第15讲 数学归纳法讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦数学归纳法核心考点，涵盖证明步骤、数列与不等式证明、整除及几何问题等高考高频应用，按“知识梳理—解题策略—题型归纳—巩固提升”逻辑架构知识体系，通过考点分析、方法指导（如“三步走”模板）、真题精讲等环节，帮助学生系统突破从k到k+1的推理难点。 讲义以逻辑推理和数学抽象素养为导向，创新设计“观察—归纳—猜想—证明”思维训练链，如数列通项证明中先猜后证的分层教学。设置基础到难题的梯度练习，配合避坑指南和规范答题模板，确保学生高效掌握代数变形与递推技巧，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第15讲 数学归纳法 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：数学归纳法的证明步骤 5 题型02：用数学归纳法证明恒等式 16 题型03：用数学归纳法证明不等式 27 题型04：用数学归纳法证明几何问题 32 题型05：用数学归纳法证明整除问题 38 题型06：用数学归纳法证明数列问题 44 题型07：用数学归纳法证明其他问题 67 巩固提升 71 高考分析 (Exam Analysis) 1. 考情定位 • 工具性强，地位稳固： 数学归纳法是证明与正整数 n 有关的命题的重要工具。在高考中，它通常不单独命制复杂的压轴题，而是作为解决“数列通项证明”、“不等式证明”或“整除性问题”的关键步骤出现。 • 新旧高考差异： ◦ 传统高考（理）： 常出现在压轴题的第二问，要求考生先猜想通项公式，再用数学归纳法证明。 ◦ 新高考： 更加注重逻辑推理素养。虽然纯归纳法的证明题频率略有下降，但在“结构不良试题”或“探究性试题”中，归纳—猜想—证明的思想依然是核心考点。 2. 常见考查载体 1. 数列问题： 已知递推关系，求/证通项公式。 2. 不等式问题： 证明数列不等式（常结合放缩法）。 3. 整除与几何计数： 证明 f(n) 能被某数整除，或平面/空间几何中 n 个元素分割区域的个数。 3. 难度系数 • 基础题： 机械套用归纳法步骤（n=1 成立， 假设 n=k 成立， 证明 n=k+1 成立）。 • 难题： 关键在于“假设 n=k 成立”这一条件的使用技巧，以及从 k 到 k+1 的代数变形能力。 学习目标 (Learning Objectives) 1. 理解原理： 掌握数学归纳法的两个核心步骤（奠基、递推）及其逻辑必然性。 2. 规范表达： 能够用严谨的数学语言书写证明过程，不跳步。 3. 灵活运用： 能识别适用场景（即题目中出现 n \in \mathbb{N}^*），并能将其与数列、不等式等知识综合运用。 4. 思想升华： 掌握“观察—归纳—猜想—证明”的科学思维方法。 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想、的一种方法.、归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 解题策略 (Solving Strategies) 1. 核心模板：三步走 口诀： 一验二设三递推。 • 第一步（奠基）： 验证 n 取第一个值 n_0（通常为 1 或 2）时，命题成立。 ◦ 注意： 必须计算出具体结果，不能直接写“成立”。 • 第二步（递推）： ◦ 假设： 假设当 n=k 时命题成立。 ◦ 证明： 利用上述假设，证明当 n=k+1 时命题也成立。 • 第三步（结论）： 综上所述，由(1)(2)可知，命题对一切 n均成立。 2. 关键难点突破：如何利用假设？ 从 n=k 推导 n=k+1 时，常用的变形技巧： • “凑”假设： 在 n=k+1 的表达式中，通过加减项、提取公因式等手段，强行构造出 n=k 时的形式，以便代入假设。 • “作差”或“作商”： 比较 n=k+1 与 n=k 时的式子差异。 ◦ 数列中：与 的递推关系。 ◦ 不等式中： 证明 f(k+1) - f(k) > 0。 3. 典型题型与套路 • 题型A：数列通项证明 ◦ 策略： 先算出前3项，猜出 ，再用归纳法证明。 • 题型B：不等式证明 ◦ 策略： 归纳法证明不等式难点在于“放缩”。有时直接归纳法证不出来，需要先将不等式右边的常数改为关于 n 的式子（加强命题），再进行归纳。 • 题型C：整除性证明 ◦ 策略： f(k+1) - f(k) 或 f(k+1)/f(k) 必能被整除（A 为构造系数）。 避坑指南 (Common Pitfalls) 1. 忽略初始值： 有些命题从 n=1 开始成立，有些从 n=3 开始。若第一步验证错误，全盘皆输。 2. 假设未使用： 在证明 n=k+1 时，必须明确写出“由假设可知...”或“将...代入”。如果证明过程中完全没用上 n=k 的假设，那就是逻辑错误（实际上变成了直接证明）。 3. 跨度错误： 适用于所有正整数的命题，步长必须是 1。如果题目涉及 2n 等偶数项，步长可能是 2，需注意归纳假设的写法。 4. 书写不规范： 缺少“综上所述”的结论句，或“假设”二字遗漏。 备考建议 (Preparation Tips) 1. 强化代数变形训练： 归纳法的本质是代数运算。学生应熟练掌握因式分解、分式通分、指数运算等基本功，这是完成“递推”步骤的前提。 2. 归纳与放缩结合： 针对压轴题，专门训练“数学归纳法+放缩法”的组合拳。 3. 规范答题模版： 在平时练习中，强制要求学生写出标准的三段式结构，养成良好的书写习惯。 题型01：数学归纳法的证明步骤 【典型例题1】用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数学归纳法的知识确定正确答案. 在等式中， 当时，， 故等式的左边为，右边为. 所以第一步应该验证的等式是. 故选：D 【典型例题2】某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 【答案】C 【解析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论. 可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立． 所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立. 故选：C. 【典型例题3】用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】计算和时左边式子，再作差即可判断. 依题意当时左边， 当时左边， 所以 ， 故从递推到时，不等式左边需添加的项为. 故选：C 【典型例题4】用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【近些年】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果. 由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和； 当时，等式左边等于，共项求和； 所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是. 故选：B. 【变式训练1-1】用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【解析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 【变式训练1-2】利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】见解析 【解析】根据题意，结合变到时，左边由项增加到项，即可求解. 由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. 【变式训练1-3】用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】见解析 【解析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D. 【变式训练1-4】某同学用数学归纳法证明不等式，过程如下： （1）当时，，不等式成立． （2）假设当,且时，不等式成立，即，则当时，， ∴当时，不等式成立． 根据（1）和（2）可知对任何都成立．则上述证法（    ） A．全部过程均符合数学归纳法的原理 B．的验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理没有用到归纳假设 【答案】见解析 【解析】根据数学归纳法的定义与证明即可判断. 根据数学归纳法的证明可知当的验证正确，归纳假设正确，故BC错误； 从到的推理中，并没有用到时的假设，故D正确，A错误， 故选：D. 【变式训练1-5】用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 【答案】D 【解析】直接利用数学归纳法和关系式的变换的应用求出结果. 用数学归纳法证明不等式的过程中 由时，，① 当时，左边， ，②， ②①得：左边. 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，涉及到的知识点有应用数学归纳法证明问题时，将向推导过程中，式子的变化情况，属于易错题目. 【变式训练1-6】用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据和时，对比左边的表达式，进行计算即可. 时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 【变式训练1-7】用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【答案】B 【解析】注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设． 解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确； 故选：B． 【变式训练1-8】设，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据的表达式得，即可相减求解. 由题意可得, 所以， 故选：D 【变式训练1-9】（多选题）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（    ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】AB 【解析】A、 B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断. A：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立； B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立； C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题成立； D：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题不成立. 综上可知，满足条件的选项为AB 故选：AB. 【变式训练1-10】利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 . 【答案】 【解析】将时左边的等式除以时左边的等式即可得解. 解：当时，左边， 当时，左边， 所以左边应添加因式为. 故答案为：. 【变式训练1-11】已知，则中共有 项. 【答案】 【解析】根据解析式的组成特点及各项分母的特征，即可得解. 因为，我们观察解析式的组成特点，是由，，，，组成， 其中每一项的分母为，，，，组成等差数列，且首项为，公差为1，最后一项为； 所以它的项数为，即为的项数为． 故答案为：． 【变式训练1-12】已知无穷数列A：，，…满足：①，，…且；②，设为所能取到的最大值，并记数列：，，…. (1)若数列A为等差数列且，求其公差d； (2)若，求的值； (3)若，，求数列的前100项和. 【答案】(1)1或2； (2)3 (3)7500 【解析】（1）由等差数列写出，再由数列的性质确定，注意验证得出的数列满足数列的性质； （2）由性质②确定的取值，再分别确定的取值，从而可得； （3）由数列的性质先求得得，再求出，归纳出数列并用数学归纳法证明，然后求得其前100项的和． （1）由已知，， 又，所以或， 若，则由得，，，满足； 若，则由得，，，也满足． 所以或2； （2）因为，所以， 所以或，因此， 当时，且同时成立，此时， 当时，且同时成立，此时矛盾， 综上，； （3）因为，所以，所以，显然，， 由知，事实上，当时，与同时成立，所以，从而， 猜想数列 即数列由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数列的两条 性质， 下面用数学归纳法证明． ①当时结论成立， ②假设时结论成立，则当时， 当时，此时，， 由于，且，所以， 当时，此时，， 由于，且，所以， 综上，数列是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成， 数列的前100项和为：． 【变式训练1-13】设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析， 【解析】（1）根据已知条件，结合递推关系求出，从而可猜想出通项公式， （2）利用数学归纳法的步骤证明即可，判断数列为等差数列，然后根据等差数的求和公式可求得结果. （1）因为数列满足，， 所以， ， 由此可猜想 （2）证明：①当时，显然成立， ②假设当时，成立，即，则 当时， ， 所以时也成立， 综合①②可得， 因为， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以 题型02：用数学归纳法证明恒等式 【典型例题1】用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数学归纳法的证明过程求解. 数学归纳法的证明过程如下： 当 时 ，左边 ，原不等式成立； 设当 时，原不等式成立，即  …①成立， 则当 时，左边 ， 即要证明左边 也成立，即证  ， 由①知即证 ； 故选：D. 【典型例题2】用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】将代入不等式左边，比较两式即可求解. 当时，等式为， 当时，， 增加的项数为, 故选:B. 【典型例题3】用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意表示出和，然后代入计算即可. 由题意，，，所以 . 故选：B. 【典型例题4】观察下面三个等式： 第1个：， 第2个：， 第3个： (1)按照以上各式的规律，写出第4个等式； (2)按照以上各式的规律，猜想第个等式（为正整数）； (3)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【解析】（1）（2）根据前个式子归纳出第与第个式子； （3）利用数学归纳法证明，首先说明时成立，再假设时成立，通过计算说明时也成立，即可得证； （1）解：由第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， （2）解：由（1）可猜想，第个等式：，； （3）数学归纳法证明： 当时，，，等式成立； 假设时，，． 当时， ， 可得时，，也成立， 综上可得，对一切的，均成立． 【典型例题5】已知函数f（n）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1），（n∈N*） （1）求f（n+1）﹣f（n）； （2）用数学归纳法证明f（n）＝（﹣1）n•n． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】（1）由函数f（n）得到f（n+1）求解； （2）利用数学归纳法证明. （1）因为函数f（n）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1），（n∈N*）， 所以函数f（n+1）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1）+（n∈N*）， 所以f（n+1）﹣f（n）=， （2）当时，左边=，右边=-1，等式成立； 假设时，结论成立，即成立， 则时，， ， ， 所以时，结论也成立， f（n）＝（﹣1）n•n．得证. 【变式训练2-1】用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】化简可得，再从正整数开始逐个代入判断即可 由题得，即，当时，，不符合；当时，，不符合；当时，，不等式成立；当时，25，不等式成立，当时根据指数函数与一次函数的性质可得.所以满足题意的的最小值为3. 故答案为：3 【变式训练2-2】利用证明“”时，从假设推证成立时，可以在时左边的表达式上再乘一个因式，多乘的这个因式为 ． 【答案】. 【解析】比较和时左边的表达式即得. 当时，左边=， 当时，左边=， 故从假设推证成立时，左边需增添的代数式为. 故答案为：. 【变式训练2-3】有下列命题：；使用数学归纳法证明 【答案】证明见解析 【解析】验证时等式成立，假设时等式成立，进而证明当时等式成立，综合即可得到结论. 当时，左边，右边，等式成立； 假设当时，成立， 那么当时，成立； 综上所述：对于任意成立. 【变式训练2-4】观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明． 【答案】一般规律：；证明见解析． 【解析】总结规律后由数学归纳法证明 一般规律：， 证明：（1）时，左=右，等式成立； （2）假设时，等式成立，即， 则当时，， 等式也成立， 由（1）（2）得当时等式都成立． 【变式训练2-5】用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】见解析 【解析】应用数学归纳法证明即可. 当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 【变式训练2-6】用数学归纳法证明. 【答案】见解析 【解析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可. 证明：①当时，左边，右边，等式成立； ②假 设 当 时等式成立， 即. 那么， 即当时等式也成立. 由①②知，等式对任何都成立. 【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题. 【变式训练2-7】用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【解析】根据数学归纳法的步骤证明即可. 当时，左侧，右侧，显然成立， 假设时， 当时， ， 即当时，等式也成立，综上可得，． 【变式训练2-8】用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【解析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当时成立，进而假设时等式成立，证明时，等式也成立；即可得证． 设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立，即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 【变式训练2-9】用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【解析】按数学归纳法的步骤证明即可，即验证时等式成立，且假设时等式成立，证明时等式成立即可. 当时，等式左边，等式中间，等式右边，即等式左边=等式中间=等式右边，等式成立； 假设时等式成立， 即有成立， 我们分两步来证明当时，等式成立，即分别证明此时等式左边=等式中间，等式中间=等式右边即可， 第一步：由假设可知，当时， 有 成立， 即当时，等式左边=等式中间成立； 第二步：由假设，所以此时有成立， 从而可知，当时，有 成立， 即当时，等式中间=等式右边成立； 结合以上两步有：若当时等式成立，则当时等式成立； 综上所述：由数学归纳法可得. 【变式训练2-10】用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】见解析 【解析】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. （1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 【变式训练2-11】用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【答案】见解析 【解析】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）按照数学归纳法的步骤证明即可； （1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 题型03：用数学归纳法证明不等式 【典型例题1】证明∶不等式成立. 【答案】见解析 【解析】利用数学归纳法证明即可. ①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 【典型例题2】用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析. 【解析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系. 当，则成立， 若且时，成立， 令，则， 所以时不等式也成立， 综上，恒成立. 【典型例题3】用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析 【解析】构造函数，利用导数分析该函数的单调性，推导出对任意的，，然后利用数学归纳法即可证明出原不等式成立. 先证明出，，即， 构造函数， 当时，则， 所以，函数在上单调递增，则， 则，即， 即， 对任意的，当时，. 当时，左边，右边，左边右边； 假设当时，不等式成立，即. 则当时，则. 这说明，当时，原不等式也成立. 综上所述，对任意的，. 【点睛】本题考查利用数学归纳法证明数列不等式，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力，属于中等题. 【变式训练3-1】用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【解析】由数学归纳法证明不等式的一般步骤可知：第一步验证初值时不等式成立；第二步进行归纳假设：假设当时所证不等式成立，在此基础上来证明当时所证不等式也成立；特别注意证时一定要用到时的结论；第三步下结论：在第一步及第二步的基础上就可得出所证不等式对一切都成立. 证明：（1）当时，，命题成立. （2）假设当时，成立， 当时， ， ⸪， ⸫， 当时命题成立. 所以对于任意都成立. 【变式训练3-2】用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】见解析 【解析】运用数学归纳法的步骤进行证明即可. 当时，不等式成立， 假设时原不等式成立，即， 则时，左边， 当时，， 即， 因此时原不等式也成立． 综上，对任意的正整数． 【变式训练3-3】观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题． 【答案】见解析 【解析】（1）不完全归纳得解； （2）利用数学归纳法证明即可. （1）解：不等式可写为：，，，， 所以归纳得到命题：（n为正整数）． （2）证明：①当n＝1时，易知命题成立； ②假设当 时，命题成立，即． 则当时， ， 即时，命题也成立． 由①②可知，． 【变式训练3-4】证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)． 【答案】见解析 当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． 假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即， 当n＝k＋1时， ， 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意n∈N*都成立． 题型04：用数学归纳法证明几何问题 【典型例题1】一个与自然数有关的命题，如果： ①当时，命题成立； ②在假设“当时，命题成立”的前提下，能够推出“当时，合题成立”． 那么，命题对于任何不小于的自然数成立． 上述方法，称为“数学归纳法”． 例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的个圆将平面至多分为个区域，其中． 注意1个圆将平面分为2个区域．当时，． 所以，当时，命题成立． 假设当时，命题成立，即平面内的个圆将平面至多分为个区域． 在此基础上，增加1个圆． 为使区域最多，应使增加的圆与前个圆均相交，于是增加了个交点，个交点将增加的圆分为段弧，段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了个区域． 从而，平面内的个圆将平面至多分为个区域． 当时，． 所以，当时，合题成立． 综上，命题对于任何成立． 利用“数学归纳法”证明： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）根据数学归纳法证明的步骤进行证明； （2）根据数学归纳法证明的步骤进行证明. （1）①当时，左边，右边，等式成立； ②假 设 当 时等式成立， 即. 那么， 即当时等式也成立. 由①②知，等式对任何都成立. （2）①当时，左边，右边，不等式成立； ②假 设 当 时不等式成立， 即， 由于， 当时，单调递增，则，所以， 那么，， 即当时不等式也成立. 由①②知，不等式对任何都成立. 【典型例题2】平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数． 【答案】证明见解析. 【解析】根据数学归纳法证明的一般步骤证明即可. (1)当 时, 两条直线的交点只有一个, 又 , 所以当 时, 命题成立. (2)假设当 时, 命题成立， 即平面内满足题设的任何 条直线的交点个数 , 当 时, 任取一条直线 , 除 以外其他 条直线的交点个数为 , 与其他 条直线交点个数为 , 从而 条直线共有 个交点, 即 , 所以当 时, 命题成立. 由(1)(2)可知, 对任意 命题都成立. 【变式训练4-1】在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 【答案】见解析 【解析】先通过，2，3，4，5的结果归纳出，再用数学归纳法证明即可. 记n条直线把平面分成个部分，我们通过，2，3，4，5，画出图形观察的情况（如图）    从图中可以看出， ， ， ， ， . 由此猜想. 接下来用数学归纳法证明这个猜想. （1）当，2时，结论均成立. （2）假设当时结论成立，即. 那么，当时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点， 这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分， 所以，结论也成立. 根据（1）和（2）可知，对，都有， 即. 【变式训练4-2】用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【答案】见解析 【解析】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 【变式训练4-3】已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 【答案】见解析 【解析】按照数学归纳法证明步骤证明即可. 证明：（1）当时，两条直线的交点只有1个，又， 所以时，命题成立； （2）假设且时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数， 那么，当时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为， 因为任意两条直线不平行，所以直线l与其他k条直线的交点个数为k，又任意三条不过同一点， 所以上面k个交点两两不同，且与平面内其他的个交点也两两不同，从而k+1条直线共有个交点， 即 ， 所以当时，命题成立. 综上，原命题成立. 【变式训练4-4】已知个半径相等的半圆的圆心在同一直线上，这个半圆每两个都相交，且都在直线的同侧，试用数学归纳法求这个半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧． 【答案】见解析 【解析】设这个半圆被所有的交点最多分成段圆弧，由，，由此猜想，再用数学归纳法证明即可 设这个半圆被所有的交点最多分成段圆弧， 如图分别是，的情形． 由图可知，，，由此猜想． 现用数学归纳法证明该猜想． ①当时，猜想显然正确． ②假设时，猜想正确，即， 则当时，作出第个半圆，它与前个半圆均相交，最多新增个交点， 第个半圆自身被分成了段弧，同时前个半圆又各多分出1段弧， 故有， 即当时，猜想正确． 综上，对于，，都成立． 故这个半圆被所有的交点最多分成段圆弧． 题型05：用数学归纳法证明整除问题 【典型例题1】用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【解析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D. 【典型例题2】已知,存在自然数,使得对任意,都能使整除,则最大的的值为（    ） A．30 B．9 C．36 D．6 【答案】C 【解析】依题意，可求得、、、的值，从而可猜得最大的的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 由，得， ，， ，由此猜想. 下面用数学归纳法证明： (1)当时，显然成立。 (2)假设时， 能被36整除，即 能被36整除； 当时, 是2的倍数， 能被36整除， 当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除， 的最大值为36. 故选：C. 【典型例题3】用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除． 【答案】见解析 【解析】按照数学归纳法的步骤操作即可证明. 证明：（1）当时，，能被9整除， 故当时， 能被9整除． （2）假设当时，命题成立，即能被9整除， 则当时，也能被9整除. 综合(1)(2)可得, 对任意正整数能被9整除． 【点睛】本题考查了用数学归纳法证明整除问题，属于容易题. 【变式训练5-1】求证：对任何正整数n，数都能被8整除 【答案】证明见解析 【解析】用数学归纳法证明整除问题. 证明: 1°当n=1时，，命题成立． 2°假设n=k时，能被8整除， 则当n=k+1时，, 因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数， 即n=k+1时，命题也成立 由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除． 【变式训练5-2】用数学归纳法证明：能被整除（） 【答案】答案见解析 【解析】按照数学归纳法的证明方法进行证明 当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 【变式训练5-3】求证：能被整除． 【答案】证明见解析. 【解析】先检验当n=1时，能被整除，再假设当时能被整除，证明出当时，能被整除，即可得证. 当n=1时，能被整除， 假设当, 时能被整除， 则当时，， 其中能被整除，所以能被整除， 所以能被整除， 即当时，能被整除， 所以能被整除. 【点睛】此题考查利用数学归纳法证明整除问题，关键在于熟练掌握数学归纳法证明方法的基本步骤，根据步骤对代数式变形处理. 【变式训练5-4】是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【答案】存在，且的最大值为 【解析】 求出、的最大公约数，可得出的值，然后利用数学归纳法证明出都能被整除，即可得出结论. 解：，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 【变式训练5-5】用数学归纳法证明：能被整除. 【答案】见解析 【解析】先验证时，能被整除；假设当时，能被整除，再证明能被整除，结合归纳原理可得出结论成立. 证明：（1）当时，能被整除，所以结论成立； （2）假设当时结论成立，即能被整除． 则当时， ， 因为能被整除，能被整除， 所以，能被整除，即即时结论也成立． 由（1）（2）知命题对一切都成立． 【变式训练5-6】是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【答案】见解析 【解析】 求出、的最大公约数，可得出的值，然后利用数学归纳法证明出都能被整除，即可得出结论. 解：，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 题型06：用数学归纳法证明数列问题 【典型例题1】在正项数列中，，，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 【答案】A 【解析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论. 由，且， 显然成立， 假设，成立， 当时，则， 所以，故为递减数列. 故选：A 【典型例题2】已知数列满足，. 给出下列四个结论： ① 数列每一项都满足； ② 数列是递减数列； ③ 数列的前项和； ④ 数列每一项都满足成立. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解析】确定时，，①正确，计算，②正确，计算，③错误，利用数学归纳法证明④正确，得到答案. 对①：，，则，当时，， 且，故，故，正确； 对②：，故数列是递减数列，正确； 对③：，，，，，错误； 对④：当时，成立， 假设时成立，即， 当时，函数在上单调递增， 则， 故时成立. 综上所述：数列每一项都满足成立，正确. 故选：D. 【典型例题3】已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为 ． 【答案】36 【解析】求出，归纳出，然后用数学归纳法证明． ，，，都能被带除，猜想能被36带除， （1）时，是36的整数倍， （2）假设时，是36的整数倍，即（）， 时， ， 由假设是36的整数倍，又是偶数，是36的整数倍， 所以是36的整数倍， 综上，对一切正整数，是36的整数倍，即能被36整除，而， 所以是最大的数，即．故答案为：36． 【典型例题4】已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】见解析 【解析】（1）分别将代入求解即可； （2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. （1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 【典型例题5】设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. （1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得，. 【变式训练6-1】下列命题正确的有（    ）个 （1）若数列为等比数列，为其前n项和，则，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，存在，使得； （3）设为不超过实数x的最大整数，例如：，，.设a为正整数，数列满足，，记，则M为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】（1）取特列，分析判断；（2）根据实数的性质分析判断；（3）利用数学归纳法证明，即可得结果. 对（1）：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，故，，不是等比数列，（1）错误； 对（2）：根据实数性质可得：对，均存在，使得，， 故对，均存在，使得，则，（2）正确； 对（3）：若，则，故，且. 下证对，， 当时，，即； 假设当时，； 当时，则 ∵，当且仅当，即时，等号成立， 则； 故对，. ∵，，则，可得， 可得， ∵， 下证， 当时，则成立； 假设当时，则成立； 当时，则，即； 故. 可得，且，即的取值可能是有限的， 故为有限集，（3）正确； 故选：C. 【变式训练6-2】意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 【答案】C 【解析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案. 由题意可得：若，等价于为偶数，若，等价于为奇数， 则， 猜想：， 当时，成立； 假设当时，成立，则为奇数，为偶数； 当时，则为奇数，为奇数，为偶数， 故符合猜想； 得证， 则连续三项之和为2，故数列的前2020项的和为. 故选：C. 【变式训练6-3】（多选题）数列满足（且），则（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则 【答案】ABD 【解析】由等比数列和等差数列的概念可判断A，B，利用B中结论求得，利用函数单调性可判断C，利用数学归纳法及作差法判断选项D． 选项A，因为若，， 所以，，…，， 即，，是等比数列，故A正确； 选项B，令，而， ， 又，数列是以1为公差的等差数列，故B正确； 选项C，由选项B的结论及可知：， ，显然，数列在上单调递减， 故当时，有最大值2，没有最小值，故C错误； 选项D，用数学归纳法证明， (1)当时，， (2)假设当，时，不等式成立，即，即， 当时，，满足， 故当时，不等式也成立， 综合(1)(2)，对任意，有， 下面证明， ， ，上面不等式中的等号不成立， ，， 故，故D正确． 故选：ABD． 【变式训练6-5】（多选题）大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由可得出，利用累加法可判断A选项；由结合累加法可判断B选项；利用数学归纳法可判断C选项；由可得，结合裂项法可判断D选项. 对于A，由，可得， 则、、，、， 将上式累加得， 又，则有，故A正确； 对于B，由，可得、、、， 将上式累加得， 又，则，故B错误； 对于C，有成立，用数学归纳法证明如下： ①当时，，满足规律， ②假设当时满足成立， 当时，则 成立，满足规律， 故，令， 则有成立，故C正确； 对于D，由可得， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练6-6】（多选题）已知数列{}的前n项和为，，则下列选项正确的是（    ） A． B．存在，使得 C． D．是单调递增数列，{}是单调递减数列 【答案】ACD 【解析】由整理得，令，得到，借助反比例函数和的单调性得到和的增减性，即可判断D选项； 根据求的范围即可判断C选项； 利用数学归纳法证明，，即可得到，，即可判断A选项， 根据，，可得，即可判断B选项. 由可得，令，则， 又，则，，当时， ， ，，设，在上单调递增，∵，∴，传递下去，可得，同理可得，∴是单调递增数列，是单调递减数列， 又∵，在R上单调递增，所以是单调递增数列，是单调递减数列，故D正确； 由，得，，得， ∴，即， ∵，∴， ，显然，故C正确； 先证：， 当时，成立， 假设当时，成立， 那么当时，成立， 综上，成立， 同理可得， ∴，即，故A正确； 要使，则，而，，所以，即，故B错. 故选：ACD. 【变式训练6-7】设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【答案】(1)，，，， (2)，证明见解析 【解析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可. （1）因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以舍去， 同理可得：舍去，舍去，舍去， 所以，，，，； （2）猜想：，证明过程如下： 当时，显然成立， 假设当时成立，即， 当时，， 解得：，或， 因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 显然， 所以，舍去， 所以当时，成立， 综上所述： 【变式训练6-8】已知数列：，，，…，，…，设为该数列的前项和.计算，，，的值；根据计算的结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】，，，，证明见解析 【解析】代入数值计算，，，的值；根据前4项的规律可猜出的表达式，再用数学归纳法证明. ，，， ， 猜想（为正整数），下面用数学归纳法证明： ①当时，，猜想成立； ②假设当时，猜想成立，即， 所以当时，， 所以当时猜想成立. 由①②得，得证. 【变式训练6-9】（1）依次计算下列各式的值：，，，． （2）根据第（1）题的计算结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法证明相应的结论． 【答案】（1）；；；；（2），证明见解析. 【解析】（1）直接计算各式的值即可； （2）根据（1）的数字规律可猜想得到；验证成立后，假设时猜想成立，利用该结论证得时成立即可. （1）；；；； （2）由（1）可猜想：； 证明如下： 当时，左边，右边；等式成立； 假设当时，成立， 那么当时，， 即当时，等式成立； 综上所述：当时，. 【变式训练6-10】设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)求数列，求的前项和． 【答案】(1)，，，猜想，证明见解析 (2) 【解析】（1）利用递推关系式可求得，由此可猜想得到通项公式；利用数学归纳法可证得通项公式成立； （2）由（1）可得，采用错位相减法可求得. （1）由，得：；；； 由此可猜想，证明如下： 当时，，即成立； 假设当时，成立， 那么当时，，即成立； 综上所述：当时，. （2）由（1）得：， ，， 两式作差得：， . 【变式训练6-11】设数列满足，， (1)求，的值，并猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳法证明上述猜想． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【解析】（1）根据题意将和代入即可得到，的值，再根据规律即可猜想数列的通项公式. （2）根据数学归纳法先证明当时成立，再假设当时成立，由此证明当时成立即可. （1）因为数列满足，，， 所以当时，，      当时，．         由此猜想数列的通项公式为． （2）证明：用数学归纳法证明如下： ①当时，，成立； ②假设当时，成立，即， 则当时， ，成立， 由①②，得：． 【变式训练6-12】已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意逐个计算即可得； （2）由（1）的计算结果可猜想出数列的通项公式，利用数学归纳法证明即可得. （1）由且，则， ，； （2）由（1）的计算结果可猜想，证明如下： 当时，，等式成立； 假设当时等式成立，即有， 则当时，有， 即当时，等式成立； 故猜想成立. 【变式训练6-13】设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【答案】见解析 【解析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可. （1）因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以舍去， 同理可得：舍去，舍去，舍去， 所以，，，，； （2）猜想：，证明过程如下： 当时，显然成立， 假设当时成立，即， 当时，， 解得：，或， 因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 显然， 所以，舍去， 所以当时，成立， 综上所述：. 【变式训练6-14】已知数列满足，. (1)求，，； (2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）首先根据题意得到，再求，，即可. （2）首先猜想数列的通项公式为，再利用数学归纳法证明即可. （1）由可知， 当时，代入，解得； 当时，代入，解得； 当时，代入，解得； （2）猜想数列的通项公式为. 当时，左边，右边，成立. （2）假设当时，成立. 则当时，有， 即当时，也成立. 所以对任何都成立. 【变式训练6-15】若，且. （1）求，， ，， （2）归纳猜想通项公式，用数学归纳法证明. 【答案】（1）；（2），证明见解析． 【解析】（1）由递推公式依次计算； （2）猜想． （1）因为，且. 所以，，，； （2）猜想． 可用数学归纳法证明． ①已成立； ②假设时，，则， 时，命题也成立，综上对所有正整数，都有． 【点睛】本题考查数列的递推公式，考查数学归纳法．利用递推关系依次求出数列的前几项，然后归纳出通项公式，并用数学归纳法证明，是解题决数列通项公式的一种方法． 【变式训练6-16】已知数列的前项和为，，且. （1）求、、； （2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】（1），，；（2），证明见解析. 【解析】（1）由，分别令，，求解： （2）由（1）猜想，数列的通项公式为，由时成立，再假设，成立，然后论证时成立即可. （1）， 当时，，解得，即有； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； （2）由（1）猜想可得数列的通项公式为. 下面运用数学归纳法证明. ①当时，由（1）可得成立； ②假设，成立， 当时，， 即有， 则， 当时，上式显然成立； 当时，，即， 则当时，结论也成立. 由①②可得对一切，成立. 【点睛】方法点睛：“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性． 【变式训练6-17】已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为. （1）求数列、的通项公式； （2）数列满足：，，证明 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式； （2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明. （1）由，是，的等差中项， 可得，即，即，解得或， 又因为，所以， 又由，所以， 因为数列的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以，所以. （2）先用数学归纳法证明当，， ①当时，，左式>右式，不等式成立； ②假设时，不等式成立，即， 当时，，因为在上单调递增， 由，得，即， 可得，不等式也成立. 由①②得证当，， 所以. 【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的求法，利用数学归纳法与放缩法证明数列不等式，着重考查了逻辑思维能力和推理论证能力，属于难题. 题型07：用数学归纳法证明其他问题 【典型例题1】给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】见解析 【解析】（1）猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解； （2）递推部分，利用时结论，替换括号内部分 解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点： ，，，， 猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为， 所以，不等式的一般结论为： （2）证明：①当时显然成立；    ②假设时结论成立，即：成立，   当时，    即当时结论也成立. 由①②可知对任意，结论都成立. 【典型例题2】试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何分的邮资． 【答案】见解析 【解析】利用数学归纳法证明. 1°当n=8时，结论显然成立． 2°假设当时命题成立． 若这k分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资； 若这k分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资． 故当n=k+1时命题也成立． 综上，对的任何自然数命题都成立． 【变式训练7-1】已知M是满足下列条件的集合：①，；②若、，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：“若，则”是真命题； (3)证明：若，，则. 【答案】见解析 【解析】（1）结合性质①②证明，然后利用性质③即可求解； （2）结合（1）中结论，利用数学归纳法即可求解； （3）结合已知条件，先证明，然后证明，然后证明即可求解. （1）正确，理由如下： 由①②可知，，， 由③可知，. （2）由②可知，对于，，故只需证明对于，， 由（1）中知，， 可知，， 假设正整数，可得， 故对于，都成立， 从而“若，则”是真命题. （3）若，且，由①②知，，， 由③知，，， 又由②③知，，则， 又由②知，， 因为，， 故时，， 因为，，所以，， 所以由（2）知，，，， 又由，则， 又因为，所以，从而，故， 从而，. 【变式训练7-2】如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. （1）写出点和的坐标； （2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 【答案】见解析 【解析】（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果； （2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论. （1）由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：，由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：， 由得：，即； 直线方程为，即， 令，解得：，； （2）由（1）猜想的坐标为， 设，，则直线的方程为：， 令，解得：，， 直线的斜率为，即，即， ， 用数学归纳法证明的坐标如下： ①当时，满足； ②假设当时，成立， 那么当时，由得： ，解得：， 即当时，成立； 综上所述：. 一、单选题 1．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意结合数学归纳法分析判断. 当时，，所以左边为. 故选：C. 2．用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察从到时，等式左边的变化，通过比较可得出结果. 当时，等式左边， 当时，等式左边， 因此，当从到时，等式左边应增乘的式子为. 故选：C. 【点睛】本题考查数学归纳法的应用，解答的关键就是观察等式左右两边结构的变化，考查计算能力，属于基础题. 3．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【解析】根据数学归纳法的概念进行判断即可. 在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 4．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【解析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 5．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 6．用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出当和时，不等式左边的式子，即可得出答案. 当时，不等式左边为 当时，不等式左边为 即由到时，不等式左边应添加的项是 故选：D 【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题. 7．用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到 考点：推理与证明 二、多选题 8．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（    ） A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 【答案】AD 【解析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误. 由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD. 故选：AD 9．已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 【答案】AD 【解析】根据数学归纳法的步骤判断即可. 由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确， 错在证明时，没用假设时的结论即， 所以D正确． 故选：AD 10．已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 【答案】ABC 【解析】由已知中命题，，当时，成立，并且当时它也成立，可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可 由于命题，这里， 当时，成立，并且当时它也成立， 可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立， 故对于不一定成立， 对于每一个自然数k不一定成立， 对于每一个偶数k不一定成立， 对于某些偶数可能不成立．故选：ABC． 三、填空题 11．以下是一个证明的全部过程：假设当时等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立．因此等式对于任何都成立．则用数学归纳法证明“”的过程中的错误为 ． 【答案】缺少当时命题成立的证明 【解析】根据数学归纳法的使用步骤即可求解. 根据数学归纳法的一般步骤，知其缺少时命题成立的说明. 故答案为：缺少当时命题成立的证明 12．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【答案】 【解析】将代入计算可得结果. 当时，. 故答案为： 13．利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 【答案】 【解析】分别写出和左边的式子，两对照可得答案. 当时，左边式子为， 当时，左边式子为， 故左边增乘的因式是． 故答案为：． 14．在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 【答案】 【解析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案. 设当时，能被整除， 所以时， ， 因此必须有代数式． 故答案为： 四、解答题 15．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【答案】(1)，，，， (2)，证明见解析 【解析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可. （1）因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以舍去， 同理可得：舍去，舍去，舍去， 所以，，，，； （2）猜想：，证明过程如下： 当时，显然成立， 假设当时成立，即， 当时，， 解得：，或， 因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 显然， 所以，舍去， 所以当时，成立， 综上所述： 16．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足． （1）求，，的值，猜想的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性． 【答案】（1），，，，；（2）证明见解析． 【解析】（1）时，可求出，时，利用可得到关于的递推关系，即可求出，的值，进而猜想出的表达式； （2）根据数学归纳法的步骤证明即可. （1）当时，，∴， 当时，，∴， ∴，， 猜想，； （2）下面用数学归纳法证明： ①当时，，，猜想正确； ②假设时，猜想正确，即， 那么当时， 可得， 即时，猜想也成立． 综上可知，对任意的正整数，都成立． 【点睛】本题考查数学猜想和数学归纳法的应用，属于中档题. 17．用数学归纳法证明：能被133整除 ． 【答案】见解析 【解析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立. 证明： ①当时，能被133整除，所以 时结论成立，． ②假设当时，能被133整除，那么当时， ． 由归纳假设可知能被133整除，即 能被133整除．所以时结论也成立 综上，由①②得，能被133整除 【点睛】本题考查数学归纳法的整除应用问题，关键在于证明时采取添项与减项技巧，“凑”成归纳假设的形式出来，然后再来证余下的项被除数整除，属于中档题． 18．试用数学归纳法证明. 【答案】证明见解析 【解析】根据数学归纳法的步骤即可证明． （1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立； （2）假设当时，原不等式成立，即， 当时， ∵ ∴．即， 所以，当时，不等式也成立． 根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立． 【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明和正整数有关的命题，属于基础题． 19．已知正项数列满足，. (1)计算,，猜想的通项公式并加以证明； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1),,,证明见解析; (2). 【解析】 （1）分别,，即可求得,,由此可猜想，用数学归纳法证明即可； （2）结合（1）的结论可得的表达式，分组求和即可求得答案. （1）当时，； 当时，； 猜想. 证明如下： 当时，成立； 假设时，成立； 那么时，, 即时，， 则对任意的，都有成立. （2）由题意得， . 20．证明：不等式，恒成立. 【答案】证明见解析. 【解析】用数学归纳法证明，由时成立，再假设 时，不等式成立，然后论证时成立即可. 当时，成立 假设时，不等式成立 那么时 ，，， 即时，该不等式也成立 综上：不等式，恒成立. 【点睛】方法点睛：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化． 21．设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，证明详见解析 (2)证明详见解析 【解析】 （1）先求得，，然后猜想并利用数学归纳法进行证明. （2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立. （1）依题意，，，则， 所以， 猜想. 当时，成立， 假设当时，猜想成立，即， 则当时， ，猜想成立， 所以. （2）， 所以 . 22．用数学归纳法证明:. 【答案】见解析. 【解析】试题分析：利用数学归纳法，验证时等式成立，假设时成立，证得时也成立，即可证得等式成立. （1）当时，左边=，右边=，所以等式成立 （2）假设当时命题成立，即 那么，当时， 即时，命题成立 由（1）（2）知等式对任意的均成立 23．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？ 【答案】能被自然数6，1，2，3整除;证明见解析 【解析】先分别用n取1,2,3,4时验证，则可猜想：可以被6整除，利用数学归纳法证明即可． 时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除； 证明：（1）当时，，命题显然成立； （2）假设当时，能被6整除． 当时，， 其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除， 由假设知能被6整除, 故，，6分别能被6整除， 所以当时，命题也成立． 据（1）（2），可知可以被6整除． 故能被自然数6,，1，2，3整除. 24．用数学归纳法证明等式. 【答案】证明见解析 【解析】先验证时，等式成立，再假设当时等式成立，可得出，然后在等式两边同时加上，验证当时等式也成立，由此可证明出结论成立. ①当时，左边， 右边，左边右边，原等式成立； ②假设当时等式成立， 即有， 那么，当时，， 所以当时，等式也成立， 由①②知，对任意，都有. 【点睛】本题考查利用数学归纳法证明等式成立，在证明时要注意等式两边结构的变化，合理利用提公因式、通分、因式分解等基本的运算技巧，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 25．求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】根据给定条件借助数学归纳法证明命题的一般步骤直接证明即可. (1)当n=2时，左边=，右边=，显然左边>右边，即原不等式成立， (2)假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，即， 则当n=k+1时， 左边= =右边， 因此，当n=k+1时，原不等式成立， 综合(1)和(2)知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立. 26．用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）按照数学归纳法的步骤证明即可； （1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 数学归纳法 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：数学归纳法的证明步骤 5 题型02：用数学归纳法证明恒等式 10 题型03：用数学归纳法证明不等式 15 题型04：用数学归纳法证明几何问题 17 题型05：用数学归纳法证明整除问题 21 题型06：用数学归纳法证明数列问题 23 题型07：用数学归纳法证明其他问题 30 巩固提升 32 高考分析 (Exam Analysis) 1. 考情定位 • 工具性强，地位稳固： 数学归纳法是证明与正整数 n 有关的命题的重要工具。在高考中，它通常不单独命制复杂的压轴题，而是作为解决“数列通项证明”、“不等式证明”或“整除性问题”的关键步骤出现。 • 新旧高考差异： ◦ 传统高考（理）： 常出现在压轴题的第二问，要求考生先猜想通项公式，再用数学归纳法证明。 ◦ 新高考： 更加注重逻辑推理素养。虽然纯归纳法的证明题频率略有下降，但在“结构不良试题”或“探究性试题”中，归纳—猜想—证明的思想依然是核心考点。 2. 常见考查载体 1. 数列问题： 已知递推关系，求/证通项公式。 2. 不等式问题： 证明数列不等式（常结合放缩法）。 3. 整除与几何计数： 证明 f(n) 能被某数整除，或平面/空间几何中 n 个元素分割区域的个数。 3. 难度系数 • 基础题： 机械套用归纳法步骤（n=1 成立， 假设 n=k 成立， 证明 n=k+1 成立）。 • 难题： 关键在于“假设 n=k 成立”这一条件的使用技巧，以及从 k 到 k+1 的代数变形能力。 学习目标 (Learning Objectives) 1. 理解原理： 掌握数学归纳法的两个核心步骤（奠基、递推）及其逻辑必然性。 2. 规范表达： 能够用严谨的数学语言书写证明过程，不跳步。 3. 灵活运用： 能识别适用场景（即题目中出现 n \in \mathbb{N}^*），并能将其与数列、不等式等知识综合运用。 4. 思想升华： 掌握“观察—归纳—猜想—证明”的科学思维方法。 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想、的一种方法.、归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 解题策略 (Solving Strategies) 1. 核心模板：三步走 口诀： 一验二设三递推。 • 第一步（奠基）： 验证 n 取第一个值 n_0（通常为 1 或 2）时，命题成立。 ◦ 注意： 必须计算出具体结果，不能直接写“成立”。 • 第二步（递推）： ◦ 假设： 假设当 n=k 时命题成立。 ◦ 证明： 利用上述假设，证明当 n=k+1 时命题也成立。 • 第三步（结论）： 综上所述，由(1)(2)可知，命题对一切 n均成立。 2. 关键难点突破：如何利用假设？ 从 n=k 推导 n=k+1 时，常用的变形技巧： • “凑”假设： 在 n=k+1 的表达式中，通过加减项、提取公因式等手段，强行构造出 n=k 时的形式，以便代入假设。 • “作差”或“作商”： 比较 n=k+1 与 n=k 时的式子差异。 ◦ 数列中：与 的递推关系。 ◦ 不等式中： 证明 f(k+1) - f(k) > 0。 3. 典型题型与套路 • 题型A：数列通项证明 ◦ 策略： 先算出前3项，猜出 ，再用归纳法证明。 • 题型B：不等式证明 ◦ 策略： 归纳法证明不等式难点在于“放缩”。有时直接归纳法证不出来，需要先将不等式右边的常数改为关于 n 的式子（加强命题），再进行归纳。 • 题型C：整除性证明 ◦ 策略： f(k+1) - f(k) 或 f(k+1)/f(k) 必能被整除（A 为构造系数）。 避坑指南 (Common Pitfalls) 1. 忽略初始值： 有些命题从 n=1 开始成立，有些从 n=3 开始。若第一步验证错误，全盘皆输。 2. 假设未使用： 在证明 n=k+1 时，必须明确写出“由假设可知...”或“将...代入”。如果证明过程中完全没用上 n=k 的假设，那就是逻辑错误（实际上变成了直接证明）。 3. 跨度错误： 适用于所有正整数的命题，步长必须是 1。如果题目涉及 2n 等偶数项，步长可能是 2，需注意归纳假设的写法。 4. 书写不规范： 缺少“综上所述”的结论句，或“假设”二字遗漏。 备考建议 (Preparation Tips) 1. 强化代数变形训练： 归纳法的本质是代数运算。学生应熟练掌握因式分解、分式通分、指数运算等基本功，这是完成“递推”步骤的前提。 2. 归纳与放缩结合： 针对压轴题，专门训练“数学归纳法+放缩法”的组合拳。 3. 规范答题模版： 在平时练习中，强制要求学生写出标准的三段式结构，养成良好的书写习惯。 题型01：数学归纳法的证明步骤 【典型例题1】用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数学归纳法的知识确定正确答案. 在等式中， 当时，， 故等式的左边为，右边为. 所以第一步应该验证的等式是. 故选：D 【典型例题2】某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 【答案】C 【解析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论. 可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立． 所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立. 故选：C. 【典型例题3】用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】计算和时左边式子，再作差即可判断. 依题意当时左边， 当时左边， 所以 ， 故从递推到时，不等式左边需添加的项为. 故选：C 【典型例题4】用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【近些年】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果. 由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和； 当时，等式左边等于，共项求和； 所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是. 故选：B. 【变式训练1-1】用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【变式训练1-2】利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式训练1-3】用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式训练1-4】某同学用数学归纳法证明不等式，过程如下： （1）当时，，不等式成立． （2）假设当,且时，不等式成立，即，则当时，， ∴当时，不等式成立． 根据（1）和（2）可知对任何都成立．则上述证法（    ） A．全部过程均符合数学归纳法的原理 B．的验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理没有用到归纳假设 【变式训练1-5】用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 【变式训练1-6】用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【变式训练1-8】设，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-9】（多选题）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（    ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【变式训练1-10】利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 . 【变式训练1-11】已知，则中共有 项. 【变式训练1-12】已知无穷数列A：，，…满足：①，，…且；②，设为所能取到的最大值，并记数列：，，…. (1)若数列A为等差数列且，求其公差d； (2)若，求的值； (3)若，，求数列的前100项和. 【变式训练1-13】设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求前项和． 题型02：用数学归纳法证明恒等式 【典型例题1】用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数学归纳法的证明过程求解. 数学归纳法的证明过程如下： 当 时 ，左边 ，原不等式成立； 设当 时，原不等式成立，即  …①成立， 则当 时，左边 ， 即要证明左边 也成立，即证  ， 由①知即证 ； 故选：D. 【典型例题2】用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】将代入不等式左边，比较两式即可求解. 当时，等式为， 当时，， 增加的项数为, 故选:B. 【典型例题3】用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意表示出和，然后代入计算即可. 由题意，，，所以 . 故选：B. 【典型例题4】观察下面三个等式： 第1个：， 第2个：， 第3个： (1)按照以上各式的规律，写出第4个等式； (2)按照以上各式的规律，猜想第个等式（为正整数）； (3)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【解析】（1）（2）根据前个式子归纳出第与第个式子； （3）利用数学归纳法证明，首先说明时成立，再假设时成立，通过计算说明时也成立，即可得证； （1）解：由第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， （2）解：由（1）可猜想，第个等式：，； （3）数学归纳法证明： 当时，，，等式成立； 假设时，，． 当时， ， 可得时，，也成立， 综上可得，对一切的，均成立． 【典型例题5】已知函数f（n）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1），（n∈N*） （1）求f（n+1）﹣f（n）； （2）用数学归纳法证明f（n）＝（﹣1）n•n． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】（1）由函数f（n）得到f（n+1）求解； （2）利用数学归纳法证明. （1）因为函数f（n）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1），（n∈N*）， 所以函数f（n+1）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1）+（n∈N*）， 所以f（n+1）﹣f（n）=， （2）当时，左边=，右边=-1，等式成立； 假设时，结论成立，即成立， 则时，， ， ， 所以时，结论也成立， f（n）＝（﹣1）n•n．得证. 【变式训练2-1】用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为 . 【变式训练2-2】利用证明“”时，从假设推证成立时，可以在时左边的表达式上再乘一个因式，多乘的这个因式为 ． 【变式训练2-3】有下列命题：；使用数学归纳法证明 【变式训练2-4】观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明． 【变式训练2-5】用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式训练2-6】用数学归纳法证明. 【变式训练2-7】用数学归纳法证明（为正整数）． 【变式训练2-8】用数学归纳法证明（为正整数）． 【变式训练2-9】用数学归纳法证明：． 【变式训练2-10】用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【变式训练2-11】用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 题型03：用数学归纳法证明不等式 【典型例题1】证明∶不等式成立. 【答案】见解析 【解析】利用数学归纳法证明即可. ①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 【典型例题2】用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析. 【解析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系. 当，则成立， 若且时，成立， 令，则， 所以时不等式也成立， 综上，恒成立. 【典型例题3】用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析 【解析】构造函数，利用导数分析该函数的单调性，推导出对任意的，，然后利用数学归纳法即可证明出原不等式成立. 先证明出，，即， 构造函数， 当时，则， 所以，函数在上单调递增，则， 则，即， 即， 对任意的，当时，. 当时，左边，右边，左边右边； 假设当时，不等式成立，即. 则当时，则. 这说明，当时，原不等式也成立. 综上所述，对任意的，. 【点睛】本题考查利用数学归纳法证明数列不等式，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力，属于中等题. 【变式训练3-1】用数学归纳法证明： 【变式训练3-2】用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式训练3-3】观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题． 【变式训练3-4】证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)． 题型04：用数学归纳法证明几何问题 【典型例题1】一个与自然数有关的命题，如果： ①当时，命题成立； ②在假设“当时，命题成立”的前提下，能够推出“当时，合题成立”． 那么，命题对于任何不小于的自然数成立． 上述方法，称为“数学归纳法”． 例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的个圆将平面至多分为个区域，其中． 注意1个圆将平面分为2个区域．当时，． 所以，当时，命题成立． 假设当时，命题成立，即平面内的个圆将平面至多分为个区域． 在此基础上，增加1个圆． 为使区域最多，应使增加的圆与前个圆均相交，于是增加了个交点，个交点将增加的圆分为段弧，段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了个区域． 从而，平面内的个圆将平面至多分为个区域． 当时，． 所以，当时，合题成立． 综上，命题对于任何成立． 利用“数学归纳法”证明： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）根据数学归纳法证明的步骤进行证明； （2）根据数学归纳法证明的步骤进行证明. （1）①当时，左边，右边，等式成立； ②假 设 当 时等式成立， 即. 那么， 即当时等式也成立. 由①②知，等式对任何都成立. （2）①当时，左边，右边，不等式成立； ②假 设 当 时不等式成立， 即， 由于， 当时，单调递增，则，所以， 那么，， 即当时不等式也成立. 由①②知，不等式对任何都成立. 【典型例题2】平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数． 【答案】证明见解析. 【解析】根据数学归纳法证明的一般步骤证明即可. (1)当 时, 两条直线的交点只有一个, 又 , 所以当 时, 命题成立. (2)假设当 时, 命题成立， 即平面内满足题设的任何 条直线的交点个数 , 当 时, 任取一条直线 , 除 以外其他 条直线的交点个数为 , 与其他 条直线交点个数为 , 从而 条直线共有 个交点, 即 , 所以当 时, 命题成立. 由(1)(2)可知, 对任意 命题都成立. 【变式训练4-1】在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 【变式训练4-2】用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【变式训练4-3】已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 【变式训练4-4】已知个半径相等的半圆的圆心在同一直线上，这个半圆每两个都相交，且都在直线的同侧，试用数学归纳法求这个半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧． 题型05：用数学归纳法证明整除问题 【典型例题1】用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【解析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D. 【典型例题2】已知,存在自然数,使得对任意,都能使整除,则最大的的值为（    ） A．30 B．9 C．36 D．6 【答案】C 【解析】依题意，可求得、、、的值，从而可猜得最大的的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 由，得， ，， ，由此猜想. 下面用数学归纳法证明： (1)当时，显然成立。 (2)假设时， 能被36整除，即 能被36整除； 当时, 是2的倍数， 能被36整除， 当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除， 的最大值为36. 故选：C. 【典型例题3】用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除． 【答案】见解析 【解析】按照数学归纳法的步骤操作即可证明. 证明：（1）当时，，能被9整除， 故当时， 能被9整除． （2）假设当时，命题成立，即能被9整除， 则当时，也能被9整除. 综合(1)(2)可得, 对任意正整数能被9整除． 【点睛】本题考查了用数学归纳法证明整除问题，属于容易题. 【变式训练5-1】求证：对任何正整数n，数都能被8整除 【变式训练5-2】用数学归纳法证明：能被整除（） 【变式训练5-3】求证：能被整除． 【变式训练5-4】是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【变式训练5-5】用数学归纳法证明：能被整除. 【变式训练5-6】是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 题型06：用数学归纳法证明数列问题 【典型例题1】在正项数列中，，，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 【答案】A 【解析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论. 由，且， 显然成立， 假设，成立， 当时，则， 所以，故为递减数列. 故选：A 【典型例题2】已知数列满足，. 给出下列四个结论： ① 数列每一项都满足； ② 数列是递减数列； ③ 数列的前项和； ④ 数列每一项都满足成立. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解析】确定时，，①正确，计算，②正确，计算，③错误，利用数学归纳法证明④正确，得到答案. 对①：，，则，当时，， 且，故，故，正确； 对②：，故数列是递减数列，正确； 对③：，，，，，错误； 对④：当时，成立， 假设时成立，即， 当时，函数在上单调递增， 则， 故时成立. 综上所述：数列每一项都满足成立，正确. 故选：D. 【典型例题3】已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为 ． 【答案】36 【解析】求出，归纳出，然后用数学归纳法证明． ，，，都能被带除，猜想能被36带除， （1）时，是36的整数倍， （2）假设时，是36的整数倍，即（）， 时， ， 由假设是36的整数倍，又是偶数，是36的整数倍， 所以是36的整数倍， 综上，对一切正整数，是36的整数倍，即能被36整除，而， 所以是最大的数，即．故答案为：36． 【典型例题4】已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】见解析 【解析】（1）分别将代入求解即可； （2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. （1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 【典型例题5】设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. （1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得，. 【变式训练6-1】下列命题正确的有（    ）个 （1）若数列为等比数列，为其前n项和，则，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，存在，使得； （3）设为不超过实数x的最大整数，例如：，，.设a为正整数，数列满足，，记，则M为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练6-2】意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 【变式训练6-3】（多选题）数列满足（且），则（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则 【变式训练6-5】（多选题）大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】（多选题）已知数列{}的前n项和为，，则下列选项正确的是（    ） A． B．存在，使得 C． D．是单调递增数列，{}是单调递减数列 【变式训练6-7】设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【变式训练6-8】已知数列：，，，…，，…，设为该数列的前项和.计算，，，的值；根据计算的结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法加以证明. 【变式训练6-9】（1）依次计算下列各式的值：，，，． （2）根据第（1）题的计算结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法证明相应的结论． 【变式训练6-10】设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)求数列，求的前项和． 【变式训练6-11】设数列满足，， (1)求，的值，并猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳法证明上述猜想． 【变式训练6-12】已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【变式训练6-13】设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【变式训练6-14】已知数列满足，. (1)求，，； (2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【变式训练6-15】若，且. （1）求，， ，， （2）归纳猜想通项公式，用数学归纳法证明. 【变式训练6-16】已知数列的前项和为，，且. （1）求、、； （2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【变式训练6-17】已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为. （1）求数列、的通项公式； （2）数列满足：，，证明 题型07：用数学归纳法证明其他问题 【典型例题1】给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】见解析 【解析】（1）猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解； （2）递推部分，利用时结论，替换括号内部分 解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点： ，，，， 猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为， 所以，不等式的一般结论为： （2）证明：①当时显然成立；    ②假设时结论成立，即：成立，   当时，    即当时结论也成立. 由①②可知对任意，结论都成立. 【典型例题2】试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何分的邮资． 【答案】见解析 【解析】利用数学归纳法证明. 1°当n=8时，结论显然成立． 2°假设当时命题成立． 若这k分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资； 若这k分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资． 故当n=k+1时命题也成立． 综上，对的任何自然数命题都成立． 【变式训练7-1】已知M是满足下列条件的集合：①，；②若、，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：“若，则”是真命题； (3)证明：若，，则. 【变式训练7-2】如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. （1）写出点和的坐标； （2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 一、单选题 1．用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 2．用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（    ） A． B． C． D． 3．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 4．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 5．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 6．用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 7．用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到 A． B． C． D． 二、多选题 8．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（    ） A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 9．已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 10．已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 三、填空题 11．以下是一个证明的全部过程：假设当时等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立．因此等式对于任何都成立．则用数学归纳法证明“”的过程中的错误为 ． 12．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 13．利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 14．在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 四、解答题 15．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 16．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足． （1）求，，的值，猜想的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性． 17．用数学归纳法证明：能被133整除 ． 18．试用数学归纳法证明. 19．已知正项数列满足，. (1)计算,，猜想的通项公式并加以证明； (2)若，求数列的前项和. 20．证明：不等式，恒成立. 21．设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 22．用数学归纳法证明:. 23．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？ 24．用数学归纳法证明等式. 26．用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 1 学科网（北京）股份有限公司 $