第10讲 对数函数及其性质（思维导图+4大知识点+10大题型+过关测试）讲义-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学对数函数单元复习讲义通过思维导图系统梳理知识体系，将对数函数的概念、图象性质、底数影响及反函数按逻辑递进组织，并用对比表格呈现不同底数函数的定义域、单调性等核心性质，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型设计的全面性与方法指导的针对性，涵盖从对数运算到指对同构的10类题型，如例10通过构造函数解决指对同构问题，培养数学思维中的推理能力。每个题型配例题及变式题，过关测试分层设题，基础生可掌握方法，优秀生能深化探究，助力教师精准教学，支持学生自主复习提升。

第10讲 对数函数及其性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、对数函数的概念 4 知识点二、对数函数的图象与性质 4 知识点三、底数对对数函数图象的影响 4 知识点四、反函数 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：对数的运算 6 题型二：对数函数的概念 7 题型三：根据图像求参数问题 7 题型四：定义域问题 8 题型五：值域问题 9 题型六：单调性问题 10 题型七：对数函数图像的应用 10 题型八：不等式问题 11 题型九：综合问题 11 题型十：指对同构问题 12 05 过关测试 13 知识点一、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识点二、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 知识点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点四、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 题型一：对数的运算 【例1】（2025·高一·安徽合肥·期末）求值： (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【变式1-1】（2025·高一·广东·期中）（1）求值：； （2）化简：； （3）已知，求的值； 【变式1-2】（2025·高一·广东东莞·期中）（1）求值：； （2）已知，，请用、表示. 【变式1-3】（2025·高一·山东泰安·期中）求下列各式的值： (1)； (2)已知，求的值； (3)若，，用表示． 题型二：对数函数的概念 【例2】（2025·高一·河北保定·期末）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·全国·课后作业）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【变式2-2】（2025·高一·湖南长沙·期中）若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高一·全国·课后作业）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 题型三：根据图像求参数问题 【例3】（2025·高一·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·广东东莞·期中）已知函数的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高一·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高一·重庆·期中）函数，且恒过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 题型四：定义域问题 【例4】（2025·高一·宁夏银川·期中）已知函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 【变式4-1】（2025·高一·贵州·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高一·广东深圳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·贵州遵义·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型五：值域问题 【例5】（2025·高一·新疆喀什·期末）已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 【变式5-1】（2025·高一·重庆渝北·期中）已知. (1)若过，解不等式； (2)已知的最大值为. ①求的值； ②求的值域. 【变式5-2】（2025·高一·河北唐山·期中）已知实数满足且． (1)求实数的取值范围． (2)求的最大值和最小值，并求此时的值． 【变式5-3】（2025·高一·福建厦门·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 题型六：单调性问题 【例6】（2025·高一·四川·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高一·广西柳州·期末）若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高一·湖南·期中）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高一·河北承德·期中）若函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：对数函数图像的应用 【例7】（2025·高一·重庆·期中）已知函数，若恰有3个零点.则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高一·河南新乡·期末）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高一·湖南湘潭·期中）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（   ） A． B． C． D． 题型八：不等式问题 【例8】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知偶函数在单调递减，，则不等式的解集为 . 【变式8-1】（2025·高一·北京顺义·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的值域为 ；不等式的解集为 ． 【变式8-2】（2025·高一·广东·专题练习）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【变式8-3】（2025·高三·山西·月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 . 题型九：综合问题 【例9】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)如果，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式9-1】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 (1)求的定义域，并证明是奇函数； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的取值范围. 【变式9-2】（2025·高一·河北承德·期中）已知函数在上的最大值与最小值之差为1． (1)求实数的值； (2)求的最小值； (3)求不等式的解集． 【变式9-3】（2025·高一·西藏拉萨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若成立，求x的取值范围． 题型十：指对同构问题 【例10】（2025·高一·云南昭通·期中）设满足满足，则 . 【变式10-1】（2025·陕西宝鸡·二模）已知分别是函数，的零点，则的值为 . 【变式10-2】（2025·高一·湖南岳阳·期末）已知分别是方程与的实数解，则的值为 ． 【变式10-3】（2025·高一·江苏镇江·月考）一对实数满足，则 . 1．（25-26高一上·江苏扬州·月考）若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东·期末）如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（   ）（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 4．（25-26高一上·天津·期末）已知函数的零点为，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 5．（2016高三·广东·专题练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数，若，，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 8．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 10．（多选题）（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的有（   ） A．函数的定义域为 B．函数的单调递增区间是 C．函数且的图象恒过定点 D．函数，若，则 11．（多选题）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数且是奇函数，且在上单调递减．则下列关于函数的说法中正确的有（   ） A．实数的值为1 B．实数的取值范围是 C．函数的图象的对称中心为坐标原点 D．若，则实数的取值范围是 12．（25-26高一上·山东烟台·期末），且，则 ． 13．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是上的减函数，则的取值范围是 14．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为 ． 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，且. (1)求实数的值，并写出函数在实数集上的解析式； (2)若是偶函数，求实数的值. 16．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，其中， (1)求的定义域； (2)若，求a的值； (3)讨论的单调区间． 17．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立. (1)若和均为真命题，求实数的取值范围； (2)若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·江苏淮安·期中）2025年第15届全运会于11月9日至21日在粤港澳三地举行，吸引了约1.5万名运动员参与决赛阶段比赛，全运会是国内规模最大、水平最高的综合体育盛会，核心意义在于推动全民健身普及，我校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数；②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分；④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择： 模型1： 模型2： 模型3： (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于4分，求该学生每天至少需要锻炼的时间. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 对数函数及其性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、对数函数的概念 4 知识点二、对数函数的图象与性质 4 知识点三、底数对对数函数图象的影响 4 知识点四、反函数 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：对数的运算 6 题型二：对数函数的概念 7 题型三：根据图像求参数问题 9 题型四：定义域问题 11 题型五：值域问题 12 题型六：单调性问题 15 题型七：对数函数图像的应用 17 题型八：不等式问题 19 题型九：综合问题 21 题型十：指对同构问题 24 05 过关测试 27 知识点一、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识点二、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 知识点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点四、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 题型一：对数的运算 【例1】（2025·高一·安徽合肥·期末）求值： (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【解析】（1）由，得， 则 （2）由，得，即， 由，得，即， 则. 【变式1-1】（2025·高一·广东·期中）（1）求值：； （2）化简：； （3）已知，求的值； 【解析】（1）原式； （2）原式 ； （3）由已知，，， 所以. 【变式1-2】（2025·高一·广东东莞·期中）（1）求值：； （2）已知，，请用、表示. 【解析】（1）原式 ； （2）因为，所以，则， 又因为，. 【变式1-3】（2025·高一·山东泰安·期中）求下列各式的值： (1)； (2)已知，求的值； (3)若，，用表示． 【解析】（1）原式； （2）因为，所以两边同时平方得：，所以． 又因为，所以， 又因为，所以． 所以． （3）由题意得，，即， 所以． 题型二：对数函数的概念 【例2】（2025·高一·河北保定·期末）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，，，，所以函数不是奇函数； 对于选项B，，所以，且函数定义域为，所以函数为偶函数； 对于选项C，，，解得，则其定义域为，关于原点对称， 而，，所以函数是奇函数； 对于选项D，， 所以，且定义域为，关于原点对称，所以函数为偶函数； 故选：C 【变式2-1】（2025·高一·全国·课后作业）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由条件可知，，得， 所以. 故选：B 【变式2-2】（2025·高一·湖南长沙·期中）若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，函数过，即，即，， 它的反函数的解析式为. 故选：A 【变式2-3】（2025·高一·全国·课后作业）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解析】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式．设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 题型三：根据图像求参数问题 【例3】（2025·高一·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的图象知， 则， 所以函数为增函数， 且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位， 所以函数的大致图象是C选项. 故选：C. 【变式3-1】（2025·高一·广东东莞·期中）已知函数的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数定义域可知，， 当时，设，要题目条件成立，只需的图象与的图象有公共点，即方程在时有解， 所以，即在时有解， 作出函数的图象如图， 由图象可知，若和的图象有一个交点，则，得， 当时，与有一个交点， 综上所述，. 故选：D 【变式3-2】（2025·高一·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 【变式3-3】（2025·高一·重庆·期中）函数，且恒过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由函数的图象恒过点，得，解得， 所以. 故选：A 题型四：定义域问题 【例4】（2025·高一·宁夏银川·期中）已知函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【解析】函数的定义域为， ，因此函数是奇函数， 函数分别是上的减函数、增函数， 则函数在上单调递减. 故选：B 【变式4-1】（2025·高一·贵州·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数， 所以，解得且， 所以函数的定义域为：且. 故选：B. 【变式4-2】（2025·高一·广东深圳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使有意义， 则，解得，所以的定义域为. 故选：D. 【变式4-3】（2025·高一·贵州遵义·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使得函数有意义，则，解得且， 即， 故选：. 题型五：值域问题 【例5】（2025·高一·新疆喀什·期末）已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 【解析】（1）由题意得，所以， 所以，由得或， 则的定义域为， 因为，所以的值域为． （2）由得： 所以， 则方程的解为或4， 经检验或4，符合定义域为， 所以或4. 【变式5-1】（2025·高一·重庆渝北·期中）已知. (1)若过，解不等式； (2)已知的最大值为. ①求的值； ②求的值域. 【解析】（1）因为过， 所以，解得， 所以， 由，得， 所以，解得， 所以不等式的解集为； （2）①， 因为，的最大值为， 所以，解得， 经检验，符合题意，所以； ②由①得， 则 ， 当时，， 所以， 即的值域为. 【变式5-2】（2025·高一·河北唐山·期中）已知实数满足且． (1)求实数的取值范围． (2)求的最大值和最小值，并求此时的值． 【解析】（1）由，得， 即，所以，所以，所以． （2）因为， 由得， 当，即时，， 当或，即或时，． 【变式5-3】（2025·高一·福建厦门·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 【解析】（1）因为， 令，则， 函数转化为， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为. （2）由于对于恒成立， 令，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，时，显然成立； 所以当时，恒成立. 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则时，， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 题型六：单调性问题 【例6】（2025·高一·四川·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，得或， 设，或，， 则函数，或，在上单调递减，在上单调递增， 又为减函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 【变式6-1】（2025·高一·广西柳州·期末）若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由在上的增函数，所以，解得， 故选：D. 【变式6-2】（2025·高一·湖南·期中）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的值域为，得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点，即方程有实根， 因此，解得或； 由函数在上单调递增，而函数是减函数， 则函数在上单调递减且恒为正，则有， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式6-3】（2025·高一·河北承德·期中）若函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，单调递增须满足，解得； 当时，单调递增须满足，且． 所以要使函数在上单调递增，须满足 ，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 题型七：对数函数图像的应用 【例7】（2025·高一·重庆·期中）已知函数，若恰有3个零点.则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 由，得或；由，得或或， 函数恰有3个零点， 即直线与的图象有3个交点，且交点的横坐标为， 在同一坐标系内作出直线与的图象，如图， 观察图象得，， 由，得，因此，， 所以的取值范围是. 故选：C 【变式7-1】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为， 它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 【变式7-2】（2025·高一·河南新乡·期末）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则． 函数的大致图象如图所示． 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 故选：C. 【变式7-3】（2025·高一·湖南湘潭·期中）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出的图象， 显然当时，方程恰有三个不同的实数解，B正确，ACD错误. 故选：B 题型八：不等式问题 【例8】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知偶函数在单调递减，，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由偶函数在上单调递减，，得， ，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式8-1】（2025·高一·北京顺义·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的值域为 ；不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为单调递减，所以当时，的值域为， 所以，且单调递减， 因为函数是定义在R上的奇函数，图象关于原点对称， 所以当时，单调递减，且此时， 又， 综上，的值域为； 令，解得， 所以在上单调递增，且当时，， 又在R上单调递减，且， 所以当时，， 综上，的解集为. 故答案为：， 【变式8-2】（2025·高一·广东·专题练习）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-3】（2025·高三·山西·月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减， 则当时，函数单调递增， 则对，有，即， 即或， 即或，分别解得或. 即该不等式解集为. 故答案为：. 题型九：综合问题 【例9】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)如果，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1），， 则， 令，由，得， 令 当，即时，； 当，即时，. 所以函数的值域为. （2）， 即， 令，由，得， 则，即， 令，则 又， 当且仅当时等号成立，从而， 所以实数的取值范围是. 【变式9-1】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 (1)求的定义域，并证明是奇函数； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为所以的定义域为：， 因为， 所以，所以为奇函数. （2）， 所以， 所以，即：， 所以，不等式的解集为：； （3）对于函数，令， 由反比例函数性质可知，在内单调递增，故在内单调递增， 由可得， 因为是奇函数，故， 解得. 【变式9-2】（2025·高一·河北承德·期中）已知函数在上的最大值与最小值之差为1． (1)求实数的值； (2)求的最小值； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）因为函数，根据对数函数的性质，当时，函数在区间上单调递增．所以在区间上单调递增， 又因为函数在上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得． （2）由（1）得，则． 因为对任意的，恒成立，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递增，所以， 即的最小值为． （3）由（1）知，， 又因为， 所以，即， 所以，令， 则，即， 解得；解得． 所以的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为. 【变式9-3】（2025·高一·西藏拉萨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若成立，求x的取值范围． 【解析】（1）因为（，且）的图像过点， 所以，解得，所以． 又函数是函数的反函数，所以． （2）由（1）可知， 因为是减函数， 所以，所以函数的值域为． （3）因为在上单调递减，， 即，所以， 解得，所以x的取值范围为. 题型十：指对同构问题 【例10】（2025·高一·云南昭通·期中）设满足满足，则 . 【答案】1 【解析】， 所以是的根，也是方程的根， 函数是增函数，所以，则. 故答案为：1. 【变式10-1】（2025·陕西宝鸡·二模）已知分别是函数，的零点，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 【变式10-2】（2025·高一·湖南岳阳·期末）已知分别是方程与的实数解，则的值为 ． 【答案】10 【解析】由可得，由可得， 不妨记， 依题意，为与的交点的横坐标， 为与的交点的横坐标，作出这些函数的图象如下： 因函数与是一对反函数，图象关于直线对称， 而直线与直线垂直，故也关于直线对称， 则点与点也关于直线对称， 故得，化简得：，即. 故答案为：10. 【变式10-3】（2025·高一·江苏镇江·月考）一对实数满足，则 . 【答案】3 【解析】令， 则， 又因为， 所以+， 所以， 又因为函数在R上单调递增， ， 所以， 所以 所以. 故答案为：3 1．（25-26高一上·江苏扬州·月考）若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，所以， 又由，因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 3．（25-26高一上·广东·期末）如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（   ）（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】设该生物原来的数量为， 由题意知，，则， 所以， 因为，所以的最小值为12． 故选：D． 4．（25-26高一上·天津·期末）已知函数的零点为，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数定义域为，与在均单调递增， 故在单调递增． ； ， 因且，故． 由函数单调递增且、，得零点所在区间为． 故选：C． 5．（2016高三·广东·专题练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数，即可排除A， 当时，，排除， 故选：B． 6．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以． 故选：D． 7．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数，若，，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】A 【解析】由可得，解得；由得，解得. 所以， 所以函数的减区间为，增区间为， 因为，则，且有， 所以，故 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为， 故选：A. 8．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知当时，， 故要使函数的值域为，需满足当时，的值域覆盖. 由于时， 当时，，显然不满足题意； 当时，在上单调递减，其值域为，不满足题意； 当时，在上单调递增，其值域为，此时要满足题意，只需，即，故. 综上, 实数的取值范围是 故选：A 9．（多选题）（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【解析】作出函数的图象，如图所示， 设，因为， 所以由图可知，当时，直线与函数的图象有4个交点， 又设这4个交点横坐标分别为，且， 由关于直线对称，得，故A错误； 由，可得，故B正确； 由图可知，则，故C正确； 由图可知，即，得， 则，故D正确. 故选：BCD 10．（多选题）（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的有（   ） A．函数的定义域为 B．函数的单调递增区间是 C．函数且的图象恒过定点 D．函数，若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，易知，所以可得且， 因此函数定义域为,即A正确； 对于B，易知，可得，因此定义域为； 又函数在区间上单调递增， 由复合函数“同增异减”的性质可知函数的单调递增区间是，即B错误； 对于C，令，可得，因此， 所以函数的图象恒过点，即C正确； 对于D，易知函数满足； 又，所以， 由可得，即D正确. 故选：ACD 11．（多选题）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数且是奇函数，且在上单调递减．则下列关于函数的说法中正确的有（   ） A．实数的值为1 B．实数的取值范围是 C．函数的图象的对称中心为坐标原点 D．若，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】对于A，因为且是奇函数， 所以， 即，即， 即，所以，所以，所以， 当时，，其定义域为， 当时，且，其定义域为， 又因为在上单调递减，则为定义域的子区间， 所以，故A错误； 对于B，由A选项得， 令，其在上单调递减， 因为在上单调递减， 所以函数为增函数， 所以，故B正确； 对于C，因为函数是奇函数，且定义域为， 所以函数的图象的对称中心为坐标原点，故C正确； 对于D，因为函数是奇函数，所以， 由， 得， 因为，且在上单调递减， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 12．（25-26高一上·山东烟台·期末），且，则 ． 【答案】/0.5 【解析】设（且）， 由，得，根据换底公式； 由，同理得； 由，同理得； 则. 故答案为：. 13．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是上的减函数，则的取值范围是 【答案】 【解析】设，. 因在R上单调递减，则在上单调递减，在上单调递减，， 即. 故答案为：. 14．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】由题意可知 ， 令，则， i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数， 则需满足 ，解得：， 函数的单调递增区间是. 故答案为： 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，且. (1)求实数的值，并写出函数在实数集上的解析式； (2)若是偶函数，求实数的值. 【解析】（1）当时，， 又函数是实数集上的奇函数，， 则 即，所以 所以，当时，，又是奇函数， 当时，， 当时，， 所以； （2）由（1）函数的定义域为， 由函数是偶函数，则， 即， 从而， 又上面的等式对恒成立，所以，即. 16．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，其中， (1)求的定义域； (2)若，求a的值； (3)讨论的单调区间． 【解析】（1）由条件，要使函数有意义，须有： ，解得：， 故的定义域为； （2）由得 ，即，得，满足， 故若，； （3）由条件得：, 由（1）知， 令，，该函数的图象是开口向下，对称轴为的抛物线， 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，可得在定义域上是单调递增的，根据复合函数单调性的关系， 可得的单调递增区间为，单调递减区间为. 17．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立. (1)若和均为真命题，求实数的取值范围； (2)若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）若为真命题， 函数在区间上单调递增， 因为在区间上没有零点， 所以或者， 得或， 若为真命题， 令，其开口向上，对称轴为， 所以， 因为，使得成立，所以， 所以， 若和均为真命题，则，解得或， 即实数的取值范围为； （2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，则由（1）可得， ①若p真，q假，则，解得； ②若p假，q真，则，解得； 综上，实数a的取值范围是. 18．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得且， 解得，所以函数定义域为． （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3），则， 则且， 解得． 19．（25-26高一上·江苏淮安·期中）2025年第15届全运会于11月9日至21日在粤港澳三地举行，吸引了约1.5万名运动员参与决赛阶段比赛，全运会是国内规模最大、水平最高的综合体育盛会，核心意义在于推动全民健身普及，我校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数；②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分；④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择： 模型1： 模型2： 模型3： (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于4分，求该学生每天至少需要锻炼的时间. 【解析】（1）验证三个函数模型的约束条件： 模型1：由，将代入函数， 可得，解得，此时， 当时，可得，不符合题意； 模型3：由，将代入函数， 可得 解得，此时， 当时，可得，不符合题意； 模型2：由， 将代入函数，可得， 解得，此时， 当时，可得，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知：函数的解析式为， 因为每位学生每天得分不少于4分，可得， 即，可得，即，解得， 所以该学生每天至少需要锻炼30分钟. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $