专题12一次函数图象与性质 2026年中考数学一轮复习核心讲义(核心考点+模拟真题)

该初中数学中考复习讲义聚焦一次函数专题，针对中考必考的定义、图象性质、解析式求解、代数几何综合及实际应用等核心考点，以“基础-技能-综合”模块构建知识网络，设计“考点梳理-方法指导-真题训练”教学环节，系统突破复习难点。 亮点在于“秒判象限”“速求解析式”等直观教学策略，通过待定系数法步骤拆解、几何综合面积计算等实例，培养学生的数学眼光与思维。设置分层模拟题型和高频考点模板，配合易错点速概，保障复习效率，助力教师精准教学，提升学生应试能力。

专题12一次函数图象与性质中考一轮复习核心讲义 1.基础通关：精准区分正比例函数与一次函数的 “亲妈级” 关系，吃透定义、图象、性质的核心考点，做到看到解析式秒判象限，拿到点坐标速画直线。 2.技能开挂：熟练拿捏待定系数法的 “解题密码”，无论给 1 个点（正比例）还是 2 个点（一次），都能快速求出解析式，实现 “代点即解，解完即对”。 3.跨界融合：打通一次函数与方程、不等式、方程组的 “任督二脉”，轻松搞定 “函数图象读解集”“交点坐标找方程组解” 等高频题型，实现代数几何双向秒杀。 4.应用逆袭：解锁计费、行程、利润等实际问题的 “解题套路”，学会从题干中抓变量、列解析式、定范围，让复杂应用题变成送分题。 5.综合冲刺：玩转一次函数与三角形、四边形的几何综合，熟练计算图象与坐标轴围成的面积，掌握图象平移 / 轴对称变换技巧，避开所有易错陷阱。 6.应试提分：提炼中考一次函数高频考点和解题模板，实现 “基础题不丢分，中档题稳拿分，综合题多抢分”，冲刺中考一次函数板块满分！ 核心知识 点梳理 1.正比例函数 2.一次函数基础 3.一次函数解析式求解 4.一次函数的实际应用 5.一次函数与代数知识的联系 6.一次函数几何综合 中考模拟 题型实战 1.一次函数(含正比例函数)解析式求解 2.一次函数图形与性质判断 3.一次函数与反比例函数综合 4.一次函数与方程(组)不等式综合 5.一次函数几何应用 6.一次函数最值与 范围问题 7.一次函数实际应用 8.一次函数新定义与综合拓展 【知识点01.正比例函数】 1.定义：y=kx（k≠0，常数） 2.图象：过原点的直线 3.性质： k>0：过一、三象限，y 随 x 增大而增大 k<0：过二、四象限，y 随 x 增大而减小 【知识点02.一次函数基础】 1.定义：y=kx+b（k≠0，k、b 为常数） 特殊关系：b=0 时，是正比例函数（正比例是一次函数的特例） 2.图象： 画法：两点法（与 x 轴交点 (−​,0)、与 y 轴交点 (0,b)） 象限：由k、b 符号共同决定（如 k>0,b<0 过一、三、四象限） 3.性质： 增减性：k>0 递增，k<0 递减 与 y 轴交点：(0,b)（b 决定交点位置） 【知识点03.一次函数解析式求解】 方法：待定系数法 步骤：设（设解析式）→ 代（代入已知点坐标）→ 解（解方程 / 组）→ 写（写出解析式） 【知识点04.一次函数与代数知识的联系】 1.与一元一次方程：kx+b=0 的解是 y=kx+b 图象与 x 轴交点的横坐标 2.与一元一次不等式： kx+b>0：图象在 x 轴上方对应的 x 范围 kx+b<0：图象在 x 轴下方对应的 x 范围 3.与二元一次方程组：方程组的解是两个一次函数图象的交点坐标 【知识点05.一次函数的实际应用】 步骤：审题（定变量）→ 列解析式（y=kx+b）→ 限范围（自变量实际意义）→ 求解（最值 / 对应值等） 常考题型：计费、行程、利润问题 【知识点06.一次函数几何综合】 1.与坐标轴围成的三角形面积： S=×∣与x轴交点横坐标∣×∣与y轴交点纵坐标∣ 2.常考类型：与图形（三角形、四边形）结合求面积 / 点坐标；图象的平移 / 轴对称变换 一次函数易错点速概 定义类：漏看 “k≠0”；混淆正比例与一次函数关系→先验 “k≠0+x次数1”，正比例需加 “b=0”。 图象性质类：漏b错判象限；增减性搞反→k定升降，b定y轴交点。 待定系数法：设错解析式；代反横纵坐标→先判函数类型再设式，代入时x对横、y对纵。 代数联系类：方程解对应错轴；k<0时不等式忘变号→看图象位置，k负解不等式必变号。 实际应用类：漏自变量实际范围；分段计费漏分段点→列式后定变量范围，分段标数轴点。 几何综合类：面积用负坐标:平移搞反方向→面积加绝对值，平移 “左加右减x，上加下减b”。 【模拟01.一次函数(含正比例函数)解析式求解】 1．（2025·四川成都·一模）已知一次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的定义、利用平方根解方程，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入一次函数的解析式可得一个关于的方程，再利用平方根解方程可求出的值，然后根据一次函数的定义可得，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， 解得， 又∵函数是一次函数， ∴， 解得， 综上，， 故答案为：4． 2．（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．由函数平移的规律，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， ∴正比例函数是， 由“上加下减”的原则可知，将正比例函数的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：， 故答案为：． 3．（2025·山西晋中·二模）已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义和性质，设经过原点的直线解析式为，代入点C求出的值，再利用正比例函数的性质求出，，比较大小即可得出结论． 【详解】解：设经过原点的直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 当时，； 当时，； ∵ ∴， 故选：B． 4．（2025·安徽芜湖·三模）物理课上，小明经过多次实验发现：在弹簧弹力范围内，弹簧总长是弹簧秤所挂重物质量的一次函数，其部分对应值如下表所示： 重物质量 弹簧总长 根据以上信息，表中的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，确定解析式是解题的关键． 根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为，利用已知数据点求出k和c，再代入和计算对应的a和b，最后求的值． 【详解】解：根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为， 把点和代入得，， 解得：， 因此，函数解析式为：， 当时，， 当时，， ， 故选：C． 5．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若点在一次函数的图像上，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算、一次函数图象上的点．注意化简的准确性． （1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）把坐标代入一次函数解析式求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：． （2）∵点在一次函数的图像上， ∴， 即， ∴． 6．（2025·北京·模拟预测）鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下枚普通鸡蛋的失重率． 当储存时间为(天)，冷藏储存时鸡蛋的失重率记为，常温储存时鸡蛋的失重率记为，部分数据如下表： 天 (1)表格中的值为 ； (2)通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为 天； 若将常温储存下失重率的鸡蛋取出枚改为冷藏，则天后，这枚鸡蛋的失重率比常温储存的枚鸡蛋失重率约低 ． 【答案】(1)； (2)画图象见解析； (3)； 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，从函数图象中获取信息，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据表格数据与为正比例函数关系，求得，然后将代入即可求解； （）通过函数图象方法即可求解； （）根据表格数据和函数图象观察即可得解； 由（）可得，冷藏储存时鸡蛋的失重率增长速度是天，则，分析图象可得，第天常温储存时鸡蛋的失重率约为，然后相减即可． 【详解】（1）解：通过分析数据可得，与为正比例函数关系， 设， 将代入可得， 解得， ∴， 将代入可得， 故答案为：； （2）解：画出图象如图， （3）解：根据图象可知当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为天， 故答案为：； 由（）可得，冷藏储存时鸡蛋的失重率增长速度是天， ∴， 分析图象可得，第天常温储存时鸡蛋的失重率约为， ∴， 故答案为：． 7．（2025·浙江杭州·二模）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可； （2）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第四象限，可得到，由不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴将点代入一次函数解析式得：， 联立得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：根据题意：，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ∵一次函数的图象经过第四象限，且，则， ∴， ∴ ∴． 8．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知点与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C．若B，C两点都在函数的图象上，则点A的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，根据点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点，可得，代入可解得，故点的坐标为． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点， ∴， ∵两点都在函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 故选：C． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 10．（2025·陕西·模拟预测）将一次函数的图像向下平移5个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图像上，则的值为（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图像的平移，点关于原点对称问题，熟悉平移和关于原点对称点坐标特征是解题的关键． 由平移得到，再根据点关于原点对称后的点坐标为，接着代入即可求解． 【详解】将一次函数的图像向下平移5个单位长度， 得到函数， 点关于原点对称后的点坐标为， ， 解得． 故选：B． 11．（2025·河北唐山·二模）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． (1)求a和b的值． (2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． (3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，图见详解 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的综合，利用待定系数法求出函数解析式是关键； （1）根据表格信息建立方程组求解的值； （2）把代入求出，再由表格画图即可； （3）求出A，B两点纵坐标，再根据点A，B关于轴对称，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ，解得： （2）解：当时，， ∴， 画图如下： （3）解：令，则，， 当点A，B关于轴对称时，， 解得：． 12．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，直线平移的性质，一次函数图象的性质等，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． （1）利用待定系数法和平移的性质即可求得结果； （2）根据一次函数图象的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得； ∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ， ， 将代入得， 解得； （2）解：由（1）得的解析式为，的解析式为， 如图所示，当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值， 则． 【模拟02.一次函数图象与性质判断】 13．（2025·四川成都·二模）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点B的坐标是 B．的面积是8 C．y随x的增大而增大 D．点在函数图象上 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的性质，直线与坐标轴围成的三角形面积等知识点．令，则，即可判断A，求出点A的坐标，再计算的面积即可判断B，根据一次函数的性质即可判断C，把代入一次函数求出对应的y值即可判断D． 【详解】解：令，则， ∴点B坐标为，故A错误； 令，则， 解得， ∴点A坐标为， ∴，， ∴，故B错误； ∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大，故C正确； 当时，， ∴点不在函数图象上，故D错误． 故选：C． 14．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据所给一次函数解析式，得出y随x的增大而减小，再结合A，B两点纵坐标的大小关系，得出横坐标的大小关系即可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：因为一次函数的解析式为， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以 故答案为： 15．（2025·海南儋州·模拟预测）若点在一次函数的图象上，则m，n，p的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合即可求解． 【详解】解：在一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 16．（2025·广东深圳·一模）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线经过第一、三、四象限，可知，，可得，所以直线的图象经过一、二、三象限． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 17．（2025·安徽淮北·二模）若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】解：正比例函数经过第二、四象限， ， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 18．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大， 一次函数的图象过第一、二、三象限， 故A，B，C选项不符合题意； 当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小， 一次函数的图象过第一、二、四象限， 故D选项符合题意． 故选：D． 19．（2025·上海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据一次函数与正比例函数的图象解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三象限， 由得：， ∴一次函数的图象不经过原点，故A、D选项错误，不符合题意； 对于B选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相符合，故B选项符合题意； 对于C选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相矛盾，故C选项不符合题意； 故选：B 20．（2025·安徽合肥·二模）已知是直线图象上不同的两个点，若，则下列各点，可能在该直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质得到，，得出，结合推出，再逐项代入各点的坐标到，利用待定系数法求出的值即可判断． 【详解】解：代入到直线，得， 代入到直线，得， ， ， ， 又， ； A、若在直线上，则，解得，不符合题意； B、若在直线上，则，解得，不符合题意； C、若在直线上，则，解得，符合题意； D、若在直线上，则，解得，不符合题意； 故选：C． 21．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限，不经过第三象限 故答案为：三． 22．（2025·贵州遵义·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质．直接利用二次函数图象得出a、b、c的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，，对称轴， ∴， 对于一次函数，，， ∴一次函数的图象大致是 ， 故选：D． 23．（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于x,y的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【模拟03.一次函数与反比例函数综合】 24．（2025·陕西·模拟预测）若正比例函数（）与反比例函数的图象交于，两点，且，则该反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题．熟练掌握正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称，是解题的关键． 由A、B关于原点对称，得，得，得 ，即得． 【详解】解：∵正比例函数（）的图象与反比例函数的图象交于、两点， ∴A、B关于原点对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数交于点，，过点作轴于点，若的面积为2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数的图象与性质、反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数和正比例函数的图象与性质是解题关键．过点作轴于点，先根据函数的图象与性质可得点与点关于原点对称，且，再设点的坐标为，则点的坐标为，根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由函数的图象与性质可知，点与点关于原点对称，且， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵轴于点，轴于点， ∴，，，， ∵的面积为2， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 26．（2025·广西·一模）如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图像的交点问题，解题的关键是结合题意，利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式． 先求出反比例函数的解析式，结合图形求出点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为：，联立反比例函数和直线：，即可求出两个图像的交点，从而得到点的坐标，再构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 又依题意可得， 设直线的解析式为， 直线过，， ， ， ， 联立方程组得， 解得：和， ， ， 如图，构造， ，， ． 故答案是：． 27．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数分别与轴，轴交于，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据函数与不等式的关系，由图像求解即可； （3）设点，由题意求得，，根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）由点在反比例函数的图像上， ， 反比例函数解析式为， ， 将，代入一次函数， ，解得， 所以一次函数． （2），即， 则一次函数图像在反比例函数图像下方， 所以解集为或． （3）在一次函数中， 当时，；当时，， ， ， ， 设点， ，解得， 所以点的坐标为． 28．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：B． 【模拟04.一次函数与方程(组)不等式综合】 29．（2025·陕西咸阳·一模）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 30．（2025·河南驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出的值，再根据题意作答即可． 【详解】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 31．（2025·山东滨州·二模）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 32．（2025·陕西西安·模拟预测）将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点解方程，一次函数的平移，理解函数平移的性质，两直线交点解方程的方法是关键． 根据函数图象的平移得到平移后的解析式，再根据两直线交点解方法即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∴直线与直线的交点为， ∴方程的解为， 故选：B ． 33．（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 34．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 35．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握待定系数法，图象法确定不等式的解集是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点， ∴， 解得，， ∴， 解得，； （2）解：由（1）可得，，， ∴当时，对于函数，则，对于函数，则， ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， 如图所示， ∴， ∴的取值范围为． 36．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 【答案】(1)过； (2)； (3)4或． 【分析】（1）在中，令求得，从而可求得直线过定点的坐标即可； （2）先根据点 B、O关于点D对称，求得点D的坐标，代入，求得，从而可求得直线的解析式； （3）先求得，再根据在直线上，可得出直线：与直线：的交点为，从而可求得，，进而求得，分、两种情况，分别求出m的值． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴直线过定点， 故答案为：过； （2）在中，令得， ∴， ∵点B、O关于点D对称， ∴D是的中点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为为； （3）在中，令得， ∴在直线上， ∴直线：与直线：的交点为， 在中，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴， 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 综上所述，m的值为4或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题关键是分类讨论思想的应用． 【模拟05.一次函数几何应用】 37．（2025·辽宁大连·一模）如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的关系式可求出点A、点B的坐标，即可得的长，证明得，，可得出点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为N． ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，， 即，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，一次函数图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明是解答本题的关键．． 38．（2025·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 【详解】解：解：当时，， ∴点B的坐标为 ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 在中，，，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴， ∴ 故答案为：． 39．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式，用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点C为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点C在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故答案为：． 40．（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，两点之间，线段最短等．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．先确定点关于直线对称的点的坐标，连接与直线的交点即为点，再求出直线的解析式，联立方程组，求出两直线的交点坐标即可． 【详解】解：作点关于直线对称的点，连接，如图： ∵点与点关于直线对称， ∴， 故， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 即点是与直线的交点； ∵点关于直线对称点坐标为， ∴点关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵点是直线与直线的交点， 故联立方程组， 解得：， 即点的坐标为． 故答案为：． 41．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位长度得到直线，则直线与间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平移的性质、平行四边形的判定与性质、一次函数图象与坐标轴的交点、勾股定理等知识，利用平行四边形的性质求解是解答的关键．先求得直线与x、y轴的交点坐标A、B，进而求得，设点A、B对应点C、D坐标，再根据平移性质得到四边形是平行四边形，设直线与间的距离为h，利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：设直线与x、y轴的交点分别为点A、B， 当时，，当时，由得， ∴，，则，， ∴， ∵直线向右平移6个单位长度得到直线， 设点A的对应点为C，点B的对应点为D， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 设直线与间的距离为h， 由得， 即直线与间的距离为， 故答案为：． 42．（2025·重庆永川·模拟预测）如图，在正方形中，E为边上一动点，于点F，连接并延长，交的延长线于点M，若则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先由正方形的性质得线段长度相等，角相等，由勾股定理的长；以正方形的顶点B为原点、所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，过F点作于点G，过M点作交的延长线于点N；然后确定各点坐标，用待定系数法求直线和直线的解析式；联立两个解析式求出交点M，最后在中用勾股定理求出长，即可得出的长，得出结论． 【详解】解：在正方形中，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 在中，， 以正方形的顶点B为原点、所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，过F点作于点G，过M点作交的延长线于点N，如图： 则，，， 在中， ， ， ， 点坐标为， 设直线的解析式为，把E点代入，得： ，解得：， 设直线的解析式为， 设直线的解析式为，把F点代入，得： ，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ， 在中，由勾股定理得：， ． 故答案为： A． 【点睛】本题主要考查的是正方形性质、坐标系的应用、待定系数法求直线解析式，直线方程的求解及两点间距离公式的运用．建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 43．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的一个动点，以为边作等边，当点在第一象限内时，下列图象中可以表示与的函数关系的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，在y轴上截取，作轴于点F，连接，，，作于P，由勾股定理求出，解直角三角形得则，进而推出是等边三角形，则，再证明得，进而可得，则，即，结合一次函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在y轴上截取，作轴于点F，连接，，，作于P， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又， 则下列图象中，可以表示与的函数关系的是选项A． 故选：A． 44．（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的性质，正方形的性质． 根据正方形的轴对称性，由、的坐标可求、的坐标，将、的坐标代入中，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出，的长，设，表示出的坐标，代入直线方程中列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的坐标，依此类推寻找规律，即可求出的坐标． 【详解】解：连接，，，分别交轴于点、、， 正方形、、， 与关于轴对称，与关于轴对称，与关于轴对称， ，， ，即，，即， ，， 将与的坐标代入中得： ， 解得：， 直线解析式为， 设，则有坐标为， 代入直线解析式得：， 解得：， 坐标为，即， 依此类推． 故答案为：． .45．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ，解得， ，即点的横坐标为， 同理，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在直线上， 点的横坐标为． 故选：D． 46．（2025·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 47．（2025·四川成都·一模）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． (1)如图，若直线与直线为“等腰三角线”，且点的坐标分别为，求直线的解析式； (2)如图，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①见解析；② 【分析】本题考查了一次函数解析式求解、反比例函数与一次函数交点求解、新定义理解应用.三角形相似判定与性质等知识． ()利用“等腰三角线”的性质，可知，根据等腰三角形的性质求出的坐标，设直线的解析式为，将点的坐标代入计算即可； ()①先求出直线的解析式，在求出垂直平分，得，求出，即可得答案；②设交于点，求出，得，再求出，即可得答案． 【详解】（1） 解：如图，过点作轴， ∵直线与直线为“等腰三角线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴的解析式为； （2） ①证明：如图， . ∵直线与双曲线交于点，联立得： ， 解得：或， ∴、； ∵的横坐标，且在双曲线的图象上， ∴的坐标为， 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得：， ∴的解析式为， ∴当 时，，即； ∴设直线的解析式为，将代入得： ， 解得：， ∴的解析式为为， ∴当时，，即， 过点作轴的垂线， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴直线与直线为“等腰三角线”； ②解：设交于点，如图， ∵直线与直线为“等腰三角线”， ∴平分，垂直平分， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ∴． 【模拟06.一次函数最值与范围问题】 48．（2025·江苏南京·一模）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵, ∴当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 49．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． 50．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值是； 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）将点代入一次函数解析式即可解决问题． （2）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：将点代入，得， ； （2）解：如图， 当时，， 把代入，求得， 当时，， 把代入，求得， ∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， ∴的最小值为的取值范围是． 51．（2025·上海·模拟预测）定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（   ） A．可以是任意的一次函数 B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数” C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有 D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查函数的性质，一次函数的性质，根据新定义得到为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：根据新定义可得：为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大； ∵函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断， ∴A、可以是任意的一次函数，选项说法正确，不符合题意； B、当时，由得到，此时是“下阶梯函数”，选项说法错误，符合题意； C、若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有，，则，选项说法正确，不符合题意； D、若存在实数、使得，则和中一正一负，得到的图像与轴有且只有一个交点，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 52．（2025·吉林长春·一模）如图，把一次函数（，为常数，）．在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴及上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图1就是函数的“”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“”形图象； (2)在（1）的条件下，根据图象2，下列关于该函数性质的说法正确的有______．（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，函数表达式为，当时，； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0； (3)在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点A，与直线相交于，两点（点在点的左侧）， ①点的坐标为______；点的坐标为______． ②求的面积． (4)如图3，已知，，若一次函数（）的“”形图象与线段有二个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1)作图见解析 (2)①②③ (3)①，；②20 (4)或 【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）对于一次函数，先求与坐标轴交点，令，则；令，则．画出的图象，再将轴下方部分沿轴向上翻折，得到“”形图象． （2）从图象对称性、不同区间函数表达式及最值点三方面，依据“”形图象性质与翻折规则进行判断． （3）①由一次函数解析式确定点A的坐标即可，然后联立求出交点坐标， ②结合图形利用分割法求三角形面积即可； （4）对k的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）①从图象看，沿直线对折，图象左右两部分能完全重合，所以该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线，①正确． ②当时，图象在轴下方，翻折后函数表达式为；当时，图象在轴及上方，函数表达式为，②正确． ③．观察图象可知，在自变量取值范围内，最低点是，即当时有最小值，③正确． 故答案为：①②③； （3）①∵一次函数的“”形图象与轴交于点， ∴，对于（部分）可得，即． 联立， 将代入得： ． 解得， 把代入得 ， ∴． 联立， 将代入得： ． 解得， 把代入得 ， ∴． 故答案为：，； ②过作轴于，过作轴于， 则，，，，． ． （4）当时，一次函数过定点，要使“”形图象与线段有两个交点，当直线过时， ， 解得， 所以． 当时，当直线过时，， 解得， 所以． 综上所述：或． 【模拟07.一次函数实际应用】 53．（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下： (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． 【答案】(1)， (2)，点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元 (3)王林选择方案一花费更少，见解析 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用； （1）根据题意分别列出函数关系式即可； （2）依据题意联立方程组并求解即可求出点P的坐标，再结合实际说出实际意义即可； （3）根据图象进行分析，当时，；当时，即可求出结果． 【详解】（1）解：由已知得：方案一费用与剪发次数的函数关系式为， 方案二费用与剪发次数的函数关系式为； （2）依据题意联立方程组得：， 解得， ∴点， 点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元； （3）选择方案一花费更少． 理由：根据图象可知：当时，；当时，； ∴当时，； ∴王林选择方案一花费更少． 54．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【答案】C 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 55．（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据现在售价为每个60元，每天可销售100个，售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，即可得解； （2）根据总利润单件利润销售数量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最大，为元，此时定价为（元）， ∴零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元． 56．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 57．（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1) (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ②先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ； （2）解：①当时，，． ， 该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 58．（2025·河南南阳·三模）小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（    ） . A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的函数关系式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解．求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 【详解】解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A说法错误，不符合题意； B．当时，设所在直线的函数表达式为：， 则， 解得， ∴，故选项B说法错误，不符合题意； C．当石块下降的高度为时，即时，， 此时石块所受浮力是，故选项C说法错误，不符合题意； D．当弹簧测力计的示数为时，， 解得， 石块距离水底的距离为，故选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 59．（2025·吉林长春·模拟预测）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． (1)与的函数关系式为______；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (3)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【答案】(1)； (2)； (3)这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求得一次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）将代入求出x的值，再求出s的值即可． 【详解】（1）解：设，将代入， 得 ； （2）设， 把，代入，得：． 解得： ． （3）当时，， 解得； 当时，． 所以，这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km． 60．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为； (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为； (3)货车出发或后，两车相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得， 解得； 由图象得：在时，无法达到； 当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得． 货车出发或后，两车相距． 61．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D． 【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误； 设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 联立， 解得， ∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为 甲车速度为， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误； 故选：C． 62．（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 【答案】(1)甲辆，乙辆 (2)当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆，根据表格找到两个等量关系，列出方程组求解即可； （2）根据题意求出m的取值范围为，设总油耗升，然后写出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆， 根据题意， ， 解得， 则甲种车辆辆，乙种车辆辆； （2）设总油耗升， 已知派往A地的甲车m辆，则派往A地的乙车辆， 根据题意需满足∶ 解得 又∵乙车总数辆，而需辆车派往A地， ， ∴m的取值范围为， 油耗计算∶ A地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， B地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， ∴， ， 随增大而减小， ∴当最大为5时，最小， 升， ∴当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升． 【模拟08.一次函数新定义与综合拓展】 63．（2025·辽宁·一模）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，由图ⅰ可知时，，将代入各项函数解析式中求解并判断，即可解题． 【详解】解：由图ⅰ可知时，， 时，，，， 选项A、C、D不是与的函数关系式，不符合题意； 时，， 选项B是与的函数关系式， 故选：B． 64．（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：函数图象上到轴距离是到轴距离一半的点叫做这个函数图象的“半距点”．例如，点是函数图象的“半距点”；点是函数图象的“半距点”． (1)在①；②；③三个点中，是一次函数图象的“半距点”的有 ；(填序号) (2)已知点A是反比例函数(为常数，)的图象上的“半距点”，求这个反比例函数的解析式； (3)若二次函数 (是常数，的图象上的有且只有两个“半距点”，且满足令试求出的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，再根据“半距点”定义进行判定即可求解；   （2）根据“半距点”定义得到a的值，再代入反比例函数求出完美点的坐标b，运用待定系数法即可求解；   （3）根据半距点可得二次函数与一次函数和一共只有两个交点，根据半距点的计算，代入，运用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入符合； 将代入符合，但到x轴距离是12，到y轴距离是6，不符合“半距点”定义； 将代入符合； 故答案为①③； （2）解：∵点是反比例函数（b为常数，）图象上的“半距点”， 或． ∵点在反比例函数的图象上， 或， ∴反比例函数的解析式为或； （3）解：∵二次函数（a，c是常数，）的图象上的有且只有两个“半距点”， ∴二次函数与一次函数和一共只有两个交点． ∵二次函数的图象，一次函数的图象与的图象均关于y轴对称， ∴一次函数的图象与的图象均与二次函数的图象相切． 联立函数解析式，得． 由题意可得，即， ， ． 令． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，二次函数图象的性质，理解题目中半距点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 65．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，一元二次方程的应用，判别式的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，整理，即可作答． （2）结合，且函数的图象经过的定点，故整理，令，解得，再把代入进行计算，即可作答． （3）先求出线段的解析式为，依题意，得，再分别把，代入， 得，，则或，再解得的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ 即该函数的图象与轴有公共点； （2）解： ∵该函数的图象经过的定点 即 ∴ ∴把代入， 得 ∴该函数的图象经过的定点为． （3）解：设线段的解析式为， 把点，分别代入 得 解得 ∴线段的解析式为， ∵该函数的图象与线段没有公共点， ∴ 整理得 把代入， 得， 把代入， 得， 则或 解得，即；或解得，即 综上：或 66．（2025·湖南长沙·三模）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各小题． (1)判断下列函数是否为“函数”，若是，在括号里打“”；若不是，则打“”． （    ）； （    ）； （    ）． (2)是否存在，两点，既是一次函数上的“点”，又是二次函数上的“点”？若存在，求出，的坐标（可用表示）；若不存在，说明理由． (3)若关于x的二次函数（是常数），同时满足下列三个条件：，，该函数截x轴得到的线段长度为，证明该函数是“函数”并求出的值． 【答案】(1)；；； (2)不存在，理由见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，原点对称，掌握新定义及相关函数的性质是解题的关键． （）根据“函数”定义即可求解； （）设，，分别代入得，，解得，代入求出，，不符合题“函数”定义； （）由，则有，，令，，设两个根为，则，∴，解得或，当时，符合题意；当时，，与矛盾不，符合题意；再代入求出，或，即可求解． 【详解】（1）解：设函数图象上存在两点，关于原点对称， 将，分别代入联立得， ，方程组无解， 故答案为：； 设函数图象上存在两点，，显然两点关于原点对称， ∴为“函数”， 故答案为：； 设函数图象上存在两点，关于原点对称， 将，分别代入联立得， ，方程组无解， 故答案为：； （2）解：不存在，理由： 设，，分别代入得，， 解得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴不存在，两点； （3）解：∵， ∴，， 令，，设两个根为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，符合题意； 当时，，与矛盾，不符合题意； ∴关于的二次函数， 设，， ∴， 得：，得， ∴， ∴，或，， ∴该函数是“函数”． 67．（2025·四川成都·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)若在直线下方的抛物线上存在一点P，使得的面积等于1，求P点横坐标； (3)若直线是常数，与抛物线有且只有一个公共点． ①求直线l解析式； ②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，P点横坐标为 (3)①直线l的表达式为；②直线是过定点，该定点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合运用，涉及到根和系数关系的运用、待定系数法求函数表达式、图形的平移等，强大的运算能力是解题的关键． （1）依据题意，由待定系数法即可求解； （2）待定系数法求得直线的解析式为，过作轴交于，设，则，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①依据题意，直线与抛物线有且只有一个公共点，则，即可求解； ②依据题意，求出点的坐标为：，得到，设直线的表达式为：，得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：如图，∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过作轴交于， 设，则， ∵的面积等于 1 ，且点 P 在直线下方， ， 解得：， ∴存在，点横坐标为； （3）解：①由题意，当时，，即点， 将点代入得，即， 则直线的表达式为：， ∵直线与抛物线有且只有一个公共点， 则联立上述两个函数表达式得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：； ②由题意，直线过定点， 理由：直线向下平移 2 个单位得到直线，则直线为：， 联立直线与抛物线的表达式得：， 即， 而，则， 即点， 联立直线与抛物线的表达式得：， 即， 而，则， 即点， 联立直线的表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：， ∵点在直线上， 则， 整理得：， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ， 则直线的表达式， ∴当时，， 即直线过定点． 68．（2025·浙江杭州·三模）将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，一次函数、二次函数和反比例函数的性质．利用一次函数、二次函数和反比例函数的性质求得y随x的增大而减小的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：，，则y随x的增大而增大， ，，则y随x的增大而减小， ，，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ，，图象在一三象限，在每个象限，y随x的增大而减小， ∴恰好抽到y随x的增大而减小的情况只有一种， ∴任意抽取一张，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是． 故答案为：． 69．（2025·河北石家庄·一模）已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，分别代入，求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为， ∴两直线与轴交点间的距离． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故选D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一次函数图象与性质中考一轮复习核心讲义 1.基础通关：精准区分正比例函数与一次函数的 “亲妈级” 关系，吃透定义、图象、性质的核心考点，做到看到解析式秒判象限，拿到点坐标速画直线。 2.技能开挂：熟练拿捏待定系数法的 “解题密码”，无论给 1 个点（正比例）还是 2 个点（一次），都能快速求出解析式，实现 “代点即解，解完即对”。 3.跨界融合：打通一次函数与方程、不等式、方程组的 “任督二脉”，轻松搞定 “函数图象读解集”“交点坐标找方程组解” 等高频题型，实现代数几何双向秒杀。 4.应用逆袭：解锁计费、行程、利润等实际问题的 “解题套路”，学会从题干中抓变量、列解析式、定范围，让复杂应用题变成送分题。 5.综合冲刺：玩转一次函数与三角形、四边形的几何综合，熟练计算图象与坐标轴围成的面积，掌握图象平移 / 轴对称变换技巧，避开所有易错陷阱。 6.应试提分：提炼中考一次函数高频考点和解题模板，实现 “基础题不丢分，中档题稳拿分，综合题多抢分”，冲刺中考一次函数板块满分！ 核心知识 点梳理 1.正比例函数 2.一次函数基础 3.一次函数解析式求解 4.一次函数的实际应用 5.一次函数与代数知识的联系 6.一次函数几何综合 中考模拟 题型实战 1.一次函数(含正比例函数)解析式求解 2.一次函数图形与性质判断 3.一次函数与反比例函数综合 4.一次函数与方程(组)不等式综合 5.一次函数几何应用 6.一次函数最值与 范围问题 7.一次函数实际应用 8.一次函数新定义与综合拓展 【知识点01.正比例函数】 1.定义：y=kx（k≠0，常数） 2.图象：过原点的直线 3.性质： k>0：过一、三象限，y 随 x 增大而增大 k<0：过二、四象限，y 随 x 增大而减小 【知识点02.一次函数基础】 1.定义：y=kx+b（k≠0，k、b 为常数） 2.图象： 画法：两点法（与 x 轴交点 (−​,0)、与 y 轴交点 (0,b)） 象限：由k、b 符号共同决定（如 k>0,b<0 过一、三、四象限） 3.性质： 增减性：k>0 递增，k<0 递减 与 y 轴交点：(0,b)（b 决定交点位置） 【知识点03.一次函数解析式求解】 方法：待定系数法 步骤：设（设解析式）→ 代（代入已知点坐标）→ 解（解方程 / 组）→ 写（写出解析式） 【知识点04.一次函数与代数知识的联系】 1.与一元一次方程：kx+b=0 的解是 y=kx+b 图象与 x 轴交点的横坐标 2.与一元一次不等式： kx+b>0：图象在 x 轴上方对应的 x 范围 kx+b<0：图象在 x 轴下方对应的 x 范围 3.与二元一次方程组：方程组的解是两个一次函数图象的交点坐标 【知识点05.一次函数的实际应用】 步骤：审题（定变量）→ 列解析式（y=kx+b）→ 限范围（自变量实际意义）→ 求解（最值 / 对应值等） 常考题型：计费、行程、利润问题 【知识点06.一次函数几何综合】 1.与坐标轴围成的三角形面积： S=×∣与x轴交点横坐标∣×∣与y轴交点纵坐标∣ 2.常考类型：与图形（三角形、四边形）结合求面积 / 点坐标；图象的平移 / 轴对称变换 一次函数易错点速概 定义类：漏看 “k≠0”；混淆正比例与一次函数关系→先验 “k≠0+x次数1”，正比例需加 “b=0”。 图象性质类：漏b错判象限；增减性搞反→k定升降，b定y轴交点。 待定系数法：设错解析式；代反横纵坐标→先判函数类型再设式，代入时x对横、y对纵。 代数联系类：方程解对应错轴；k<0时不等式忘变号→看图象位置，k负解不等式必变号。 实际应用类：漏自变量实际范围；分段计费漏分段点→列式后定变量范围，分段标数轴点。 几何综合类：面积用负坐标:平移搞反方向→面积加绝对值，平移 “左加右减x，上加下减b”。 【模拟01.一次函数(含正比例函数)解析式求解】 1．（2025·四川成都·一模）已知一次函数的图象经过原点，则的值为 ． 2．（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为 ． 3．（2025·山西晋中·二模）已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（2025·安徽芜湖·三模）物理课上，小明经过多次实验发现：在弹簧弹力范围内，弹簧总长是弹簧秤所挂重物质量的一次函数，其部分对应值如下表所示： 重物质量 弹簧总长 根据以上信息，表中的的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若点在一次函数的图像上，请求出的值． 6．（2025·北京·模拟预测）鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下枚普通鸡蛋的失重率． 当储存时间为(天)，冷藏储存时鸡蛋的失重率记为，常温储存时鸡蛋的失重率记为，部分数据如下表： 天 (1)表格中的值为 ； (2)通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为 天； 若将常温储存下失重率的鸡蛋取出枚改为冷藏，则天后，这枚鸡蛋的失重率比常温储存的枚鸡蛋失重率约低 ． 7．（2025·浙江杭州·二模）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围． 8．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知点与点B关于x轴对称，将点A向左平移3个单位长度得到点C．若B，C两点都在函数的图象上，则点A的坐标为（  ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西·模拟预测）将一次函数的图像向下平移5个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图像上，则的值为（   ） A． B．8 C． D．3 11．（2025·河北唐山·二模）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． (1)求a和b的值． (2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． (3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 12．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【模拟02.一次函数图象与性质判断】 13．（2025·四川成都·二模）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点B的坐标是 B．的面积是8 C．y随x的增大而增大 D．点在函数图象上 14．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为 ． 15．（2025·海南儋州·模拟预测）若点在一次函数的图象上，则m，n，p的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·广东深圳·一模）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·安徽淮北·二模）若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·上海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（　　） A． B． C． D． 20．（2025·安徽合肥·二模）已知是直线图象上不同的两个点，若，则下列各点，可能在该直线上的是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 22．（2025·贵州遵义·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于x,y的方程组的解为 【模拟03.一次函数与反比例函数综合】 24．（2025·陕西·模拟预测）若正比例函数（）与反比例函数的图象交于，两点，且，则该反比例函数的解析式为 ． 25．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数交于点，，过点作轴于点，若的面积为2，则 ． 26．（2025·广西·一模）如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则 ． 27．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数分别与轴，轴交于，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 28．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 【模拟04.一次函数与方程(组)不等式综合】 29．（2025·陕西咸阳·一模）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 30．（2025·河南驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 31．（2025·山东滨州·二模）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 32．（2025·陕西西安·模拟预测）将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 33．（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 34．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 35．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 36．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 【模拟05.一次函数几何应用】 37．（2025·辽宁大连·一模）如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 38．（2025·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 39．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是 ． 40．（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ． 41．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位长度得到直线，则直线与间的距离为 ． 42．（2025·重庆永川·模拟预测）如图，在正方形中，E为边上一动点，于点F，连接并延长，交的延长线于点M，若则的长为（    ） A． B． C．2 D． 43．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的一个动点，以为边作等边，当点在第一象限内时，下列图象中可以表示与的函数关系的是（    ） A． B． B． C． D． 44．（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ． .45．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 46．（2025·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 47．（2025·四川成都·一模）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． (1)如图，若直线与直线为“等腰三角线”，且点的坐标分别为，求直线的解析式； (2)如图，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）． 【模拟06.一次函数最值与范围问题】 48．（2025·江苏南京·一模）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ． 49．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 50．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 51．（2025·上海·模拟预测）定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（   ） A．可以是任意的一次函数 B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数” C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有 D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点 52．（2025·吉林长春·一模）如图，把一次函数（，为常数，）．在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴及上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图1就是函数的“”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“”形图象； (2)在（1）的条件下，根据图象2，下列关于该函数性质的说法正确的有______．（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，函数表达式为，当时，； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0； (3)在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点A，与直线相交于，两点（点在点的左侧）， ①点的坐标为______；点的坐标为______． ②求的面积． (4)如图3，已知，，若一次函数（）的“”形图象与线段有二个交点，则的取值范围是______． 【模拟07.一次函数实际应用】 53．（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下： (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． 54．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 55．（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 56．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 57．（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 58．（2025·河南南阳·三模）小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（    ） . A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的函数关系式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 59．（2025·吉林长春·模拟预测）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． (1)与的函数关系式为______；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (3)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 60．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 61．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 62．（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 【模拟08.一次函数新定义与综合拓展】 63．（2025·辽宁·一模）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 64．（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：函数图象上到轴距离是到轴距离一半的点叫做这个函数图象的“半距点”．例如，点是函数图象的“半距点”；点是函数图象的“半距点”． (1)在①；②；③三个点中，是一次函数图象的“半距点”的有 ；(填序号) (2)已知点A是反比例函数(为常数，)的图象上的“半距点”，求这个反比例函数的解析式； (3)若二次函数 (是常数，的图象上的有且只有两个“半距点”，且满足令试求出的取值范围． 65．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 66．（2025·湖南长沙·三模）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各小题． (1)判断下列函数是否为“函数”，若是，在括号里打“”；若不是，则打“”． （    ）； （    ）； （    ）． (2)是否存在，两点，既是一次函数上的“点”，又是二次函数上的“点”？若存在，求出，的坐标（可用表示）；若不存在，说明理由． (3)若关于x的二次函数（是常数），同时满足下列三个条件：，，该函数截x轴得到的线段长度为，证明该函数是“函数”并求出的值． 67．（2025·四川成都·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)若在直线下方的抛物线上存在一点P，使得的面积等于1，求P点横坐标； (3)若直线是常数，与抛物线有且只有一个公共点． ①求直线l解析式； ②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 68．（2025·浙江杭州·三模）将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是 ． 69．（2025·河北石家庄·一模）已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $