专题14二次函数实际应用与综合 2026年中考数学一轮复习讲义(核心考点+模拟真题突破)

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数实际应用与综合专题，覆盖图形、拱桥、销售等15类中考核心题型，构建“实际问题建模-综合题拆解-易错点规避”知识体系，通过考点梳理、方法归纳、43道模拟真题训练，系统提升学生解题能力。 亮点在于“场景化建模”和“有序分类”教学策略，如通过投球问题抽象二次函数模型培养数学眼光，动点问题按“边/角分类”训练数学思维，分层真题适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

专题14二次函数实际应用与综合中考一轮复习讲义 【15大模拟真题题型共计43题】 一、「实际问题与二次函数」 1.场景化建模能力：能快速识别拱桥、投球、销售等不同实际场景的核心变量（如 “高度 - 水平距”“单价 - 销量”），1 分钟内锁定二次函数模型的表达式形式（顶点式 / 一般式）。 2.“公式 + 实际边界” 双达标：不仅能套用利润、面积等核心公式，更能主动验证自变量的实际范围（如销量非负、边长为正），避免 “算对最值但不符合实际” 的中考高频失分。 3.多场景迁移能力：掌握 “投球→喷水→抛体” 等同类运动问题的通解逻辑，实现 “会一道题通一类题” 的高效迁移。 二、「二次函数综合」 1.综合题拆解能力：能把 “特殊四边形 + 面积最值”“相似三角形 + 线段长度” 等中考压轴题，拆解为 “坐标计算→图形判定→公式套用”3 个基础步骤，降低综合题复杂度。 2.动态问题 “有序分类”：面对动点问题（如特殊三角形存在性），能按 “边 / 角分类→列距离 / 角度条件→结合函数求解” 的有序逻辑解题，杜绝漏解、错解。 3.易错点靶向规避：精准规避 “相似三角形对应边找错”“铅垂高法水平宽算错” 等 8 类高频易错点，做到 “会做的题零失误”。 【知识点01:二次函数实际应用及综合通用解题步骤】 一、 二次函数实际应用解题步骤 1.审题定变量：找自变量（如涨价x）和因变量（如利润y），明确数量关系。 2.列函数选形式：有最高点 / 最低点用顶点式，普通关系用一般式，求出表达式。 3.定自变量范围：根据实际意义标注约束（如销量≥0）。 4.求最值 / 定值 + 验证：顶点在范围内取顶点值，否则取端点值；求定值需检验解的合理性。 5.规范作答：结合题意写结论。 二、 二次函数综合题解题步骤 1.坐标转化：把抛物线、几何图形的关键点转化为坐标。 2.拆题定方法：存在性问题抓几何条件，最值问题选对应公式（如铅垂高法）。 3.设参列式：设动点坐标，根据条件列等式或函数关系式。 4.分类讨论：分情况分析（如等腰三角形分三种腰），避免漏解。 5.检验作答：舍去不合理解，整理结果。 【知识点02:二次函数实际应用】 问题类型 核心知识点 图形问题 用二次函数表示图形的面积 / 边长关系，求最值（如矩形、三角形面积最值） 图形运动问题 分析图形平移 / 旋转过程中，边长、面积的变化规律，建立二次函数模型 拱桥问题 以拱桥顶点为原点（或其他坐标系），用二次函数表示桥的轮廓，求高度、跨度 销售问题 结合 “单价 - 销量” 的变化关系，列总利润的二次函数，求最大利润 / 指定利润的单价 投球 / 喷水问题 用二次函数（h=at2+bt+c）表示物体的高度与时间 / 水平距离的关系，求最大高度、落地 / 落水位置 增长率问题 连续两次增长率为x时，总量y=a(1+x)2（a为初始量），分析增长最值 / 目标量对应的x 【知识点03:二次函数综合】 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 【模拟01.图形问题】 1．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 2．（2025·江苏淮安·二模）如图，在四边形中，，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、平行线的性质、二次函数的性质以及含角的直角三角形的性质等知识，过B作于点F，过C作于点E，需使最小，显然要使得和的值最小，设，，求得关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过B作于点F，过C作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 要使的值最小，则和的值最小， 设，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值． 故答案为：． 3．（2025·陕西·一模）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 【答案】(1) (2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，，为抛物线的顶点， ∴，∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； （2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，， ∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，， ∴，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 【模拟02.图形运动问题】 4．（2025·安徽淮南·一模）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， . ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 5．（2025·青海西宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，求一次函数，二次函数的解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.由四边形是矩形得，，则点的坐标为，求出直线的函数解析式为，然后利用面积公式即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 延长交轴于点， ∴由图可得，点的横坐标，， ∴，点， 即 ∴， ∴， 故答案为： 6．（2025·天津宝坻·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限， 的顶点， 点． (1)如图①， 求点B， C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形 ，点A，O，B，C的对应点分别为． 设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线 分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为 则t的值是 (请直接写出结果即可)． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答； （2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解； ②分当和时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 四边形正方形， ． ，； （2）解：①，，， ，． 由平移知，四边形是正方形，得，． 四边形是矩形． ，，． ， ，． ， ． ． 当时，正方形与重合部分为五边形， ． ②当时， 由题意得， 解得或（舍去）； 当时，点与点N重合， 此时， ∴， ∴， 由题意得， 解得或（舍去）； 综上，的值是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平移的性质，图形的面积，二次函数的性质等知识，根据题意分别画出图形，通过面积的和差关系求出S关于t的函数表达式是解题的关键． 【模拟03.拱桥问题】 7．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∵， ∴当水面上升2米后，宽度变为米， 故选：B． 8．（2025·全国·二模）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 9．（2025·陕西·二模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)5，6，7，8 【分析】（1）设主桥拱的半径是，根据勾股定理可得，即可解得答案； （2）如图，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为； （3）甲桥的桥下水位上升了到，连接，连接与交于点E．求出甲桥此时的水面宽度为，再列出，解方程求解即可； （4）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m个单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接． 在中，，，， ， 解得， 即这座桥的主拱桥的半径为； （2）解：依题意可知：抛物线的顶点为，， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E． 在中，，， ， 解得， ，即甲桥此时的水面宽度为； 由，解得，， ∵， 乙桥此时的水面宽度为； （4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称． 平移后函数图象的对称轴是直线， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小， 结合函数图象，①当且时满足题意，解得； ②当时满足题意，解得（舍）． 综上所述，m的取值范围是， 所以,整数m的值为5，6，7，8 【点睛】本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质，待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用． 【模拟04.销售问题】 10．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 11．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 【答案】2450 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键；先求出每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，再求出日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，根据日销售利润等于日销售数量与每件利润的积，得到二次函数，由二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图1知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得， ∴； 设日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图2知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得：， ∴； 设日销售利润为w，则， 即， ∵， ∴当时，有最大利润，且最大利润为2450元； 故答案为：2450． 12．（2025·山东济南·二模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，销售这种文具每天获利w（元），部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x，w与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)；； (2)18元； (3)当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （）利用待定系数法求出与之间的函数关系式，进而求出与之间的二次函数关系即可； （）根据题意列出一元二次方程解答即可； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：设，把和代入得， ， 解得， ∴； ∴ （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵该文具的销售单价不低于进价且不高于元， ∴不合，舍去， ∴， 答：销售单价为元； （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最大值，， 答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【模拟05.投球问题】 13．（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，过点，则设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线 ∴当和时， 设抛物线的解析式为，把代入得， ∴， ∴足球距离地面的最大高度为，故①错误， ∵时，， ∴足球被踢出时落地，故②正确， ∵时，，故③错误， ∴正确的有②，共1个 故选：B． 14．（2025·甘肃平凉·一模）年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令即，然后解一元二次方程即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：令， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点到轴的水平距离是， 故答案为：． 15．（2025·山西朔州·二模.）在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． (1)求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． (2)若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小康这次的成绩不能得到满分，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可设抛物线顶点式为，再代入，即可求得，进而可得抛物线解析式． （2）将代入抛物线解析式中，可得，即可判断小康投掷实心球的成绩小于米，故小康这次的成绩不能得到满分． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入，得， ， 抛物线的解析式为． （2）解：小康这次的成绩不能得到满分． 理由：当时，， ∴小康投掷实心球的成绩小于米， ∴小康这次的成绩不能得到满分． 【模拟06.喷水问题】 16．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 17．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线上可得的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得的范围． 【详解】解：由题意，的顶点为，抛物线的顶点在直线上， ． ． 喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ，即：． ． 故答案为：． 18．（2025·陕西·一模）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 【模拟07.增长率问题】 19．（2025上·海南海口·二模）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意列出二次函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，与的函数解析式为， 故选：D ． 20．（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 21．（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 【模拟08.其他实际问题】 22．（2025·天津南开·三模）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用；求出当时的函数值即可判断①；求出函数值的最大值及此时的时间，可判断②与③，从而可确定答案． 【详解】解：当时，，故①正确； ， 当时，飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行了，故②③正确； 综上，三个全部正确； 故选：D． 23．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 【答案】10 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 24．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． (1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． (2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． (3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为 (2)9米 (3) 【分析】（1）先求出，再设滑道所在抛物线的解析式为，将代入，求出，即可得出抛物线的解析式，再求出点D的坐标即可； （2）先求出直线的解析式为，再求出点，求出抛物线的解析式为，然后求出顶点坐标，即可得出答案； （3）先根据题意得出点M的坐标为，然后求出当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，，再求出当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方，此时，最后求出d的取值范围即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， 设滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得，解得（负值已舍去）． ∴滑道所在抛物线的解析式为， 把代入得： 解得：或， ∴点D的坐标为． （2）解：由题意知点G的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 对于，当时，， ∴， ∴滑道所在抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 对于，当时，， ∴， 答：车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度是9米． （3）解：由题意知点M的坐标为，点N的横坐标为， 由题意知，当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，， 当点N与点F重合时，， 解得：， 当时，点M的纵坐标为， ∴点M，N的高度差为， ∴当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方， 对于，当时，， 令， 解得：（不合题意的值已舍去）， 分析可知，符合题意的d的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次函数的性质． 【模拟09.线段周长问题】 25．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，三角形的中位线和点与圆的位置关系，先求出点的坐标，计算出圆心的坐标，连接，取的中点，当点与点重合时，连接，得，则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，由勾股定理得，所以最小值为． 【详解】解：， 令，则， 解得，或， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴, ∴， 当时，， ∴， ∴, 连接，取的中点，则, 当点与点重合时，连接，如图， ∴是的中位线， ∴， 则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，如图， 由勾股定理得，， ∴的最小值为：， 故答案为：． 26．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 【答案】(1)， (2) (3) (4)存在这样的点，使得为等腰三角形；或 (5) 【分析】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式、圆周角定理、二次函数与几何综合等知识点，根据所求的最值构造合适的辅助线是解题的关键． （1）将和点代入抛物线求出抛物线解析式，再将解析式化为顶点式即可； （2）首先将的值最大转化为点A，D，P在同一条直线上，再求出直线的解析式即可得到点P的坐标； （3）首先将转化为为的平分线，再构造辅助线，利用直线与抛物线的交点即为点E，求解直线的解析式即可； （4）首先利用得到，此时可以得到的关系式，进而分类讨论为等腰三角形的情况，求解的值即可； （5）首先利用得到点F在圆上，再构造辅助圆求解圆心的坐标和半径，再将最小值转化为点外一点到圆上一点的最短距离，即为，再利用两点间的距离求解的长即可求解最小值． 【详解】（1）解：∵经过点和点， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴点； （2）解：如图，∵在中，， ∴当点A，D，P在同一条直线上时，，此时的值最大， 如图，可设直线的解析式为， ∴代入，，得， ∴解得， ∴点； （3）解：∵，，， ∴，， ∵点E在第二象限抛物线上，且， ∴为的平分线， ∴， 如图，过点D作交的延长线于点F， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∴, ∴， 设直线的解析式为， ∴将，代入得，，解得：， ∴， 联立，解得：（与点B重合，舍去），， ∴； （4）解：存在点M，使得为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ①当时，此时， ∴， ∴； ②当时，∴， ∴， ∴，解得：， ∵，即， 解得：； ③当时，此时点M与点B重合， ∴不符合题意， ∴此情况不存在； ∴的长为1或． （5）解：如图：∵点F在x轴下方，， ∴点F在上，过点A，O，且始终为， 设圆心，半径为r， ∴点Q在的垂直平分线上， ∴，即， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴，， ∵最小值为， ∴， ∴最小值为． 【模拟10.面积问题】 27．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（） A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合． 由抛物线的对称轴为y轴，可求得，联立直线与抛物线方程，解得交点、，直线与x轴交点．利用三角形面积公式分别计算和的面积，再求比值即可． 【详解】解：抛物线对称轴为y轴，即顶点横坐标，解得． 代入得抛物线方程得． 联立方程和，得， 解得或． ∴和． 令，代入得， 即． ∵、、． ∴； ∵、、． ∴； ． 故选B． 28．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 29．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形、四边形面积，菱形性质及应用，一次函数的图象与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 【模拟11.角度问题】 30．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 31．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)3 (3)点E的坐标为或，过程见详解 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）过P作轴交于交于F，延长交于G，由题意易得，则有，，然后可得点坐标，过轴，过P作，过K作轴交于H，作交于，则有轴，四边形、、均是矩形，进而可得，最后问题可求解； （3）由题意可分①当E在x轴上方时，②当E在x轴下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过P作轴交于交于F，延长交于G， ∴轴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， 当时，取最大值， 此时， ∴， 如图，过轴，过P作，过K作轴交于H，作交于， ∴轴，四边形、、均是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴， 如图， 当P、K、三点共线时，的值最小，此时， ∴的最小值为3； （3）解：∵，该抛物线沿射线方向平移个单位， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位长度，， ∴平移后的对称轴为直线， ①当E在x轴上方时，如图，过E作轴交于N，过A作轴交于T，交于S， ∴，四边形、、是矩形， ，， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 设，， ∴， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②当E在x轴下方时，如图， 同理可求：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述，E的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，三角函数，相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握二次函数的综合，三角函数，相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 【模拟12.特殊三角形问题】 .32．（2025·广西梧州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 【答案】、、、． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质与分类讨论思想，正确运用等腰三角形两腰相等的性质列出方程是关键步骤； 令，即可得到点A的坐标，然后根据点的坐标，得，；若是等腰三角形，且点在轴上，故点的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为， ∴， ∴，， 在中，， 因为是等腰三角形， 所以：①如图1，当时，，点的坐标为， ②如图2，当时，点的坐标为或， ③如图，3，当时，设点的坐标为，根据题意， , ,. ∴， 解得． 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为，或，． 33．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为P．下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点，当时，则m的取值范围是；⑤当是直角三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】把解析式化为交点式可得解析式为，则，由抛物线开口向下，得到，据此可判断①②；可求出，，然后作差可得，据此可判断③；当时，，解不等式即可判断④求出，则，， ，再分分别为直角三角形，利用勾股定理建立方程求出的值即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点， ∴抛物线解析式为， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故①正确； ∵，且， ∴，故②正确； ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线上有两点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 在中，当时，，当时，， ∴， ∵， ∵，， ， 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，此时方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，符合条件的a值有2个，故⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 34．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 【模拟13.特殊四边形问题】 35．（2025·河南新乡·一模）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 36．（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，抛物线与y轴的交点，则由抛物线的对称性质可求得点C的坐标，从而求得A点坐标，即可求得点D的坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 在中，令，得， 即； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴关于直线对称， ∴， ∴； ∵，， ∴由勾股定理得：， 即， ∴点D的横坐标为， ∴． 故答案为：． 37．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点坐标是或；②存在，点的坐标为，， 【分析】（1）将点A、B、C，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①求出直线的表达式为，过作垂直交于和点，可证得，所以，设，则，，，，即可解决问题． ②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把， ，代入得∶ ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设直线的解析式为， 把，代入得∶ ， 解得 直线的表达式为． 过作轴交于， 过作轴交于， ∴， ， ， ， 设， 则， ， ， ∴当时，， ， ， ， 或， 点的坐标为或． ②存在，理由如下： 过点作于，如图， 的对称轴为直线， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 当为边时， 四边形为平行四边形， ，轴， 点的横坐标与点的横坐标同为， 当时，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 根据对称性当时， ， ∴时，四边形也是平行四边形． 当为对角线时，如图， 四边形为平行四边形， ，轴， 同理求得：点的坐标为， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质． 【模拟14.相似三角形问题】 38．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 39．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，直线与抛物线相交于、两点，若，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的知识点是一次函数与二次函数的 综合应用，涉及到联立方程求交点、根与系数的关系的运用、全等三角形的判定与性质以及两点间距离公式等知识；利用相似三角形的性质找出是解题的关键．联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点、的坐标，利用两点间的距离公式可求出、、的长度，设直线与轴的交点为，由直线的解析式为可得出，结合公共角可得出∽，根据相似三角形的性质可得出，代入数据即可得出，解之即可得出值． 【详解】：联立两函数解析式成方程组， ， 解得：，， 点，， ，，． 设直线与轴的交点为如图所示，则点的坐标为．    直线的解析式为， ． 又， ∽， ， ，即， 整理得：， 解得：或不合题意，舍去． 故答案为：． 40．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 【模拟15.其他综合问题】 41．（2025·江苏无锡·二模）我们知道，两个一次函数的图像有一个交点，交点坐标就是相对应的二元一次方程组的解，反之我们还可以通过图像法求得二元一次方程组的解．比如：一次函数与反比例的图象交点横坐标可由方程求得，那么请你推断：方程中m的范围比较合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点和方程解的关系这一知识点．解题关键在于将方程的解转化为两个函数图象交点横坐标，通过代入区间端点值比较函数值大小来确定交点横坐标所在取值范围．本题可通过构造函数，利用函数图象交点来确定方程解的范围．方程的解可看作是函数与图象交点横坐标的取值范围，可通过代入区间端点值判断函数值大小关系来确定范围． 【详解】解：当时，对于，； 对于，，此时． 当时，对于，； 对于，，此时． 说明当时，两个函数图象有交点，即方程的解在这个区间内．故A项合理； 当时，，；当时，无意义，且在内，对于，其值在 ，对于，两个函数图象无交点，故B项不合理； 当时，无意义，当时，， ，在这个区间内，，，两个函数图象无交点．故C不合理； 当时，，；当时，， ，在这个区间内，，，两个函数图象无交点．故D不合理； ∴方程中的范围是， 故选：A． 【点睛】 42．（2025·四川成都·模拟预测）新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．根据是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，，将，代入解方程组得到由，，两式相减得：，求得，得到“偶点”在直线上，求得抛物线上至少存在一个“偶点”，即直线与抛物线在内有交点，将代入抛物线方程得得到，，这是一个函数，对称轴为直线，当时，当时，当时，求得在的最小值为，最大值为，于是得到结论． 【详解】解：已知是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，， 将，代入可得：， 解得或， ，当时，，不符合条件，舍去， 由，，两式相减得：， ， 即， ， ，即， “偶点”在直线上， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在内有交点， 联立得：， 整理得， ，，这是一个二次函数，对称轴为直线， 当时，； 当时，， 当时，； 在的最小值为，最大值为， 的取值范围 故答案为：；． 43．（2025·浙江丽水·二模）定义：若点满足，则称该点为“k倍点”．已知二次函数（c为常数）． (1)当时，求出该函数图像上的“二倍点”坐标； (2)若该函数图像上存在唯一的“二倍点”，求c的值； (3)在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“三倍点”，求c的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】题目主要考查关于二次函数的新定义题型，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意设这个“二倍点”坐标为，代入求解计算即可； （2）设这个“二倍点”坐标为，根据题意列出方程求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数与x轴至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 设这个“二倍点”坐标为， 代入得：， 解得：或， ∴或， ∴“二倍点”坐标为或； （2）解：设这个“二倍点”坐标为， 代入得：， 整理得：， ∵存在唯一的“二倍点”， ∴， 解得：； （3）解：由题意得，三倍点所在的直线为， ∵在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则，解得； 设，开口向上， 对称轴为， 使得在之间与x轴至少有一个交点， ∴在的最小值为：当时，， 最大值为：当时，， ∴， 解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14二次函数实际应用与综合中考一轮复习讲义 【15大模拟真题题型共计43题】 一、「实际问题与二次函数」 1.场景化建模能力：能快速识别拱桥、投球、销售等不同实际场景的核心变量（如 “高度 - 水平距”“单价 - 销量”），1 分钟内锁定二次函数模型的表达式形式（顶点式 / 一般式）。 2.“公式 + 实际边界” 双达标：不仅能套用利润、面积等核心公式，更能主动验证自变量的实际范围（如销量非负、边长为正），避免 “算对最值但不符合实际” 的中考高频失分。 3.多场景迁移能力：掌握 “投球→喷水→抛体” 等同类运动问题的通解逻辑，实现 “会一道题通一类题” 的高效迁移。 二、「二次函数综合」 1.综合题拆解能力：能把 “特殊四边形 + 面积最值”“相似三角形 + 线段长度” 等中考压轴题，拆解为 “坐标计算→图形判定→公式套用”3 个基础步骤，降低综合题复杂度。 2.动态问题 “有序分类”：面对动点问题（如特殊三角形存在性），能按 “边 / 角分类→列距离 / 角度条件→结合函数求解” 的有序逻辑解题，杜绝漏解、错解。 3.易错点靶向规避：精准规避 “相似三角形对应边找错”“铅垂高法水平宽算错” 等 8 类高频易错点，做到 “会做的题零失误”。 【知识点01:二次函数实际应用及综合通用解题步骤】 一、 二次函数实际应用解题步骤 1.审题定变量：找自变量（如涨价x）和因变量（如利润y），明确数量关系。 2.列函数选形式：有最高点 / 最低点用顶点式，普通关系用一般式，求出表达式。 3.定自变量范围：根据实际意义标注约束（如销量≥0）。 4.求最值 / 定值 + 验证：顶点在范围内取顶点值，否则取端点值；求定值需检验解的合理性。 5.规范作答：结合题意写结论。 二、 二次函数综合题解题步骤 1.坐标转化：把抛物线、几何图形的关键点转化为坐标。 2.拆题定方法：存在性问题抓几何条件，最值问题选对应公式（如铅垂高法）。 3.设参列式：设动点坐标，根据条件列等式或函数关系式。 4.分类讨论：分情况分析（如等腰三角形分三种腰），避免漏解。 5.检验作答：舍去不合理解，整理结果。 【知识点02:二次函数实际应用】 问题类型 核心知识点 图形问题 用二次函数表示图形的面积 / 边长关系，求最值（如矩形、三角形面积最值） 图形运动问题 分析图形平移 / 旋转过程中，边长、面积的变化规律，建立二次函数模型 拱桥问题 以拱桥顶点为原点（或其他坐标系），用二次函数表示桥的轮廓，求高度、跨度 销售问题 结合 “单价 - 销量” 的变化关系，列总利润的二次函数，求最大利润 / 指定利润的单价 投球 / 喷水问题 用二次函数（h=at2+bt+c）表示物体的高度与时间 / 水平距离的关系，求最大高度、落地 / 落水位置 增长率问题 连续两次增长率为x时，总量y=a(1+x)2（a为初始量），分析增长最值 / 目标量对应的x 【知识点03:二次函数综合】 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 【模拟01.图形问题】 1．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·江苏淮安·二模）如图，在四边形中，，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是 ． 3．（2025·陕西·一模）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． ∴，∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 【模拟02.图形运动问题】 4．（2025·安徽淮南·一模）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． B． C． D． 5．（2025·青海西宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式 6．（2025·天津宝坻·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限， 的顶点， 点． (1)如图①， 求点B， C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形 ，点A，O，B，C的对应点分别为． 设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线 分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为 则t的值是 (请直接写出结果即可)． 【模拟03.拱桥问题】 7．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 8．（2025·全国·二模）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 9．（2025·陕西·二模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【模拟04.销售问题】 10．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 12．（2025·山东济南·二模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，销售这种文具每天获利w（元），部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x，w与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【模拟05.投球问题】 13．（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2025·甘肃平凉·一模）年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是 ． 15．（2025·山西朔州·二模.）在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． (1)求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． (2)若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 【模拟06.喷水问题】 16．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为 ． 18．（2025·陕西·一模）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【模拟07.增长率问题】 19．（2025上·海南海口·二模）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 21．（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【模拟08.其他实际问题】 22．（2025·天津南开·三模）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 24．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． (1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． (2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． (3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 【模拟09.线段周长问题】 25．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 26．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 【模拟10.面积问题】 27．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（） A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4 28．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 29．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【模拟11.角度问题】 30．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 31．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【模拟12.特殊三角形问题】 32．（2025·广西梧州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 33．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为P．下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点，当时，则m的取值范围是；⑤当是直角三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 34．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【模拟13.特殊四边形问题】 35．（2025·河南新乡·一模）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 36．（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ． 37．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【模拟14.相似三角形问题】 38．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 39．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，直线与抛物线相交于、两点，若，则的值为 ．    40．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【模拟15.其他综合问题】 41．（2025·江苏无锡·二模）我们知道，两个一次函数的图像有一个交点，交点坐标就是相对应的二元一次方程组的解，反之我们还可以通过图像法求得二元一次方程组的解．比如：一次函数与反比例的图象交点横坐标可由方程求得，那么请你推断：方程中m的范围比较合理的是（    ） A． B． C． D． 42．（2025·四川成都·模拟预测）新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 43．（2025·浙江丽水·二模）定义：若点满足，则称该点为“k倍点”．已知二次函数（c为常数）． (1)当时，求出该函数图像上的“二倍点”坐标； (2)若该函数图像上存在唯一的“二倍点”，求c的值； (3)在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“三倍点”，求c的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $