大值为，最小值为，周期为，且，则下列说法正确的有（） A. B. C. D. 的单调递增区间为 解析： 由最值得，，A正确； 周期，，B正确； ，，结合，，C错误； ，递增区间令，解得，D错误。 答案：AB 3. 填空题 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是。 解析：等价于，时，，结合图像得。 4. 解答题 (1) 已知函数的最小值为，求实数的值，并求在上的最大值。 解析：当时，；当时，。最小值为；最大值为。 答案：的值为；最大值为 (2) 已知函数，若存在，使得，求的最大值。 解析：在上最大值为（），最小值为（）；的最大值为。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $