第12讲 奇偶数列及其它特殊数列-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

第12讲 奇偶数列及其它特殊数列 目 录 一：奇偶数列问题 1 题型01：数列分奇偶之隔项型 1 题型02：数列分奇偶之型 3 题型03：型 5 题型04：含有 6 题型05：数列分奇偶之含有型 9 题型06：数列分奇偶之分段数列型 12 二：数列公共项问题 18 三：重新排序问题 19 四：插入项问题 22 五：斐波那契数 32 一：奇偶数列问题 题型01：数列分奇偶之隔项型 【典型例题1】已知数列满足，，且．则数列的通项公式为 ．若，则数列的前项和为 ． 【答案】 ， 【解析】（1）根据递推关系求得，利用累加法求得的通项公式； （2）代入求得的，化简，得， 利用裂项相消法求得前n项和. 解：，，可得，， 又， 则， 上式对也成立， 所以，； 由，可得， 则数列的前项和为 ． 故答案为：，；． 【点睛】关键点点睛：求通项时，累加法求和需要考虑的情况；化简成可以裂项的形式，从而利用裂项相消法求和. 【典型例题2】在数列中，，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求的最大值. 【答案】(1) (2)96 【解析】（1）由已知条件可得，当为奇数时，数列的奇数项的通项公式为，当为偶数时，即数列的偶数项的通项公式为； （2）分别讨论当为奇数或偶数，得出数列各项的值或大小，从而求得的最大值. （1）当为奇数时，即数列的奇数项是以18为首项，为公差的等差数列，. 当为偶数时，即数列的偶数项是以24为首项，为公差的等差数列，. 所以. （2）当为奇数时，， 即，，都大于0，，， 当为偶数时，， 即，，，都大于，，， 所以的最大值为. 【变式训练1-1】已知数列中，，，，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，设，求证：. 【变式训练1-2】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求证：. 【变式训练1-3】已知数列的各项均为正数，前项和为，，，若对任意的正整数，有 (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求证：. 题型02：数列分奇偶之型 【典型例题1】已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（    ） A．32 B．33 C．44 D．45 【答案】C 【解析】分奇偶项讨论，根据题意利用并项求和求，运算求解即可. 当为偶数时， ， 令，且n为偶数， 解得，故n的最大值为44； 当为奇数时， ， 令，且为奇数， 解得，故n的最大值为43； 综上所述：n的最大值为44. 故选：C. 【点睛】方法点睛：并项求和适用的条件和注意事项： 1.适用条件：数列中出现等形式时，常用利用并项求和求； 2.注意分类讨论的应用，比如奇偶项，同时还需注意起止项的处理. 【典型例题2】已知数列满足（是常数）. (1)若，证明是等比数列； (2)若，且是等比数列，求的值以及数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2), 【解析】（1）根据等比数列的定义证得结论成立. （2）利用分组求和法以及对进行分类讨论来求得. （1）依题意，， 当时，， 所以数列是首项，公比为的等比数列. （2）依题意，，，且是等比数列， 则， ， 所以，而，故解得， 则，所以等比数列的公比， 则， 所以， 所以，当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上所述，. 【典型例题3】在数列中，已知，． (1)求证：是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【解析】（1）通过凑配法证得是等比数列. （2）利用分组求和法求得. （1）由，得， 即， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得. 所以 . 【变式训练2-1】已知数列的前n项和为，若，． (1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由． (2)记，的前n项和为，求． 【变式训练2-2】已知{an}是由非负整数组成的数列，满足 (1)求a3； (2)证明 (3)求{an}的通项公式及其前n项和Sn． 【变式训练2-3】已知在数列中，，，． (1)求数列的前项和； (2)若且，，是否存在直线，使得当，，成等差数列时，点列，在上？若存在，求该直线的方程并证明；若不存在，请说明理由． 【变式训练2-4】已知是数列的前项和，，___________. ①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解： (1)求； (2)设，求数列的前项和. 题型03：型 【典型例题1】已知数列满足，，是数列的前项和，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：数列满足，， 当时，解得， 所以（常数）， 所以数列，，，是以1为首项，2为公比的等比数列， 同理数列，，，是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以． 故选：． 【典型例题2】已知数列的前n项和为，，，. (1)求； (2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）由，可得，两式相减并化简后可得 ，后分奇偶情况可得； （2）方法1，由题，由等比数列前n项和公式可得表达式；方法2，注意到，可得表达式.后注意到的单调性，利用可得答案. （1） ， . ， ， . 又，， ，数列的奇数项，偶数项分别是以2，4为首项，4为公差的等差数列. 当时，；当时，. 综上，， （2）方法一： ， . ，. 方法二： ， ， ， ， ∴时，为递增数列， 时，为递减数列， 若，都有成立，只需使，则且，则. 【变式训练3-1】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：. 【变式训练3-2】数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式训练3-3】记是数列的前项和，已知，且. (1)记，求数列的通项公式； (2)求. 题型04：含有 【典型例题1】数列满足，则的前60项和为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意，数列满足，当为奇数时，有， 其中当时，有， 当时，有， 当时，有， 当时，有， 则的前60项和 ； 故选：． 【典型例题2】已知数列满足，若，则　1　，前60项的和为　 　． 【答案】1，1830． 【解析】解：数列满足，，，解得． ，解得． ， 有，，，，，，． 从而可得，，，，，，，， 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． 的前60项和为， 故答案为：1，1830． 【典型例题3】在数列中，，． (1)求的通项公式． (2)设，若是递增数列，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用构造法及等比数列的通项公式即可求解； （2）根据（1）的结论及数列的单调性的应用，利用恒成立问题的解决办法即可求解. （1）因为，， 所以，显然（否则与矛盾），则． 因为，所以， 所以是以1为首项，4为公比的等比数列． 所以，即， 故的通项公式为. （2）由（1）可得，则， 故 ． 因为是递增数列， 所以，即． 当n为奇数时，，即，故， 由于 单调递减， 当时，，所以； 当n为偶数时，，即，故， 由于 单调递增， 当时，，所以． 综上，t的取值范围为． 【变式训练4-1】已知数列的前项和为，，，则的值为　　． 【变式训练4-2】已知等差数列满足：，，数列的前n项和满足，则数列的前n项和________. 【变式训练4-3】已知数列的前n项和，若存在正整数n，使得成立，则实数p的取值范围是________． 【变式训练4-4】已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式训练4-5】在数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前n项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【变式训练4-6】记正项数列的前项积为，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【变式训练4-7】数列满足，，. (1)求、，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和； (3)设，，证明：当时，. 题型05：数列分奇偶之含有型 【典型例题1】已知函数满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合，，可得是首项为，公比为2的等比数列，然后利用通项公式先求，再代入到，即可求得本题答案. 因为， 所以是首项为，公比为2的等比数列， 所以，则. 故选：B 【典型例题2】已知数列满足：，，，． （1）求、、、的值； （2）设，，试求； （3）比较、、、的大小关系． 【答案】见解析 【解析】解：（1）因为，，， 所以， ， ， ， ， ， 所以、、、的值分别为：3，5，5，8； （2）由， 可得， 可得， 可得， ， ， 两式相减可得 ， 化简可得，； （3） ， ， ， ， 则． 【典型例题3】已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【解析】（1）由已知条件，用表示出，得出，再用表示出，得出，联立得出，通过构造得出，检验，即可得出证得结论； （2）由（1）的结论表示出，和，证出在是一个增数列，通过计算即可得出答案． （1）证明：∵， ，，， , 又， ， , ， ， 又， ， , ,即， ， 又， ， ， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ， 即， ， ， ， 又， ， 即, ， ， ， 在是一个增数列， ， ， ∴满足题意的n的最小值是20． 【变式训练5-1】已知数列满足，， ，则数列的前2017项的和为　　 A． B． C． D． 【变式训练5-2】在数列中，，且. (1)证明：，都是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和，并比较与的大小； 【变式训练5-3】已知等差数列的公差不为零，其前项和为，且是和的等比中项，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求和：． 题型06：数列分奇偶之分段数列型 【典型例题1】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“1→4→2→1”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则m所有可能取值的集合为___________． 【答案】 【解析】根据递推公式逆向寻找结果即可. 若，则，则，或. 当时，则，则，或，则或； 当时，或（舍），若，则，则或； 即m所有可能取值的集合为. 故答案为： 【典型例题2】已知数列满足：，正项数列满足：，且，，. (1)求，的通项公式； (2)已知，求：； (3)求证：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由题意可得为等差数列，为等比数列，再分别求解公差与公比即可； （2）代入化简可得，再分组根据等差数列与裂项相消求和即可； （3）放缩可得，再裂项相消求和即可. （1）由题意知，为等差数列，设公差为d，为等比数列，设公比为q， 又，，，∴，∴，. ∴，，∴. （2）由， ∴ ； （3）， ， ∴ . ∵，∴成立， 时，也成立，∴. 【典型例题3】设数列的前项和为，已知，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2). 【解析】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 ， 所以数列的前项和为. 【典型例题4】设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，                ①， 当时，       ② 由①②得：，即 ． 又时，满足. （2）由得，. ①当n为偶数时， 此时，，故 ②当n为奇数时， 综上，当时，． 【典型例题5】已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，， 当时，，所以， 所以，所以， 又因为， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 又时也满足上式，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以 . 【变式训练6-1】已知数列的首项为，前项和为，且. (1)当时，记，求数列的通项公式； (2)若，求的取值范围. 【变式训练6-2】已知数列满足：． （Ⅰ）问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由； （Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅲ）设，求数列的前项和． 【变式训练6-3】（1）设函数，且数列满足，，；求数列的通项公式． （2）设等差数列、的前项和分别为和，且，，；求常数的值及的通项公式． （3）若，其中、即为（1）、（2）中的数列、的第项，试求． 【变式训练6-4】已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 【变式训练6-5】已知函数且. (1)计算，； (2)求通项公式； (3)设为数列的前n项和，求； 【变式训练6-6】已知数列的前n项和为，若， (1)求 (2)若，为数列的前n项和，求 【变式训练6-7】已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式; (2)若，求数列的前项和． 【变式训练6-8】已知为等差数列，数列满足，且，，. (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)设的前项和为，证明：. 【变式训练6-9】已知数列满足， (1)证明：数列为等差数列； (2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和. 【变式训练6-10】已知数列满足，，，令. (1)写出，，并求出数列的通项公式； (2)记，求的前10项和. 【变式训练6-11】已知各项为正数的等比数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前2n项和. 二：数列公共项问题 【典型例题1】数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】C 【解析】利用列举法可知，将集合中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为，可知数列为等差数列，求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论. 由题意可知，数列、、、、、、、、、、， 数列、、、、、、、、、、， 将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列、、、， 易知数列是首项为，公差为的等差数列，则， 由，可得， 因此，集合中元素的个数为. 故选：C. 【典型例题2】已知等差数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据，计算得到，，从而得到，再求的通项公式即可. （2）首先根据题意得到，再利用分组求和求解即可. （1）设等差数列的公差为， 因为，所以. 因为，所以. 所以， 所以 （2）由题意知， 因为，所以，即：. 因此. 所以 【变式训练1】已知等差数列中，且，，成等比数列、数列的前n项和为，满足. （1）求数列，的通项公式； （2）将数列，的公共项按原来的顺序组成新的数列，试求数列的通项公式，并求该数列的前n项和. 【变式训练2】记为公比不为1的等比数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和． 【变式训练3】已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间内的项的个数． 【变式训练4】已知数列的前项的和为且满足，数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列.求出数列，的通项公式； 【变式训练5】已知为数列的前项和，且，，，. (1)求的通项公式； (2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和. 【变式训练6】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝S5＝－20. (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{an}与{bn}的公共项为am，记m由小到大构成数列{cn}，求{cn}的前n项和Tn. 【变式训练7】已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，为数列的前项和，且是和的等差中项，若数列是由数列中的项依次剔除与的公共项剩下的部分组成，求数列的前100项和. 三：重新排序问题 【典型例题1】设正项数列的前项和为，且，从中选出以为首项，以原次序组成等比数列，，…，，…，．记是其中公比最小的原次序组成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据与的关系式，分成与两种情况求解，观察知其每项均为偶数，讨论当，公比或时能否成立，从而得出满足题意的数列，再得出. 当时，，即， 得或（舍去）， 当时，由，……① 得，……② 得：， 化简得. 因为，所以，， 即数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以. 当，时， 会得到数列中原次序的一列等比数列， 此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中； 下面证明此时的公比最小： ，假若取，公比为， 则为奇数，不可能在数列中. 所以. 又，所以. 故选：C 【典型例题2】设正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)能否从中选出以为首项，以原次序组成的等比数列.若能，请找出使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列的前项和；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能，，. 【解析】（1）根据与的关系式，分成与两种情况求解； （2）观察知其每项均为偶数，讨论当，公比或时能否成立，从而得出满足题意的数列；再得出通项，求其和即可. （1）当时，，即， 得或（舍去）. 当时，由，……① 得，……② 得：， 化简得. 因为，所以，， 即数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）存在. 当，时， 会得到数列中原次序的一列等比数列， 此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中； 下面证明此时的公比最小： ，假若取，公比为， 则为奇数，不可能在数列中. 所以. 又，所以， 即的通项公式为：， 故. 【典型例题3】已知a1，a2，…，a是由n（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{b}满足b=n+1﹣a（k=1，2，…，n）． (1)当n=3时，写出数列{a}和{b}，使得a2=3b2； (2)证明：当n为正偶数时，不存在满足a=b（k=1，2，…，n）的数列{a}； (3)若c1，c2，…，c是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出c（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+nc． （参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）） 【答案】(1){an}：1，3，2，{bn}：3，1，2；或{an}：2，3，1，{bn}：2，1，3 (2)证明见解析 (3)ck=（n+1）﹣k； 【解析】(1)先写出 的各种情况，再根据 一一验算即可； (2)用反证法即可； (3)按照题意写出 的通项公式，再写出新数列 的通项公式，再求和. (1) 当n=3时，数列{a}为：1，2，3； 1，3，2； 2，1，3； 2，3，1； 3，1，2； 3，2，1． 当{a}为：1，2，3时，此时对应的{b}为：3，2，1，不满足题意；依次可得满足题意的数列{a}和{b}分别为： {a}：1，3，2，{b}：3，1，2；或{a}：2，3，1，{b}：2，1，3； (2) 证明：若a=b（k=1，2，…，n），则有a=n+1﹣a（k=1，2，…，n）， 于是，当n为正偶数时，n+1为大于1的正奇数，故不为正整数， ∵a1，a2，…，a是均为正整数， ∴不存在满足a=b（k=1，2，…，n）的数列{a}； (3) 由题意可得，c=n﹣（k﹣1）=（n+1）﹣k， ∴S=c1+2c2+…+nc=[（n+1）﹣1]+2[（n+1）﹣2]+…+n[（n+1）﹣n] =（1+2+…+n）（n+1）﹣（12+22+…+n2） ==； 综上，（1）{a}：1，3，2，{b}：3，1，2；或{a}：2，3，1，{b}：2，1，3． （3） ， . 【变式训练1】已知数列满足：，且． （Ｉ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设（为正整数），是否存在正整数，使，，按某种次序排列后成等比数列，若存在，的值；若不存在，说明理由. 【变式训练2】已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（），，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，记. （1）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列. （2）写出（），并用含的式子表示. （3）利用，证明：及.（参考：.） 【变式训练3】已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（）. （1）当时，写出数列和，使得. （2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列. （3）若，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示. （参考：.） 【变式训练4】数列的前项和为且满足，（为常数，）． （1）求； （2）若数列是等比数列，求实数的值； （3）是否存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练5】设正项数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)能否从中选出以为首项，以原次序组成等比数列.若能，请找出使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式；若不能，请说明理由. 【变式训练6】若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； (3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”． 四：插入项问题 【典型例题1】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【答案】见解析 【解析】（1）当时，由①，得②. 由①②得，，即. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以. （2）不存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列.理由如下： 依题意得，即，解得. 假设存在项、、成等比数列（其中），则， 即，整理得. 联立，解得，这与已知条件矛盾. 所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列. 【典型例题2】已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 （2）数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 【典型例题3】已知数列的前项和为满足，且，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为，所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 当时， 又满足关系， 故. 数列，当时，， 当时，. 所以，； （2）由题可知 ① ② ①-②得. ③ ④ ③-④得 ； （3）依题意，数列中之前的所有项中包括项中的项， 设其和为，则 数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则 于是 所以， 当时， 当时，因为， 所以 ， 于是，，因此， 所以，， 所以，又， 所以，，， 得成立的最大整数的值为. 【典型例题4】设数列是公差不为零的等差数列，满足；数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求值； (3)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；……；在和之间插入个数，使成等差数列. （ⅰ）求； （ⅱ）写出所有使成立的正整数对.（直接写结果） 【答案】(1)，，. (2) (3)（ⅰ）；（ⅱ）及. 【解析】（1）设数列的公差为， 则由，得， ， ， 将代入上式，得， ， ． 由，① 故当时，，② ①-②，得， ， 又， 是首项为，公比为的等比数列， . （2）， ； （3）（3）（ⅰ） 在和之间插入个数， 因为成等差数列，设公差为， ， 则， ， ，① 则，② ①-②，得， . （ⅱ）由题，， 当时，， 当时，， 当时，， 下证：当时，有，即证， 设，则， 在上单调递增， 故时，， ， 时，不是整数， 所有的正整数对为及. 【典型例题5】已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【解析（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 整理可得，因为，解得，故. （2）因为， 所以， . （3）由题意可知，设在数列中的项为， 则由题意可知，， 所以当时，， 当时，，， 当时，，， 因为且， 所以当时，. 【变式训练1】已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和. 【变式训练2】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和． 【变式训练3】已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和． 【变式训练4】设数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值. 【变式训练5】已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 【变式训练6】数列的前项和为且当时，成等差数列. (1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明； (2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【变式训练7】记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【变式训练8】已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)如图， ………………… 数阵的第行是与之间插入n个数，由这个数所组成，且这个数成等差数列，记，求. 【变式训练9】已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【变式训练10】已知正项数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求证：. 【变式训练11】为数列的前n项和，已知． (1)证明：； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和． 【变式训练12】在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为． (1)若，求，； (2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）； (3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由． 【变式训练13】已知正项数列的前n项和为，且 ，， ． (1)求； (2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和. 【变式训练14】已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足 (1)求数列，的通项公式; (2)若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和. 五：斐波那契数 在解答过程中发现了数字的自然增长模式——即大名鼎鼎的斐波那契数列，又称“兔子数列”、“黄金分割数列”。其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列满足：， 且 。 一:斐波那契数列的表示 1、逐项表示：1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 2、递推公式：， 且 3、通项公式： 二：斐波那契数列的通项公式证明 19世纪，法国数学家比奈（Jacques Binet）推导出兔子数列的通项公式，揭示出兔子数列的项可以表示为包含黄金分割比的闭式: （注：通项公式里有复杂的无理数，但得到的数列各项全是自然数。） 证明：因为 ，令（构造等比数列），即 ，对比①、②两式的系数可得，解得 或 情形1：当时 ，即 （常数），则 是等比数列，且首项1，公比为，所以可得 ① 情形2：当时，同理可得 ② 由①、②相减可得 三：斐波那契数列的常用性质 前n项和： 奇数项和： 偶数项和： 平方性质： 平方和性质： 中项性质： 余数列周期性 被2除的余数列周期为3：1，1，0······ 被3除的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0······ 被4除的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0······ 斐波那契不等式： 质数数量： 每3个连续的数中有且只有1个能被2整除； 每4个连续的数中有且只有1个能被3整除； 每5个连续的数中有且只有1个能被5整除； 两倍数关系： 下标为3的倍数的项之和： 是等比数列 四：斐波那契数列与杨辉三角的关系 斐波那契数列与杨辉三角形（帕斯卡三角形）有关联，即：杨辉三角形中的对角线之和，是斐波那契数。 五：斐波那契数列与黄金比例的关系 1611年，德国天文学家、数学家开普勒（Johannes Kepler,1571-1630）发现，兔子数列中相邻项的比值会逐渐趋近于黄金比例（黄金分割比，约为1.618），但他没有深入探索数列的应用或在美学中的重要性。 1877年，法国数学家爱德华·卢卡斯（Édouard Lucas）通过更深入的分析，确定了斐波那契数列与黄金分割之间的深刻关系，他在《Strena seu de Nive Sexangula》一书中指出“斐波那契数列收敛于黄金分割数”，并正式将兔子数列命名为“斐波那契数列”。 当n趋向无穷大时，兔子数列的相邻项之比会倾向于黄金比例，即 （注：这一极限值在数论和代数中用于描述数列的增长率与近似值。） 一、单选题 【典型例题1】斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义，则是数列的第几项？（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【解析】通过斐波那契数列可得，然后通过累加法即可求解 由题意可得，，，， ， 累加得：， 即，，为数列的第2024项， 故选：. 【典型例题2】1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列称为斐波那契数列，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合斐波那契数列的性质，逐项判断即可得解. 因为 ，故错误； 因为， 故D错误； 由AD知，故C错误； 因为，所以， 即， 累加得， 即，故B正确. 故选：B. 【典型例题3】洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设数列各项除以所得余数所形成的数列为，从而可知数列是以为周期的周期数列，从而可解. 设数列各项除以所得余数所形成的数列为， 则数列为：、、、、、、、、、、， 由上可知，数列是以为周期的周期数列，即对任意的，， 因为，所以. 故选：D. 【变式训练1】斐波那契数列满足，，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（    ）项.    A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式训练2】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为，记，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】斐波那契数列是数学史上一个著名数列，它是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现的，若数列满足，则称数列为斐波那契数列，该数列有很多奇妙的性质，如根据可得：，类似的，可得：（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，. 给出下列结论： ①； ②； ③设，则； ④设，则有最大值，但没有最小值. 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练6】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式训练7】数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（   ） A．21 B．13 C．12 D．15 二、多选题 【典型例题1】斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足：，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．是奇数 【答案】ACD 【解析】根据递推公式判断选项A，利用累加判断选项BC，利用数学归纳法证明结论3的倍数项为偶数，其他项为奇数证明选项D. 对A：由，可得， 即有，故A正确； 对于B：由题意，，，， 以上式子累加得：，故B不正确； 对于C：因为，则， 则 ，故C正确； 对于D：根据通项公式可得斐波那契数列为， 3的倍数项为偶数，其他项为奇数，下面用数学归纳法证明： ①当，2，3时，，，满足规律， ②假设当，，时满足为偶数，，为奇数， ③当，，时， ，因为，为奇数，所以为偶数， ，因为为奇数，为偶数，所以为奇数， ，因为为奇数，为偶数，所以为奇数， 故3的倍数项为偶数，其他项为奇数得证， 2024项是非3的倍数项，故D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题A选项的判断比较常规，选项BC的关键是要通过适当的变形然后利用累加法判断，选项D根据数列规律猜想3的倍数项为偶数，其他项为奇数，利用数学归纳法证明. 【典型例题2】数学史上有很多著名的数列，在数学中有着重要的地位.世纪初意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列：，，，，，，，……，称之为斐波那契数列，满足，，.19世纪法国数学家洛卡斯提出数列：，，，，，，，……，称之为洛卡斯数列，满足，，.那么下列说法正确的有（    ） A． B．不是等比数列 C． D． 【答案】AC 【解析】利用斐波那契数列和洛卡斯数列的性质与特点一一代入检验即可. 对于A，当时，，等式成立； 当时，，等式成立；假设当时，成立， 那么当时，， 又，，，等式成立； 综上所述：成立，A正确； 对于B，，，又， 是以为首项，为公比的等比数列，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，取，则，，有，D错误. 故选：AC. 【变式训练1】“斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小正方形的边长从小到大分别为斐波那契数列，其中，，，，…，小正方形的面积从小到大记为数列，小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足：，，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果某同学据此改编，研究如下问题：在数列中，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】斐波那契数列指的是这样一个数列：0､1､1､2､3､5､8､13､21､34､……，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：.在现代物理､准晶体结构､化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法正确的是（    ） A．该数列是一个递增数列 B．89是该数列的一项 C．从前10项可以看出，设第项为，则 D．设第项为，随着的增大，逐渐趋近于一个常数，则 三、填空题 【典型例题1】意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列.斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数.人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：               大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】根据斐波那契数列前几项归纳出结论，从而判断①，直接计算检验判断②，利用①的结论对进行变化可判断③，利用特殊值检验判断④． 斐波那契数列从第项起，每一项都是前项的和，所以，①正确. ，②正确. ，所以③正确. 当时，，，所以④错误. 故答案为：①②③ 【变式训练1】同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和.如已知数列的通项为，故数列的前项和为.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，在斐波那契数列中，，，，若，那么数列的前2019项的和为 ． 【变式训练2】斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列满足，，，若记，则 用，表示 【变式训练3】若数列满足，（且为正整数），则称数列为斐波那契数列.该数列是由意大利科学家列昂纳多·斐波那契于年提出，此数列在如今多种领域都有着广泛的应用.若记，则数列的前项和为 ；若此数列各项除以的余数构成一个新数列，则数列的前项和为 . 四、解答题 【典型例题1】若数列满足，，，则称为斐波那契数列．试用数学归纳法证明其通项公式为． 【答案】见解析 【解析】利用数学归纳法证明即可. ①当时，； 当时，；满足通项公式. ②假设时命题成立，即 则当时， 所以当时，命题也成立. 由1①②可知，数列的通项公式为. 【变式训练1】特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可以按以下步叕求解：①对应的方程为，该方程有两个不等的实数根；②令，其中为常数，利用求出，可得的通项公式．满足的数列称为斐波那契数列． (1)求数列的通项公式； (2)若存在非零实数，使得为等比数列，求的值； (3)判定是数列的第几项，写出推理过程． 【点睛】方法点睛：应用已知递推数列求通项公式应用待定系数法解决列方程组求根. 【变式训练2】斐波那契数列满足条件：，．按如下步骤将分解为两个等比数列，之和，最后可以得出的通项公式： (1)若等比数列满足条件，求的公比q． (2)若等比数列，同时满足条件，，且，求和的通项公式． (3)设，试写出斐波那契数列的通项公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 奇偶数列及其它特殊数列 目 录 一：奇偶数列问题 1 题型01：数列分奇偶之隔项型 1 题型02：数列分奇偶之型 7 题型03：型 13 题型04：含有 16 题型05：数列分奇偶之含有型 23 题型06：数列分奇偶之分段数列型 28 二：数列公共项问题 44 三：重新排序问题 49 四：插入项问题 58 五：斐波那契数 78 一：奇偶数列问题 题型01：数列分奇偶之隔项型 【典型例题1】已知数列满足，，且．则数列的通项公式为 ．若，则数列的前项和为 ． 【答案】 ， 【解析】（1）根据递推关系求得，利用累加法求得的通项公式； （2）代入求得的，化简，得， 利用裂项相消法求得前n项和. 解：，，可得，， 又， 则， 上式对也成立， 所以，； 由，可得， 则数列的前项和为 ． 故答案为：，；． 【点睛】关键点点睛：求通项时，累加法求和需要考虑的情况；化简成可以裂项的形式，从而利用裂项相消法求和. 【典型例题2】在数列中，，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求的最大值. 【答案】(1) (2)96 【解析】（1）由已知条件可得，当为奇数时，数列的奇数项的通项公式为，当为偶数时，即数列的偶数项的通项公式为； （2）分别讨论当为奇数或偶数，得出数列各项的值或大小，从而求得的最大值. （1）当为奇数时，即数列的奇数项是以18为首项，为公差的等差数列，. 当为偶数时，即数列的偶数项是以24为首项，为公差的等差数列，. 所以. （2）当为奇数时，， 即，，都大于0，，， 当为偶数时，， 即，，，都大于，，， 所以的最大值为. 【变式训练1-1】已知数列中，，，，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，设，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）根据条件可得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分奇偶求数列的通项公式； （2）先分组求和求得，再利用裂项相消法求得； （3）先求出的通项公式，，再根据，得到，令和，利用错位相减法求得和，再通过比较大小可证明结论. （1）∵，，， ∴当，时，数列的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列， 则； 当，时，数列的偶数项是首项为2，公差为4的等差数列， 则， ∴； （2）由（1）得， ∴ ， ∴， ∴ （3）证明：由（2）得，则， ∴（时等号成立）， 由不等式的性质得， 令，数列的前项和为， ∴①， ②， 由得得， ， ∴， 由不等式的性质得， 故， 令，数列的前项和为， ∴③ ④ 由得， ， ∴， 由不等式的性质得， 故. 【变式训练1-2】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）分别取为奇数和偶数时，再利用诱导公式化简递推式，即可得出数列的通项公式； （2）由（1）知，利用错位相减化简即可得出，从而得证. （1）当时，， 即，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此. 当时，， 所以数列是首项为1、公差为2的等差数列，因此. 故数列的通项公式为 （2）证明：由（1）知，，记. 则①， ②， ①－②得， 化简得. 故. 【点睛】关键点睛：隔项数列求通项，分类讨论为奇数和偶数两种情况是关键.考查了数列递推式，诱导公式及数列前项和的错位相减法，属于较难题. 【变式训练1-3】已知数列的各项均为正数，前项和为，，，若对任意的正整数，有 (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求证：. 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析. 【解析】（1）当，，时，分别求出通项公式，再综合即可； （2）利用放缩法进行证明即可. (1) 解：当时，即 奇数项成等比数列 时， 当时，即① 当时，② ②-①得 化简得 即 等式两边同时除以得 等价于 即 由题知，当时， 故即 时， 综上，， (2) 解：由（1）知， 当时， 即， ，， 即 【点睛】思路点睛：在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩. 题型02：数列分奇偶之型 【典型例题1】已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（    ） A．32 B．33 C．44 D．45 【答案】C 【解析】分奇偶项讨论，根据题意利用并项求和求，运算求解即可. 当为偶数时， ， 令，且n为偶数， 解得，故n的最大值为44； 当为奇数时， ， 令，且为奇数， 解得，故n的最大值为43； 综上所述：n的最大值为44. 故选：C. 【点睛】方法点睛：并项求和适用的条件和注意事项： 1.适用条件：数列中出现等形式时，常用利用并项求和求； 2.注意分类讨论的应用，比如奇偶项，同时还需注意起止项的处理. 【典型例题2】已知数列满足（是常数）. (1)若，证明是等比数列； (2)若，且是等比数列，求的值以及数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2), 【解析】（1）根据等比数列的定义证得结论成立. （2）利用分组求和法以及对进行分类讨论来求得. （1）依题意，， 当时，， 所以数列是首项，公比为的等比数列. （2）依题意，，，且是等比数列， 则， ， 所以，而，故解得， 则，所以等比数列的公比， 则， 所以， 所以，当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上所述，. 【典型例题3】在数列中，已知，． (1)求证：是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【解析】（1）通过凑配法证得是等比数列. （2）利用分组求和法求得. （1）由，得， 即， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得. 所以 . 【变式训练2-1】已知数列的前n项和为，若，． (1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由． (2)记，的前n项和为，求． 【答案】(1)不是等差数列，证明详见解析； (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【解析】（1）取时可求，当时可根据与的关系求出，再验证是否满足即可判断其是否为等差数列；（2）当时，由，得，两式相减即可得，进而可以得出从第2项起的奇数项和偶数项分别成等差数列，讨论为奇数时和为偶数时分别解决. （1）因为， 当时，，又因为，所以 当时，因为，由，得①，所以②， 所以得： ，经验证，当时不等于，所以不是等差数列. （2）由，得，两式相减得： . 所以当时： 数列（）是首项为，公差为6的等差数列； 数列（）是首项为，公差为6的等差数列. 当为偶数时，不妨设，则， 此时 因为，所以此时. 当为奇数时，不妨设，则， 此时 . 因为，所以此时 综上所述，当为偶数时，，当为奇数时，. 【变式训练2-2】已知{an}是由非负整数组成的数列，满足 (1)求a3； (2)证明 (3)求{an}的通项公式及其前n项和Sn． 【答案】(1)2； (2)证明见解析； (3)；. 【解析】(1)代入，可得，求得； (2)利用数学归纳法证明即可； (3)隔项差为定值，采用奇偶分析法求解. （1）当时， 因为均为非负整数，所以的可能的值为1，2，5，10． 若，则与题设矛盾；若，则与题设矛盾； 若，则与题设矛盾． 所以． （2）①当时，等式成立； ②假设当时等式成立，即由题设 又所以，即， 所以当n=k+1时，等式成立 根据①和②，可知结论对一切n≥3正整数都成立． （3）因为 当时， 即数列的奇数项为等差数列，且首项为，公差为2， 所以当时， 当时， 即数列的偶数项为等差数列，且首项为，公差为2， 所以当时， 综上所述， 当时， ； 所以当时，； 当时， ； 所以时，. 综上所述， 【点睛】数学归纳法的一般步骤： （1）验证时成立； （2）假设当时成立，证得也成立； （3）得到证明的结论．其中在到的推理中必须使用归纳假设． 【变式训练2-3】已知在数列中，，，． (1)求数列的前项和； (2)若且，，是否存在直线，使得当，，成等差数列时，点列，在上？若存在，求该直线的方程并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，证明见解析 【解析】（1）根据题干条件得到，从而得到是以2为首项、为公比的等比数列，进而得到的通项公式，进而得到前项和；（2）根据题干条件得到，分情况讨论，最后只有若为奇数、为偶数，时成立，从而求出直线方程. (1) ， ， 又， 数列是以2为首项、为公比的等比数列， ， ， 当为正偶数时，； 当为正奇数时，， ； (2) 结论：存在满足条件的直线． 理由如下： 假设，，成等差数列，则， ， 整理得：， 依题意，且，，下面对、进行讨论： ①若、均为偶数，则， 解得：，与且，矛盾，舍去； ②若为奇数、为偶数，则， 解得：； ③若为偶数、为奇数，则， 解得：，与且，矛盾，舍去； ④若、均为奇数，则， 解得：，与且，矛盾，舍去； 综上①②③④，只有当为奇数、为偶数时，，，成等差数列， 因为，所以，即满足条件点列，落在直线在上． 【变式训练2-4】已知是数列的前项和，，___________. ①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解： (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【解析】（1）选①，分析可知数列、均为公差为的等差数列，求出的值，可求得、的表达式，可得出数列的通项公式； 选②，求得的值，可得出数列的公差，即可求得，再由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得. （1） 解：选条件①：，，得， 所以，， 即数列、均为公差为的等差数列， 于是， 又，，，所以； 选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为， 得，所以， 所以的公差为， 得到，则， 当，. 又满足，所以，对任意的，. （2） 解：因为， 所以 . 题型03：型 【典型例题1】已知数列满足，，是数列的前项和，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：数列满足，， 当时，解得， 所以（常数）， 所以数列，，，是以1为首项，2为公比的等比数列， 同理数列，，，是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以． 故选：． 【典型例题2】已知数列的前n项和为，，，. (1)求； (2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）由，可得，两式相减并化简后可得 ，后分奇偶情况可得； （2）方法1，由题，由等比数列前n项和公式可得表达式；方法2，注意到，可得表达式.后注意到的单调性，利用可得答案. （1） ， . ， ， . 又，， ，数列的奇数项，偶数项分别是以2，4为首项，4为公差的等差数列. 当时，；当时，. 综上，， （2）方法一： ， . ，. 方法二： ， ， ， ， ∴时，为递增数列， 时，为递减数列， 若，都有成立，只需使，则且，则. 【变式训练3-1】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据题意整理可得，讨论的奇偶性并结合等比数列通项公式运算求解；（2）利用错位相减进行求和运算，再利用放缩法并结合数列单调性证明． （1）由得，两式相除得， 所以都是公比为2的等比数列， 由及得， 所以为奇数时，， 为偶数时，， 所以 （2） ， 则， 两式相减得， 所以， 因为，所以单调递增 所以成立，所以. 【变式训练3-2】数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据递推公式作商得，再分类讨论结合累乘法计算即可； （2）结合（1）的结论，及分组求和法计算即可. （1）∵，，则， ∴，两式相除得：， 当时，， ∴，即， 当时，， ∴，即， 综上所述，的通项公式为：； （2）由题设及（1）可知：， 【变式训练3-3】记是数列的前项和，已知，且. (1)记，求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由数列递推式和等差数列的通项公式，计算可得所求通项公式； （2）结合等差数列求和公式，利用分组求和法求解即可. （1）因为，①所以，② ②-①得，，因为，所以， 所以数列的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列， 令代入，得，由，得， 所以， 所以数列是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为 （2）当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 . 题型04：含有 【典型例题1】数列满足，则的前60项和为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意，数列满足，当为奇数时，有， 其中当时，有， 当时，有， 当时，有， 当时，有， 则的前60项和 ； 故选：． 【典型例题2】已知数列满足，若，则　1　，前60项的和为　 　． 【答案】1，1830． 【解析】解：数列满足，，，解得． ，解得． ， 有，，，，，，． 从而可得，，，，，，，， 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． 的前60项和为， 故答案为：1，1830． 【典型例题3】在数列中，，． (1)求的通项公式． (2)设，若是递增数列，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用构造法及等比数列的通项公式即可求解； （2）根据（1）的结论及数列的单调性的应用，利用恒成立问题的解决办法即可求解. （1）因为，， 所以，显然（否则与矛盾），则． 因为，所以， 所以是以1为首项，4为公比的等比数列． 所以，即， 故的通项公式为. （2）由（1）可得，则， 故 ． 因为是递增数列， 所以，即． 当n为奇数时，，即，故， 由于 单调递减， 当时，，所以； 当n为偶数时，，即，故， 由于 单调递增， 当时，，所以． 综上，t的取值范围为． 【变式训练4-1】已知数列的前项和为，，，则的值为　　． 【答案】见解析 【解析】解：由，得： ，，，，． 把以上各式相加得： ， ，， 则． 故答案为：． 【变式训练4-2】已知等差数列满足：，，数列的前n项和满足，则数列的前n项和________. 【答案】 【解析】根据题意求出，再由与的关系求通项公式，再由错位相减法求即可得解. 因为，，所以， 所以， 因为，所以， 两式相减可得，，即， 又，可得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 故， 令， ， ， 两式相减得： . 故答案为： 【变式训练4-3】已知数列的前n项和，若存在正整数n，使得成立，则实数p的取值范围是________． 【答案】 【解析】分成奇偶求出，得出数列的奇数项为递减的等比数列且各项为正；偶数项为递增的等比数列且各项为负，进一步得出存在正整数使得成立. 根据题意可得，， 又； 易知，数列的奇数项为递减的等比数列且各项为正；偶数项为递增的等比数列且各项为负，于是不等式成立即存在正整数使得成立， 只需要，即即可. 故． 故答案为：. 【变式训练4-4】已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时：已知，那么，所以. 当时：， 先展开式子. 则，所以. 当时，，上式也成立.所以. （2）已知，把代入可得： . 可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的. 所以. 【变式训练4-5】在数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前n项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由可得，进而得到数列是等差数列，从而可求得通项公式； （2）利用错位相减法求得，再分奇偶转化为求最小值，即可求解. （1）因为时，，， . 所以数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以.所以数列的通项公式为. （2）由题意知：， 令① 则② ①-②得，所以 恒成立. 令，则， 所以数列是递增数列. 若n为偶数，，则恒成立，∴； 若n为奇数，，则恒成立，， 综上. 【变式训练4-6】记正项数列的前项积为，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）可得，得到，结合裂项法，即可求解. （1）证明：由题意得，当时，可得，可得， 因为，所以，即， 即， 当时，可得，所以，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）解：由（1）可得， 所以， 所以 . 【变式训练4-7】数列满足，，. (1)求、，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和； (3)设，，证明：当时，. 【答案】(1)，， (2) (3)证明见解析 【解析】（1）根据递推公式可直接写出、的值，分析出为等差数列，确定该数列的首项和公差，分析出数列，确定该数列的首项和公比，分别气求出数列、的通项公式，即可求得数列的通项公式； （2）利用等差、等比数列的求和公式可求得； （3）求得，利用错位相减法求出，分析可知，要证明当时，成立，只需证明当时，成立，令，分析数列的单调性，求出数列的最大项的值，即可证得结论成立. （1）解：因为，，， 所以， ，. 当为奇数时，设，则， 则，即， 所以，数列是以为首项，公差为的等差数列， 则，此时； 当为偶数时，设，则， 则，即， 所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，则， 此时，. 综上所述，. （2）解：所以， . （3）解：由（1）知，，，① ，② ①②得， ， 所以， 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 令，则， 当时，，即， 故当时，数列单调递减，则， 因此，当时，. 题型05：数列分奇偶之含有型 【典型例题1】已知函数满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合，，可得是首项为，公比为2的等比数列，然后利用通项公式先求，再代入到，即可求得本题答案. 因为， 所以是首项为，公比为2的等比数列， 所以，则. 故选：B 【典型例题2】已知数列满足：，，，． （1）求、、、的值； （2）设，，试求； （3）比较、、、的大小关系． 【答案】见解析 【解析】解：（1）因为，，， 所以， ， ， ， ， ， 所以、、、的值分别为：3，5，5，8； （2）由， 可得， 可得， 可得， ， ， 两式相减可得 ， 化简可得，； （3） ， ， ， ， 则． 【典型例题3】已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【解析】（1）由已知条件，用表示出，得出，再用表示出，得出，联立得出，通过构造得出，检验，即可得出证得结论； （2）由（1）的结论表示出，和，证出在是一个增数列，通过计算即可得出答案． （1）证明：∵， ，，， , 又， ， , ， ， 又， ， , ,即， ， 又， ， ， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ， 即， ， ， ， 又， ， 即, ， ， ， 在是一个增数列， ， ， ∴满足题意的n的最小值是20． 【变式训练5-1】已知数列满足，， ，则数列的前2017项的和为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由，，，得 ， ， ， ， ， 累加得： ， ． ． 则 ． 故选：． 【变式训练5-2】在数列中，，且. (1)证明：，都是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和，并比较与的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【解析】（1）利用等比数列的定义证明； （2）根据数列为等比数列，可写出通项； （3）利用裂项相消和分组求和，求数列的前n项和，根据结果比较与的大小. （1）证明：因为，且，所以，. 因为， 所以，， 则是首项为16公比为16的等比数列，是首项为4公比为16的等比数列； （2）则，都是公比为16的等比数列，且， 所以是首项为4，公比也为4的等比数列， 故； （3）因为， 所以. 因为， 所以， 所以. 【点睛】本题的难点在数列的前n项和，数列的通项经过化简后，分母是，即的模型，分子则配成的形式，从而达到裂项并且能够相消的目的. 【变式训练5-3】已知等差数列的公差不为零，其前项和为，且是和的等比中项，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求和：． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为，利用题中的两个条件，即可求解; （2）先利用递推作差法求得从而求得，再利用错位相减法即可求解. （1）设等差数列的公差为，因为是和的等比中项， 则，即， 化简得， 又，即， 化简得则， 故. （2）因为， 所以， 两式相减得 又满足上式，所以 又，所以 则 ， ， 两式相减得： . 题型06：数列分奇偶之分段数列型 【典型例题1】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“1→4→2→1”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则m所有可能取值的集合为___________． 【答案】 【解析】根据递推公式逆向寻找结果即可. 若，则，则，或. 当时，则，则，或，则或； 当时，或（舍），若，则，则或； 即m所有可能取值的集合为. 故答案为： 【典型例题2】已知数列满足：，正项数列满足：，且，，. (1)求，的通项公式； (2)已知，求：； (3)求证：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由题意可得为等差数列，为等比数列，再分别求解公差与公比即可； （2）代入化简可得，再分组根据等差数列与裂项相消求和即可； （3）放缩可得，再裂项相消求和即可. （1）由题意知，为等差数列，设公差为d，为等比数列，设公比为q， 又，，，∴，∴，. ∴，，∴. （2）由， ∴ ； （3）， ， ∴ . ∵，∴成立， 时，也成立，∴. 【典型例题3】设数列的前项和为，已知，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2). 【解析】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 ， 所以数列的前项和为. 【典型例题4】设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，                ①， 当时，       ② 由①②得：，即 ． 又时，满足. （2）由得，. ①当n为偶数时， 此时，，故 ②当n为奇数时， 综上，当时，． 【典型例题5】已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，， 当时，，所以， 所以，所以， 又因为， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 又时也满足上式，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以 . 【变式训练6-1】已知数列的首项为，前项和为，且. (1)当时，记，求数列的通项公式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1），. ， 则. ，构成以4为首项，2为公比的等比数列， ，则. （2）当时，， ，，，不合题意，. 由（1）得构成以为首项，2为公比的等比数列，. 由题意得， ， ，解之得， 的取值范围是. 【变式训练6-2】已知数列满足：． （Ⅰ）问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由； （Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅲ）设，求数列的前项和． 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ），，，．（3分） 因为，，，所以数列不是等差数列． 又因为，所以数列也不是等比数列．（5分） （Ⅱ）（解法一）因为对任意正整数，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，（7分） 从而对． 所以数列的通项公式是．（9分） （解法二）因为对任意正整数，， 得， 所以数列是每项均为0的常数列， 从而对， 所以数列的通项公式是．（7分），， 所以数列是首项为，公差为的等差数列．（9分） （Ⅲ），，，也适合上式． 所以数列的通项公式为．（11分） （解法一）设数列的前项和为，则当，，时，，，．（12分） ， ．（14分） （解法二）利用待定系数法可得：对，有， ，（12分） 从而，，（13分） 所以．（14分） 【变式训练6-3】（1）设函数，且数列满足，，；求数列的通项公式． （2）设等差数列、的前项和分别为和，且，，；求常数的值及的通项公式． （3）若，其中、即为（1）、（2）中的数列、的第项，试求． 【答案】见解析 【解析】解：（1）由题意：， 变形得：，（1分） 数列是以为公比，为首项的等比数列．（3分） ， 即．（5分） （2）由等差数列、知：，； 由得：，（6分） ， ， ，解得； （8分） ，和分别是等差数列、的前项和； 可设，； ， ，即．（10分） 当时，， 当时，． 综上得：．（12分） （3）当时， （14分） 当时， ．（16分） 【变式训练6-4】已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）等差数列，是数列的前项和，设公差为，由，， 可得，，解得，， 所以； 数列各项都是正数，且满足， ，． 可得数列为等比数列， 所以，解得或舍去， 所以. （2）因为， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， 所以， . （3）：，，，，，，，，，，， 从到共有项， 所以，当时，， 故 ． 【变式训练6-5】已知函数且. (1)计算，； (2)求通项公式； (3)设为数列的前n项和，求； 【答案】(1)；5 (2) (3) 【解析】（1）由题意可得：， 所以；. （2）因为， 当n为奇数，则； 当n为偶数，则； 所以. （3）由（2）可知， 若n为奇数，则，可得： 当n为偶数时，； 故当n为奇数时； 所以. 【变式训练6-6】已知数列的前n项和为，若， (1)求 (2)若，为数列的前n项和，求 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）， 当时，， 当时，， ， ， ， 又， 是以为首项，2为公比的等比数列， ， ， 又时也满足上式， ； （2）， ， ， 【变式训练6-7】已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式; (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据等差数列的基本量计算即可求解， （2）由分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解. （1）由，得 所以数列为等差数列．所以，得． 所以公差．所以． （2）当为奇数时，．当为偶数时． 所以 【变式训练6-8】已知为等差数列，数列满足，且，，. (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)设的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【解析】（1）分析可知为等比数列，确定该数列的公比与首项，可求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用奇偶分组求和法结合等差数列的求和公式、错位相减法即可求得数列的前项和； （3）先证明柯西不等式，求出，然后利用柯西不等式可证得结论成立. （1）解：由及可知，数列是以为公比的等比数列， 所以，，故， 设等差数列的公差为，由，可得，， 所以，. （2）解：，设数列的前项和为， ， 记，， 所以，， ，① ，② ①②可得 ，所以，， 因此，. （3）证明：先证明柯西不等式， 构造函数， 显然且， 所以，， 即， 当且仅当时，等号成立， 本题中，由（1）可得， 所以，，且， 所以，， ， 所以，， 但不恒为常数，所以等号不成立， 则. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 【变式训练6-9】已知数列满足， (1)证明：数列为等差数列； (2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和. 【答案】(1)证明见解析 (2)2166 【解析】（1）利用等差数列的定义证明； （2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，利用通项求出两个数列相同的项，可求所需项的和. （1）数列满足， 设，则， 有，， 所以数列是首项为3公差为3的等差数列，即数列为等差数列. （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12公差为9的等差数列，， 设数列的前n项和为，数列的前n项和为， 数列的前40项和为， 若，即，得， ，有， 将数列的前40项中所有的相同项都剔除，则数列的前40项中余下项的和为： . 【变式训练6-10】已知数列满足，，，令. (1)写出，，并求出数列的通项公式； (2)记，求的前10项和. 【答案】(1)，， (2) 【解析】（1）由递推关系既可求得，，再由数列的通项公式代入到，可求得数列的通项公式； （2）将数列的通项公式代入到，可求得，由分组求和方法计算即可得出的前10项和 （1）因为，，所以，， 又，所以，，， 当，时，； 当，时，， 当时，，即， 则，， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 故. （2）由（1）可得， 记的前项和为， 则 . 【变式训练6-11】已知各项为正数的等比数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前2n项和. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）设首项为，公比为q，由可得，化简后可得，即可得答案； （2）由题可得当为奇数时，，当n为偶数时，.后由分组求和法可得答案. （1）设首项为，公比为q. 因，则. 又各项为正数，则，故； （2）由（1）及题意可得，； 当为奇数时，； 则当为偶数时，. . 二：数列公共项问题 【典型例题1】数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】C 【解析】利用列举法可知，将集合中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为，可知数列为等差数列，求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论. 由题意可知，数列、、、、、、、、、、， 数列、、、、、、、、、、， 将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列、、、， 易知数列是首项为，公差为的等差数列，则， 由，可得， 因此，集合中元素的个数为. 故选：C. 【典型例题2】已知等差数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据，计算得到，，从而得到，再求的通项公式即可. （2）首先根据题意得到，再利用分组求和求解即可. （1）设等差数列的公差为， 因为，所以. 因为，所以. 所以， 所以 （2）由题意知， 因为，所以，即：. 因此. 所以 【变式训练1】已知等差数列中，且，，成等比数列、数列的前n项和为，满足. （1）求数列，的通项公式； （2）将数列，的公共项按原来的顺序组成新的数列，试求数列的通项公式，并求该数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）根据等比数列的性质，可求等差数列的公差，从而求得数列的通项公式，由，可求得数列的通项公式； （2）由（1）得，所以可得，再求和. （1）设等差数列的公差为d，因为，，成等比数列， 所以，即，，解得. 所以. 当时，， 因为，得，（） 所以，得， 所以数列是首项为1，公比的等比数列， 所以. （2）依题意，，由（1）得，， 所以. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等，属于中档题. 【变式训练2】记为公比不为1的等比数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设等比数列的公比为 ，由求出，再由等比数列求和公式求出，即可得解； （2）由（1）可得，即可得到数列的特征，令，求出的取值，即可得到为以为首项，为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得. （1）解：设等比数列的公比为 ， 因为，即，即，所以， 又，即，解得， 所以. （2）解：由（1）可得， 则数列为、、、、，偶数组成的数列， 又，令，则为正偶数， 所以，，，，， 所以为以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【变式训练3】已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间内的项的个数． 【答案】(1) (2)22 【解析】（1）根据等差数列通项公式和前项和公式列式计算即可； （2）计算得出的通项公式，分析可得表示全体正奇数的平方从小到大组成的数列，据此推断出数列落在区间内的项的个数. （1）设等差数列的公差为． 由可得得 解得 所以． （2）因为，所以表示所有正整数的完全平方数从小到大组成的数列， 而表示全体正奇数从小到大组成的数列，所以表示全体正奇数的平方从小到大组成的数列， 因为，所以落在区间内的项的个数为22项． 【变式训练4】已知数列的前项的和为且满足，数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列.求出数列，的通项公式； 【答案】， 【解析】利用，得，再变形为，根据数列是以为首项，为公差的等差数列，求出；根据两个等差数列的第一个公共项为首项，两个等差数列的公差的最小公倍数为公差，可求出通项公式. 当时，，； 当时，，，即， ，数列是以为首项，为公差的等差数列， ，； 数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列， 数列的首项为，因为等差数列，的公差为，等差数列的公差为，所以数列是等差数列，且公差为， . 【变式训练5】已知为数列的前项和，且，，，. (1)求的通项公式； (2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和. 【答案】(1)； (2)570. 【解析】(1)由给定的递推公式结合进行变形推导即得为等差数列，再求其通项得解. (2)根据给定条件求出数列的通项即可计算作答. (1) 由，可知，两式相减得， 即，因，则， 又，，解得，即是首项为3，公差的等差数列， 所以的通项公式. (2) 由(1)知，，数列与的公共项满足，即，， 而，于是得，即，此时，， 因此，，即，数列是以3为首项，12为公差的等差数列， 令的前项和为，则， 所以的前10项的和为570. 【变式训练6】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝S5＝－20. (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{an}与{bn}的公共项为am，记m由小到大构成数列{cn}，求{cn}的前n项和Tn. 【答案】(1)an＝2n－10 (2)Tn＝5n＋ 【解析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）由等比数列的通项公式和数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． （1） 解：设等差数列{an}的公差为d， 由S4＝S5＝－20，得4a1＋6d＝5a1＋10d＝－20， 解得a1＝－8，d＝2， 则an＝－8＋2(n－1)＝2n－10； （2） 解：数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴bn＝4·4n－1＝4n(n∈N*)， 又依题意2m－10＝4n，∴m＝＝5＋22n－1， 则Tn＝5n＋＝5n＋. 【变式训练7】已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，为数列的前项和，且是和的等差中项，若数列是由数列中的项依次剔除与的公共项剩下的部分组成，求数列的前100项和. 【答案】11302 【解析】根据数列是公比为的等比数列，满足，，成等比数列，得到，根据题意得到，计算，设，得到，数列的前105项中有5项需要剔除，计算得到答案. 数列是公比为的等比数列，则，即， 即是公差为2的等差数列. ，，成等比数列，故，即，解得. 故. 是和的等差中项，则， 当时，，解得； 当时，，，两式相减得到，即， 故是首项为1公比为2的等比数列，，验证时满足. 故. 令，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故数列的前105项中有5项需要剔除，分别为. 故数列的前100项和为. 三：重新排序问题 【典型例题1】设正项数列的前项和为，且，从中选出以为首项，以原次序组成等比数列，，…，，…，．记是其中公比最小的原次序组成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据与的关系式，分成与两种情况求解，观察知其每项均为偶数，讨论当，公比或时能否成立，从而得出满足题意的数列，再得出. 当时，，即， 得或（舍去）， 当时，由，……① 得，……② 得：， 化简得. 因为，所以，， 即数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以. 当，时， 会得到数列中原次序的一列等比数列， 此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中； 下面证明此时的公比最小： ，假若取，公比为， 则为奇数，不可能在数列中. 所以. 又，所以. 故选：C 【典型例题2】设正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)能否从中选出以为首项，以原次序组成的等比数列.若能，请找出使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列的前项和；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能，，. 【解析】（1）根据与的关系式，分成与两种情况求解； （2）观察知其每项均为偶数，讨论当，公比或时能否成立，从而得出满足题意的数列；再得出通项，求其和即可. （1）当时，，即， 得或（舍去）. 当时，由，……① 得，……② 得：， 化简得. 因为，所以，， 即数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）存在. 当，时， 会得到数列中原次序的一列等比数列， 此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中； 下面证明此时的公比最小： ，假若取，公比为， 则为奇数，不可能在数列中. 所以. 又，所以， 即的通项公式为：， 故. 【典型例题3】已知a1，a2，…，a是由n（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{b}满足b=n+1﹣a（k=1，2，…，n）． (1)当n=3时，写出数列{a}和{b}，使得a2=3b2； (2)证明：当n为正偶数时，不存在满足a=b（k=1，2，…，n）的数列{a}； (3)若c1，c2，…，c是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出c（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+nc． （参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）） 【答案】(1){an}：1，3，2，{bn}：3，1，2；或{an}：2，3，1，{bn}：2，1，3 (2)证明见解析 (3)ck=（n+1）﹣k； 【解析】(1)先写出 的各种情况，再根据 一一验算即可； (2)用反证法即可； (3)按照题意写出 的通项公式，再写出新数列 的通项公式，再求和. (1) 当n=3时，数列{a}为：1，2，3； 1，3，2； 2，1，3； 2，3，1； 3，1，2； 3，2，1． 当{a}为：1，2，3时，此时对应的{b}为：3，2，1，不满足题意；依次可得满足题意的数列{a}和{b}分别为： {a}：1，3，2，{b}：3，1，2；或{a}：2，3，1，{b}：2，1，3； (2) 证明：若a=b（k=1，2，…，n），则有a=n+1﹣a（k=1，2，…，n）， 于是，当n为正偶数时，n+1为大于1的正奇数，故不为正整数， ∵a1，a2，…，a是均为正整数， ∴不存在满足a=b（k=1，2，…，n）的数列{a}； (3) 由题意可得，c=n﹣（k﹣1）=（n+1）﹣k， ∴S=c1+2c2+…+nc=[（n+1）﹣1]+2[（n+1）﹣2]+…+n[（n+1）﹣n] =（1+2+…+n）（n+1）﹣（12+22+…+n2） ==； 综上，（1）{a}：1，3，2，{b}：3，1，2；或{a}：2，3，1，{b}：2，1，3． （3） ， . 【变式训练1】已知数列满足：，且． （Ｉ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设（为正整数），是否存在正整数，使，，按某种次序排列后成等比数列，若存在，的值；若不存在，说明理由. 【答案】（Ｉ）；（Ⅱ）不存在，理由见解析. 【解析】（Ｉ）先裂项，然后利用迭代的方法可求数列的通项公式； （Ⅱ）先求数列的通项公式，利用等比中项公式建立等式，讨论可得结果. （Ⅰ）因为 所以 . （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 设，则，，； ①若为与的等比中项，则，无解； ②若为与的等比中项，则，即， 所以或， 所以，因为k，t均为正整数，所以不存在这样的k，t值； ③若为与的等比中项，则，即， 方程无整数根. 综上可知，不存在这样的k，t值. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和等比中项的应用，迭代消元是求解通项公式的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养. 【变式训练2】已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（），，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，记. （1）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列. （2）写出（），并用含的式子表示. （3）利用，证明：及.（参考：.） 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析. 【解析】(1)可用反证法证明,假设存在满足的数列，由条件结合奇数、偶数的概念即可得证；(2)由题意可得，，再由累加法即可得到； (3)由展开即可证得： ，再由排序定理:乱序之和不小于倒序之和. （1）若（）， 则有，于是. 当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数， 因为，，…，均为正整数， 所以不存在满足（）的数列， （2）（）. 因为， 于是 . （3）先证. ①， 这里，（）， 因为，，…，为从到按任意次序排列而成， 所以，，…，为从到个整数的集合， 从而， 于是由①，得， 因此，， 即. 再证. 由， 得 因为， 即， 所以， 即. 【点睛】本题考查数列的求和方法，以及数列不等式的证明，考查反证法的运用和综合法的运用，考查推理能力，考查学生的计算能力，属于难题. 【变式训练3】已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（）. （1）当时，写出数列和，使得. （2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列. （3）若，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示. （参考：.） 【答案】（1），，；，，或，，；，，.（2）证明见解析（3）（）； 【解析】（1）取，可得数列，结合求得数列，验证得答案； （2）若，则有（），得到，由为正偶数，得为大于 的正奇数，故不为正整数，结合 是均为正整数，说明不存在满足（）的数列； （3）由题意可得，，然后利用数列的分组求和得答案． [解]（1），，；，，. ，，；，，. [证明]（2）若（），则有，于是. 当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数. 因为，，…，均为正整数，所以不存在满足（）的数列. [解]（3）（）. 因为，于是 . 【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列的应用，考查数列的函数特性，属难题． 【变式训练4】数列的前项和为且满足，（为常数，）． （1）求； （2）若数列是等比数列，求实数的值； （3）是否存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）  （2）  （3）存在， 【解析】（1）由，得，可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的前项和得答案； （2）由数列是等比数列，得．结合已知求出，，代入可得； （3）当时，由（1）及，得，即数列是一个无穷等差数列．当，满足题意．当时，利用反证法证明，从数列不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列． （1）由，得． ∴数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则； （2）若数列是等比数列，则． ∵，， ∴，． ∴，得； （3）当时，由（1）及，得， 即数列是一个无穷等差数列． ∴当，满足题意． 当时，∵，，即． 下面用反证法证明，当，从数列不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列． 假设存在，从数列可以取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列．不妨记为， 设数列的公差为． （1）当时，， ∴数列是各项为正数的递减数列，则． ∵， ∴当，即，即时，，这与矛盾． （2）当时，令，解得， 当时，恒成立， ∴数列是各项为负数的递增数列，则． ∵，∴，与矛盾． 综上所述，是唯一满足条件的的值． 【点睛】本小题主要考查等差数列的定义和前项和公式，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查反证法证明，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 【变式训练5】设正项数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)能否从中选出以为首项，以原次序组成等比数列.若能，请找出使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能， 【解析】（1）根据与的关系式，分成与两种情况求解； （2）当，公比时满足题意，并证明当，公比为时不成立. （1）当时，，即， 得或（舍去）. 当时，由，……① 得，……② 得：， 化简得. 因为，所以，， 即数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）存在. 当，时， 会得到数列中原次序的一列等比数列， 此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中； 下面证明此时的公比最小： ，假若取，公比为， 则为奇数，不可能在数列中. 所以. 【变式训练6】若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； (3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”． 【答案】(1)是“等比源数列”；不是“等比源数列”，理由见解析 (2)不是“等比源数列”，理由见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）根据题中定义判断 （2）假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有解 （3）假设存在三项成等比数列后列方程，找出一组解 （1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”． 中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”； 中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列， 且这四者的其他次序也不构成等比数列， 所以不是“等比源数列”． （2）不是“等比源数列”． 假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列， 即中存在的，，三项成等比数列， 也就是，即， ，两边时除以得， 等式左边为偶数， 等式右边为奇数． 所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列． 综上可得不是“等比源数列”． （3）证明：因为等差数列单调递增，所以． 因为则，且，所以数列中必有一项． 为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项， 使得成立，即， 即成立． 当，时，上式成立． 所以中存在，，成等比数列． 所以，数列为“等比源数列“． 四：插入项问题 【典型例题1】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【答案】见解析 【解析】（1）当时，由①，得②. 由①②得，，即. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以. （2）不存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列.理由如下： 依题意得，即，解得. 假设存在项、、成等比数列（其中），则， 即，整理得. 联立，解得，这与已知条件矛盾. 所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列. 【典型例题2】已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 （2）数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 【典型例题3】已知数列的前项和为满足，且，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为，所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 当时， 又满足关系， 故. 数列，当时，， 当时，. 所以，； （2）由题可知 ① ② ①-②得. ③ ④ ③-④得 ； （3）依题意，数列中之前的所有项中包括项中的项， 设其和为，则 数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则 于是 所以， 当时， 当时，因为， 所以 ， 于是，，因此， 所以，， 所以，又， 所以，，， 得成立的最大整数的值为. 【典型例题4】设数列是公差不为零的等差数列，满足；数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求值； (3)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；……；在和之间插入个数，使成等差数列. （ⅰ）求； （ⅱ）写出所有使成立的正整数对.（直接写结果） 【答案】(1)，，. (2) (3)（ⅰ）；（ⅱ）及. 【解析】（1）设数列的公差为， 则由，得， ， ， 将代入上式，得， ， ． 由，① 故当时，，② ①-②，得， ， 又， 是首项为，公比为的等比数列， . （2）， ； （3）（3）（ⅰ） 在和之间插入个数， 因为成等差数列，设公差为， ， 则， ， ，① 则，② ①-②，得， . （ⅱ）由题，， 当时，， 当时，， 当时，， 下证：当时，有，即证， 设，则， 在上单调递增， 故时，， ， 时，不是整数， 所有的正整数对为及. 【典型例题5】已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【解析（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 整理可得，因为，解得，故. （2）因为， 所以， . （3）由题意可知，设在数列中的项为， 则由题意可知，， 所以当时，， 当时，，， 当时，，， 因为且， 所以当时，. 【变式训练1】已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）①， 当时，②， 由①②，得，即， 又当时，，满足，所以. （2）由（1）知，所以，则， 所以③， ④， 由③④得： ， 所以. 【变式训练2】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设数列的公差为，由题意知：， ， 所以，所以的通项公式是. （2）数列的通项公式为， 记数列与前项的和分别为， 则 . 【变式训练3】已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由已知，得，解得， ； （2）记， 所以， ， 作差得： ， ； （3）由（1）得， 则， 所以 . 【变式训练4】设数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由条件证明数列为等比数列，利用累加法求数列的通项公式； （2）数列中在之前共有项，由此确定前项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案. （1）因为， 所以，又， 所以数列为首项为1，公比为的等比数列， 所以， 所以当时， ， 所以， 所以当时，，又也满足该关系， 所以数列的通项公式为； （2）数列中在之前共有项， 当时，，当时 【变式训练5】已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 【答案】(1) (2) (3)详见解析. 【解析】（1）根据和的关系即可求解；（2）根据等差数列前项和公式求出代入化简即可解决；（3）求出，进行适当放缩后用裂项相消求和解决. （1）设等比数列的公比为， 当时，有，则  ① 当时，，两式相减可得：， 整理得，可知，代入①可得， 所以等比数列的通项公式为（）. （2）由已知在与之间插入个数，组成以为首项的等差数列， 所以， 则， 设，则是递增数列， 当为偶数时，恒成立，即，所以； 当为奇数时，恒成立，即，所以； 综上所述，的取值范围是. （3）证明：由（1）得， 则有 . ,原不等式得证. 【变式训练6】数列的前项和为且当时，成等差数列. (1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明； (2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【解析】（1）利用可得出递推公式，求出，进而得出数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用的关系，求出的关系，即可得出结论. （1）由题意，， 在数列中， 当时， 成等差数列， ∴， 即，即，即. ∴， 猜想. 下面我们证明. ∵， ∴， ∵当时，， ∴对任意正整数，均有， ∴， ∴， ∴， 即数列的通项公式为：. （2）由题意及（1）得， 在数列中，， ∴. 假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则， 即， 化简得， ∵成等差数列， ∴， ∴，化简得， 又， ∴，即， ∴， ∴，这与题设矛盾，所以假设不成立， ∴在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【变式训练7】记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据等差数列、等比数列的性质计算基本量即可得通项公式； （2）根据等差数列的性质计算得，利用错位相减法计算和式即可. （1）设数列的首项为，公比为q，则①， 因为，，成等差数列，则，即②， 因为，所以由②式可得，解得或（舍）， 代入①式可得， （2）由题可得，即，所以， 则，所以①， 则②， 故①－②得： 所以. 【变式训练8】已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)如图， ………………… 数阵的第行是与之间插入n个数，由这个数所组成，且这个数成等差数列，记，求. 【答案】(1) (2) 【解析】第一问由题目所给的递推公式化简得，从而求出和，代入等比数列的通项公式即可.第二问由题意写出的表达式，再用错位相减法即可解出. （1）由，可知时， 两式相减可得， 所以 ，因为为等比数列，公比， 又得 所以； （2）由题意可知： ， 则 ， 令， 则； 两式相减得 ， 所以 ， 故. 【变式训练9】已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据与的关系，利用相减法即可求得数列的通项公式； （2）由题意可得，所以，按照错位相减法即可求得前n项和. （1）因为， 当时，，两式相减得：，即，整理得； 当时，，所以 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故； （2）由题可得，即，所以， 则，所以①， 则②， 故①②得： 所以. 【变式训练10】已知正项数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，进而得，则是等比数列，由等比数列的通项公式即可得出结果； （2）利用等差数列的通项公式求出，再由“错位相减法”和等比数列的前n项和公式证明结论. （1）由可得，， 因式分解得， 因为为正项数列，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，即. （2）由（1）可知，， ∵， ∴，故. ， 则， ∴， ∴， 又因为，所以， . 【变式训练11】为数列的前n项和，已知． (1)证明：； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)7429 【解析】（1）根据数列的前n项和进行求解即可； （2）根据题意，利用等比数列的前n项和公式和错位相减法解求解. （1）由得． 由，可知． 相减得，所以． 又，故，因此． （2）设数列的前项和为，则． 两边同乘以2得 ． 以上两式相减得 ． 设是新数列的第N项，则 ． 当时，，当时，． 故这个新数列的前50项中包含的前9项，以及列的前k（k＝1，2，3，…，8）项和前5项， 由（1）知，所以这个新数列的前50项和为 ． 【变式训练12】在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为． (1)若，求，； (2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）； (3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，； (3)存在，详见解析. 【解析】（1）根据题中定义进行求解即可； （2）根据“和扩充”的方法，确定和的递推关系式，利用配凑法求得的通项公式，解不等式求得的最小值，然后根据“和扩充”的定义即得； （3）根据“和扩充”的方法，利用等比数列求和公式结合条件可得，再根据等比数列的定义和性质进行求解即可. （1）数列1,2,3，经第1次“和扩充”后得到数列为1,3,2,5,3， 数列1,2,3，经第2次“和扩充”后得到数列为1,4,3,5,2,7,5,8,3， 所以，； （2）数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 由数列经“和扩充”后的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 由（1）得，是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，所以， 由，即，解得，即， 所以， 数列a，b，c经过第1次“和扩充”后得到数列，且， 数列a，b，c经过第2次“和扩充”后得到数列，且， 数列a，b，c经过第3次“和扩充”后得到数列 ，且， 即； （3）因为，，，，， 所以， ， 若使为等比数列，则或， 即或， 综上，存在实数a，b，c，满足或，使得数列{}为等比数列． 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 【变式训练13】已知正项数列的前n项和为，且 ，， ． (1)求； (2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和. 【答案】(1)， (2)186 【解析】（1）根据的关系，即可求解， （2）根据的形成规律，分组即可求解. （1）因为，当时， ，                         因为，所以，故． 当时，适合上式， 所以，. （2）（方法1）因为，， 所以当时，． 所以 所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……， 设，则， 因为，所以.                        所以的前100项是由14个1与86个2组成． 所以.                              （方法2）设，则， 因为，所以.                              根据数列的定义，知 . 【变式训练14】已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足 (1)求数列，的通项公式; (2)若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和. 【答案】(1)， (2)4090 【解析】（1）首先建立等差数列的基本量的方程组，求数列的通项公式，再利用数列的和求数列的通项公式； （2）根据通项公式，确定前2023项有多少个2以及含有数列的多少项，再求和. （1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意，，所以   ① 当时，②， ①-②可得，， 当时，适合， 所以 （2）因为，所以在数列中，从项开始到项为止， 共有项数为， 当时，； 当时，， 所以数列前2023项是项之后还有2023-1034=989项为2， 所求和为. 五：斐波那契数 在解答过程中发现了数字的自然增长模式——即大名鼎鼎的斐波那契数列，又称“兔子数列”、“黄金分割数列”。其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列满足：， 且 。 一:斐波那契数列的表示 1、逐项表示：1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 2、递推公式：， 且 3、通项公式： 二：斐波那契数列的通项公式证明 19世纪，法国数学家比奈（Jacques Binet）推导出兔子数列的通项公式，揭示出兔子数列的项可以表示为包含黄金分割比的闭式: （注：通项公式里有复杂的无理数，但得到的数列各项全是自然数。） 证明：因为 ，令（构造等比数列），即 ，对比①、②两式的系数可得，解得 或 情形1：当时 ，即 （常数），则 是等比数列，且首项1，公比为，所以可得 ① 情形2：当时，同理可得 ② 由①、②相减可得 三：斐波那契数列的常用性质 前n项和： 奇数项和： 偶数项和： 平方性质： 平方和性质： 中项性质： 余数列周期性 被2除的余数列周期为3：1，1，0······ 被3除的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0······ 被4除的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0······ 斐波那契不等式： 质数数量： 每3个连续的数中有且只有1个能被2整除； 每4个连续的数中有且只有1个能被3整除； 每5个连续的数中有且只有1个能被5整除； 两倍数关系： 下标为3的倍数的项之和： 是等比数列 四：斐波那契数列与杨辉三角的关系 斐波那契数列与杨辉三角形（帕斯卡三角形）有关联，即：杨辉三角形中的对角线之和，是斐波那契数。 五：斐波那契数列与黄金比例的关系 1611年，德国天文学家、数学家开普勒（Johannes Kepler,1571-1630）发现，兔子数列中相邻项的比值会逐渐趋近于黄金比例（黄金分割比，约为1.618），但他没有深入探索数列的应用或在美学中的重要性。 1877年，法国数学家爱德华·卢卡斯（Édouard Lucas）通过更深入的分析，确定了斐波那契数列与黄金分割之间的深刻关系，他在《Strena seu de Nive Sexangula》一书中指出“斐波那契数列收敛于黄金分割数”，并正式将兔子数列命名为“斐波那契数列”。 当n趋向无穷大时，兔子数列的相邻项之比会倾向于黄金比例，即 （注：这一极限值在数论和代数中用于描述数列的增长率与近似值。） 一、单选题 【典型例题1】斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义，则是数列的第几项？（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【解析】通过斐波那契数列可得，然后通过累加法即可求解 由题意可得，，，， ， 累加得：， 即，，为数列的第2024项， 故选：. 【典型例题2】1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列称为斐波那契数列，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合斐波那契数列的性质，逐项判断即可得解. 因为 ，故错误； 因为， 故D错误； 由AD知，故C错误； 因为，所以， 即， 累加得， 即，故B正确. 故选：B. 【典型例题3】洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设数列各项除以所得余数所形成的数列为，从而可知数列是以为周期的周期数列，从而可解. 设数列各项除以所得余数所形成的数列为， 则数列为：、、、、、、、、、、， 由上可知，数列是以为周期的周期数列，即对任意的，， 因为，所以. 故选：D. 【变式训练1】斐波那契数列满足，，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（    ）项.    A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【解析】由斐波那契数列的递推关系可得，然后利用累加法可得，从而可得解. 由得，则，又， ∴，，，，， 则，故. 故选：C. 【变式训练2】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得，，两式相加可得，再结合已知条件可得答案. 因为， 所以①， ②， 由①+②， 得， 又，即， 所以. 故选：C. 【变式训练3】斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则，且，可得 ，化简即可求解. 由已知条件可知，则，且， 则，，，…， ， ， 上述各式相加得 . 故选：. 【变式训练4】斐波那契数列是数学史上一个著名数列，它是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现的，若数列满足，则称数列为斐波那契数列，该数列有很多奇妙的性质，如根据可得：，类似的，可得：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得后再累加可得. 由得 , 所以 . 故选:B 【点睛】本题以斐波那契数列为背景,考查了裂项相消法求法,解题关键是由得,属于中档题. 【变式训练5】李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，. 给出下列结论： ①； ②； ③设，则； ④设，则有最大值，但没有最小值. 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】先证明，然后推知当为奇数时，有；当为偶数时，有，再利用该结论解决各个选项即可. 先进行一些准备工作，证明2个结论. 结论1：. 证明：我们用数学归纳法证明，对任意的正整数，都有. 由，，可知结论对成立； 假设当时结论成立，则 ， 故结论在时成立. 综上，对任意的正整数，都有. 结论2：当为奇数时，有；当为偶数时，有. 证明：由结论1可知，当为奇数时，有；当为偶数时，有. 然后来判断各个选项： 对于①和②，由结论2可知，，故①正确，②正确； 对于③，由结论2可知 ， 故③正确； 对于④，由于，故当时，有. 而，，，从而有最小值，故④错误. 所以正确的结论是①②③，恰有3个结论正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题中证明的结论1事实上利用了线性递推数列的结论，由于原递推式对应的特征方程的全部解为，故一定具有形式，再利用前三项确定系数. 当然，即使不使用结论1，也可以通过观察规律的方法直接猜到结论2的结论，再用数学归纳法证明之. 【变式训练6】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】由斐波那契数列的特点判断②④即可，斐波那契数列的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列分析可知是以6为周期的周期数列，判断①③即可. ∵，，，，，，，，…， ∴是以6为周期的周期数列，∴，∴①正确； ∵，∴③错误； ∵ ，∴②错误； ∵ ， ∴，∴④正确. 故选：B. 【变式训练7】数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（   ） A．21 B．13 C．12 D．15 【答案】A 【解析】设级台阶的走法为，找出数列的递推公式，即可求解. 设级台阶的走法为， 则，， 当时，， 所以，， ，， . 故选：. 二、多选题 【典型例题1】斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足：，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．是奇数 【答案】ACD 【解析】根据递推公式判断选项A，利用累加判断选项BC，利用数学归纳法证明结论3的倍数项为偶数，其他项为奇数证明选项D. 对A：由，可得， 即有，故A正确； 对于B：由题意，，，， 以上式子累加得：，故B不正确； 对于C：因为，则， 则 ，故C正确； 对于D：根据通项公式可得斐波那契数列为， 3的倍数项为偶数，其他项为奇数，下面用数学归纳法证明： ①当，2，3时，，，满足规律， ②假设当，，时满足为偶数，，为奇数， ③当，，时， ，因为，为奇数，所以为偶数， ，因为为奇数，为偶数，所以为奇数， ，因为为奇数，为偶数，所以为奇数， 故3的倍数项为偶数，其他项为奇数得证， 2024项是非3的倍数项，故D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题A选项的判断比较常规，选项BC的关键是要通过适当的变形然后利用累加法判断，选项D根据数列规律猜想3的倍数项为偶数，其他项为奇数，利用数学归纳法证明. 【典型例题2】数学史上有很多著名的数列，在数学中有着重要的地位.世纪初意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列：，，，，，，，……，称之为斐波那契数列，满足，，.19世纪法国数学家洛卡斯提出数列：，，，，，，，……，称之为洛卡斯数列，满足，，.那么下列说法正确的有（    ） A． B．不是等比数列 C． D． 【答案】AC 【解析】利用斐波那契数列和洛卡斯数列的性质与特点一一代入检验即可. 对于A，当时，，等式成立； 当时，，等式成立；假设当时，成立， 那么当时，， 又，，，等式成立； 综上所述：成立，A正确； 对于B，，，又， 是以为首项，为公比的等比数列，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，取，则，，有，D错误. 故选：AC. 【变式训练1】“斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小正方形的边长从小到大分别为斐波那契数列，其中，，，，…，小正方形的面积从小到大记为数列，小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A选项，根据，，得到判断；B选项，由得到求解判断；C选项，由求和判断；D选项，由，结合选项C求解判断. A选项，因为，， 所以， 令，得， 所以，A错误； B选项， ，B正确； C选项，， 所以 ，C正确； D选项，， 所以，D错误． 故选：B C． 【变式训练2】斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足：，，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果某同学据此改编，研究如下问题：在数列中，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据数列的递推公式求出数列的前项，得出数列为从第四项起为周期数列，且周期为，再对各选项逐项判定，即可求出结果． 因为， 所以， ， ， ， ， 所以数列从第四项起为周期数列，且周期为， 所以，故A错误，BC正确； 因为， 所以，故D错误． 故选: BC． 【变式训练3】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再次应用累加法及递推公式判断选项D. 由递推公式，可得，， 所以，A选项正确； 又由递推公式可得，，，类似的有， 累加得， 故错误，B选项错误； 由题可知扇形面积， 故， 故错误，C选项错误； 由， ， ， ， 类似的有， 累加得， 又，所以， 所以正确，D选项正确； 故选：AD. 【变式训练4】斐波那契数列指的是这样一个数列：0､1､1､2､3､5､8､13､21､34､……，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：.在现代物理､准晶体结构､化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法正确的是（    ） A．该数列是一个递增数列 B．89是该数列的一项 C．从前10项可以看出，设第项为，则 D．设第项为，随着的增大，逐渐趋近于一个常数，则 【答案】BCD 【解析】根据斐波那契数列的定义列出前几项，即可判断A、B，根据递推关系判断C，依题意可得，即可得到，解得即可判断D. “斐波那契数列”为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…， 因为，所以该数列不是一个递增数列，故A错误； 因为，即89是该数列的一项，故B正确； 因为，，， 所以，， ，…， ， 所以，故C正确； 因为，两边同除，可得， 又随着的增大，逐渐趋近于一个常数，所以，解得（负值已舍去），故D正确. 故选：BCD 三、填空题 【典型例题1】意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列.斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数.人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：               大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】根据斐波那契数列前几项归纳出结论，从而判断①，直接计算检验判断②，利用①的结论对进行变化可判断③，利用特殊值检验判断④． 斐波那契数列从第项起，每一项都是前项的和，所以，①正确. ，②正确. ，所以③正确. 当时，，，所以④错误. 故答案为：①②③ 【变式训练1】同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和.如已知数列的通项为，故数列的前项和为.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，在斐波那契数列中，，，，若，那么数列的前2019项的和为 ． 【答案】 【解析】根据累加法，即可求出答案. ∵a1＝1，a2＝1，an+an+1＝an+2（n∈N*）， ∴a1+a2＝a3， a2+a3＝a4， a3+a4＝a5， … a2011+a2012＝a2013， …… 以上累加得， ∴ 故答案为 【点睛】本题主要考查了数列的求和方法，采用累加法，属于基础题． 【变式训练2】斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列满足，，，若记，则 用，表示 【答案】 【解析】根据题意分析可得，，进而可得，即可得结果. 因为，所以， 所以， 所以， 同理， 所以， 所以， ， 所以， ， 故答案为：. 【变式训练3】若数列满足，（且为正整数），则称数列为斐波那契数列.该数列是由意大利科学家列昂纳多·斐波那契于年提出，此数列在如今多种领域都有着广泛的应用.若记，则数列的前项和为 ；若此数列各项除以的余数构成一个新数列，则数列的前项和为 . 【答案】 / 【解析】由已知可得出，利用裂项相消法可求得数列的前项和；写出数列的前若干项，推导出数列是以为周期的周期数列，即可求得数列的前项和. 当且为正整数，由可得， 所以，数列的前项和为 ， 因为数列满足，（且为正整数）， 数列为：、、、、、、、、、、、、、、、、， 数列各项除以的余数构成一个新数列， 数列为：、、、、、、、、、、、、、、、、， 观察可得数列是以为周期的周期数列，故， 又因为， 所以，数列的前项和为. 故答案为：；. 四、解答题 【典型例题1】若数列满足，，，则称为斐波那契数列．试用数学归纳法证明其通项公式为． 【答案】见解析 【解析】利用数学归纳法证明即可. ①当时，； 当时，；满足通项公式. ②假设时命题成立，即 则当时， 所以当时，命题也成立. 由1①②可知，数列的通项公式为. 【变式训练1】特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可以按以下步叕求解：①对应的方程为，该方程有两个不等的实数根；②令，其中为常数，利用求出，可得的通项公式．满足的数列称为斐波那契数列． (1)求数列的通项公式； (2)若存在非零实数，使得为等比数列，求的值； (3)判定是数列的第几项，写出推理过程． 【答案】(1) (2)，或． (3)第2024项，答案见解析 【解析】（1）应用待定系数法求参即可； （2）设数列为等比数列再应用待定系数法得出等式再求参； （3）化简再应用裂项相消求和即可得出数列中的项. （1）由题意知，对应的特征方程是，解得． 于是，其中为常数． 当时，有，解得． 故． （2）设，则，与 比较得到，是方程的根， 所以或． 故，或． （3）因为，所以 ． 于是． 因此． 故是数列的第2024项． 【点睛】方法点睛：应用已知递推数列求通项公式应用待定系数法解决列方程组求根. 【变式训练2】斐波那契数列满足条件：，．按如下步骤将分解为两个等比数列，之和，最后可以得出的通项公式： (1)若等比数列满足条件，求的公比q． (2)若等比数列，同时满足条件，，且，求和的通项公式． (3)设，试写出斐波那契数列的通项公式． 【答案】(1)； (2)或，； (3)，. 【解析】（1）利用等比数列的定义解方程即可； （2）分类讨论求等比数列基本量即可； （3）利用（2）的结果直接相加即可. （1）由题意可知，又， 则； （2）设，的公比分别为，由可知显然， 结合（1），由于两数列结构相同，不妨令， 则， 所以， 交换公比，则有； （3）由（2）可知. 1 学科网（北京）股份有限公司 $