福建省漳州市第一中学2025-2026学年高二上学期第三次阶段考试数学试题

漳州一中2025~2026学年高二上学期第三次阶段考 数学科 试卷 一，选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.若直线l:ax+3y-1=0与直线2：3x+ay+1=0平行，则实数a为() A.-3 B.3 C.3或-3 D.1或-1 2.己知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且 4=7n+45 B. +3则=（ b: A.5 B.6 C.9 D.11 3.二次函数y=x2-2mx+3m2(m∈R)图象的顶点的轨迹是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 4.等比数列{an}的前n项积为Tn,T,=512,则a3+a,的最小值是（) A.2 B.2W2 C.4 D.4V2 5.己知抛物线C:y2=8x的焦点为F,P是准线I上的一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 FP=4F0,则|QF=() 7 2 B.s C.3 D.2 2 6.从2023年伊始，各地旅游业爆火，漳州古城是漳州旅游胜地.某学校6位同学A,B,C,D,E,F慕名 而来，游览结束后，站一排合影留念，要求A,B相邻，C在D的左边，则不同的站法共有() A.480种 B.240种 C.120种 D.60种 3x+y 7.已知实数x,y满足x2+(y-2)2=1,则 的最大值为() 2vx2+y2 1 A.2 B.V3 C.1 D.2 2 7 8.已知椭圆C:x+y 立+户=1(a>6>0)的左、右焦点分别为R、F,过F且与x轴垂直的直线交椭圆C 于A,B两点，直线AF与椭圆C的另一个交点为D,若△ABF的面积是△BDE的面积的两倍，则椭 圆C的离心率为() 5 A. B.3 c.10 D.3V5 5 3 10 第1页共4页 二.多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9已知省线的个方向向量为=（子：且/经过点-）.则下列结论中正确的是() A.1的倾斜角等于150° B.I在x轴上的截距等于23 3 C.1与直线V3x-3y+2=0垂直 D.I上存在与原点距离等于1的点 10.已知Sn是数列{an}的前n项和，且a,=a2=1,an=an-1+2an-2(n≥3)，则下列结论正确的是() A.数列{an+1+an}为等比数列 B.数列{an1-2an}为等比数列 C.a= 2”+(-1)” D.S=2(40-) 3 11.已知曲线C:x2+yy=1,若直线y=x+b与C的交点的可能个数的集合记为A(k,b),则() A.C关于y轴对称 B.A(k,-1)={1,2} C.4A(k,-2k)={1,2 D.“A(k,2)={3}”的充要条件是“V3<k<V5” 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,2),B(5,4),C(2,7),则边AB上的中线所在直线方程为 13.6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种 排法.（用数字作答） 14.已知双面线C:号茶=a>06>0的左焦点为P,过F伯直线交圆F4:心于4B两点，交C 的右支于点P.若AF=BP,PF=2AB,则C的渐近线方程为 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=7,S,=45. (1)求{an}的通项公式： (2)设b,=1 。数列b的前n项和为若工)宁求m的 anant 第2页共4页 16.(本小题满分15分) 已知双曲线C与双曲线父_上-1具有相同的渐近线，且双曲线C过点442,2). 82 (1)求双曲线C的方程： (2)已知F、F分别为双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，设PF=方，PF=2,且 5=16,求△PFF的面积. 17.(本小题满分15分) 已知圆C经过A(3,0)和B(5,2)两点，且圆心在直线2x-y-4=0上. (1)求圆C的方程： (2)若一条光线从点M(-4,-3)射出，经直线x-y-4=0反射后，恰好与圆C相切，求反射后光线 所在直线的方程. 18.(本小题满分17分) 己知点P(6,6)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，C的焦点为F. (1)点A,B在C上，且满足FA+FB=FP,求FA+FB. (2)设k为常数，按照如下方式依次构造点P(n=2,3,…):过点Pn作斜率为k的直线与C交于点 2n-1（异于点Pn),令Pn为n1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn,yn),且x=乃=6. (i)若k=-1,求x2,2; ()若长=石设点P到y轴的距离为a,求数列a,}的前n项和S, 第3页共4页 19.(本小题满分17分) 折纸起源于大约公元1世纪或2世纪时的中国.折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的 教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容， 例如：用圆形纸片，可按如下步骤折纸 步骤1：设圆心是F,在圆内不是圆心处取一点，标记为E; 步骤2：把纸片翻折，使翻折上去的圆弧经过点E,此时圆弧上与点E重合的点标记为G: 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时GF与折痕交于点P: 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点P. 现取半径为4的圆形纸片，定点E到圆心F的距离为2，按上述方法折纸.以线段EF的中点O为 原点，线段EF所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy,记点P的轨迹为曲线T. G (1)求曲线T的标准方程： (2)设直线：y=c+m(k≠0)与曲线Γ交于A,B两点. (i)若直线I过点F,且△AEB的面积为 8 2,求实数k的值： 5 (i)若直线I过定点T(0,1),N为坐标平面上的动点，直线NA,NT,NB斜率的倒数成等差数列， 试探究点N是否在某定直线上，若存在，求出该定直线的方程，若不存在，请说明理由. 第4页共4页漳州一中2025~2026学年高二（上)第三次月考参考答案 二、选择题 2 5 6 9 10 B D C C C B A CD ABD ABD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.4x+y-15=013.180 14.y=± 4W5 5 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) a2=a1+d=7 解：(1)法l::设{an}的公差为d,则 S,=5a,+10d=45 …2分 解得 a=5 d=2 4分 所以an=2n+3. .5分 法2：设{an}的公差为d,因为S=45, 所以S,=5a+a)=54,=45,解得4，=9， 2 3分 又a2=7,所以d=a3-a2=2, 所以an=a2+(n-2)d=7+(n-2)2=2n+3. .5分 1 1(1 1 (2)因为b,=(2n+32n+5)22n+32n+5) .7分 x-非时 1 1 9分 2n+32n+5 111 n 252n+55(2n+5)' 11分 m 2 由52m+5)25,解得m=10,所以m=10. 13分 16.(本小题满分15分) 解，（①D根据题意，可设双曲线C的方程为。_上=元a≠0， 2分 82 :双曲线C过点4(4V2,2),元=32_4 82 2 4分 ·双曲线C的方程为Xy =1； 164 6分 (2)在双曲线y =1中，a=4,b=2,c=25, 164 7分 设∠FPF2=0,由余弦定理得：2+2-25cos0=(2c)2, 8分 即(G-5)2+2r5(1-cos0)=4c2→4a2+2r5(1-cos0)=4c2，且5·5=16， 解得cos0=1, 2 12分 0e0）,sin8=5 13分 m sinox 1 16x545. 2 2 15分 17.(本小题满分15分) 解：(1)设圆C的方程为(x-a'+(y-b}=r2,因为A(3,0)和B(5,2)都在圆上， (3-a)}+(0-b}2=r2 且圆心(a,b)在直线2x-y-4=0上，得到方程组(5-a)}+(2-b)=r2, 3分 2a-b-4=0 a=3 解得b=2 6分 r2=4 所以，圆C的方程为(x-3)+(y-2=4. 7分 (2)设M(-4,-3)关于直线x-y-4=0的对称点为M'(x,y) +3x1=-1 解方程组}+4 1 10分 x-4%-3 -4=0 =-8所以M,-8. 22 设反射后光线所在的直线为1， 当直线1斜率不存在时，直线的方程为：x=1,符合题意。11分 当直线l斜率存在时，设直线1的方程为：y+8=k(x-1),即@c-y-k-8=0, 12分 圆心(3,2列到直线1的距离为：d-3k-2-8=2,解得=2 Vk2+1 5 .14分 所以直线的方程为号)号-8=0，整理得12-5-2=0。 综上所述：反射后光线所在的直线的方程为：x=1或12x-5y-52=0 .15分 18.(本小题满分17分) 解：(1)因为点(6,6)在C上，所以62=2p×6,所以p=3,C的方程为x2=6y, .1分 3 准线方程为y=子设4y小(）。 由网+历=所.(}}) 2分 xA+X8=6 所以 y4+yg-3= 9,得y4+yB) 4分 3 321 所以，根据抛物线定义可知，FA+FB=y4+。+yB+ 22·.5分 (2)(i)过点P(6,6)且斜率为-1的直线为y=-x+12 .6分 -62w-合6女-2所uQ-22. y=-x+12, 由 9分 因为P与9关于y轴对称，所以？(12,24)，即x2=12,2=24. 10分 （i)已知R.(以小.k=名则直线20的方程为y-4=名-x)》 1 6 2 由}-y= -)，得r-+4-64=0, x2=6y 因为x=6y1,所以x2-x+x1-x=0,即(x-xnx+xn1-)=0, 解得x=x（舍去，因为异于点P)或x=1-x,所以2n横坐标为1-x… Pn为2关于y轴的对称点，所以xn=-(1-xn1),即xn-xm-1=-1,又x=6, 所以{x}是首项为6，公差为-1的等差数列，所以x=6-(n-)=7-n.13分 当1≤n≤7时，xn≥0，an=xn=xn, 则3.=4，+a,++a,=x+5++x,-(6+7nn_13n-n: 2 2 14分 当n≥8时，x,<0,an=x=-xn, S=S]+as+a++an=S-Xs-xo-..-xm =21+1+2+…+(n-7)=21+0+m-7n-7）2-13m+84 2 2 16分 1s 故Sn= ..17分 n2-13n+84 ,n≥8. 2 19.(本小题满分17分) 解：(1)以EF所在的直线为x轴，EF的中点O为原点建立平面直角坐标系， 设P(x,y)为椭圆上一点，由题意可知PE+PF=GF=4且EF=2, 2分 则曲线厂是以E,F为左右焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆， 其中c=1,a=2,b=a2-c2=3,所以曲线r的标准方程为 y2 一十 =1. ..4分 43 (2)(i)由(1)知F(1,0),直线：y=kx+m(k≠0)过F(1,0), 可得：0=k+m,即m=-k, 5分 所以由直线：y=(x-)与曲线Γ的标准方程女+上 =1联立方程组， 43 E 消去y得（4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, .6分 0 △=48(3k2+3=144(k2+1)>0. 设两交点A(x,出)，B(,), 则有x+为= 8M2 4k2-12 XX= 42+3 42+3 .7分 所以AB=V1+K2x-x=V1+k及 8k2 4k2-12 12(k2+1 4 .8分 4k2+3 4k2+3 4k2+3 又椭圆左焦点E(-1,0)到直线：k(x-1)-y=0的距离为d= -2K V1+k2 .9分 5分a-- 5 解得k2=3或k2=-12 11 (舍去)，即k=±5： .10分 3 (2)(i)解：设点N(x,%),设点A(x,)、B(x2,2) VA 因为直线1过定点T(0,1),所以直线AB的方程为y=kc+1,11分 y=x+1 消去y得(3+4k2）x2+8-8=0, B △=96(2k2+1)>0. 8k 8 +=343+g .12分 k4-么-1，k-h,k阳-么-业 x0-x1 Xo X0-X2 因为直线NA,NT,NB斜率的倒数成等差数列，即， 11=2 一十 KNA KNB KNT 所以， 产实会原小 将y=+1,y2=2+1代入上述等式可得 玉(+1-6+(+-=0，…14分 (%-)(-1)(。-2)(-1) 当x,+1-y=0时点N在1上，显然满足 X2 当。+1-%0时(0-j(%-可0%-j%-)0. 整理可得x(片-+2-)+x(-+片-%)=0， 可得(x+x)(-6)+(x2+x出)1-%)=0， 即(x+x2(6-)+(2x2+x+x)1-%)=0, 即3方-小写0-为)=0对任意销keR恒成立 所以，y-4y+3=0,解得=1或。=3. 16分 由于NT的斜率不为0，所以y。≠1，故y。=3: 所以点N是在定直线y=3上. 17分