第十四章 全等三角形（复习讲义）数学人教版2024八年级上册

第十四章 全等三角形（复习讲义） 1. 了解全等图形、全等三角形的意义，体会全等三角形与全等图形、角的平分线之间的整体联系。 2. 能用“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”“斜边、直角边”判定三角形全等，能利用全等三角形的性质解决问题。 3. 理解并利用角的平分线的性质与判定解决问题。 【知识点01】全等图形 （一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等。 【知识点02】全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 点拨： （1）书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 ③有公共边的，公共边是对应边。 ④有公共角的，公共角是对应角。 ⑤有对顶角的，对顶角是对应角。 ⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 ⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角。 （三）全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 【知识点03】全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 点拨： 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 【知识点04】角的平分线的性质 1．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 2．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 题型一 利用全等三角形的性质求解 【例1】已知，若，则 ． 【变式1-1】如图，，在边上，，，则的度数为 ． 【变式1-2】如图，，点D在边上．若，，则 °． 【变式1-3】如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 题型二 添加一个条件使两三角形全等 【例2】如图，线段是四边形的对角线，，请添加一个条件使得，添加的条件为 ． 【变式2-1】如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【变式2-2】如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）． 【变式2-3】如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 题型三 三角形全等的判定与性质 【例3】如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式3-1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求AD的长． 【变式3-2】如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式3-3】如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若恰好平分，，求的长 【变式3-4】如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 题型四 用HL证明两直角三角形全等 【例4】如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【变式4-1】如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式4-2】如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【变式4-3】如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【变式4-4】如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 题型五 与全等三角形有关的多结论问题 【例5】如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式5-1】如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-2】如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【变式5-3】如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 题型六 全等三角形中的动点综合问题 【例6】如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【变式6-1】在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【变式6-2】如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【变式6-3】如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． (1)如果，． ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________； ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点D在线段上运动． 探究：当多少度时，？请说明理由． 题型七 利用角平分线的性质求解 【例7】如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则 ． 【变式7-1】如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【变式7-2】如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 题型八 与角平分线的综合问题 【例8】如图，点在边的延长线上，，的平分线交于点，过点作于点，且．    (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【变式8-1】如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 【变式8-2】如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P． (1)试探索与的关系； (2)若，求的度数． 【变式8-3】如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列所给条件中，能画出唯一的的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 4．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线交于点D．若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ． 7．如图，，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为 ． 8．如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是 ． 9．如图，在中，为边的中点，，过点作直线交于点，交于点，若，则 cm． 10．如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1） ； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为 s． 三、解答题 11．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 12．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 13．如图，交于点是上一点，且． (1)试说明． (2)若，求的度数． 14．如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 15．如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，已知，垂足分别为，则在下列条件中选择一个就可以判定的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，在中，，平分，于，则下列结论：平分；；平分；，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6．如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ． 7．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 8．如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ． 9．如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 10．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 11．如图，，点在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．如图1，在中，两个内角和的平分线交于点，连接，于点，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，延长至点，使，若，，求的度数． 13．（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 14．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 15．【问题提出】 （1）如图①，在中，若，，AD是边上的中线，求的取值范围．小明的做法如下：如图①，延长至点，使，连接，则，依据的判定方法是_____，由三角形的三边关系可知的取值范围为_____； （2）如图②，，，，点为的中点，试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一片玫瑰园，对角线是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔（观景塔大小忽略不计），在边的中点处设置一个出入口，再沿铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道与之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，，，请你帮采购部探究线段与之间的数量关系（小路宽度忽略不计）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形（复习讲义） 1. 了解全等图形、全等三角形的意义，体会全等三角形与全等图形、角的平分线之间的整体联系。 2. 能用“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”“斜边、直角边”判定三角形全等，能利用全等三角形的性质解决问题。 3. 理解并利用角的平分线的性质与判定解决问题。 【知识点01】全等图形 （一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等。 【知识点02】全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 点拨： （1）书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 ③有公共边的，公共边是对应边。 ④有公共角的，公共角是对应角。 ⑤有对顶角的，对顶角是对应角。 ⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 ⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角。 （三）全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 【知识点03】全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 点拨： 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 【知识点04】角的平分线的性质 1．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 2．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 题型一 利用全等三角形的性质求解 【例1】已知，若，则 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为；． 【变式1-1】如图，，在边上，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由三角形全等得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， 是的外角，， ， 故答案为：． 【变式1-2】如图，，点D在边上．若，，则 °． 【答案】80 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，根据， ，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：80 【变式1-3】如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 【答案】1或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 题型二 添加一个条件使两三角形全等 【例2】如图，线段是四边形的对角线，，请添加一个条件使得，添加的条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：①当时，根据可判定； ②当时，根据可判定； ③当时，根据可判定； 故答案为：（或或）． 【变式2-1】如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ． 故答案为 【变式2-2】如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，推出，，则可添加条件，利用即可证明． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 题型三 三角形全等的判定与性质 【例3】如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）利用平行线的性质得到，然后根据三角形全等的判定证明即可； （2）根据全等的性质得到，然后运用三角形内角和定理计算即可； 【详解】（1）解： 在和中 （2） 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练运用这些知识解决问题是关键． 【变式3-1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求AD的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，再根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ． 【变式3-2】如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由全等三角形得到线段相等是解题的关键． （1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴ 【变式3-3】如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若恰好平分，，求的长 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的内角和定理． （1）证明即可得证结论； （2）由得到，又，从而，因此，再由，即可证明，进而得到，． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴． 在和中 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-4】如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角的和差求出，根据平行线的性质可得，然后即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，然后利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数． 【详解】（1）； 理由：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 题型四 用HL证明两直角三角形全等 【例4】如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【变式4-1】如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先证明，再根据，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵于点于点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ． 【变式4-2】如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式4-3】如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质， （1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案. 【详解】（1）证明：∵是腰上的高，， ∴. 又∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． 【变式4-4】如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)说明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义等知识，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再利用即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ，即， 在与中， ， ， ，， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知，， 与相交于点， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点． 题型五 与全等三角形有关的多结论问题 【例5】如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后利用定理证明出，进而判断①；利用证明出进而可判断②；得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】， ， 平分， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∴ 又∵ ∴，故③正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：D． 【变式5-1】如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用可证明，即可得，，，进而可判断①②正确，再利用可证明，即可判断④正确，再证明，，可知，根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，进而可知③不正确，理解并掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ，，，故②正确， ， 即，故①正确， ，，， ，故④正确， ，，， ， ， 又， ，即， ，，， ， ， 根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③错误， 综上，正确的有①②④； 答案：B． 【变式5-2】如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意证明出，进而判断①；然后根据全等三角形的性质可判断②③；然后根据三角形中线的性质可判定④；然后根据直角三角形斜边中线的性质可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴ 又∵，， ∴，故①正确； ∴ ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∴，故③正确； ∵点F是的中点 ∴，故④正确； ∵ ∴，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③④． 故选：C． 【变式5-3】如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确， ∵若． ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ∵，， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 题型六 全等三角形中的动点综合问题 【例6】如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)或 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由得，利用即可得出结论； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得； （3）分两种情形：当时，当时，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图，当时， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当时， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，当垂直于的某边时，则或． 故答案为：或． 【变式6-1】在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质. （1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3）解：过作的延长线交于点，如图， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为． 【变式6-3】如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． (1)如果，． ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________； ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点D在线段上运动． 探究：当多少度时，？请说明理由． 【答案】(1)①，；②仍然成立，理由见解析 (2)当时，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线的定义理解 【分析】本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是证明全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解． （1）①根据，，，运用“”证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段、之间的关系； ②先根据“”证明，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到（1）中的结论仍然成立． （2）过点A作交的延长线于点G，证明，根据对应角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：①与位置关系是，数量关系是． 理由： ，， ． 又，， ， 且． ， ，即． 故答案为：，； ②都成立 ， ， 在与中， ， ，， ，即． （2）解：当时，． 理由：过点A作交的延长线于点G，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即． 题型七 利用角平分线的性质求解 【例7】如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则 ． 【答案】9 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线定理，先根据画图得到为的角平分线，再证明，再证明是等腰三角形，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，过点M作，垂足为D， 由题意得，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式7-1】如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【变式7-2】如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)，见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 题型八 与角平分线的综合问题 【例8】如图，点在边的延长线上，，的平分线交于点，过点作于点，且．    (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图，过点分别作于，于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答； 【详解】（1）证明：如图，过点分别作于，于， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， 又，， ∴点在的角平分线上， ∴平分；    （2）解：∵，，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 【变式8-1】如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． （1）作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； （2）由（1）可知，由角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：作于点，于点，于点，如图所示： ∵是的平分线，是的平分线，，相交于点， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2）证明：由（1）可知，， 又∵，， ∴点在的平分线上． 【变式8-2】如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P． (1)试探索与的关系； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是关键， （1）先得出，根据角平分线定义得出，进而证明结论； （2）过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，证明，得出平分，即可求出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， 即平分， 由（1）得， ∴， ∴． 【变式8-3】如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列所给条件中，能画出唯一的的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、只有两条边，不能画出唯一的，不符合题意； B、只有一边一角，不能画出唯一的，不符合题意； C、能画出唯一的，符合题意； D、不能画出唯一的，不符合题意； 故选C． 2．如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 3．如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据可证明，，根据全等三角形的性质可得，，，进而根据可证明，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴． ∴图中全等三角形有，，，共3对， 故选：D． 4．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线交于点D．若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的尺规作图以及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．先在中，利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据作图可知平分，进而求出的度数． 【详解】在中，，， 所以． 由作图可知，平分， 所以， 故选：C． 5．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质以及判定即可得到，则平分，即可判断①；可得，由，得到，同理可，即可判断②；由角平分线以及三角形外角性质得到，，即可判断③；由②可知，，则，，即可判断④． 【详解】解：①如答图，过点作于点， 平分平分，，，， ， ， 点在的平分线上，故①正确； ②， ， ． 在和中，， ∴， ， 同理可证得， ， ， ，②正确； ③平分平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确， 故选：D． 二、填空题 6．如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点作于，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， 点是射线上的动点， 当时，最小，最小值为的长， 的最小值为． 故答案为：5． 7．如图，，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理， 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，过点C作轴于E，可证明，得到，再由点A和点B的坐标得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于E， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，为边的中点，，过点作直线交于点，交于点，若，则 cm． 【答案】11 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是证明．先证，得出，那么就可求的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵E是中点， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， 故答案为11． 10．如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1） ； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为 s． 【答案】 16 或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，分情况讨论． （1）证，可得答案； （2）设运动时间为，当线段经过点O时，证明，推出，分点M沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为： 16 ． （2）设运动时间为， 当线段经过点O时，如下图所示： 在和中， ， ∴， ∴， 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 综上可知，t的值为或． 故答案为： 或． 三、解答题 11．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【详解】解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 12．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】由于点E，于点F，相交于点D，得，，而，即可根据“”证明≌； 由，，求得，由于点F，于点E，且，证明平分，则 【详解】（1）证明：于点E，于点F，相交于点D， ，， 在和中， ， ≌ （2）解：，， ， 由得≌， ， 于点F，于点E，且， 点D在的平分线上， 平分， ， 的度数是 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 13．如图，交于点是上一点，且． (1)试说明． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质． （1）先证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）解：是和的外角， ，， ， ， ， ， ， ． 14．如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． （1）作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； （2）由（1）可知，由角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：作于点，于点，于点，如图所示： ∵是的平分线，是的平分线，，相交于点， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2）证明：由（1）可知，， 又∵，， ∴点在的平分线上． 15．如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形． （1）证明即可； （2）过点、分别作于点M，于点N，证明，得到，再结合条件可以证明，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示： 由三角形的外角定理可知：， 且，， ， 在和中，， ； （2）解：成立，理由如下： 过点、分别作于点M，于点N，如图2所示： ，， ， 又， 在和中， ． ， 又， ， ， 又，． ． 即若，则此命题成立． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等这一性质，利用已知线段长度求出相关线段的长度．根据角平分线的性质，可知角平分线上的点到角两边的距离相等，即由和的长度求出的长度，进而得到的长度． 【详解】解：∵ 是的平分线，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵ ∴ ∴． 故选：A． 2．如图，已知，垂足分别为，则在下列条件中选择一个就可以判定的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据相关判断判定方法逐项判断，即可解题． 【详解】解：∵于点于点， ， ， ， 故①可以判定 ； ∵， ∴， ∵， ； 故②可以判定 ； ， ， 故③可以判定； ， ，即， ， ， 故④可以判定； 综上所述，①②③④可以判定； 故选：D． 3．如图，在中，，平分，于，则下列结论：平分；；平分；，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找出边和角之间的相等关系，根据边角之间的相等关系判断两三角形全等，利用全等三角形的性质证明结论是否成立． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中，， ， 平分， 故正确； 在中，， ， ， ， ， ， 故正确； 若平分， 则有， 只有当时，平分， 若，则不平分， 故不正确； 由可知， ， ， ， 故正确； 综上所述，错误的是． 故选：C． 4．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 5．如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】在上取一点，使，延长交于，结合平行线性质、角平分线定义、全等三角形判定与性质及三角形三边关系，对每个结论逐一分析判断即可． 【详解】解：， ， 分别平分， ， ， ，故正确； 在上取一点，使， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，故②正确； 无关联， 不一定成立，故③错误； 延长交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 不一定相等， 不一定成立，故④错误； 如上图，， ， ，即， ，故⑤正确． 综上，结论①②⑤正确, 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线性质、角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，通过构造辅助线证三角形全等是解题的关键． 二、填空题 6．如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，理解和掌握角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质是解题的关键． 如图所示（见详解），点为上一点，若满足，则有点或点，根据直角三角形全等的判定，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作， ∵点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，且，， ∴，且，为公共边， ∴在，中，， ∴， 若，， ∴， ∴， ∴； 若，， ∴， ∴， ∴． 故的长度为3或5. 故答案为：或． 8．如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题 11．如图，，点在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据即可证明两三角形全等； （2）由（1）可知，根据平角的定义求出的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ． 在和中， ， ． 又， ， ∴，即． 在和中， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ． 12．如图1，在中，两个内角和的平分线交于点，连接，于点，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，延长至点，使，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）作于点M，由角平分线的性质得，从而，进而可证平分； （2）设，则，证明得，从而，然后利用三角形内角和定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：作于点M， ∵两个内角和的平分线交于点， ，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：设， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为． 14．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 15．【问题提出】 （1）如图①，在中，若，，AD是边上的中线，求的取值范围．小明的做法如下：如图①，延长至点，使，连接，则，依据的判定方法是_____，由三角形的三边关系可知的取值范围为_____； （2）如图②，，，，点为的中点，试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一片玫瑰园，对角线是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔（观景塔大小忽略不计），在边的中点处设置一个出入口，再沿铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道与之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，，，请你帮采购部探究线段与之间的数量关系（小路宽度忽略不计）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）解：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$