专题1.2 整式的乘法（知识荟萃+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦初中数学整式的乘法核心知识点，系统梳理单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则与步骤，通过递进式知识链构建学习支架，结合易错点拨帮助学生夯实基础。 该资料以10类题型为载体，融合几何直观（如用长方形面积解释乘法法则）和实际应用（如小区草坪小路面积计算），培养抽象能力与创新意识。分层训练与中考真题结合，助力学生提升运算能力和推理意识，课中辅助教师突破难点，课后帮助学生查漏补缺。

专题1.2 整式的乘法 （知识荟萃+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：单项式与单项式相乘 1 知识点梳理02：单项式与多项式相乘 2 知识点梳理03：多项式与多项式相乘 2 题型讲练 3 题型1：计算单项式乘单项式 3 题型2：计算单项式乘多项式及求值 3 题型3：单项式乘多项式的应用 3 题型4：计算多项式乘多项式 4 题型5：多项式乘多项式与图形面积 4 题型6：(x+p)(x+q)型多项式乘法 5 题型7：利用单项式乘法求字母或代数式的值 5 题型8：利用单项式乘多项式求字母的值 5 题型9：已知多项式乘积不含某项求字母的值 5 题型10：多项式乘法中的规律性问题 5 中考真题 6 分层训练 7 基础夯实 7 培优拔高 9 知识点梳理01：单项式与单项式相乘 1.单项式乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其与字母连同它的指数不变，作为积的因式. 1. 单项式与单项式相乘的步骤 （1） 确定积的系数，积的系数等于各项系数的积; （2） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3） 只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 3.单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【易错点拨】 1.单项式与单项式相乘的结果仍是单项式； 2.只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏； 3.单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用. 知识点梳理02：单项式与多项式相乘 1.单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为m（a+b+c）=ma+mb+mc（m,a,b,c都是单项式）. 2.单项式与多项式相乘的几何意义 大长方形的面积可以表示为p（a+b+c）；因为大长方形的面积等于三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为pa+pb+pc.所以p（a+b+c）=pa+pb+pc. 【易错点拨】 1.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同. 2.单项式与多项式相乘时，要把单项式和多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘. 知识点梳理03：多项式与多项式相乘 1.多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为（a+b）·（m+n）=am+bm+an+bn（m,n,a,b都是单项式）. 2.多项式与多项式相乘的几何解释 大长方形的面积可以表示为（a+b）（p+q），也可以将达长方形的面积表示为四个小长方形的面积之和，即ap+aq+bp+bq.所以（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq. 【易错点拨】 1.多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式. 2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，再合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的订数之积. 3.计算结果一定要注意合并同类项. 题型1：计算单项式乘单项式 【典例精讲】（25-26七年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2：计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）小刘在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，发现这样一道题：☐，你认为“☐”内应填写 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）若三角形的底边长为，对应的高为，则此三角形的面积为 ． 题型3：单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 题型4：计算多项式乘多项式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级下·北京丰台·期中）计算： 题型5：多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【变式训练】（24-25七年级下·四川达州·月考）若将边长相差3的两个正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，已知测得盒子底部长方形长比宽多5，若小正方形的边长为，则的值为 ． 题型6：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例精讲】（25-26七年级下·福建福州·期中）若，则k的值为 ． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 题型7：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，求的值． 题型8：利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·河南周口·月考）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型9：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）若多项式的计算结果不含项，则的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 题型10：多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）杨辉三角是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）的展开式中的各项系数直观地体现了出来，其中的展开式中各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如图所示． 根据上述材料，则展开式中x项的系数为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 1．（2024·安徽安庆·中考真题）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 2.（2024·江苏镇江·中考真题）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·中考真题）已知，则的值是 ． 4．（2024·山东青岛·中考真题）已知，则 ． 5．（2024·全国·中考真题）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 基础夯实 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）在“单项式与多项式相乘”的课堂上，有这样一道题：，则“”内应填的运算符号是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）三个连续的奇数，若中间一个为a，则首尾两个数的积为 ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 7．（23-24七年级下·山东德州·期末）若，则 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 9．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）在括号中填入每个步骤相应的数学依据： ……………………（_________） ……………………（_________） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘． 10．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 培优拔高 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 13．（23-24七年级下·四川广元·期末）将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 15．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 17．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知 展开后，不含 和 的项，则 ． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 整式的乘法 （知识荟萃+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：单项式与单项式相乘 1 知识点梳理02：单项式与多项式相乘 2 知识点梳理03：多项式与多项式相乘 2 题型讲练 3 题型1：计算单项式乘单项式 3 题型2：计算单项式乘多项式及求值 3 题型3：单项式乘多项式的应用 4 题型4：计算多项式乘多项式 6 题型5：多项式乘多项式与图形面积 6 题型6：(x+p)(x+q)型多项式乘法 8 题型7：利用单项式乘法求字母或代数式的值 8 题型8：利用单项式乘多项式求字母的值 9 题型9：已知多项式乘积不含某项求字母的值 10 题型10：多项式乘法中的规律性问题 11 中考真题 12 分层训练 15 基础夯实 15 培优拔高 20 知识点梳理01：单项式与单项式相乘 1.单项式乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其与字母连同它的指数不变，作为积的因式. 1. 单项式与单项式相乘的步骤 （1） 确定积的系数，积的系数等于各项系数的积; （2） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3） 只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 3.单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【易错点拨】 1.单项式与单项式相乘的结果仍是单项式； 2.只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏； 3.单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用. 知识点梳理02：单项式与多项式相乘 1.单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为m（a+b+c）=ma+mb+mc（m,a,b,c都是单项式）. 2.单项式与多项式相乘的几何意义 大长方形的面积可以表示为p（a+b+c）；因为大长方形的面积等于三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为pa+pb+pc.所以p（a+b+c）=pa+pb+pc. 【易错点拨】 1.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同. 2.单项式与多项式相乘时，要把单项式和多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘. 知识点梳理03：多项式与多项式相乘 1.多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为（a+b）·（m+n）=am+bm+an+bn（m,n,a,b都是单项式）. 2.多项式与多项式相乘的几何解释 大长方形的面积可以表示为（a+b）（p+q），也可以将达长方形的面积表示为四个小长方形的面积之和，即ap+aq+bp+bq.所以（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq. 【易错点拨】 1.多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式. 2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，再合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的订数之积. 3.计算结果一定要注意合并同类项. 题型1：计算单项式乘单项式 【典例精讲】（25-26七年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查单项式乘以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先计算乘方，再计算单项式乘以单项式，即可求解； （2）先计算乘方，再计算单项式乘以单项式，即可求解． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 【变式训练】（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及单项式与单项式的乘法等知识． 根据运算规则逐项判断即可． 【规范解答】A．与指数不同，不是同类项，不能合并，故 A错误； B．，故 B错误； C．，故 C错误； D．，故D正确． 故选D． 题型2：计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）小刘在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，发现这样一道题：☐，你认为“☐”内应填写 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【规范解答】解：☐， ∴“☐”内应填写， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）若三角形的底边长为，对应的高为，则此三角形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的乘法，三角形面积公式． 直接根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：此三角形的面积为， 故答案为：． 题型3：单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)48平方米 【思路点拨】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，正确表示出这两条小路的总面积是解题的关键． （1）这两条小路的总面积等于长为米，宽为b米的长方形面积加上长为米，宽为b米的长方形面积再减去边长为b米的正方形面积，据此求解即可； （2）把代入（1）所求式子中计算求解即可． 【规范解答】（1）解：两条小路的总面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米，即此时这两条小路的总面积为48平方米． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为，表示出阴影部分的面积，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故选：C． 题型4：计算多项式乘多项式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查多项式乘多项式．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）根据多项式乘多项式法则进行计算； （2）根据多项式乘多项式法则进行计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（25-26七年级下·北京丰台·期中）计算： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式法则计算即可． 【规范解答】解： 题型5：多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【规范解答】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法，面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·四川达州·月考）若将边长相差3的两个正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，已知测得盒子底部长方形长比宽多5，若小正方形的边长为，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算的应用，若小正方形的边长为，则大正方形的边长为，长方形的长为，宽为，再表示出、，作差即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：若小正方形的边长为，则大正方形的边长为，长方形的长为， ∵测得盒子底部长方形长比宽多5， ∴长方形的宽为， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型6：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例精讲】（25-26七年级下·福建福州·期中）若，则k的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式法则，解决本题的关键是正确求解等号左边表达式． 通过多项式乘以多项式法则展开左边表达式，再与右边多项式比较系数，即可求出k的值． 【规范解答】解：， ∵， 即 可得． 故答案为： 1． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了多项式乘多项式，根据，依题意，则，再解得，即可作答． 【规范解答】解：依题意，， ∵， ∴， 解得 把代入，得， 解得． 故选：C． 题型7：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于m，n的方程，求出的值，代入即可求出结果． 【规范解答】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了同底数幂除法计算，单项式乘以单项式，幂的乘方的逆运算，把所求式子可变形为，进一步可变形，据此代值计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ． 题型8：利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【规范解答】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为：. 【变式训练】（24-25八年级上·河南周口·月考）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【思路点拨】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【规范解答】解：， ， ， 故选：． 题型9：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）若多项式的计算结果不含项，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含项的系数等于0建立方程，解方程即可得． 【规范解答】解： ， ∵多项式的计算结果不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型10：多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）杨辉三角是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）的展开式中的各项系数直观地体现了出来，其中的展开式中各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如图所示． 根据上述材料，则展开式中x项的系数为 ． 【答案】40 【思路点拨】本题考查了数字的变化类，整式乘法的规律探索，找到变化规律是解题的关键．根据题中规律得出杨辉三角的第6行的每一项分别为：，则可得，再得出，即可求解． 【规范解答】解：由题意可得杨辉三角的第6行的每一项分别为：， ∴， ， 其中x项的系数为40， 故答案为：40． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 【答案】C 【思路点拨】本题考查了完全平方公式、数字的变化规律、多项式，熟练掌握以上知识点是关键． 根据“杨辉三角”中所含规律，先求出的余数为1，即可得到结果． 【规范解答】解：∵， ∴的余数为1， 若今天是星期四，则经过天后是星期五． 故选：C． 1．（2024·安徽安庆·中考真题）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查多项式乘以多项式，以及规律探索，正确掌握整式的运算法则是解题的关键，根据题干规律将左侧化简，再利用多项式相等的条件即可得到、的值，即可解题． 【规范解答】解： ， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 2.（2024·江苏镇江·中考真题）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解： ， ∵计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·重庆·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式，整体代入法，能够熟练进行多项式乘以多项式是解决问题的关键． 由得，再把计算乘法再适当变形，整体代入即可求出结果． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ . 故答案为：． 4．（2024·山东青岛·中考真题）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘多项式，先利用多项式乘多项式法则计算，与对比即可得出a的值． 【规范解答】解：， 又， ， ， 故答案为：． 5．（2024·全国·中考真题）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)22 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：因为， 所以． 所以 ． 基础夯实 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】B 【思路点拨】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律． 根据题意可以得出规律：展开式中所有项的系数为，则展开式中所有项的系数和是，以此求解． 【规范解答】解：由题可知， 展开式中所有项的系数为1； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； … 得出规律：展开式中所有项的系数为， ∴展开式中所有项的系数和为：， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查整式的运算，包括合并同类项、幂的运算、积的乘方和多项式除以单项式． 本题需逐一验证每个选项的正确性． 【规范解答】解：A、∵ 和 不是同类项， ∴ 不能合并， 故A错误，不符合题意； B、∵ ， ∴ ， 故B错误，不符合题意； C、∵ ≠ ， 故C错误，不符合题意； D、∵ ， ∴ 运算正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）在“单项式与多项式相乘”的课堂上，有这样一道题：，则“”内应填的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了单项式与多项式相乘，准确分析判断是解题的关键． 根据乘法分配律的方法判断即可得解． 【规范解答】； 内应填． 故选． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）三个连续的奇数，若中间一个为a，则首尾两个数的积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的乘法，理解三个连续奇数的关系是关键． 根据连续奇数的性质，中间奇数为，则第一个奇数为，最后一个奇数为，它们的积可利用多项式乘多项式计算． 【规范解答】解：设中间奇数为，则第一个奇数为，最后一个奇数为， 首尾两个数的积为 ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】10 【思路点拨】本题考查了单项式乘多项式，整体代入思想，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 将代数式 展开为 ，然后利用已知条件 代入计算即可． 【规范解答】解：∵，且 ， ∴ ． 故答案为：10． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 【答案】 【思路点拨】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据路程公式，路程等于速度乘以时间，将给定的速度和时间表达式相乘，利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：路程为速度与时间的乘积，即： ． 故答案为 ：． 7．（23-24七年级下·山东德州·期末）若，则 ． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式的计算，根据题意可得，则可求出，则，据此代值计算即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查整式的乘法： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式； （2）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【规范解答】（1）原式 （2）原式 9．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）在括号中填入每个步骤相应的数学依据： ……………………（_________） ……………………（_________） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘． 【答案】乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂 【思路点拨】本题考查了单项式乘单项式法则和乘法运算律，正确掌握相关运算法则和运算律是解题关键．直接利用单项式乘单项式运算法则和乘法运算律得出答案． 【规范解答】解：……………………（乘法交换律和结合律） ……………………（乘法结合律） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘． 故答案为：乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂． 10．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【思路点拨】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （3）代数求值即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：当，时，， （元）， 所以购买所需地砖需要元． 培优拔高 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【规范解答】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 【答案】A 【思路点拨】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，整体思想，正确计算是解题的关键． 先利用积的乘方，单项式乘单项式法则简化表达式后，再利用整体思想将已知条件代入计算即可． 【规范解答】解：∵ , 又 ∵ , ∴ , ∴ . 故选：A． 13．（23-24七年级下·四川广元·期末）将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． 用含、、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为0即可． 【规范解答】解：∵ ， 整理，得：， ∵若长度不变，（即）的长度变化，而的值总保持不变， ∴ ， 解得：． 故选：B． 14．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【答案】－3 【思路点拨】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【规范解答】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 15．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 【答案】 【思路点拨】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 【答案】3ab 【思路点拨】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 【规范解答】解：长方体的体积为 ， ∵ ∴则该正方体水池的棱长为． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知 展开后，不含 和 的项，则 ． 【答案】 【思路点拨】先根据多项式乘多项式的运算法则将展开，然后根据展开后不含和的项，得出关于、的方程，求解、的值，最后代入计算结果． 本题主要考查了多项式乘多项式以及代数式求值，同时涉及了方程的思想．熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，能准确根据不含某一项得出对应系数为的方程是解题的关键． 【规范解答】解： ∵展开后不含和的项， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项； （2）直接利用单项式乘多项式法则，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再整理结果． 【规范解答】（1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到的值． （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【规范解答】（1）解：由题意，得 ， 即， ∴，， ∴，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， ∴原式． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $