四川省绵阳南山中学2026届高三上学期教学质量检测数学试题

绵阳南山中学高2023级高三第五次教学质量检测 数学试题 命题人：幸济蒸 审题人：黄磊 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案在答题卡上。写在本试卷上 无效。 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1已知集合A=a22ez,B=2,34,5,则AnB= () A.{2,4 B.{3,5} C.{1,3,5} D.{2,3,4 21为复数单位，复数云-，则国= A.1 B./2 C 2 :n八<。5D.2 3.已知d=(1,2,3),石=（红，2，-1），若d1方，则= 日h A.√6 B.2V6 C.3v6 94D.V 4.已知x,y∈R,则下列条件中使x>y成立的充要条件是 () A.< B.z2>y2 C.az>a(a>0且a≠1) D.ln(x-y+1)>0 5等差数列a}的前n项和为8已知号-受=4则a,-4= 7 3 A.0 B.2 C.4 D.8 6.已知tan99°=a,则sin108°= () A. a2-1 B.1-a2 2a a2+1 1+a2 C.1+a2 -2a D.1+a2 7.已知圆C:x2+y2-2x-3=0,直线1与圆C交于A,B两点，点P在圆C上，且 CP∥AB,PA.PB=1,则|AB= （) A.√13 B.V14 C.√15 D.4 8。已知对任意工>0，不等式：2+是-血P≥2恒成立，则实数a的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 数学试题第1页：（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知m,n是两条不同直线，a,B,y是三个不同的平面，则下列说法正确的有 （) A.若a∥B,Y∩a=m,y∩B=n,则m∥n B.若a∥B,mca,ncB,则m∥n C.若m⊥a,m⊥B,m⊥Y,则a∥B∥Y D.若a⊥B,a⊥Y,B∩y=m,nca,则m⊥n 10.函数f)=2sin(wz+pu>0,lpl<)的部分图象如图所示，其中A(0,-1),B(牙1)，则 () A.w=4 B.f回)在区间受)恰有一个零点 c.p=君 D.f回)在区间(-上有4个极值点 11. 1 函数y=云的图象是以两坐标轴为渐近线的双曲线，将该函数图象绕坐标原点顺时针旋转45”， 即可将其化为双曲线的标准方程.已知A,B,C是双曲线H:xy=1上三个不同的点，则 A.双曲线H的离心率为2 B.直线l与坐标轴交于M,N,与H交于P,Q,则MP=NQ C.△ABC的垂心（三高线的交点）在H:上 D.若△ABC是等边三角形，则其中心P关于坐标原点的对称点Q在△ABC的外接圆上. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.直线1过定点(1,2)，且以寸=(1,2)为其方向向量，则直线1的方程为 18.已知透数fe)=00 +cosx为奇函数，则实数m=· 14已知正四棱维S-ABCD的体积为VP,Q分别是棱SA,SC上一点且满足SP-专SA,SQ= 号SC,过PQ作平面与线段SA,SD分别交于M,N,四棱锥S-PMQN的体积为Vy,则 的最小值为 数学试题第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=V2sinB+sin(A-B). (1)求角A: (2)若b-c=2V2-1,△ABC的面积为1，求边a的值. 16.(15分)已知函数f回)=ax+2+(1-2alne>0,a为常数） (1)若a≥0，求f(x)的单调区间； (②)若x=2是f(x)的极大值点，求a的取值范围. 17.(15分)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=V7,AB=4,0为边AB的中点，CO=1,且PO⊥ 平面ABC. (I)在直线PB上是否存在一点M,使得直线PA∥平面MOC?若存在，指出M点的位置， 若不存在，请说明理由。‘“ (2)若平面POC⊥平面PAC. ①求证：AC⊥OC; ②求二面角B-PC-A的大小. 数学试题第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18(17分)已知F2,0是椭圆n:兰+若=1a>b>0的右熊点定点B80,以直线FE被 椭圆截得的线段的中点恰在直线y=工上三岸烂 (1)求2的标准方程 (2)过F作斜率为k的直线，与2交于A,B两点，其中A在x轴上方，k∈[1，V√同，T为2上 一点且TF平分∠AB,求器的取值范 (3)P,Q为曲线2上两个动点，且FE平分∠PFQ,证明：直线PQ过定点，并求出该定点 s 19.(17分)已知函数f(x)=2V元及定点F(1,0. (1)设A(x1,2V√E),B(x2,2V2),过A,B作曲线y=f(x)的切线，两切线交点为P,求FP 的值（用x1,x2表示）： (2)数列an}满足a1>0,an+1=a品+2an,以an为曲线y=f(x)上点的横坐标，得到点列 Qn(an,2Van),n=1,2,3曲线y=f()在Qn和Qn+1处切线的交点记为Pn ①若|FRFz…FPn|≤专FP+lb求a1的最小值； V. @者名<后求4路能小恤 之的 c.9 6)[cn=0:4wi,.d 1 04 1年 8球4上。 Fv d 数学试题第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 南山中学高2023级高三上数学第五次教学质量检测数学参考答案 选择题 3 6 7 8 9 10 11 C B D D B D ACD AB BCD 7.[解]圆C:(x-1)2+y2=4,半径r=2,取AB中点M,记ICM|=d,AB=l, 所以1=2V-径◆R=4-号 在Rt△PCM中，由勾股定理，PM2=4+d 由级化恒等式1=成.成=PM?-Ar=4+a2-号 所以4+4-导-号=1*1=风 8[解原不等式等价于(e-主2-amP≥0，记)=(e-2-amaP 注意到h)=(空，这说明只要x≥1时M)≥0，则当∈0，)时也有回)≥0 放下只考虑≥1时的情祝，要使()≥0，只衢x一是≥Vamx在1，+∞)恒成立 令ga创=x-是-Van,ga倒)=(e2-ae+） 因为g(1)=0,故g(1)=2-√a≥0→a≤4，经验证，满足题意 11.[解]双曲线的两条渐近线的夹角为90°，故为等轴双曲线，离心率为√2，逸项A错误； 设1：后+名=1，则Ma,0,N0,6,线段MN的中点坐标为T 将直线代入列=1有若+号-2=0分2-+分-0 由韦达定理，2？+0=a,线段PQ的中点为3,2》 故线段MN与PQ中点重合，所以MP=NQ,选项B正确； 设4B房c安 AB斜率k=立二立=上 1 01-2 T1t2 故AB边上的高所在直线方程为(e1加-y=1- 1 同理AC边上的高所在直线方程为(13)x一y=1工2g一 % 解得△A8C的垂心坐标为，，一12b放垂心地在曲线y=1上，选项C正确； 边三角形的垂心即为其中心由前选可知P,1g所以Q ,1x2C3） 设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入xy=1得 2+3+Dz++F=0→2+Dx9+F2+Bm+1日 这是一个四次方程，x1,x2,3,正4是它的四个根，由韦达定理 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 1 x1t2t3r4=1→x4= 一，即Q的横坐标，故说明点Q在圆上，选项D正确 TiT2" 填空题 12.2x-y=0 13.2 8 14. 14.[解]设SM=λS克，SN=S方 先将正四棱锥拆为两个体积相等的三棱锥S一ADC和S一ABC 由陵长比例关系有P0=(写号-人00=台台-y ,12 同理可得，-PM0=旨y,所以-入十y 9 再将正四棱锥拆为两个体积相等的三棱锥S一DAB和S一DCB 由棱长比例关系有：Y-MNP=(兮A四Vg-DAB=普y 1 6 同理可得，g-MN0=当y,所以V=岁 3 由告=兰>号Vm得加≥9 所以=兰>品 解答题 15.[解(1)]△ABC中，A+B+C=π，所以A+B=π-C→sinC=sin(A+B) 所以sin(A+B)-sin(A-B)=V2sinB→2 cos Asin B=V2sinB 又i血B+0,所以2cosA=V反，又因为A∈(0，，所以A=牙 [解(2)刃因为SAARG=5 bcsin A=1→bc=2V2 由余弦定理，A=牙分2+c2-a2=V2c ÷(b.-c)2-a2=(W2-2)bc,将b-c=2W2-1,bc=2V2代入解得a2=5 所以a=5. 16懈(af回=a-是+1-2a-s+-2oz-2=色-2g+ 22 因为a≥0，x>0,所以a+1>0,f'(x)与(x-2)同号 所以当x∈(0,2)时，f'()<0,当x∈(2，十∞)时，f(x)>0 所以f(x)的单诚区间为(0,2)，单增区间为(2，+∞). [解(21f')=区-2ax+) 当a≥0时，由(1)知x=2是f()的极小值点，不符合题意 当a=-方时，在(0，+∞，f'(@)≤0，f)单调递减，没有极值点，不符合题意 当ae(-分0)时，->2，在0,2，f@<0,在2，-启f'>0 所以x=2是(x)的极小值点，不符合题意 当a<号时，-<2，在(-2，a>0,在+o.fe)<0 所以x=2是f(x)的极大值点，符合题意 综上知a的取值范围为（一∞，一） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17[解(1)]存在，当M为PB中点时PA∥平面MOC 证明：当M为PB中点时，连接MO,因为O为AB中点，所以PA∥MO 又MO二平面MOC,PA㐄平面MOC 所以PA∥平面MOC [证(2)①]因为平面POC⊥平面PAC,两平面交线为PC 过O作OH⊥PC交PC于H,所以OH⊥平面PAC 因为AC二平面PAC,所以AC⊥OH 又PO⊥平面ABC,AC二平面ABC,所以AC⊥PO PO∩OH=O,PO,OH二平面POC,所以AC⊥平面POC 因为OC二平面POC,所以AC⊥OC. [解(2)②】以C为坐标原点，CA,C可，O产方向为x,y,x轴正方向，建空间直角坐标系C一xyz 易得OP=√3，CA=√3，所以相关各点的坐标为 C0,0,0),A(V3,0,0),0(0,1,0),P(0,1,√3)，B(-V3,2,0) 设平面BPC的法向量为元，平面PCA的法向量为元 成.B产=0 由 解得平面BPC的一个法向量为元=(2，V3,-1) m.PC=0 ∫戒.Pd=0 由 解得平面PCA的一个法向量为元=(0，-√3,1) 元.CA=0 所以所求二面角的余弦值为co$<杭，元>= 高滑- 故二面角B-P0-A的大小为买 18.[解(1)】设直线FE与椭圆的交点为M(mM,yM,N(zN,yN),因为M,N在椭圆上 Γ子+经=1 所以 ,两式相减，得二8+二级=0 路+投=1 a2 62 整理得 @M+NM-N三- (xM十EN)(EM-EN) 其中 二对应直线MN的斜率，值为- (rM-工N) (VM-VN) 对应直线MN中点与原点连线的斜率，由题意，其值为1 (M-EN) b21 所以02=2又知c=2,由此解得a2=8,b2=4 所以附因？的方程为苦+苦 =1. TA|FA纠 解(2】由角平分线定理知，T8=F司 设A0,Be的，则由愿塞品记为-入 y2 设直线AB的方程为2=my十名其中m一君e(汽，山 1 将直线与椭圆方程联立，得(m2+2)y2+4my-4=0 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 由韦达定理，1+y2= -4m 4 m2+2hh=m2+2 所以-A+克》=头+业=必2-2=6m2士 V2 V1 V1V2 m2+2 注意到m2∈[，，且h>0,2<0,+2<0,故入e(0,1 代入得A+片酷号÷Ae吃故器e [解(3】设P(r3,),Q(x4,4),则F萨=(c3-2,g),F可=(c4-2,4) 丽=V陶-球+暖=V因-+4+8-到=兰4- F节.克F可.F应 同理网=兰4-2小又店=（一2，以由题藏哥器武高 肌4-2x3+3一4一2x4+4,两边同时减2得3二4=4二 4一工3 4-x4 4-x4 即二兽=二器散卫Q和《利三点线 4一x3 由此证得：直线PQ必过定点(4,4)： 19懈(a)=合由此求得回在A处切钱方程为y=后 + 同跟水回在日处切做方程为后+因 所以两直线的交点为P(V12,V网+V) 从而1FPP=(VE2-1)2+(V+V)2=工x2+1+2+1=(x1+1(c2+1), [解（②）①]因为|FPn|=√@n+(@+1+可=√@n+1(晚+2an+可=(an+1)是 设bn=an+1,由an+1=听+2an→an+1=(an+1)2,即bn+1=b候 设=6，”b则g=的b1-学，即4=乃2码 又Tn+1=Tnbn+1,所以TT=Tnbn+1,即TTn=bn+1 所以FRIPA-FPl=-(学=R (a1+1) 由题意，(a十进<有中4：≥8即为所求 [解(2)②]注意到F恰为y2=4x的焦点，曲线y=2√元为该抛物线的上半部分 1Fl=n+1=2+4,又哈=dn+1-2an 所以FQn+-=a+1anan+1 所以原式=21二a=1-1 anan+l dn an+i *名哈+哈++) FQl `a2a3 an al an+l 因为a1>0,an+1>2an,故{an}为单调递增数列，当n→+∞时an→+o∞ 改名2<后“后<信48因球 a1 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP