微专题 三角函数综合应用大题10种题型（专项训练）数学人教A版2019必修第一册

微专题 三角函数综合应用大题 题型1 三角函数的化简与求值 1、 利用诱导公式处理角度，利用和差公式对角进行拆解或合并。 2、 齐次式的分式或者正余弦的二次式化成正切。 3、 降低次数：利用二倍角公式或降幂公式化简 4、 求值的时候要注意角的象限。 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是第三象限角，且满足. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：利用弦切互化求解；方法二：由题干条件结合平方关系求解； （2）根据平方关系化简即可求解. 【详解】（1）方法一：， 所以. 方法二：， 由为第三象限角，， 所以. （2）为第三象限角， . 2．（25-26高一上·重庆·月考）已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. (1)若点坐标是且，求的值； (2)若角满足 ①求的值； ②求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据三角函数的定义列方程求解的值即可； （2）①结合平方关系将已知等式平方可得，判断的符号，从而再平方可得的值；②由①中结论，列方程组解得的值，代入即可得所求. 【详解】（1）因为且，所以点在第一或第二象限， 又 ，所以在第一象限且， 由三角函数概念知：， 故实数的值为； （2）①因为角满足， 则， 所以， 又因为，则且， 所以， 由且，有， 所以， ②由①知：，则， 则. 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知． (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用诱导公式可求得，根据同角三角函数关系进行弦切互化，代入可求得结论. （2）利用同角三角函数关系及为第二象限角求出，利用诱导公式对所求式子进行化简，将代入即可得到答案. 【详解】（1）由，得． 故； （2）由（1）知，则， 解得或，又为第二象限角， 则，故， 所以． 4．（25-26高一上·天津武清·月考）已知，且为第三象限角． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式,结合象限角的三角函数符号，即可求解； （2）将第一问计算的结论直接代入计算即可； （3）先利用诱导公式化简，再将第一问结论代入即可求解． 【详解】（1）解：因为，且为第三象限角， 所以，解得 所以 （2）解：由（1）知， 所以 （3）解：根据诱导公式得： ， 故将代入求解得 题型2 求值域或最值 三角函数求值域的方法： 1、 利用诱导公式、三角恒等变换化简三角函数，若化简后是单一的三角函数，可以根据给定的定义域来求最值，注意最大值跟最小值是否在给定的区间内。 2、 若化简后的式子是关于三角函数的复合形式，则考虑需不需要换元来求最值，换元后要注意新的定义域。 3、 遇到与的时候，可以利用的关系进化互化，然后通过换元求最值 4、 遇到齐次式的分式可以化成正切求最值 1．（25-26高一上·山东淄博·月考）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称. (1)求的解析式. (2)求在上的单调递减区间. (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期和对称轴求解即可. （2）根据正弦函数的单调性求解计算即可. （3）根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以. 由于函数关于对称， 所以，解得 又，所以令，得. 所以. （2）由（1）知，. 当时，函数单调递减， 此时. 当时，；当时，； 所以在上的单调递减区间为. （3）由（1）知，. 因为，所以. 所以，所以. 所以在上的值域为. 2．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且. (1)求的解析式和对称中心. (2)当，时，求的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由周期性求出，再将代入求出可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质求对称中心即可； （2）利用正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】（1）因为的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，， 所以最小正周期，解得， 又，所以， 解得，， 由可得，所以， 令，解得，， 所以的对称中心为. （2）由（1）可得， 当时，，， 所以，即的值域为. 3．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知函数，. (1)求在区间内的单调递增区间； (2)当时，求的最大值及最小值. 【答案】(1)和； (2)最大值为， 最小值为. 【分析】（1）由求出，得到和时，为递增函数，解出的范围就是为递增区间； （2）由得到，利用正弦函数的图象得到的范围，继而得到的范围，从而得到所求. 【详解】（1），， 因时，为递增函数， 则当时，为递增函数； 又时，为递增函数， 则当时，为递增函数； 故在区间内的单调递增区间为和； （2），， ，， 即， 当时，即，是递减函数， 当时，即，是递增函数， 当时，即时，取得最小值为； 当时，即时，取得最大值为. 综上可知，当时，的最大值为，最小值为. 4．（25-26高一上·广东·月考）设函数 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间 (2)求函数的值域 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦函数的周期性求解最小正周期，由正弦函数的单调性求解单调区间即可； （2）先根据诱导公式及同角三角函数关系化简函数得，然后结合二次函数的性质，利用换元法求解函数值域即可. 【详解】（1）， 则的最小正周期； 当时，解得， 得的单调递增区间为. （2）， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且时，；时，；时，； 所以的值域为， 即函数的值域为. 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 题型3 根据值域或最值求参 1、 根据最值求参数，题目给出是否有最值或者有几个最值来讨论参数，通常根据最值个数等情况来讨论周期，然后根据周期来讨论参数。 2、讨论定义域或值域中的参数。根据函数的单调性讨论定义域或值域中最值的取得位置来求参数 1．（25-26高一上·北京平谷·月考）设函数，其中．已知的最小正周期为，且． (1)求的解析式及的对称轴； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据最小正周期求出，根据求出，即可得到的解析式，令即可求出的对称轴. （2）根据求得，结合正弦函数图象即可求出答案. 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，解得， 又因为，即，且， 所以， 所以的解析式为， 令，解得， 所以的对称轴为. （2）由（1）知， 当时，， 因为在区间上的值域为， 所以，解得， 所以的取值范围. 2．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知，函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和. (1)求函数的表达式及的值； (2)已知，若函数，的值域为，求，的值. 【答案】(1)，. (2)，或，. 【分析】（1）由函数图象的最高和最低点可得、，进而.将点代入函数可得或，分别验证即可； （2）利用三角函数的有界性求得，根据换元法（），将原函数变形为，，分类讨论的单调性，根据一次函数的图象与性质和值域建立关于的方程组，解之即可. 【详解】（1）因为该函数在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和， 所以，周期满足，解得. 由函数的图象与轴的交点为， 可得，即. 又，解得或. 当时，. 由，即，得， 当时，，即. 当时，. 此时函数图象在轴右侧第一个最低点的坐标为，第一个最高点坐标是，不合题意. 综上，，. （2）当时，， 所以，即. 令，则原函数变形为，. 当时，函数不合题意，舍去. 当时，函数在上为严格增函数，原函数值域为， 即解得，； 当时，函数在上为严格减函数，原函数值域为， 即解得，. 综上，，或，. 3．（24-25高三上·河北·月考）已知，若，，且. (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数的对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【分析】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后根据正弦函数的对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【详解】（1）由题意得函数的最小正周期. 所以，所以. 令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数的对称中心为. （2）令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. （3）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 4．（25-26高三上·辽宁·月考）已知点是函数图象上两个相邻的对称中心. (1)求； (2)若函数在区间上的值域为，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦型函数的性质、余弦函数的周期公式求出. （2）由（1）求出，利用余弦型函数的性质，结合给定的值域求出值. 【详解】（1）依题意，函数的最小正周期， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 由函数在上的值域为，得函数在上的值域为， 而，且函数在上单调递增，则， 且在上的值域为， 因此，且，则， 所以. 5．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在区间上的值域是，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据即可求出； （2）令即可求出； （3）先求出，再结合函数图象可得. 【详解】（1） ， 因函数图象的一个对称中心为，则， 则，即， 因，则当时，. （2）由（1）可知，， 令，得， 故的单调递增区间为； （3），则， 因，结合函数图象可知， 欲使在区间上的值域是， 则，即， 故的取值范围为. 题型4 零点问题 1、 零点的个数问题可以转化为根的个数问题。 函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点 2、 对三角函数而言，在给定的区间内讨论零点个数问题，就要了解三角函数零点的位置。 1．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，若函数的最小正周期为，且函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式可得，结合，可求值域； （2）化简得，利用周期求得，根据因为在上恰有2个零点，可得，化简可求实数的取值范围. 【详解】（1）若， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以函数的值域； （2）， 又因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以． 所以 因为 所以； 因为在上恰有2个零点， 所以； 所以，即. 2．（25-26高三上·福建·月考）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用二倍角公式与和差倍角的正弦公式化简，然后化简，结合二次函数的性质判断单调性，进而求出值域. （2）先求出正弦函数的零点，然后列出原点周围的零点，进而根据零点个数列出不等式，最后求出解集即可. 【详解】（1）函数． 所以. 因为，所以，所以.令， 根据二次函数的性质，在上单调递减，所以. 因为，. 所以在区间上的值域为. （2）令，则，所以. 列出零点为， 因为函数在区间上有4个零点， 所以，解得. 所以的取值范围为. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，若函数存在零点，求实数的取值范围，并讨论零点个数． 【答案】，零点个数见解析 【分析】令，则，，考虑，，，结合根的情况，得到函数的零点个数，得到答案. 【详解】令，由，有，则， ， 当时，，此时无解，函数不存在零点， 当时，，此时的解为， 此时，又，所以，故有两个零点， 当时，，此时的两解为， 若，， 此时，，有两个零点，，，有两个零点， 共四个零点； 若，则或1， ，，有两个零点，分别为； ，，有1个零点，为， 故共有3个零点； 若，，， 此时，，有1个零点，，，有0个零点， 故当时，有一个零点； 当时，，， 此时，，有0个零点，，，有0个零点， 综上，函数存在零点时，， 且当时，有四个零点，当时，有两个零点， 当时，有三个零点，当时，有一个零点． 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象在区间内恰有两个最高点和一个最低点． (1)求的最小值； (2)当取最小时，若函数的图象与的图象关于轴对称，求函数在区间的零点个数． 【答案】(1)10 (2)2 【分析】（1）因为函数的图象在区间内恰有两个最高点和一个最低点，由此可列出关于的不等式即可求解； （2）根据题意求得，然后由整体代入法求得零点表达式，结合区间即可求解零点个数. 【详解】（1）当时，， 因为函数的图象在区间内恰有两个最高点和一个最低点， 所以，解得， 因为，故的最小值为10． （2）由（1）可得的最小值为10，则， 因为函数的图象与的图象关于轴对称，所以． 令，解得， 通过赋值可得当时，对应的在区间内，其余均不符合题意，故函数在区间的零点个数为2． 题型5 恒成立问题 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有对恒成立问题而言，需要大于最大值，或小于最小值，问题转到求函数的最值问题。 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）; (2)若对恒成立，求的最大值； (3)设函数，若，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增 (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数定义可求的值，利用单调性法则可判定单调性； （2）利用奇函数的性质与单调性的性质可把不等式转化为恒成立，然后分离变量，利用三角函数求函数的最值可得答案； （3）把问题转化为，然后换元，分别求两个函数的最值即可. 【详解】（1）因为为上的奇函数， 所以，即 ， 由于 ，故 ， 此时 易知 在 上递增，可得 在 上递减，故 在 上递增. （2）由 为 上的奇函数且递增，原不等式化为： 因此 设 ，当 时， 故 ，当 时取得. 由 恒成立，得 ，所以 的最大值为 . （3）化简 ： 令 ，由 得 ，则 此二次函数开口向下，在 处取最大值，最小值在端点 或 处，计算得： 故 ； 而 在 上递增，最大值为 ， 条件 使 成立，等价于 ， 即： 因此实数 的取值范围是 . 2．（25-26高三上·河南南阳·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移得到的解析式，再用整体法求对称中心的坐标； （2）根据，得到，则即可求解； （3）设，则，则在上恒成立，再由二次函数最值可知等价于，再解不等式即可． 【详解】（1）由题意可得， 令，解得， 则曲线的对称中心的坐标是； （2）因为，所以， 则， 故在上的值域为； （3）由（1）知，设，则， 所以关于的不等式， 对恒成立等价于关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 因为在上单调递增，又，， 所以的取值范围是． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，其图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为． (1)若，求在上的最大值； (2)若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)． 【分析】（1）先根据已知条件确定周期，进而确定，进而确定函数的解析式，根据余弦函数的单调性确定最大值. （2）根据余弦函数的单调性，列出不等式，然后解不等式进而求出的范围. 【详解】（1）由题意，知的最小正周期，则， 又，所以． 因为，所以， 所以在上单调递增，最大值为． （2）当时，， 因为，所以， 所以函数在上先单调递增，再单调递减. 若对恒成立， 则，即， 即，又， 所以解得， 故的取值范围为． 4．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知函数. (1)求图象的对称中心的坐标， (2)求在上的值域， (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开，再由辅助角公式得到，再由整体代入法即可求解； （2）由，得到，再结合正弦函数的性质即可求解； （3）令，问题转换成对任意的，不等式恒成立，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1） ， 令， 解得：， 所以图象的对称中心的坐标为； （2）因为，所以， 当，即时，取得最大值，； 当，即时，取得最小值，； 所以在上的值域是 （3）设， 则对任意的，不等式恒成立，等价于： 对任意的，不等式恒成立， 所以， 解得：， 即的取值范围是. 5．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数 (1)求的单调区间； (2)若，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，；单调递减区间为，. (2) 【分析】（1）结合正弦函数的单调性，利用整体代换思想即可求出单调区间. （2）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）. 根据正弦函数的单调性， 单调递增区间：令，， 则，； 单调递减区间：令，， 则，. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，. （2）令，则， 已知，恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立. ， 当且仅当，即时，等号成立. 即. 因此，的取值范围为. 题型6 存在性问题 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有存在性问题而言，需要小于最大值，或大于最小值，问题转到求函数的最值问题。 1．（25-26高一上·宁夏·月考）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图可知，进而根据周期公式即可求得，进而得解析式方程； （2）结合（1）知，进而结合诱导公式计算即可； （3）结合诱导公式得，进而求得，再根据题意将问题转化为，解不等式得即可得答案. 【详解】（1）由于，即，则， 所以 （2）由，知 所以 （3） 因为，所以 从而，即 因为存在，使得不等式成立， 所以，即， 所以 因为，所以，解得 实数的取值范围为. 2．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)求图象的对称轴和单调递增区间； (2)当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)对称轴方程为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）化简，参变分离，因为不等式有解，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意，得函数， 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由题意得时，关于x的不等式有解， 即不等式有解， 而此时，即有解，只需要即可， ，， 令，则在上单调递减， 所以当时，，即，所以. 3．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的一条对称轴是． (1)求的值； (2)已知函数（均为实数），对于，使得，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）化简函数，根据题意和函数周期可知是的一个对称中心，代入可求的值； （2）先利用三角函数的性质求得的值域为，则由题意可知的值域是集合的子集，分的情况进行证明. 【详解】（1）， 由于最小正周期， 故是的一个对称中心． ，即，也就是， 则． （2）由（1）得， 当时，， 则所以的值域为， 因为，使得， 所以的值域是集合的子集， 当时，，所以，可得， 当时，，所以，此时符合题意， 当时，，所以，可得， 综上所述可证：． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)，或 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简得到，根据的取值范围和条件即可求出的值，进而得到函数的解析式，然后利用整体法求得函数单调性； （2）根据图象的伸缩变换和平移变换求得的解析式，令函数，根据不等式的能成立问题可知，令，换元后得到，根据的取值范围，即可求得的最小值，最后解不等式即可求得答案. 【详解】（1）， 因为，有，所以当时，取得最值，所以，，即，， 又，所以，所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为. （2）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到函数的图象，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象； 令，， 因为，，所以； 令，则，可得，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，； 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 5．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 【答案】(1) (2)最小正周期为，最小值为，取最小值时x的取值集合为. (3) 【分析】（1）根据方程进行求解，结合三角函数的取值范围确定角度； （2）根据正弦函数的图象性质求解即得； （3）将存在性不等式问题转化为函数最值问题，求出函数最值，进而求出m的取值集合. 【详解】（1）由题意知，所以， 所以或，， 解得或，， 又，所以. （2）最小正周期. 由可得，当时，函数取得最小值， 此时，，即，. 故函数的最小值为，且取最小值时x的取值集合为. （3），使不等式能成立，即（）. 因为，所以，因函数在上单调递减， 故，即， 则的最大值为. 因此，解得. 所以实数m的取值集合为. 题型7 根据根的个数求参 求参问题有两种解决方法 1、 参变分离：先分离参数，然后确定然后根据解的个数或者零点个数，以及函数的值域来决定参数的值。 2、 交点个数：直接带参讨论函数图像（如参数跟斜率相关），根据交点个数来决定图像走势，从而决定参数范围。 1．20．（2025高一上·吉林长春·专题练习）已知函数，，（）． (1)若对任意的，总存在，使成立，求实数A的取值范围． (2)求a取何值时，方程在上有两解？ 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设在上的值域为，在上的值域为，则，求出，分和两种情况，得到，从而得到不等式，求出答案； （2）变形得到在上有两解，换元，问题转化为在上解的情况，令，分和和三种情况，得到不等式，求出或. 【详解】（1）设在上的值域为，在上的值域为， 由题意得， 其中，故在上单调递增， ，，故； ，故， 当时，，故， 因为，所以， 当时，，故，显然不满足， 综上，； （2），即， 故在上有两解， 令，问题转化为在上解的情况， 令， 当上只有1个解或相等解时，有两解， 需满足或，即或， 解得或， 当时，有唯一解，不合要求；当时，有唯一解，不合要求； 综上，或 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 . (2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意判断函数最小正周期，以及函数上的点的坐标，求出参数，写出函数解析式即可. （2）根据函数单调性，列出不等式，求出解得范围即可. （3）根据函数单调性，求出在给定区间上的值域，进而判断参数的范围. 【详解】（1）当恒成立，此时最小值为，可知最小正周期，所以， 则过点，代入得， 化简得，即，解得， 因为，所以，可得； （2）当时，可得， 解得， 因为，所以当时，得，当时，得， 所以的范围为. （3）当时，， 设， 可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可知， 当在上有两个不相等实数根时. 3．（25-26高三上·天津河西·月考）已知函数 (1)求的最小正周期; (2)求的单调递增区间； (3)若方程上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）（2）先把函数化成的形式，再求函数的周期与单调增区间. （3）问题转化成在一定范围内有两解，利用数形结合的方法，求的取值范围. 【详解】（1）依题意函数 ， 所以的最小正周期. （2）由（1）可得，， 得，， 所以的单调递增区间为. （3）由，得， 作出函数，的图象， 由图知，当时，方程在上有两个不同的实根， 所以实数的取值范围是. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值域； (3)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的奇偶性的性质可得，或者利用偶函数的性质，求解，即可利用整体法求解， （2）利用整体法结合条件即可求解， （3）作出函数图象，数形结合即可求解. 【详解】（1）方法一  因为函数为偶函数， 所以，，， 又，所以．故， 令，解得， 即图象的对称轴方程为， 方法二  函数为偶函数， 则，即，所以， 又，所以，经检验，符合题意． （2）当时，，所以， 所以，所以的值域为． （3）画出函数在上的图象与直线 当时，函数的图象与直线有2个交点，作图如下： 由图可知，故m的取值范围为． 题型8 求多个根的和 在三角函数的根的问题中，需要找其根的对称问题。其可能关于三角函数的某个对称轴对称。 1．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数部分图象如图所示． (1)求函数的解析式． (2)设函数在区间上有两个不同的零点， ①求的取值范围； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由函数图象可得最值、最小正周期，再利用特殊点结合正弦函数的图象和性质求解析式即可； （2）①画出在区间上的图象，将零点问题转化为的图象与的图象在区间上有两个交点，进而求出的取值范围即可；②利用正弦函数的对称性求出代入即可求解. 【详解】（1）根据函数图象可得，，即， 所以，解得，所以， 又，所以，，解得， 因为，所以， 所以. （2）①当时，，的图象如图所示， 函数在区间上有两个不同的零点， 则的图象与的图象在区间上有两个交点， 由函数图象可得. ②因为，令解得， 所以根据正弦函数的对称性可得， 所以. 2．（25-26高一上·福建龙岩·月考）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，求的值域. (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)运用二倍角公式和辅助角公式对原式化简整理，结合正弦函数的单调增区间求解； (2)通过的范围得到的范围，再求值域； (3)先求出的解析式，再解的方程，最后符合要求的根并求和即可. 【详解】（1）因为， 原式， 令， 解得， 即的单调递增区间为. （2）因为，则， 所以， 即，故的值域为. （3）由题意可知， 令， 则或， 解得或， 满足内的根有，当时，符合， 符合， 即所有符合的根之和为. 3．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间； (3)若关于的方程在上有两个不同的实根，，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简. （2）利用结论直接解不等式组得出函数的单调递减区间. （3）结合三角函数的对称性，讨论的取值范围，得出的取值范围. 【详解】（1） ， 所以最小正周期. （2）令， 解得， 所以单调递减区间为. （3）已知，则. 令，则，函数可记为. 则在有两个不同解，，其中，. 此时，则，即，所以，，. 所以， 又因为，且，可得， 所以， 所以的取值范围是. 4．（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及对称轴； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【答案】(1)，对称轴为 (2) (3)， 【分析】（1）先由相邻对称轴距离得周期，求出；再利用奇函数性质求出，得到解析式；最后令正弦函数取最值，求出对称轴. （2）通过平移、伸缩变换得到的解析式，结合的范围确定内层函数的范围，进而求出的值域. （3）将方程转化为正弦方程，结合的范围确定根的个数；再利用正弦函数的对称性，求出各根之和的表达式并计算结果. 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以，可得． 又由函数为奇函数，可得， 所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的对称轴为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象， 如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中，， ，， 即，， ，， 解得：，，，， 所以． 题型9 解不等式 1、对解不等式问题，先令其不等号为等号，先解方程，求其交点。 2、对三角函数而言，其是周期性函数，所以解集要考虑周期性。 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心为， (2) (3) 【分析】（1）利用整体法即可求解对称，由周期的公式求解最小正周期， （2）利用整体法，即可求解， （3）将问题转化为，即可利用整体法求解. 【详解】（1）的最小正周期为， 令，解得，故对称轴方程为， 令，解得，故对称中心为， （2），则，故， 因此，故值域为 （3）由可得，继而， 所以，解得， 故时，. 2．（25-26高三上·山东·月考）已知函数，，且对任意实数，当时，的最小值为. (1)求； (2)若，求的单调区间； (3)若，求x的取值范围. 【答案】(1)； (2)单调递增区间是，单调递减区间是； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数的图象性质求出即得. （2）求出指定区间上相位的范围，再利用正弦函数的单调性求出单调区间. （3）利用正弦函数图象性质解不等式即可. 【详解】（1）依题意，，而，则，， 由对任意实数，，得，则， 解得，所以. （2）由，得，由或， 得或，则函数在上单调递增； 由，得，则函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（1）知，则， 解得，整理得， 所以x的取值范围是. 3．（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，. (2)，，，． (3)． 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性； （2）利用整体代入法可得值域，即可得解； （3）根据三角函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）由题意， 又函数的最小正周期为，则，，所以， 即， 当，即，时，单调递减， 的单调递减区间是，； （2），则，故， ，此时，即， ，此时，即； （3）由已知，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象过点，结合，可得，再利用正切型函数的单调性代入求解即可； （2）根据正切型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）∵的图象过点， ∴，∵，∴，∴． 令，得， 即． ∴函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． ∴不等式的解集为. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的最小正周期为． (1)求函数图象的对称中心； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周期得到，再利用整体代换法求对称中心就可； （2）利用正切函数的性质解不等式即可. 【详解】（1），故，解得， 故． 由，得， 所以函数图象的对称中心为 （2），即，故， 则， 解得． 题型10 三角函数的应用 四大常见类型 1. 几何高度/距离：已知两观测点角度，用tan列高方程，辅助线构造直角三角形 2. 旋转/周期性运动：如摩天轮、弹簧振动，设，：振幅，：角速度，：中心位置 3. 航海/方位角：画方向图，用 正弦/余弦定理 解三角形，注意：方向角以正北为0°顺时针计 4. 面积/长度最值：将目标量表为的函数，用有界性（|sin|≤1）求最值 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 【答案】(1)； (2)4分钟． 【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式； （2）解不等式后可得． 【详解】（1）中心点距地面40m，则，摩天轮的半径为30m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； （2），， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有4分钟的时间距离地面超过55m． 2．（25-26高一上·福建龙岩·月考）某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中． （图1改造前） （图2改造后） (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ （参考数据：，则，） 【答案】(1)， (2)， (3)59个 【分析】（1）利用三角函数的余弦、正弦定义，结合停车位的边长，计算和的长度. （2）根据图形中的线段长度关系，结合三角函数表达式，推导关于的函数关系式. （3）由求出对应的三角函数值，再根据停车位的排列线段关系计算改造后的数量，进而求增加的停车位个数. 【详解】（1）注意到，又， 则. 则， 又，则，； （2）由图可得：， 又由（1），则， 即，. （3）由（2）得：, 则， 则， 化简得：，解得或. 因，则，故，. 设改造后停车位数量最大值为．如图，过停车位顶点作射线垂线，垂足为. 则顶点到线段距离为： 又由图及题意可得：，， 则， 注意到，则. ，则. 则，，又. 则，令, 即，得， 即改造后最大停车位数量为159，则改造后的停车位比改造前增加59个． 3．（25-26高一上·浙江金华·月考）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【答案】(1) (2)，4秒 【分析】（1）根据任意角定义可得，再由三角函数定义计算可得； （2）由水轮旋转速度求出其角速度，再由三角函数定义求出表达式，解方程可求出相应时间. 【详解】（1）由，得， ， ， 又由，则， 故. （2）水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得， 可知秒后点， 则点到水面的高度为， 当第一次到达最高点时，即时，， 即可得 故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒. 4．（25-26高三上·上海·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)求这块铁皮的可用部分的面积； (2)求关于的函数表达式； (3)当时，求的最值，并求出当取得最值时，所对应的的值. 【答案】(1) (2) (3)最小值是，或 【分析】（1）根据题意，利用矩形和圆的面积公式，即可求解； （2）过作，垂足为，得到，结合矩形的面积公式，即可求解； （3）由（2）知，化简得到，结合三角函数的基本关系式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，矩形的面积为，阴影部分的面积为， 所以可用部分的面积为 （2）解：过作，垂足为， 由，且圆的半径为，可得， 所以， 所以矩形的面积. （3）解：由（2）知：矩形的面积， 故 ， 因为， 又因为，可得，所以， 则当时，矩形的面积取得最小值，即， 此时，所以， 解得或 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 5．（25-26高一上·浙江宁波·月考）近期某高中将迎来建校100周年庆祝活动，为了迎接即将到来的校友们，学校计划对原有的校友活动中心进行改造，如图所示，原校友活动中心是以为半径的扇形区域，旁边是一个矩形花园，可利用部分是扇形区域和花园周边.其中，点在上，，，米，米，米. (1)现将花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，求矩形花园的面积的最小值； (2)在可利用区域中，设置一块矩形作为休息室，求休息室面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据锐角三角函数定义，结合矩形面积公式、基本不等式进行求解即可； （2）根据锐角三角函数定义、辅助角公式，结合矩形面积公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可 【详解】（1）令，由矩形的性质可得，，， 在直角三角形中，， 因为在射线上，且， 所以 在直角三角形中，， 设矩形花园的面积为， ， 因为， 所以， 即， 当且仅当时取等号，即当时取等号，显然， 所以当时，矩形花园的面积有最小值； （2）连接，设， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中， ， 所以矩形的面积为 ， 当时，矩形的面积有最大值， 即当时，矩形的面积有最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 三角函数综合应用大题 题型1 三角函数的化简与求值 1、 利用诱导公式处理角度，利用和差公式对角进行拆解或合并。 2、 齐次式的分式或者正余弦的二次式化成正切。 3、 降低次数：利用二倍角公式或降幂公式化简 4、 求值的时候要注意角的象限。 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是第三象限角，且满足. (1)求的值； (2)求的值. 2．（25-26高一上·重庆·月考）已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. (1)若点坐标是且，求的值； (2)若角满足 ①求的值； ②求的值. 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知． (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值． 4．（25-26高一上·天津武清·月考）已知，且为第三象限角． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型2 求值域或最值 三角函数求值域的方法： 1、 利用诱导公式、三角恒等变换化简三角函数，若化简后是单一的三角函数，可以根据给定的定义域来求最值，注意最大值跟最小值是否在给定的区间内。 2、 若化简后的式子是关于三角函数的复合形式，则考虑需不需要换元来求最值，换元后要注意新的定义域。 3、 遇到与的时候，可以利用的关系进化互化，然后通过换元求最值 4、 遇到齐次式的分式可以化成正切求最值 1．（25-26高一上·山东淄博·月考）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称. (1)求的解析式. (2)求在上的单调递减区间. (3)求在上的值域. 2．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且. (1)求的解析式和对称中心. (2)当，时，求的值域. 3．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知函数，. (1)求在区间内的单调递增区间； (2)当时，求的最大值及最小值. 4．（25-26高一上·广东·月考）设函数 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间 (2)求函数的值域 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 题型3 根据值域或最值求参 1、 根据最值求参数，题目给出是否有最值或者有几个最值来讨论参数，通常根据最值个数等情况来讨论周期，然后根据周期来讨论参数。 2、讨论定义域或值域中的参数。根据函数的单调性讨论定义域或值域中最值的取得位置来求参数 1．（25-26高一上·北京平谷·月考）设函数，其中．已知的最小正周期为，且． (1)求的解析式及的对称轴； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围 2．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知，函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和. (1)求函数的表达式及的值； (2)已知，若函数，的值域为，求，的值. 3．（24-25高三上·河北·月考）已知，若，，且. (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数的取值范围. 4．（25-26高三上·辽宁·月考）已知点是函数图象上两个相邻的对称中心. (1)求； (2)若函数在区间上的值域为，求的值. 5．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在区间上的值域是，求m的取值范围. 题型4 零点问题 1、 零点的个数问题可以转化为根的个数问题。 函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点 2、 对三角函数而言，在给定的区间内讨论零点个数问题，就要了解三角函数零点的位置。 1．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，若函数的最小正周期为，且函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 2．（25-26高三上·福建·月考）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，若函数存在零点，求实数的取值范围，并讨论零点个数． 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象在区间内恰有两个最高点和一个最低点． (1)求的最小值； (2)当取最小时，若函数的图象与的图象关于轴对称，求函数在区间的零点个数． 题型5 恒成立问题 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有对恒成立问题而言，需要大于最大值，或小于最小值，问题转到求函数的最值问题。 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）; (2)若对恒成立，求的最大值； (3)设函数，若，，使得成立，求实数的取值范围. 2．（25-26高三上·河南南阳·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，其图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为． (1)若，求在上的最大值； (2)若对恒成立，求的取值范围． 4．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知函数. (1)求图象的对称中心的坐标， (2)求在上的值域， (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 5．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数 (1)求的单调区间； (2)若，都有恒成立，求的取值范围. 题型6 存在性问题 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有存在性问题而言，需要小于最大值，或大于最小值，问题转到求函数的最值问题。 1．（25-26高一上·宁夏·月考）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 2．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)求图象的对称轴和单调递增区间； (2)当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围. 3．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的一条对称轴是． (1)求的值； (2)已知函数（均为实数），对于，使得，证明：． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 题型7 根据根的个数求参 求参问题有两种解决方法 1、 参变分离：先分离参数，然后确定然后根据解的个数或者零点个数，以及函数的值域来决定参数的值。 2、 交点个数：直接带参讨论函数图像（如参数跟斜率相关），根据交点个数来决定图像走势，从而决定参数范围。 1．20．（2025高一上·吉林长春·专题练习）已知函数，，（）． (1)若对任意的，总存在，使成立，求实数A的取值范围． (2)求a取何值时，方程在上有两解？ 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 . (2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 3．（25-26高三上·天津河西·月考）已知函数 (1)求的最小正周期; (2)求的单调递增区间； (3)若方程上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值域； (3)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 题型8 求多个根的和 在三角函数的根的问题中，需要找其根的对称问题。其可能关于三角函数的某个对称轴对称。 1．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数部分图象如图所示． (1)求函数的解析式． (2)设函数在区间上有两个不同的零点， ①求的取值范围； ②求的值． 2．（25-26高一上·福建龙岩·月考）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，求的值域. (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位的图象，求方程在区间上所有根之和. 3．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间； (3)若关于的方程在上有两个不同的实根，，且，求的取值范围. 4．（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及对称轴； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 题型9 解不等式 1、对解不等式问题，先令其不等号为等号，先解方程，求其交点。 2、对三角函数而言，其是周期性函数，所以解集要考虑周期性。 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 2．（25-26高三上·山东·月考）已知函数，，且对任意实数，当时，的最小值为. (1)求； (2)若，求的单调区间； (3)若，求x的取值范围. 3．（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的最小正周期为． (1)求函数图象的对称中心； (2)解不等式：． 题型10 三角函数的应用 四大常见类型 1. 几何高度/距离：已知两观测点角度，用tan列高方程，辅助线构造直角三角形 2. 旋转/周期性运动：如摩天轮、弹簧振动，设，：振幅，：角速度，：中心位置 3. 航海/方位角：画方向图，用 正弦/余弦定理 解三角形，注意：方向角以正北为0°顺时针计 4. 面积/长度最值：将目标量表为的函数，用有界性（|sin|≤1）求最值 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 2．（25-26高一上·福建龙岩·月考）某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中． （图1改造前） （图2改造后） (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ （参考数据：，则，） 3．（25-26高一上·浙江金华·月考）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 4．（25-26高三上·上海·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)求这块铁皮的可用部分的面积； (2)求关于的函数表达式； (3)当时，求的最值，并求出当取得最值时，所对应的的值. 5．（25-26高一上·浙江宁波·月考）近期某高中将迎来建校100周年庆祝活动，为了迎接即将到来的校友们，学校计划对原有的校友活动中心进行改造，如图所示，原校友活动中心是以为半径的扇形区域，旁边是一个矩形花园，可利用部分是扇形区域和花园周边.其中，点在上，，，米，米，米. (1)现将花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，求矩形花园的面积的最小值； (2)在可利用区域中，设置一块矩形作为休息室，求休息室面积的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $