2026年中考数学一轮总复习 第01讲 实数（3大考点、10中题型，分类训练、综合提升）（全国通用）

九年级数学中考一轮复习（知识梳理、题型归纳、分类摸底、过关检测） 第01讲 实数及其运算 知识网络 分类训练 【题型1】实数的分类 1．（2024·湖南·模拟预测）实数，，0，，，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的分类，立方根和零指数幂，代数式求值，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 首先计算立方根和零指数幂，然后根据实数的分类可得，，然后代入即可求解． 【详解】有理数有， 0，，，，，有6个， ∴； 无理数有，，有2个 即， ． 故选：C． 2．（2024·广东·模拟预测）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别及求算术平方根，无理数是指无限不循环小数，由此判断即可．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】A、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、是无限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024·湖北·一模）在实数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别． 根据整数和分数统称为有理数进行判断即可． 【详解】解：在实数中，有理数是， 故选C． 4．（2025·上海·模拟预测）下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的分类，有理数是整数和分数，无理数是无限不循环小数，常见的有圆周率、开方开不尽的数，据此即可解答． 【详解】解：A、是无理数，不符合题意； B、是无理数，不符合题意； C、是分数，是有理数，符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 【题型2】实数与数轴 6．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点是点C， 故选：C． 7．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 8．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简、绝对值等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，，且，则，再根据二次根式的性质、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解：由数轴得，，且，则， ． 故选B． 9．（2025·天津·一模）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示点落在第③段， 故选；C． 10．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 【题型3】实数与绝对值 11．（2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：D 12．（2025·江西吉安·二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的几何意义和实数的大小比较是解题的关键．依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远，即可作答． 【详解】解：∵，，，，， ∴绝对值最大的是3， ∴距离原点最远的是3， 故选：A． 13．（25-26七年级上·全国·期中）的相反数为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算绝对值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若x的相反数是2，，则的值为（  ） A． B．1 C．1或 D．或5 【答案】C 【分析】本题考查相反数和绝对值的概念，有理数的加法，注意绝对值方程的解有两个． 根据相反数的定义求出x的值，根据绝对值的定义求出y的可能值，再分别计算． 【详解】∵ x的相反数是2， ∴． ∵， ∴或． 当 时，； 当 时，． ∴ 的值为 1 或 -5． 故选C． 15．（2025·浙江·中考真题）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【题型4】科学计数法 16．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（    ） A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012． 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数．解题的关键是关键知道1亿=108，要正确确定a的值以及n的值． 17．（2025·河北·一模）某正方形广场的面积用科学记数法表示为，将该广场进行扩建，使其边长扩大为原来的2倍，则扩建后的广场面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的数量关系可知，扩建后得广场面积为原来的4倍，再将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵正方形广场的边长扩大为原来的2倍， ∴正方形广场的面积扩大为原来的4倍， ∴扩建后的广场面积为． 【点睛】本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握幂的运算法则是解题的关键． 18．（2025·河北·模拟预测）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解： ． 故选：C． 19．（2023·河北张家口·三模）某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费是实际花费的倍，用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】解：∵预算花费约为元，实际花费约为元， ∴预算花费约是实际花费的倍数是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了科学记数法，整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 20．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 【题型5】平方根与立方根 21．（2025·甘肃酒泉·一模）的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 2 【分析】此题考查了立方根，平方根及算术平方根．根据平方根及立方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； ∵，的立方根为， 则的立方根为． 故答案为：；． 22．（2025·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是负数，没有平方根，故A不符合题意； B、，4的算术平方根是2，故B不符合题意； C、平方根等于本身的数是0，1的平方根是，故C不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故D符合题意； 故选：D． 23．（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1），故原计算错误； （2），故原计算错误； （3），故原计算正确； （4），故原计算错误， 故选：B． 24．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 25．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【答案】 【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型6】实数的大小比较 26．（2025·江苏南京·一模）比较大小： ．（填“”、“”或“”号） 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：，， ∵，， ， ∴ ， 即 ． 故答案为：． 27．（2025·江苏苏州·模拟预测）大于的整数有(　　) A．5个 B．10个 C．无数个 D．11个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正整数和0大于负数，且正整数有无数个即可得到答案． 【详解】解：由于正整数和0都大于负数，而正整数有无数个， ∴大于的整数有无数个， 故选：C． 28．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点，分别求出每天的温差，然后进行比较即可，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵， ∴日温差最大的一天是星期二． 故选：B． 29．（2025·山西长治·二模）比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，利用平方法，进行比较即可。 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 30．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 【题型7】实数的运算 31．（2024·广东·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 32．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，实数的乘方，去绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据二次根式的化简，实数的乘方，去绝对值的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 33．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 34．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 35．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 【题型8】非负数的运算 36．（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 故答案为：． 37．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 38．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出的值，分为直角边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当为直角边时，第三边的长为； 当为斜边时，第三边的长为； 故答案为：或． 39．（2025·浙江宁波·模拟预测）先化简，再求值∶ ，其中 ． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，非负数的性质，利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再利用非负数的性质求出的值，最后代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 40．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)存在，点M的坐标为或． 【分析】本题主要考查了非负数的应用，点的坐标的特征，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用平移的性质解答即可得出结论； （2）证明轴得，证明轴得．根据平分得，由可得结论； （3）求出四边形的面积为12，设交y轴于点N，运用面积法求出．再分点M在点N上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为 ∴点的坐标为， 故答案为：；；； （2）解：． 证明：∵，， ∴轴， ∴， ∵CD是由AB平移得到的， ∴． ∴轴， ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵， ∴， 整理得：． （3）解：存在，点M的坐标为或． 根据题意得，向上平移了3个单位长度． ∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 设交y轴于点N，， 则， 解得，即． 当点M在点N上方时，，则； 当点M在点N下方时，，则． 【题型9】找规律 41．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 42．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 43．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 44．（2025·河南·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ ． 故选：B． 45．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求出第9个式子即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴， ∴当时：； 故答案为：． 【题型10】新定义、新运算 46.（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 【答案】B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 47．（2025·新疆·模拟预测）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知，那么 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：． 48．（2025·全国·一模）阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解．由题意，表示不超过的最大整数（根据例子 ，可知），已知且 ，得 ，，进而确定，，，解不等式组得到即可由定义得到答案． 【详解】解：且 ， ， ，， ， 故， 故答案为：2023． 49．（2025·甘肃酒泉·三模）对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，根据变换规则，先计算，得到新坐标，再应用g变换． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 50．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点是点的“倍增点”，则的最小值是． 其中，正确结论的个数是（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，则是点的“倍增点”； ∵，， ∴， ∴，则是点的“倍增点”； 故①正确，符合题意； ②设点， ∵点A是点的“倍增点”， ∴， 解得：， ∴， 故②不正确，不符合题意； ③设抛物线上点是点的“倍增点”， ∴，整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； 故③正确，符合题意； ④设点， ∵点是点的“倍增点”， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值是， 故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解． 过关检测 一、单选题 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）深圳机场春节单日客流量达到万人次，万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数． 【详解】解：万 故选： 【点睛】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数． 3．（17-18七年级下·全国·课后作业）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别进行化简，然后再进行比较，即可得到答案． 【详解】∵， ， ， ， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方的运算，以及有理数的比较大小，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行化简． 4．（21-22七年级下·北京海淀·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据数轴可得在线段上的点，所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于． A、是有理数，则此项不符题意； B、是无理数，且，则此项符合题意； C、，则此项不符合题意； D、是无理数，但，则此项不符题意； 故选：B． 5．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．7和8之间 【答案】C 【分析】先化简计算，再估算判断即可． 【详解】∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算思想，熟练掌握二次根式的混合运算的法，正确估算是解题的关键． 6．（23-24七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ） ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，绝对值的意义，根据数轴得出，，再逐项判断即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：①根据图示知，，故①正确； ②根据图示知，，故②错误； ③根据图示知，、，则．故③错误； ④根据图示知，，，则，，所以．故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 故选：B． 二、填空题 7．（23-24七年级上·陕西西安·月考）表示数的点A沿数轴移动3个单位后到达点B，则点B表示的数为 ． 【答案】或/或 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：点表示的数是，右移3个单位，得； 点表示的数是，左移3个单位，得， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是利用了数轴上的点右移加，左移减的方法即可得到答案． 8.（2025·陕西·模拟预测）在实数，，0，中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】， 最小的数是． 故答案为：． 9.（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【答案】 【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（2023·广东·模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上实数的位置与符号的关系、绝对值的性质以及二次根式的性质（，解题的关键是根据数轴信息确定a、b的符号及、的符号，再利用“负数的绝对值是它的相反数”化简． 根据数轴知a在原点左侧、b在原点右侧且，由此判断（异号两数相加，绝对值大的数的符号为和的符号）、（负数减正数结果为负）；利用将二次根式转化为绝对值，再根据绝对值性质时分别化简和，最后合并计算． 【详解】解：由数轴可知，且． ∴． ∵时，绝对值为其相反数）， 时，绝对值为其相反数）． ∴原式． 故答案为：． 11．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）若实数的小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算；先估算的取值范围，得出其整数部分和小数部分，再将要求的式子提取公因式，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 的整数部分是，小数部分是， 实数的小数部分为 故答案为：． 12．（2023七年级上·全国·竞赛）已知，且满足，则的值等于 ．（表示不超过的最大整数） 【答案】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，解一元一次不等式． 根据已知条件可得，，，，，，从而可得的取值范围，进而可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵表示不超过的最大整数， ∴，，，的值为或， ∵共29项，和为18，且各项不减， ∴前11项为0，后18项为1， ∴，， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（2023·广西贵港·一模）计算：． 【答案】 【分析】按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 14．（2025·贵州·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂． 先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算加法即可得到答案． 【详解】解： ． 15．（2024·广东清远·三模）计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查负整数指数及零次幂的运算，求算术平方根，先计算负整数指数及零次幂的运算，求出算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 16．（2024·湖南娄底·一模）计算：． 【答案】 【分析】 此题考查了实数的混合运算，代入特殊角的三角函数值，并按照相应的法则计算即可． 【详解】 17.（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【答案】(1)该队必答环节后的总分数为210分 (2)该队抢答对5道题 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 【详解】（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． 18.（2025·四川广元·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足 (即方程．有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据虚数单位的幂运算规律，其幂值每次循环一次，因此将指数除以取余数进行计算． 【详解】解：，，，，， 幂值每次循环一次， ， ， ， ， ． 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学中考一轮总复习（知识梳理、题型归纳、分类摸底、过关检测） 第01讲 实数及其运算 知识网络 分类训练 【题型1】实数的分类 1．（2024·湖南·模拟预测）实数，，0，，，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（2024·广东·模拟预测）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·一模）在实数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海·模拟预测）下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【题型2】实数与数轴 6．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 9．（2025·天津·一模）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 10．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3】实数与绝对值 11．（2025·江苏南京·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2 12．（2025·江西吉安·二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（   ） A．3 B． C． D． 13．（25-26七年级上·全国·期中）的相反数为（   ） A．2 B． C． D． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若x的相反数是2，，则的值为（  ） A． B．1 C．1或 D．或5 15．（2025·浙江·中考真题）计算： ． 【题型4】科学计数法 16．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（    ） A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000 17．（2025·河北·一模）某正方形广场的面积用科学记数法表示为，将该广场进行扩建，使其边长扩大为原来的2倍，则扩建后的广场面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 18．（2025·河北·模拟预测）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 19．（2023·河北张家口·三模）某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费是实际花费的倍，用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【题型5】平方根与立方根 21．（2025·甘肃酒泉·一模）的平方根是 ，的立方根是 ． 22．（2025·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 23．（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【题型6】实数的大小比较 26．（2025·江苏南京·一模）比较大小： ．（填“”、“”或“”号） 27．（2025·江苏苏州·模拟预测）大于的整数有(　　) A．5个 B．10个 C．无数个 D．11个 28．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 29．（2025·山西长治·二模）比较大小： ．（填“”或“”） 30．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【题型7】实数的运算 31．（2024·广东·中考真题）计算：． 32．（2025·辽宁·一模）计算：． 33．（2025·陕西·中考真题）计算：． 34．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 35．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【题型8】非负数的运算 36．（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 37．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 38．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 39．（2025·浙江宁波·模拟预测）先化简，再求值∶ ，其中 ． 40．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9】找规律 41．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 42．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 43．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 44．（2025·河南·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 45．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为 ． 【题型10】新定义、新运算 46.（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 47．（2025·新疆·模拟预测）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知，那么 ． 48．（2025·全国·一模）阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 49．（2025·甘肃酒泉·三模）对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（   ） A． B． C． D． 50．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点是点的“倍增点”，则的最小值是． 其中，正确结论的个数是（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 过关检测 一、单选题 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）深圳机场春节单日客流量达到万人次，万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．（17-18七年级下·全国·课后作业）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22七年级下·北京海淀·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A．0 B． C． D． 5．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．7和8之间 6．（23-24七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ） ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题 7．（23-24七年级上·陕西西安·月考）表示数的点A沿数轴移动3个单位后到达点B，则点B表示的数为 ． 8.（2025·陕西·模拟预测）在实数，，0，中，最小的数是 ． 9.（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 10．（2023·广东·模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 ． 11．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）若实数的小数部分为，则 ． 12．（2023七年级上·全国·竞赛）已知，且满足，则的值等于 ．（表示不超过的最大整数） 三、解答题 13．（2023·广西贵港·一模）计算：． 14．（2025·贵州·一模）计算：． 15．（2024·广东清远·三模）计算：． 16．（2024·湖南娄底·一模）计算：． 17.（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 18.（2025·四川广元·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足 (即方程．有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $