期末专题复习小卷--第十五章轴对称2025-2026学年人教版八年级数学上册

八上数学期末重点专题复习小卷 3 ：轴对称 一、选择题（共计10题，每题3分） 1 ．下列图形中，不是轴对称图形的是 ( ) A ． B ． C ． D． 2．平面直角坐标系中已知点 M（2m+3 ， - 4）和点 N（ - 1，2n）关于y 轴对称，则代数式 m2+2n - 3 的值为 ( ) A ． - 6 B ． - 3 C ．2 D ．5 3 ．将两个全等的含 30 °角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为 6 ，则 DF 长为 ( ) A ．1 B ． C ．2 D ．3 4 ．如图，在△ABC 中，分别以A，B 为圆心，大于AB的长度为半径画弧，两弧相交于点 P 和点 O ，作直线 PO 交AB 于点 E ，交 AC 于点 D ，若 BC ＝5 ，AC ＝8 ，则△BDC 的周长为 ( ) A ．9 B ．10 C ．13 D ．18 5 ．如图，A ，B ，C 是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ( ) A ．△ABC 各边垂直平分线的交点 B ． △ABC 中线的交点 C ． △ABC 高的交点 D ．△ABC 内角平分线的交点 6 ．已知一个等腰三角形的三边长分别为 3x - 2 ，4x - 3 ，7 ，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A ．23 B ．19.5 或 23 C ．9 或 23 D ．9 或 19.5 或 23 7 ．如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 边于点 F，若∠BAC ＝140 ° , 则∠ EAF 的度数为 ( ) A ．95 ° B ．100 ° C ．105 ° D ．110 ° 8 ．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，DE 是 BC 的垂直平分线，P 是直线 DE 上的任意一点，则 PA+PB的最小值是 ( ) A ．7 B ．16 C ．10 D ．8 9 ．如图，在△ABC 中， ∠BAC 与∠ACB 的平分线交于点 M，过点 M 作 DE∥AC 交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E ，那么下列结论：①△ADM 和△CEM 都是等腰三角形；②△BDE 的周长等于 AB+BC；③AM＝CM；④AD+CE = AC．其中一定正确的结论有 ( ) A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个 10 ．如图，已知∠AOB ＝120 ° , 点 D 是∠AOB 的平分线上的一个定点，点 E，F 分别在射线 OA 和射线 OB 上，且∠EDF ＝60 ° , 下列结论： ①△DEF 是等边三角形； ②四边形 DEOF 的面积是一个定值； ③当DE⊥OA 时， △DEF 的周长最小； ①当 DE∥OB 时， ∠DFB ＝60 ° , 其中正确的个数是 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 二、填空题（共计8道，每题3分） 11 ．已知点 A（a - 3 ，4）与点 B（5 ，b）关于y 轴对称，则 b - a = . 12 ．在△ABC 中，AB ＝AC， ∠A ＝40 ° , 则∠B 的度数为 ° . 13 ．等腰三角形的一个角是 40 ° , 那么它的底角度数为 ． 14 ．若实数 m ，n 满足等式|m - 2|+（n - 4）2 ＝0 ，且 m ，n 恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则△ABC 的周长是 ． 15 ．如图，在△ABC 中，AC ＝6cm ，分别以 A ，B 为圆心，大于AB的长为半径画弧交于 M，N 两点，连结 MN，交 AB 于点 E ，交 AC 于点 D ， △BCD 的周长是 11cm ，则 BC 的长为 ． 16 ．如图， △ABD 是等边三角形，BC ＝BD ， ∠BAC ＝20 ° , 则∠CBD 的度数为 ． 17 ．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30 ° , 则等腰三角形顶角为 ． 18 ．如图，在△ABC 中，AB ＝AC，∠BAC ＝100 ° , BD 平分∠ABC，P ，Q 分别为边 BD，BC 上一点，且 BP ＝CQ，若当 AP+AQ 的最小值为 6 时，则 AB 的长为 ． 三、解答题（共计4题，19题8分，20题12分，21题12分，22题14分） 19 ．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E ，交 AC 于点 F，AD⊥BC，垂足为 D ，且 BD ＝DE ．求证： AB ＝EC． 20 ．如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A（0 ，1）、B（2 ，0）、C（4 ，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC． （2）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1 ，并写出△A1B1C1各顶点坐标． （3） 已知 P 为 x 轴上一点，若△ABP 的面积为 4 ，求点 P 的坐标． 21 ．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，EF 垂直平分 AC，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E ，且 BD ＝DE ，连接 AE． （1）求证：AB ＝EC； （2）若△ABC 的周长为 42cm ，AC ＝16cm ，求 DC 的长． 22 ．在△ABC 中，AB ＝AC，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D ，BD ＝AD． （1）如图 1 ，求∠BAC 的度数； （2）如图 2 ，E 是 AB 的中点，连接 ED 并延长，交 BC 的延长线于点 F，连接 AF．求证：AF＝AB+BC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八上数学期末重点专题复习小卷 3 ：轴对称 一、选择题（共计10题，每题3分） 1 ．下列图形中，不是轴对称图形的是 ( ) A． C． B． D． 【解答】解：选项 A 、C、D 均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项 B 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：B． 2 ．在平面直角坐标系中， 已知点 M（2m+3 ， - 4）和点 N（ - 1 ，2n）关于y 轴对称，则代数式 m2+2n - 3 的值为( ) A ． - 6 B ． - 3 C ．2 D ．5 【解答】解： 由条件可知 则， ∴m2+2n - 3 ＝1 - 4 - 3 ＝ - 6， 故选：A． 3 ．将两个全等的含 30 °角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为 6 ，则 DF 长为 ( ) A ．1 B ． C ．2 D ．3 【解答】解： 由全等三角形的性质得，CD ＝BC， 根据含 30 °角的直角三角形的性质得，CDDE ∵ ∠B ＝60 ° , CD ＝BC， ∴△BCD 为等边三角形， ∴ ∠BCD ＝60 ° , ∴ ∠DCF＝90 ° - ∠BCD ＝30 ° , 又∵∠CDE ＝60 ° , ∴ ∠CFD ＝90 ° , 故选：B． 4 ．如图，在△ABC 中，分别以A，B 为圆心，大于AB的长度为半径画弧，两弧相交于点 P 和点 O ，作直线 PO 交AB 于点 E ，交 AC 于点 D ，若 BC ＝5 ，AC ＝8 ，则△BDC 的周长为 ( ) A ．9 B ．10 C ．13 D ．18 【解答】解： 由作法得 DE 垂直平分 AB， ∴BD ＝AD， ∴△BDC 的周长为 BD+CD+BC ＝AD+CD+BC ＝AC+BC ＝8+5 ＝13． 故选：C． 5 ．如图，A ，B ，C 是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ( ) A ．△ABC 各边垂直平分线的交点 B ． △ABC 中线的交点 C ． △ABC 高的交点 D ．△ABC 内角平分线的交点 【解答】解： ∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是△ABC 各边垂直平分线的交点．故选：A． 6 ．已知一个等腰三角形的三边长分别为 3x - 2 ，4x - 3 ，7 ，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A ．23 B ．19.5 或 23 C ．9 或 23 D ．9 或 19.5 或 23 【解答】解： ①当 3x - 2 是底边时，则腰长为：4x - 3 ，7， ∴4x - 3 ＝7， ∴x ＝2.5， ∴3x - 2 ＝5.5， ∴等腰三角形的周长＝7+7+5.5 ＝19.5； ②当 4x - 3 是底边时，则腰长为：3x - 2 ，7， ∴3x - 2 ＝7， ∴x ＝3， ∴4x - 3 ＝9， ∴等腰三角形的周长＝7+7+9 ＝23； ③当 7 是底边时，则腰长为：3x - 2 ，4x - 3， ∴3x - 2 ＝4x - 3， ∴x ＝1， ∴3x - 2 ＝1 ，4x - 3 ＝1， ∵ 1+1＜7， ∴不能构成三角形． 则三角形的周长为 19.5 或 23． 故选：B． 7 ．如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 边于点 F，若∠BAC ＝140 ° , 则∠ EAF 的度数为 ( ) A ．95 ° B ．100 ° C ．105 ° D ．110 ° 【解答】解： ∵ ∠BAC ＝140 ° , ∴ ∠B+∠C ＝180 ° - ∠BAC ＝40 ° , ∵AB 的垂直平分线交 BC 于点 E ，AC 的垂直平分线交 BC 于点 F， ∴EA ＝EB ，FA ＝FC， ∴ ∠B = ∠BAE ， ∠C = ∠FAC， ∴ ∠BAE+∠FAC ＝40 ° , ∴ ∠EAF= ∠BAC - (∠BAE+∠FAC）＝100 ° ,故选：B． 8 ．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，DE 是 BC 的垂直平分线，P 是直线 DE 上的任意一点，则 PA+PB的最小值是 ( ) A ．7 B ．16 C ．10 D ．8 【解答】解：如图，连接 PC． ∵EF 是 BC 的垂直平分线， ∴BP ＝CP， 根据两点之间线段最短知，PA+PB ＝PA+PC≥AC， 所以 PA+PB 的最小值即为 AC 的长，最小值为 8． 故选：D． 9 ．如图，在△ABC 中， ∠BAC 与∠ACB 的平分线交于点 M，过点 M 作 DE∥AC 交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E ，那么下列结论：①△ADM 和△CEM 都是等腰三角形；②△BDE 的周长等于 AB+BC；③AM＝CM；④AD+CE = AC．其中一定正确的结论有 ( ) A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个 【解答】解： ∵DE∥AC， ∴ ∠DMA = ∠MAC， ∠EMC = ∠MCA， ∵AM 平分∠BAC，CM 平分∠ACB， ∴ ∠BAM= ∠MAC， ∠BCM= ∠MCA， ∴ ∠DMA = ∠BAM， ∠EMC = ∠BCM， ∴DA ＝DM，EM＝EC， ∴△ADM 和△CEM 都是等腰三角形， ∴△BDE 的周长＝BD+DE+BE =BD+DM+EM+BE =BD+AD+CE+BE =AB+BC， 故①②正确； ∵ ∠MAC≠∠MAC， ∴AM≠CM， 故③不正确； ∵DE≠AC， ∴DM+EM≠AC， ∵DA ＝DM，EM＝EC， ∴AD+CE≠AC 故④不正确； 所以，上列结论，其中一定正确的结论有 2 个，故选：C． 10 ．如图，已知∠AOB ＝120 ° , 点 D 是∠AOB 的平分线上的一个定点，点 E，F 分别在射线 OA 和射线 OB 上，且∠EDF ＝60 ° , 下列结论： ①△DEF 是等边三角形； ②四边形 DEOF 的面积是一个定值； ③当DE⊥OA 时， △DEF 的周长最小； ①当 DE∥OB 时， ∠DFB ＝60 ° , 其中正确的个数是 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个【解答】解： ①过 D 作DM⊥OA 交于 M，DN⊥OB 交于 N， ∴ ∠DME = ∠DNF＝90 ° , 由条件可知 DM＝DN， ∴ ∠MDN＝360 ° - 90 ° - 90 ° - 120 ° =60 ° , ∴ ∠EDM+∠EDN＝60 ° , ∵ ∠EDF＝60 ° , ∴ ∠FDN+∠EDN＝60 ° , ∴ ∠EDM= ∠FDN， 在△EDM 和△FDN 中， ∴△EDM≌△FDN（ASA）， ∴DE ＝DF， ∴△DEF 是等边三角形；故此项正确； ②由①得， S△EDM＝S△FDN， 由条件可知 S 四边形DEOF ＝S 四边形DEON+S△EDM＝S 四边形DMEN， ∴S 四边形DMEN是定值， ∴四边形 DEOF 的面积是一个定值；故此项正确； ③如图， 当 DE⊥OA 时， DE 的值最小， 由条件可知△DEF 的周长为 3DE， ∴△DEF 的周长最小； 故此项正确； ④如图， 由条件可知∠DFB = ∠EDF＝60 ° ,故此项正确； 故选：D． 二、填空题（共计8道，每题3分） 11 ．已知点 A（a - 3 ，4）与点 B（5 ，b）关于y 轴对称，则 b - a ＝ 6 ． 【解答】解：根据题意可知，a - 3 ＝ - 5 ，b ＝4， 解得：a ＝ - 2 ，b ＝4， ∴b - a ＝4 - （ - 2）＝6． 故答案为：6． 12 ．在△ABC 中，AB ＝AC， ∠A ＝40 ° , 则∠B 的度数为 70 ° . 【解答】解： ∵AB ＝AC， ∴ ∠B = ∠C， ∵ ∠A ＝40 ° , ∴ ∠B ＝（ 180 ° - 40 ° ) ÷2 ＝70 ° . 故答案为：70． 13 ．等腰三角形的一个角是 40 ° , 那么它的底角度数为 40 °或 70 ° . 【解答】解：根据等腰三角形的性质，分情况讨论： 当等腰三角形的顶角为 40 °时，则底角等于（ 180 ° - 40 ° ) ÷2 ＝140 ° ÷2 ＝70 ° ; 当等腰三角形的底角为 40 °时，则底角等于 40 ° ,所以它的底角的度数是 40 °或 70 ° . 故答案为：40 °或 70 ° . 14 ．若实数 m ，n 满足等式|m - 2|+（n - 4）2 ＝0 ，且 m ，n 恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则△ABC 的周长是 10 ． 【解答】解： ∵|m - 2|+（n - 4）2 ＝0， ∴m - 2 ＝0 ，n - 4 ＝0， 解得 m ＝2 ，n ＝4． 因为△ABC 是等腰三角形，所以分两种情况讨论： ①当以 m 为腰时， △ABC 的边长分别是 2 ，2 ，4，因为 2+2 ＝4 ，所以此时不满足三角形三边关系； ②当以 n 为腰时， △ABC 的边长分别是 2 ，4 ，4， 此时满足三角形三边关系，则△ABC 的周长为：C△ABC ＝4+4+2 ＝10． 故答案为：10． 15 ．如图，在△ABC 中，AC ＝6cm ，分别以 A ，B 为圆心，大于AB的长为半径画弧交于 M，N 两点，连结 MN，交 AB 于点 E ，交 AC 于点 D ， △BCD 的周长是 11cm ，则 BC 的长为 5cm ． 【解答】解： 由作图知，直线 MN 是 AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD， ∵△BCD 的周长为 11cm， ∴BD+CD+BC ＝AD+CD+BC ＝AC+BC ＝11cm， ∵AC ＝6cm， ∴BC ＝11 - 6 ＝5（cm）， 故答案为：5cm． 16 ．如图， △ABD 是等边三角形，BC ＝BD ， ∠BAC ＝20 ° , 则∠CBD 的度数为 80 ° . 【解答】解： ∵△ABD 是等边三角形， ∴ ∠ABD ＝60 ° , AB ＝BD， ∵BC ＝BD， ∴AB ＝BC， ∴ ∠BCA = ∠BAC ＝20 ° , ∴ ∠ABC ＝180 ° - 20 ° - 20 ° = 140 ° , ∴ ∠CBD = ∠ABC - ∠ABD ＝80 ° . 故答案为：80 ° . 17 ．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30 ° , 则等腰三角形顶角为 60 °或 120 ° . 【解答】解：如图 1 ，若三角形为锐角三角形时，AB ＝AC， ∠ACD ＝30 ° , CD 为高， 此时∠A+∠ACD+∠ADC ＝180 ° , ∴ ∠A ＝180 ° - 90 ° - 30 ° =60 ° ; 如图 2 ，若三角形为钝角三角形时，AB ＝AC， ∠ACD ＝30 ° , CD 为高，即∠ADC ＝90 ° , 此时∠BAC = ∠D+∠ACD ＝90 °+30 ° = 120 ° ,综上，等腰三角形的顶角的度数为 60 °或 120 ° . 故答案为：60 °或 120 ° . 18 ．如图，在△ABC 中，AB ＝AC，∠BAC ＝100 ° , BD 平分∠ABC，P ，Q 分别为边 BD，BC 上一点，且 BP ＝CQ，若当 AP+AQ 的最小值为 6 时，则 AB 的长为 6 ． 【解答】解：如图，作 CE∥BD ，使得 CE ＝AB ，连接 EQ， 则∠CBD = ∠ECQ， ∵BD 平分∠ABC ． ∴ ∠ABD = ∠CBD， ∴∠ABP = ∠ECQ． 在△ABP 和△ECQ 中， ∴△ABP≌△ECQ（SAS）， ∴AP ＝EQ， ∴AP+AQ ＝EQ+AQ， ∴当A ，Q ，E 三点共线时，AP+AQ 的最小值等于 AE 的长，又∵AP+AQ 的最小值为 6， ∴AE 的长为 6， ∵AB ＝AC， ∠BAC ＝100 ° , ∴ ∠ABC = ∠ACB ＝40 ° , ∵ ∠ACE ＝40 °+20 ° =60 ° , CE ＝AB ＝AC， ∴△ACE 是等边三角形， ∴AC ＝AE ＝6． ∴AB ＝6． 故答案为：6． 三、解答题（共计4题，19题8分，20题12分，21题12分，22题14分） 19 ．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E ，交 AC 于点 F，AD⊥BC，垂足为 D ，且 BD ＝DE ．求证： AB ＝EC． 【解答】证明： ∵AC 垂直平分 BC， ∴AE ＝CE， ∵AD⊥BC，BD ＝DE， ∴AB ＝AE， ∴AB ＝EC． 20 ．如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A（0 ，1）、B（2 ，0）、C（4 ，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC． （2）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1 ，并写出△A1B1C1各顶点坐标． （3） 已知 P 为 x 轴上一点，若△ABP 的面积为 4 ，求点 P 的坐标． 【解答】解：（1）如图所示： △ABC 即为所求； （2）解：如图所示： △A1B1C1 即为所求： 由图可知：A1（0 ，1），B1（ - 2 ，0），C1（ - 4 ，3）； （3） ∵P 为 x 轴上一点，A（0 ，1）、B（2 ，0） ∴OA ＝1 ，S△ABP = OA . BP = × 1 × BP = 4， ∴BP ＝8， ∵B（2 ，0）， ∴P 点的横坐标为：2+8 ＝10 或 2 - 8 ＝ - 6； ∴P（10 ，0）或 P（ - 6 ，0）． 21 ．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，EF 垂直平分 AC，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E ，且 BD ＝DE ，连接 AE． （1）求证：AB ＝EC； （2）若△ABC 的周长为 42cm ，AC ＝16cm ，求 DC 的长． 【解答】（1）证明： ∵EF 垂直平分 AC， ∴AE ＝EC， ∵AD⊥BC，BD ＝DE， ∴AB ＝AE， ∴AB ＝EC； （2）解： ∵△ABC 的周长为 42cm， ∴AB+BC+AC ＝42cm， ∵AC ＝16cm， ∴AB+BC ＝26cm， ∵AB ＝EC，BD ＝DE， ∴DC = DE + EC = (AB + BC) = 13cm． 22 ．在△ABC 中，AB ＝AC，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D ，BD ＝AD． （1）如图 1 ，求∠BAC 的度数； （2）如图 2 ，E 是 AB 的中点，连接 ED 并延长，交 BC 的延长线于点 F，连接 AF．求证：AF＝AB+BC． 【解答】（1）解：设∠ABD ＝x ° , ∵BD 平分∠ABC， ∴ ∠DBC ＝x ° , ∵AB ＝AC， ∴ ∠C = ∠ABC ＝2x ° ,又∵BD ＝AD， ∴ ∠A ＝x ° , 又∵∠BDC = ∠A+∠ABD ，即 2x ° = ∠A+x ° , ∴ ∠BDC = ∠C ＝2x ° , ∴BD ＝BC， 在△ABC 中， ∠A+∠ABC+∠C ＝180 ° , ∴x+2x+2x ＝180， 解得 x ＝36， ∴ ∠A ＝36 ° , ∴ ∠BAC 的度数为 36 ° ; （2） ∵E 是 AB 的中点，BD ＝AD， ∴EF 是 AB 的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴ ∠FBA = ∠FAB ＝72 ° , ∴ ∠AFB = ∠FAC ＝36 ° , ∴CA ＝CF， ∴AB ＝AC ＝CF， ∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC． 学科网（北京）股份有限公司 $