3.3 垂径定理 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“垂径定理”及逆定理，以赵州桥主拱半径问题导入，通过作图探究、对称分析及全等证明，引导学生从具体情境抽象出定理，形成“问题—探究—归纳—应用”的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以赵州桥等现实问题培养抽象能力与模型意识，通过推理证明发展逻辑思维，设计跨学科及新情境练习提升应用能力。学生能深化知识理解，教师可高效实施教学。

第三章 圆 北师大版 九年级下册 3.3 垂径定理 新课导入 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 37.4m 7.2m 探究新知 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O C D A B M O 连接OA，OB，则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合， CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 C D A B M O 结论 AM = BM C D A B M O 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. C D A B M O 几何语言 ∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AM = BM， 判断下列图形，能否使用垂径定理？ C D A B O C D E O C D A B O 定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O C D A B M O CD为⊙O的直径 条件 CD⊥AB AM = BM 结论 CD⊥AB 理由是：连接OA，OB，则OA=OB. 在△OAM和△OBM中， ∵ OA=OB，AM=BM. ∴ △OAM≌△OBM. ∴ ∠AMO=∠BMO. ∴ CD⊥AB ∵ ⊙O关于直径CD对称， C D A B M O ∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， C D A B M O 平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． （不是直径） 垂径定理的逆定理 C D A B M O 几何语言 ∵CD为⊙O的直径， AM = BM， ∴ CD⊥AB， C D A B M O 还有如下正确结论： CD为直径 CD⊥AB于M AM = BM 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备 （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. 例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点 O 是 所在圆的圆心），其中 CD = 600m，E 为 上一点，且 OE 丄 CD，垂足为 F，EF = 90m. 求这段弯路的半径. O E D C F O E D C F 解：连接 OC . 设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m . ∵ OE⊥CD ， ∴ 在Rt△OCF 中，根据勾股定理， 得 OC2 = CF2 + OF2，即R2 = 3002 +（R – 90）2. 解这个方程，得 R = 545. 所以，这段弯路的半径为 545 m. 3. 赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 再逛赵州石拱桥 解：如图， OD = OC – DC = R – 7.2 . 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 OA2 = AD2 + OD2 ， 即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2 解得 R ≈ 27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. AB = 37.4， CD = 7.2 课堂小结 C D A B M O 1. 如图，AB是☉O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下 列结论不成立的是（　C　） A. ＝ B. ＝ C. OE＝BE D. CE＝DE C 课堂练习 2. （教材P76习题T2变式）如图，AB是☉O的弦，半径 OC⊥AB于点D. 若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　A　） A. 3 B. 2 C. 6 D. A 3. 【新情境·跨学科】（2025·鞍山立山区模拟）如图，一个底 部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为5 cm，瓶内液体的最大 深度CD为2 cm，则截面圆中弦AB的长为（　B　） 　　 A. 8.6 cm B. 8 cm C. 6 cm D. 5.4 cm B 4. （教材P122总复习T17变式）如图，☉O的半径为5，弦AB 的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM 的长度的取值范围是 ⁠. 3≤OM≤5　 5. 如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，OB交于点 D. 若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　B　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 B 6. 如图，点A，B，C在☉O上，弦AC与半径OB互相平分， 那么∠AOC的度数为 ⁠°. 120　 7. （教材P75例题变式）如图，OC为☉O的半径，弦AB＝ 6，AB，OC交于点D，且D为AB的中点，CD＝1，求☉O的 半径. 解：如图，连接AO. ∵OC为☉O的半径，D为弦AB的中点， ∴AD＝BD＝ AB，OC⊥AB. ∵AB＝6，∴AD＝BD＝3. 设☉O的半径为R. ∵CD＝1，∴OD＝R－1. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2， 即R2＝（R－1）2＋32， 解得R＝5，即☉O的半径为5. 8. 已知☉O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为 M，则DM的长为 ⁠. [变式] （2024·营口大石桥期中）已知AB，CD是☉O的两条 平行弦，AB＝24，CD＝10，☉O的半径为13，则弦AB与CD 的距离为 ⁠. 8或2　 7或17　 9. （2025·营口盖州二模）如图，☉O的直径AB垂直于弦 CD，垂足为E，弦CD＝16，OE∶OA＝3∶5，则AC的长为 （　D　） A. 8 B. 10 C. 4 D. 4 D 10. 如图，在半径为 的☉O中，AB，CD是互相垂直的两条 弦，垂足为P，且AB＝CD＝4，则OP的长为（　B　） A. 1 B. C. 2 D. 2 B 11. 如图，在☉O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD ＝DC. P为☉O上任意一点，连接PA，PB. 若☉O的半径为 ，则 的最大值为（　A　） A. B. C. D. A 12. （2025·铁岭开原一模）如图，已知☉O的半径为5，弦AB 与弦CD位于圆心O的异侧，AB∥CD，CD＝6，在AB上取 点E，连接EO并延长交CD于点F. 若OE∶OF＝1∶2，则AB 的长为（　B　） A. 12 B. 2 C. 6 D. B 13. （教材P77习题T3变式）如图，在以点O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. （1）求证：AC＝BD； 解：（1）证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，则CE＝ DE，AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD. （2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直 线AB的距离为6，求AC的长. 13. （教材P77习题T3变式）如图，在以点O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 解：（2）如图，连接OC，OA. 由（1）可知OE⊥AB， OE⊥CD，则OE＝6， ∴CE＝ ＝ ＝2 ， AE＝ ＝ ＝8， ∴AC＝AE－CE＝8－2 . 14. 一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥下水面AB宽 为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m.现有一艘宽为3 m，截面为 长方形并且高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利 通过拱桥吗？ 解：如图，设 所在圆的圆心为点O，过点O作OD⊥AB， 垂足为D，OD的延长线交MN于点H，交 于点C，连接 OA，ON， 则AD＝ AB＝3.6 m. 由题意，知DC＝2.4 m.设OA＝r m，则OD＝OC－CD＝（r －2.4）m. 在Rt△OAD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋（r－2.4） 2，解得r＝3.9. ∵EF＝3 m，∴DF＝NH＝ ×3＝1.5（m）. 在Rt△ONH中，OH＝ ＝ ＝3.6 （m）， ∴FN＝DH＝OH－OD＝3.6－（3.9－2.4）＝2.1（m）. ∵2＜2.1，∴此货船能顺利通过拱桥. 15. （2025·葫芦岛绥中期中）如图，在平面直角坐标系中， ☉P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的 图象被☉P截得的弦AB的长为2 ，则a的值是 　3＋2 　. 3＋2 　 $