专题15反比例函数 2026年中考数学一轮复习核心讲义(核心考点+模拟真题突破)

该初中数学中考复习讲义聚焦反比例函数专题，覆盖定义、图象与性质、k的几何意义、解析式求法等核心考点，构建“知识点梳理-题型实战”体系，通过8类模拟题（含选择、填空、解答）实现基础到压轴题的分层训练，助力学生系统掌握中考15分考点。 亮点在于融合数学眼光与思维，如通过“一点两垂线”面积模型培养几何直观，结合实际应用题（如交通流量问题）发展模型意识，新定义题型训练创新思维。特设“考点-方法-真题”三步教学法，教师可依托分层练习精准把控复习节奏，帮助学生高效突破综合题难点，提升应考能力。

专题15 反比例函数中考一轮复习核心讲义 · 分值占比：反比例函数是中考核心考点，总分值约 15 分，覆盖选择、填空、解答（含压轴）三种题型。 · 常考考点：聚焦图象与性质、k 的几何意义、解析式求解、与一次函数 / 几何图形综合、实际应用、新定义创新题六大方向。 · 命题趋势：基础题侧重定义与性质直接应用，中档题强化数形结合，难题多为函数与几何、实际建模的综合，且新定义题型占比逐年提升。 核心知识 点梳理 1.反比例函数的定义 2.图象与性质 3.k的几何意义 4.解析式求法 中考模拟 题型实战 1.反比例函数辨析与点坐标相关题 2.反比例函数图象与性质题 3.反比例函数解析式求解题 4.反比例函数易一次函数综合题 5.反比例函数与几何综合题 6.反比例函数实际应用题 7.反比例函数新定义/创新题型 8.反比例函数与代数运算结合题 【知识点01.反比例函数的定义】 1.基本形式：形如 y=（k 为常数，k≠0），可变形为 xy=k 或 y=kx−1（k≠0）。 2.关键特征：分母含自变量 x，且 x 的指数为 1；k≠0；自变量 x 取值范围为 x≠0，函数值 y≠0。 3.定义应用：判断函数是否为反比例函数、根据定义求参数值。 【知识点02.图象与性质】 1.图象形状：双曲线，分为两支，无限靠近 x 轴、y 轴但永不相交。 2.象限分布：k>0 时，图象在第一、三象限；k<0 时，图象在第二、四象限。 3.增减性：k>0 时，每个象限内 y 随 x 的增大而减小；k<0 时，每个象限内 y 随 x 的增大而增大（注意：“每个象限内” 不可省略）。 4.对称性：既是中心对称图形（对称中心为原点），也是轴对称图形（对称轴为直线 y=x 和 y=-x）。 【知识点03.K的几何意义】 1.核心结论：双曲线上任意一点 (x,y)，横纵坐标之积为定值 k（即 xy=k）。 2.常见面积模型： 一点一垂线：过点作 x 轴（或 y 轴）垂线，形成的直角三角形面积为 ∣k∣。 一点两垂线：过点作 x 轴、y 轴垂线，形成的矩形面积为 | k|。 两点与原点：连接双曲线上两点及原点，形成的三角形面积可通过割补法结合 | k | 计算。 【知识点04.解析式求法】 待定系数法：已知一点坐标，代入 y=求 k，步骤为 “设→代→解→定”。 面积法：利用 k 的几何意义，由图形面积求 | k|，再结合象限确定 k 的符号。 综合法：结合一次函数交点、几何图形性质等间接求 k。 【模拟01.反比例函数定义辨析与点坐标相关题】 1．（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意； B：是反比例函数，符合题意； C：不是反比例函数，不符合题意； D：不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·云南昆明·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，若点在反比例函数的图象上，则，验证各选项中点的横纵坐标乘积是否等于2即可． 【详解】解：对于反比例函数，其图象上的点满足． A：，计算，不符合条件； B：，计算，符合条件； C：，计算，不符合条件； D：，计算，不符合条件； 故选：B． 3．（2025·重庆·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】将点代入反比例函数解析式，直接计算m的值． 本题考查了图象过点求坐标问题，熟练掌握图象过点的意义是解题的关键． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 所以将代入函数解析式，得： 因此，， 故选：C． 4．（2025·重庆江北·模拟预测）已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数中解答即可． 【详解】解： 点和点都在反比例函数的图象上 ， 解得． 故选：D． 5．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 【详解】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， ， 解得：， 故答案为：． 6．（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题， 先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 7．（2025·云南·模拟预测）某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于   （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的应用．根据，可得结论． 【详解】解：物体对地面的压强与受力面积S之间的函数解析式， ∴该函数图象位于第一象限． 故选：A． 【模拟02.反比例函数图象与性质题】 8．（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 9．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可． 本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：函数的图象与直线交于点和点， ， ， 根据中心对称性质，得， 故答案为：． 10．（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数是中心对称图形，可得，，可将化简为，再结合反比例函数图象上的坐标特征求解即可． 【详解】解：直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、， 和关于原点中心对称，， ，， ． 故答案为：6． 11．（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【详解】解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 12．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 13．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限，. ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 14．（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 15．（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②、③如图： （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 【模拟03.反比例函数解析式求解题】 16．（2025·青海西宁·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义，如图，连接，由于，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数的的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质得到的值．解题的关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ ∴， 即的值为． 故答案为：． 17．（2025·广东深圳·三模）将一块含角的三角板按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，且，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含特殊角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点A作轴于点E， 过点D作轴于点F，证明，，可得，，即，，继而求出，则，根据，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点E， 过点D作轴于点F，如图， ∵，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 故答案为 18．（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，根据反比例函数的图象在第一象限，得出 ，即可得出答案； （2）点B，C均在反比例函数的图象上，得出．设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点B，C均在反比例函数的图象上， ． 如图，设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H． ，， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数比例系数k的意义． 19．（2025·广西·一模）如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图像的交点问题，解题的关键是结合题意，利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式． 先求出反比例函数的解析式，结合图形求出点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为：，联立反比例函数和直线：，即可求出两个图像的交点，从而得到点的坐标，再构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 又依题意可得， 设直线的解析式为， 直线过，， ， ， ， 联立方程组得， 解得：和， ， ， 如图，构造， ，， ． 故答案是：． 20．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 21．（2025·湖南·模拟预测）2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到 千米/小时． 【答案】48 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式．设，根据题意求出k，然后代入即可求得答案． 【详解】解：设， 由题可知，当时，， ∴， ∴当时，， 即交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到48千米/小时， 故答案为：48． 22．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． . (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，四边形为菱形时，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，两点之间距离公式，菱形的性质等知识点，难度较大． （1）先根据正比例函数解析式求出点A的坐标为，再将其代入，即可求解； （2）先求出直线，则，联立反比例函数解析式得到，过点分别作轴的垂线，垂足为，，则，再代入数据求解即可； （3）设，则，，，由于四边形为菱形，则为等腰三角形，再分三种情况讨论，列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得将代入，则， 解得， ∴点A的坐标为， 再将代入，则； （2）解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，， ∴ 设直线， 则， ∴， ∴直线， 则当时， ∴， ∴， 联立 整理得：， ， 解得：， ∴， 过点分别作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ∵四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ∴当时，则 解得：（舍）； 当时， 解得：或 ∴或； 当时，， 该方程无解， 综上：存在，四边形为菱形时，或． 【模拟04.反比例函数与一次函数综合题】 23．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 先根据正比例函数和反比例函数图象的性质得反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为，然后观察函数图象得到当或时，反比例函数图象都在正比例函数图象下方，即． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的交点关于原点中心对称， ∴反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为， ∴当或时，． 故选：． 24．（2025·辽宁抚顺·一模）关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象的综合判断，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，直线过一，三，四象限，双曲线过一，三象限；当时，直线过一，二，四象限，双曲线过二，四象限， A.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故符合题意； B.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； C.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； D.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； 故符号题意的只有选项A； 故选A． 25．（2025·安徽·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．求出反比例函数的表达式为．得到点．由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 反比例函数的表达式为． 点的横坐标为6， 点． 由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即． 故答案为：或 26．（2025·安徽安庆·二模）如图，已知一次函数的图象交反比例函数图象于点A、B，交x轴于点C． (1)求m的取值范围； (2)若点A的坐标是，且，求m的值和一次函数的解析式； (3)请根据图象，在时，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，求反比例函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由反比例函数图象位于第四象限，得出，则，即可作答． （2）先求出反比例函数解析式为，再根据，则，解出，得出点B的坐标是，最后运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． （3）运用数形结合思想，根据已知一次函数的图象交反比例函数图象于点A、B，且点B的坐标是，点，根据，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，反比例函数图象位于第四象限， ∴， 解得； （2）解：∵点在反比例函数图象上， ∴ 解得，则 ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， 设点B的坐标为， 则点B到x轴的距离为，点A到x轴的距离为4， ∴， 解得， ∴ 解得， ∴点B的坐标是， 设这个一次函数的解析式为， ∵点A、B是一次函数与反比例函数图象的交点， ∴， 解得 ， ∴一次函数的解析式是． （3）解：由图象得，当时，不等式， 则x的取值范围是或 27．（2025·山西朔州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，． (1)求直线的函数表达式． (2)当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围． (3)设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积公式，熟练 以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出点C的横坐标为2，代入得出，再利用待定系数法求解即可； （2）在中，当时，，解得，再结合图象即可得出答案； （3）求出，设点P的坐标为，根据得出，从而即可得出点的横坐标，即可得解． 【详解】（1）解：∵轴于点D， ， ∴点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，，解得， 由图象可得：当反比例函数的函数值时，自变量x的取值范围为； （3）解：当时，，解得， ∴， ∵点P是x轴上的点， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 28．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 29．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， 当时，， 点， 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 又，， ， ，， ， ， 故选：B． 【模拟05.反比例函数与几何综合题.】 30.（2025·全国·三模）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个定值，即可得出结果． 【详解】解：依题意，过双曲线上任意一点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即， ∴． 故选：A． 31．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活应用k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义和的面积为的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：∵轴，点A是反比例函数的图象上一点， 点B是反比例函数的图象上一点， ∴， ∴， 故答案为：2． 32．（2025·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 33．（2025·陕西咸阳·二模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数和的图象上，可得到点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， 直线轴， ，B两点的纵坐标都为，而点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， 又点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， ， ． 故答案为：3． 34．（2025·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等； ②与的面积一定不相等； ③不一定是锐角三角形； ④一定不是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】设点M坐标为，点N坐标为，则，，，，，，可用a，b表示出，，即可判断①；用a，b表示出，，可知当与的面积相等时，M，N重合，与题意不符，可判断②；根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M，N是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则，，， ∴，，，，，， ∴，， ∴， 即与的面积一定相等， 故结论①错误； ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，M，N重合，与题意不符， ∴与的面积一定不相等， 故结论②正确； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形， 故结论④错误； 如图： 当M，N在的同侧时，可能是钝角三角形， 故结论③正确； 综上，①④错误、②③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 35．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点A、B， ∴，， 又∵，. ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 【模拟06.反比例函数实际应用题】 36．（2025·湖南·模拟预测）在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数关系的应用以及溶质质量分数公式的理解，解题的关键是明确溶质质量分数的定义，结合反比例关系建立函数表达式． 根据溶质质量分数公式，结合题意即可求解． 【详解】解：当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系， 设， 当克时，溶质质量分数为时，即， 得， ，即， 故选：A． 37．（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 38．（2025·浙江温州·三模）如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)减少，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据表格中变量的变化规律写出y与x之间的函数表达式，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． （1）根据表格中变量的变化规律解答即可； （2）当时，求出对应x的值即可； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 与x之间的函数表达式为 故答案为：； （2）解：当时，得， 解得， 当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为； （3）解：托盘中应减少砝码．理由如下： ，， 随x的增大而减小， 当托盘B向右移动时x增大， 托盘中的砝码质量y应该减小， 托盘中应减少砝码． 39．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 40．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 41．（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 【答案】(1)见解析 (2)①增大；② (3)上；2个；或 【分析】本题考查函数图象及性质，图象的平移； （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据函数图象平移规则“上加下减”解决问题即可． 【详解】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示， （2）解：观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 故答案为：； （3）解：函数的图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到， ∵当时，， ∴当时，x的取值范围是或． 故答案为：上；2个；或． 42．（2025·山西·三模）综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 (1)①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． (2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表： 0 2 4 6 8 4 ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)①反比例；② (2)①；②球发出时在竖直方向上的速度应调节为 【分析】本题考查了反比例函数的图像及求解析式，二次函数的应用，熟练掌握反比例函数图像与二次函数的性质是解题的关键． （1）①根据图像可直接得出结论； ②设关于的函数表达式为，根据图象得，当时，，利用待定系数法即可求得答案； （2）①根据表中数据可知，当时，，代入求得、的值即可得到答案； ②由题可知，，，把落点的坐标为，代入，解之得到即可． 【详解】（1）解：①根据图3该函数的图像可知，是的反比例函数． 故答案为：反比例； ②设关于的函数表达式为 根据图象得，当时，， ∴ 解得 ∴关于的函数表达式为． （2）解：①根据表中数据得，该抛物线的对称轴为，即，且当时，， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为． ②由题可知，落点的坐标为，，， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴，（舍去） ∴球发出时在竖直方向上的速度应调节为． 【模拟07.反比例函数新定义/创新题型】 43．（2025·湖南娄底·三模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 【答案】①③ 【分析】本题考查了函数的新定义问题，一次函数、反比例函数及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，根据“倍值函数”的定义逐一判断即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：①当时，，方程无解， ∴函数不是“倍值函数”，故①错误； ②当时，， 解得或， 经检验，得或是原方程的解， ∴函数的图象上的“倍值点”是和，故②正确； ③当时，， 整理得，， ∵关于的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得且，故③错误； 综上，说法不正确的序号为①③， 故答案为：①③． 44．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴， ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴对称轴， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为， ∴， 即． 45．（2025·广西梧州·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的性质，解题关键是将点代入各函数表达式，结合函数性质及的条件判断是否符合． 分别将点点，，代入四个选项中的函数表达式，根据函数性质求出a、b的值或关系，结合这一条件判断该函数是否符合要求． 【详解】A．对于函数，把代入得，即；把代入得，此时的值前后不一致，所以该函数不符合条件，不符合题意； B．函数，它是一次函数，随的增大而增大，把代入得；把代入得；把代入得．此时的值不相等，且，不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意； C．对于函数，它是二次函数，图象开口向下，对称轴为轴，即．点和关于轴对称，把或代入得；把代入得．满足，该函数符合条件，符合题意； D．对于函数，它是二次函数，图象开口向上，对称轴为轴，即．把或代入得；把代入得．不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意． 故选：C． 46．（2025·江苏徐州·三模）把数字1，2，3，6四个数字分别写在完全相同的小球上，放在不透明的袋子中摇匀，小明从中摸出一个球记下数字作为点的横坐标，不放回，再从中摸出一个球记下数字作为点的纵坐标． (1)用树状图或表格列出所有的坐标情况； (2)求这些点在反比例函数的图像上的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率、反比例函数的性质等知识，熟练掌握树状图或列表法求概率是关键． （1）用列表法表示出所有情况即可； （2）根据共12种结果，在反比例函数图像上的点有4个，即可求出答案． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 6 1 2 3 6 共12种结果； （2）在反比例函数图像上的点有4个，分别为， P（在反比例函数图像上） 47．（2025·全国·二模）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，通过交点和象限求系数的取值范围等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质． 先求出临界交点的坐标，然后根据反比例函数图象的性质求解，通过反比例函数图象所在的象限得出另一种情况． 【详解】解：把代入，得， 把代入得，， ∵当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值， ∴； 当时，反比例函数图象位于第二和第四象限，也满足要求； 故答案为：或． 48．（2025·广东深圳·三模）规定1：一个点纵坐标与横坐标的比“”称为点的“纵横比”． 例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的（）“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题： (1)点的“纵横比”为_____； (2)若当时，一次函数的最优纵横比为5，则的值为_____； (3)若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为2，求的值． (4)若已知二次函数的图象如图所示，平面中有、两点，且，，现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出的取值范围，并直接写出交点“纵横比”的对应范围_____． 【答案】(1) (2)1 (3)的值为或4 (4)当或时，图象与线段只有一个交点； 【分析】（1）根据“纵横比”的定义求解即可； （2）根据题意可得一次函数的纵横比为，则纵横比随着的增大而减小，得出当时，一次函数取得最优纵横比，得出，即可求出． （3）根据二次函数的顶点在直线上，得出，根据题意可得二次函数的纵横比为，分为当时，当时，根据一次函数的性质和最优纵横比的定义求解即可； （4）根据题意得二次函数平移后的解析式为，将代入可得，解得：或，将代入可得，解得：或，得出当时，和都在上，根据图象可得当或时，图象与线段只有一个交点，求出直线的解析式为 ，得出交点“纵横比”，则纵横比随着的增大而减小，据此可得答案． 【详解】（1）解：点的“纵横比”为， 故答案为：； （2）解：一次函数的纵横比为， 则纵横比随着的增大而减小， ∵， ∴当时，一次函数取得最优纵横比， ∵一次函数的最优纵横比为5， ∴， ∴． 故答案为：1． （3）解：∵二次函数的顶点在直线上， ∴，则， 二次函数的纵横比为， 当时，当时，纵横比随着的增大而增大， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为2， 则，解得，则； 当时，在当时，纵横比随着的增大而减小， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为2， 则，解得，则； 综上，当，二次函数的最优纵横比为2时，的值为或4． （4）解：根据题意得二次函数平移后的解析式为， ∵，， 将代入可得，解得：或， 将代入可得，解得：或， 故当时，和都在上， 根据图象可得当或时，图象与线段只有一个交点， ∵，， 设直线的解析式为 ， 则，解得：， 故直线的解析式为 ， 则交点“纵横比”， 则纵横比随着的增大而减小， ∵， 当时，， ∴当时，n最小， ∴交点“纵横比”的对应范围是． 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质、二次函数的最值、一次函数的图象和性质、一次函数解析式求解、反比例函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，学会二次函数求最值的方法，理解最优纵横值的定义是解题的关键． 49.．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)图见解析，当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小 (3)或 【分析】（1）过点B作于H，利用勾股定理求得，用t表示出；当点P在上时，，此时；当点P在上时，，此时；然后根据三角形面积公式求解即可； （2）利用描点法作出函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质即可； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，根据图像得出取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于H， ∵，，， ∴， 由题意可知，， 当点P在上时，，此时， 当点P在上时，，此时， ∴； 当时，， 当时，， ∴综上所述：；； （2）解：图象如图所示，即为所求： 函数的性质：当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小； （3）解：根据图象可得：当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 【模拟08.反比例函数与代数运算结合题.】 50．（2025·广东广州·二模）化简求值：． (1)化简T； (2)若点在反比例函数的图象上，求T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，反比例函数的定义． （1）根据分式的运算法则化简即可； （2）将点的坐标代入关系式可得，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 51．（2025·吉林·二模）反比例函数的图像在第一、三象限，则点在第（　　）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像的位置确定系数符号，进而求出k的取值范围，再判断点的坐标符号确定所在象限． 【详解】解： ∵反比例函数的图像在第一、三象限， ∴， 解得； ∴点的横坐标（正数），纵坐标为负数； 即横坐标正、纵坐标负的点位于第四象限； 故选D． 52．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第一、三象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 53．（2025·浙江杭州·三模）将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，一次函数、二次函数和反比例函数的性质．利用一次函数、二次函数和反比例函数的性质求得y随x的增大而减小的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：，，则y随x的增大而增大， ，，则y随x的增大而减小， ，，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ，，图象在一三象限，在每个象限，y随x的增大而减小， ∴恰好抽到y随x的增大而减小的情况只有一种， ∴任意抽取一张，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是． 故答案为：． 54．（2025·福建莆田·三模）已知反比例函数（为常数，且），当时，的最大值是，则当时，的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由题意可得反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随着的增大而减小，再结合反比例函数的增减性求解即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，的最大值是， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，即， ， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为； 故答案为：1． 55．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限以及增减性是解题的关键． 根据反比例函数的解析式得到反比例函数图象的两支位于第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数中，， 图象的两支位于第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小， 当时，点在第一象限、在第三象限，，故A选项错误，不符合题意； 当时，则，点、均在第三象限，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则，点、均在第三象限，，故C选项正确，符合题意； 当时，则，点在第三象限、在第一象限，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 56．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 若点在同一支图象上，且， ∴， 解得， 若点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 综上分析，a的取值范围是：． 故答案为：． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 反比例函数中考一轮复习核心讲义 · 分值占比：反比例函数是中考核心考点，总分值约 15 分，覆盖选择、填空、解答（含压轴）三种题型。 · 常考考点：聚焦图象与性质、k 的几何意义、解析式求解、与一次函数 / 几何图形综合、实际应用、新定义创新题六大方向。 · 命题趋势：基础题侧重定义与性质直接应用，中档题强化数形结合，难题多为函数与几何、实际建模的综合，且新定义题型占比逐年提升。 核心知识 点梳理 1.反比例函数的定义 2.图象与性质 3.k的几何意义 4.解析式求法 中考模拟 题型实战 1.反比例函数辨析与点坐标相关题 2.反比例函数图象与性质题 3.反比例函数解析式求解题 4.反比例函数易一次函数综合题 5.反比例函数与几何综合题 6.反比例函数实际应用题 7.反比例函数新定义/创新题型 8.反比例函数与代数运算结合题 【知识点01.反比例函数的定义】 1.基本形式：形如 y=（k 为常数，k≠0），可变形为 xy=k 或 y=kx−1（k≠0）。 2.关键特征：分母含自变量 x，且 x 的指数为 1；k≠0；自变量 x 取值范围为 x≠0，函数值 y≠0。 3.定义应用：判断函数是否为反比例函数、根据定义求参数值。 【知识点02.图象与性质】 1.图象形状：双曲线，分为两支，无限靠近 x 轴、y 轴但永不相交。 2.象限分布：k>0 时，图象在第一、三象限；k<0 时，图象在第二、四象限。 3.增减性：k>0 时，每个象限内 y 随 x 的增大而减小；k<0 时，每个象限内 y 随 x 的增大而增大（注意：“每个象限内” 不可省略）。 4.对称性：既是中心对称图形（对称中心为原点），也是轴对称图形（对称轴为直线 y=x 和 y=-x）。 【知识点03.K的几何意义】 1.核心结论：双曲线上任意一点 (x,y)，横纵坐标之积为定值 k（即 xy=k）。 2.常见面积模型： 一点一垂线：过点作 x 轴（或 y 轴）垂线，形成的直角三角形面积为 ∣k∣。 一点两垂线：过点作 x 轴、y 轴垂线，形成的矩形面积为 | k|。 两点与原点：连接双曲线上两点及原点，形成的三角形面积可通过割补法结合 | k | 计算。 【知识点04.解析式求法】 待定系数法：已知一点坐标，代入 y=求 k，步骤为 “设→代→解→定”。 面积法：利用 k 的几何意义，由图形面积求 | k|，再结合象限确定 k 的符号。 综合法：结合一次函数交点、几何图形性质等间接求 k。 【模拟01.反比例函数定义辨析与点坐标相关题】 1．（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D．6 4．（2025·重庆江北·模拟预测）已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 5．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 6．（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 7．（2025·云南·模拟预测）某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于   （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【模拟02.反比例函数图象与性质题】 8．（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 10．（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ． 11．（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 12．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 13．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 15．（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【模拟03.反比例函数解析式求解题】 16．（2025·青海西宁·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，的面积为，则的值为 ． 17．（2025·广东深圳·三模）将一块含角的三角板按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，且，若，则的值为 ． 18．（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 19．（2025·广西·一模）如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则 ． 20．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 21．（2025·湖南·模拟预测）2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到 千米/小时． 22．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． . (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【模拟04.反比例函数与一次函数综合题】 23．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 24．（2025·辽宁抚顺·一模）关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·安徽·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为 ． 26．（2025·安徽安庆·二模）如图，已知一次函数的图象交反比例函数图象于点A、B，交x轴于点C． (1)求m的取值范围； (2)若点A的坐标是，且，求m的值和一次函数的解析式； (3)请根据图象，在时，直接写出不等式的解集． 27．（2025·山西朔州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，． (1)求直线的函数表达式． (2)当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围． (3)设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标． 28．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 29．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 【模拟05.反比例函数与几何综合题.】 30.（2025·全国·三模）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 32．（2025·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 33．（2025·陕西咸阳·二模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 34．（2025·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等； ②与的面积一定不相等； ③不一定是锐角三角形； ④一定不是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 35．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 【模拟06.反比例函数实际应用题】 36．（2025·湖南·模拟预测）在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 37．（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 38．（2025·浙江温州·三模）如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 39．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 40．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 41．（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 42．（2025·山西·三模）综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 (1)①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． (2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表： 0 2 4 6 8 4 ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 【模拟07.反比例函数新定义/创新题型】 43．（2025·湖南娄底·三模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 44．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 45．（2025·广西梧州·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 46．（2025·江苏徐州·三模）把数字1，2，3，6四个数字分别写在完全相同的小球上，放在不透明的袋子中摇匀，小明从中摸出一个球记下数字作为点的横坐标，不放回，再从中摸出一个球记下数字作为点的纵坐标． (1)用树状图或表格列出所有的坐标情况； (2)求这些点在反比例函数的图像上的概率． 1 2 3 6 1 2 3 6 47．（2025·全国·二模）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，则m的取值范围是 ． 48．（2025·广东深圳·三模）规定1：一个点纵坐标与横坐标的比“”称为点的“纵横比”． 例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的（）“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题： (1)点的“纵横比”为_____； (2)若当时，一次函数的最优纵横比为5，则的值为_____； (3)若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为2，求的值． (4)若已知二次函数的图象如图所示，平面中有、两点，且，，现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出的取值范围，并直接写出交点“纵横比”的对应范围_____． 49.．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【模拟08.反比例函数与代数运算结合题.】 50．（2025·广东广州·二模）化简求值：． (1)化简T； (2)若点在反比例函数的图象上，求T的值． 51．（2025·吉林·二模）反比例函数的图像在第一、三象限，则点在第（　　）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 52．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 53．（2025·浙江杭州·三模）将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是 ． 54．（2025·福建莆田·三模）已知反比例函数（为常数，且），当时，的最大值是，则当时，的最小值为 ． 55．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 56．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $