第三章 ﹡3　垂径定理 课件2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

*3　垂径定理 基础· 主干落实 重点· 典例研析 素养· 思维赋能 基础· 主干落实 ‹#› 【小题快练】 1.如图,在☉O中,弦AB与直径CD垂直,垂足为E,则下列结论错误的是( ) A.AE=BE B.OE=DE C.= D.= B ‹#› 2.已知在☉O中,圆心O到弦AB的距离等于半径的一半,那么劣弧AB所对圆心角 度数为( ) A.45° B.60° C.90° D.120° D ‹#› 3.如图,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为C.若AB=8 cm, CD=3 cm,则☉O的半径为 ( ) A.cm B.5 cm C.4 cm D. cm 4.如图,在☉O中OC⊥AB于点C,若AC=4,则AB=_______.  A 　8　 ‹#› 【重点1】垂径定理及应用 【典例1】(教材再开发·P76习题3.3T2拓展)(2023·北京密云区期末)如图,△ABC的三个顶点在☉O上,AE是☉O的直径,AE⊥BC,垂足为D. (1)求证:∠ABO=∠CAE; (2)已知☉O的半径为5,DE=2,求BC长. 重点· 典例研析 ‹#› 【自主解答】(1)∵AE是☉O的直径,AE⊥BC,∴BD=CD,∴AB=AC,∵AE⊥BC, ∴∠BAE=∠CAE,∵OB=OA,∴∠BAE=∠ABO,∴∠ABO=∠CAE; (2)∵☉O的半径为5,DE=2,∴OD=OE-DE=3,∵AE⊥BC,∴BD= ==4,∵AE是☉O的直径,AE⊥BC,∴BC=2BD=8. ‹#› 【举一反三】 1.(2022·云南中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E. 若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为 ( ) A. B. C. D. B ‹#› 2.如图,在☉O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若☉O的半径为2,则弦AB的 长为_________.  　2　 ‹#› 【技法点拨】 垂径定理常作的两条辅助线及解题思想 1.两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线;二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解. 2.方程的思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题,这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路. ‹#› 【重点2】垂径定理在实际生活中的应用 【典例2】(教材再开发·P76随堂练习T1强化)(2022·宜昌中考)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1),隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史,是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为.桥的跨度(弧所对的弦长)AB=26 m,设所在圆的圆心为O,半径OC⊥AB,垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5 m.连接OB. (1)直接判断AD与BD的数量关系; (2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1 m). ‹#› 【自主解答】(1)∵OC为半径,OC⊥AB, ∴AD=BD; (2)设主桥拱半径为R,由题意可知AB=26,CD=5, ∴BD=AB=13,OD=OC-CD=R-5, ∵∠ODB=90°, ∴OD2+BD2=OB2, ∴(R-5)2+132=R2,解得R=19.4≈19. 答:这座石拱桥主桥拱的半径约为19 m. ‹#› 【借题发挥】 　若知道半径为19 m,不知道拱高,典例中其他条件不变,能求拱高吗?请通过计算说明. 　【解析】可以求拱高.如典例题图,∵OC⊥AB,∴AD=BD, 由题意可知AB=26,∴BD=AB=13, ∵∠ODB=90°,∴OD2+BD2=OB2, ∴OD=≈13.9. ∴CD=19-13.9≈5(m). ‹#› 【举一反三】 1.把半径为5 cm的球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示, 若CD=8 cm,则EF的长为 ( ) A.8 cm B.7 cm C.5 cm D.4 cm A ‹#› 2.(2023·永州中考)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm, 水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为________cm.  　16　 ‹#› ‹#› 【数学文化】 《九章算术》与弧田面积 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章关于计算弧田面积所用的公式如下:弧田面积=(弦×矢+矢×矢).弧田(图中的阴影部分)由圆弧和其所对的弦围成.公式中的“弦”是指圆弧所对的弦长.“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 素养· 思维赋能 ‹#› [设题] 已知弦AB=24米,半径OA=15米的弧田,请按照上述公式计算出弧田的面积是多少. 【解析】由题意得:OC⊥AB于点D, ∴AD=BD=AB=12米, 在Rt△ODA中,由勾股定理得:OD===9(米), ∴OA-OD=15-9=6(米), ∴弧田面积=(弦×矢+矢×矢)=×(24×6+6×6)=90(平方米), 因此弧田的面积是90平方米. ‹#› 本课结束 ‹#› 【模型构建】 垂径定理的基本模型 四变量 弦长a,圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点到弦的距离h. 基本图形 两关系 四变量中若知其中两个,可求其他两个. (1)2+d2=r2; (2)h+d=r. $$