精品解析：江苏省通州高级中学2025-2026学年高一上学期阶段检测练习(一)数学试题

江苏省通州高级中学2025级高一 数学学科阶段检测练习一 一、单选题 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集定义计算， 【详解】，，， 故选：D． 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2. 不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，求解即可. 【详解】不等式可化为，即，等价于， 解得，则解集为. 故选：B. 3. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则， 取，满足，而，即不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 5. 关于的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】确定甲或乙为假命题，丙丁为真命题，假设甲为真命题，得到矛盾，得到答案. 【详解】根据题意：甲乙丙中有矛盾，其中有一个假命题；甲乙丁中有矛盾，其中有一个假命题； 故甲或乙为假命题，丙丁为真命题. 假设甲为真命题，是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为， 与丁矛盾，假设不成立，故甲为假命题. 假设乙为真命题，是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为， 满足条件. 综上所述：甲为假命题. 故选：A. 6. 若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原命题为真，利用存在性成立列不等式求解即可． 【详解】由于“，使得” 是真命题， 可得，使得成立， ，即， 故选：C 7. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 二、多选题 8. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题，则的否定为： D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用全称量词命题的真假来判断A，由真子集关系来判断充要关系可推断B，利用命题的否定可判断C，利用不等式的性质可判断D． 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题； 对于C：命题，则的否定为：，故C选项为假命题 对于选项D：若，则，故D选项为假命题． 故选：AB. 9. 已知非空集合，且，则的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. －3 D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 10. 已知正数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用基本不等式逐一判断即可. 【详解】对于A：因为是正数，所以，当且仅当时取等号， 即当时，有最大值为，因此A正确； 对于B：因为是正数，， 当且仅当时取等号，即当时，的最小值为，B正确； 对于C：因为 当且仅当时取等号，即当时，，因此C不正确； 对于D，由， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 11. 已知集合，若，则中所有元素之和为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据可求参数的值，从而可求的元素之和． 【详解】因为，故或， 若，则，与元素的互异性矛盾； 若，则（舍）或，故，故， 所以中所有元素之和为3， 故答案为：3. 12. 写出使得命题“”是假命题的一个实数的值_____． 【答案】（答案不唯一，满足的都可以） 【解析】 【分析】由全称量词命题为真求出，再取补集即可． 【详解】假设命题“”是真命题， 则恒成立，即恒成立， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 因此若命题“”是假命题，则， 所以所求实数的一个值为． 故答案为：. 13. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 14. 已知命题：，，命题：，. （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可； （2）根据题意，分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； 【小问2详解】 由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 15. 已知集合，． （1）若，定义集合或，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知当时，， 又， 则； 【小问2详解】 若选①，则由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且，解得； 综上所述，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件， 则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且且不同时取等号，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 16. 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，设等腰梯形的腰长为. （1）用表示上底； （2）求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义，结合面积公式表示即可； （2）利用基本不等式计算即可. 【小问1详解】 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则 所以梯形面积, 所以, 即. 【小问2详解】 设，上底， 则， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即， 时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时， 所用篱笆长度最小，其最小值为． 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，，不等式的解集为，求的值； （3）若恒成立且时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系结合韦达定理求出，，代入解不等式即可求出答案； （2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系利用韦达定理即可求出答案； （3）根据不等式恒成立得到，进而得到，利用换元法借助于基本不等式求的最小值即可求出答案. 【小问1详解】 由题意得的两根为和，且， 所以，， 即，， 则不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得， 因为不等式的解集为， 所以的两根为和， 所以，， 解得. 【小问3详解】 对于成立， 则，得， 设，因为，所以，则， 设，此时， 当且仅当，即，即时，等号成立， 由，即时，取最小值为3． 18. 对于给定的非空集合，定义集合，，当时，则称具有孪生性质． （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若具有孪生性质，求的最小值； （3）设集合，若，求证：． 【答案】（1）不具有孪生性质，具有孪生性质． （2）676 （3）集合， 则0，，，，，，都属于集合， 又因为，且， 由于0一定是中的元素，且为最小元素，结合，可知， 此时，故0，，，，，，都属于集合， 由于，且，故必然，，与，，中的某一个元素相等， 又因为，所以是，，三者中的最大值，故只能与或相等，又，， 因此只能，且 所以． 【解析】 【分析】（1）直接根据集合的孪生性质可判断结果； （2）求出，由它们的交集为空集即可得出所求的答案； （3）求出中的可能元素，结合即可得出所求的结论． 【小问1详解】 由题意可得：,4,，,， ,6,7,10,11,，,1,4,， 而,，， 所以不具有孪生性质，具有孪生性质． 【小问2详解】 由题意可得：,1,2，,， ,,,，，， 因为，所以，即， 又因为，所以的最小值是676． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省通州高级中学2025级高一 数学学科阶段检测练习一 一、单选题 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 3. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 5. 关于的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题 8. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题，则的否定为： D. 若，则 9. 已知非空集合，且，则的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. －3 D. 0 10. 已知正数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为6 三、填空题 11. 已知集合，若，则中所有元素之和为_____． 12. 写出使得命题“”是假命题的一个实数的值_____． 13. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题 14. 已知命题：，，命题：，. （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 15. 已知集合，． （1）若，定义集合或，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 16. 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，设等腰梯形的腰长为. （1）用表示上底； （2）求出所用篱笆长度的最小值． 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，，不等式的解集为，求的值； （3）若恒成立且时，求的最小值． 18. 对于给定的非空集合，定义集合，，当时，则称具有孪生性质． （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若具有孪生性质，求的最小值； （3）设集合，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $