第13讲 数列解答题归纳-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

第13讲 数列解答题题型大全 目 录 思维导图 2 高考分析 3 学习目标 3 题型归纳 3 一：等差等比数列 4 题型01：等差数列的性质 4 题型02：等差数列的前n项和 5 题型03：等比数列的性质 6 题型04：等差数列与等比数列的综合 7 二：数列递推式 12 三：分段数列问题 18 四：数列求和 错误！未定义书签。 题型01：分组求和——公式法 21 题型02：分组求和——奇偶分段型 23 题型03：分组求和——正负相间型 25 题型04：裂项相消——函数型 29 题型05：裂项相消——指数型 30 题型06：裂项相消——无理根号型 33 题型07：裂项相消——分子分母齐次分离型 35 题型08：裂项相消——等差指数混合型 36 题型09：裂项相消——正负相间裂和型 37 题型10：裂项相消——三角函数型 38 题型11：倒序相加型求和 40 题型12： 错位相减求和 43 （一）等差等比 43 （二）等差/等比 44 （三）错位相消（插入数型） 46 题型13：绝对值求和 48 题型14：取整函数型求和 49 题型15：周期与类周期求和 50 题型16：奇偶并项求和 52 五：数列的单调性 56 六：数列的最值问题 58 七 ：数列与不等式 60 题型01： 比较大小 60 题型02：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求n的范围 61 题型03: 根据不等式恒成立求参数范围 64 题型04:数列不等式存在求参数取值范围 74 八：数列中的不等式证明问题 77 题型01: 直接求和证明不等式 77 题型02: 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 81 题型03:先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 83 题型04: 与导数有关的数列不等式. 90 题型05:数学归纳法证明数列不等式 94 九：子数列问题 96 十：插入项问题 98 十一：从小到大排列问题 102 十二：落入区间中项的问题 105 十三：取整问题 107 十四：数列与函数的交汇问题 110 十五：数列与导数的交汇问题 112 十六：数列与概率统计的交汇问题 120 十七：与三角函数结合 124 十八：数列与集合交汇问题 128 十九：数列与平面几何的交汇问题 131 二十： 数列中的结构不良题 132 二十一：数列新定义 134 • 试卷位置：通常位于解答题的第17题（第一道大题），属于“送分题”或“中档题”，旨在稳定考生心态。但在部分新高考卷或压轴题中，数列可能与不等式结合出现在第21或22题，难度极大。 • 分值占比：约10-12分（纯数列）+ 5分（选填小题）。 • 命题趋势： ◦ 传统考法：等差、等比数列的基本运算（a_n, S_n, d, q的互求）。 ◦ 新高考趋势：弱化复杂的裂项相消技巧，强化“函数与方程思想”和“数学建模”。常考查a_n与S_n的关系、数列的单调性与最值、不等式恒成立问题。 1. 基础目标： ◦ 熟练掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式。 ◦ 能够准确利用 an 与 Sn 的关系进行转化。 2. 能力目标： ◦ 运算求解能力：在“错位相减”和“裂项相消”中做到计算零失误。 ◦ 逻辑推理能力：能够识别递推公式的类型（如累加法、累乘法、构造法），并转化为基本数列求解。 3. 素养目标： ◦ 数学运算：通过复杂的代数变形化简式子。 ◦ 逻辑推理：利用数学归纳法或放缩法证明数列不等式。 一：等差等比数列 题型01：等差数列的性质 【典型例题】设是等差数列，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）是等差数列，，且，，成等比数列． ， ， 解得， ． （Ⅱ）由，，得： ， 或时，取最小值． 【变式训练1-1】记为数列的前项和，为数列的前项积，已知． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式． 【变式训练1-2】设数列的前项和为，，． （1）求证：是等差数列； （2）设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值． 【变式训练1-3】已知数列满足：关于的一元二次方程有两个相等的实根． （1）求证：数列成等差数列； （2）设数列的前项和为，，，求的最小值． 题型02：等差数列的前n项和 【典型例题1】记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列． 【答案】见解析 【解析】证明：设等差数列的公差为， 由题意得；， 则，所以， 所以①； 当时，有②． 由①②，得③， 经检验，当时也满足③． 所以，， 当时，， 所以数列是等差数列． 【变式训练2-1】记是公差不为0的等差数列的前项和，若，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求使成立的的最小值． 【变式训练2-2】记为等差数列的前项和．已知． （1）若，求的通项公式； （2）若，求使得的的取值范围． 题型03：等比数列的性质 【典型例题】已知数列满足：，． （1）当时，求数列中的第10项； （2）是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】（1）由已知， 所以， 相除得， 又， 所以， 所以； （2）假设存在正数，使得数列是等比数列， 由得， 由，得， 因为是等比数列，，即， 下面证明时数列是等比数列， 由（1）知数列和都是公比是的等比数列， 所以，； 所以为奇数时，，为偶数时，， 所以对一切正整数，都有， 所以， 所以存在正数使得数列是等比数列． 【变式训练3-1】记数列的前项和为．已知，且． （1）证明：是等比数列； （2）求． 【变式训练3-2】等差数列中，，，分别是如表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的，，组合，并求数列的通项公式； （2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 【变式训练3-3】已知数列的各项均为正数且均不相等，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等比数列： ②； ③是等比数列． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 题型04：等差数列与等比数列的综合 【典型例题1】已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为，结合条件求出，，从而得到其通项公式； （2）根据等差数列前和公式，即可求解； （1）设等差数列的公差为， 由题意知，，， 即，化简得． 所以数列的通项公式． （2）由（1）可知， 所以； 【典型例题2】已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解析】 （1）根据等差数列通项公式即可求出； （2）根据等比数列的通项即可求解； （3）根据等比数列的求和公式以及等差求和公式，结合分组求解计算即可. （1）因为是公差为2的等差数列，， 所以. （2）因为，数列是公比为2的等比数列， 所以. （3）由（1）（2）得， 由于的首项为，故的前项和为， 的首项和公比均为2，故前项和为， 故的前项和. 【典型例题3】已知是等差数列，，. (1)求的通项公式和； (2)已知为正整数，记集合的元素个数为数列.若的前项和为，设数列满足，，求的前项的和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）首先通过等差数列基本量的计算得首项，公差，进而得通项公式并求和. （2）首先得，，结合裂项相消法即可得解. （1）由题意，（分别是首项，公差），解得， 所以的通项公式为， 所以. （2）由题意且为正整数，即，所以， 所以， 所以， 所以的前项的和为 . 【典型例题4】已知等差数列的首项，公差．记的前项和为． （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）因为等差数列的首项，公差， 因为，可得，即， ，即， 整理可得：，解得， 所以， 即； （Ⅱ）因为对于每个，存在实数，使，，成等比数列， 则，， 整理可得：，则△恒成立在， 整理可得， 当时，可得或，而， 所以的范围为； 时，不等式变为，解得，而， 所以此时，， 当时，，则符合要求， 综上所述，对于每个，的取值范围为，，使，，成等比数列． 【变式训练4-1】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【变式训练4-2】已知各项均为正数的数列，其前项和为，． （1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式； （2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值． 【变式训练4-3】已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 【变式训练4-4】已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式训练4-5】已知数列和，其中，，数列的前项和为． (1)若，求； (2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式． 【变式训练4-6】设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练4-7】已知数列是首项等于的等比数列，公比，是它的前项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设（，为常数）求数列的前项和的最值． 【变式训练4-8】已知数列的前项和为，且为正整数． (1)证明：是等比数列； (2)当取到最小值时，求的值．(参考数据：) 【变式训练4-9】已知数列的首项，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求使不等式成立的最小正整数n. 【变式训练4-10】已知等差数列​和等比数列​满足​，​，​. (1)求​的通项公式； (2)求和：​. 【变式训练4-11】已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定. (1)若，写出及的值； (2)若数列是等差数列，求数列的通项公式； (3)设集合，求证：且. 【变式训练4-12】约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为. (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若构成等比数列，求正整数； (3)记，求证：. 【变式训练4-13】在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为的“等比子列”．已知等差数列，其各项与公差均不为零． (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为．当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”． 【变式训练4-14】记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”. (1)已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由； (2)已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围； (3)若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有. 二：数列递推式 【模板01】题中有有，可用求通项公式 【模板02】已知用累加法求通项公式 【模板03】已知用累乘法求通项公式 【模板04】已知用求通项公式 【模板05】已知用求通项公式 【模板06】已知用求通项公式 【模板07】已知用求通项公式 【模板08】已知用求通项公式 【模板09】已知用求通项公式 【模板10】已知用求通项公式 【典型例题1】设是等差数列，是等比数列，且． （1）求与的通项公式； （2）设的前项和为，求证：； 【答案】见解析 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， ，， 解得， ，． （2）证明：， 要证明， 即证明， 即证明， 即证明， 由数列的通项公式和前项和的关系得：， ． 【典型例题2】记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【典型例题3】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】见解析 【解析】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2） 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【典型例题4】已知数列的前项和为，，且． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立， 求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）由 可得， 两式作差，可得：， ， 很明显，， 所以数列 是以为首项，为公比的等比数列， 其通项公式为：． （Ⅱ）由，得， ， ， 两式作差可得： ， 则． 据此可得 恒成立，即 恒成立． 时不等式成立； 时，，由于时，故； 时，，而，故：； 综上可得，． 【变式训练1】已知数列的首项，且满足． 【变式训练2】设等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前项和．若，求． 【变式训练3】已知数列和满足，，，． （1）证明：是等比数列，是等差数列； （2）求和的通项公式． 【变式训练4】设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足求． 【变式训练5】数列中，，． （1）求的通项公式； （2）求满足的的最大值． 【变式训练6】数列中，，，且， (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，且满足，，求． 【变式训练7】已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)证明：. 【变式训练8】记数列的前n项和为，已知． (1)若，证明：是等比数列； (2)若是和的等差中项，设，求数列的前n项和为． 【变式训练9】已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式训练10】已知数列的首项，前项和为．设和为常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列． （1）若等差数列是“”数列，求的值； （2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； （3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 三：分段数列问题 【典型例题】已知为实数，数列满足. (1)当和时，分别写出数列的前5项； (2)证明：当时，存在正整数，使得； (3)当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)当时， 当时， (2)证明见解析； (3)存在，与， 【解析】（1）利用递推公式，依次求出的值. （2）当时，，此时数列为递减的等差数列，且公差为，故总有一项是不大于的，根据这一项在之间讨论，结合数列的递推公式，判断出正整数存在 （3）将分成三类，求得的表达式，，，使得，不存在实数，使得，，，使得. （1）当时， 当时， （2）当时，， 在数列中直到第一个小于等于的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列 即 当足够大时，总可以找到，则存在正整数，使得 （i）若，令，则存在正整数，使得 （ii）若，，则 令，则存在正整数，使得 综上所述，则存在正整数，使得. （3）①当时， 当时， 当时， 令，而此时为奇数，成立，又不成立，所以存在正整数，使得. ②当时， 所以数列的周期为， 当时， 当时， 当时， 当时， 所以 所以或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数，使得 ③当时， ，当时， 综上所述，当与，时，. 【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列的通项公式，考查递推数列求和，考查分类讨论的数学思想方法，属于较难题目. 【变式训练1】已知数列满足：，且.记集合. (1)若，写出集合的所有元素； (2)若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； (3)求集合的元素个数的最大值. 题型01：分组求和——公式法 【典型例题】已知等差数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用等差数列的概念计算公差，再求通项即可； （2）利用等差数列、等比数列的求和公式，分组求和计算即可. （1）由题意可知，所以， 设的公差为d，则，所以； （2）由题意知，， 易知， 故. 【变式训练1-1】已知数列，，． (1)证明：数列，为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【变式训练1-2】已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式训练1-3】已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【变式训练1-4】已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【变式训练1-5】已知数列是等差数列，且，设数列前项和为，数列满足. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 【变式训练1-6】已知等差数列的前项和为，，再从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答. 条件①：；条件②：；条件③：. (1)求数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求数列的前项和. 【变式训练1-7】已知等差数列的前项和为，其中，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式训练1-8】已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，． (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练1-9】设数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)对于任意的正整数，，求数列的前项和． 题型02：分组求和——奇偶分段型 【典型例题1】已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）直接根据等差数列，等比数列基本量的运算即可得结果； （2）分为奇数项和偶数项结合等差数列和等比数列的前项和即可得结果. （1）由于等差数列的首项为1，公差 所以， 由数列为公比是2的等比数列且成等差数列， 知，解得，所以. （2）由（1）知，， . 【典型例题2】已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，．(1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）设出公差和公比，根据等差数列和等比数列的基本量运算，列出方程组，解之即得数列通项； （2）根据数列的奇偶性特征，运用分组求和法计算，利用等差数列和等比数列的求和公式计算即得. （1）设数列的公差为，数列的公比为， 则由可得，，解得：故 （2）由（1）得，，， 则 【变式训练2-1】已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式训练2-2】已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前100项和． 【变式训练2-3】已知数列满足. (1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式训练2-4】已知等比数列的前项和为，，且成等差数列. (1)求； (2)设，是数列的前项和，求； (3)设，是的前项的积，求证：（为正整数）. 【变式训练2-5】 已知数列满足，. (1)记，写出、，并求数列的通项公式； (2)求的前项和. 【变式训练2-6】是等差数列的前项和，数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为． ①求； ②若集合且，求集合中所有元素的和． 【变式训练2-7】数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式训练2-8】已知数列的各项均为非负实数，且对任意正整数，均有. (1)若成等差数列，证明：存在无穷多个正整数，使得； (2)若，求的最大值. 【变式训练2-9】已知数列满足,. (1)记,写出,,,,并猜想数列的通项公式; (2)证明（1）中你的猜想; (3)若数列的前n项和为,求. 【变式训练2-10】设正项数列的前n项和为，已知，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 题型03：分组求和——正负相间型 【典型例题1】设为数列的前项和，已知，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的前项和等于，求数列的前项和. 【答案】(1)(2)当n为奇数时，；当n为偶数时，. 【解析】（1）利用的关系先求得递推公式，然后由累乘法可得； （2）根据已知列方程可得的通项公式，然后分n为奇数和偶数对的前n项和. (1)因为…①所以当时，…② ①-②可得：，整理可得 则 所以，所以当时 易知时上式也成立，所以数列的通项公式为 (2)记等差数列的公差为d，由题可得，即 所以，解得，所以所以 所以 当n为奇数时，； 当n为偶数时，. 【典型例题2】设数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的表达式． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）根据通项与前n项和的关系可得，再根据求解即可； （2）先化简，再根据求解即可. （1）当时，，所以． 当时，，．两式相减得：，即． 故.故. （2）因为，令，则， ∴{bn}为等差数列． ∴． 【典型例题3】已知数列满足（是常数）. (1)若，证明是等比数列； (2)若，且是等比数列，求的值以及数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2), 【解析】（1）根据等比数列的定义证得结论成立. （2）利用分组求和法以及对进行分类讨论来求得. （1）依题意，， 当时，， 所以数列是首项，公比为的等比数列. （2）依题意，，，且是等比数列， 则， ， 所以，而，故解得， 则，所以等比数列的公比， 则， 所以， 所以，当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上所述，. 【变式训练3-1】已知数列的各项均为正数，前项和为，若． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值． 【变式训练3-2】已知数列满足，且． (1)求及数列的前项和； (2)记，数列的前项和为，求. 江苏省宿迁市沭阳县建陵高级中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题 【变式训练3-3】已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 【变式训练3-4】已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前100项的和. 【变式训练3-5】已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，， 是数列的前项和.求 【变式训练3-6】设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式训练3-7】已知数列前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 题型04：裂项相消——函数型 【典型例题】已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）利用作差法得到，即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证. （1）因为，当时，所以； 当时， 所以，所以，经检验当时也成立， 所以. （2）由（1）可得， 所以，当时，， 且， 所以单调递增，所以． 【变式训练4-1】已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 【变式训练4-2】设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 【变式训练4-3】已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论. 题型05：裂项相消——指数型 【典型例题1】已知数列的前项和为，，． (1)请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列的通项公式；②求； (2)令，求数列的前项和，并证明． 【答案】(1)选择见解析；答案见解析 (2)，证明见解析 【解析】（1）选择①，分类讨论和，利用作差法得，从而根据等比数列定义求出；选择②，由，转化为，进而得到，从而根据等比数列定义求出； （2）利用裂项相消求和得到，再利用放缩法证明即可. （1）选择①， 由已知可得：当时，，当且时，， ，易知，则，又不符合上式， . 选择②， ，，，易知，则．又， 是以2为首项，2为公比的等比数列．. （2）由（1）可知，， ， ， ， ，，. 【典型例题2】已知数列的前项和满足. (1)求数列的通项； (2)记，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意化简得到，由，求得，结合得到数列的通项公式； （2）由（1）知，当时，得到，结合裂项法求和，得到，进而证得. （1）解：由，可得，两式相减得， 又由，可得，即，解得， 可得当时，所以数列的通项公式为. （2）证明：由（1）知，当时，. 当时，， 所以 ，即. 【典型例题3】设数列的前n项和为，． (1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式． (2)若数列的前m项和，求m的值， 【答案】(1)证明见解析，(2)7 【解析】（1）利用数列中与的关系，得，可证明数列为等比数列，可求数列的通项公式． （2）利用裂项相消求数列的前m项和，由求m的值. （1）因为，所以当时，，解得． 当时，，则， 整理得，故，， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以．所以 （2），数列的前m项和 ， 则，则，则，解得，故m的值为7． 【变式训练5-1】已知数列的前项和为，且是首项为4，公比为2的等比数列. (1)求； (2)求证：数列的前项和. 【变式训练5-2】已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：. 【变式训练5-3】设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型06：裂项相消——无理根号型 【典型例题1】已知数列是等差数列，且是数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和，求证：. 【答案】(1)(2)答案见解析 【解析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可； （2）先求出，再求出，后裂项相消，求出，结合不等式性质证明即可. （1）由于则， 则，因此，故数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 则，即. ，由于，则，故成立. 【典型例题2】设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）根据条件式结合等差数列的前n项和公式，得出，进一步得出的二元一次方程，解出即可求得的通项公式； （2）由（1）可得，进一步得出，再采用裂项法即可求得. （1）由，得， 又，所以，当时，，当时，，解得， 所以，故的通项公式为. （2）由（1）可知，所以， 故. 【变式训练6-1】已知函数，． (1)若在处取得极值，讨论的单调性； (2)设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； (3)设，证明：． 【变式训练6-2】已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围； (3)记，求证：． 题型07：裂项相消——分子分母齐次分离型 【典型例题】设数列为等差数列，前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1）可得，根据裂项相消法计算可得，即可证明. （1）， 由， 所以， 所以． （2） 所以 【变式训练7-1】设正项数列的前n项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【变式训练7-2】设是正项数列，且其前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【变式训练7-3】数列中，，，设. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数. 题型08：裂项相消——等差指数混合型 【典型例题】已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)(2)． 【解析】（1）由题意进行因式分解，求得，再根据与的关系式求得通项公式； （2）由代入求得，结合裂项相消法求和得出结果. （1）由题意，得，又，所以，从而． 当时，．由于不符合上式， 故 （2）由（1）知当时，， 所以当时， ．又也适合上式，所以． 【变式训练8-1】已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求与； (2)设，求数列的前n项和． 【变式训练8-2】已知数列满足． (1)计算，并求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【变式训练8-3】已知数列的前项和为，且满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 题型09：裂项相消——正负相间裂和型 【典型例题】已知为正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前10项和． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）已知与的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对时进行检验，得到数列是等差数列，从而写出通项公式； （2）根据得到，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10项和. （1）由题意知：，即， 当时，，两式相减，可得， 因为，可得． 又因为，当时，，即， 解得或（舍去），所以（符合）， 从而，所以数列表示首项为3，公差为2的等差数列． 所以数列的通项公式为． （2）由题意得， 所以 ，所以. 【变式训练9-1】已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【变式训练9-2】设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”． (1)若，判断数列是否是“数列”； (2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”， ①求的值； ②设为数列的前项和，证明： 【变式训练9-3】已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 题型10：裂项相消——三角函数型 【典型例题】已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）利用递推公式可证得数列是等差数列，可求出数列的通项；利用等比数列的性质，可求出通项； （2）根据裂项相消和分组求和法求解即可； （1）由题设，当时或（舍）， 由，知， 两式相减得， （舍）或，即， ∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，． 又． （2） 则 当n为偶数时，；当n为奇数时，． 所以. 【变式训练10-1】已知在数列中，. (1)求数列 的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2024项和. 【变式训练10-2】已知数列的前n项和为，，， (1)求； (2)若，求数列的前1012项和． 【变式训练10-3】已知. (1)求； (2)证明：是等差数列，并求出； (3)设，求的前项和. 题型11：倒序相加型求和 【典型例题1】已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2)(3) 【解析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. （1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 【典型例题2】在等差数列中， (1)若首项为公差为，求（注意：请写出推导过程）； (2)若，，，求； 【答案】(1)证明见解析(2)9 【解析】（1）运用倒序相加法及等差数列通项公式、等和性证明即可. （2）代入公式中求解即可. （1）证明：因为为等差数列，所以由等差数列的等和性可知，， 又，① ，② ①+②得：， 所以， 又因为， 所以. 即. （2）因为，所以，解得（舍负）. 故. 【变式训练11-1】已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【变式训练11-2】设函数，设，． (1)计算的值． (2)求数列的通项公式． 【变式训练11-3】已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数 【变式训练11-4】已知函数. (1)若对任意的恒成立，求t的取值范围； (2)设且，证明：. 【变式训练11-5】记为等差数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，记为数列的前项和，求的值. 【变式训练11-6】设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值； (2)若且求； 【变式训练11-7】已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 【变式训练11-8】已知 （1）若，求； （2）若，求除以5的余数 【变式训练11-9】已知数列满足：，数列满足.(1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【变式训练11-10】已知函数． (1)求与，与的值； (2)由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想； (3)求的值． 题型12： 错位相减求和 （一）等差等比 【典型例题1】已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）根据给定条件，变形等式，利用等比数列定义判断作答. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求解作答. （1）在数列中，因，则， 于是得，因此数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以． （2）由（1）知，， 则， 于是得， 两式相减得： ， 所以. 【典型例题2】已知数列，，，设，数列，的前项和分别为，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由已知数列为等比数列，可求通项和前项和； （2）由数列的通项可知，前项和用错位相减法. （1）∵，即，又，∴数列是首项为2公比为2的等比数列， 则，得. （2）由（1）得：， ∴① ② ①-②得：， ∴. 【变式训练12-1-1】设数列的前项和为，且，，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 【变式训练12-1-2】已知为正项数列的前项的乘积，且 (1)求数列的通项公式 (2)令，求数列的前项和. 【变式训练12-1-3】已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为． （二）等差/等比 【典型例题1】已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时加3，可证明等比数列. （2）利用错位相减法求和即可. （1）由得，即， 又，， 数列为以2为首相，2为公比的等比数列； （2）由（1）得， ， 【典型例题2】已知数列满足，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用“退一作差”法求得. （2）利用错位相减求和法求得. （1）依题意， 当时，， 当时，由， 得， 两式相减得， 也符合上式，所以. （2）， ， 两式相减得， . 【变式训练12-2-1】已知数列中，，设为前项和，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【变式训练12-2-2】若数列的前n项和为，且，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【变式训练12-2-3】已知数列的首项，设为数列的前项和，且有. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式训练12-2-4】已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【变式训练12-2-5】设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． （三）错位相消（插入数型） 【典型例题1】记数列的前项和为，已知，是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设为数列落在区间，内的项数，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据和的关系，相减法即可求得数列的通项公式； （2）由得，进而得到，则，再应用错位相减法即可. （1）当时，，所以， 所以①，当时，②. 由①-②整理得. 当时，满足上式，所以数列的通项公式为. （2）由题意知，所以， 所以，故. 由题可知，得， 则③，④， ③-④得，所以. 【典型例题2】各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立． (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，可得，进而可得，再利用退一相减法可得； （2）利用等差数列等差中项的性质可得，再利用错位相减法可得前项和. （1）由，得，所以， 所以，当时，， 所以，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以； （2）由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列， 所以，设数列的前项和为， 则， ， 所以， 所以. 【变式训练12-3-1】已知数列满足，其前项和为；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)分别求出，. 【变式训练12-3-2】已知数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项； (2)设数列满足，记的前项和为． ①求； ②若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练12-3-3】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 题型13：绝对值求和 【典型例题1】已知数列，满足，，且． (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)130 【解析】（1）由题可知,,都有, 数列是等差数列, 设的公差为, （2）由(1)可知，令，则, 当时，， 当时,, 【典型例题2】已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足． (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)求； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)． 【解析】（1）证明：，， ，，， ， 又由，是以1为首项，1为公差的等差数列； 所以， （2）因为， 且，所以． （3）由（2）知，所以时，；时，， 记数列的前项和为，则，从而 当时，； 当时，， 所以． 【变式训练13-1】在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【变式训练13-2】在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求的值. 【变式训练13-3】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型14：取整函数型求和 【典型例题】已知正项数列的前项和记为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，．当时，求的值． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）由数列的递推式，推得是首项为2的常数列，可得所求； （2）由数列的裂项相消求和，以及的定义，结合等差数列的求和公式，可得所求和． （1）解：因为是正项数列，即， 因为，且， 当时，，则； 当时，由，可得， 两式相减可得， 整理得，即有， 又因为，所以数列是首项为2的常数列，则，所以， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）得，则， 所以， 则， 可得，，当时，，则， ， 整理得，即， 因为，所以． 【变式训练】已知数列 满足 (1)求的通项公式； (2)设，数列 的前n项和为，求 .（其中表示不超过x的最大整数） 题型15：周期与类周期求和 【典型例题】已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前2024项和． 【答案】见解析 【解析】（1）依题意， ， 则化为， 而，则，因此， 所以数列为常数列. （2）由（1）知，，由，即是以6为周期的周期数列，令， 所以数列的前2024项和 . 【典型例题】已知数列满足，. (1)求的值； (2)求数列的前30项和. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，则，， ， 所以. （2）由（1）知， ， ， . 【变式训练15-1】已知数列满足（为实数），，求． 【变式训练15-2】已知数列的前项和为，，，，其中为常数． （1）证明：数列是等差数列； （2）是否存在实数λ，使得为等差数列？并说明理由； （3）若为等差数列，令，求数列的前项和． 【变式训练15-3】已知数列满足，，． (1)求，，，并写出一个符合题意的的通项公式（不需要证明）； (2)设，记为数列的前项和，求． 【变式训练15-4】已知正项数列满足，且，. (1)已知，求的通项公式； (2)求数列的前2023项和. 【变式训练15-5】在无穷数列中，，且，记的前n项和为. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）证明：中必有一项为1或3. 题型16：奇偶并项求和 【典型例题1】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】见解析 【解析】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【典型例题2】记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由是与的等差中项,可得，化简得，可得，作差可得，则可得的通项公式； （2）由（1）得，，分组求，可得，可得，即可得证. （1）由题意，得， 即，即①， 所以②， ①-②，得， 即. 又，所以. 由是与的等差中项，得当时， ，解得， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 故. （2）由（1）得，则 ， 所以 ， 所以， 所以. 【变式训练16-1】数列满足，. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练16-2】已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式训练16-3】已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且. (1)求数列的通项和数列的通项； (2)若，求数列的前项和. 【变式训练16-4】已知数列的前项和为，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练16-5】已知正项数列满足且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项的和． 【变式训练16-6】已知等比数列的公比，满足：. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练16-7】设数列的前项和为，且满足，是公差不为的等差数列，，是与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求数列的前项和． 【变式训练16-8】已知数列是等差数列，它的前项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求． 五：数列的单调性 【典型例题】对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列. (1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列； (2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立； (3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）根据数列的数列相关条件即可得出所有的数列； （2）利用反证法，假设不存在使得成立，得出与假设不成立，即可得出结论； （3）通过证明得出为单调递增，再通过为单调递增数列证明为单调递增数列，即可得出结论. （1）由题意， 各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列为： ，，， （2）由题意， 假设不存在使得成立， 根据数列定义可知，， 所以，则， 即， 所以，所以，这与已知矛盾， 故若此数列中存在使得， 则存在使得成立． （3）由题意， 必要性： ，，， 则． 因为为单调递增数列， 所以对所有的，或， 否则． 因此，所有的同号或为，即， 所以为单调递增数列． 充分性： 因为为单调递增数列，，且， 所以只能，所以同号或为， 所以对所有的，或， 所以． 所以，即为单调递增数列． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，数列的单调性证明，反证法，考查学生的分析证明能力，具有较强的综合性. 【变式训练】若数列 满足，则称为数列．记 ． (1)写出一个满足，且的数列； (2)若，证明数列是递减数列的充要条件是； (3)对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由. 六：数列的最值问题 【典型例题】对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为. (1)写出所有满足的数列； (2)对所有满足的数列，求的最小值； (3)对所有满足的数列，求的最大值. 【答案】(1)1，2，1或3，1； (2)7； (3)511566. 【解析】(1)由题意可直接列举出数列； (2)由题意可得，分、和分别求的最小值即可得答案； (3)由题意可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有，所以，再利用二次函数的性质求的最大值即可. （1）解：当时，存在一组，满足， 又因为的各项均为正整数，且， 所以，即，且， 当时，满足条件的数列只能是：3,1； 当时，满足条件的数列不存在； 当时，满足条件的数列不存在； 当时，满足条件的数列只有1，2，1； 当时，满足条件的数列不存在； 所以数列： 1，2，1或3,1； （2）解：由题意可知，所以， ①当时，应有数列中各项均不相同，此时有； ②当时，由于数列中各项必有不同的数，进而有. 若，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时，不符合， 所以； ③当时，同②可得； 综上所述，有，同时当为2，2，1，1，1时，， 所以的最小值为7； （3）解：①存在大于1的项，否则此时有； ②,否则将拆分成个1后变大； ③当时，有，否则交换顺序后变为，进一步有， 否则有，此时将改为，并在数列末尾添加一项1，此时变大； ④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列中有存在相邻的两项，设此时中有项为2，则将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为； ⑤由上可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有， 从而有， 由二次函数的性质可得，当且仅当时，最大，为511566. 【点睛】关键点睛：本题考查了有穷数列的前项和及满足集合中元素的个数，属于难点，在解答每一小问时，要紧扣还是一个正整数数列，进行逻辑推理，从而得出结论. 【变式训练】已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记. (1)若数表，，请直接写出B，C是否是典型表； (2)当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由； (3)求的最小值. 七 ：数列与不等式 题型01： 比较大小 比较的大小,通常作差,转化为判断与0的大小,若,也可以转化为判断与1的大小. 【典型例题】已知数列的前n项和,且满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为,比较和的大小. 【答案】见解析 【解析】（1）因为 当时, 又因为时,也满足上式 所以当时,, （2）由,得 当时, 当时,,. 综上所述：当时,,当时,. 【变式训练1-1】已知函数. (1)若函数在点处的切线在两坐标轴上截距相等，求的值； (2)（i）当时，恒成立，求正整数的最大值； （ii）记，，且.试比较与的大小并说明理由. 题型02：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求n的范围 此类问题,一般先把所给数列不等式转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数、数列性质求解. 【典型例题1】已知数列满足,且． (1)设,证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为,求使得不等式成立的n的最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：∵, ,,,, 又, ,, ,, 又,,, ,即,, 又, ,, ∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列． （2）由（1）可知数列是以2为首项,2为公比的等比数列, ,即, ,, ,又, , 即, , , , 在是一个增数列, , , ∴满足题意的n的最小值是20． 【典型例题2】已知数列满足记数列的前项和为, (1)求证：数列为等比数列,并求其通项； (2)求； (3)问是否存在正整数,使得成立？说明理由. 【答案】见解析 【解析】（1） , 即, 所以, （2）,所以, 当为奇数时,可令, 则 , 当为偶数时,可令 则； （3）假设存在正整数,使得成立, 因为,, 所以只要 即只要满足①：,和②：, 对于①只要 就可以； 对于②,当为奇数时,满足,显然不成立, 当为偶数时,满足,即 令, 因为 由于的对称轴为,故在且为偶数,单调递减, 当时,,故 即,且当时,最大,且最大值为, 因此,, 所以当为偶数时,②式成立,即当为偶数时,成立 . 【变式训练2-1】已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值． 【变式训练2-2】已知为等差数列，公差为d，是公比为2的等比数列，且，． (1)证明：； (2)求集合的子集个数． 【变式训练2-3】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，，求满足条件的的最小值. 【变式训练2-4】已知数列满足，且 (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 【变式训练2-5】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55． (1)求an、Sn； (2)若数列的前n项和Tn，求满足的最小正整数n． 【变式训练2-6】已知数列的前项和(为常数)，且构成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值. 题型03: 根据不等式恒成立求参数范围 不等式恒成立问题,通常通过分离参数,把问题转化为或的形式,再利用数列单调性或函数单调性,求的最值,然后确定的范围. 【典型例题1】已知为等差数列,且,． (1)求的通项公式； (2)若恒成立,求实数λ的取值范围． 【答案】间解析 【解析】（1）设数列 的公差为d,则根据题意可得, 解得,则． （2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到, 又恒成立,则恒成立, 设,则, 当时,,即； 当时,,则,则； 则,故, 故实数λ的取值范围为． 【典型例题2】已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）证明见解析，；（ii）;(2) 【解析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （ii）利用与的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得； （2）利用分组求和法求出，由变量分离法可得出，令，求出数列中最大项的值，即可得出实数的取值范围. （1）（i）时， ， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 故，故； （ii）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则. 所以，， ，① ，② ①②得， 因此，. （2）因为， 所以， ， ，恒成立，即， 所以，， 令，则， 由，即，解得， 因为，所以，， 故数列中，最大，所以，， 因此，实数的取值范围是. 【典型例题3】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4；(2)；(3). 【解析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． （1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； （2）由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； （3）设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 【典型例题4】记关于的不等式（）的整数解的个数为，数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式： (2)设，若对任意的，都有成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得，结合，可以求出的通项公式，再根据，计算数列的通项公式即可； （2）结合（1）知，，通过，得到，将分正偶数和正奇数两种情况分析讨论即可． （1）由，得， 因为，故，于是. 所以，易知，即. 当时，， 故，，当时，上式也成立， 所以，. （2）， 所以， 所以， 由，可得， 由于，若为偶数时，则， 由于，所以， 若为奇数时，则， 因为，所以， 所以． 故的取值范围为． 【典型例题5】已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）利用等差数列，等比数列代入计算； （2）利用错位相减法可得，讨论n的奇偶结合恒成立问题运算处理． (1)因为数列是等比数列，则可得，解得 所以． 因为数列是等差数列，且，，则公差， 所以． 故， (2)由（1）得：， 数列的前n项和为① 所以② 由①-②得：， 所以． 不等式恒成立，化为成立， 令且为递增数列，即转化为 当时，恒成立，取，所以． 当时，恒成立，取，，所以． 综上可得：实数的取值范围是． 【变式训练3-1】已知数列的前项和为，且满足．设，数列的前项和为． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-2】已知等差数列中，，前12项和. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记数列的前项和为，若不等式，对所有恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-3】设数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式． （2）设，是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值． 【变式训练3-4】已知数列的前n项和为，且． （1）求出数列的通项公式； （2）设数列满足，若对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围． 【变式训练3-5】已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设记数列的前项和为，求. (3)设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-6】已知数列中,,设为前项和,,已知数列,设的前项和． (1)求； (2)若对任意恒成立,求实数的取值范围． 【变式训练3-7】设为正项数列的前项和，满足. （1）求的通项公式； （2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围； （3）设（其中是自然对数的底数），求证：. 【变式训练3-8】已知数列是首项的等差数列，设. (1)求证：是等比数列； (2)记，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值. 【变式训练3-9】已知数列的前n项和为，满足： (1)求证：数列为等差数列； (2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【变式训练3-10】已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设的前项和为，求 （3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值． 【变式训练3-11】已知数列的前n项和为，． (1)求； (2)若，对任意的，，，求 的取值范围． 【变式训练3-12】已知等差数列 满足：的前n项和为 ． (1)求及 ； (2)令，若对于任意 ，数列的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围． 【变式训练3-13】已知数列的前n项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围． 【变式训练3-14】已知等比数列的前项和为，且，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-15】设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立. (1)求数列，的通项公式； (2)设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-16】已知数列、满足，，，﹒ (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 【变式训练3-17】已知正项数列的首项，前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【变式训练3-18】函数满足，，且与直线相切. (1)求实数，，的值； (2)已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-19】已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，． (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-20】已知数列的前项和为，满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，记为的前项和，求证：； (3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【变式训练3-21】已知数列的前n项和为，且，，． (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练3-22】已知函数满足，若数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-23】若为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和． (3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-24】已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【变式训练3-25】已知数列的前n项和为 (1)证明：数列{}为等差数列； (2)，求λ的最大值． 【变式训练3-26】27．已知数列的前项和为 (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-27】已知是等差数列，是等比数列（公比不为1），的前n项和，且， (1)求数列：，的通项公式； (2)设的前项和为.对于任意正整数，当恒成立时，求的最小值. 【变式训练3-28】已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-29】图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数. (1)设，求数列的通项公式； (2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由. 题型04:数列不等式存在求参数取值范围 【典型例题1】已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据，利用累加法求解； （2）根据存在，成立，由求解. (1)因为， 当时， ， 又满足上式， ∴； (2)由（1）知，∴， ∵存在，使得成立， ∴，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【典型例题2】已知数列满足． （1）求数列的前n项和； （2）若存在,使不等式成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）由知是等差数列，写出通项公式，再应用裂项相消法求； （2）将问题化为，结合单调性，求t的范围. （1）由题设有，即是等差数列， 又，得，故，则， 所以． （2）若存在,使不等式成立，只要． ， 所以是递增的，对于，， 于是只需， 解得或． 故满足条件的实数t为或. 【变式训练4-1】已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式训练4-2】设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求； (3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-3】设对任意，数列满足，，数列满足． (1)证明：单调递增，且； (2)记，证明：存在常数，使得． 【变式训练4-4】设函数. (1)求函数在点处的切线方程; (2)证明:对每个，存在唯一的，满足； (3)证明:对于任意，由（2）中构成的数列满足. 八：数列中的不等式证明问题 题型01: 直接求和证明不等式 【典型例题1】已知数列的首项,且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记,求数列的前项和,并证明． 【答案】见解析 【解析】（1）由得, 又,所以是首项为2,公比为2的等比数列． （2）由（1）知,,所以 所以, 当时,单调递增,故． 【典型例题2】设数列的前项和为,且． (1)求数列的通项公式． (2)设数列满足,且数列的前项和为,求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）依题意,由,可得, 当时,,解得, 当时,, 整理,得,, ∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴； （2）依题意及（1）,由可得, 则, , 两式相减,可得 , ∴,故得证． 【典型例题3】已知等比数列的各项都为正实数,. (1)求数列的通项公式； (2)设,数列的前项和为,证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）设等比数列的公比为, 因为,所以, 化简得,解得或（舍去）,所以； （2）证明：由（1）得, 所以, 所以, 所以 , 所以, 因为,所以. 【典型例题4】已知各项为正数的数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）利用公式，时，，代入化简得到数列的递推公式，即可求解通项公式； （2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式. （1）当时，，解得； 当时，由，得， 两式相减可得，，又， ，即是首项为，公差为的等差数列， 因此，的通项公式为； （2）证明：由可知，所以， ， 因为恒成立，所以， 又因为，所以单调递增，所以， 综上可得． 【变式训练1-1】已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，证明：． 【变式训练1-2】已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. 【变式训练1-3】已知是数列的前项和，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：． 【变式训练1-4】记数列的前n项和为，且满足（）. （1）求的通项公式； （2）求证：数列的前n项和. 【变式训练1-5】已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【变式训练1-6】已知为数列的前项和，，，记. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：. 【变式训练1-7】已知数列中，，点 ，在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）设，Sn为数列的前 n项和，试问：是否存在关于n的整式，使得恒成立，若存在，写出 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由. 【变式训练1-8】记为数列的前项和，已知．证明： (1)为等比数列； (2)． 【变式训练1-9】已知正项数列的前项和满足关系式. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明. 【变式训练1-10】设各项均为正数的数列的前项和为，满足，已知等比数列，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）记，数列的前项和．证明：对一切正整数，． 【变式训练1-11】已知数列满足，且. （1）证明：数列为等比数列； （2）记，是数列前n项的和，求证：. 题型02: 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 证明与前n项有关的不等式,若所给数列可以转化为等差（比）数列求和,或可以裂项求和,通常是先求和,再放缩. 【典型例题1】已知等比数列和等差数列,满足,,,． (1)求数列,的通项公式； (2)记数列的前项和为,数列的前项和为．证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）等比数列满足,,所以单调递增, 设的公比为,等差数列的公差为,依题意可得, 解得或（舍去）, 所以,． （2）由（1）可得, 所以 所以, 故, 又,, 即, 所以 ． 【典型例题2】已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求，并求证：. 【答案】(1)；(2)，证明见解析 【解析】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式； （2）利用列项相消求数列的前n项和为，再结合单调性即可求证； （1）等差数列公差为d，，且，，，成等比数列， 则有，解得， 所以 （2），， 所以数列的前n项和. 所以， 易知单调递增，同时， 所以当时取得最小值，同时， 所以 【变式训练2-1】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式训练2-2】已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和，且满足，求证：． 题型03:先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 此类问题,通常是所给数列无法求和,要先把所给数列放缩成等差（比）数列或可以裂项求和、错位相减法求和的数列,再求和,放缩时要观察待证结论,防止放缩过度或不足. 【典型例题1】已知数列满足． (1)证明是等比数列,并求的通项公式； (2)证明： 【答案】见解析 【解析】（1）因为,所以,且,则, 即,所以数列是首项为,公比为7的等比数列, 所以,则； （2）由（1）可知,, ,即,只有当时,等号成立, 所以,只有当时,等号成立, 当时,,成立, 当时,, 综上可知,. 【典型例题2】已知数列的前项和为,且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）当时,. 当时,,,两式相减得： . 所以是以为首项,以为公比的等比数列. 所以. （2）由（1）知： 所以. 当时,, 当时,,故, 所以. 【典型例题3】已知数列中，，为数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，为数列的前项和，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）利用的关系结合递推式可得，分奇偶项计算即可； （2）结合（1）的结论利用递推关系可得，再利用，放缩求证不等式即可. （1）由题意得，所以， 所以，所以，① 因此．② 由②-①，得，即， 因此或． 因为，所以，所以， 所以数列的奇偶项分别成等差数列，且公差为2． 又因为，得， 所以，．所以． （2）证明：由（1）知， 可得，两式相减，得，即． 又，所以．又， 所以，所以． 【典型例题4】已知数列满足：. (1)求证：数列和均为等比数列； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由，，两式相减结合累加法得，，再由等比数列定义证明即可； （2）先求出的通项公式，进而证明，从而得出，最后结合裂项相消求和法证明即可. （1）由，① ，② 将②-①得， 故当时，，，，…，， 累加得， 故， 当时，，符合题意， 故， 即，， 因此为以3为首项，9为公比的等比数列. 将代入①得，故为以9为首项，9为公比的等比数列. （2）由（1）知，，故， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 因此对任意，均有， 则. 当时，； 当时，. 【典型例题5】已知数列的前项和为，若，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意，利用求和公式的定义整理可得数列递推公式，结合累乘法，并检验，可得答案； （2）根据等差数列的求和公式整理可得新数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. （1），∴， ∴， 即， ∴，，…，， ∴， 即，∴． 由，令可得， ∴，验证符合上式，∴． （2）由（1）得，，， 显然； 可知当时，， ∴ ， 符合上式， ∴不等式得证． 【变式训练3-1】已知是等差数列,其前项和为是等比数列,已知,是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记,求证：. 【变式训练3-2】如图,已知点列在曲线上,点列在x轴上,,,为等腰直角三角形． (1)求,,；（直接写出结果） (2)求数列的通项公式； (3)设,证明：． 【变式训练3-3】已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式． (2)设数列前n项和为，求． (3)证明：，． 【变式训练3-4】记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列. （i）求的通项公式； （ii）设，证明：. 【变式训练3-5】表示正整数a,b的最大公约数.若,且,则将k的最大值记为,例如： (1)求; (2)设,数列 的前n项和为 证明： 【变式训练3-6】自然常数,符号,为数学中的一个常数,是一个无限不循环小数,且为超越数,其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”,以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位,是数学中最重要的常数之一,它的其中一个定义是.设数列的通项公式为,, (1)写出数列的前三项,,． (2)证明：． 【变式训练3-7】已知数列的前项和为，若，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【变式训练3-8】记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)求证：对于且，． 【变式训练3-9】已知数列满足：. (1)求证：数列和均为等比数列； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【变式训练3-10】已知数列中，，数列的前n项和为，且. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求证：. 【变式训练3-11】已知数列的前项和为，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）证明:当时， 【变式训练3-12】已知数列的前项和为，且满足， (1)求和 (2)求证：． 【变式训练3-13】已知数列，，，，，为数列的前n项和，为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）求证：． 【变式训练3-14】已知数列前n项积为，且． (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求证：． 【变式训练3-15】已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 题型04: 与导数有关的数列不等式. 求解此类问题,通常先利用导数证明一个不等式,再把不等式中的自变量用代换,通过累加或累乘法证明所给不等式. 【典型例题1】已知函数 (1)若函数在内点处的切线斜率为,求点的坐标； (2)①当时,求在上的最小值； ②证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）设点. 由于,则,得, 则,且,所以点的坐标为. （2）①, 则,记, 则 易知在上单调递减,且, ,即, 所以,当时,,在上单调递增； 当时,,在上单调递减. 因为, 所以时,,在单调递增, 所以,当时,取得最小值. ②由①可知,时恒成立,即恒成立. 设,则, 当时,,在上单调递增, 所以,所以, 又,所以, 取,则, ,得证. 【典型例题2】牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是的一个零点,任意选取作为的初始近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的1次近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的2次近似值．一般地,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,就称为的次近似值,称数列为牛顿数列． (1)若的零点为,,请用牛顿切线法求的2次近似值； (2)已知二次函数有两个不相等的实数根,数列为的牛顿数列,数列满足,且． （ⅰ）设,求的解析式； （ⅱ）证明： 【答案】见解析 【解析】（1） ,所以 当,所以 当, 所以的2次近似值为. （2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根, 所以不妨设, 则, 因为所以 所以在横坐标为的点处的切线方程为 令则 即, 所以. （ⅰⅰ）由（ⅰ）知, 所以. 因为所以所以. 令则,又 所以,数列是公比为2的等比数列. . 令,则 当时,,所以在单调递减, 所以,即 因为所以即. . 【变式训练4-1】已知函数,. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：对,恒成立（为的导数）； (3)设,证明：（）. 【变式训练4-2】帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为：,且满足：,,,…,．注：,,,,…已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a,b的值； (2)当时,试比较与的大小,并证明； (3)已知正项数列满足：,,求证：． 【变式训练4-3】已知函数,数列满足正整数 (1)求的最大值； (2)求证：； (3)求证：． 题型05:数学归纳法证明数列不等式 【典型例题1】设正项数列的首项为4，满足． (1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】(1)，；(2)见解析 【解析】（1）由首项及递推关系式逐次求得，再根据前三项总结规律猜想出数列的通项公式； （2）根据已知条件得到递推关系，利用递推关系按数学归纳法步骤证明即可. (1)由可得，又，则，， 则，猜想； (2)由（1）得，当时，， ①当时，猜想显然成立； ②假设当时成立，即； 当时，，猜想成立， 由①②知猜想恒成立，即. 【典型例题2】已知数列满足，前n项和． (1)求，，的值并猜想的表达式； (2)用数学归纳法证明（1）的猜想． 【答案】(1)，，，；(2)证明见解析. 【解析】（1）用赋值法即可求解，根据根据，，，猜想可得； （2）利用数学归纳法的步骤证明即可. (1)∵，前n项和， ∴令，得， ∴， 令，得， ∴． 令，得， ∴． 猜想． (2)用数学归纳法给出证明如下 ①当时，结论成立； ②假设当(，)时，结论成立， 即， 则当时，， ， 即， ∴， ∴， ∴当时结论成立．由①②可知， 对一切都有成立． 【变式训练5-1】设数列满足． (1)求的值并猜测通项公式； (2)证明上述猜想的通项公式． 【变式训练5-2】已知数列的前项和为，其中且. (1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法加以证明. 【变式训练5-3】用数学归纳法证明． 九：子数列问题 【典型例题】当，且时，我们把叫做数列的子数列．已知为正项等比数列，且其公比为． (1)直接给出与的大小关系． (2)是否存在这样的满足：成等比数列，且子数列也成等比数列？若存在，请写出一组的值；否则，请说明理由． (3)若，证明：当，时，有． 【解题思路】（1）直接通过下标的性质即可比较大小； （2）先假设存在这样的，然后利用题设推出矛盾； （3）利用及的定义即可得到，然后利用作差法、放缩法结合等比数列求和公式，即可证明. 【解答过程】（1）由题可知， . 故，显然不等号取等当且仅当. （2）不存在. 设. 假设存在这样的，则，从而，即. 而，故，即. 但成等比数列，设，则由知. 而，故，则. 这导致矛盾，所以不存在这样的. （3）设，则由可知. 注意到，且为正项等比数列，其首项、公比分别满足，， 此时我们有 ， 也就是说， 综上所述，当，时，有． 【变式训练1】已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质． (1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由； (2)已知数列． （ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值； （ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值． 【变式训练2】从中选取个不同的数，按照任意顺序排列，组成数列，称数列为的子数列，当时，把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列，称数列为的子二代数列． (1)若的子数列是首项为2，公比为2的等比数列，求的子二代数列的前8项和； (2)若的子数列是递增数列，且子二代数列共有项，求证：是等差数列； (3)若，求的子二代数列的项数的最大值． 【变式训练3】给定正整数k，m，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件，则称为数列．记数列的项数的最小值为． 条件①：的每一项都属于集合； 条件②：从集合中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是的子数列． 注：从中选取第项、第项、…、第项（其中）形成的新数列称为的一个子数列． (1)分别判断下面两个数列是否为数列，并说明理由： 数列； 数列； (2)求证：； (3)求的值． 十：插入项问题 【典型例题】已知等差数列，等比数列 (1)求的通项公式. (2)，求. (3)任意，在和之间插入个相同的数构成一个新数列，若给定一个，这个新数列项数满足（）.求这个新数列前项的和（用表示） 【答案】(1)；. (2) (3) 【解析】（1）求解基本量首项与公差、公比可得通项公式； （2）根据数列特点分组求和，一组裂项相消法求解，另一组用错位相减法可得； （3）根据题意确定新数列第n项位置，再按原等比数列项与插入项分两组分别求和可得. （1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由， 得，解得， 所以，则； 由，得， 则，解得，则. 故的通项公式为；的通项公式为. （2）当n为奇数时， ； 当n为偶数时， . 则 ； 设， 则， 两式相减得， ， 则， . 故 . （3）设新数列中是第t项， 由题意，在之前插入依次插入个数， 再加上原数列共k项， 可得， 则新数列中是第项，是第项.. 由， 故第n项在之间插入的数中，即， 即新数列前n项中，从第1项到这一项共项， 则与之间还有项， 则新数列前n项中原等比数列的各项之和为 . 新数列前n项中所有插入项之和为 . 下面先求数列的前k项和. ①当为偶数时，则k-1，k+1都为奇数， 因为， 则 ， 所以新数列前n项中所有插入项之和为 ； 所以这个新数列前n项的和； ②当为奇数时，则k+1为偶数，k+2为奇数， 则数列前k项和即为前k+2项之和减去第k+1项， 则 ， 所以新数列前n项中所有插入项之和为 ； 所以这个新数列前n项的和； 综上所述，这个新数列前n项的和. 【点睛】关键点点睛：解决本题目关键在于两点，一是第（2）问中通分逆用，裂项后求和；二是第（3）问中注意条件的转化，借助项数确定新数列第n项的位置. 【变式训练1】已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，，且是与的等差中项． (1)求：数列和的通项公式． (2)设，求. (3)若对于数列、，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【变式训练2】已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式及； （ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和． 十一：从小到大排列问题 【典型例题】已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，进而求出通项作答； （2）利用错位相减法求和； （3）利用（1）的结论，确定新数列前项中，数列所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答. （1）依题有， 因为，解得：，q=2，. 数列是等差数列，设其公差为d，， 解得：，. （2）数列的前n项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. （3）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为， 所以数列的前项由中的前n项和中的前项构成， 所以 . 【变式训练1】设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为（），，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和； (3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围. 【变式训练2】已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和； (3)，求数列的前项和． 【变式训练3】已知等比数列的前n项和为，公比，，，数列满足且，. （1）求和的通项公式； （2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前项和； （3）设数列的通项公式为：，，求． 十二：落入区间中项的问题 【典型例题】已知为等差数列，前项和为，若，；数列满足：，. (1)求和的通项公式； (2)对任意的，将中落入区间内项的个数记为. （i）求； （ii）记，的前项和记为，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)（i）（ii）存在，mt=9，理由见解析 【解析】（1）的通项通过基本量法求解，的通项通过令n=n-1，两式作商求解. （2）（i）求出即可得出答案； （ii）根据题意求出t和m的关系，在利用取值范围求出m和t. （1）， 所以， ① 当时，则② ①②得：，所以是公差为1的等差数列， 当n=1时有：，所以 （2）（i） 因为，所以，所以 （ii），把代入得：， 所以，， 所以 因为，，所以， 当t=1时，（舍去），当t=2时，（舍去）， 当t=3时，m=3，所以存在t,m，mt=9. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的基本量计算，数列与不等式的综合应用.解题的关键是设出公差，列式求解求得，进而通过得求出，此外，对于探究性问题，一般解法是先假设存在，再根据已知条件推出结论或矛盾，本题在解答过程中核心是借助化简整理得.考查数学运算求解能力，逻辑推理能力. 【变式训练1】已知为等差数列，为公比大于的等比数列，且，，，． (1)求和的通项公式； (2)，，求数列的前项和． (3)记为在区间中项的个数，求数列的前项和； 【变式训练2】已知为等差数列，为公比大于的等比数列，且，，，． (1)求和的通项公式； (2)记为在区间中项的个数，求数列的前项和； (3)，，求数列的前项和． 【变式训练3】已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求； （3）记为在区间中项的个数，求数列的前2021项和. 十三：取整问题 【典型例题】设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为（），，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和； (3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围. 【答案】(1)， (2)1097 (3) 【解析】(1)设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； (2)数列与数列都是递增数列，根据(1)可知在新数列中只有5项，其余45项为数列中项，分别计算数列前五项和与数列前45项和即可求解； (3)由，即可得，，令由值，可判断的单调性，计算出前五项，即可得的取值范围. （1）设等比数列的公比为q，等差数列的公差为d（）， 由已知条件得，即， 解得. （舍去）或， 所以， （2）数列与数列都是递增数列，n=5，，n=6，， ，， 新数列的前50项和为： （3）， 其中， 所以，， 集合，设， 则， 所以当n=1时，，当时，. 计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，. 【变式训练1】已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：； (3)表示不超过x的最大整数，； 求（i）； （ii）． 【变式训练2】已知数列是正项等比数列，是等差数列，且， (1)求数列和的通项公式; (2)，求数列的前项和. (3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围; 【变式训练3】已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，， 求①； ②. 【变式训练4】已知数列是正项等比数列，是等差数列，且， (1)求数列和的通项公式; (2)，求数列的前项和. (3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围; 十四：数列与函数的交汇问题 【典型例题】已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. （1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 【变式训练1】设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列． （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）记，，证明：，． 【变式训练2】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为． （1）求的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，． （ⅰ）证明：，1，2，，为等比数列； （ⅱ）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 【变式训练3】已知数列的前n项和为，n为正整数，且． (1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若点在函数的图象上，且数列满足，求数列的前n项和． 十五：数列与导数的交汇问题 【典型例题1】已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”． (1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”； (2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值； (3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【解析】(1)根据新定义的理解即可得出结果； (2)根据和等差数列的通项公式列出不等式组，即可解得公差的范围； (3)设长度为的“等比伴随数列”的公比为，将问题转化为对恒成立，对k的取值分类讨论，当时，构造函数，利用导数证明即可. （1）数列的一个长度为4的“等比伴随数列”为1,4，16,64（答案不唯一）. （2）由题意，， 即   ，则. 又数列符合题意，所以的最大值为3. （3）设长度为的“等比伴随数列”的公比为， 则对任意正整数，当时，都有成立， 即对恒成立. 当时，有； 当时，，即； 当时，有恒成立， 即当时，. 令当时，， 所以在单调递减，所以当4时，. 同理，令，则在上单调递减， 即4时，. 则，即. 令，当时，， 所以在上单调递减. 又由于， 所以，存在(6，7)，使得， 所以的最大值为6． 【点睛】对新定义的数列，要充分理解新定义的性质，结合等差、等比数列的相关知识找到题干中的等量关系，构造新函数，学会利用导数研究函数的单调性、最值，将未知的问题转化为熟悉的知识点，在平时的练习中，要注重培养函数思想、转化思想等. 【典型例题2】设整数，且，函数． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）通过求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，从而； （2）构造函数，求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最大值，从而，所以； （3）利用（1）（2）中的结论，，，得到， 放缩证明. （1）．因为，，所以单调递增． 因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以． （2）设，则，所以在上单调递减， 故，从而当时，． （3）由（1）知，所以，再利用， 于是 因此，． 【典型例题3】已知常数，设， (1)若，求函数在处的切线方程； (2)是否存在，且依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由． (3)求证：当时，对任意，，都有． 【答案】见解析 【解析】（1）求时，函数的导函数及，结合导数的几何意义可得切线斜率，利用点斜式求切线方程； （2）根据题意可得，，则，化简论证即可． （3）令，分析可得，要证明，只需证明， 令，，结合可得结论． （1）当时，， 则， 所以， 所以切线方程为； （2）若依次成等比数列，则， 若、、成等差数列，则， 所以，     所以， 当时，成立， 当时，则，联立，得， ，即，所以，与矛盾，     所以时，存在满足条件， 当时，不存在满足条件； （3），则，   要证明，又， 只需证明， 又 ，     所以只需证明， 令， 则 所以 ， 只需证明， 令， 则恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，     若，则，则恒成立， 所以当时，对任意，，都有． 【典型例题4】已知，且，函数. (1)记为数列的前项和.证明：当时，； (2)若，证明：； (3)若有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）直接利用等差数列、等比数列的求和公式计算即可； （2）利用导数研究的单调性与最值判定的单调性即可证明； （3）分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及极限思想计算即可. （1）由题意可知时，， 所以 ； （2）易知时，， 令， 显然时，时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故，所以在上单调递增， 又，所以时，时，， 故； （3）①若，易知定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意； ②若时，则时，， 时，， 由（2）可知：时，， 时，， 且，则函数只有一个零点，不符题意； ③由（2）知，时，在上单调递增，也不符题意； ④若，， 令， 显然时，时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 注意到，， 所以 使得， 即在和上单调递增，在上单调递减， 又时，，，， 所以在区间各存在一个零点，及也是一个零点，符合题意； 综上. 【典型例题5】已知函数，其中． (1)若，证明：时，； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值； (3)已知数列的通项公式为，求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明； （2）求导可得，分、和三种情况，结合导数分析单调性即可； （3）根据（1）（2）分析可得，进而可得，根据题意结合裂项相消法分析证明. （1）由题意可知：等价于，其中． 构建， 则， 可知在上单调递减，则时，， 所以时，． （2）由题意可知：， 则 ①若，则，由可得， 可知在上单调递减，不合题意； ②若，则， 可知 上为增函数，符合题意； ③若，则，由可得， 可知在上单调递减，不合题意； 综上所述：． （3）由（2）知：在上单调递增， 所以时，，即， 由（1）知：时，， 则， 所以时，， 令得：， 即， 因为， 所以， 由知：，又因为， 所以， 所以． 【变式训练1】已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明:； （3）试比较与 ，并证明你的结论． 【变式训练2】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若数列满足，记为数列的前项和．证明：． 【变式训练3】意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：. (1)求曲线在处的切线斜率； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围： (3)（i）证明：当时，； （ii）证明：. 【变式训练4】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若在的图象上有一点列，若直线的斜率为， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【变式训练5】已知函数，，. (1)判断是否对恒成立，并给出理由； (2)证明： ①当时，； ②当，时，. 【变式训练6】已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：对，恒成立（为的导数）； (3)设，证明：（）. 十六：数列与概率统计的交汇问题 【典型例题1】甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率； (2)投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； (3)设，求证：. 【答案】见解析 【解析】（1）分析事件“三次投掷骰子后球在甲手中”包括四类情况，由独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式即得； （2）经分析，满足递推公式，变形后转化成等比数列，即可求得通项； （3）将（2）代入化简得，利用裂项求和法得，再对分奇偶进行讨论，利用函数单调性求出和的范围即得. （1）依题意，球在甲手中时，保留在自己手中的概率为，传给乙的概率为； 球在乙手中时，传给甲的概率为，传给丙的概率为；球在丙手中时，传给甲和丙的概率都是. 则三次投掷骰子后球在甲手中包括四类的情况， 第一类情况：甲→甲→甲→甲，概率为； 第二类情况：甲→乙→甲→甲，概率为； 第三类情况：甲→乙→丙→甲，概率为； 第四类情况：甲→甲→乙→甲，概率为 由互斥事件的概率加法公式，三次投掷骰子后球在甲手中的概率为. （2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙， 故有，变形为. 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以数列的通项公式. （3）由（2）可得 ， 则 ① 当是奇数时，因是单调增函数，故，则， 于是，，故； ② 当是偶数时，因是单调减函数，故，则， 于是，，故. 综上，. 【典型例题2】甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)求的值． (2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率． (3)记． （i）证明数列为等比数列，并求出的通项公式． （ii）求的分布列及数学期望．（用表示） 【答案】见解析 【解析】（1）根据题意，弄清楚，表示的事件，利用互斥事件和独立事件的乘法公式计算概率； （2）由（1）知，交换一次不会出现的情况，而，利用间接法求得答案； （3）根据题意，可得，，由此可得与的递推关系式，变换可证是等比数列；由题意得的所有可能取值为，求出对应概率得解. （1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色卡片”的概率， 包含两种情况：第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片. 则． 所以； 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换银色卡片；第一次甲交换银色卡片， 第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片，乙交换金色卡片. 则 . （2）结合（1）的计算得，即交换一次不会出现的情况， 而，则操作两次就会首次出现0张，其概率为. （3）根据题意可得． ． （i） ， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． （ii）由已知及（1）（2），得的所有可能取值为． 其分布列为 0 1 2 从而. 【变式训练1】玩具柜台元旦前夕促销，就在12月31日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个. (1)记事件：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶；事件：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求及； (2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为. ①求； ②若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利30元，卖出一个乙系列的盲盒可获利20元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出1000个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案） 【变式训练2】某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数． (1)求消费者甲第2次获胜的概率； (2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 【变式训练3】某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励40元的奖券，抽到黑球则奖励20元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励20元的奖券．记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为． (1)求及的分布列； (2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列； (3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据：） 【变式训练4】在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小． 【变式训练5】甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率； (2)投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； (3)设，求证：. 十七：与三角函数结合 【典型例题1】已知是等差数列，其公差大于1，其前项和为是等比数列，公比为，已知. (1)求和的通项公式； (2)若正整数满足，求证：不能成等差数列； (3)记，求的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）根据题意，由等差数列与等比数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式，列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列的通项公式分别可得，再由等差数列的性质代入计算，即可证明； （3）根据题意，由数列的通项公式分别表示出，再由并项求和法代入计算，即可得到结果. （1）由题意. 联立即 代入整理，， . . （2）， 若成等差数列， 则有，即， 等式的左右两边同时除以， 可得， ， 为偶数，为偶数，而1是奇数， 等式不成立， 不能成等差数列. （3）， ， ， ， ， . 【点睛】关键点睛：本题主要考查了等差数列的判定以及求和公式的应用以及并项求和法，难度较大，解答本题的关键在于结合公式代入计算以及将三项合并求和. 【典型例题2】已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）由与的关系求数列的通项公式，由已知条件求的首项和公比，得通项公式； （2）求等差数列的前n项和为，作差法证明； （3）裂项相消求，错位相减求，可求的值． （1）由，得①，则②， ②-①得，整理得， 由，得， 又n=1时，，解得， 所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则， 即数列的通项公式为； 设等比数列公比为q，由，有，， 则， ，解得，则， 即数列的通项公式为. （2）由，得， 则， 所以. （3）设， ， ， 设，， 则， ， 两式相减，得 ， 则有，得， 所以. 【变式训练1】已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)若，求数列前项和． 【变式训练2】在数列中，．在等差数列中，前n项和为，，． (1)求证是等比数列，并求数列和的通项公式； (2)设数列满足，的前n项和为，求． 【变式训练3】设正项数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)记，是数列的前项和，求. 十八：数列与集合交汇问题 【典型例题】已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 【答案】(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析； (2)证明见解析； (3)8 【解析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可； （2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明； （3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可. （1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的，中最多有个元素， 所以； （3）由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的，为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为. 【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 【变式训练1】已知数列，为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合 ，中元素的最大值记为，最小值记为. (1)若为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且，写出，的值； (2)若，求的最大值及最小值； (3)若，求的最小值. 十九：数列与平面几何的交汇问题 【典型例题】已知等比数列的公比为，前项和为，，，． （1）求． （2）在平面直角坐标系中，设点，直线的斜率为，且，求数列的通项公式． 【答案】见解析 【解析】（1）设出等比数列的首项和公比，根据已知条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则通项公式可求； （2）根据题意表示出斜率关系，然后采用累加法求解出的通项公式. （1）因为等比数列的公比为，，， 由已知，，得， 解得或（舍）， 所以，． ， 由得，所以． 所以，． （2）由直线的斜率为，得，即， 由，，，，， 可得， 所以， 当时也满足， 所以，． 【变式训练1】已知抛物线，直线与交于两点，线段AB中点. (1)求抛物线的方程； (2)直线与轴交于点为原点，设的面积分别为，若成等差数列，求. 【变式训练2】已知是各项均为正数的等比数列，且，，等差数列的前项和为，且，. （1）求数列，的通项公式； （2）如图在平面直角坐标系中，点，，…，， ，，…，，若记的面积为，求数列的前项和. 【变式训练3】已知椭圆，点是椭圆上的动点，是左、右焦点，是的重心，且到点与点的距离之和为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过点，与椭圆交于A，B两点．若成等比数列，求的值． 二十： 数列中的结构不良题 【典型例题1】已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①：；条件②：.这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)数列的通项公式； (2)的最小值，并求当取得最小值时n的值. 【答案】见解析 【解析】（1）应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算即可求出通项公式； （2）先求出，再根据二次函数的性质可得取得最小值. （1）若选择①： 设等差数列的公差为d，由可得； 又，得，即， 解得，， 所以； 即数列的通项公式为. 若选择②： 设等差数列的公差为d，由可得； 又，即，得； 解得，， 所以； 即数列的通项公式为. （2）若选择①： 由可得，， 根据二次函数的性质可得当时，为最小值， 即当时，取得最小值，且最小值为. 若选择②： 由可得，， 根据二次函数的性质可得当或时，为最小值， 即当或时，取得最小值，且最小值为. 【变式训练1】已知数列，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列的前项和为（）；②数列的前项之积为（）. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式训练2】已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【变式训练3】已知等差数列的前项和为，且. (1)求等差数列的通项公式； (2)若各项均为正数的数列其前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设，求数列的通项公式和数列的前项和. 条件①：； 条件②：； 条件③：且都有成立，. 【变式训练4】设是数列的前项和，写出同时满足下列条件数列的一个通项公式: .   ①数列是等差数列； ②，； ③， 二十一：数列新定义 【典型例题1】如果项数相同的数列满足，且为奇数时，；为偶数时，，其中，那么就称为“互补交叉数列”，记为的“互补交叉数列对”，为的前项和. (1)若，且，写出所有满足条件的“互补交叉数列对"； (2)当为“互补交叉数列”时， （i）证明：取最大值时，存在； （ii）当为偶数时，求的最大值. 【答案】见解析 【解析】（1）根据所给定义列出符合题意的“互补交叉数列对"； （2）（i）假设存在，使且为奇数，不妨设，当存在为偶数），使得，对其进行一次变换，推出矛盾；若对任意的为偶数），都有，还是进行一次变换得到与上一种情况相同的问题，即可得证；（ii）令，记为的前项和，推导出，又，可得，再列出符合题意的“互补交叉数列对"，使得，即可得解. （1）因为，且时， 则满足条件的“互补交叉数列对”分别为. （2）（i）证明：若取最大值时，存在，使， 由题意知为奇数，不妨设. ①若存在为偶数），使得，则让的值变为初始的值，让的值变为， 这样所得到的新数列也是“互补交叉数列”， 但调整后的的前项和，与题设取最大值矛盾，所以存在； ②若对任意的为偶数），都有，交换让的值变为初始的值， 再让的值变为初始的值，所得到的新数列和也是“互补交叉数列”，此时转化为①的情况； 综上可知，存在正整数，使得. （ii）当为偶数时，令，对任意满足条件的“互补交叉数列对”， 一方面，， 因此①， 另一方面，， 因此， 即②， 记为的前项和，由①②得； 又，可得； 又“数列对”是“互补交叉数列对”， 且， 综上可知，当为偶数时，的最大值为. 【典型例题2】已知正整数，设，，…，，，，…，是个非负实数，.若对于任意，取，，，都有，则称这个数构成—孪生数组. (1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成—孪生数组； (2)求最小的，使得，，…，，，，…，构成—孪生数组； (3)若，且，，…，，，，…，构成—孪生数组，求的最大值. 参考公式：（i），当且仅当时取等；（ii）当正偶数时，设，有；当正奇数时，设，有 . 【答案】见解析 【解析】（1）根据—孪生数组的含义写出即可； （2）由题知，进而可以求出，再结合参考公式（i）即可证明； （3）由题知，结合（2）可得.再利用参考公式（ii）放缩，进而求解最大值. （1）根据—孪生数组的含义可知:构成—孪生数组，当然其答案不唯一; （2）若，由题知: 所以. 由参考公式（i），有， 记是数列中奇数项的和，即， 不妨设，则有 因为，解得，当且仅当时取等. 故最小的为12. （3）类比前问，得:. 由参考公式（ii），有 若为正偶数， . 由基本不等式，得. 当且仅当时等号成立. 所以，因为，解得; 同理，当为正奇数，解得， 由构成孪生数组，所以等号需要全部成立. 对于参考公式（ii），左边的项在右边全部出现，若等号成立，则其余项均需为0. 若，则等号直接成立. 不妨设，则， 当为正奇数时，； 当为正偶数时，若，则，不妨使，则此时仅，其余项均为0. 故. 所以 的最大值为4. 【典型例题3】对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”． (1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？ (2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式： (3)已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”． 【答案】见解析 【解析】（1）利用指数数列，构造一个加上正的常数，就可得到一个递增相伴数列，只需要检验前二项和最后三项； （2）由于有一个是等差数列，两数列相加也是等差数列，说明另一个数列还是等差数列，通过假设，就可以表示出两个数列的通项，进而引入后三项不等式进行分析，即可求出数列通项； （3）利用前面两小问，知道构造的数列比已知数列每项加1，再去证明即可. （1）由于，我们可以取，此时恒有， 再由，当时，， 所以恒有，即满足题意. （2） 设 , 当为的“无限递增相伴数列”时对任意恒成立 ，当时，，因为，所以， 即. （3）证明：取，若存在这样的正整数k使得 成立， 所以， 由，得， 于是， 又因为，所以当时，， 而时，， 所以，最后说明存在正整数k使得， 由， 上式对于充分大的k成立，即总存在满足条件的正整数k. 【典型例题4】我们把满足下列条件的数列称为数列： ①数列的每一项都是正偶数； ②存在正奇数m，使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数． (1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是数列； (2)若数列满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论； (3)已知各项均为正数的数列共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和． 【答案】见解析 【解析】（1）根据数列的定义证明即可； （2）由条件可以得到数列 是等比数列，再判断该数列是否满足数列的两个条件即可； （3）用赋值的方法可知数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 再对 进行化简，进而构造数列，进而再根据数列为数列进行求解. （1）若 是 数列, 则 都是正偶数, 设 ，则 若 , 则 除以 3 为 , 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾, 若 , 则 除以 3 为 , 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾, 若 , 则 除以 3 为 , 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾, 所以 不是 数列. （2）在 中, 令 , 得 , 所以数列 是首项为 8 , 公比为 8 的等比数列, 所以 , 因为 是正偶数, 所以数列 的每一项都满足题中条件 (1), 因为, 能被 7 整除, 所以 除以 7 的余数为 1 , 即数列 的每一项被 7 除余 1 , 一定不是正整数, 所以一定不是正偶数, 即数列 的每一项都满足题中条件(2), 所以数列 是 数列. （3）因为 , 所以 , , 得 . 因为 , 所以 , , 得 . 因为 , 所以 . 在 中, 分别令 , 得 , 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 所以 . 若数列 是 数列, 则 是正偶数, 除以 111 所得的商都不是正偶数, 因为 , 且 , 所以当 为 3 或 37 的正偶数倍时, 数列 不是 数列, 所以满足条件的所有两位数 值的和为 . 【变式训练1】若有穷数列且满足，则称为M数列． (1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由； ① 1，2，4，3． ② 4，2，8，1． (2)已知M数列中各项互不相同． 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列； (3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值． 【变式训练2】已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P； ①； ②对任意的、，与至少有一个是数列中的项． (1)分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由； (2)若数列具有性质，求证：； (3)若数列具有性质，且不是等比数列，求的值． 【变式训练3】若对，，当时，都有，则称数列受集合制约. (1)若，判断是否受制约，是否受区间制约； (2)若，受集合制约，求数列的通项公式； (3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论. 【变式训练4】已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”． (1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和； (2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505； (3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值． 【变式训练5】已知数列：，其中，且． 若数列满足，当时，或，则称：为数列的“紧数列”． 例如，数列：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8． (1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”； (2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为； (3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”．若数列A存在“强紧数列”，求的最小值．（用关于N的代数式表示） 【变式训练6】若有穷数列满足：，则称此数列具有性质. (1)若数列具有性质，求的值； (2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列； (3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在. 【变式训练7】给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中. (1)当，时，写出所有满足的数对序列； (2)当时，证明：； (3)当为奇数时，记的最大值为，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $第13讲数列解答题题型大全 目 录 思维导图 2 高考分析 学习目标… 3 题型归纳 3 一：等差等比数列 题型01：等差数列的性质… 题型02：等差数列的前n项和 6 题型03：等比数列的性质， .8 题型04：等差数列与等比数列的综合 12 二：数列递推式… 26 三：分段数列问题…。 40 四：数列求和. …44 题型01：分组求和—公式法. .…44 题型02：分组求和 奇偶分段型. 50 题型03：分组求和—正负相间型 62 题型04：裂项相消— 函数型 69 题型05：裂项相消 指数型 72 题型06：裂项相消 无理根号型、 76 题型07：裂项相消一分子分母齐次分离型 …80 题型08：裂项相消等差指数混合型… …83 题型09：裂项相消— 正负相间裂和型 86 题型10：裂项相消— 三角函数型， 90 题型11：倒序相加型求和 …93 题型12：错位相减求和 .101 (一)等差×等比 101 (二)等差/等比… .104 (三)错位相消（插入数型） 110 题型13：绝对值求和 114 题型14：取整函数型求和 117 题型15：周期与类周期求和 119 题型16：奇偶并项求和… 124 五：数列的单调性…… 134 六：数列的最值问题 137 七：数列与不等式 .141 题型01：比较大小. ...141 题型02：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求n的范围. 143 题型03：根据不等式恒成立求参数范围 .150 题型04数列不等式存在求参数取值范围 .183 八：数列中的不等式证明问题… 190 题型01：直接求和证明不等式 190 题型02：先求和再放缩，证明与前n项和有关的不等式… 204 题型03：先放缩，再求和证明与前n项和有关的不等式 …208 题型04：与导数有关的数列不等式 226 题型05数学归纳法证明数列不等式 233 九：子数列问题 237 十：插入项问题…。 .241 十一：从小到大排列问题… .250 十二：落入区间中项的问题 255 十三：取整问题. .261 十四：数列与函数的交汇问题… 269 十五：数列与导数的交汇问题。 273 十六：数列与概率统计的交汇问题 …290 十七：与三角函数结合… 300 十八：数列与集合交汇问题… 306 十九：数列与平面几何的交汇问题 .310 二十：数列中的结构不良题。 315 二十一：数列新定义… .320 思维导图 一：等差等比数列 十二：落入区间中项的问题 二：数列递推式 十三：取整问题 三：分段数列问题 十四：数列与函数的交汇问题 四：数列求和 十五：数列与导数的交汇问题 五：数列的单调性 十六：数列与概率统计的交汇问题 数列解答题题型大 六：数列的最值问题 十七：与三角函数结合 全 七：数列与不等式 十八：数列与集合交汇问题 八：数列中的证明问题 十九：数列与平面几何的交汇问题 九：子数列问题 二十：数列中的结构不良题 十：插入项问题 二十一：数列新定义 十一：从小到大排列问题 高考分析 ·试卷位置：通常位于解答题的第17题（第一道大题），属于“送分题”或“中档题”，旨在稳定考生心态。但 在部分新高考卷或压轴题中，数列可能与不等式结合出现在第21或22题，难度极大。 ·分值占比：约10-12分（纯数列）+5分（选填小题）。 ·命题趋势： 。传统考法：等差、等比数列的基本运算a_n,S_n,d,q的互求)。 。新高考趋势：弱化复杂的裂项相消技巧，强化“函数与方程思想”和“数学建模”。常考查a_n与S_n的 关系、数列的单调性与最值、不等式恒成立问题。 学习目标 1.基础目标： 。熟练掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式。 。能够准确利用an与Sn的关系进行转化。 2.能力目标： 。运算求解能力：在“错位相减”和“裂项相消”中做到计算零失误。 。逻辑推理能力：能够识别递推公式的类型（如累加法、累乘法、构造法），并转化为基本数列求解。 3.素养目标： 。数学运算：通过复杂的代数变形化简式子。 。逻辑推理：利用数学归纳法或放缩法证明数列不等式。 题型归纳 等差等比数列 题型01：等差数列的性质 【典型例题】设{an}是等差数列，a=-10,且a2+10,a+8,a4+6成等比数列. (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值. 【答案】见解析 【解析】（I）:{an}是等差数列，a=-10,且a+10,a4+8,a4+6成等比数列. ∴.(a+8)2=(a2+10(a4+6), ∴.(-2+2d02=d(-4+3d0, 解得d=2, .an=a1+(n-1)d=-10+2n-2=2n-12. (Ⅱ)由a=-10,d=2,得： 及=-10m+》2=m-1m=m之1 2 n=5或n=6时，Sn取最小值-30. 【变式训练1-1】记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 1=2 2 (1)证明：数列b}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. 【答案】见解析 【解析】(1)证明：当n=1时，b=S1, 2+1=2,解得b=2: 3 由b,b b=S,代入Snb 当n>2时，bn 21=2, 26+=2,所以b,-b-2 消去S,可得b,b, 1 3 所以杨，}是以2为首项，2为公差的等差数列. 3 (2)由题意，得4=8=6=2： 3 由(1)，可得b,=。+(n-1)× 1n+2 2 22 21 由s, =2,可得3=”+2 n+1, 当心2时，a.=S-81=m+2n+1-1 n+1nn0n+D,显然4不满足该式， 3 n=1 所以an= n(n+1)' n>2 【变式训练1-2】设数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,a+1=9S,+10· (1)求证：{lgan}是等差数列； 3 (2)设T是数列{ 1 }的前n项和，求使T>(m-5m)对所有的n∈N都成立的最大正整数m的值. (Iga )(Iga) 4 【答案】见解析 【解析1(1)依题意，4，=94，+10=100，故4=10， 当n≥2时，a,=9S4-1+10①又a+1=9Sn+10② ②①整理得：。1Q故1a}为等比数列， a a g"-=10",..Iga,=n..Iga-lga,=(n+1)-n=1, 即{gan}n∈N是等差数列. (2)由(1)知，T-3(1+1 1.223++nn+D) =30-1+1111、 2+23+nn+ =33 3 3n+17 依题意有>4m-5m),解得-1<m<6, 31 故所求最大正整数m的值为5. 【变式训练1-3】已知数列{an}满足：关于x的一元二次方程(a。-an+1)x+(a+1-an-1)x+(an-1-a,)=0(n>2)有两 个相等的实根， (1)求证：数列{an}成等差数列； (2)设数列{a}的前n项和为Sn,S=-10,a。=8,求Sn的最小值. 【答案】见解析 【解析】(1)证明：由题意得△=(a1-an-1)-4(an-an+1)(an-1-an)=0, 所以△=(an1-an+an-a-i)户-4(an-a+1(an-1-an)=0, 即[(a+1an+1-an)-(an-an-1】=0, 故an+1-an=am-am-1, 所以数列{a}成等差数列； (2)解：由(1)得数列{a}成等差数列， 因为S=-10,a4=8, 5a,+10d=-10 所以4+7d=8，解得d=2,4=-6, 故Sn=-6n+n(n-1)=n-7n, 根据二次函数的性质可知，当n=3或n=4时，S,取得最小值-12. 题型02：等差数列的前n项和 【典型例题1】记Sn为数列{a,}的前n项和，已知an>0,a=3a1,且数列{、Sn}是等差数列，证明{an}是等差 数列。 【答案】见解析 【解析】证明：设等差数列V,3的公差为d, 由题意得-a；,=a+a=4a-2a, 则d=,-=2瓦-a=瓦，所以，=a+m-a=na, 所以S,=na①； 当n>2时，有S1=(h-)a②. 由①②，得4，=S,-S1=na-n-1)a=(2n-1a③， 经检验，当n=1时也满足③ 所以a,=(2n-1)a,neV, 6 当心2时，a,-a1=(2n-lDa-(21-3)a,=2a, 所以数列a,}是等差数列. 【变式训练2-1】记S,是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a=S5,aa4=S4· (I)求数列{an}的通项公式an; (Ⅱ)求使Sn>an成立的n的最小值. 【答案】见解析 【解析(I）数列Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3=S5,aa4=S4. 根据等差数列的性质，a3=S=5a3,故a3=0, 根据aa4=S4可得(a3-d)(a+d)=(a-2d)+(a-d)+a3+(a+d), 整理得-d2=-2d,可得d=2(d=0不合题意)， 故a,=a3+(n-3)d=2n-6. (Ⅱ）an=2n-6,a1=-4, &=-4n+nn,Dx2=r-5n, Sn>a,即n-5n>2n-6, 整理可得n°-7n+6>0, 当n>6或n<1时，Sn>am成立， 由于n为正整数， 故n的最小正值为7. 【变式训练2-2】记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S,=-a5· (1)若a=4,求{an}的通项公式； (2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围. 【答案】见解析 【解析】(1)根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d, 若8=马，则3，=但+29-a=-马，变形可得4，=0，即4+4d=0, 2 若a,=4,则d=4,4=2, 2 则an=a3+(n-3)d=-2n+10, 2)若3，≥a,则na+m0,Da+0a-ld, 2 当n=1时，不等式成立， 当2时，有以≥d-4,变形可得m-2-24。 又由S,=-45,即S,=4+4)x9 2 9%,=-4,则有4，=0，即a+4d=0,则有n-2)4>-24, 又由4>0，则有10， 则有2≤≤10， 综合可得：n的取值范围是{nl≤n<l0,n∈N}. 题型03：等比数列的性质 【典型例题】已知数列{a,}满足：a=元>0，a,a1=2-”. (1)当元=时，求数列a,}中的第10项； 32 (2)是否存在正数入，使得数列{an}是等此数列，若存在求出2值并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】见解析 【解析】(1)由已知4，·a1=22- 所以0·0n-1=292m a1=1 相除得a-14 1 又7 324%=25 所以0=210 11 所以 0。=20×}=2256 (2)假设存在正数元，使得数列a,子是等比数列， 32 a2= 由4,4=2°得 3= 由4a4=8,得4， 因为a,3是等比数列，44=a,2=64,即元=8， 下面证明元=8时数列a,}是等比数列， 1 由(1)知数列a-子和a子都是公比是4的等比数列， =81a.=4 所以 4; 所以”为奇数时，4=2，”为偶数时，。，=2 所以对一切正整数”，都有4，=24 4=1 所以a-12 所以存在正数元=8使得数列Q,}是等比数列. 【变式训练3-1】记数列{an}的前n项和为Sn·已知Sm+1=3S+2n+4,且41=4. (1)证明：{an+1}是等比数列； (2)求Sn· 【答案】见解析 【解析】(1)证明：已知Sn+1=3Sn+2n+4,① 则Sn=3Sm-1+2(n-1)+4,② 由①-②可得：an+1=3an+2,(n≥2)， 又4=4， 则S2=4+a=3×4+6, 即a=14, 则a2=3a1+2, 即a+1=3an+2,(n∈N+), 则a+1+1=3(an+1), 又a+1=5, 即{an+1}是以5为首项，3为公比的等比数列； (2)解：由(1)可得：an+1=5×3-1, 即an=5×31-1, 9 则S=503°+3++3)-n=50-3”）-n=53-D-n. 1-3 2 【变式训练3-2】等差数列{a}(n∈N)中，4，a，4分别是如表第一、二三行中的某一个数，且其中的任何 两个数不在如表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 (1)请选择一个可能的{a1,a,a}组合，并求数列{an}的通项公式； (2)记(1)中您选择的{an}的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得a,a,Sk+2成等比数列，若有，请 求出k的值；若没有，请说明理由。 【答案】见解析 【解析】(1)由题意可知：有两种组合满足条件： ①a1=8,a=12,43=16,此时等差数列{an},a1=8,d=4, 所以其通项公式为an=8+(n-1)4=4n+4. ②4=2，a=4,a3=6,此时等差数列{an},4=2,d=2, 所以其通项公式为an=2n, (2)若选择①，3，=m8++9=2m+6m. 2 则S+3=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20. 若a,ak,S+2成等比数列，则a2=aSk+2, 即(4k+4)°=8(2k+14k+20),整理，得5k=-9, 此方程无正整数解，故不存在正整数k,使a,a,Sk+2成等比数列. 若选择②，3，-n2,2列-r+n, 2 则Sk+3=(k+2)°+(k+2)=k+5k+6, 若a,ak,Sk+2成等比数列，则ax=aSk+2, 即(2k)=2(k2+5k+6,整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数，所以，k=6. 10