精品解析：吉林市吉化第九中学校2025～2026学年九年级上学期期末数学试卷

吉化九中2025－2026学年度第一学期 九年级期末质量检测 数学试卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀硬币，正面朝上 C. 打开电视机，正在播放广告 D. 直径所对的圆周角是 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 三角形的内心是（　　） A. 三边垂直平分线的交点                                        B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点                                        D. 三条中线的交点 5. 如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（　　） A. B. C. S△DOE：S△BOC＝1：2 D. △ADE∽△ABC 6. 如图，四边形内接于圆，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 8. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是______． 9. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______．（结果保留） 10. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则长度是________． 11. 如图，点在抛物线的图象上，当时，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共11题，共87分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 12. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 13. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资10亿元对各市农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2012年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”864万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率． 14. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表．图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，，为半径，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 15. 如图，铅球的出手点距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米． （1）求铅球运行路线的解析式． （2）求铅球出手后经多少秒落地． 16. 为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． （1）求甲同学选择班剪纸课的概率． （2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 17. 如图，在菱形中，为边上的一点，． （1）求证， （2）若，，则______． 18. （1）画出关于原点对称图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点O逆时针旋转后，并写出点的坐标； 19. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系． （1）直接写出点B、C的坐标：B______、C______； （2）在图中标出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并写出D的坐标D______． （3）过点B作的切线． （4）直接写出弧长度______． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：与相切； （2）当为等边三角形且时，求阴影部分的面积． 21. 如图，在中，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．过点P作交或于点D．设点P的运动时间为，的面积为S（平方单位）． （1）的长为______． （2）求线段的长度（用含t的式子表示），并写出t的取值范围． （3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； （3）当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； （4）当矩形为正方形时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉化九中2025－2026学年度第一学期 九年级期末质量检测 数学试卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，熟练掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键． 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上 C. 打开电视机，正在播放广告 D. 直径所对的圆周角是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，此选项不符合题意； 、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，此选项不符合题意； 、打开电视机，正在播放广告是随机事件，此选项不符合题意； 、直径所对的圆周角是是必然事件，此选项符合题意； 故选：． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 4. 三角形的内心是（　　） A. 三边垂直平分线的交点                                        B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点                                        D. 三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内心的性质求解． 【详解】解：三角形的内心就是三角形内切圆的圆心，到三条边的距离相等，是三角形三个内角角平分线的交点. 故选:B. 【点睛】考查三角形的内切圆与内心，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 5. 如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（　　） A. B. C. S△DOE：S△BOC＝1：2 D. △ADE∽△ABC 【答案】C 【解析】 【分析】根据中线BE、CD交于点O，可得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得出，可判断A，根据平行线分线段成比例可判断B，由平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质可判断C，D． 【详解】解：∵BE和CD是△ABC的中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC，， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵， ∴△DOE∽△COB， ∴（）2＝（）2，故C选项符合题意； ∵， ∴△ADE∽△ABC，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 6. 如图，四边形内接于圆，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质可得，由平行线的性质可得，由同角的补角相等可得，根据圆周角定理，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆内接四边形，平行线的性质，同角的补角相等，圆周角定理． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为： 8. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算；圆锥的侧面积底面半径母线长，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：圆锥的底面半径长为、母线长为， 圆锥的侧面积为． 故答案：． 10. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是________． 【答案】##2厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， 由旋转的性质得：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为： 11. 如图，点在抛物线的图象上，当时，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值． 根据二次函数的图象和性质，可得的最大值为顶点纵坐标，最小值为当时的函数值，即可得的取值范围． 【详解】解：∵ ∴图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最大值为， 当时，随着增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，取最小值， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11题，共87分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 12. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 【答案】， 【解析】 【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程． 【详解】解：(x－2）(x+1)=0， ∴x－2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题． 13. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资10亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2012年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”864万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，设A市投资“改水工程”的年平均增长率为x，根据2012年和2014年的投资额建立方程求解即可． 【详解】解：设A市投资“改水工程”的年平均增长率为x， 由题意得， 解得或（舍去）， 答：A市投资“改水工程”的年平均增长率为． 14. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表．图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，，为半径，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】这座石拱桥主桥拱的半径为 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 设这座石拱桥主桥拱的半径为，由垂径定理，结合已知可得，根据勾股定理，即可得这座石拱桥主桥拱的半径． 【详解】解：设这座石拱桥主桥拱的半径为， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． 15. 如图，铅球的出手点距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米． （1）求铅球运行路线的解析式． （2）求铅球出手后经多少秒落地． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求抛物线的解析式，由函数值求自变量的值是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点代入，即可求出抛物线的解析式； （2）令，求出的值，即可得出铅球出手后经多少秒落地． 【小问1详解】 解：根据题意可得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴铅球运行路线的解析式为． 【小问2详解】 令，则， 解得，（舍去）． ∴铅球出手后经秒落地． 16. 为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． （1）求甲同学选择班剪纸课的概率． （2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 【答案】（1）甲同学选班的概率为； （2）甲乙两人选择同一门课程的概率为． 【解析】 【分析】本题考查知识点是列举法求概率和列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 直接根据概率公式求解即可； 完整列出表格，列清所有可能的情况及甲、乙两人选择同一门课程的情况，再根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：该校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋共门特色课程， 甲同学选择班剪纸的概率为． 【小问2详解】 解：如下表所示： 　　乙 甲 共有种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有种， 甲、乙两人选择同一门课程的概率为． 17. 如图，在菱形中，为边上的一点，． （1）求证， （2）若，，则______． 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质． （1）由菱形的性质，结合平行线的性质，可得，结合已知，即可证得结论； （2）由菱形的性质，可得，由三角形相似的性质，可得，即可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵ ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. （1）画出关于原点对称图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点O逆时针旋转后的，并写出点的坐标； 【答案】（1）见解析，；（2）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和关于原点对称，正确找到对应点位置是解题的关键． （1）关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据网格的特点和旋转方式可得的位置，描出，并顺次连接即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求，则； （2）如图所示，即为所求，则． 19. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系． （1）直接写出点B、C的坐标：B______、C______； （2）在图中标出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并写出D的坐标D______． （3）过点B作的切线． （4）直接写出弧的长度______． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，再根据点的位置可得对应点的坐标； （2）圆心D既在线段的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，据此结合网格的特点可确定点D的位置和坐标； （3）如图所示，取格点E，作直线，此时，利用勾股定理逆定理可证明，则为圆D的切线； （4）利用网格，用勾股定理和勾股定理的逆定理可证明，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：建立坐标系如下，则点B的坐标为，点C的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，点D即为所求，则； 【小问3详解】 解：如图所示，直线即为所求； 【小问4详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴弧的长． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，确定圆心的位置，切线的判定，求弧长，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟知圆的相关知识是解题的关键． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：与相切； （2）当为等边三角形且时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角，等量代换可得，由平行线的判定和性质，结合已知可得，即可证得结论； （2）根据已知易得，由等边三角形的性质，结合平行线的性质，可得，从而可得，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，用的面积减去扇形的面积，即可得阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查等边对等角，平行线的判定和性质，证明某条直线是圆的切线，等边三角形的性质，含角的直角三角形，勾股定理，求不规则图形的面积． 21. 如图，在中，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．过点P作交或于点D．设点P的运动时间为，的面积为S（平方单位）． （1）的长为______． （2）求线段的长度（用含t的式子表示），并写出t的取值范围． （3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）7 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，列函数关系式，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点B作于点H，可证明是等腰直角三角形，则利用勾股定理和等腰直角三角形的性质可求出，再利用勾股定理求出即可得到答案； （2）过点B作于点C，当时，点P在线段上运动（不包括点A），可证明是等腰直角三角形，得到；当时，点P在线段上运动（不包括点H），可证明，利用相似三角形的性质可求出； （3）根据（2）所求结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点B作于点H，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作于点H， 由（1）得， ∵动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动， ∴， ∴； 当时，点P在线段上运动（不包括点A）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当时，点P在线段上运动（不包括点H）， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 综上所述，； 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，点P在线段上运动（不包括点A）， 则； 当时，点P在线段上运动（不包括点H）， 则， 综上所述，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； （3）当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； （4）当矩形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】（1）， （2）且 （3）或或或 （4）或 【解析】 【分析】（1）将原点O，点B代入解析式中求解，即可得到抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，结合点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以及垂直于y轴，画出草图，推出满足题干条件的临界点，利用数形结合进行分析，即可解题； （3）根据二次函数解析式得到，再分两种情况，当点在点的上方时，当点在点的下方时，结合矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2，建立方程求解，即可解题； （4）由（3）可知，根据矩形为正方形，得到，据此建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线经过原点O，点B在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m， 又以为对角线作矩形，垂直于y轴，且抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，如图： 则当M在C上方时满足条件， 当点重合时，为满足题干条件的临界点， 当时，有， 解得， 此时，， 当且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； 【小问3详解】 解：点M横坐标为m， ， 当点在点的上方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 当点在点的下方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 综上，当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为或或或； 【小问4详解】 解：由（3）可知， 矩形为正方形， ， ，即 或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 综上，当矩形为正方形时， m的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，矩形的性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $