专题06 期末真题百练通关（160题33大常考题型）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题06 期末真题百练通关（160题33大常考题型） 一．元素、集合与空集 二．交、并、补及其运算 三．充分条件、必要条件和充要条件的判断与应用 四．命题的真假判断与应用 五．等式与不等式的性质 六．基本不等式及其应用 七．运用基本不等式求最值 八．分式不等式的解法 九．一元二次不等式及其应用 十．一元二次方程的根的分布与系数的关系 十一．反证法 十二．绝对值不等式的解法 十三．有理数指数幂及根式 十四．对数的运算性质 十五．幂函数的概念 十六．幂函数的图象与性质 十七．指数函数的值域 十八．指数函数的图象与性质 十九．对数函数的图象与性质 二十．对数型复合函数的定义域、单调性 二十一．函数的概念 二十二．函数的图象与图象的变换 二十三．函数的定义域及其求法 二十四．函数的值域与最值 二十五．函数的单调性 二十六．函数的奇偶性 二十七．奇偶性与单调性的综合 二十八．奇偶性与单调性的综合 二十九．求函数的零点 三十．函数的零点与方程根的关系 三十一．二分法 三十二．分段函数的应用 三十三．根据实际问题选择函数类型 一．元素、集合与空集 1．（24-25高一上•徐汇区期末）设是实数，集合，，若，则 　 　 ． 【分析】由已知结合元素与集合关系及集合元素的互异性即可求解． 【解答】解：因为集合，，若， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题． 2．（24-25高一上•浦东新区期末）已知集合，，，其中．若存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　 　． 【答案】． 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可． 【解答】解：因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，，，则，，， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，属于中档题． 3．（24-25高一上•浦东新区期末）集合，的子集个数为 　 　． 【分析】集合，2，的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 【解答】解：集合，的子集有，，，，共4个． 故答案为4． 【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合的子集问题一般来说，若中有个元素，则集合的子集共有个． 4．（24-25高一上•金山区校级期末）若集合，则实数的取值范围是， ． 【分析】当集合为空集时，关于的方程无解． 【解答】解：由题意知，△或． 解得． 即实数的取值范围是，． 故答案是：，． 【点评】此题考查了空集的定义、性质及运算，利用△或求出实数的取值范围是解题的关键． 二．交、并、补及其运算 5．（24-25高一上•嘉定区期末）设全集，，，，，集合，，，集合，，则　 　 ． 【分析】先由集合并集的定义求出，然后由补集的定义求解即可． 【解答】解：因为集，，，，，集合，，，集合，， 所以，，，， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集以及补集的求解，解题的关键是掌握并集和补集的定义，属于基础题． 6．（24-25高一上•普陀区校级期末）若集合，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出两个集合，然后求交集即可． 【解答】解：集合表示函数的值域，为，即； 集合表示函数的定义域，，解得且，即． 所以， 故选：． 【点评】此题考查了指数函数，对数函数，考查了集合的交集运算，属于基础题． 7．（24-25高一上•金山区校级期末）设集合，集合，．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求解一元二次不等式化简集合，，然后分析集合的左端点的大致位置，结合中恰含有一个整数得集合的右端点的范围，列出无理不等式组后进行求解． 【解答】解：由，得：或． 由，得：． 所以，或，，． 因为，所以，则且小于0． 由中恰含有一个整数，所以． 即，也就是． 解①得：，解②得：． 所以，满足中恰含有一个整数的实数的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想，训练了无理不等式的解法，求解无理不等式是该题的一个难点．此题属中档题． 8．（24-25高一上•宝山区校级期末）设集合，1，2，3，，，则 　 　． 【答案】，． 【分析】结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合，1，2，3，，， 则，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 9．（24-25高一上•黄浦区校级期末）集合，，则 　 　． 【分析】进行交集的运算即可． 【解答】解：因为，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了交集的运算，是基础题． 10．（24-25高一上•宝山区校级期末）设全集，，，4，6，，则　 　． 【分析】先求出全集，再结合补集的定义，即可求解． 【解答】解：全集，，1，2，3，4，5，6，， 则，4，6，， 故，1，3，． 故答案为：，1，3，． 【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题． 11．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知全集，，集合，则　 　． 【分析】根据全集和集合的范围，由补集概念直接得出结论． 【解答】解：因为全集，，集合， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查集合的补集运算，属基础题． 12．（24-25高一上•上海校级期末）已知全集，0，，，，则 　 　． 【答案】． 【分析】根据集合的补集定义计算即可． 【解答】解：全集，0，， ，， 集合列举法表示集合，， 由补集定义得． 故答案为：． 【点评】本题考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13．（24-25高一上•青浦区期末）已知全集，2，3，，，，则 　 　． 【答案】，． 【分析】根据补集的定义直接求解． 【解答】解：由题全集，2，3，，，， 所以． 故答案为：，． 【点评】本题考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 三．充分条件、必要条件和充要条件的判断与应用 14．（24-25高一上•浦东新区校级期末）设，，则“”是“且”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】 【分析】举出反例检验充分性，结合不等式性质判断必要性即可． 【解答】解：当，时，，但不满足，，充分性不成立； 当，时，一定成立，即必要性成立． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 15．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知为定义在上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】 【分析】由函数奇偶性的性质及充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：为定义在上的函数，又存在，使得， 所以，所以函数为非奇非偶函数，则必要性成立； 若为非奇非偶函数，对，均有，充分性不成立．所以“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质以及充分必要条件的定义，考查逻辑推理能力，属于基础题． 16．（24-25高一上•黄浦区校级期末）“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】设函数，根据函数的单调性判断即可． 【解答】解：设函数，因为和是上的增函数， 所以函数是上是增函数， 又因为，所以， 所以“”是“”的充分条件， 若，函数是上是增函数， 因为（a）（b），所以，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分必要条件． 故选：． 【点评】本题考查充要条件的判断，属于基础题． 17．（24-25高一上•上海校级期末）已知，都是正数，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】 【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案． 【解答】解：由题意可知当时，可取，，显然不能推出； 当时，且，，所以，即，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 18．（24-25高一上•浦东新区期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围． 【解答】解：因为，，且是的充分不必要条件， 所以，所以实数的取值范围是：． 故选：． 【点评】本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题． 19．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知集合，． （1）若，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；； （2）． 【分析】（1）分别求出集合和集合即可． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，即可求出的取值范围． 【解答】解：（1）当时，， （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围为． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了充分必要条件与集合包含关系的应用，属于基础题． 四．命题的真假判断与应用 20．（24-25高一上•浦东新区期末）如果，那么下列不等式中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】举出反例，，分别判断四个答案的真假，利用排除法，可得结论． 【解答】解：若，，则成立， 但错误，故排除； 错误，故排除； 错误，故排除； ， 故选：． 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式与不等关系的判断，难度不大，属于基础题． 21．（24-25高一上•静安区校级期末）已知，且方程无实根．现有四个命题 ①若，则不等式对一切成立； ②若，则必存在实数使不等式成立； ③方程一定没有实数根； ④若，则不等式对一切成立． 其中真命题的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】利用二次函数的图象和性质分别判断与的关系． 【解答】解：方程无实根，或． ，对一切成立， ，用代入， ，命题①正确； 同理若，则有，命题②错误；命题③正确； ，（1）， 必然归为，有，命题④正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用，综合性较强，难度较大． 22．（24-25高一上•徐汇区校级期末）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为严格增函数，则、、中至少有一个是严格增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是　　 A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】 【分析】由题意可得为，进而要可得，故②正确； 由增函数加减函数也可能为增函数，判断①不正确． 【解答】解：因为， 所以， 又、、均是以为周期的函数， 所以， 所以是周期为的函数， 同理可得、均是以为周期的函数，②正确； 增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确． 故选：． 【点评】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等．本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等，属于中档题． 23．（24-25高一上•金山区校级期末）已知“若，则 “为真命题，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】由命题“若，则”是真命题，转换成转换成，能推出成立，即，能推出成立，可得实数的取值范围． 【解答】解：命题“若，则”是真命题， 则，能推出”成立， 转换成，能推出成立， 即，能推出或成立， 即，能推出成立， 由不等式端点和简易逻辑关系可得，， 则实数的取值范围是：， 故答案为：，． 【点评】本题考查命题不等式的计算、简易逻辑，属于基础题． 24．（24-25高一上•浦东新区校级期末）对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题： ①存在函数满足：，且有最小值； ②设，若，则； ③若，则为单调函数； ④设，则． 其中所有正确命题的序号为　 　． 【答案】②④． 【分析】由于，即，即不存在最小值，故①错误，假设使得，推出根的个数不同，故假设不成立，故②正确，说明只有一个根，不能推出函数单调，可假设反例，，即结论不成立，故③错误，结合图像平移后的图像形状相同，即可求解，故④正确． 【解答】①由题意可得，，对任意的实数总有有限个根， ， ，即不存在最小值，故①错误， ②，可得， 设使得， 则，，， ， ，故②正确， ③，说明只有一个根，不能推出函数单调， 例，该函数在，上分别单调， 但是在整个区间上不单调，故③错误， ④，由函数的左加右减原则， 由向左平移个单位得到，平移过程中形状相同， 将 看成于平行于轴的一条横线，与函数的交点横坐标即为根， ，交点的横坐标值不相同，但交点的个数相同，即， 故④正确， 故答案为：②④． 【点评】本题考查了抽象函数，需要学生理解该函数的意义，对综合思维要求较高，难度系数高，属于难题． 五．等式与不等式的性质 25．（24-25高一上•浦东新区校级期末）若实数，，满足，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解． 【解答】解：因为，， 则，，故错误； 由，结合不等式性质可知，故错误； 由可知，所以，即， 又，所以，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 26．（24-25高一上•徐汇区校级期末）若，，则一定有　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用特例法，判断选项即可． 【解答】解：不妨令，，，， 则，，、不正确； ，， 不正确，正确． 解法二： ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确． 27．（24-25高一上•金山区校级期末）如果，那么下列不等式错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】．由，可得； ．由，可得； ．时，； ．由，可得． 【解答】解：．，，正确． ．，，正确； ．时，，因此不正确； ．，，正确． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 28．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的性质判断即可． 【解答】解：因为，是定义在上的偶函数， 所以当实数，满足时，，不一定成立，故，不符合题意； 因为是定义在上单调递增的奇函数， 所以当实数，满足时，则，故符合题意； 因为在，上单调递减， 所以当实数，满足时，不一定成立，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题． 29．（24-25高一上•宝山区校级期末）若，，则下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，，可得，而与0的关系不确定．即可判断出结论． 【解答】解：，，． ． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 六．基本不等式及其应用 30．（24-25高一上•宝山区校级期末）设，，且，则的最小值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解． 【解答】解：因为， 当且仅当，即，即时取得等号， 故选：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 31．（24-25高一上•浦东新区期末）设，且，则的最大值为 　 　． 【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：设，， ，化为，当且仅当时取等号． 的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 32．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知，求的最小值是 　 　． 【答案】5 【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值． 【解答】解：由于，所以， 所以，当且仅当时，等号成立． 故答案为：5 【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，属于基础题． 33．（24-25高一上•黄浦区校级期末）已知正实数、满足，则的最小值为 　 　． 【分析】由题意可得，，再利用基本不等式求解即可． 【解答】解：，，且， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题． 34．（24-25高一上•金山区校级期末）已知正实数，满足，则的最小值为 　 　． 【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为正实数，满足， 则， 当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 35．（24-25高一上•徐汇区校级期末）函数的最小值是 　 　． 【分析】将函数化为，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，的取值要一致，即可得到所求最小值． 【解答】解：函数 ． 当且仅当，即有，取得等号． 则函数的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题． 36．（24-25高一上•浦东新区校级期末）某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元． （1）设半圆的半径（米，试建立塑胶跑道面积与的函数关系； （2）由于条件限制，，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元） 【分析】（1）跑道的面积等于一个大圆减去一个小圆加上一个大矩形减去一个小矩形， （2）将实际问题的最值转化成数学问题的最值，用函数单调性求最值 【解答】解：（1）塑胶跑道面积 （2）设运动场造价为则 ，，函数是的减函数 当，运动场造价最低为636510元 答：塑胶跑道面积与的函数关系 当，运动场造价最低为636510元 【点评】本题考查建立数学模型的能力；用单调性求最值的方法． 七．运用基本不等式求最值 37．（24-25高一上•上海校级期末）已知，，，，若，，，则的最小值为 　 　． 【答案】8． 【分析】根据题意，分析得，进而得到，从而利用“1“的代换与基本不等式即可得解． 【解答】解：因为，，， 则方程与有相同的解，不妨设为， 则，故，即，整理得， 因为，，， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于中档题． 38．（24-25高一上•上海校级期末）已知，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】利用基本不等式计算可得． 【解答】解：因为， 所以， 当且仅当，且，即，时取等号． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 八．分式不等式的解法 39．（24-25高一上•嘉定区期末）不等式的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】先把分式不等式转化为二次不等式，即可求解． 【解答】解：由，得， 解得， 所以原不等式的解集． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 40．（24-25高一上•上海校级期末）不等式的解集为 　 　． 【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解即可． 【解答】解：不等式，可化为，即， 恒成立， ， 解得， 即不等式的解集为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，属于基础题． 九．一元二次不等式及其应用 41．（24-25高一上•浦东新区期末）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是　　 ． 【答案】． 【分析】由题意可得不等式的解集为，然后利用二次函数的性质建立不等式，由此即可求解． 【解答】解：因为关于的不等式的解集是， 则不等式的解集为， 则△，解得， 所以实数的范围为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的性质，涉及到二次函数的性质，属于基础题． 42．（24-25高一上•宝山区校级期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为，乙写错了常数，得到的解集为．那么原不等式的解集为 　 　． 【答案】． 【分析】先利用韦达定理求出，的值，再利用一元二次不等式的解法求解即可． 【解答】解：由题意可知，，解得， 原不等式为， 解得， 即原不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 43．（24-25高一上•静安区校级期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 　 ． 【答案】，． 【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案． 【解答】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当时，即， 若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集； 若时，原不等式为，无解，不符合题意； ②当时，即， 若的解集是空集，则有，解可得， 则当不等式的解集不为空集时，有或且， 综合可得：实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于中档题． 44．（24-25高一上•虹口区期末）已知函数，若非空集合， ，满足，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】通过直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的△，△，从而进行求解即可． 【解答】解：已知函数， 若非空集合，，满足， 由，可得， 即， 由，可得在上恒成立， 即△，解得①， 又集合是非空集合，所以在上有解， 则△，解得或②， 综合①②可得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的求解，属于中档题． 45．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为　 　． 【分析】先求得当时，的解析式，由不等式，可得，或，由此求得的范围． 【解答】解：设，则，由题意可得， ， 故当时，． 由不等式，可得，或， 求得，或， 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题． 46．（24-25高一上•虹口区期末）定义运算：，．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由定义运算将所求不等式化简，再结合一元二次含参不等式恒成立问题求解即可． 【解答】解：由题意可变形为， 化简可得恒成立， 所以△恒成立， 化简可得， 解得， 所以实数的取值范围为． 故选：． 【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题． 十．一元二次方程的根的分布与系数的关系 47．（24-25高一上•金山区期末）若一元二次方程两实数根为，，则 　 　． 【答案】． 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解． 【解答】解：由题意得，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，属于基础题． 48．（24-25高一上•嘉定区期末）若方程的两个实数根为，，则　 　． 【答案】3． 【分析】利用韦达定理求解即可． 【解答】解：方程的两个实数根为，， 由韦达定理可得，，， ． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题． 49．（24-25高一上•上海校级期末）已知方程的两根为，，则　 　． 【答案】． 【分析】由题意，利用韦达定理，变形求得结果． 【解答】解：方程的两根为，， ，， 则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题． 50．（24-25高一上•金山区校级期末）已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围． 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解不等式，可得其解集； （2）利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，利用韦达定理可得出关于的函数关系式，结合不等式的基本性质可求得的取值范围． 【解答】解：（1）当时，由，解得或， 不等式的解集为，，． （2）由题意可得，，解得， 因为， 因为，则，故． 故的取值范围为． 【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，方程根与系数关系的应用，二次不等式的求解，属于中档题． 十一．反证法 51．（24-25高一上•松江区期末）用反证法证明命题：“对于三个实数、、，若，则或”时，提出的假设正确的是　　 A．且 B．或 C． D． 【答案】 【分析】用反证法证明时，假设结论的反面成立，即可求解． 【解答】解：用反证法证明时，假设结论的反面成立，即假设且成立． 故选：． 【点评】本题主要考查反证法的应用，属于基础题． 52．（24-25高一上•上海校级期末）用反证法证明命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．则假设的内容是　　 A．，都能被5整除 B．，有1个不能被5整除 C．不能被5整除 D．，都不能被5整除 【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的． 【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证． 命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除”的否定是“，都不能被5整除”． 故选：． 【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧． 53．（24-25高一上•上海校级期末）设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数． 【答案】证明过程见解答． 【分析】假设不是奇数，然后推导出为偶数，与已知矛盾，即得证． 【解答】证明：假设不是奇数，则是偶数，设，， 则， 因为，则， 所以是偶数，即为偶数，这与已知为奇数矛盾， 所以假设不成立，即是奇数． 【点评】本题考查反证法的运用，属于基础题． 十二．绝对值不等式的解法 54．（24-25高一上•青浦区期末）若，都满足方程且，则的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】转化后结合绝对值的几何意义即可求解结论． 【解答】解：方程，即， 由绝对值的几何意义可得，此方程的解须满足：， 从而可得， 故的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查绝对值方程的求解，以及绝对值的几何意义，属于基础题． 55．（24-25高一上•宝山区校级期末）设，则方程的解集为 　 　． 【答案】，，． 【分析】利用绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，分别求解即可． 【解答】解：当时，则方程为，即恒成立，则满足； 当时，则方程为，解得，舍去； 当时，则方程为，解得，； 当时，则方程为，即恒成立，时满足． 综上所述，方程的解集为，，． 【点评】本题考查了含有绝对值方程的求解，解题的关键是利用绝对值的定义去掉绝对值，属于中档题． 56．（24-25高一上•普陀区校级期末）方程的解集为 　 　． 【答案】，， 【分析】利用零点分段法去绝对值，分类讨论即可． 【解答】解：当时，方程可化为：，即恒成立，此时方程的解为：； 当时，方程可化为：，即，则，此时方程无解； 当时，方程可化为：，即，则，此时方程无解； 当时，方程可化为：，即恒成立，此时方程的解为：， 综上，方程的解集为：，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查绝对值方程的解法：零点分段法，属于基础题． 57．（24-25高一上•松江区期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】根据绝对值的性质，求出的最大值，则，解不等式即可得出答案． 【解答】解：因为， 关于的不等式有解， 即，所以，解得：， 则实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查绝对值不等式的有解问题，考查运算求解能力，属于基础题． 58．（24-25高一上•上海校级期末）关于的方程的解集为 　 　． 【分析】先求出每个绝对值对应的零点，然后利用零点分区间法求解． 【解答】解：易知方程中三个绝对值对应的零点分别为：1，，2，则： ①时，原方程可化为，解得，不符合题意，舍去； ②时，原方程可化为，解得，符合题意； ③时，原方程可化为，即恒成立，故符合题意； ④时，原方程可化为，解得，此时不符合题意， 综上可知，原方程的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查零点分区间法解含绝对值的方程，考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题． 59．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知，其中为常数． （1）当时，解不等式； （2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有．若，且，求函数，的解析式； （3）若在，上存在个不同的点，2，，，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【分析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果． （2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数． （3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果． 【解答】解：（1）解不等式， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，该不等式的解集为； （2）当时，，因为是以2为周期的偶函数， 所以， 由，且，得， 所以当时，， 所以当时，， 所以； （3）①当时，在，上，是，上的增函数， 所以（2）， 所以（2），得； ②当时，在，上，是，上的增函数， 所以（2）， 所以（2），得； ③当时，在，上不单调， 当时，则，左边，整理得， 解得（舍去）． 所以，， （2）， 在，上，．，不满足． 综上，的取值范围为，，． ③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减， 根据不等式的性质和相消法的应用， 于是， 令，解得或，不符合题意； ④当时，分别在、，上单调递增，在上单调递减， ， 令，解得或，不符合题意． 综上，所求实数的取值范围为，，． 【点评】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 60．（24-25高一上•静安区校级期末）对于两个实数，，规定， （1）证明：关于的不等式解集为； （2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值． 【答案】（1）证明见解析； （2），，； （3）存在，或或． 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明； （2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可； （3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定，再分和两种情况讨论求解可得的值． 【解答】解：（1）证明：不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为． （2）不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立． 故，解得或，故实数的取值范围，，． （3）由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故． 综上所述：． 故． 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，，所以，（3）， 所以，解得或． 当，， 当，，（1），（3）， 当，，，符合题意， 当，， 当，，（2），（3）， 当，，，符合题意． 综上，或或． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于难题． 十三．有理数指数幂及根式 61．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知实数，满足，则 　 　． 【分析】利用指数与对数运算即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 又， 所以， 即， 即有， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查指数与对数的运算，属于中档题． 62．（24-25高一上•宝山区校级期末）将化为有理数指数幂的形式为 ． 【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算，是基础题． 28．（24-25高一上•嘉定区期末）若，化简： 　　． 【答案】． 【分析】结合指数幂的运算法则，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题． 十四．对数的运算性质 63．（24-25高一上•徐汇区校级期末）若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【解答】解：若命题甲：，命题乙：， ①若命题甲：，则，， 则命题甲：，能推出命题乙：，成立； ②若命题乙：，则，所以或，即或； 命题乙：，不能推出命题甲：成立， 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断． 命题甲是命题乙的充分非必要条件； 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 64．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知，，且，则的最小值为　　 A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】 【分析】先利用对数的运算法则得到，再利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：， ，，，， ，则， 当且仅当时，等号成立， 的最小值为16， 故选：． 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，对数的运算法则，属于中档题． 65．（24-25高一上•虹口区期末）已知，则 　 　． 【分析】根据题意，由指数式与对数式的关系可得，，将其代入中，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，， 则，， 则； 故答案为：2． 【点评】本题考查对数的运算性质，涉及指数、对数的互换，属于基础题． 66．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知，则 　 　． 【答案】． 【分析】利用指数幂的运算化简，然后利用对数定义求解即可． 【解答】解：因为，所以，， ， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查对数的运算，属于基础题． 67．（24-25高一上•金山区校级期末）已知，则　 　（用表示）． 【答案】． 【分析】利用对数的运算法则求解． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查对数式的化简求值，是基础题，解题时要注意对数运算法则的合理运用． 68．（24-25高一上•静安区校级期末）已知，则　 　．（用，表示） 【答案】． 【分析】由已知结合指数与对数的相互转化可求出，，然后结合对数的运算性质可求． 【解答】解：由题意得，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质及指数与对数的相互转化，属于基础题． 69．（24-25高一上•宝山区校级期末）若，且，则 　 　． 【答案】6． 【分析】根据对数函数的性质即可求解． 【解答】解：由，，则，， ， ． ，． 故答案为：6． 【点评】本题考查了对数运算求值，属于基础题． 70．（24-25高一上•黄浦区校级期末）已知，，则 　 　．（用，的代数式子表示） 【分析】根据对数的运算即可得． 【解答】解：，，则． 故答案为：． 【点评】本题考查对数的运算，属于基础题． 72．（24-25高一上•宝山区校级期末）方程的解为　 　． 【分析】由，得，由此能求出方程的解． 【解答】解：由，得 ， 解得，或（舍去）， ． 故答案为：． 【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化． 十五．幂函数的概念 73．（24-25高一上•金山区校级期末）已知幂函数的图象过点，则　 　． 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值 【解答】解：由题意令，由于图象过点， 得， 故答案为：4． 【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值． 74．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知幂函数为奇函数，则　 　． 【答案】． 【分析】由已知结合幂函数的定义及性质即可求解． 【解答】解：因为幂函数， 所以，即， 解得或， 当时，为偶函数，不符合题意． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于基础题． 75．（24-25高一上•普陀区校级期末）若幂函数的图像经过点，则实数　 　． 【分析】根据幂函数，代点求值即可． 【解答】解：若幂函数的图像经过点， 则有，即，，． 故答案为：4． 【点评】本题考查了幂函数的应用，属于基础题． 76．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知幂函数的图象关于点对称． （1）求该幂函数的解析式； （2）设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象．（提示：列表、描点、连线作图） 【分析】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图． 【解答】解：（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：． （2）由（1）可得：，则的定义域为，，， 可得： 1 2 3 1 2 2 1 则的图象为： 【点评】本题主要考查幂函数的概念，考查转化能力，属于基础题． 77．（24-25高一上•上海校级期末）已知函数为幂函数，且为奇函数． （1）求的值； （2）求函数在的值域． 【答案】（1）0． （2），． 【分析】（1）由幂函数的定义可得或5，再根据函数为奇函数确定的值即可． （2）由（1）可得，利用换元法得到，再根据二次函数的性质即可求出的值域． 【解答】解：（1）函数为幂函数， ，解得或5， 当时，是奇函数，符合题意， 当时，是偶函数，不符合题意， 所以的值为0． （2）由（1）可得， 令，则， ，， ， ， 在，上单调递增，在，上单调递减， （1）， 又，，， 函数在的值域为，． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了换元法求函数的值域，是中档题． 十六．幂函数的图象与性质 78．（24-25高一上•黄浦区校级期末）已知幂函数在上单调递减，则实数　 　． 【分析】根据幂函数的定义求出，利用幂函数的性质即可确定的值． 【解答】解：是幂函数， ，即， 解得或． 幂函数在上单调递减， ， 即， 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，要求熟练掌握幂函数的定义和性质． 79．（24-25高一上•宝山区校级期末）下列关于幂函数的描述中，正确的是　　 A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数 D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点 【答案】 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可． 【解答】解：对于，不过原点，故错误； 对于，过第三象限，故错误； 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故正确； 若幂函数的图像过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题． 80．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知幂函数的图像过原点，则　 　． 【答案】2． 【分析】由幂函数的概念求出或2，再利用幂函数的图象性质进行验证即可． 【解答】解：因为函数是幂函数， 所以，解得或2， 当时，其图像不过原点，应舍去， 当，，其图像过原点． 故答案为：2． 【点评】本题考查幂函数的应用，属于基础题． 81．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知幂函数在上是严格减函数，则___ _______． 【答案】． 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及单调性列出方程，代入计算，即可得到结果． 【解答】解：由题意可得，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题． 十七．指数函数的值域 82．（24-25高一上•静安区校级期末）已知函数，，若对任意的，，存在，，使得，则整数的取值集合真子集的个数为 　　 ． 【答案】3． 【分析】由的值域是的值域的子集确定的值，然后由子集定义得出结论． 【解答】解：当，时，，， ，时，， 由对任意的，，存在，，使得， 可得：，，，所以，解得， 其中整数和0，即整数的取值集合为，，真子集有3个． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查函数的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 83．（24-25高一上•青浦区期末）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为 　 　． 【答案】． 【分析】利用待定系数法求解． 【解答】解：设指数函数的解析式为且， ， 解得， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数函数的概念，是基础题． 十八．指数函数的图象与性质 84．（24-25高一上•黄浦区校级期末）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用函数的解析式转化为方程的形式，进一步利用指数函数的性质求出参数的取值范围． 【解答】解：函数的图象与轴有公共点， 即有交点， 由于， 故：， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：指数函数的性质的应用，利用函数的图象求函数的交点问题． 85．（24-25高一上•宝山区校级期末）函数的值域为　 　． 【分析】先，根据指数函数的性质求出的范围，再根据反比例函数求出的范围，从而求出函数的值域． 【解答】解： 则 故的值域为 故答案为：． 【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求解函数的值域，以及指数函数的值域问题，属于基础题． 86．（24-25高一上•上海校级期末）指数函数且的图象经过点，则的值为　 　． 【分析】把点代入指数函数即可得出． 【解答】解：指数函数的图象经过点，且， ，解得． 故答案为：2 【点评】本题考查了指数函数的解析式，属于基础题． 87．（24-25高一上•黄浦区校级期末）函数的图像恒过定点，则的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件，令，，即可求解该定点． 【解答】解：当时，， 故的图像恒过定点． 故选：． 【点评】本题主要考查函数定点问题，属于基础题． 十九．对数函数的图象与性质 88．（24-25高一上•上海校级期末）函数，的图象恒过定点，则点的坐标是　 　． 【分析】由对数函数的图象恒过及函数的图象的平移即可求解． 【解答】解：由于对数函数的图象恒过， 而的图象可由数函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位， 的图象经过定点， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对数函数的图象的性质及函数的图象的平移的简单应用，属于基础试题 89．（24-25高一上•杨浦区校级期末）函数且的图象必经过点　 　（填点的坐标） 【分析】利用对数函数过定点的性质，可求函数且的图象的性质． 【解答】解：根据对数函数的性质可知，函数，且过定点， 所以函数且的图象过定点． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数函数过定点问题，比较基础，要求熟练掌握对数函数的基本性质． 90．（24-25高一上•宝山区校级期末）函数的零点是　 　． 【分析】令，解得答案． 【解答】解：令， 则， 解得：， 故函数的零点是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的知识点是函数的零点，对数方程的解法，难度中档． 二十．对数型复合函数的定义域、单调性 91．（24-25高一上•金山区期末）函数的定义域为　 　． 【分析】对数的真数大于0，就是，直接求，解即可求出函数的定义域． 【解答】解：函数有意义 必须 即： 故答案为： 【点评】本题考查对数函数的定义域，是基础题． 92．（24-25高一上•上海校级期末）已知常数，函数的表达式为． （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间，上的最大值为2，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）利用奇偶性的定义可证明； （2）利用单调性知识可证明． 【解答】解：（1）证明：函数的表达式为， 定义域， ，都有， ， 则函数是奇函数． （2）当，在单调递增， 又在区间，上的最大值为2， 则（1），即，则． 【点评】本题考查函数奇偶性和单调性相关知识，属于中档题． 93．（24-25高一上•松江区期末）如图，已知，是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为 　　． 【分析】设，，，，，，代入函数解析式，再由等腰直角三角形可得，，再由对数的运算性质和方程思想，计算即可得到所求值． 【解答】解：设，，，，，， 则，， ，， 是等腰直角三角形（其中为直角顶点）， 可得， ， 即有， ， 化简可得， ， 即为， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查对数的运算性质和运用，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题． 94．（24-25高一上•金山区期末）已知，函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，当，时，，求函数的最小值； （3）当且时，关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3），． 【分析】（1）由指数函数与对数函数性质可解； （2）由指数函数与对数函数的单调性可解； （3）根据题意得，，，，结合对数函数性质，从而可解． 【解答】解：（1）由可得，则，则，则， 则不等式的解集为； （2）由题意可知， ，，，， ， ，， 则最小值为； （3），， 当且时，，，， 是原方程的解当且仅当，即， 是原方程的解当且仅当，即， 于是满足题意的，． 综上，的取值为，． 【点评】本题考查指数、对数函数性质，属于中档题． 二十一．函数的概念 95．（24-25高一上•奉贤区期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的定义和图象关系进行判断． 【解答】解：．中存在一个有两个与对应，故不满足函数的条件， ．．．都满足函数的条件， 故选：． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键． 96．（24-25高一上•金山区期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数是否为相同函数，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，，其定义域为，，其定义域为，故两个函数不是相同函数； 对于，，其定义域为，，其定义域为，故两个函数不是相同函数； 对于，，其定义域为，，其定义域为，故两个函数不是相同函数； 对于，，其定义域为，，其定义域为，故两个函数是相同函数； 故选：． 【点评】本题考查函数的定义，注意函数的解析式，属于基础题． 97．（24-25高一上•嘉定区期末）下列函数与函数相同的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数． 【解答】解：对于，函数，，与函数，的对应关系不同，不是相同函数； 对于，函数，，与函数，的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数； 对于，函数，，与函数，的定义域不同，不是相同函数； 对于，函数，，与函数，的对应关系不同，不是相同函数． 故选：． 【点评】本题考查了判断两个函数是否为相同函数的应用问题，是基础题． 98．（24-25高一上•宝山区校级期末）函数的定义域为 　 　． 【答案】，． 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，再求解指数不等式得答案． 【解答】解：由，得， ， 则函数的定义域为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查指数不等式的解法，是基础题． 99．（24-25高一上•浦东新区校级期末）函数的部分图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，先分析函数的定义域排除，再分析区间和，上，函数值的符号，排除，即可得答案． 【解答】解：根据题意，，有，解可得，即函数的定义域为， ，则函数为偶函数，排除， 在区间上，，，，则，排除， 在区间，上，，，，则，排除， 故选：． 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性以及函数值符号的分析，属于基础题． 二十二．函数的图象与图象的变换 100．（24-25高一上•虹口区期末）函数的图象的大致形状是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】中含有，故是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可． 【解答】解：是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，， 时，图象与在第一象限的图象一样，时，图象与的图象关于轴对称， 故选：． 【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法． 101．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． （1）若，，对进行变换后得到函数，解方程． （2）若，对进行变换后得到函数，解不等式． （3）若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数． 【答案】（1）； （2）或； （3）证明见解析． 【分析】（1）根据函数的变换可得函数解析式，解方程即可； （2）根据函数的变换可得函数解析式，即可得不等式，分情况解不等式即可； （3）根据函数变化可得函数解析式，由可得，由，可知且，结合函数在上是严格增函数，可知当时，，即可得，再利用定义法证明函数单调性． 【解答】解：（1）由，，对进行变换后， 得， 即，解得； （2）由，对进行变换后得到函数 ， 又，即，， 则当，即时，， 解得或，即或； 当，即时，，即，不等式恒成立，即； 综上所述，的范围为或； （3）证明：由题意对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 所以对任意，， 当时，，又函数在上是严格增函数， 则， 由于，可知且，若其中，则， 即当时，， 任取，令，存在，使， 由函数在上是严格增函数， 可知，则， 依此类推可得， 即函数在上是严格增函数． 【点评】本题主要考查了函数图象的变换，函数单调性的综合应用，属于中档题． 二十三．函数的定义域及其求法 102．（24-25高一上•浦东新区校级期末）函数的定义域为　 ． 【分析】根据对数函数以及二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【解答】解：由题意得：， 即，解得：， 故答案为：，． 【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题． 103．（24-25高一上•宝山区校级期末）函数的定义域是 　 　． 【答案】，，． 【分析】根据函数解析式，列出关于的不等式组，求解即可． 【解答】解：要使函数有意义，则需，解得且， 即函数的定义域为，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题． 104．（24-25高一上•长宁区校级期末）函数的定义域是　 　． 【分析】根据根号有意义的条件的条件进行求解； 【解答】解：函数， ， ， 故答案为：，； 【点评】此题主要考查函数的定义域及其求法，是一道基础题； 二十四．函数的值域与最值 105．（24-25高一上•宝山区校级期末）设函数的定义域为，，值域为，，下列结论正确的是　　 A．当时，的值不唯一 B．当时，的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 【答案】 【分析】作出函数的图象，再逐一分析选项，即可． 【解答】解：函数的图象如下所示， 由图可知，当时，只能为4，即选项错误； 当时，只能为，即选项错误； 的最大值为，的最小值为3，即选项错误，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查函数的图象与性质，熟练掌握分段函数的图象与性质是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题． 106．（24-25高一上•静安区校级期末）已知函数可表示为　　 1 2 3 4 则下列结论正确的是　　 A．（4） B．的值域是，2，3， C．的值域是， D．在区间，上单调递增 【答案】 【分析】根据表格，结合函数定义域和值域的性质分别进行判断即可． 【解答】解：由题意知（4），得（4）（3），故错误， 函数的值域为，2，3，，故正确，错误， 在定义域上不单调，故错误， 故选：． 【点评】本题主要考查函数定义域和值域的判断，结合函数定义域和值域的关系是解决本题的关键，是基础题． 107．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为， ． 【分析】先求解出时的值域，然后根据，，分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围． 【解答】解：当时，，此时，， 当且时，， 此时，，且，，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查分段函数性质在函数值域求解中的应用，属于基础题． 108．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知函数的定义域为，，值域为，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 【答案】 【分析】利用绝对值的定义将函数化为分段函数，作出函数的图象，由图象分析求解即可． 【解答】解：函数， 作出函数的图象，如图所示： 令，解得或， 函数的定义域为，，值域为，， 由图象可得，的最大值为． 故选：． 【点评】本题考查了含有绝对值的函数的应用，考查逻辑推理能力与转化求解能力，属于中档题． 109．（24-25高一上•杨浦区校级期末）若函数存在最小值，则实数的取值范围为 　 　． 【答案】，． 【分析】根据一次函数、二次函数、分段函数的性质来求得的取值范围． 【解答】解：函数， 当时，， 当时，函数不存在最小值， 所以， 函数存在最小值，需满足，则． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查由函数的最值求解参数，属于基础题． 二十五．函数的单调性 110．（24-25高一上•宝山区校级期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递减的函数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由幂函数的性质逐个选项判断即可． 【解答】解：对于，的定义域为，关于原点对称，且， 所以是偶函数，且在区间内单调递减，故符合题意； 对于，为奇函数，不符合题意； 对于，是偶函数，但在区间内单调递增，故不符合题意； 对于，是奇函数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题． 111．（24-25高一上•上海校级期末）已知满足，，，都有，则实数的取值范围为 　 　． 【答案】． 【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解． 【解答】解：因为，，，都有， 所以在上为增函数， 当时，，易知函数在上为增函数； 当时，则，解得， 则的取值范围为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数单调性的判断，分段函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题． 112．（24-25高一上•黄浦区校级期末）函数的单调递增区间为_______． 【答案】． 【分析】根据题意，先分析函数的定义域，设，则，结合复合函数单调性的判断方法分析可得答案． 【解答】解：根据题意，，则有，解可得或， 设，则， 在区间上，递减且，在递增，则在上递减， 在区间上，递增且，在递增，则在上递增， 故函数的单调递增区间为． 故答案为：． 【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及函数的单调性，属于基础题． 113．（24-25高一上•浦东新区校级期末）函数的增区间是　 　． 【分析】由于函数是由函数复合而成的，而函数在其定义域上为增函数， 因此要求函数的增区间即求函数的增区间， 再与函数函数的定义域求交集即可． 【解答】解：函数是由函数复合而成的， 在其定义域上为增函数， 要求函数的增区间即求函数的增区间， 由于函数的增区间为，， 又由函数的定义域为，， 故函数的增区间是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查简单复合函数的单调性的关系．属基础题． 114．（24-25高一上•上海校级期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求的值域． （Ⅱ）若在上单调递增，求实数的取值范围． （Ⅲ）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点．若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ），； （2）； （3）． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果； （Ⅱ）根据题意，分，，讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果； （Ⅲ）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果． 【解答】解：（Ⅰ）当时，， 令，则，， 所以的值域为，； （Ⅱ）令，，则，， 因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增， 只需在上单调递增， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，对称轴为，不符合题意； ③当时，则需，解得， 所以实数的取值范围是； （Ⅲ）因为是的图象的局部对称点， 可得，， 代入整理得，① 令，则，， 代入①式得，， 当时，函数和均单调递增， 所以在，上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为． 【点评】本题属于新概念题，考查了指数函数、二次函数的性质，考查了转化思想及分类讨论思想，属于中档题． 二十六．函数的奇偶性 115．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知函数，且，那么（2）　 　． 【分析】代入，，整体代换求值即可． 【解答】解：由题意，，即， 故， 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题． 116．（24-25高一上•杨浦区校级期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，为常数），则　 　． 【答案】． 【分析】利用函数是奇函数的性质求解，然后求解的值即可． 【解答】解：函数是定义在上的奇函数，所以， ，解得， 则当时，， （1）， 故答案为：． 【点评】本题考查了奇函数的结论：的灵活应用，以及函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将转化到已知条件上求解． 117．（24-25高一上•徐汇区校级期末）是定义在上的奇函数，当时为常数），则的值为　 　． 【分析】本题先通过函数的奇偶性，求出参数的值，再将自变量转化为正数，结合条件当时为常数），从而求出的值，得到本题结论． 【解答】解：是定义在上的奇函数， ，， 当时为常数）， ． 当时， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的奇偶性，本题难度不大，属于基础题． 118．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知，其中为实数． （1）当时，证明函数在，上是严格增函数； （2）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）时是奇函数，时是非奇非偶函数． 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）分与两种情况讨论，结合奇偶性的定义判断即可． 【解答】解：（1）证明：，，， 任取，则， 由得：，， 所以，即， 所以函数在，上是严格增函数； （2）的定义域为，关于原点对称， 当时，，显然，是奇函数； 当时，，（2）， 因为（2），与题设矛盾，所以不是奇函数， 又（2），显然不成立，所以不是偶函数， 所以此时是非奇非偶函数． 【点评】本题考查函数单调性的定义以及函数奇偶性的概念和应用，属于中档题． 二十七．奇偶性与单调性的综合 119．（24-25高一上•宝山区校级期末）定义在上的偶函数在，上是增函数，且（2），则不等式的解集为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：因为定义在上的偶函数在，上是增函数，且（2）， 所以函数在上单调递减，且， 由可得，或， 即或， 故或， 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用． 120．（24-25高一上•金山区校级期末）下列函数中，在上既是奇函数又是减函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，，为反比例函数，在其定义域上不是减函数，不符合题意； 对于，，有，解可得，即函数的定义域为，不是上的奇函数，不符合题意； 对于，，在上既是奇函数又是减函数，符合题意； 对于，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性以及单调性的判定方法． 121．（24-25高一上•静安区校级期末）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，进而作出函数的图象，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象中的递减区间，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设，则，所以． 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以， 所以当时，， 当时，，则的图象如图： 在区间，上为减函数， 若即，又由， 必有，解可得：， 即不等式的解集为； 故选：． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性求出函数的解析式然后再求不等式是解决本题的关键． 122．（24-25高一上•徐汇区校级期末）已知偶函数在区间，上为严格单调递增，则满足的的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可． 【解答】解：偶函数在区间，上为严格单调递增， 等价为， 即，得， 得， 即不等式的解集为，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，是基础题． 123．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知函数是定义在区间，上的函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）用定义证明函数在区间，上是增函数； （3）解不等式． 【答案】（1）奇函数； （2）单调递增； （3），． 【分析】（1）结合奇偶性定义检验与的关系即可判断； （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【解答】解：（1）因为， 故为奇函数； 证明：（2）任取， 所以，，，， 则， 所以， 所以在，上单调递增； 解：（3）因为且在，上单调递增， 所以， 所以， 故不等式的解集为，． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，还考查了单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 二十八．奇偶性与单调性的综合 124．（24-25高一上•浦东新区校级期末）定义在上的奇函数在区间上单调递减，且（6），则不等式的解集为　　 A．，， B．，，， C．，， D．，，， 【答案】 【分析】作出的图象，由，分与两类讨论，结合图象可求得答案． 【解答】解：因为定义在上的奇函数 在区间上单调递减，且（6）， 所以的图象大致如图所示： 由， ①当时，，即或， 解得或； ②当时，，即或（舍， 解得； 综上，，或或． 故选：． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查作图能力与运算求解能力，是易错题，属于中档题． 125．（24-25高一上•宝山区校级期末）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据基本初等函数的性质，对四个选项一一判断． 【解答】解：对于的定义域为，，，为奇函数；增区间为，．故错误； 对于的定义域为，为非奇非偶函数．故错误； 对于的定义域为．因为，所以为奇函数；因为，所以为增函数．故正确； 对于的定义域为，为非奇非偶函数．故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题． 二十九．求函数的零点 126．（24-25高一上•虹口区期末）函数的零点为 　4　． 【答案】4． 【分析】函数的零点方程的解，可求得函数的零点． 【解答】解：函数的零点方程的解， 由得得得解得或0（舍去）， 故答案为：4． 【点评】本题考查函数零点，考查数学运算能力，属于基础题． 127．（24-25高一上•浦东新区校级期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据零点定理（a）（b），说明在上有零点，已知第一次经计算，，可得其中一个零点，根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值． 【解答】解：令， 则，， ， 其中一个零点所在的区间为， 第二次应计算的函数值应该为． 故选：． 【点评】本题考查的是二分法研究函数零点的问题，在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力，属中档题． 128．（24-25高一上•上海校级期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，、、，则实数和分别等于　　 A．、 B．2、3 C．、2 D．、 【答案】 【分析】直接根据二分法求零点所在区间的方式进行计算即可． 【解答】解：依次确定了零点所在区间为，、、， 又， ，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查二分法的应用，考查计算能力，属于基础题． 三十．函数的零点与方程根的关系 129．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是　，，　． 【答案】，，． 【分析】问题转化为有四个根，即与有四个交点，再分，，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出的取值范围． 【解答】解：若函数恰有4个零点， 则有四个根， 即与有四个交点， 当时，与图象如下： 两图象只有两个交点，不符合题意； 当时，与轴交于两点，， 图象如图所示： 当时，函数的函数值为，函数的函数值为， 两图象有4个交点，符合题意； 当时，与轴交于两点，，在，内两函数图象有两个交点， 则若有四个交点，只需与在，内有两个交点即可， 即在，还有两个根，也就是在，内有两个根， 函数，（当且仅当时，取等号）， ，且，得， 综上所述，的取值范围为，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题． 130．（24-25高一上•上海校级期末）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 　 　． 【答案】． 【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，，再求出实数的取值范围． 【解答】解：画出的图象如下． 因为最多两个零点， 所以当或时，有两个不等零点，， 要想有六个零点，结合函数图象可知， 和分别有3个零点，则，且， 即的两个不等零点，， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题． 131．（24-25高一上•静安区校级期末）设，若存在使得关于的方程恰有六个解，则的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】分类去绝对值符号，可作的图象，依据图象可求或的最小值，令，则，令，由题意可得，可求的取值范围． 【解答】解：当时，， 当时，， 当时，， 则的图象如图所示： 当时，， 当时，， 令，则， 关于的方程恰有六个解， 关于的方程恰有两个解，，设， 则，，，， 令，则， 且， 要存在满足条件，则，解得． 的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查分类讨论思想的应用，考查数形结合思想，考查根的分布，属中档题． 132．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知关于的方程在区间，上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 　 　． 【答案】 【分析】观察方程的结构特征，将它进行变形为，然后构造函数，确定函数的单调性，从而将问题转化为当时，有两个不相等的实数根，利用根的分布列出不等式组，求解即可得到答案． 【解答】解：因为方程， 所以变形为， 令， 则有， 因为在上单调递增， 所以即为， 故当时，有两个不相等的实数根， 在中，则有，即， 解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数单调性的应用、二次函数根的分布问题，解题的关键是将已知的方程变形为，进而构造函数分析，对于学生的思维能力有较高的要求． 133．（24-25高一上•徐汇区校级期末）已知是定义在上且周期为3的函数，当，时，，若函数在区间，上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是　 　． 【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线的图象，利用数形结合判断的范围即可． 【解答】解：是定义在上且周期为3的函数，当，时，，若函数在区间，上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数与的图象如图：由图象可知． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用． 134．（24-25高一上•黄浦区校级期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先根据的性质画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数与有4个交点，数形结合即可求解． 【解答】解：当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又函数是定义在上偶函数，其图象关于轴对称作出函数图象： 因为函数仅有4个零点，所以函数与有4个交点， 根据图象可知：，即实数的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查函数零点，属于中档题． 135．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知函数对任意实数，方程有解，则的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】根据题意知的值域为，由对数函数的性质及分段函数形式确定在上的单调性和界点值范围，即可得参数范围． 【解答】解：函数函数，又对任意实数，方程有解， 的值域为，又在，上递增，且，， 在上的一次函数也递增，且， ， 的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查函数与方程思想的应用，化归转化思想，属中档题． 136．（24-25高一上•黄浦区校级期末）已知，若函数，恰有两个零点，则的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】令，对两根的来源进行分析，对分类讨论，分别求出对应的范围． 【解答】解：当时，令，可得或，方程均无解，不符合题意； 当时，令，可得或 若，由，解得，符合题意． 因为函数恰有两个零点，所以只有一解， 所以符合题意，此时．即． 若或时，，无解； 要使函数恰有两个零点，则有两解， 所以需，解得． 综上可得，的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题． 137．（24-25高一上•浦东新区校级期末）设，函数恰有三个零点，则的取值集合为 　 　． 【答案】，． 【分析】易知不是函数的零点，令，问题可转化为有3个根，作出函数的图象，结合图象可得或，进而得解． 【解答】解：显然不是函数的零点， 令，可得， 令，则，即， 要使有三个根，则，解得， 令，则△，且对称轴， 作出函数的大致图象如下， 由图象可知，要使有三个根，则或， 解得或． 故答案为：，． 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想，数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题． 三十一．二分法 138．（24-25高一上•静安区校级期末）若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则的取值集合是　　 A． B． C． D．， 【答案】 【分析】本题可根据题意得出函数仅有一个零点，然后通过判别式即可得出结果 【解答】解：因为函数存在零点且不能用二分法求该函数的零点， 所以由二次函数性质易知，函数仅有一个零点， △，解得， 故选：． 【点评】本题考查二分法的定义及其应用，属于基础题． 139．（24-25高一上•杨浦区校级期末）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得（1），（2），，则小胡同学在下次应计算的函数值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，由二分法的计算方法即可判断． 【解答】解：根据题意，因为（1），（2），，则根应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即． 故选：． 【点评】本题考查函数零点判定定理，注意二分法的应用，属于基础题． 140．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间，上零点的近似值，第一次计算（1）、（3）的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则　 　． 【答案】． 【分析】根据二分法的定义，求解即可． 【解答】解：二分法计算此函数在区间，上零点的近似值， 第一次计算（1）、（3）的值， ，则（1），（3）， 故零点所在区间为， 第二次计算（2）的值， （2）， 故零点所在区间为， 所以第三次计算的值，即． 故答案为：． 【点评】本题考查二分法的定义，属于基础题． 三十二．分段函数的应用 141．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知且，若在上是严格增函数，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，在上是严格增函数， 则有，解可得，即的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题． 142．（24-25高一上•虹口区期末）已知函数，，，则　　 A．的最大值为3，最小值为1 B．的最大值为，无最小值 C．的最大值为，无最小值 D．的最大值为3，最小值为 【答案】 【分析】作出的图象，结合图象判断即可． 【解答】解：当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得， 作出的图象，如图所示： 由此可知：无最小值， ． 故选：． 【点评】本题考查了分段函数的性质、数形结合思想，作出的图象是关键，属于中档题． 143．（24-25高一上•静安区校级期末）若函数的最小值为，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】根据二次函数与分式类型的函数的性质，分别研究函数在，与上的性质，可推算出且，从而可得实数的取值范围． 【解答】解：函数在上单调递减，在上单调递增， 若，则最小值为（a），不满足题设，故． 在上，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，即，解得． 综上所述，，即实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质、基本不等式的应用、分段函数的最值求法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 三十三．根据实际问题选择函数类型 144．（24-25高一上•金山区校级期末）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为（米秒），且，时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，，． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米小时？ 【答案】（1），2； （2）30． 【分析】（1）利用求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间． （2）化简不等式，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得， 所以， 当时，， 则（秒， 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒． （2）根据题意要求对于任意，，恒成立， 即对于任意，，， 即恒成立， 由，，得， 所以， 即， 解得， 又， 所以， 故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在30千米小时． 【点评】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了基本不等式的应用及一元二次不等式的解法，属中档题． 145．（24-25高一上•普陀区校级期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润销售额成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）； （2）年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元． 【分析】（1）根据利润销售额成本，分类讨论，，求解即可得出答案； （2）根据分段函数的性质，分类讨论，，分别求出最大值，比较大小，即可得出答案． 【解答】解：（1）， 当时，， 当时，， 故； （2）由（1）得， 当时，， ， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 故， ， 故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元． 【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型和分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 146．（24-25高一上•浦东新区校级期末）一家新兴的医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划应用新技术生产一种新型的医疗器械；已知生产该产品的每年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台需另投入成本万元，且． 由市场调研知，该产品每台的售价为200万元时，本年度内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元． 【分析】（1）分和两种情况，两种情况，结合题意分析求解； （2）分和两种情况，根据二次函数性质结合双勾函数单调性计算最值，比较得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得：当时，， 当时，， 故； （2）①若，， 由二次函数的性质可知，在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，万元， ②若， 当且仅当时，即时，万元． 所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元． 【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 147．（24-25高一上•宝山区校级期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一套机器人，包括三个：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．已知每套吉祥物的进价为元，其中与进货量成反比，当进货1万套时，为9元，据市场调查，当每套吉祥物的售价定为元时，销售量可达到万套，若展销的其他费用为1万元，且所有进货都销售完． （1）每套吉祥物售价定为70元时，能获得的总利润是多少万元？ （2）当为多少时，每套吉祥物的净利润最大？ 【答案】（1）50； （2）90． 【分析】（1）根据题目条件得到进货量与的关系式，根据吉祥物售价定为70元时求出销售量，并求出进货单价，即可求总利润； （2）求出每套吉祥物的利润，结合基本不等式求出最值，得到答案． 【解答】解：（1）设共进货万套，则， 因为当时，，故，解得，即； 每套吉祥物售价为70元时，销售量为（万套）， 此时进货单价为（元， 故总利润为（万元）； （2）根据题意得，进价为（元， 所以每套吉祥物的利润为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，每套吉祥物的净利润最大． 【点评】本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 148．（24-25高一上•普陀区校级期末）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克立方米）时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：， （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为（毫克立方米），其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 【答案】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达6.9小时； （2）①； ②第二次喷洒2.3小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克立方米． 【分析】（1）由题中的函数关系，分和两种情况，求解不等式即可； （2）①先求出第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度，由此得到的解析式； ②利用基本不等式求解最值即可． 【解答】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度， 则当时，由，可得，所以； 当时，由，可得，，解得，所以． 综上所述，， 所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达6.9小时； （2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂， 3小时后的浓度为（毫克立方米）， 所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为， ②， 当且仅当，即时取等号， 答：第二次喷洒2.3小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克立方米． 【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 149．（24-25高一上•浦东新区校级期末）武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系．据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营．城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为． （1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式； （2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营．为体现节能减排，发车间隔时间，，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值． 【答案】（1）； （2）时，． 【分析】（1）由题意设当时的函数表达式，由时满载求得比例系数，进而求得当时表达式，写为分段函数形式，即得答案； （2）由题意可得，采用换元并结合二次函数性质，求得答案． 【解答】解：（1）由题意知，当时，设营业额， 根据时满载，得，解得， 所以营业额的表达式为． （2）根据，，， 整理得到，，， 设，故可以得到， 所以，即时，． 【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题． 150．（24-25高一上•普陀区校级期末）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下： ①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值（单位：与游玩时间（单位：小时）满足关系式：； ②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）； ③超过5小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50． （1）当时，写出累计经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值； （2）该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围． 【答案】（1），（6）； （2）； 【分析】（1）根据题意结合分段函数分析运算； （2）根据题意可得当时，恒成立，利用参变分离结合二次函数分析运算． 【解答】解：（1）由题意可得：当时，则，且（3）； 当时，则； 当时，则； 综上所述：； 若，则， 所以（6）； （2）由（1）可得：， 则， 由题意可得：当时，恒成立， 整理得对任意恒成立， 因为的开口向上，对称轴，， 则时，取到最小值， 可得，解得， 所以实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题． 151．（24-25高一上•青浦区期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：与经过时间（单位：的关系现有三个函数模型：①，②，③可供选择．（参考数据：， （1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； （2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 【答案】（1）答案见解析； （2）至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过． 【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择，并求出解析式； （2）根据题意，，求出的取值范围，进而得出结果． 【解答】解：（1）因为的增长速度越来越快， 和的增长速度越来越慢， 所以应选函数模型． 由题意得，解得， 所以该函数模型为； （2）由题意得，即， 所以， 又， 所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过． 【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 152．（24-25高一上•静安区校级期末）某创业团队拟生产、两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图，产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图．（注利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将、两种产品的利润、表示为投资额的函数； （2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入、两种产品的生产，问：当产品的投资额为多少万元时，生产、两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 【分析】（1）由产品的利润与投资额成正比，产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系； （2）由（1）的结论，我们设产品的投资额为万元，则产品的投资额为万元．这时可以构造出一个关于收益的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解． 【解答】解：（1），， （1），（4）， ，， （2）设产品的投资额为万元，则产品的投资额为万元． ， 令，则， 所以当，即万元时，收益最大，万元． 【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小是最优化问题中，最常见的思路之一． 153．如图，等腰直角三角形中，，在边上任取一点，过作斜边的垂线交于，则当点按的方向移动时，图中阴影部分的面积随的长度变化的函数关系的图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据条件可分当①在间时，②当在间时，两个阶段进行分析，分别在两个阶段表示出阴影部分的面积，可知为二次函数，结合取值区间，可得函数图象． 【解答】解：因为为等腰直角三前形，所以，， 作， 所以有， 因为， 所以为等腰直角三角形， 所以， ①当在间时：， ， 此时为开口向上的二次函数，且； ②当在间时：， 同理为等腰直角三角形， ， ， ， 此时为开口向下的二次函数，且， 故选：． 【点评】本题考查了分段函数图象的画法，属于基础题． 154．若函数的最小值为3，则实数的值为　　 A．5或8 B．或5 C．或 D．或8 【答案】 【分析】分类讨论，利用的最小值为3，建立方程，即可求出实数的值． 【解答】解：时，，； ，； ，， 或， 或， 时，，故舍去； 时，，； ，； ，， 或， 或， 时，，故舍去； 综上，或8． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题． 155. 已知全集，，集合，则　 　． 【分析】根据全集和集合的范围，由补集概念直接得出结论． 【解答】解：因为全集，，集合， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查集合的补集运算，属基础题． 156．已知函数是定义在上的偶函数，．当时，．则不等式的解集为 　 　． 【答案】，，． 【分析】由不等式可以判断函数的单调性，结合偶函数的性质、分式运算的性质进行求解即可． 【解答】解：函数是定义在上的偶函数，， 则（6）； 又当时，由， 可得， 因此函数在区间，上单调递增，在单调递减， 所以当时，； 当或时，． 不等式或， 可得或，故不等式的解集为，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，本题的关键是根据不等式的形式判断函数的单调性，再利用偶函数的性质进行求解，属于中档题． 157．已知，，当变化时，最小值为4，则　 ． 【分析】利用换底公式结合基本不等式确定的最小值表达式，结合题意可得方程，即可求得答案． 【解答】解：由题意得，， ，当且仅当即时取等号， ，，，，此时，适合题意． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题． 158．甲、乙两人同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64，则这个方程的真正的根为 　 　． 【答案】4或8． 【分析】利用对数的换底公式可把方程化简，可利用根与系数的关系确定，，从而可求方程正确的根． 【解答】解：由对数的换底公式可得， 整理可得，， 令，则， 甲写错了常数，，正确 乙写错了常数，，正确， 代入可得， ，，． 这个方程的真正的根为4或8． 【点评】本题主要考查了对数的对数的基本运算，属于基础题． 159．已知函数对一切实数，都有成立，且（1）． （1）求的值和的解析式； （2）将函数的图像向左平移一个单位得到函数的图像，若，且，求的取值范围； （3）若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3），． 【分析】（1）令，，得，再令可得答案； （2），由已知得且，得，设，，利用单调性定义可得在上单调递减，再利用单调性求范围即可； （3），令，画出的图象，由得，记方程的根为、，当或，时原方程有三个不同的实数解，结合图象和二次函数的根的分布可得答案． 【解答】解：（1）令，， 则（1），得， 再令，则， 得； （2），由及，得且， 所以， 设，， 令， 则， 因为， 所以，，， 所以， 即， 所以在上单调递减， 所以； （3）， 令，且，则的图象如下， 则由，得， 记方程的根为、， 当或，时，原方程有三个不同的实数解，如图， 记， 所以或， 解得或， 所以时满足题设， 所以实数的取值范围为，． 【点评】本题考查了用赋值法求函数的值、用定义法判断函数的单调性，也考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题． 160. 已知函数其中，是非空数集，且，设，，，． （Ⅰ）若，，，求； （Ⅱ）是否存在实数，使得，，且，？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若，且，，是单调递增函数，求集合，． 【分析】利用的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可； （Ⅱ）抓住线索，逐层深入，先判断，得的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定的值；（Ⅲ）先根据函数的单调性确定，，再证明在上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合，． 【解答】解：，，，，，， ，，，，，． ， （Ⅱ）若，则，，不符合要求 ，从而 ， ，得 若，则 ，的原象且 ，得，与前提矛盾 此时可取，，，，，满足题意 （Ⅲ）是单调递增函数，对任意，有， ，同理可证： 若存在，使得，则， 于是， 记，， ，，同理可知，， 由，得； 对于任意，，取，中的自然数，则 ， ， 综上所述，满足要求的，必有如下表示： ，，，，，其中 或者，，，，，其中 或者，， 或者，， 【点评】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题解决问题的能力 1 / 100 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 期末真题百练通关（160题33大常考题型） 一．元素、集合与空集 二．交、并、补及其运算 三．充分条件、必要条件和充要条件的判断与应用 四．命题的真假判断与应用 五．等式与不等式的性质 六．基本不等式及其应用 七．运用基本不等式求最值 八．分式不等式的解法 九．一元二次不等式及其应用 十．一元二次方程的根的分布与系数的关系 十一．反证法 十二．绝对值不等式的解法 十三．有理数指数幂及根式 十四．对数的运算性质 十五．幂函数的概念 十六．幂函数的图象与性质 十七．指数函数的值域 十八．指数函数的图象与性质 十九．对数函数的图象与性质 二十．对数型复合函数的定义域、单调性 二十一．函数的概念 二十二．函数的图象与图象的变换 二十三．函数的定义域及其求法 二十四．函数的值域与最值 二十五．函数的单调性 二十六．函数的奇偶性 二十七．奇偶性与单调性的综合 二十八．奇偶性与单调性的综合 二十九．求函数的零点 三十．函数的零点与方程根的关系 三十一．二分法 三十二．分段函数的应用 三十三．根据实际问题选择函数类型 一．元素、集合与空集 1．（24-25高一上•徐汇区期末）设是实数，集合，，若，则 　 　 ． 2．（24-25高一上•浦东新区期末）已知集合，，，其中．若存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　 　． 3．（24-25高一上•浦东新区期末）集合，的子集个数为 　 　． 4．（24-25高一上•金山区校级期末）若集合，则实数的取值范围是　 　． 二．交、并、补及其运算 5．（24-25高一上•嘉定区期末）设全集，，，，，集合，，，集合，，则　 　 ． 6．（24-25高一上•普陀区校级期末）若集合，，则　　 A． B． C． D． 7．（24-25高一上•金山区校级期末）设集合，集合，．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（24-25高一上•宝山区校级期末）设集合，1，2，3，，，则 　 　． 9．（24-25高一上•黄浦区校级期末）集合，，则 　 　． 10．（24-25高一上•宝山区校级期末）设全集，，，4，6，，则　 　． 11．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知全集，，集合，则　 　． 12．（24-25高一上•上海校级期末）已知全集，0，，，，则 　 　． 13．（24-25高一上•青浦区期末）已知全集，2，3，，，，则 　 　． 三．充分条件、必要条件和充要条件的判断与应用 14．（24-25高一上•浦东新区校级期末）设，，则“”是“且”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知为定义在上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 16．（24-25高一上•黄浦区校级期末）“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（24-25高一上•上海校级期末）已知，都是正数，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 18．（24-25高一上•浦东新区期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 19．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知集合，． （1）若，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 四．命题的真假判断与应用 20．（24-25高一上•浦东新区期末）如果，那么下列不等式中正确的是　　 A． B． C． D． 21．（24-25高一上•静安区校级期末）已知，且方程无实根．现有四个命题 ①若，则不等式对一切成立； ②若，则必存在实数使不等式成立； ③方程一定没有实数根； ④若，则不等式对一切成立． 其中真命题的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（24-25高一上•徐汇区校级期末）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为严格增函数，则、、中至少有一个是严格增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是　　 A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 23．（24-25高一上•金山区校级期末）已知“若，则 “为真命题，则实数的取值范围是 　 　． 24．（24-25高一上•浦东新区校级期末）对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题： ①存在函数满足：，且有最小值； ②设，若，则； ③若，则为单调函数； ④设，则． 其中所有正确命题的序号为　 　． 五．等式与不等式的性质 25．（24-25高一上•浦东新区校级期末）若实数，，满足，，则　　 A． B． C． D． 26．（24-25高一上•徐汇区校级期末）若，，则一定有　　 A． B． C． D． 27．（24-25高一上•金山区校级期末）如果，那么下列不等式错误的是　　 A． B． C． D． 28．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 29．（24-25高一上•宝山区校级期末）若，，则下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 六．基本不等式及其应用 30．（24-25高一上•宝山区校级期末）设，，且，则的最小值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 31．（24-25高一上•浦东新区期末）设，且，则的最大值为 　 　． 32．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知，求的最小值是 　 　． 33．（24-25高一上•黄浦区校级期末）已知正实数、满足，则的最小值为 　 　． 34．（24-25高一上•金山区校级期末）已知正实数，满足，则的最小值为 　 　． 35．（24-25高一上•徐汇区校级期末）函数的最小值是 　 　． 36．（24-25高一上•浦东新区校级期末）某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元． （1）设半圆的半径（米，试建立塑胶跑道面积与的函数关系； （2）由于条件限制，，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元） 七．运用基本不等式求最值 37．（24-25高一上•上海校级期末）已知，，，，若，，，则的最小值为 　 　． 38．（24-25高一上•上海校级期末）已知，则的最小值为 　 　． 八．分式不等式的解法 39．（24-25高一上•嘉定区期末）不等式的解集是 　 　． 40．（24-25高一上•上海校级期末）不等式的解集为 　 　． 九．一元二次不等式及其应用 41．（24-25高一上•浦东新区期末）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是　　 ． 42．（24-25高一上•宝山区校级期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为，乙写错了常数，得到的解集为．那么原不等式的解集为 　 　． 43．（24-25高一上•静安区校级期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 　 ． 44．（24-25高一上•虹口区期末）已知函数，若非空集合， ，满足，则实数的取值范围是 　 　． 45．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为　 　． 46．（24-25高一上•虹口区期末）定义运算：，．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 十．一元二次方程的根的分布与系数的关系 47．（24-25高一上•金山区期末）若一元二次方程两实数根为，，则 　 　． 48．（24-25高一上•嘉定区期末）若方程的两个实数根为，，则　 　． 49．（24-25高一上•上海校级期末）已知方程的两根为，，则　 　． 50．（24-25高一上•金山区校级期末）已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围． 十一．反证法 51．（24-25高一上•松江区期末）用反证法证明命题：“对于三个实数、、，若，则或”时，提出的假设正确的是　　 A．且 B．或 C． D． 52．（24-25高一上•上海校级期末）用反证法证明命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．则假设的内容是　　 A．，都能被5整除 B．，有1个不能被5整除 C．不能被5整除 D．，都不能被5整除 53．（24-25高一上•上海校级期末）设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数． 十二．绝对值不等式的解法 54．（24-25高一上•青浦区期末）若，都满足方程且，则的取值范围是 　 　． 55．（24-25高一上•宝山区校级期末）设，则方程的解集为 　 　． 56．（24-25高一上•普陀区校级期末）方程的解集为 　 　． 57．（24-25高一上•松江区期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 　 　． 58．（24-25高一上•上海校级期末）关于的方程的解集为 　 　． 59．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知，其中为常数． （1）当时，解不等式； （2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有．若，且，求函数，的解析式； （3）若在，上存在个不同的点，2，，，，使得，求实数的取值范围． 60．（24-25高一上•静安区校级期末）对于两个实数，，规定， （1）证明：关于的不等式解集为； （2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值． 十三．有理数指数幂及根式 61．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知实数，满足，则 　 　． 62．（24-25高一上•宝山区校级期末）将化为有理数指数幂的形式为 ． 28．（24-25高一上•嘉定区期末）若，化简： 　 　． 十四．对数的运算性质 63．（24-25高一上•徐汇区校级期末）若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件 64．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知，，且，则的最小值为　　 A．4 B．8 C．16 D．32 65．（24-25高一上•虹口区期末）已知，则 　 　． 66．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知，则 　 　． 67．（24-25高一上•金山区校级期末）已知，则　 　（用表示）． 68．（24-25高一上•静安区校级期末）已知，则　 　．（用，表示） 69．（24-25高一上•宝山区校级期末）若，且，则 　 　． 70．（24-25高一上•黄浦区校级期末）已知，，则 　 　．（用，的代数式子表示） 72．（24-25高一上•宝山区校级期末）方程的解为　 　． 十五．幂函数的概念 73．（24-25高一上•金山区校级期末）已知幂函数的图象过点，则　 　． 74．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知幂函数为奇函数，则　 　． 75．（24-25高一上•普陀区校级期末）若幂函数的图像经过点，则实数　 　． 76．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知幂函数的图象关于点对称． （1）求该幂函数的解析式； （2）设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象．（提示：列表、描点、连线作图） 77．（24-25高一上•上海校级期末）已知函数为幂函数，且为奇函数． （1）求的值； （2）求函数在的值域． 十六．幂函数的图象与性质 78．（24-25高一上•黄浦区校级期末）已知幂函数在上单调递减，则实数　 　． 79．（24-25高一上•宝山区校级期末）下列关于幂函数的描述中，正确的是　　 A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数 D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点 80．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知幂函数的图像过原点，则　 　． 81．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知幂函数在上是严格减函数，则___ _______． 十七．指数函数的值域 82．（24-25高一上•静安区校级期末）已知函数，，若对任意的，，存在，，使得，则整数的取值集合真子集的个数为 　　 ． 83．（24-25高一上•青浦区期末）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为 　 　． 十八．指数函数的图象与性质 84．（24-25高一上•黄浦区校级期末）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 85．（24-25高一上•宝山区校级期末）函数的值域为　 　． 86．（24-25高一上•上海校级期末）指数函数且的图象经过点，则的值为　 　． 87．（24-25高一上•黄浦区校级期末）函数的图像恒过定点，则的坐标是　　 A． B． C． D． 十九．对数函数的图象与性质 88．（24-25高一上•上海校级期末）函数，的图象恒过定点，则点的坐标是　 　． 89．（24-25高一上•杨浦区校级期末）函数且的图象必经过点　 　（填点的坐标） 90．（24-25高一上•宝山区校级期末）函数的零点是　 　． 二十．对数型复合函数的定义域、单调性 91．（24-25高一上•金山区期末）函数的定义域为　 　． 92．（24-25高一上•上海校级期末）已知常数，函数的表达式为． （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间，上的最大值为2，求实数的值． 93．（24-25高一上•松江区期末）如图，已知，是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为 　 　． 94．（24-25高一上•金山区期末）已知，函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，当，时，，求函数的最小值； （3）当且时，关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围． 二十一．函数的概念 95．（24-25高一上•奉贤区期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数图象是　　 A． B． C． D． 96．（24-25高一上•金山区期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 97．（24-25高一上•嘉定区期末）下列函数与函数相同的是　　 A． B． C． D． 98．（24-25高一上•宝山区校级期末）函数的定义域为 　 　． 99．（24-25高一上•浦东新区校级期末）函数的部分图象大致是　　 A． B． C．D． 二十二．函数的图象与图象的变换 100．（24-25高一上•虹口区期末）函数的图象的大致形状是　　 A． B． C． D． 101．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． （1）若，，对进行变换后得到函数，解方程． （2）若，对进行变换后得到函数，解不等式． （3）若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数． 二十三．函数的定义域及其求法 102．（24-25高一上•浦东新区校级期末）函数的定义域为　 ． 103．（24-25高一上•宝山区校级期末）函数的定义域是 　 　． 104．（24-25高一上•长宁区校级期末）函数的定义域是　 　． 二十四．函数的值域与最值 105．（24-25高一上•宝山区校级期末）设函数的定义域为，，值域为，，下列结论正确的是　　 A．当时，的值不唯一 B．当时，的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 106．（24-25高一上•静安区校级期末）已知函数可表示为　　 1 2 3 4 则下列结论正确的是　　 A．（4） B．的值域是，2，3， C．的值域是， D．在区间，上单调递增 107．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________． 108．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知函数的定义域为，，值域为，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 109．（24-25高一上•杨浦区校级期末）若函数存在最小值，则实数的取值范围为 　 　． 二十五．函数的单调性 110．（24-25高一上•宝山区校级期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递减的函数是　　 A． B． C． D． 111．（24-25高一上•上海校级期末）已知满足，，，都有，则实数的取值范围为 　 　． 112．（24-25高一上•黄浦区校级期末）函数的单调递增区间为_______． 113．（24-25高一上•浦东新区校级期末）函数的增区间是　 　． 114．（24-25高一上•上海校级期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求的值域． （Ⅱ）若在上单调递增，求实数的取值范围． （Ⅲ）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点．若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围． 二十六．函数的奇偶性 115．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知函数，且，那么（2）　 　． 116．（24-25高一上•杨浦区校级期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，为常数），则　 　． 117．（24-25高一上•徐汇区校级期末）是定义在上的奇函数，当时为常数），则的值为　 　． 118．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知，其中为实数． （1）当时，证明函数在，上是严格增函数； （2）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由． 二十七．奇偶性与单调性的综合 119．（24-25高一上•宝山区校级期末）定义在上的偶函数在，上是增函数，且（2），则不等式的解集为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 120．（24-25高一上•金山区校级期末）下列函数中，在上既是奇函数又是减函数的是　　 A． B． C． D． 121．（24-25高一上•静安区校级期末）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 122．（24-25高一上•徐汇区校级期末）已知偶函数在区间，上为严格单调递增，则满足的的取值范围是 　 　． 123．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知函数是定义在区间，上的函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）用定义证明函数在区间，上是增函数； （3）解不等式． 二十八．奇偶性与单调性的综合 124．（24-25高一上•浦东新区校级期末）定义在上的奇函数在区间上单调递减，且（6），则不等式的解集为　　 A．，， B．，，， C．，， D．，，， 125．（24-25高一上•宝山区校级期末）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是　　 A． B． C． D． 二十九．求函数的零点 126．（24-25高一上•虹口区期末）函数的零点为 　 　． 127．（24-25高一上•浦东新区校级期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 128．（24-25高一上•上海校级期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，、、，则实数和分别等于　　 A．、 B．2、3 C．、2 D．、 三十．函数的零点与方程根的关系 129．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是　 　． 130．（24-25高一上•上海校级期末）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 　 　． 131．（24-25高一上•静安区校级期末）设，若存在使得关于的方程恰有六个解，则的取值范围是 　 　． 132．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知关于的方程在区间，上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 　 　． 133．（24-25高一上•徐汇区校级期末）已知是定义在上且周期为3的函数，当，时，，若函数在区间，上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是　 　． 134．（24-25高一上•黄浦区校级期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 135．（24-25高一上•浦东新区校级期末）已知函数对任意实数，方程有解，则的取值范围是 　 　． 136．（24-25高一上•黄浦区校级期末）已知，若函数，恰有两个零点，则的取值范围是 　 　． 137．（24-25高一上•浦东新区校级期末）设，函数恰有三个零点，则的取值集合为 　 　． 三十一．二分法 138．（24-25高一上•静安区校级期末）若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则的取值集合是　　 A． B． C． D．， 139．（24-25高一上•杨浦区校级期末）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得（1），（2），，则小胡同学在下次应计算的函数值为　　 A． B． C． D． 140．（24-25高一上•宝山区校级期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间，上零点的近似值，第一次计算（1）、（3）的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则　 　． 三十二．分段函数的应用 141．（24-25高一上•普陀区校级期末）已知且，若在上是严格增函数，则实数的取值范围是 　 　． 142．（24-25高一上•虹口区期末）已知函数，，，则　　 A．的最大值为3，最小值为1 B．的最大值为，无最小值 C．的最大值为，无最小值 D．的最大值为3，最小值为 143．（24-25高一上•静安区校级期末）若函数的最小值为，则实数的取值范围是 　 　． 三十三．根据实际问题选择函数类型 144．（24-25高一上•金山区校级期末）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为（米秒），且，时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，，． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米小时？ 145．（24-25高一上•普陀区校级期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润销售额成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 146．（24-25高一上•浦东新区校级期末）一家新兴的医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划应用新技术生产一种新型的医疗器械；已知生产该产品的每年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台需另投入成本万元，且． 由市场调研知，该产品每台的售价为200万元时，本年度内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 147．（24-25高一上•宝山区校级期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一套机器人，包括三个：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．已知每套吉祥物的进价为元，其中与进货量成反比，当进货1万套时，为9元，据市场调查，当每套吉祥物的售价定为元时，销售量可达到万套，若展销的其他费用为1万元，且所有进货都销售完． （1）每套吉祥物售价定为70元时，能获得的总利润是多少万元？ （2）当为多少时，每套吉祥物的净利润最大？ 148．（24-25高一上•普陀区校级期末）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克立方米）时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：， （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为（毫克立方米），其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 149．（24-25高一上•浦东新区校级期末）武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系．据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营．城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为． （1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式； （2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营．为体现节能减排，发车间隔时间，，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值． 150．（24-25高一上•普陀区校级期末）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下： ①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值（单位：与游玩时间（单位：小时）满足关系式：； ②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）； ③超过5小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50． （1）当时，写出累计经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值； （2）该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围． 151．（24-25高一上•青浦区期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：与经过时间（单位：的关系现有三个函数模型：①，②，③可供选择．（参考数据：， （1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； （2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 152．（24-25高一上•静安区校级期末）某创业团队拟生产、两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图，产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图．（注利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将、两种产品的利润、表示为投资额的函数； （2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入、两种产品的生产，问：当产品的投资额为多少万元时，生产、两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 153．如图，等腰直角三角形中，，在边上任取一点，过作斜边的垂线交于，则当点按的方向移动时，图中阴影部分的面积随的长度变化的函数关系的图象是　　 A． B． C． D． 154．若函数的最小值为3，则实数的值为　　 A．5或8 B．或5 C．或 D．或8 155. 已知全集，，集合，则　 　． 156．已知函数是定义在上的偶函数，．当时，．则不等式的解集为 　 　． 157．已知，，当变化时，最小值为4，则　 ． 158．甲、乙两人同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64，则这个方程的真正的根为 　 　． 159．已知函数对一切实数，都有成立，且（1）． （1）求的值和的解析式； （2）将函数的图像向左平移一个单位得到函数的图像，若，且，求的取值范围； （3）若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 160. 已知函数其中，是非空数集，且，设，，，． （Ⅰ）若，，，求； （Ⅱ）是否存在实数，使得，，且，？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若，且，，是单调递增函数，求集合，． 1 / 100 学科网（北京）股份有限公司 $