专题09 期末真题百练通关（111题39种易错+热考题型，期末复习专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题09 期末真题百练通关（111题39大易错+热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的定义（共2小题） 题型二 二次函数的图像与性质（共5小题） 题型三 待定系数法求函数解析式（共2小题） 题型四 二次函数与各项系数关系（共3小题） 题型五 二次函数平移变换（共2小题） 题型六 二次函数与方程、不等式（共2小题） 题型七 二次函数与实际问题（共4小题） 题型八 二次函数综合（共3小题） 题型九 事件分类（共2小题） 题型十 简单概率计算（共3小题） 题型十一 列表法、树状图法求概率（共4小题） 题型十二 频率估计概率（共2小题） 题型十三 垂径定理的实际问题（共3小题） 题型十四 利用弧、弦、圆心角关系求解（共2小题） 题型十五 利用圆周角及其推论求解（共3小题） 题型十六 利用圆内接四边形的性质求解（共2小题） 题型十七 正多边形与圆（共3小题） 题型十八 弧长和扇形面积（共3小题） 题型十九 不规则图形面积计算（共3小题） 题型二十 利用比例的性质求解（共3小题） 题型二十一 黄金分割（共2小题） 题型二十二 平行线分线段成比例求解（共3小题） 题型二十三 相似三角形的性质求解（共3小题） 题型二十四 添加条件证明相似（共2小题） 题型二十五 相似三角形的性质与判定综合（共3小题） 题型二十六 相似三角形与实际问题（共3小题） 题型二十七 位似（共2小题） 题型二十八 利用锐角三角函数求解（共4小题） 题型二十九 利用特殊角三角函数值求解（共3小题） 题型三十 利用三角函数的性质求解（共3小题） 题型三十一 解直角三角形的应用（共3小题） 题型三十二 投影（共3小题） 题型三十三 画三视图（共3小题） 题型三十四 点与圆的位置关系（共3小题） 题型三十五 直线与圆的位置关系（共4小题） 题型三十六 切线的性质与判定定理（共2小题） 题型三十七 利用切线长定理求解（共2小题） 题型三十八 三角形内切圆与外接圆综合（共3小题） 题型三十九 圆的综合问题（共4小题） 题型一 二次函数的定义（共2小题） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）下列函数属于二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 题型二 二次函数的图像与性质（共5小题） 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知点，两点均在函数的图象上．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3 C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3 5．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为． (1)若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 题型三 待定系数法求函数解析式（共2小题） 7．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（a，b，c是常数，），该函数y与x的部分对应值如上表：下列各选项中，正确的是（   ） x … 0 1 3 … y … 3 … A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的最小值为 C．当时， D．当时，y的值随x值的增大而减小 8．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的图像经过点，． (1)求该二次函数的表达式及对称轴． (2)当时，求该函数的最大值． 题型四 二次函数与各项系数关系（共3小题） 9．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，则下列四个结论：①：②；③对于任意实数，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与抛物线都经过y轴上的点D，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线，且，直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列命题中正确的 ． ①，②，③，④． 题型五 二次函数平移变换（共2小题） 12．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）为使抛物线与抛物线重合，下列平移能实现的是（　　） A．把先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 13．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型六 二次函数与方程、不等式（共2小题） 14．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知函数的图象与轴只有一个交点，则 ． 15．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ． 题型七 二次函数与实际问题（共4小题） 16．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）用12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）． (1)窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (2)若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取3）． 17．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． (1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 18．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火．某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个．如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个．若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元． (1)求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润． 19．（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 20．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 21．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数与轴交于A、两点，与轴交于点． (1)求线段的长； (2)点在轴上方，当时，求点的坐标． 题型八 二次函数综合（共3小题） 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，抛物线交x轴于两点，过y轴正半轴上一点C作x轴的平行线交该抛物线于D，E两点（点D在左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若，求点E的坐标． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． 24．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式； (3)当是直角三角形时，求点的坐标． 题型九 事件分类（共2小题） 25．（2025八年级下·全国·专题练习）下列事件中，属于不确定事件的是（   ）． A．宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B．打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C．一个负数的绝对值是非负数 D．潜水员深潜海底捞到月亮 26．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下列事件中，是必然事件的是（   ） A．在十字交叉路口，遇到红灯亮起 B．在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性 C．小明在一次射击练习时，命中靶心 D．掷一枚硬币，国徽面朝上 题型十 简单概率计算（共3小题） 27．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·浙江·期中）一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是，则为 ． 题型十一 列表法、树状图法求概率（共4小题） 30．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 31．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次．    (1)直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； (2)求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 32．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎． (1)若小丽和小红在“．快乐农场”、“．鲁班传人”、“．花式编织”这三个社团中各随机选择1个，求她们选到相同社团的概率．（社团名称可用，，表示） (2)小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 100 200 300 600 800 1200 发芽种子数量（粒） 93 185 283 569 761 1139 种子发芽率（精确到0.001） 0.930 0.925 0.943 0.948 0.951 0.949 ①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到0.01）． ②社团成员在农场播种2000粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 33．（24-25九年级上·浙江台州·期末）一个不透明的袋中装有1个红球、1个黄球和1个黑球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)从袋中随机摸出两个球，求两个球的颜色恰好为一红一黑的概率．请利用树状图或列表法说明理由． (2)如果从袋中随机摸出小球3次，每次摸出1个球，并且不放回，那么第3次为红球的概率为_________．由此经验，请你判断比赛时抽签决定选手出场顺序是_________的．（填“公平”或“不公平”） 题型十二 频率估计概率（共2小题） 34．（24-25九年级上·浙江金华·期末）掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（   ） A．一定是 B．一定不是 C．随着的增大，可能是 D．随着的增大，稳定在附近 35．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，将不规则图案放在边长为2cm的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据．据此估计点落在不规则图案上的概率约为（    ） A． B． C． D． 题型十三 垂径定理的实际问题（共3小题） 36．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图1是杭州第19届亚运会会徽一“潮涌”，其主体为图2中的扇环．延长交于点O，，若，，则图2中扇环的面积为 （结果保留）． 38．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）【问题背景】浙江省地处沿海，风力资源丰富．综合实践小组准备利用影长测量某风力发电机组的高和叶片的长度．通过观察发现，如图1，风力发电机组是由与地面垂直的铁塔和呈均匀分布且相同的三个叶片、、组成，三个叶片绕着中心轴旋转，某时刻太阳光照射三个叶片，其影子落在地面上可形成线段． 【问题探究】某一时刻（如图，叶片与地面平行，叶片和外端的影子恰好都落在点处，叶片外端的影子落在点处，此时测得米，米． （1）两个叶片之间的夹角 　 　；此时太阳光线与地面夹角 　　． （2）分别求出叶片和铁塔的长． （3）小组同学在测量上述数据时发现，在该太阳光线下，三个叶片绕着中心轴旋转过程中，其影长在发生变化，请求出影长的最大值（假定太阳光线与地面的夹角不变）． 题型十四 利用弧、弦、圆心角关系求解（共2小题） 39．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 40．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②当时，求的长． 题型十五 利用圆周角及其推论求解（共3小题） 41．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知：如图，是的直径，弦于点E，G是上一动点，，的延长线交于点F，连结． (1)若，，求的长； (2)设， ，求关于的函数表达式． 42．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作 交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 43．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）四边形内接于，为直径，连结，过A作于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，连结，且； ①求证：； ②若，，求的长． 题型十六 利用圆内接四边形的性质求解（共2小题） 44．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是 ． 45．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，四边形是的内接四边形，，，则 ． 题型十七 正多边形与圆（共3小题） 46．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，与正八边形相切于点、，若的半径为，则的长为 （结果保留）． 47．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，三个正六边形如图摆放，则＝ ．    48．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，在一根半径为10cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于5cm，则这个正三角形边长最大为 cm． 题型十八 弧长和扇形面积（共3小题） 49．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，小东用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 ． 50．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为 ． 51．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点．若，则的长为 ． 题型十九 不规则图形面积计算（共3小题） 52．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段 ，阴影部分的面积为 ． 53．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知半径为2，将的上半圆绕点B逆时针旋转，则阴影部分的面积为 ． 54．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知正六边形内接于半径为2的，点，分别是，的中点，连结，，，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 题型二十 利用比例的性质求解（共3小题） 55．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知，且，则的值为 ． 56．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是 千米． 57．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 题型二十一 黄金分割（共2小题） 58．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点为的黄金分割点，若的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 59．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图是意大利著名画家达・芬奇（年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内，图中四边形为正方形．已知点为线段的黄金分割点，且，．则 ． 题型二十二 平行线分线段成比例求解（共3小题） 60．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 61．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知直线，直线m和直线n分别交于点，直线m和直线n交于点P．若，若，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．6 62．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 题型二十三 相似三角形的性质求解（共3小题） 63．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知在中，，D，E分别是边上的点，且．若和相似，则（　　） A．5 B．3 C． D．3或 64．（23-24九年级上·浙江·期末）已知两个相似三角形的面积比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D． 65．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 题型二十四 添加条件证明相似（共2小题） 66．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，能使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 67．（24-25九年级上·全国·期末）如图，能使的条件是(     ) A． B． C． D． 题型二十五 相似三角形的性质与判定综合（共3小题） 68．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，，，作，垂足为点． (1)求线段的长； (2)点是上的一点，满足，连接交于点，求． 69．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，点分别是边上的中点，将绕着点逆时针旋转角度，得到图，其中，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 70．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 题型二十六 相似三角形与实际问题（共3小题） 71．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 72．（24-25九年级上·浙江金华·期末）综合实践：测量铜像高度． 工具准备：边长为且一边带有刻度的正方形硬纸板、量角器． 测量步骤：如图，将正方形硬纸板斜放在地面上，使得C，B，G三点在同一直线上，将点D对准点G，视线经过边AB上一点F，读取，测得．查阅数据：，，． 计算结果： (1)求的长度． (2)求铜像的高度． 73．（24-25九年级上·浙江金华·期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，， (1)求车窗底部到地面的高度（即的长）； (2)求盲区中的长度； (3)点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 题型二十七 位似（共2小题） 74．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 75．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，线段的端点坐标分别为、，以为位似中心，将线段放大到原来的两倍得到线段，则点、点的坐标分别为（   ） A．   B．   C．   D．   题型二十八 利用锐角三角函数求解（共4小题） 76．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 77．（24-25九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 78．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 79．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1和图2，将一个成形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进（如箭头所示），那么木桩上升（   ）厘米． A． B． C． D． 题型二十九 利用特殊角三角函数值求解（共3小题） 80．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）若的内角满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形 81．（2023·湖北恩施·模拟预测）因为，，所以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ． 82．（24-25九年级上·浙江金华·期末）计算： 题型三十 利用三角函数的性质求解（共3小题） 83．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）已知，则的度数所属范围是（    ） A． B． C． D． 84．（20-21九年级上·浙江宁波·期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 85．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 题型三十一 解直角三角形的应用（共3小题） 86．（24-25九年级上·浙江金华·期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，直径为，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连接并延长交于点． (1)点位于点的北偏东___________的方向上． (2)求的长． (3)连接，比较线段与大小（写出你作出判断的理由） 87．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据： ） 88．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡长，坡角为，，现计划在斜坡中点处挖去部分，修建一个平行于水平地面的平台和一条新的斜坡．（，结果精确到） (1)若改造后的新的斜坡的坡比为，求平台的长是多少米？ (2)一幢建筑物距离点远（即），小亮在点测得建筑物顶部的仰角为．点，，，，，，在同一个平面内，点，，在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？ 题型三十二 投影（共3小题） 89．（22-23九年级上·浙江金华·期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例．身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 ． 90．（25-26九年级上·河北保定·期中）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 91．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． (1)求树的高度． (2)因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 题型三十三 画三视图（共3小题） 92．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图是一个机械零部件，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 93．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，一种凹槽模具水平放置，其呈现的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 94．（24-25九年级上·浙江金华·期末）图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（   ） 图①              图② A．主视图与俯视图 B．左视图与主视图 C．左视图与俯视图 D．左视图、主视图、俯视图均相同 题型三十四 点与圆的位置关系（共2小题） 95．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 96．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 题型三十五 直线与圆的位置关系（共4小题） 97．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 98．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 99．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（　　） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相交 100．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 题型三十六 切线的性质与判定定理（共2小题） (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 102（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，平分，D是上任意一点，和相切于点E，连接． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求的长． 101．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为圆O直径，，与圆O相切于点E，于点F，交于点G，若． (1)求的长度． (2)求的长度． (3)求的长度． 题型三十七 利用切线长定理求解（共2小题） 102．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，，是的切线，，为切点，为上的一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 103．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 题型三十八 三角形内切圆与外接圆综合（共3小题） 103．（2021·浙江湖州·二模）（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________． 104．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 题型三十九 圆的综合问题（共4小题） 105．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长 106（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，直径与弦交于点E，且． (1)求证：． (2)若是以为腰的等腰三角形，求． (3)若，，求． 107．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，已知内接于，，延长交于E点，交于点F，D是劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点M，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接分别交和于点G和点H，若，且，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）． 108．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知是的直径，弦于点E，点M是线段延长线上的一点，连结交于点F，连结交于点G，连结，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在（2）的条件下，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为的中点，求的值． 1．如图，某景点一古迹建筑的侧面是一个轴对称图形，对称轴为过建筑物顶端的铅垂线所在的直线．小亮在距建筑物墙角点米的处，测得建筑物顶端的仰角为，且（为锐角，且点、建筑物檐点、点在同一直线上）．在建筑物另一侧距建筑物墙角点米的处，测得建筑物檐点的仰角为．已知点，，，，在同一直线上，屋顶横梁． (1)求建筑物檐到地面的距离（即点或点到的距离）； (2)若米，求建筑物顶部支柱的长． 2．成都东西城市轴线东段龙泉山一号隧道横穿龙泉山山脉，设计为双向8车道分离式城市山岭隧道，是四川省内建设难度极大、施工风险极高、工程经验极少的扁平特大断面高瓦斯软弱围岩隧道．为计算隧道长度，通过测量得到如下数据，如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，且，，求隧道的长度．（结果精确到1m；参考数据：，，，） 3．图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动． 图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，． (1)的长为 ． (2)求当与相切时，的长度． (3)据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？ 4．教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 5．将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线． (1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为　　　　　　． (2)试说明：扇环的面积． (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽． 6．【问题探究】 （1）在中，，过点C作于点D． ①如图1，若，则的值为______； ②如图2，点F在的延长线上，连接并延长至点E，连接，当时，求证：； 【问题解决】 （2）为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3所示），，米，米，为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点D，建造一座景观桥，满足．在点A和点B处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点E在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 7．如图，四边形是的内接四边形，，连接与相交于点E． (1)求的度数． (2)当时，直接写出图中阴影部分图形的面积．（结果保留） 8．某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为______； (2)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 9．自《义务教育课程方案》和课程标准（2022版）发布以来，河南省各地区学校积极响应劳动教育课程改革，开展多种形式劳动教育．为便于劳动实践活动，某校要建一个如图所示的矩形菜园，其中一边靠墙，另外三边用总长为36米的篱笆围成．已知墙长25米．若设矩形菜园的边长为x米，矩形菜园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的矩形菜园面积最大？最大面积是多少？ 10．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)①顶点的坐标为______；②当时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线的解析式为______． (3)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (4)如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． $专题09 期末真题百练通关（111题39大易错+热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的定义（共2小题） 题型二 二次函数的图像与性质（共5小题） 题型三 待定系数法求函数解析式（共2小题） 题型四 二次函数与各项系数关系（共3小题） 题型五 二次函数平移变换（共2小题） 题型六 二次函数与方程、不等式（共2小题） 题型七 二次函数与实际问题（共4小题） 题型八 二次函数综合（共3小题） 题型九 事件分类（共2小题） 题型十 简单概率计算（共3小题） 题型十一 列表法、树状图法求概率（共4小题） 题型十二 频率估计概率（共2小题） 题型十三 垂径定理的实际问题（共3小题） 题型十四 利用弧、弦、圆心角关系求解（共2小题） 题型十五 利用圆周角及其推论求解（共3小题） 题型十六 利用圆内接四边形的性质求解（共2小题） 题型十七 正多边形与圆（共3小题） 题型十八 弧长和扇形面积（共3小题） 题型十九 不规则图形面积计算（共3小题） 题型二十 利用比例的性质求解（共3小题） 题型二十一 黄金分割（共2小题） 题型二十二 平行线分线段成比例求解（共3小题） 题型二十三 相似三角形的性质求解（共3小题） 题型二十四 添加条件证明相似（共2小题） 题型二十五 相似三角形的性质与判定综合（共3小题） 题型二十六 相似三角形与实际问题（共3小题） 题型二十七 位似（共2小题） 题型二十八 利用锐角三角函数求解（共4小题） 题型二十九 利用特殊角三角函数值求解（共3小题） 题型三十 利用三角函数的性质求解（共3小题） 题型三十一 解直角三角形的应用（共3小题） 题型三十二 投影（共3小题） 题型三十三 画三视图（共3小题） 题型三十四 点与圆的位置关系（共3小题） 题型三十五 直线与圆的位置关系（共4小题） 题型三十六 切线的性质与判定定理（共2小题） 题型三十七 利用切线长定理求解（共2小题） 题型三十八 三角形内切圆与外接圆综合（共3小题） 题型三十九 圆的综合问题（共4小题） 题型一 二次函数的定义（共2小题） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】（1）解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）下列函数属于二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，掌握二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意； B．函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意； C．，是二次函数，故C符合题意； D．函数关系式不是整式，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：C． 题型二 二次函数的图像与性质（共5小题） 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知点，两点均在函数的图象上．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．根据二次函数性质即可求出结果． 【详解】解：∵函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ∴， 解得：， 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3 C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据的性质进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴二次函数当时，函数有最大值3， 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限；根据表格中和时值相等，确定二次函数的对称轴为，结合顶点处的函数值判断开口方向，进而确定、、的符号关系，最终得出点的坐标符号及其所在象限． 【详解】解：由表格可知，当和时，均为，则对称轴为． 当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此． 当时，，代入函数得： 由和， 因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限． 故选：C． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为． (1)若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】(1)①；② (2)5 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可； ②先求出，再根据可得，由此求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式为，对对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，当时，函数在区间上单调递减，最大值为，最小值为，根据题意列方程求解，当时，再分和两种情况讨论最小值，由此求解即可． 【详解】（1）解：①若，则， 则二次函数的顶点坐标为； 故答案为：； ②， ， ，， ， ， 即； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 在中 ①当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， ，（舍去）， ②当时，即时， 时，最大值为， 时，最小值为， 此时，不符合题意； ③当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， （舍去），（舍去）， 综上所述，． 题型三 待定系数法求函数解析式（共2小题） 7．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（a，b，c是常数，），该函数y与x的部分对应值如上表：下列各选项中，正确的是（   ） x … 0 1 3 … y … 3 … A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的最小值为 C．当时， D．当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 通过待定系数法求出函数解析式，从而可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】将代入得： 解得： ∴抛物线开口向上，选项A错误， 将代入得 ∴C错误， ∵抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线， 将代入得 ∴函数最小值为，选项B错误， ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 故选：D． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的图像经过点，． (1)求该二次函数的表达式及对称轴． (2)当时，求该函数的最大值． 【答案】(1)该二次函数的表达式为，对称轴为 (2)当时，该函数的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、求二次函数最值，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）把，代入得出方程组，求解得出、的值，即可得出该二次函数的表达式，根据对称点求出对称轴即可； （2）由（1）得，该二次函数的表达式为，对称轴为，根据二次函数的图象与性质，得出该函数图像抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，计算得出当时，取得到该函数的最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得：， ∵，纵坐标相同，是关于抛物线对称轴的对称点， ∴对称轴为， ∴该二次函数的表达式为，对称轴为； （2）解：∵由（1）得，该二次函数的表达式为，对称轴为， ∴该函数图像抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∵当时，可有， ∵，，且， ∴当时，取得到该函数的最大值． 题型四 二次函数与各项系数关系（共3小题） 9．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，则下列四个结论：①：②；③对于任意实数，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并综合运用是解决本题的关键． 由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论①；由和可判断结论②；当时，有最小值，则有，可判断结论③，即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向上，抛物线与轴交于负半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ，即， ，故①错误； ， ，故②错误； 当时，有最小值， ， ，故③正确； 正确结论的个数是1． 故选：B． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与抛物线都经过y轴上的点D，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线，且，直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列命题中正确的 ． ①，②，③，④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解决本题的关键是运用数形结合思想．由抛物线的开口判断a的符号，由对称轴判断b的符号及b与的关系，由一次函数的图象和性质可判断k的取值范围，由一次函数与二次函数的交点可判断k与的关系，进而得解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴是直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故①不正确； ，故②正确； 直线经过一、二、四象限， ． 当时，， ， ， ， ， 点A的坐标为． 当直线的时，， ， ． ，故③正确； 令， 整理得， 解得， 由图象知：， ， ，故④正确． 综上，正确的命题有②③④． 故答案为：②③④． 题型五 二次函数平移变换（共2小题） 12．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）为使抛物线与抛物线重合，下列平移能实现的是（　　） A．把先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是．则由抛物线的图象向左平移2个单位，向下平移4个单位即可得到二次函数的图象． 故选：A． 13．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故点P向下平移2个单位得到Q，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线：向下平移2个单位后得到抛物线：， ∴点平移后的对应点Q的坐标是， 故选：C． 题型六 二次函数与方程、不等式（共2小题） 14．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知函数的图象与轴只有一个交点，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题．分和两种情况讨论即可． 【详解】解：当时，函数变为， 与轴只有一个交点， 当时， 函数的图象与轴只有一个交点， △， 解得， 当时，函数的图象与轴只有一个交点， 故答案为：2或． 15．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】利用图象法进行求解即可． 【详解】解：由题意得，关于x的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据图象法求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 题型七 二次函数与实际问题（共4小题） 16．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）用12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）． (1)窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (2)若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取3）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求出顶点坐标是解题关键． （1）设窗框的宽为，则长为（米），表示出面积利用二次函数最值求法得出即可； （2）设半圆半径为r米，透光面积为平方米，列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设窗框的宽为 米，则长为 米，设面积为 平方米，根据题意可得： 当 时, ， 答: 当宽是2米时,窗户的透光面积最大， 最大透光面积是6 平方米； （2）解：设半圆半径为 米，透光面积为平方米，则 ， 当 时, ， 答: 该窗户的最大透光面积是 平方米. 17．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． (1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 【答案】(1)作图见解析， (2)能通过 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，熟练掌握待定系数法． （1）先建立平面直角坐标系，然后用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）把代入抛物线解析式，求出，然后作出判断即可． 【详解】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：当时，， 能通过． 18．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火．某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个．如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个．若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元． (1)求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元 【分析】（1）设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元，根据题意列出式子即可； （2）函数开口向下，存在最大值，根据顶点表示的含义进行计算即可求解． 该题主要考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【详解】（1）解：设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元． ∴每组销售利润． ∵售量不能为负， ∴． 答：； （2）函数，开口方向向下，对称轴为 故时，利润最大，最大利润， 此时销售单价为元． 当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元． 19．（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】(1) (2)火球不会落在城墙内 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内． 20．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出上边缘抛物线解析式是解题的关键． （1）根据题意可知是上边缘抛物线的顶点，然后把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可； （2）先求出上边缘抛物线与x轴的交点C的坐标，再求出上边缘抛物线上与点H对称的点的坐标，进而确定下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点B是点C向左平移得到的，由此即可得到答案； （3）对于上边缘抛物线，先求出当，当时，，进而确定，要使，则，从而得到d的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，则d的最小值为2，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴可设上边缘抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得或， ∴； ∵上边缘抛物线的对称轴为直线， ∴在上边缘抛物线上点的对称点为， ∵下边缘抛物线是有上边缘抛物线向左平移得到的，且下抛物线经过， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B是点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （3）解：∵， ∴点F的纵坐标为， 对于上边缘抛物线，当时，则， 解得， ∵， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 21．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数与轴交于A、两点，与轴交于点． (1)求线段的长； (2)点在轴上方，当时，求点的坐标． 【答案】(1)6 (2)， 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与几何的综合的关系等知识点，将求点坐标的问题转化为解一元二次方程的问题成为解题的关键． （1）令，然后得到方程求解确定，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）先确定，再结合题意可知点P的横坐标为5，令得到方程求解，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得：，， ∴ ∴． （2）解：当时，， ∴， ∵点在轴上，， ∴点P的横坐标为5， 令，则，解得：，， ∴的坐标为，． 题型八 二次函数综合（共3小题） 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，抛物线交x轴于两点，过y轴正半轴上一点C作x轴的平行线交该抛物线于D，E两点（点D在左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为 【分析】本题主要考查了求函数解析式、抛物线与y轴的交点、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求得a、b的值即可解答； （2）先求得抛物线得对称轴是直线x＝，设，则可得，再根据列方程求得m的值，最后代入抛物线解析式即可解答． 【详解】（1）解：把代入， ，  解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为， ∴该抛物线得对称轴是直线x＝． 设，则， ∴， ∵， ∴，解得：． 把代入，解得：， ∴点E的坐标为． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析． 【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于两点， ∴抛物线解析式可设为， 即， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：小明的说法不正确． 理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当，最大， 而抛物线的顶点坐标为， ∴小明的说法不正确． 24．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式； (3)当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）将代入即可； （2）由题意可得B的坐标是，设直线的解析式为，利用待定系数法求得，由题意表示出点P的坐标是，点E的坐标是，进而得关于的函数关系式； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，进行讨论即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴的一个交点是 ∴ ∴ （2）如图 ∵当时， ∴点B的坐标是 设直线的解析式为 ∵过点， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵当时， ∴点E的坐标是 ∵当时， ∴点P的坐标是 ∴ ； （3）①当时，直线交轴于，如图， ∵，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，即：， ∴， 设直线解析式为，代入，，得： ，解得：， ∴直线解析式为， 联立：，解得：或， ∵ ∴； ②当时，直线交轴于，如图， 同理可得为等腰直角三角形，即：， ∴， 设直线解析式为，代入，，得： ，解得：， ∴直线解析式为， 联立：，解得：或， ∵ ∴； ③当时，此时点在上方，设点横坐标为，且， 过点作轴，，如图， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ，， ∵， ∴，即：， ∴， 解得：（负值舍去），（经检验是方程的解）， 则： ， ∴； 当时，此时点在下方，设点横坐标为，且， 过点作轴，，如图， 同理可证， ∵， ∴，， ，， ∵， ∴，即：， ∴， 解得：（正值舍去），（经检验是方程的解）， 则： ， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，等腰三角形的直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，讨论直角的位置，利用相似三角形的性质列比例式是解决问题的关键． 题型九 事件分类（共2小题） 25．（2025八年级下·全国·专题练习）下列事件中，属于不确定事件的是（   ）． A．宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B．打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C．一个负数的绝对值是非负数 D．潜水员深潜海底捞到月亮 【答案】B 【分析】本题考查的是随机事件，根据事件发生的可能性大小判断，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、宇航员在月球上所受的重力比在地球上小，是确定事件，不符合题意； B打开电视机，屏幕显示正好在科教频道，是不确定事件，符合题意； C、一个负数的绝对值是非负数，是确定事件，不符合题意； D、潜水员深潜海底捞到月亮，是确定事件，不符合题意； 故选：B． 26．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下列事件中，是必然事件的是（   ） A．在十字交叉路口，遇到红灯亮起 B．在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性 C．小明在一次射击练习时，命中靶心 D．掷一枚硬币，国徽面朝上 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、在十字交叉路口，遇到红灯亮起是随机事件，故本选项不符合题意； 、在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性是必然事件，故本选项符合题意； 、小明在一次射击练习时，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； 、掷一枚硬币，国徽面朝上是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：． 题型十 简单概率计算（共3小题） 27．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：C． 28．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数，以及他选择从口进入从口离开的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种． 他选择从口进入，从口离开的概率为， 故选：A． 29．（25-26九年级上·浙江·期中）一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是，则为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了简单事件的概率；根据概率公式，红球的概率等于红球数量与总球数的比值，利用给定概率建立方程求解． 【详解】解：设红球、黄球、白球的数量分别为 、、， 则总球数． 红球的概率为． 因此， 解得：， 即． 故答案为：2． 题型十一 列表法、树状图法求概率（共4小题） 30．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，， (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算． （1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可； （2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图为：    共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率为：，小红胜的概率为：， 这个游戏公平． 31．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次．    (1)直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； (2)求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练利用列表法求概率是解题的关键． （1）用蓝色区域得面积除以圆形转盘得面积即可； （2）把圆形转盘分成相同的4等份，其中黄色扇形占2份，画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为， （2）解：把黄色区域看作两份，画树状图为：   ， 共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4， 所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为． 4 32．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎． (1)若小丽和小红在“．快乐农场”、“．鲁班传人”、“．花式编织”这三个社团中各随机选择1个，求她们选到相同社团的概率．（社团名称可用，，表示） (2)小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 100 200 300 600 800 1200 发芽种子数量（粒） 93 185 283 569 761 1139 种子发芽率（精确到0.001） 0.930 0.925 0.943 0.948 0.951 0.949 ①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到0.01）． ②社团成员在农场播种2000粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 【答案】(1) (2)①；②大约能有粒种子发芽 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，用频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． （2）①当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近，由此即可得解；②用2000乘以①中得到的发芽率即可得解． 【详解】（1）解：画树状图为： 共有种等可能出现的结果，其中她们选到相同社团的情况有种， 故她们选到相同社团的概率为； （2）解：①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为； ②（粒）， 故大约能有粒种子发芽． 33．（24-25九年级上·浙江台州·期末）一个不透明的袋中装有1个红球、1个黄球和1个黑球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)从袋中随机摸出两个球，求两个球的颜色恰好为一红一黑的概率．请利用树状图或列表法说明理由． (2)如果从袋中随机摸出小球3次，每次摸出1个球，并且不放回，那么第3次为红球的概率为_________．由此经验，请你判断比赛时抽签决定选手出场顺序是_________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】(1)，理由见解析 (2)，公平 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸出两个球恰好颜色恰好为一红一黑的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第3次为红球的情况、为黄球的情况、为黑球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，其中从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的有2种情况， ∴从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的概率是； （2）解：依题意画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，其中第3次为红球的情况有2种，为黄球的情况有2种，为黑球的情况有2种， ∴第3次为红球的概率为，为黄球的概率为，为黑球的概率为， ∴比赛时抽签决定选手出场顺序是公平的， 故答案为：，公平． 题型十二 频率估计概率（共2小题） 34．（24-25九年级上·浙江金华·期末）掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（   ） A．一定是 B．一定不是 C．随着的增大，可能是 D．随着的增大，稳定在附近 【答案】D 【分析】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 35．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，将不规则图案放在边长为2cm的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据．据此估计点落在不规则图案上的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，正确理解折线统计图的含义是解题的关键． 根据折线统计图可知，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，根据概率的定义进行解答即可． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着实验次数的增加，频率稳定于左右，根据概率的定义，当试验次数足够大时，频率趋近于概率， 因此可估计点落在不规则图案上的概率约为， 故选：C． 题型十三 垂径定理的实际问题（共3小题） 36．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，由垂径定理求出，确定，根据题意，最后利用勾股定理即可计算． 【详解】解：∵直径为圆形干果盘， ∴， 如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：． 故选∶A． 37．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图1是杭州第19届亚运会会徽一“潮涌”，其主体为图2中的扇环．延长交于点O，，若，，则图2中扇环的面积为 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、垂径定理等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解答本题的关键． 如图过O作，然后根据垂径定理以及解直角三角形求得，进而求得；然后由图可知：阴影部分的面积等于以为半径的扇形面积减去以为半径的扇形面积，据此求解即可． 【详解】解：如图：过O作， ∵， ∴,， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 38．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）【问题背景】浙江省地处沿海，风力资源丰富．综合实践小组准备利用影长测量某风力发电机组的高和叶片的长度．通过观察发现，如图1，风力发电机组是由与地面垂直的铁塔和呈均匀分布且相同的三个叶片、、组成，三个叶片绕着中心轴旋转，某时刻太阳光照射三个叶片，其影子落在地面上可形成线段． 【问题探究】某一时刻（如图，叶片与地面平行，叶片和外端的影子恰好都落在点处，叶片外端的影子落在点处，此时测得米，米． （1）两个叶片之间的夹角 　 　；此时太阳光线与地面夹角 　　． （2）分别求出叶片和铁塔的长． （3）小组同学在测量上述数据时发现，在该太阳光线下，三个叶片绕着中心轴旋转过程中，其影长在发生变化，请求出影长的最大值（假定太阳光线与地面的夹角不变）． 【答案】（1）；；（2），；（3）影子的最大值为米 【分析】（1）由题意得，，所以，因为，所以，于是得到问题的答案； （2）设交于点，延长交于点，作于点，可证明，由，得，则，而，则，由，，求得米，米，则米，而，由，得米，由，求得米，则米； （3）因为米，所以米，则米，求得米，连接，则米，作于点，交的延长线于点，则，因为，所以当取最大值时，的值最大，由，求得的最大值为米，则的最大值为米． 【详解】解：（1）相同的三个叶片、、呈均匀分布， ，， ， 、、三点大同一条直线上，且， ， 故答案为：120，30； （2）如图2，设交于点，延长交于点，作于点，则， ， ， 太阳光线与地面的夹角不变， ， ， ， ， ， ， ，，且米，米， （米，（米， ， 四边形是矩形， 米， ， ， （米， ， （米， （米， 答：叶片的长为40米，铁塔的长为米． （3）如图2，米， 米， （米， 米， 如图3，连接、，   ， 米， 作于点，交的延长线于点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 当取最大值时，的值最大， ， 米， 的最大值为米， 的最大值为（米， 答：影长的最大值为米． 【点睛】此题重点考查垂径定理、勾股定理、平行线的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型十四 利用弧、弦、圆心角关系求解（共2小题） 39．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 40．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为 【分析】（1）根据垂径定理推论得到平分，再根据弧与弦的关系即可求证； （2）①由等边对等角得到，而，那么，则，即可求解；②连接，由得到，则，那么，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵弦直径， ∴平分， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同圆中弧与弦的关系，等腰三角形的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握圆中相关概念是解题的关键． 题型十五 利用圆周角及其推论求解（共3小题） 41．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知：如图，是的直径，弦于点E，G是上一动点，，的延长线交于点F，连结． (1)若，，求的长； (2)设， ，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证是等边三角形，得出，再由垂径定理得出，最后根据弧长公式即可求解； （2）由圆周角定理可得，，结合，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵弦，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的长为： （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查弧长的计算，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等，掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键． 42．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作 交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了圆周角相等，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定； （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的性质可得，等量代换即可得证； （2）根据圆内接四边形对角互补，邻补角的定义得出，结合（1）的结论，即可证明； （3）①根据轴对称的性质可得，，证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②由①可得，得出，则，设，则，证明得出，则，根据，得出 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴ 又． ∴． （3）①∵点，关于对称，，， ∴， 又∵． ∴ ∴ ∵ ∴ 即，解得：， ∵ ∴ ∴即 解得：； ②由①可得， ∵ ∴ ∴，则 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴即 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 43．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）四边形内接于，为直径，连结，过A作于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，连结，且； ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；② 【分析】（1）由为直径，于点H，得，所以，，由圆周角定理得，则问题可求证； （2）①由，得，而，所以，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； ②作于点L，由，且，得，则，设，由，得，则，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）证明：∵为直径，于点H， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②解：如图2，作于点L，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，此题综合性质强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型十六 利用圆内接四边形的性质求解（共2小题） 44．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了圆内接四边形，对角互补，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴ 故答案为： 45．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，四边形是的内接四边形，，，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十七 正多边形与圆（共3小题） 46．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，与正八边形相切于点、，若的半径为，则的长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正八边形的性质，弧长公式的运用，连接、，利用正八边形的性质计算出半径和圆心角即可． 【详解】解：连接、， ∵与正八边形相切于点、， ∴， ∵六边形的内角和为，正八边形内角， ∴， ∵， ∴的长为， 故答案为：． 47．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，三个正六边形如图摆放，则＝ ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外接圆、锐角三角函数以及直角三角形的边角关系等知识，根据正六边形的性质构造直角三角形，再根据正六边形的性质用正六边形的边长，表示、，由勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可，掌握正六边形的性质、直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 【详解】解：如图，取的中点，则点为正六边形的外接圆的圆心，为半径 正六边形的一个中心角为 所以正六边形的边长等于其外接圆的半径 过作 则可得 由多边形内角和得 设正六边形的边长为，则 即 在直角中，， 故答案为：．    48．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，在一根半径为10cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于5cm，则这个正三角形边长最大为 cm． 【答案】 【分析】圆和正三角形都是轴对称图形，正三角形是等边三角形，它的三个角都是，三条边都相等，用勾股定理求出边长即可得解． 【详解】如图所示：记正三角形的一个顶点为B，连接并延长交于一点A，过O作垂直于直线于点C，垂足为C ． ∵正三角形顶点离圆柱边缘不少于5 cm， ∴当正三角形边长最大时，则 cm， ∵半径为10cm， ∴cm， ∵该三角形是正三角形，， ∴， ∴cm， cm，则正三角形边长为cm． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆与正多边形，等边三角形的性质，以及勾股定理的运用，灵活运用等边三角形性质解题是关键． 题型十八 弧长和扇形面积（共3小题） 49．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，小东用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 ． 【答案】12 【分析】本题考查求圆锥底面圆的半径，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：设底面半径是， 由题意，得：， 解得：； 故答案为：12． 50．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形的面积．直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：该扇形的面积为． 故答案为：． 51．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】先得到为等边三角形，则可得，那么，则，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，折叠的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于把握折叠的不变性． 题型十九 不规则图形面积计算（共3小题） 52．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质和旋转的性质，连接，延长交于点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，从而可判断垂直平分，所以，，接着勾股定理计算出，则可求，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．知道求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， 为等腰直角三角形，， ，，， 绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， 垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：，． 53．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知半径为2，将的上半圆绕点B逆时针旋转，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积计算及旋转的性质，先得到，是等边三角形，再结合扇形面积公式即可得到答案； 【详解】解：∵的上半圆绕点B逆时针旋转， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ， ∴， ∵，的上半圆绕点B逆时针旋转， ∴是旋转后的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 54．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知正六边形内接于半径为2的，点，分别是，的中点，连结，，，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，已知正六边形内接于，点，分别是，的中点，则为的中位线，推出，，根据已知条件可证明，得到，即；已知的半径为2，可得，，即可求得，及的面积；连接，，可得，则，根据，代入计算即可； 【详解】解：连接，，， ∵正六边形内接于半径为2的， ∴，， ∴是等边三角形，, ∴边上的高为， ∴， ， ， ∵已知正六边形内接于，点，分别是，的中点， ∴为的中位线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查求不规则图形的面积，理清题意，正确添加辅助线，利用转化的思想是解此类题的关键． 题型二十 利用比例的性质求解（共3小题） 55．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值． 【详解】解：由已知得， ∴， ∴当时，得， 当时，则 ∴， ∴k的值为1或． 故答案为：1或． 56．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是 千米． 【答案】180 【分析】本题考查的是比例尺，熟练掌握比例尺和比例的性质是解题的关键； 设A，B两地间的实际距离是x厘米，根据比例尺的定义得到，再利用比例的性质求出x，然后把单位化为千米即可． 【详解】解：设A，B两地间的实际距离是x厘米， 根据题意得， 解得， 18000000厘米千米． 故答案为：180． 57．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）设 ，则，，然后代入即可求解； （）由（）得，，则，所以，，，又线段是线段，的比例中项，所以， 然后求出的值即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴，，， ∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴（负值已舍去）． 题型二十一 黄金分割（共2小题） 58．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点为的黄金分割点，若的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和（）且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义即可得到答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ； 选：D ． 59．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图是意大利著名画家达・芬奇（年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内，图中四边形为正方形．已知点为线段的黄金分割点，且，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，由点为线段的黄金分割点，且可得，代入数据可求解． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点，且，， ∴ 故答案为： 题型二十二 平行线分线段成比例求解（共3小题） 60．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 61．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知直线，直线m和直线n分别交于点，直线m和直线n交于点P．若，若，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．6 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例．由得到，把数据代入即可求得，再根据，，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：D 62．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 题型二十三 相似三角形的性质求解（共3小题） 63．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知在中，，D，E分别是边上的点，且．若和相似，则（　　） A．5 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，对应边成比例，由此即可求解． 【详解】解：①如图所示，，    ∴，， ∴； ②如图所示，，    ∴， ∴， 综上所述，AE的长为3或， 故选：D． 64．（23-24九年级上·浙江·期末）已知两个相似三角形的面积比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：两个相似三角形的面积比为， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的周长比为， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握“相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方”是解题的关键． 65．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由得，，进一步推得，，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即得答案． 【详解】， ，， ， 是的中线， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ． 题型二十四 添加条件证明相似（共2小题） 66．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，能使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】解：由题意得，， 若添加，利用两边及其夹角法可判断，故该选项符合题意； 、、均不能判定，故不符合题意． 故选：C． 67．（24-25九年级上·全国·期末）如图，能使的条件是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，与有公共角，根据有夹这个角的两边对应成比例，三角形相似，逐项判断即可的解． 【详解】解：， A、当时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； B、当，即时，是两边的夹角，可以判断三角形相似，符合题意； C、时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； D、当，即，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； 故选：B． 题型二十五 相似三角形的性质与判定综合（共3小题） 68．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，，，作，垂足为点． (1)求线段的长； (2)点是上的一点，满足，连接交于点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，利用等面积法求出的长，在中，根据勾股定理求得线段的长即可； （2）过点作于点，证得，根据相似三角形的性质证得，再证得，利用相似三角形的性质求出的值即可． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得，， 则， 即， 解得， 在中，由勾股定理得，， 因此，线段的长为； （2）解：过点作于点， 、， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 69．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，点分别是边上的中点，将绕着点逆时针旋转角度，得到图，其中，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由线段中点的定义得，即得，又由旋转得，再根据相似三角形的判定即可求证； （）由相似三角形的性质得，再根据勾股定理解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵点分别是边上的中点， ∴，， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 70．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． （1）由菱形性质知，由知，，由菱形对角相等可得，从而． （2）由，可得，则，，由，可得，，因为，则，再证明，，从而． （3）由菱形性质证明，再证明，列出比例式，由（2）中知，故，化为乘积式即． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 由菱形对角相等可得， ； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故； （3）证明：由菱形性质知， ， ， ， ． ， ， ， 由（2）中知， ， ． 题型二十六 相似三角形与实际问题（共3小题） 71．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 72．（24-25九年级上·浙江金华·期末）综合实践：测量铜像高度． 工具准备：边长为且一边带有刻度的正方形硬纸板、量角器． 测量步骤：如图，将正方形硬纸板斜放在地面上，使得C，B，G三点在同一直线上，将点D对准点G，视线经过边AB上一点F，读取，测得．查阅数据：，，． 计算结果： (1)求的长度． (2)求铜像的高度． 【答案】(1)； (2)铜像的高度． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形． （1）证明，即可得到，据此求解即可； （2）解直角三角形求得，，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴铜像的高度． 73．（24-25九年级上·浙江金华·期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，， (1)求车窗底部到地面的高度（即的长）； (2)求盲区中的长度； (3)点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 【答案】(1)1.12米 (2) (3)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体 【分析】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质的应用，理解题意，正确利用锐角三角函数求解是解答的关键． （1）在中，利用正弦定义求解即可； （2）先得到四边形是矩形，则，再在中， 利用正切定义求解即可； （3）证明，利用相似三角形的性质求得，则可得结论． 【详解】（1）解：在中， 答：车窗底部到地面的高度为1.12米 （2）解：由题意：四边形是矩形 ， 在中， ， 答：盲区中的长度为 （3）解：过点作， ，， ∴， 由，得， ∴，即， 解得：， 在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体． 题型二十七 位似（共2小题） 74．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形相的面积之比等于位似之比的平方是解题关键． 先说明与位似比，然后再根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 故选C． 75．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，线段的端点坐标分别为、，以为位似中心，将线段放大到原来的两倍得到线段，则点、点的坐标分别为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，利用中点坐标公式求出点、点的坐标即可． 【详解】解：由题意， 设，， ∵，，， ∴，， ∴；， ∴，． 故选：A． 题型二十八 利用锐角三角函数求解（共4小题） 76．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 77．（24-25九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选： D． 78．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切、余弦值，由，设，则，通过定理求得，然后利用即可求解，解题的关键在于求出三边的数量关系． 【详解】解：在中，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故选：． 79．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1和图2，将一个成形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进（如箭头所示），那么木桩上升（   ）厘米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比计算即可． 【详解】解：解：设木桩上升了， 根据题意，在中，， 则， 解得：， 则木桩上升了， 故选：A． 题型二十九 利用特殊角三角函数值求解（共3小题） 80．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）若的内角满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形 【答案】A 【分析】根据非负数的性质，求出和的度数，然后可判定的形状． 【详解】解：由题意得：，， 即，， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 81．（2023·湖北恩施·模拟预测）因为，，所以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ． 【答案】/ 【分析】当为锐角时有．把代入计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照一般地当为锐角时有去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键． 82．（24-25九年级上·浙江金华·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 题型三十 利用三角函数的性质求解（共3小题） 83．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）已知，则的度数所属范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出45°和60°的正切值，再根据1.5与两个正切值的大小关系得到答案． 【详解】解：∵，正切值随着角度的增大而增大，且， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 84．（20-21九年级上·浙江宁波·期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 85．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 题型三十一 解直角三角形的应用（共3小题） 86．（24-25九年级上·浙江金华·期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，直径为，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连接并延长交于点． (1)点位于点的北偏东___________的方向上． (2)求的长． (3)连接，比较线段与大小（写出你作出判断的理由） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要正多边形和圆、勾股定理、圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据正八边形每条边所对的弧都是，再利用圆周角是圆心角得一半即可得解； （2）连接，易证； （3）构造直角三角形求出，连接，过G作交于点M，易得，再利用勾股定理求出进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵八个方位将圆形八等分， ∴， ∴ ∴，即点P位于点D的北偏东； （2）解：连接，则为直径， ∴， 由（1）知 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，连接，过G作交于点M， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵ ∴，即． 87．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据： ） 【答案】(1)调整，使得 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出； （2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． （2）解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 88．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡长，坡角为，，现计划在斜坡中点处挖去部分，修建一个平行于水平地面的平台和一条新的斜坡．（，结果精确到） (1)若改造后的新的斜坡的坡比为，求平台的长是多少米？ (2)一幢建筑物距离点远（即），小亮在点测得建筑物顶部的仰角为．点，，，，，，在同一个平面内，点，，在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？ 【答案】(1)平台的长是米． (2)建筑物高为米． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，以及解直角三角形的应用一坡度坡角问题，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形． （1）由三角函数的定义，即可求得与的长，又由坡度的定义，即可求得的长，继而求得平台的长． （2）首先设米，根据矩形的判定和性质，用x表示出的长，在中由三角函数的定义，即可求得x的值，进而得到的长． 【详解】（1）解：， ． 斜坡长，斜坡中点为， ． ． 新的斜坡的坡比为 ． 解得． ． 答∶ 平台的长是米． （2）解：设米， ，斜坡中点为， ． 则(米)． 如图，作于． ，， 四边形为矩形． ，． ， ． 在，，即 解得∶． 答∶ 建筑物高为米． 题型三十二 投影（共3小题） 89．（22-23九年级上·浙江金华·期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例．身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 ． 【答案】 【分析】根据同一时刻物体的高与影子的长成正比例，列出比例式，即可求解． 【详解】解：设这棵树的高为 ，依题意得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意列出比例式是解题的关键． 90．（25-26九年级上·河北保定·期中）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 【答案】（1）平行投影；（2）见解析；（3）的长为；（4）这棵树高 【分析】本题重点考查平行投影和相似三角形的实际应用，平行投影下，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，抽取题目关键信息，作出图形，并利用相似三角形的性质是解决本题的关键． （1）【数学思考】太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影， （2）【数学思考】过点作的平行线，并交直线于，即得到投影， （3）【数学思考】根据平行投影的特征，得到两个相似三角形和，并利用相似三角形对应边成比例，求得立柱的值， （4）【解决问题】此题需要先抽取题目信息，画图构造，作出的平行线，并利用其与相似，计算得到的值，进而求得古树的高度． 【详解】解：（1）太阳光线属于平行光线，形成平行投影． （2）作直线，过点作，交直线于， 如图所示，就是的投影． （3）太阳光线是平行的， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故立柱的长为． 答：立柱的长为． （4）如图，过点作交于点， 则，， ， 即， ， ． 答：这棵树高． 91．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． (1)求树的高度． (2)因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，已知，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可设，，通过勾股定理得到关于的方程，进行求解即可； （2）过点A作太阳光线于点D，根据树与光线垂直时，树影最长即可求解． 【详解】解：（1）在中，． 设，则． 由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）． 故树的高度约为． （2）当树与光线垂直时，树影最长， 过点A作太阳光线于点D，且， 如图．在中，． 故树影的最大长度为． 【点睛】此题考查了平行投影；通过作高线转化为直角三角形的问题，当树与光线垂直时，树影最长，是解题的关键． 题型三十三 画三视图（共3小题） 92．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图是一个机械零部件，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的三视图．根据俯视图是从几何体上面看得到的图形进行解答即可． 【详解】 解：从机械零部件上面看可知为机械零部件的俯视图， 故选：B 93．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，一种凹槽模具水平放置，其呈现的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据主视图是从前往后看，可得到主视图，正确得到几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：主视图是从前往后看，是一个凹字形状的图形， 故选：A． 94．（24-25九年级上·浙江金华·期末）图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（   ） 图①              图② A．主视图与俯视图 B．左视图与主视图 C．左视图与俯视图 D．左视图、主视图、俯视图均相同 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 由三视图可知，左视图与主视图相同， 故选：B． 题型三十四 点与圆的位置关系（共2小题） 95．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键．直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外． 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，， ∴点A与的位置关系是点A在圆内， 故选：B． 96．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 题型三十五 直线与圆的位置关系（共4小题） 97．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为1，圆心O到一条直线的距离为2，即， ∴与该直线相离， ∴这条直线可能是， 故选：A． 98．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ∴， ∴与的位置关系是相离， 故选：A． 99．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（　　） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系是解题的关键． 根据点坐标，求得点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，于是得到结论． 【详解】解：∵点坐标， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为， ∵以为圆心，个单位长度为半径作圆， ∴原点在外，与轴相切，与轴相交，故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 100．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．． 根据与直线相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案． 【详解】解：∵半径为4的与直线相离， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， 即； 故答案为：． 题型三十六 切线的性质与判定定理（共2小题） (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ， ∴是的切线； （2）解：连接． ∵为半径， ∴是的切线， ∴， ， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 102（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，平分，D是上任意一点，和相切于点E，连接． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点D作于点F，先由切线的性质得，则由角平分线的性质得，即可证得结论； （2）过E作于G，先由勾股定理求出，再由面积法求出，然后由勾股定理求出，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：连接，过点D作于点F，如图所示： ∵与相切于点E， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴与相切； （2）解：过E作于G，如图所示： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线． 101．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为圆O直径，，与圆O相切于点E，于点F，交于点G，若． (1)求的长度． (2)求的长度． (3)求的长度． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据切线的判定定理得到都是圆O的切线，根据切线长定理分别求出，进而求出结果即可； （2）证明，根据相似三角形的性质求出结果即可； （3）证明，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是切线长定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用切线长定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为圆O直径，， ∴都是圆O的切线， ∵与圆O相切于点E， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得： ； （3）解：过点D作于H， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得： ． 题型三十七 利用切线长定理求解（共2小题） 102．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，，是的切线，，为切点，为上的一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，延长交于点，先证明，由同圆的半径相等得，由平角的定义和三角形的内角和定理可得：，最后由平行线的判定可得结论； （2）延长交于点，过点作于，由垂径定理得： ，由勾股定理计算的长，设，则，，根据勾股定理列方程可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，延长交于点， ，是的切线，，为切点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图2，延长交于点，过点作于， ， ， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得： ， ，是的切线，，为切点， ， 设，则，， ，， ， ， ， ， 解得： ， ． 【点睛】本题考查的是切线长定理，垂径定理，勾股定理，四边形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 103．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 题型三十八 三角形内切圆与外接圆综合（共3小题） 103．（2021·浙江湖州·二模）（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．    【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】（1）当P在延长线上时，最大为：．当P在上时，最小为：． （2）①由沿将翻折得到，可知，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆，则当E、P、B三点共线时，小，此时进而即可求解；②由和是等腰直角三角形，可证，得，进而 ，当C、A、B三点共线时，最大，进而可求解； （3）以为边作，在的异侧作等边，为半圆O的直径，，由，由是等边三角形，可得，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，进而可求； 【详解】解：（1）当P在延长线上时最大，如图：        ∴最大为：． 当P在上时最小，如图：     ∴最小为：． 故答案为∶． （2）①如图：      ∵沿将翻折得到， ∴，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆， ∴当E、P、B三点共线时，小，此时， ∴的最小值为， 故答案为：． ②∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴， ∴当最大时，就最大， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当C、A、B三点共线时，最大，如图：    ∴此时． （3）以为边作，在的异侧作等边，      ∵为半圆O的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，而， ∴， 在中，， ∴， 当G、D、B三点共线时，BD最小，如图：    ∴最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及翻折变换，全等三角形的判定及性质，三角形两边之差小于第三边等知识，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，等边三角形及转化思想的应用，综合性较强． 104．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 题型三十九 圆的综合问题（共4小题） 105．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；； （2）根据题意证得，再证得即可得到结论； （3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）， ， （3）连接， ， ， ， ∴，设， 解得：      106（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，直径与弦交于点E，且． (1)求证：． (2)若是以为腰的等腰三角形，求． (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）连接并延长交于H点，利用垂径定理的推论得到垂直平分，则根据等腰三角形的性质得到平分，即，然后利用得到结论； （2）设，则，，根据圆周角定理得到，当时，；当时，，，然后列方程求出α即可； （3）利用垂径定理得到，则利用勾股定理可计算出，设⊙O的半径为r，则，，在中利用勾股定理得到，解得，所以，接着在中计算出，然后证明，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出的长． 【详解】（1）证明：连接并延长交于H点，如图， ， ， 垂直平分， 平分， 即， ， ， ； （2）解：设，则， ， 为直径， ， 当时，， ， 解得； 当时，， ， 解得， 综上所述，的度数为或； （3）解：， ， 在中， ， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ， 在中，， 在中，， 是的直径， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理推论，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等．掌握圆周角定理，垂径定理推论，能熟练利用相似三角形的判定及性质，勾股定理进行求解是解题的关键． 107．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，已知内接于，，延长交于E点，交于点F，D是劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点M，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接分别交和于点G和点H，若，且，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，由圆内接四边形的性质得，再根据等量代换即可解答； （2）先根据垂径定理得，由勾股定理得：， ，再证明，再运用相似三角形的性质求解即可； （3）如图3，连接，过点G作于K，设，先证明平分，由三角形的面积的比可得：，再化简并等量代换后即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：如图3，连接，过点G作于K， 设， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 设中边上的高为h， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，平分， 同理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、等腰三角形的判定和性质、圆周角的相关定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 108．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知是的直径，弦于点E，点M是线段延长线上的一点，连结交于点F，连结交于点G，连结，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在（2）的条件下，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)①；② 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及垂径定理，圆周角定理和相似三角形的性质和判定以及解直角三角形相关的内容，需要学生对这些知识点都熟悉的情况下进行综合分析思考解题． （1）利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可； （2）设，则，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得，，，利用直角三角形的边角关系定理和（1）的结论解答即可； （3）①过点G作于点H，由（1）的结论得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，则，利用已知条件得到m与x的关系，进而得到，的长度，利用已知条件化简即可得出结论； ②过点A作于点M，过点C作于点N，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用a的代数式表示出，，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径，弦于点E， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴设，则． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， 由（1）知：， ∴； （3）解：①过点G作于点H，如图， 则． 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ②过点A作于点K，过点C作于点N，如图， ∵E为的中点，， ∴垂直平分，， ∴， ， ∵是的直径，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．如图，某景点一古迹建筑的侧面是一个轴对称图形，对称轴为过建筑物顶端的铅垂线所在的直线．小亮在距建筑物墙角点米的处，测得建筑物顶端的仰角为，且（为锐角，且点、建筑物檐点、点在同一直线上）．在建筑物另一侧距建筑物墙角点米的处，测得建筑物檐点的仰角为．已知点，，，，在同一直线上，屋顶横梁． (1)求建筑物檐到地面的距离（即点或点到的距离）； (2)若米，求建筑物顶部支柱的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、锐角三角函数的应用，利用轴对称性转化线段与角度关系是解题的关键． （1）在上截取，根据对称性可知，，过点作，设米，则米，由得米，进而得米，由米得，即可得米； （2）根据对称性可得米，可得米，由得米，由平行线间距离得米，最后由即可得出． 【详解】（1）解：如图，在上截取，根据对称性可知，， 过点作，垂足为，设米，则米， 在中，，， ∴米， ∴米， 又∵米， ∴， ∴米， 即建筑物檐到地面的距离为米； （2）解： 根据对称性可得米， ∴米， 在中，，， ∴米， ∵，，， ∴米， ∴米． 2．成都东西城市轴线东段龙泉山一号隧道横穿龙泉山山脉，设计为双向8车道分离式城市山岭隧道，是四川省内建设难度极大、施工风险极高、工程经验极少的扁平特大断面高瓦斯软弱围岩隧道．为计算隧道长度，通过测量得到如下数据，如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，且，，求隧道的长度．（结果精确到1m；参考数据：，，，） 【答案】隧道的长度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，过点作于点，设，由题知，则，所以，即，解得，即，所以，最后通过即可求解，然后通过掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，由题知，则， ∴ 又∵， ∴，即， 解得， 即， 在中，， ∴ ， 故隧道的长度约为． 3．图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动． 图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，． (1)的长为 ． (2)求当与相切时，的长度． (3)据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？ 【答案】(1) (2) (3)电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可） 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系． （1）由题意得，，求出； （2）得到，由切线的性质定理得到，由勾股定理求出，又，得到． （3）电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可） 【详解】（1）解：由题意，， ， 故答案为：； （2）解： 与相切时， ， ， ， ； （3）解：电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可） 4．教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①是，18；② 【分析】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质和判定，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）设，则，，，列方程即可求解，进而可求相关线段的长； （2）①根据切线长定理即可证明结论；②由证明，即可求解． 【详解】(1)设，则，，． 由， 可得． 解得． ，，．     (2)①是．     与相切于点 P， ，． 的周长为 ．                  ②， ． 即 ， 解得 5．将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线． (1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为　　　　　　． (2)试说明：扇环的面积． (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)矩形长为，宽为． 【分析】（）设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为，然后根据弧长公式得，，从而求解； （）设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为，则，然后由弧长，，得，再代入即可求解； （）延长，交于点，连接，过点作于，交于，由（）知，从而可得和都为等边三角形，所以，然后通过勾股定理得，从而矩形长为，宽通过即可求解． 【详解】（1）解：设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为， ∴，， ∴，， 故答案为：； （2）解：设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为， 则：， ∵，， ∴， ∴， ∴扇环的面积 ； （3）解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由（）知：， ∵，， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形长：，宽：， 所以矩形长为，宽为． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，弧长公式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用及添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6．【问题探究】 （1）在中，，过点C作于点D． ①如图1，若，则的值为______； ②如图2，点F在的延长线上，连接并延长至点E，连接，当时，求证：； 【问题解决】 （2）为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3所示），，米，米，为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点D，建造一座景观桥，满足．在点A和点B处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点E在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①，②见解析；（2）小路的长为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）①由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，即可得证； ②同理可证，可得，同①证明，即可得证； （2）过作交的延长线于，过作交于，过作交于，可得在直线上运动，当时，取得最小值，此时与重合，由等腰三角形的判定及性质得，由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，同理可证，求出的长，即可求解． 【详解】（1）①解： ，， ， ， ， ， 故答案为：； ②证明： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ； （2）解：如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 米，， 米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：米， 是定值，且米是定值， 在直线上运动，且， 当时，取得最小值， 此时与重合， 米， 米， 故当仿古长廊最短时，小路的长度为米． 7．如图，四边形是的内接四边形，，连接与相交于点E． (1)求的度数． (2)当时，直接写出图中阴影部分图形的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差． （1）根据四边形是的内接四边形得到，结合已知条件得到，再根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可； （2）首先根据得到，从而得到 为直角，然后利用求解． 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ； ， ， ； （2）解：， ， ， ， 在中，，， ，又， ， ， ， ． 8．某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为______； (2)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)选择方案二，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：会选择方案二．理由如下： 方案二的树状图如图，共有9种等可能的结果，领到一份奖品的情况有4种， ∴领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 9．自《义务教育课程方案》和课程标准（2022版）发布以来，河南省各地区学校积极响应劳动教育课程改革，开展多种形式劳动教育．为便于劳动实践活动，某校要建一个如图所示的矩形菜园，其中一边靠墙，另外三边用总长为36米的篱笆围成．已知墙长25米．若设矩形菜园的边长为x米，矩形菜园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的矩形菜园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当时，满足条件的矩形菜园面积最大，最大面积为162平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）矩形菜园的边长为米，则边长为米，进而根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据墙长25米，进而得出自变量x的取值范围； （2）根据配方法化为顶点式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形菜园的边长为米， ∴边长为米， ∴， 自变量x的取值范围是； （2）解：， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当时，满足条件的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米． 10．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)①顶点的坐标为______；②当时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线的解析式为______． (3)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (4)如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，；③； (3)当时，取得最大值为，此时 (4) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）将二次函数解析式化成顶点式，然后再根据二次函数性质求解，求出点后利用待定系数法求解直线表达式； （3）设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （4）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解． 【详解】（1）解：由题意知，解得， ∴解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为； ∴抛物线的顶点坐标为：，二次函数开口向上，函数上离对称轴越远的点函数值越大， ∴当时，在时，函数取到最大值为：；在时，函数取到最小值为， ∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴，解得， ∴直线表达式为， 故答案为：，，，； （3）解：设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时； （4）解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴． $