2026年中考数学一轮复习核心讲义(核心考点+模拟真题)专题11平面直角坐标系与函数基础 全国通用版

该初中数学中考复习讲义聚焦平面直角坐标系与函数基础，覆盖坐标确定、图形变换、函数概念等中考核心考点，以“核心知识梳理+中考模拟题型实战”构建体系，通过考点精析、方法指导（如速破动点坐标规律）和58道模拟真题训练，帮助学生系统突破易错点，提升解题能力。 亮点在于“问题导向+规律总结”教学策略，如通过“动点坐标周期规律”专题培养学生几何直观和推理能力，结合易错点总结（如自变量取值范围考虑不全）和函数图象信息读取训练，帮助学生构建知识网络。58道真题覆盖不同难度，教师可据此实施分层教学，有效提升学生应试技能，把控复习节奏。

专题11平面直角坐标系与函数基础中考一轮复习核心讲义 【8大模拟真题共计58题】 · 3 秒判断点的象限 / 坐标轴，掌握坐标系定位、方向角 + 距离定位两种方法，解决各类位置相关问题不丢分 · 速破动点坐标规律，快速计算第 n 个点坐标及图形面积 · 快速判定变量是否为函数，熟练列出实际问题的函数解析式 · 精准求出自变量取值范围，计算函数值不出错 · 读懂函数图象信息，灵活切换解析式、列表、图象三种表示方法 . 核心知识 点梳理 1.平面直角坐标系 2.坐标方法的简单应用 3.函数基础知识 4.易错点总结 中考模拟 题型实战 1.坐标确定与位置表示 2.图形平移与坐标计算 3.图形旋转与对称变换 4.直角三角形与坐标综合 5.函数概念与解析式 6.函数图形分析 7.二次函数与坐标综合 8.折叠与图形综合 【知识点01.平面直角坐标系】 1.有序数对 核心：由两个有顺序的数组成的数对（如(a,b)），是确定平面内点位置的基础 中考考法：结合实际场景（如教室座位、地图定位）用有序数对表示位置 2.点的坐标 核心：平面内点P向x轴、y轴作垂线，对应垂足的数组成坐标(x,y)，点与坐标一一对应 中考考法：根据点的位置写坐标，或根据坐标确定点的位置 3.点所在的象限 核心： 第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−) 坐标轴上的点：x轴上(x,0)，y轴上(0,y)，原点(0,0) 中考考法：判断点所在象限 / 坐标轴；已知点的位置求坐标中字母的取值范围 4.坐标系中描点 核心：根据坐标(x,y)，先在x轴找到对应x值的点，再在y轴找到对应y值的点，作垂线交点即为所求点 中考考法：结合图形变换（平移、对称）描点；根据描点结果分析图形特征 5.坐标与图形 核心： 图形上点的坐标特征（如线段中点坐标、平行于坐标轴的线段端点坐标规律） 点坐标规律探索：动点在坐标系内按规律运动（如周期型、平移型），求第n个点的坐标 中考考法：找动点的坐标周期规律；利用坐标求图形的边长、面积 【知识点02.坐标方法的简单应用】 1.实际问题中用坐标表示位置 核心：建立平面直角坐标系，用坐标表示实际物体（如学校、商场）的位置 中考考法：根据给定坐标系描述物体位置；自行建立坐标系表示多个物体的相对位置 2.用方向角和距离确定物体的位置 核心：以某点为观测点，用 “方位角（如北偏东30∘）+距离” 确定另一物体的位置（极坐标法） 中考考法：根据方向角和距离描述物体位置；结合三角函数计算实际距离 3.根据方位描述确定物体的位置 核心：根据文字描述（如 “A在B的南偏西45∘方向2km处”），在图中确定物体的位置 中考考法：结合比例尺，根据方位描述画图；判断多个物体的相对位置关系 【知识点03.函数基础知识】 1.常量与变量 核心：在变化过程中，数值不变的量是常量，数值变化的量是变量 中考考法：从实际问题（如行程问题、销售问题）中区分常量与变量 2.函数的概念 核心：在一个变化过程中，若有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数 中考考法：判断两个变量是否构成函数关系（如根据表格、图象、解析式判断） 3.函数解析式 核心：用含自变量的式子表示函数的形式（如y=2x+1） 中考考法：根据实际问题（如周长、面积、利润问题）列函数解析式 4.自变量和函数值 核心： 自变量取值范围：需满足式子有意义（如分式分母不为0、二次根式被开方数非负）和实际意义（如人数为正整数） 函数值：给定自变量的值，代入解析式计算对应的y值 中考考法：求自变量的取值范围；已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量 5.函数的图象 核心： 画法：列表（取自变量的一些值，算对应函数值）→描点（在坐标系中描出对应点）→连线（用平滑曲线 / 直线连接） 图象信息：从图象中读自变量、函数值的对应关系，判断增减性、最值等 中考考法：根据解析式画函数图象；根据图象分析实际问题（如行程问题中图象的横纵坐标意义、交点含义） 6.函数的三种表示方法 核心： 解析式法：简洁，便于计算，但不够直观 列表法：清晰呈现部分对应值，但不全面 图象法：直观体现变化趋势，但不够精确 中考考法：根据实际问题选择合适的表示方法；三种表示方法的互相转换 【知识点04.易错点总结】 1.象限判断混淆符号:易混淆各象限点的坐标符号特征，比如误将第二象限点记为(+,−)，或将坐标轴上的点归为某一象限（坐标轴上的点不属于任何象限）。 2.动点规律忽略周期:解决动点坐标规律题时，未发现坐标变化的周期性，盲目推导第n个点的坐标；或计算周期内点数时出错，导致最终结果偏差。 3.自变量取值范围考虑不全:只关注式子有意义的条件（如分式分母不为0、二次根式被开方数非负），忽略实际问题中的限制条件（如人数为正整数、长度大于0）。 4. 函数概念理解偏差:判断两个变量是否为函数关系时，忽略 “一个自变量对应唯一函数值” 的核心条件，误将一对多的对应关系判定为函数。 5.函数图象读取信息失误:混淆函数图象横、纵坐标的实际意义（如行程问题中，误将横轴的时间当成路程）；或错把图象上的交点、拐点含义理解错误。 6.坐标定位方法混用:用方向角和距离定位时，未明确观测点，导致方位描述错误；或建立平面直角坐标系时，未标注原点、坐标轴正方向和单位长度。 【模拟01.坐标确定与位置表示】 1．（2025·陕西榆林·一模）如图，在平面直角坐标系中，如果点的位置用表示，点的位置用表示，那么表示的位置是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，解题关键是牢记平面内的点与有序实数对是一一对应的，以及直角坐标系中特殊位置的点的坐标． 根据点和点N的位置坐标确定直角坐标系和单位长度，即可找出对应的点． 【详解】解：根据题意，建立坐标系如图： ∴表示的位置是点． 故选：A． 2．（2025·广东佛山·一模）如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴得出坐标轴如图所示位置： ∴点的坐标为． 故选：D． 3．（2025·广东中山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点． (1)描出A、B、C三点的位置，并画出三角形； (2)将这个三角形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到三角形，画出三角形； (3)在y轴上找到点P，使得三角形的面积为2，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查作图−−平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质及三角形的面积公式． （1）根据点A、B、C的坐标在平面直角坐标系中描出各点，然后顺次连线即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、，然后顺次连线即可； （3）设，根据三角形的面积为2，列方程，解方程即可． 【详解】（1）解∶如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：设， ∵三角形的面积为2， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 4．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．如图所示的规律为：第行的最后一个数为，依此规律可以确定答案． 【详解】解：第一行的最后一个数是1， 第二行最后一个数是， 第三行最后一个数是， 第四行最后一个数是， 第五行最后一个数是． 第行最后一个数是． ， 第63行的最后一个数是2016． 2025在第64行从左到右第9个数的位置． 正整数2025可以用有序数对来表示． 故答案为：． 5．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 【答案】(1)乙 (2)110 【分析】本题主要考查了有理数的加法，用有序数对表示位置，解题的关键是理清游戏规则． （1）根据游戏规则，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，即可得知； （2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可． 【详解】（1）解：根据游戏规则可知： 甲选1，2号座位， 乙选3，4，5号座位， 丙选7，8，9，10号座位， 丁选13，14，15，16，17号座位， 故3，4，5号座位会被乙选择， 故答案为：乙； （2）解：根据游戏规则，第一种，可得丁选择了：23、8、1、4、15； 丙选择了：9、2、3、14； 乙选择了：7、6、5； 甲选择了：10、11； 故四人所选的座位号数字之和为：． 第二种，可得丁选择了：19、6、1、2、11； 丙选择了：5、4、3、12； 乙选择了：7、8、9； 甲选择了：10、13； 故四人所选的座位号数字之和为：． 故答案为：110． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，反比例函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，通过设未知数建立方程求解，进而总结规律得出点的坐标． 【详解】解：过、、．．．分别作x轴的垂线，垂足分别为、、．．． 则， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵直角顶点在反比例函数， ∴，即， ∴， ∴， 设坐标为，则， ∵在上， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设坐标为， 则， ∵坐标在反比例函数， ∴， 即，整理得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 总结：， ， ， … 则， ∴， ∴， 故答案为： 7．（2025·河北唐山·三模）题目：“如图，点在同一个反比例函数的图象上，线段和线段关于直线对称，点，分别是点，的对应点．若线段与坐标轴有交点，求整数的值．”甲答：，乙答：或6，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．两人答案合在一起才完整 D．两人答案合在一起也不完整 【答案】D 【分析】先根据两点都在同一反比例函数图象上得到关于的方程：，解方程求出的值，通过作直线和求出线段和的中点坐标，再根据线段与轴有交点时，，或线段与轴有交点时，，即可确定的取值范围． 【详解】解：根据题意作出点和点关于直线的对称点：点和点．直线交轴于点，交轴于点，如图： 点和点在同一个反比例函数图象上， ，即：， 解得：， 点坐标为，点坐标为， 过点作直线交于点，过点作交于点， 根据点的坐标可得，点在直线上；根据点的坐标可知点在直线上， 由求解出点的坐标为， 由求解出点的坐标为， 根据轴对称的性质，点是线段的中点，点是线段的中点， ，， 则，， 同理可得：，， 当线段与轴有交点时，，即：，解得：， 当线段与轴有交点时，，即：，解得：， ，整数的值为2，3，4，5，6． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，轴对称图形的性质，一元一次不等式组，求出两点关于直线的对称点坐标是解答本题的关键． 8．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 作点关于点的对称点根据中位线的性质得到，根据点在以为圆心，为半径的上运动，可知当经过圆心时，最大，即点在图中位置，根据勾股定理求出，进而可求出，即，设点的横坐标为，根据中位线的性质可知点的纵坐标为，再根据勾股定理即可求出的值，随即可知点的坐标． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点， 则点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， 当最大时，最大， 点为坐标平面内的一点，且， 点在以为圆心，为半径的上运动， 当经过圆心时，最大，即点在图中位置， ， ， ， 设点的横坐标为， ∵，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（负值去除），即点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【模拟02.图形平移与坐标计算】 9．（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）在的右侧作，且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）如图，在的右侧作，且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， ， 即， 则点即为所求． 10．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【答案】(1)见解析，，； (2)见解析． 【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； （2）解：画出平移后的菱形，如图所示． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）在学习完“反比例函数的图象与性质”后，小明同学将一张直角边长为4个单位长度的等腰直角三角形纸片，摆放在如图所示的平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在轴负半轴，轴正半轴上，小明发现将三角形纸片向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴，， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：1或3． 12．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，一次函数的应用，平移等知识，运用勾股定理、三角形面积公式求出点C的坐标，进而得到直线和直线的函数解析式，求出点D的坐标，再根据平移后点D落在上求出平移距离，从而得到点B平移后对应点的坐标． 【详解】解：∵点，， ∴． 又∵， ， ∴， 过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∴， ∴ 则点C的坐标为 令直线的函数解析式为， 则， 解得： ∴直线的函数解析式为， 同理可求出的函数解析式为：， 将代入，则， ∴点， 将代入， 解得：， ∴沿x轴向左平移个单位长度后，点D落在上， ∴， 则平移后点B对应的点的坐标为， 故答案为： 13．（2025·湖北武汉·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 14．（2025·重庆·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，有最大值8（答案不唯一） (3) 【分析】（1）过点D作交延长线于点H，证明出四边形是正方形，得到，然后分两种情况讨论，分别表示即可； （2）列表，描点，然后画出图象，然后根据图象写出性质即可； （3）由图象求解即可． 【详解】（1）解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； （2）解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； （3）解：由图象得，当时x的取值范围为． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质和判定，一次函数和反比例函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【模拟03.图形旋转与对称变换】 15．（2025·江苏无锡·二模）点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解． 根据坐标和轴对称的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点， ∴点的横坐标不变，为．纵坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 16．（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是；， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：A． 17．（2025·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 18．（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用A、B的坐标求出，，再结合旋转的性质、直角三角形两个锐角互余证明，然后证明，再求得点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点B逆时针旋转，得到线段， ∴，， 过点作轴的垂线垂足为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在第四象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求解线段，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是利用全等三角形的性质证明线段相等． 19．（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点，则 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 20．（2025·安徽淮南·一模）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 21．（2025·天津滨海新·模拟预测）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把 绕点 逆时针旋转，得，点， 旋转后的对应点为，，记旋转角为，连接 (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长； (3)若点 为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质，结合平行四边形的判定与性质即可得到答案； （2）由旋转的性质，结合勾股定理判定是等边三角形，进而由中垂线的判定与性质得到，，由勾股定理求出线段长，数形结合得到； （3）由旋转性质可知，点、点的运动轨迹为以为圆心的圆，连接，过点作交延长线于点，确定相关线段长度，得到点的运动轨迹为以为圆心的圆，根据最小值是；最大值是；结合即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：连接，延长与相交于点，如图所示： 在中，， ∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴点，在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 在中，， ∴； （3）解：由旋转性质可知，点、点的运动轨迹为以为圆心的圆，连接，过点作交延长线于点， ，，，，， 在中，，则点的运动轨迹为以为圆心，的圆上， 如图所示： 由点到圆周上点的距离关系得到最小值是；最大值是； ， 最小值是；最大值是，即． 【点睛】本题考查旋转综合，旋转性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的性质、点到圆周上点距离最值，熟练掌握相关几何判定与性质，数形结合，根据题意准确作出辅助线求解是解决问题的关键． 【模拟04.直角三角形与坐标综合】 22．（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、坐标与图形，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据点所在的位置即可得． 【详解】解：点坐标为， ， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点， ， 又点位于轴的负半轴， 点的横坐标为， 故选：D． 23．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法，熟练掌握点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，根据整点可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵点是第三象限内的整点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点M与点N关于x轴对称， ∴； 故选B． 24．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理．分三种情况讨论：当点在轴上，在原点，在轴上，根据勾股定理列出式计算即可求解． 【详解】解：①当点在轴上运动，时，连接． ∵，， ∴，，， 设点的坐标是， ∵， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是； ②当点在原点时，， ∴点的坐标为； ③当点在轴上运动，时，连接， 设点的坐标是， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是． 故答案为：或或． 25．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质、两点间距离公式的应用，解题关键是根据圆与轴相切及过点的条件，建立圆心坐标的关系式，进而求解与轴的交点． 设圆心为，因为圆与轴相切，所以半径为．又圆过点，根据两点间距离公式，圆心到的距离等于半径，可得，平方后整理得，令，求出，即得与轴交点． 【详解】设圆心为， 圆与轴相切， 圆的半径 圆心到的距离为半径，即 整理得 当时， 即交点为 26．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过作轴于，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 27．（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2) (3)或8 【分析】（1）根据折叠的性质，得，，设，则，结合，得到，得到，解答即可． （2）根据折叠的性质，结合轴，证明四边形是正方形，再利用三角形的中位线定理，解答即可． （3）解答时，分轴和不平行x轴两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：当轴时， ∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，此时； ∴； 当不平行x轴时，如图所示， 过点A作于点G，根据题意，得， 设的交点为M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 此时， 故或8． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 28．（2025·广东深圳·一模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】此题考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；二是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 29．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，，且，则线段长的最大值是（   ） A．6 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】如图所示，作矩形，过点作轴交于点，取的中点，连接、，证明，得，由已知，得，继而得到，，根据勾股定理，再根据，即可得解． 【详解】解：如图所示，作矩形，过点作轴交于点，取的中点，连接、， ∵ ∴， 又∵ ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴的最大值是． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是将线段的最大值转化为三角形的三边关系求解． 【模拟05.函数概念与解析式】 30．（2025·广东广州·二模）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（    ） … 0 1 2 … … 0 3 6 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数解析式，读懂表格信息是关键； 观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，进而求解. 【详解】解：观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，且函数关系式是； 故选：A. 31．（2025·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 【答案】正比例 【分析】本题考查函数的概念，常量与变量．由正比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数． 故答案为：正比例． 32．（2025·甘肃武威·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据函数有意义，列出不等式求解． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得：， 故选：A． 33．（2025·四川成都·一模）在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，设y与x的解析式为，知：当时，； 当时，，将两组数据分别代入解析式得到关于k，b二元一次方程组，求解可得y与x的解析式，然后将代入解析式求解即可．掌握用待定系数法确定y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设y与x的解析式为， 由表格数据知：当时，； 当时，． ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为， 当时， （）， ∴加热18分钟时水的温度是． 故选：B． 34．（2025·陕西榆林·三模）如图所示的大长方形是由9个相同的小长方形无重叠、无缝隙地组成，若设小长方形的长为x，宽为y，则y与x的关系可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的运用．根据图示，运用代数式计算即可． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为：． 35．（2025·广东广州·一模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表： 气温（） 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是． 材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：． (1)当气温为时，声速为________； (2)根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（）与气温（）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长． 【答案】(1)343 (2)选择一次函数， (3) 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解表格信息，掌握待定系数法，求自变量或函数值的计算是关键． （1）根据表格信息即可求解； （2）根据题意，设声速（）与气温（）的函数关系为，把代入，运用待定系数法即可求解； （3）根据题意，当室温为的情况时，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，当气温为时，声速为， 故答案为：； （2）解：根据表格信息，声速随着气温的增大而增大， ∴ 选择一次函数， ∴设声速（）与气温（）的函数关系为，把代入， ， 解得，， ∴声速（）与气温（）的函数关系为， 当时，，符合题意； （3）解：由（2）可知声速（）与气温（）的函数关系为， ∴室温为时，， ∵声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：， ∴， ∴钢琴标准音的波长约为． 36．（2025·上海·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A．当时，，即图象与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意； B．因为，所以，即图象与x轴没有交点，故选项B说法错误，符合题意； C．因为，所以图象不经过第三、四象限，故选项C说法正确，不符合题意； D．函数图象关于y轴对称，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 37．（2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数的性质，小杨同学用描点法画它的图象，列出了下列表格： … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象是一个轴对称图形；②该函数图象在轴下方； ③该函数没有最高点；④当时，随的增大而增大； ⑤若将该函数图象关于轴对称，则对称后的图象函数解析式是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了函数的表示、反例法、轴对称的性质、函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 直接根据表格数据可判定①；举反例可以判定②；根据表格数据可以判定③和④；根据关于坐标轴对称的特点可判定⑤． 【详解】解：①通过表格数据可知该函数是一个对称轴为的轴对称图形，即①正确； ②当时，，故该函数图象不一定在轴下方，即②错误； ③由结论②的分析可知，当时，，而表格中的值均为负数，说明函数没有最高点，即③正确； ④当时，由表格可知，即随的增大而减小，故④错误； ⑤若将该函数图象关于轴对称，则纵坐标变为原来的相反数，即，故⑤正确． 综上，正确的为①③⑤． 故答案为①③⑤． 38．（2025·北京·模拟预测）鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下枚普通鸡蛋的失重率． 当储存时间为(天)，冷藏储存时鸡蛋的失重率记为，常温储存时鸡蛋的失重率记为，部分数据如下表： 天 (1)表格中的值为 ； (2)通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为 天； 若将常温储存下失重率的鸡蛋取出枚改为冷藏，则天后，这枚鸡蛋的失重率比常温储存的枚鸡蛋失重率约低 ． 【答案】(1)； (2)画图象见解析； (3)； 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，从函数图象中获取信息，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据表格数据与为正比例函数关系，求得，然后将代入即可求解； （）通过函数图象方法即可求解； （）根据表格数据和函数图象观察即可得解； 由（）可得，冷藏储存时鸡蛋的失重率增长速度是天，则，分析图象可得，第天常温储存时鸡蛋的失重率约为，然后相减即可． 【详解】（1）解：通过分析数据可得，与为正比例函数关系， 设， 将代入可得， 解得， ∴， 将代入可得， 故答案为：； （2）解：画出图象如图， （3）解：根据图象可知当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为天， 故答案为：； 由（）可得，冷藏储存时鸡蛋的失重率增长速度是天， ∴， 分析图象可得，第天常温储存时鸡蛋的失重率约为， ∴， 故答案为：． 39．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．将函数化简为 ，并设 ，则 ．根据给定条件建立方程组，解出 和 ，再代入 求值． 【详解】解：∵ ， 设 ，则 ， 当 时，，， ∴ ①； 当 时，，， ∴ ②． ② － ① 得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 代入①：， ∴ ． 当 时，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 计算： ． ∴ ， 故选：C． 【模拟06.函数图分析】 40．（2025·广东·一模）小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题： （1）图象表示了______和______两个变量的关系； （2）小潘家到舅舅家路程是______米；小潘在商店停留了______分钟； （3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米／分？ 【答案】（1）时间，距离 （2）1500,4 （3）450 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，变量之间的关系， 对于（1），观察图象可知横轴是时间，纵轴是距离可解答； 对于（2），观察图象经过14分钟离家的距离是1500米解答，再根据从8分钟到12分钟离家距离没有变解答； 对于（3），分别求出骑车的三段的速度，再比较可得答案． 【详解】解：（1）观察图象可知横轴表示的时间，纵轴表示的是离家的距离， 所以图象表示了时间和距离两个变量的关系； 故答案为：时间，距离； （2）观察图象可知经过14分钟离家距离为1500米，可知小潘家到舅舅家的路程是1500米；由图象知从8分钟到12分钟离家距离没变，所以小潘在商店停留了（分钟）． 故答案为：1500,4； （3）由图象得小潘行驶了三段，第一段的速度为（米/分）； 第二段折回去商店的速度为（米/分）； 第三段买好礼物去舅舅家的速度为（米/分）． 由， 所以小潘骑车最快的速度是450米/分． 41．（2025·江苏宿迁·二模）已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点为“新奇点”．若点是“新奇点”，则点在第 象限． 【答案】三/3 【分析】本题考查新定义．根据新定义确定m的值．解题关键是理解新定义． 根据“新奇点”的定义，得方程．求解得出的值，从而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵点是“新奇点”， ∴． 解得：． ∴． ∴点M的坐标为． ∵， ∴点在第三象限， 故答案为：三． 42．（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，掌握知识点的应用是解题的关键．根据容器形状，匀速注水，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知，开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐增大；接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐减小，因此选项符合题意． 故选：． 43．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【分析】本题考查了溶解度曲线的解读与应用，解题的关键是结合题目给出的温度与溶解度对应数据，逐一验证选项中关于溶解度概念、变化趋势、变化量及特定溶解度对应温度范围的描述是否正确． 根据图中提供的核心数据分析各选项即可． 【详解】解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意； B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意； C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意； D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意； 故选：C． 44．（2025·河南驻马店·二模）光合作用，通常是指绿色植物吸收光能，把二氧化碳和水合成有机物，同时释放氧气的过程，整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、温度等多种因素的影响．小明在研究某绿色植物光合作用氧气释放速度（毫克/小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置，并绘制了和时与之间的关系图 （如图2），下列说法错误的是 （    ） A．两种温度下均是的函数 B．当时，该绿色植物不进行光合作用 C．当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高 D．光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象求解是解题关键．根据函数的概念和图象获得的有用信息逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据题意可知是自变量，所以两种温度下均是的函数，故说法正确，该选项不符合题意； B、当时，即没有光照条件，所以该绿色植物不进行光合作用，故说法正确，该选项不符合题意； C、根据图像可知，当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高，故说法正确，该选项不符合题意； D、根据题意可知，该绿色植物释放氧气的速度还与温度有关，故说法错误，该选项符合题意． 故选：D． 45．（2025·吉林长春·模拟预测）蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促进蔬菜优质高产．某品种大棚蔬菜处在以下的气温条件超过，就会遭受冻害．深秋某天，气象台发布了第二天0时—8时的霜冻预警，室外气温（单位：）随时间（单位：）的变化图象（图象由两条有公共端点的线段组成）如图所示． (1)当时，求与的函数解析式； (2)结合函数图象，求第二天几时，室外气温为？ (3)为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备．未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升至设定温度后维持恒温．请直接写出，该蔬菜大棚在第二天最晚几时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害？ 【答案】(1)； (2)第二天时和时，室外气温为； (3)该蔬菜大棚在第二天最晚时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害. 【分析】（1）时，设出一次函数解析式，把，代入可得和的值； （2）时，取(1)中得到的函数解析式中的，求得对应的的值；时，设出一次函数解析式，把，代入可得和的值，取，求得的值，即为第二天室外气温为的时间； （3）根据第(2)问中得到的时间得到蔬菜会遭受冻害，易得开启恒温设备的时间在小时后，设最晚时启动恒温设备，根据时的温度 + 规定时间内上升的温度列出方程，求解即可. 【详解】（1）解：当时，设， 经过点，， ， 解得:， ； （2）解：， 当时，， 解得:； 当时，设， 经过点，， ， 解得:， ， 当时，， 综上: 第二天时和时，室外气温为. 答: 第二天时和时，室外气温为； （3）解：该蔬菜大棚在第二天最晚时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害. 理由: 第二天时和时的温度是， ， 蔬菜会遭受冻害， 最低气温为，设从最低气温到需要小时， ， 解得:， 设最晚时启动恒温设备，则，此时气温为， ， 解得:. 答: 蔬菜大棚在第二天最晚时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害. 【点睛】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求得相关的一次函数解析式是解决本题的关键；易错点是判断出开启恒温设备的时间在哪个时间范围内. 46．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，抛物线与某一直线交于，两点，其中抛物线的对称轴为直线，设点坐标为，点坐标为，则对于过平面直角坐标系上的两点、的直线一定不过（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查一次、二次函数图像问题，熟悉图像与各系数间的关系是解题的关键． 先由二次函数图像可得，，，再根据点，坐标得到，最后确定点的位置即可． 【详解】由图可知，，对称轴，即， 又抛物线与轴无交点，所以， 时，，综上，，，； 又，，， ， 即点在轴的负半轴， ， 在第一象限， 则直线大致图像如下： 所以直线一定不过第二象限， 故选：B． 47．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为； (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为； (3)货车出发或后，两车相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得， 解得； 由图象得：在时，无法达到； 当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得． 货车出发或后，两车相距． 48．（2025·安徽合肥·三模）如图，圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，点都是圆弧上的点．动点从出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，圆周角定理，函数解析式，弧长公式等知识点，难度较大，解题的关键注意分类讨论思想的应用． 连接，根据相切两圆的连心线经过切点得到共线，然后分三种情况讨论，利用弧长公式建立函数关系式，即可判断． 【详解】解：连接 ∵半圆经过点，且分别与圆切于点，圆的半径为2， ∴共线，半圆的半径为1， 当点在半圆上时， ∵的度数为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，, 当时，随的增大而减小； 当点在半圆上时， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而减小； 当点在下半圆上， 则， ∴ ∴当时，随的增大而增大， 综上可得：关于的函数解析式为， 故选：B． 【模拟07.二次函数与坐标综合】 49．（2025·吉林长春·二模）如图，直线与y轴、x轴分别交于点A、B，点C为函数上一点，，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，熟练掌握该知识点是关键． 先求出点B坐标，根据平行得到直线表达式为，再设点C坐标为，则，由中点坐标公式列出方程解出m值，即可得到k值． 【详解】解：直线解析式为， ∴当时，， 解得 ， ， ， 直线的解析式为， 设点C坐标为， ∵点D恰好是的中点， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， 点D恰好是的中点， ， 解得， ． 故选：D． 50．（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点P在此抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)______，抛物线的顶点坐标为______； (2)当点P在第三象限时，求m的取值范围； (3)若点P在x轴下方，当点P到x轴距离是到y轴距离2倍时，求m的值； (4)点在轴上，横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上，当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大时m的取值范围是______，当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而减小时m的取值范围是______． 【答案】(1)； (2) (3)或 (4)； 【分析】（1）利用抛物线的对称轴即可确定b的值，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据题意确定函数与坐标轴的交点，，结合图象即可求解； （3）设，得出点P到x轴距离，然后分两种情况：当时，当时，建立方程求解即可； （4）由以为对角线的矩形可知，轴，则，，由题意知，，即；由题意知，分当矩形在对称轴的同侧，当矩形在对称轴的两侧，画图象求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为； 故答案为：；； （2）解：当时，， 解得：， ∴，， ∵， ∴开口向上， ∴当点在第三象限时，求的取值范围为； （3）解：由题意知，设， ∴点P到x轴距离， 当时，P到y轴距离为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），； 当时， P到y轴距离为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴或； （4）解：由以为对角线的矩形可知，轴，则，， 由题意知，，即； 抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而增大， ①当矩形在对称轴的同侧，矩形在对称轴的右侧时， 当在点的左侧时，，解得，，此时无解； 当在点的右侧时，，解得，，，此时无解； ②当矩形在对称轴的两侧， 当在点的左侧时，关于对称轴对称的点坐标的横坐标为，如图1，    ∴，， 解得，； 当时，，如图2，此时不满足要求；    综上可得：抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大时m的取值范围是； 抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小， ①当矩形在对称轴的同侧，当矩形在对称轴的左侧时， 当在点的左侧时，，解得，，此时不符合题意； 当在点的右侧时，，解得，； ②当矩形在对称轴的两侧， 当在点的右侧时，如图3，    ∴，， 解得 ，； 当时，，如图4，此时不满足要求；    综上所述，当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而减小时m的取值范围是， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，解一元二次方程，二次函数与特殊的平行四边形综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的平行四边形综合是解题的关键． 51．（2025·江苏泰州·二模）定义：在平面直角坐标系中，若点变换得到点，则称点Q是点P的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． (1)下列点的“变换点”在x轴上的是______． ，，； (2)已知，点D的“变换点”是点E． ①若点D在反比例函数的图像上，试判断的形状，并说明理由； ②某一次函数的图像记为L，若点D在L上，点E在一次函数的图像上，求L的函数表达式； (3)点F是二次函数图像上一点，若存在点F的“变换点”G在一次函数的图像上，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)C (2)①等腰直角三角形，理由见解析；② (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何变换，反比例函数与几何变换，二次函数与几何变换，等腰直角三角形的判定定理，勾股定理及其逆定理，正确理解“变换点”的定义是解题的关键． （1）根据定义分别求出各个点的“变换点”即可得到答案； （2）设，则，利用勾股定理可证明，则由勾股定理的逆运算可得到结论； （3）设，则，则有，可得，根据，得到或，据此根据二次函数的性质求出在或时的函数值取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：的“变换点”为，即，不在x轴上； 的“变换点”为，即，不在x轴上； 的“变换点”为，即，在x轴上； ∴只有的“变换点”在x轴上； （2）解：①的等腰直角三角形，证明如下： 设，则， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴的等腰直角三角形； ②设，则， ∵点E在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴在直线的图像上，    即L的函数表达式为； （3）解：设，则，即， ∵G在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 令， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 在中，当时，则当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，； 当时，则当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，； ∵，且或， ∴或． 52．（2025·吉林·三模）如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿点P的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为x（s）．（线段可视为面积为0的三角形） (1)当点F与矩形顶点重合时，______； (2)当E在线段上时，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)在整个运动过程中，将矩形分成两部分图形的面积比为定值k时，直接写出k值（）及x的取值范围． 【答案】(1)2或8 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，函数解析式，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）分两种情况讨论，点在和上，利用矩形的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质求解即可； （2）分三种情况讨论，当时；当时；当时，分别画出示意图，根据等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理表示边长，建立函数解析式； （3）分四种情况讨论，表示将矩形分成两部分图形中其中一部分的面积，再进行求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，点在上， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴时，点F与矩形顶点C重合． 如图：当点P运动到上时，此时都与点重合， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴, 则, ∴ 则 综上：当点F与矩形顶点重合时，或8； 故答案为：2或8； （2）解： ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． 则 ∴当时，如图所示： 过点作， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则, 故； ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则 ∴， 即， ∴当时，过点作，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， 综上：当E在线段上时，； （3）解：当时，过点作于点K，如图： 则同上可得：，，， ∴， ∴， ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则同上可得：，， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于点， 则，， ∴，， ∴ ∴ ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则，， ∴， ∴， ∴， 综上：当时，；当时，． 53．（2025·广东东莞·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，若点M为直线下方抛物线上一动点，轴交于点N，Q是平面内任意一点，若以M，N，Q，B为顶点的四边形是菱形，求此时点Q的坐标； (3)如图3，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰直角三角形，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．请直接写出长度的取值范围． 【答案】(1) (2)点Q的坐标为或或 (3) 【分析】对于（1），先求出点A，C的坐标，再把坐标代入函数关系式，可得答案； 对于（2），先求出直线的解析式， 再结合关系式设，，可表示，，根据等腰三角形的性质得，再分三种情况讨论：当邻边时；当邻边时；当时，画出图形求出解即可； 对于（3），将点B绕A点顺时针旋转到，连接，，，可得，进而得出点在以为圆心，2为半径的圆上运动，再求出点，即可得出，接下来求出的最大值为，的最小值为，则答案可得． 【详解】（1）解：令，则， ． 令，则， ， 将点，代入， 得， ， ； （2）解：令，即，解得：，， ． 将点，代入直线的关系式中， ， 解得， 直线的解析式为：． 点M在抛物线上，点N在直线上， 设，则， ， ∵， ， ∴． ⅰ．如图1，当邻边时，， 解得：，（舍去）， ． 与平行， ； ⅱ．如图2，当邻边时， 则， ，则， 解得或（舍去），即M与A重合， ，； ⅲ．如图3，当时，， ，即M与N关于x轴对称， ， 解得或（舍）， ，． 综上：点Q的坐标为或或； （3）解：将点B绕A点顺时针旋转到，连接，，， ，， ． ，， ， ． ， ， 在以为圆心，2为半径的圆上运动， ，， ． ， ， ， 的最大值为，的最小值为， ． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数关系式，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，理解用点的坐标表示线段长是解题的关键． 【模拟08.折叠与图形综合】 54．（2025·吉林松原·三模）已知点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组，由点在第四象限，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 55．（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分， 所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高， 因为瓶子的上半部分是圆柱， 所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升． 故选：A． 56．（2025·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点．点为轴上一点，连接，，当的周长最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】要使的周长最小，因为的长度是固定的，所以只需要最小。根据轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点． 【详解】解：对于，令， ，解得， ； 令，则， ． 为中点， M坐标为，即． 作点M关于轴的对称点， 关于y轴对称的点． 设直线解析式： 代入得， 解得， 直线解析式为． 点在轴上，令，则 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、中点坐标公式、轴对称——最短路径问题以及用待定系数法求一次函数解析式．通过作对称点将的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题是解题的关键． 57．（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意； 图像不经过第二象限，经过第四象限， 故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 58．（2025·天津红桥·三模）将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先利用解直三角形求出，，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质求得，，即可求得，； （2）①先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可求得，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，并求得，设，用表示出，进而表示出与的坐标，再利用解直角三角形表示出，进而求得，再根据折叠的性质得出，从而可得； ②分三种情况：当时，当时，当时，分别找出重叠部分，求出对应的S的取值范围，再最后确定其范围即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于点D， ∵， ∴， ， ∵点， ∴， ∵梯形中， ，轴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 故答案为：； （2）①过点Q作于点E， ，， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ． ， ∵， ， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∴，， ∴， ， 由折叠可知：，， ， ，解得：， ， ， ， 由折叠可知：， ∵折叠后重叠部分的面积为， ， 又，解得：， ； ②当时，折叠后重叠部分为，如图所示： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，折叠部分为四边形，如图所示： 根据解析①可知：此时， ∴； 当时，重叠部分为四边形，如图所示： 则， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴为等边三角形，且边长为， ∴， ∴ ， ∴当时，； 综上分析可知：． 【点睛】本题考查了坐标与图形综合，解直角三角形的相关计算，的最值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11平面直角坐标系与函数基础中考一轮复习核心讲义 【8大模拟真题共计58题】 · 3 秒判断点的象限 / 坐标轴，掌握坐标系定位、方向角 + 距离定位两种方法，解决各类位置相关问题不丢分 · 速破动点坐标规律，快速计算第 n 个点坐标及图形面积 · 快速判定变量是否为函数，熟练列出实际问题的函数解析式 · 精准求出自变量取值范围，计算函数值不出错 · 读懂函数图象信息，灵活切换解析式、列表、图象三种表示方法 . 核心知识 点梳理 1.平面直角坐标系 2.坐标方法的简单应用 3.函数基础知识 4.易错点总结 中考模拟 题型实战 1.坐标确定与位置表示 2.图形平移与坐标计算 3.图形旋转与对称变换 4.直角三角形与坐标综合 5.函数概念与解析式 6.函数图形分析 7.二次函数与坐标综合 8.折叠与图形综合 【知识点01.平面直角坐标系】 1.有序数对 核心：由两个有顺序的数组成的数对（如(a,b)），是确定平面内点位置的基础 中考考法：结合实际场景（如教室座位、地图定位）用有序数对表示位置 2.点的坐标 核心：平面内点P向x轴、y轴作垂线，对应垂足的数组成坐标(x,y)，点与坐标一一对应 中考考法：根据点的位置写坐标，或根据坐标确定点的位置 3.点所在的象限 核心： 第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−) 坐标轴上的点：x轴上(x,0)，y轴上(0,y)，原点(0,0) 中考考法：判断点所在象限 / 坐标轴；已知点的位置求坐标中字母的取值范围 4.坐标系中描点 核心：根据坐标(x,y)，先在x轴找到对应x值的点，再在y轴找到对应y值的点，作垂线交点即为所求点 中考考法：结合图形变换（平移、对称）描点；根据描点结果分析图形特征 5.坐标与图形 核心： 图形上点的坐标特征（如线段中点坐标、平行于坐标轴的线段端点坐标规律） 点坐标规律探索：动点在坐标系内按规律运动（如周期型、平移型），求第n个点的坐标 中考考法：找动点的坐标周期规律；利用坐标求图形的边长、面积 【知识点02.坐标方法的简单应用】 1.实际问题中用坐标表示位置 核心：建立平面直角坐标系，用坐标表示实际物体（如学校、商场）的位置 中考考法：根据给定坐标系描述物体位置；自行建立坐标系表示多个物体的相对位置 2.用方向角和距离确定物体的位置 核心：以某点为观测点，用 “方位角（如北偏东30∘）+距离” 确定另一物体的位置（极坐标法） 中考考法：根据方向角和距离描述物体位置；结合三角函数计算实际距离 3.根据方位描述确定物体的位置 核心：根据文字描述（如 “A在B的南偏西45∘方向2km处”），在图中确定物体的位置 中考考法：结合比例尺，根据方位描述画图；判断多个物体的相对位置关系 【知识点03.函数基础知识】 1.常量与变量 核心：在变化过程中，数值不变的量是常量，数值变化的量是变量 中考考法：从实际问题（如行程问题、销售问题）中区分常量与变量 2.函数的概念 核心：在一个变化过程中，若有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数 中考考法：判断两个变量是否构成函数关系（如根据表格、图象、解析式判断） 3.函数解析式 核心：用含自变量的式子表示函数的形式（如y=2x+1） 中考考法：根据实际问题（如周长、面积、利润问题）列函数解析式 4.自变量和函数值 核心： 自变量取值范围：需满足式子有意义（如分式分母不为0、二次根式被开方数非负）和实际意义（如人数为正整数） 函数值：给定自变量的值，代入解析式计算对应的y值 中考考法：求自变量的取值范围；已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量 5.函数的图象 核心： 画法：列表（取自变量的一些值，算对应函数值）→描点（在坐标系中描出对应点）→连线（用平滑曲线 / 直线连接） 图象信息：从图象中读自变量、函数值的对应关系，判断增减性、最值等 中考考法：根据解析式画函数图象；根据图象分析实际问题（如行程问题中图象的横纵坐标意义、交点含义） 6.函数的三种表示方法 核心： 解析式法：简洁，便于计算，但不够直观 列表法：清晰呈现部分对应值，但不全面 图象法：直观体现变化趋势，但不够精确 中考考法：根据实际问题选择合适的表示方法；三种表示方法的互相转换 【知识点04.易错点总结】 1.象限判断混淆符号:易混淆各象限点的坐标符号特征，比如误将第二象限点记为(+,−)，或将坐标轴上的点归为某一象限（坐标轴上的点不属于任何象限）。 2.动点规律忽略周期:解决动点坐标规律题时，未发现坐标变化的周期性，盲目推导第n个点的坐标；或计算周期内点数时出错，导致最终结果偏差。 3.自变量取值范围考虑不全:只关注式子有意义的条件（如分式分母不为0、二次根式被开方数非负），忽略实际问题中的限制条件（如人数为正整数、长度大于0）。 4. 函数概念理解偏差:判断两个变量是否为函数关系时，忽略 “一个自变量对应唯一函数值” 的核心条件，误将一对多的对应关系判定为函数。 5.函数图象读取信息失误:混淆函数图象横、纵坐标的实际意义（如行程问题中，误将横轴的时间当成路程）；或错把图象上的交点、拐点含义理解错误。 6.坐标定位方法混用:用方向角和距离定位时，未明确观测点，导致方位描述错误；或建立平面直角坐标系时，未标注原点、坐标轴正方向和单位长度。 【模拟01.坐标确定与位置表示】 1．（2025·陕西榆林·一模）如图，在平面直角坐标系中，如果点的位置用表示，点的位置用表示，那么表示的位置是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2025·广东佛山·一模）如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东中山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点． (1)描出A、B、C三点的位置，并画出三角形； (2)将这个三角形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到三角形，画出三角形； (3)在y轴上找到点P，使得三角形的面积为2，请直接写出点P的坐标． 4．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 5．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 7．（2025·河北唐山·三模）题目：“如图，点在同一个反比例函数的图象上，线段和线段关于直线对称，点，分别是点，的对应点．若线段与坐标轴有交点，求整数的值．”甲答：，乙答：或6，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．两人答案合在一起才完整 D．两人答案合在一起也不完整 8．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 【模拟02.图形平移与坐标计算】 9．（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 10．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）在学习完“反比例函数的图象与性质”后，小明同学将一张直角边长为4个单位长度的等腰直角三角形纸片，摆放在如图所示的平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在轴负半轴，轴正半轴上，小明发现将三角形纸片向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 12．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ． 13．（2025·湖北武汉·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 14．（2025·重庆·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 2 4 6 4 8 0 4 2 【模拟03.图形旋转与对称变换】 15．（2025·江苏无锡·二模）点关于轴的对称点的坐标为 ． 16．（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 17．（2025·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 18．（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点，则 （结果保留根号）． 20．（2025·安徽淮南·一模）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·天津滨海新·模拟预测）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把 绕点 逆时针旋转，得，点， 旋转后的对应点为，，记旋转角为，连接 (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，求的长； (3)若点 为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【模拟04.直角三角形与坐标综合】 22．（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 25．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为 ． 26．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） . A． B． C． D． 27．（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 28．（2025·广东深圳·一模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 29．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，，且，则线段长的最大值是（   ） A．6 B．8 C．12 D． 【模拟05.函数概念与解析式】 30．（2025·广东广州·二模）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（    ） … 0 1 2 … … 0 3 6 … A． B． C． D． 31．（2025·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 32．（2025·甘肃武威·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（2025·四川成都·一模）在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（   ） A． B． C． D． 34．（2025·陕西榆林·三模）如图所示的大长方形是由9个相同的小长方形无重叠、无缝隙地组成，若设小长方形的长为x，宽为y，则y与x的关系可表示为 ． 35．（2025·广东广州·一模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表： 气温（） 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是． 材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：． (1)当气温为时，声速为________； (2)根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（）与气温（）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长． 36．（2025·上海·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 37．（2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数的性质，小杨同学用描点法画它的图象，列出了下列表格： … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象是一个轴对称图形；②该函数图象在轴下方； ③该函数没有最高点；④当时，随的增大而增大； ⑤若将该函数图象关于轴对称，则对称后的图象函数解析式是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 38．（2025·北京·模拟预测）鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下枚普通鸡蛋的失重率． 当储存时间为(天)，冷藏储存时鸡蛋的失重率记为，常温储存时鸡蛋的失重率记为，部分数据如下表： 天 (1)表格中的值为 ； (2)通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为 天； 若将常温储存下失重率的鸡蛋取出枚改为冷藏，则天后，这枚鸡蛋的失重率比常温储存的枚鸡蛋失重率约低 ． 39．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【模拟06.函数图分析】 40．（2025·广东·一模）小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题： （1）图象表示了______和______两个变量的关系； （2）小潘家到舅舅家路程是______米；小潘在商店停留了______分钟； （3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米／分？ 41．（2025·江苏宿迁·二模）已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点为“新奇点”．若点是“新奇点”，则点在第 象限． 42．（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（   ） A． B． C． D． 43．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 44．（2025·河南驻马店·二模）光合作用，通常是指绿色植物吸收光能，把二氧化碳和水合成有机物，同时释放氧气的过程，整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、温度等多种因素的影响．小明在研究某绿色植物光合作用氧气释放速度（毫克/小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置，并绘制了和时与之间的关系图 （如图2），下列说法错误的是 （    ） A．两种温度下均是的函数 B．当时，该绿色植物不进行光合作用 C．当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高 D．光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快 45．（2025·吉林长春·模拟预测）蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促进蔬菜优质高产．某品种大棚蔬菜处在以下的气温条件超过，就会遭受冻害．深秋某天，气象台发布了第二天0时—8时的霜冻预警，室外气温（单位：）随时间（单位：）的变化图象（图象由两条有公共端点的线段组成）如图所示． (1)当时，求与的函数解析式； (2)结合函数图象，求第二天几时，室外气温为？ (3)为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备．未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升至设定温度后维持恒温．请直接写出，该蔬菜大棚在第二天最晚几时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害？ 46．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，抛物线与某一直线交于，两点，其中抛物线的对称轴为直线，设点坐标为，点坐标为，则对于过平面直角坐标系上的两点、的直线一定不过（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 47．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 48．（2025·安徽合肥·三模）如图，圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，点都是圆弧上的点．动点从出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【模拟07.二次函数与坐标综合】 49．（2025·吉林长春·二模）如图，直线与y轴、x轴分别交于点A、B，点C为函数上一点，，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 50．（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点P在此抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)______，抛物线的顶点坐标为______； (2)当点P在第三象限时，求m的取值范围； (3)若点P在x轴下方，当点P到x轴距离是到y轴距离2倍时，求m的值； (4)点在轴上，横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上，当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大时m的取值范围是______，当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而减小时m的取值范围是______． 51．（2025·江苏泰州·二模）定义：在平面直角坐标系中，若点变换得到点，则称点Q是点P的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． (1)下列点的“变换点”在x轴上的是______． ，，； (2)已知，点D的“变换点”是点E． ①若点D在反比例函数的图像上，试判断的形状，并说明理由； ②某一次函数的图像记为L，若点D在L上，点E在一次函数的图像上，求L的函数表达式； (3)点F是二次函数图像上一点，若存在点F的“变换点”G在一次函数的图像上，直接写出m的取值范围． 52．（2025·吉林·三模）如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿点P的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为x（s）．（线段可视为面积为0的三角形） (1)当点F与矩形顶点重合时，______； (2)当E在线段上时，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)在整个运动过程中，将矩形分成两部分图形的面积比为定值k时，直接写出k值（）及x的取值范围． 53．（2025·广东东莞·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，若点M为直线下方抛物线上一动点，轴交于点N，Q是平面内任意一点，若以M，N，Q，B为顶点的四边形是菱形，求此时点Q的坐标； (3)如图3，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰直角三角形，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．请直接写出长度的取值范围． 【模拟08.折叠与图形综合】 54．（2025·吉林松原·三模）已知点在第四象限，则的取值范围是 ． 55．（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 56．（2025·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点．点为轴上一点，连接，，当的周长最小时，点的坐标为 ． 57．（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 58．（2025·天津红桥·三模）将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $