第14章 全等三角形 期末复习练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

八上数学期末重点专题复习 2 ：全等三角形 类型一：基础题 1 ．如图，点 C、B 、E、F 在同一条直线上，AB ＝DE ，BF＝CE ，AB∥ED ．求证： △ABC≌△DEF． 2 ．如图，B ，F，C，E 在同一直线上，BF＝CE ， ∠B = ∠E ，AB ＝DE ．求证：AC ＝DF． 3 ．如图，点 B ，E ，C，F 在同一直线上，BE ＝CF， ∠A = ∠D ， ∠ABC = ∠DEF．求证： △ABC≌△DEF． 4 ．已知：如图，在△ABC 和△ADE 中，点 D 在 BC 上， ∠B = ∠ADE ，AC ＝AE ， ∠BAD = ∠CAE ．求证： △ABC ≌△ADE． 5 ．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD ， ∠1 = ∠2 ，AD ＝EC． （1）求证： △ABD≌△EDC；（2）若 AB ＝2 ，BE ＝3 ，求 CD 的长． 6 ．如图，AD∥BC ， ∠D = ∠B ，DF＝BE． （1）求证： △ADF≌△CBE ．（2）若 AC ＝17 ，CF＝3 ，求 EF 的长． 类型二：中档题 7 ．已知如图：在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ， ∠AOB = ∠COD ＝25 ° . （1）求证：AC ＝BD；（2）求∠APB 的大小． 8 ．如图，在△ABC 中， ∠ACB ＝90 ° , AC ＝BC，BE⊥CE 于 E ，AD⊥CE 于 D． （1）求证： △ADC≌△CEB ．（2）AD ＝5cm ，DE ＝3cm ，求 BE 的长度． 9 ．如图， △ABC≌△ADE ，点 B 的对应点 D 在 BC 边上． （1）求证：AD 平分∠BDE；（2）若点A ，B ，E 在同一条直线上，且∠C ＝30 ° , 求∠CAE 的度数． 10 ．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB ，垂足分别为 E ，F，BE ，CF 相交于点 D ，若 BD ＝CD． （1）求证： △BDF≌△CDE；（2）若∠C ＝50 ° , 求∠DAC 的度数． 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC，点 D 在 AC 上，连接 BD ，并延长至点 E ，连接 AE ，使 AE ＝AB． （1）作∠EAC 的平分线AF，AF 交 DE 于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证： ∠ABE = ∠ACF． 12 ．如图，点 C 在线段 AB 上，AD∥EB ，AC ＝BE ，AD ＝BC，CF 平分∠DCE． （1）证明： △ADC≌△BCE；（2）若 CF＝3 ，DF＝4 ，求△DCE 的面积． 13 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠BAC ＝90 ° , ∠ABC ＝60 ° , ∠BAC 与∠ACB 的平分线 AD 、CE 交于点 O． （1）求∠COD 的度数；（2）求证：AC ＝AE+CD． 14 ．如图，在△ABC 中， ∠ABC ＝45 ° , AD⊥BC 于点 D ，E 为 AC 上一点，连接 BE 交 AD 于 F，且 DF＝DC ． （1）求证：BF＝AC；（2）连接 DE ，求∠BED 的度数；（3）过点 D 作 DH⊥BE 于 H，求证：BE ＝AE+2EH． 15 ．如图，已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接 BD ，CE ，延长 EC 交 BD 于点 P． （1）求证： △BAD≌△CAE；（2）连接 AP ，用等式表示线段 AP ，DP ，EP 之间的数量关系，并证明． 16 ．如图，已知：在△ABC 中，AM 是△ABC 的中线，MP 平分∠AMB ，MQ 平分∠AMC，且 BP⊥MP 于点 P ，CQ ⊥MQ 于点 Q ．（1）求证：MP⊥MQ；（2）求证： △BMP≌△MCQ． 17 ．小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置 A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 OA 水平距离 BD ＝0.8m 的 B 处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点 C 处时，小丽距离地面的高度EM 为 1m ，已知∠BOC ＝90 ° , BD⊥OA 于点 D ，CE⊥OA 于点 E． （1）求证： △CEO≌△ODB； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在 2m 以下，小丽所在公园的秋千高度 OM 设置是否合理？为什么？ 18 ．阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图 1 ，已知△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线． 求证：AB+AC＞2AD． 证明方法如下： 证明：如图 2 ，延长 AD 至 E ，使 DE ＝AD， ∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD ＝CD， 在△BDE 和△CDA 中，匕CDA， ∴△BDE≌△CDA ， ∴BE ＝CA， 在△ABE 中，AB+BE＞AE ， ∴AB+AC＞2AD． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使 DE ＝AD ，构造了一对全等三角形，将 AB，AC，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫“倍长中线法 ”．“倍长中线法 ”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．解决下列问题： （1）如图 3 ，AB ＝3 ，AC ＝4 ，则 AD 的取值范围是 ； （2）如图 4 ，在图 3 的基础上，分别以 AB 和 AC 为边作等腰直角三角形，在 Rt△ABE 中， ∠BAE ＝90 ° , AB =AE；Rt△ACF 中， ∠CAF＝90 ° , AC ＝AF．连接 EF．试探究 EF 与AD 的数量关系，并说明理由． 19 ．已知， △ABC 中，CA ＝CB ， ∠ACB ＝90 ° , 一直线过定点 C，过 A ，B 分别作其垂线，垂足分别为 E ，F． （1）如图 1 ，求证： △AEC≌△CFB； （2）如图 2 ，请直接写出 EF，AE ，BF 之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若 BF＝3AE ，EF＝4 ，则△BFC 的面积是 ． 类型三：拔高题 20 ．已知，C 为射线 AD 上一点， ∠DAP = ∠PBC，PA ＝PB． （1）证明：CP 平分∠DCB； （2）若 AP 与 BC 交 M， ∠APB ＝2∠CPA ，证明：BM＝AC+CM． 21 ． 问题情境： 已知：射线 AB 和射线 CB 相交于点 B ．点 D 在射线 CB 上，作射线AD ，在射线 AD 上取一点 E，连接 CE ，使∠AEC = ∠ABC． 任务一：当点 D 在线段 CB 上时， （1）如图 1 ，请写出∠A 与∠C 的数量关系，并说明理由； （2）如图 2 ，当∠AEC = ∠ABC ＝90 ° , AB ＝CB 时，连接 BE ．在射线 AD 上取一点 F，使 AF＝CE ，连接 BF． ①判断 BF 与 BE 的数量关系与位置关系，并说明理由； ②∠AEB 的度数为 ；任务二：当点 D 是射线 CB 上的动点（点 D 不与点 C 和点 B 重合）． （3）如图 3，当 AB ＝CB，∠AEC = ∠ABC = α（90 ° < α <180 ° ), 且 AF＝CE 时，请直接写出∠AEB 的度数（用含α 的式子表示）． 22 ．△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90 ° , BC ＝6cm ，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D ，点 P 从点 A 出发，以1cm/s 的速度沿着射线 CA 方向运动，连接 PD 交 AB 于点 E，过点 D 作 PD 的垂线交直线 AC 于点 F，交直线 AB于点 G ．设运动时间为 ts ．（1）当 t ＝3 时，求 BG 的长；（2）在点 P 的运动过程中，试探究线段 GE 与 PF 的数量关系，并说明理由；（3）如图 2 ，连接 EF，EF 上是否存在点 H，使得△DCF 与△FAH 全等？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由． 23 ．（1）问题发现 如图 1 ， △ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A ，D ，E 在同一直线上，连接 BE ，求∠AEB 的度数． （2）拓展探究 如图 2 ， △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∠ACB = ∠DCE ＝90 ° , 点 A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△ DCE 中 DE 边上的高，连接 BE ．请求∠AEB 的度数及线段 CM，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由． 24．在平面直角坐标系中，A ( ﹣5，0），B（0，5），点 C 为 x 轴正半轴上一动点，过点 A 作 AD⊥BC 交y 轴于点 E，连接 DO ，则 DO 平分∠ADC． （1）如图（1），若 C（3 ，0），则点 E 的坐标为 ； （2）如图（2），若点 C 在 x 轴正半轴上运动，当 OC+CD ＝AD 时，求∠OBC 的度数． 25 ．在△DEF 中，DE ＝DF，点 B 在 EF 边上，且∠EBD ＝60 ° , C 是射线 BD 上的一个动点（不与点 B 重合，且BC≠BE），在射线 BE 上截取 BA ＝BC，连接 AC． （1）当点 C 在线段 BD 上时， ①若点 C 与点 D 重合，请根据题意补全图 1 ，并直接写出线段 AE 与 BF 的数量关系为 ； ②如图 2 ，若点 C 不与点 D 重合，请证明AE ＝BF+CD； （2）当点 C 在线段 BD 的延长线上时，用等式表示线段 AE ，BF，CD 之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 26 ．点 A ，B 为坐标轴上两点，点 C 为坐标平面内一点，OA ＝OB ，连接 AB ，OC，AC，BC． （1）如图 1 ，点 C 在△OAB 内，满足∠OCA ＝90 ° . ①若∠OAC ＝35 ° , 求∠BOC 的度数； ②若 S△OBC ＝18 ，求 OC 的长； （2）如图 2 ，点 C 在y 轴的正半轴上，满足OC OB，点 P 在线段 OA 上，连接 BP 并延长至点 D ，使得 DP =BP ，连接 AD ，若 AD⊥AC，点 A 的坐标为（ t ，0），求点 P 的坐标（用含 t 的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八上数学期末重点专题复习 2 ：全等三角形 类型一：基础题 1 ．如图，点 C、B 、E、F 在同一条直线上，AB ＝DE ，BF＝CE ，AB∥ED．求证： △ABC≌△DEF． 【解答】证明： ∵BF＝CE， ∴BC ＝EF， 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 2 ．如图，B ，F，C，E 在同一直线上，BF＝CE ， ∠B = ∠E ，AB ＝DE ．求证：AC ＝DF． 【解答】证明： ∵BF＝CE， ∴BF+FC ＝CE+FC，即 BC ＝EF，在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC ＝DF． 3 ．如图，点 B ，E ，C，F 在同一直线上，BE ＝CF， ∠A = ∠D ， ∠ABC = ∠DEF．求证： △ABC≌△DEF． 【解答】证明： ∵BE ＝CF， ∴BE+CE ＝CF+CE， 即 BC ＝EF， 在△ABC 和△DEF 中， 匕A = 匕D 匕ABC = 匕DEF， BC = EF ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 4 ．已知：如图，在△ABC 和△ADE 中，点 D 在 BC 上， ∠B = ∠ADE ，AC ＝AE ， ∠BAD = ∠CAE ．求证： △ABC ≌△ADE． 【解答】证明： ∵ ∠BAD = ∠CAE， ∴ ∠BAD+∠CAD = ∠CAE+∠CAD ，即∠BAC = ∠DAE，在△ABC 和△ADE 中， 匕BAC = 匕DAE 匕B = 匕ADE ， AC = AE ∴△ABC≌△ADE（AAS）． 5 ．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD ， ∠1 = ∠2 ，AD ＝EC． （1）求证： △ABD≌△EDC； （2）若 AB ＝2 ，BE ＝3 ，求 CD 的长． 【解答】（1）证明： ∵AB∥CD， ∴ ∠ABD = ∠EDC． 在△ABD 和△EDC 中， 匕ABD = 匕EDC 匕1 = 匕2 ， AD = EC ∴△ABD≌△EDC（AAS）， （2） 由（1）得△ABD≌△EDC， ∴AB ＝DE ＝2 ，BD ＝CD， ∴CD ＝BD ＝DE+BE ＝2+3 ＝5． 6 ．如图，AD∥BC ， ∠D = ∠B ，DF＝BE． （1）求证： △ADF≌△CBE． （2）若 AC ＝17 ，CF＝3 ，求 EF 的长． 【解答】（1）证明： ∵AD∥BC， ∴ ∠A = ∠C， 在△ADF 和△CBE 中， ∴△ADF≌△CBE（AAS）； （2）解： ∵△ADF≌△CBE， ∴AF＝CE， ∴AE ＝CF， ∵AC ＝17 ，CF＝3 ＝AE， ∴EF＝11． 类型二：中档题 7 ．已知如图：在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ， ∠AOB = ∠COD ＝25 ° . （1）求证：AC ＝BD； （2）求∠APB 的大小． 【解答】（1）证明： ∵ ∠AOB = ∠COD， ∴ ∠AOB+∠BOC = ∠COD+∠BOC， 即∠AOC = ∠BOD， 在△AOC 与△BOD 中， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC ＝BD； （2）解：如图，AC 交 OB 于点 Q， ∵△AOC≌△BOD， ∴ ∠OAC = ∠OBD， ∵∠BQP = ∠AQO， ∴ 180 ° - ∠AQO - ∠OAC ＝180 ° - ∠BQP - ∠OBD， ∴ ∠AOB = ∠APB ＝25 ° . 8 ．如图，在△ABC 中， ∠ACB ＝90 ° , AC ＝BC，BE⊥CE 于 E ，AD⊥CE 于 D． （1）求证： △ADC≌△CEB． （2）AD ＝5cm ，DE ＝3cm ，求 BE 的长度． 【解答】（1）证明： ∵AD⊥CE ， ∠ACB ＝90 ° , ∴ ∠ADC = ∠ACB ＝90 ° , ∴ ∠BCE = ∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC 与△CEB 中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由（1）知， △ADC≌△CEB， 则 AD ＝CE ＝5cm ，CD ＝BE． ∵CD ＝CE - DE， ∴BE ＝AD - DE ＝5 - 3 ＝2（cm）， 即 BE 的长度是 2cm． 9 ．如图， △ABC≌△ADE ，点 B 的对应点 D 在 BC 边上． （1）求证：AD 平分∠BDE； （2）若点A ，B ，E 在同一条直线上，且∠C ＝30 ° , 求∠CAE 的度数． 【解答】（1）证明： “△ABC纟△ADE， : ∠ADE = ∠B（全等三角形对应角相等），AB ＝AD（全等三角形对应边相等）， : ∠ADB = ∠B， : ∠ADB = ∠ADE ，即 DA 平分∠BDE； （2）解：设∠B ＝x ，则∠ADB = ∠ADE = ∠B ＝x， “△ABC纟△ADE ， ∠C ＝30 。， : ∠E = ∠C ＝30 。， “ ∠E+∠EDB+∠B ＝180 。， : 30+3x ＝180 。，解得 x ＝50 。， : ∠DAB ＝180 。 - 50 。 - 50 。＝80 。， “△ABC纟△ADE， : ∠BAC = ∠DAE， : ∠CAE = ∠DAB ＝80 。． 10 ．如图，已知BE丄AC，CF丄AB ，垂足分别为 E ，F，BE ，CF 相交于点 D ，若 BD ＝CD． （1）求证： △BDF纟△CDE； （2）若∠C ＝50 。，求∠DAC 的度数． 【解答】（1）证明：“BE丄AC 于点 E ，CF丄AB 于点 F，BE ，CF 相交于点 D， : ∠BFD = ∠CED ＝90 。， ∠BDF= ∠CDE， 在△BDF 和△CDE 中， 匕BDF = 匕CDE匕BFD = 匕CED， BD = CD : △BDF纟△CDE（AAS）． （2）解：“ ∠AFC ＝90 。， ∠C ＝50 。， : ∠BAC ＝90 。 - ∠C ＝40 。， 由（1）得△BDF纟△CDE， ∴DF＝DE， ∵DF⊥AB 于点 F，DE⊥AC 于点 E ，且 DF＝DE， ∴点 D 在∠BAC 的平分线上， ∴AD 平分∠BAC， ∴ ∠DAC 的度数是 20 ° . 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC，点 D 在 AC 上，连接 BD ，并延长至点 E ，连接 AE ，使 AE ＝AB． （1）作∠EAC 的平分线AF，AF 交 DE 于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证： ∠ABE = ∠ACF． 【解答】（1）解：如图，AF 即为所求； （2）证明：连接 CF， 由条件可知AE ＝AC， ∵AF 是∠EAC 的平分线， ∴ ∠EAF= ∠CAF， 在△AEF 和△ACF 中， ∴△AEF≌△ACF（SAS）， ∴ ∠E = ∠ACF， ∵AB ＝AE， ∴ ∠ABE = ∠E， ∴ ∠ABE = ∠ACF． 12 ．如图，点 C 在线段 AB 上，AD∥EB ，AC ＝BE ，AD ＝BC，CF 平分∠DCE． （1）证明： △ADC≌△BCE； （2）若 CF＝3 ，DF＝4 ，求△DCE 的面积． 【解答】（1）证明： ∵AD∥BE， ∴ ∠A = ∠B， 在△ACD 和△BEC 中， ∴△ACD≌△BEC（SAS）； （2）解：由（1）知△ADC≌△BCE， ∴DC ＝CE， 又∵CF 平分∠DCE ， ∴CF⊥DE ，DF＝EF， ∴CF 垂直平分 DE， ∵CF＝3 ，DF＝4． ∴DE ＝2DF＝8， 即△DCE 的面积是 12． 13 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠BAC ＝90 ° , ∠ABC ＝60 ° , ∠BAC 与∠ACB 的平分线 AD 、CE 交于点 O． （1）求∠COD 的度数； （2）求证：AC ＝AE+CD． 【解答】（1）解：在 Rt△ABC 中， ∠BAC ＝90 ° , ∠ABC ＝60 ° , ∴ ∠ACB ＝180 ° - 90 ° - 60 ° =30 ° , ∵AD 、CE 分别平分∠BAC ， ∠ACB， : ∠COD = ∠CAO+∠AOC ＝45 。+15 。＝60 。． （2）证明：如图，在 AC 上截取 CF＝CD ，连接 OF， “CE 平分∠ACC， : ∠ACE = ∠BCE， 在△COF 和△COD 中， : △COF纟△COD（SAS）， : ∠COF= ∠COD ＝60 。， : ∠AOF＝180 。 - ∠COD - ∠COF＝60 。， “ ∠AOE = ∠COD ＝60 。， : ∠AOE = ∠AOF， 在△AOE 和△AOF 中， : △AOE纟△AOF（ASA）， :AE ＝AF， :AC ＝AF+CF＝AE+CD． 14 ．如图，在△ABC 中， ∠ABC ＝45 。，AD丄BC 于点 D ，E 为 AC 上一点，连接 BE 交 AD 于 F，且 DF＝DC． （1）求证：BF＝AC； （2）连接 DE ，求∠BED 的度数； （3）过点 D 作 DH丄BE 于 H，求证：BE ＝AE+2EH． 【解答】（1）证明：“AD丄BC 于点 D， ∴ ∠BDF= ∠ADC ＝90 ° , ∵ ∠ABC ＝45 ° , ∴ ∠BAD = ∠ABC ＝45 ° , ∴BD ＝AD， 在△BDF 和△ACD 中， BD = AD 匕BDF = 匕ADC， DF = DC ∴△BDF≌△ACD（SAS）， ∴BF＝AC． （2）解：如图 1 ，作 DG⊥DE ，交 BE 于点 G ，则∠GDE ＝90 ° , ∴ ∠BDG = ∠ADE ＝90 ° - ∠ADG，由（1）得△BDF≌△ACD， ∴ ∠DBF= ∠DAC， 在△BDG 和△ADE 中， 匕DBG = 匕DAE BD = AD ， 匕BDG = 匕ADE ∴△BDG≌△ADE（ASA）， ∴DG ＝DE， ∴ ∠BED = ∠DGE ＝45 ° , ∴ ∠BED 的度数为 45 ° . （3）证明：如图 3 ，作 DG⊥DE ，交 BE 于点 G ，则∠GDE ＝90 ° ,由（2）得△BDG≌△ADE， ∴BG ＝AE ，DG ＝DE， ∵DH⊥BE 于 H， ∴GH＝EH， ∴EG ＝2EH， ∵BE ＝BG+EG ，且 BG+EG ＝AE+2EH， ∴BE ＝AE+2EH． 15 ．如图，已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接 BD ，CE ，延长 EC 交 BD 于点 P． （1）求证： △BAD≌△CAE； （2）连接 AP ，用等式表示线段 AP ，DP ，EP 之间的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明： ∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形∴AD ＝AE ＝DE ，AB ＝AC， ∠DAE = ∠BAC ＝60 ° , ∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE， ∴ ∠BAD = ∠CAE， 在△BAD 和△CAE 中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）解：EP ＝AP+DP ，理由如下：如图，设 AD 、EP 相交于点 Q， ∵△BAD≌△CAE， ∴ ∠ADB = ∠AEC， 又∵∠DQP = ∠AQE， ∴ ∠DPE = ∠DAE ＝60 ° ,在 PE 上截取 PM＝PD， ∴△PDM 是等边三角形， ∴DP ＝DM＝PM， ∠PDM＝60 ° = ∠ADE， ∴ ∠ADP = ∠EDM， 在△ADP 和△EDM 中， ∴△ADP 和≌△EDM（SAS）， ∴AP ＝EM， ∵EP ＝EM+PM， ∴EP ＝AP+DP． 16 ．如图，已知：在△ABC 中，AM 是△ABC 的中线，MP 平分∠AMB ，MQ 平分∠AMC，且 BP⊥MP 于点 P ，CQ ⊥MQ 于点 Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证： △BMP≌△MCQ． 【解答】证明：（1） ∵MP 平分∠AMB ，MQ 平分∠AMC， ∴∠PMQ = ∠AMP+∠AMQ= ∠AMB+∠AMC = (∠AMB+∠AMC） = ×180 ° =90 ° , ∴MP⊥MQ； （2） 由（1）知，MP⊥MQ， ∵BP⊥MP， ∴BP∥QM， ∠BPM＝90 ° , ∠CQM＝90 ° , ∴∠PBM= ∠QMC， ∵AM 是△ABC 的中线， ∴BM＝MC， 在△BMP 和△MCQ 中 匕BPM = 匕MQC匕MBP = 匕CMQ， BM = MC ∴△BMP≌△MCQ（AAS）． 17 ．小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置 A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 OA 水平距离 BD ＝0.8m 的 B 处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点 C 处时，小丽距离地面的高度EM 为 1m ，已知∠BOC ＝90 ° , BD⊥OA 于点 D ，CE⊥OA 于点 E． （1）求证： △CEO≌△ODB； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在 2m 以下，小丽所在公园的秋千高度 OM 设置是否合理？为什么？ 【解答】（1）证明：根据题意得 CO ＝OB， ∵BD⊥OA 于点 D ，CE⊥OA 于点 E， ∴ ∠CEO = ∠ODB ＝90 °（垂直的定义）， ∵ ∠BOC ＝90 ° , ∠BOD = ∠OBD， ∴ ∠COE ＝90 ° - ∠BOD = ∠OBD ＝45 ° ,在△CEO 和△ODB 中， ∴△CEO≌△ODB（AAS）； （2）解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由： ∵点 B 到 OA 距离为 0.8m ，BD⊥OA 于点 D ，BD ＝0.8m，由（1）得△CEO≌△ODB， ∴OE ＝BD ＝0.8m（全等三角形对应边相等）， ∵EM＝1m， ∴OM＝OE+EM＝0.8+1 ＝1.8m， ∵ 1.8m＜2m， ∴小丽所在公园的秋千高度设置合理． 18 ．阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图 1 ，已知△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线．求证：AB+AC＞2AD． 证明方法如下： 证明：如图 2 ，延长 AD 至 E ，使 DE ＝AD， ∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD ＝CD， 在△BDE 和△CDA 中， ∴△BDE≌△CDA， ∴BE ＝CA， 在△ABE 中，AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使 DE ＝AD ，构造了一对全等三角形，将 AB，AC，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法 ”．“倍长中线法 ”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： （1）如图 3 ，AB ＝3 ，AC ＝4 ，则 AD 的取值范围是 AD ； （2）如图 4 ，在图 3 的基础上，分别以 AB 和 AC 为边作等腰直角三角形，在 Rt△ABE 中， ∠BAE ＝90 ° , AB =AE；Rt△ACF 中， ∠CAF＝90 ° , AC ＝AF．连接 EF．试探究 EF 与AD 的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）延长 AD 至点 E ，使 DE ＝AD ，连接 CE ，如图所示： ∴AE ＝2AD ， ∵AD 是中线， ∴CD ＝BD， 在△ABD 和△ECD 中， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB ＝EC ＝3， 在△ACE 中，AC - CE＜AE＜AC+CE， ∴AC - AB＜AE＜AC+AB， ∵AB ＝3 ，AC ＝4， 即 4 - 3＜2AD＜4+3， ∴ 1＜2AD＜7， 故答案为：AD （2）EF＝2AD． 理由如下： 延长 AD 至点 M，使 DM＝AD ，连接 CM，如图所示： ∵AD 是中线， ∴BD ＝CD， 在△ABD 和△MCD 中， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴ ∠ABD = ∠MCD ，AB ＝MC， ∴AE ＝CM，AB∥CM， ∴ ∠ACM+∠BAC ＝180 ° , ∵ ∠CAF= ∠BAE ＝90 ° , ∴ ∠EAF+∠BAC ＝180 ° , ∴ ∠EAF= ∠ACM， 又∵AF＝AC， ∴△EAF≌△MCA（SAS）， ∴EF＝MA， ∵AM＝2AD， ∴EF＝2AD． 19 ．已知， △ABC 中，CA ＝CB ， ∠ACB ＝90 ° , 一直线过定点 C，过 A ，B 分别作其垂线，垂足分别为 E ，F． （1）如图 1 ，求证： △AEC≌△CFB； （2）如图 2 ，请直接写出 EF，AE ，BF 之间的数量关系 EF＝BF - AE ； （3）在（2）的条件下，若 BF＝3AE ，EF＝4 ，则△BFC 的面积是 6 ． 【解答】（1）证明： ∵ ∠ACB ＝90 ° , ∴ ∠ECA+∠FCB ＝90 ° , ∵AE⊥EF，BF⊥EF， ∴ ∠AEF= ∠BFC ＝90 °（垂直的定义）， ∴ ∠ECA+∠EAC ＝90 ° , ∴ ∠FCB = ∠EAC， 在△ACE 和△CBF 中， ∴△ACE≌△CBF（AAS）； （2）解：EF＝BF - AE， 理由如下： ∵ ∠AEC = ∠CFB ＝90 ° , ∠ACB ＝90 ° , ∴ ∠ACE+∠CAE = ∠ACE+∠BCF＝90 ° , ∴ ∠CAE = ∠BCF， 在△CAE 和△BCF 中， ∴△CAE≌△BCF（AAS）， ∴CE ＝BF，AE ＝CF， ∴EF＝CE - CF＝BF - AE， 即 EF＝BF - AE； （3）解：由（2）得 EF＝BF - AE 且 BF＝3AE， ∴EF＝3AE - AE ＝2AE， ∵CF＝AE ，EF＝4， ∴CF＝AE ＝2 ，BF＝6， 类型三：拔高题 20 ．已知，C 为射线 AD 上一点， ∠DAP = ∠PBC，PA ＝PB． （1）证明：CP 平分∠DCB； （2）若 AP 与 BC 交 M， ∠APB ＝2∠CPA ，证明：BM＝AC+CM． 【解答】证明：（1）过点 P 作 PF⊥AD 于点 F，PE⊥BC 于点 E， ∴ ∠PFA = ∠PEB ＝90 ° .在△PAF 和△PBE 中， ∴△PAF≌△PBE（AAS）， ∴PF＝PE． ∵PF⊥AD ，PE⊥BC， ∴CP 平分∠DCB； （2）在 CD 上截取 CE ＝CM，连接 PE． 由（1）得 CP 平分∠DCB， ∴ ∠PCE = ∠PCM． 在△PCE 和△PCM 中， ∴△PCE≌△PCM（SAS）， ∴ ∠EPC = ∠MPC． ∵ ∠APB ＝2∠CPA， ∴ ∠APB = ∠APE． ∵ ∠DAP = ∠PBC，PA ＝PB，在△PBM 和△PAE 中， ∴△PBM≌△PAE（ASA）， ∴BM＝AE ＝AC+CE ＝AC+CM． 21 ．问题情境： 已知：射线 AB 和射线 CB 相交于点 B ．点 D 在射线 CB 上，作射线 AD ，在射线 AD 上取一点 E ，连接 CE ，使∠AEC = ∠ABC． 任务一：当点 D 在线段 CB 上时， （1）如图 1 ，请写出∠A 与∠C 的数量关系，并说明理由； （2）如图 2 ，当∠AEC = ∠ABC ＝90 ° , AB ＝CB 时，连接 BE ．在射线 AD 上取一点 F，使 AF＝CE ，连接 BF． ①判断 BF 与 BE 的数量关系与位置关系，并说明理由； ②∠AEB 的度数为 45 ° ; 任务二：当点 D 是射线 CB 上的动点（点 D 不与点 C 和点 B 重合）． （3）如图 3，当 AB ＝CB，∠AEC = ∠ABC = α（90 ° < α <180 ° ), 且 AF＝CE 时，请直接写出∠AEB 的度数（用含α 的式子表示）． 【解答】解：（1） ∠A = ∠C； 理由： ∵ ∠C+∠AEC+∠CDE ＝180 ° , ∠A+∠ABC+∠ADB ＝180 ° ,又∵∠ABC = ∠AEC ＝a ， ∠ADB = ∠CDE， ∴∠A = ∠C； （2） ①BF＝BE ，BF⊥BE ，理由如下： 由（1）知： ∠A = ∠C，在△ABF 和△CBE 中， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE ， ∠ABF= ∠CBE， 又∵∠ABC ＝a ＝90 ° = ∠ABF+∠FBC， ∴ ∠CBE+∠FBC ＝90 ° ,即∠FBE ＝90 ° , ∴BF⊥BE； ②∵△ABF≌△CBE， ∴BF＝BE， ∴ ∠ABF= ∠CBE， ∴ ∠FBE = ∠ABC ＝90 ° , ∴ ∠AEB ＝45 ° , 故答案为：45 ° ; （3） ∠AEB或 理由如下： 当点 D 在线段 BC 上时，如图 3 ，在射线 AD 上取一点 F，使 AF＝CE ，连接 BF， 由（1）知： ∠A = ∠C，在△ABF 和△CBE 中， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE ， ∠ABF= ∠CBE， 又∵∠ABC ＝a = ∠ABF+∠FBC， ∴ ∠CBE+∠FBC = α , 即∠FBE = α , 当点 D 在 CB 的延长线上时，在射线 AD 上取一点 F，使 AF＝CE ，连接 BF，如图 4， 由（1）知： ∠BAF= ∠ECB，在△ABF 和△CBE 中， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE ， ∠ABF= ∠CBE， 又∵∠ABC ＝a = ∠ABF+∠FBC， ∴ ∠CBE+∠FBC = α , 即∠FBE = α , ∴ ∠AEB ＝180 ° - ∠BEF＝180 ° 综上所述， ∠AEB 的度数为 90 °一 或 22 ．△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90 ° , BC ＝6cm ，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D ，点 P 从点 A 出发，以1cm/s 的速度沿着射线 CA 方向运动，连接 PD 交 AB 于点 E，过点 D 作 PD 的垂线交直线 AC 于点 F，交直线 AB于点 G ．设运动时间为 ts． （1）当 t ＝3 时，求 BG 的长； （2）在点 P 的运动过程中，试探究线段 GE 与 PF 的数量关系，并说明理由； （3）如图 2 ，连接 EF，EF 上是否存在点 H，使得△DCF 与△FAH 全等？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∠BAC ＝90 ° , AD⊥BC，BC ＝6cm ， ∴D 是 BC 的中点， ∴AD = CD ＝BD ＝3cm， ∵AC ＝AB， ∴ ∠CBA ＝45 ° , ∴ ∠DBG ＝135 ° , ∵AD ＝BD， ∴ ∠DAB ＝45 ° , ∴ ∠DAP ＝135 ° , ∵DF⊥PD， ∴ ∠APD ＝90 ° - ∠AFD = ∠BGD， ∴△ADP≌△BDG（AAS）， ∴AP ＝BG， ∵AP ＝tcm ，t ＝3， ∴AP ＝BG ＝3cm； （2）PF＝EG ，理由如下： ∵ ∠CDF+∠ADF＝90 ° , ∠ADF+∠ADE ＝90 ° , ∴ ∠CDF= ∠ADF， ∵CD ＝AD ， ∠C = ∠DAE ＝45 ° , ∴△CDF≌△ADE（ASA）， ∴CF＝AE， ∵AB ＝AC， ∴AF＝BE， ∵BG ＝AP， ∴FP ＝EG； （3）存在点 H 使得△DCF 与△FAH 全等，理由如下：连接 EF， ∵△CDF≌△ADE， ∴ ∠CFD = ∠AED， ∵∠AED 是钝角， ∴当△DCF 与△FAH 全等时，在△FAH中必有一个钝角， ∵H 点在线段 EF 上， ∴只能是∠FHA 是钝角， ∴AF＝CD ＝AD ＝3cm， 在△ADF 中， ∠FAD ＝45 ° , ∴ ∠FDA ＝67.5 ° , ∴ ∠ADP ＝22.5 ° , ∵ ∠DAP ＝135 ° , ∴ ∠APD ＝22.5 ° , ∴AP ＝AD， ∴t ＝3． 23 ．（1）问题发现 如图 1 ， △ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A ，D ，E 在同一直线上，连接 BE ，求∠AEB 的度数． （2）拓展探究 如图 2 ， △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∠ACB = ∠DCE ＝90 ° , 点 A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△ DCE 中 DE 边上的高，连接 BE ．请求∠AEB 的度数及线段 CM，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1） ∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形， ∴CA ＝CB ，CD ＝CE ， ∠ACB = ∠DCE ＝60 ° , ∴ ∠ACD ＝60 ° - ∠CDB = ∠BCE． 在△ACD 和△BCE 中， AC = BC 匕ACD = 匕BCE， CD = CE ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴ ∠ADC = ∠BEC． ∵△DCE 为等边三角形， ∴ ∠CDE = ∠CED ＝60 ° . ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴ ∠ADC ＝120 ° , ∴ ∠BEC ＝120 ° . ∴ ∠AEB = ∠BEC - ∠CED ＝60 ° . （2） ∠AEB ＝90 ° , AE ＝BE+2CM． 理由： ∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA ＝CB ，CD ＝CE ， ∠ACB = ∠DCE ＝90 ° . ∴ ∠ACD = ∠BCE． 在△ACD 和△BCE 中， CA = CB 匕ACD = 匕BCE， CD = CE ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD ＝BE ， ∠ADC = ∠BEC． ∵△DCE 为等腰直角三角形， ∴ ∠CDE = ∠CED ＝45 ° . ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴ ∠ADC ＝135 ° , ∴ ∠BEC ＝135 ° . ∴ ∠AEB = ∠BEC - ∠CED ＝90 ° . ∵CD ＝CE ，CM⊥DE， ∴DM＝ME． ∵ ∠DCE ＝90 ° , ∴DM＝ME ＝CM． ∴AE ＝AD+DE ＝BE+2CM． 24．在平面直角坐标系中，A（ - 5，0），B（0，5），点 C 为 x 轴正半轴上一动点，过点 A 作 AD⊥BC 交y 轴于点 E， 连接 DO ，则 DO 平分∠ADC． （1）如图（1），若 C（3 ，0），则点 E 的坐标为 （0 ，3） ； （2）如图（2），若点 C 在 x 轴正半轴上运动，当 OC+CD ＝AD 时，求∠OBC 的度数． 【解答】（1）解：如图 1， ∵AD⊥BC，AO⊥BO， ∴ ∠AOE = ∠BDE = ∠BOC ＝90 ° , ∴ ∠OAE+∠ACD ＝90 ° , ∠OBC+∠ACD ＝90 ° , ∴ ∠OAE = ∠OBC， ∵A（ - 5 ，0），B（0 ，5）， ∴OA ＝OB ＝5． 在△AOE 和△BOC 中， ∴△AOE≌△BOC（ASA）， ∴OE ＝OC， ∴点 C 坐标为（3 ，0）， ∴OE ＝OC ＝3， ∴E（0 ，3）． 故答案为：（0 ，3）； （2）如图② , 在 DA 上截取 DP ＝DC，连接 OP， 又∠PDO = ∠CDO ，OD ＝OD， ∴△OPD≌△OCD（SAS）， ∴OC ＝OP ， ∠OPD = ∠OCD， ∵OC+CD ＝AD， ∴OC ＝AD - CD， ∴AD - DP ＝OP， 即 AP ＝OP， ∴ ∠PAO = ∠POA， ∴ ∠OPD = ∠PAO+∠POA ＝2∠PAO = ∠OCB，又∵∠PAO+∠OCD ＝90 ° , ∴3∠PAO ＝90 ° , ∴ ∠PAO ＝30 ° , ∵ ∠OAP = ∠OBC， ∴ ∠OBC = ∠PAO ＝30 ° . 25 ．在△DEF 中，DE ＝DF，点 B 在 EF 边上，且∠EBD ＝60 ° , C 是射线 BD 上的一个动点（不与点 B 重合，且BC≠BE），在射线 BE 上截取 BA ＝BC，连接 AC． （1）当点 C 在线段 BD 上时， ①若点 C 与点 D 重合，请根据题意补全图 1 ，并直接写出线段 AE 与 BF 的数量关系为 AE ＝BF ； ②如图 2 ，若点 C 不与点 D 重合，请证明AE ＝BF+CD； （2）当点 C 在线段 BD 的延长线上时，用等式表示线段 AE ，BF，CD 之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【解答】解：（1） ①如图 1 ， ∵BA ＝BC， ∠EBD ＝60 ° , ∴△ABC 是等边三角形， ∴AD ＝AB ＝BC， ∠DAB = ∠ABC ＝60 ° , ∴ ∠EAD = ∠FBD ＝120 ° , ∵DE ＝DF， ∴ ∠E = ∠F， 在△AEC 与△BCF 中，匕FBD， ∴△ADE≌△BDF（AAS）， ∴AE ＝BF； 故答案为：AE ＝BF； ②证明：在 BE 上截取 BG ＝BD ，连接 DG， ∵ ∠EBD ＝60 ° , BG ＝BD， ∴△GBD 是等边三角形． 同理，△ABC 也是等边三角形． ∴AG ＝CD， ∵DE ＝DF， ∴ ∠E = ∠F． 又∵∠DGB = ∠DBG ＝60 ° , ∴ ∠DGE = ∠DBF＝120 ° , 在△DGE 与△DBF 中，匕FBD， ∴△DGE≌△DBF（AAS）， ∴GE ＝BF， ∴AE ＝BF+CD； （2）如图 3 ，连接 DG， 由（1）知，GE ＝BF，AG ＝CD， ∴AE ＝EG - AG； ∴AE ＝BF - CD ，如图 4 ，连接 DG， 由（1）知，GE ＝BF，AG ＝CD， ∴AE ＝AG - EG； ∴AE ＝CD - BF． 26 ．点 A ，B 为坐标轴上两点，点 C 为坐标平面内一点，OA ＝OB ，连接 AB ，OC，AC，BC． （1）如图 1 ，点 C 在△OAB 内，满足∠OCA ＝90 ° . ①若∠OAC ＝35 ° , 求∠BOC 的度数； ②若 S△OBC ＝18 ，求 OC 的长； （2）如图 2 ，点 C 在y 轴的正半轴上，满足OC OB，点 P 在线段 OA 上，连接 BP 并延长至点 D ，使得 DP =BP ，连接 AD ，若 AD⊥AC，点 A 的坐标为（ t ，0），求点 P 的坐标（用含 t 的式子表示）． 【解答】解：（1） ①在 Rt△AOC 中， ∠OCA ＝90 ° ; ∴ ∠OAC+∠AOC ＝90 ° ; ∵ ∠AOB = ∠BOC+∠AOC ＝90 ° ; ∴ ∠BOC = ∠OAC ＝35 ° ; ②过点 B 作 BM⊥OC 于点 M， ∴ ∠BMO = ∠OCA ＝90 ° ,由①得： ∠BOM= ∠OAC，在△BOM 和△OAC 中， △BOM≌△OAC（AAS）， ∴BM＝OC， ∵S△OBC OC . BM = 18， ∴OC ＝6； （2） ∵点A 的坐标为（t ，0）， ∴OA ＝OB ＝t ，过点 D 作 DQ⊥OA 于点 Q， ∴∠DQP = ∠BOP ＝90 ° , 在△DQP 和△BOP 中， ∴△DQP≌△BOP（AAS）， ∴DQ ＝OB ＝t ，OP ＝PQ ， ∴DQ ＝OA ＝t， ∵AD⊥AC， ∴∠DQA = ∠AOC = ∠CAD ＝90 ° , ∴∠CAO+∠ACO = ∠CAO+∠QAD ＝90 ° , ∴∠ACO = ∠DAQ ， ∴△AOC≌△DQA（AAS）， ∴AQ ＝OC， ∴点 P 的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $