期末复习-专题05 压轴突破（21大类题型）-2025-2026学年人教版七年级上册数学《解锁期末满分 期末冲刺密卷》

期末复习-专题05 压轴突破（21大类题型） 选择题 题型1：绝对值+数轴 +最值综合 题型2：有理数混合运算巧算 +陷阱题 题型3：有理数规律探究 题型4：方程解的个数判断 题型5：方程解的性质辨析 题型6：方程应用题雏形陷阱 题型7：线段动态分类 题型8：角的综合辨析 题型9：中点/角平分线的多结论判断 题型10：代数式化简+求值陷阱 题型11：代数式规律探究进阶 填空题： 题型12：绝对值 + 偶次幂非负性综合 题型13：数轴上动点综合计算 题型14：含参一元一次方程的解的计算 题型15：一元一次方程应用临界值 题型16：线段动态计算 题型17：角的折叠 + 角平分线综合 题型18：线段 / 角的分类讨论 解答题 题型19：一元一次方程综合应用题 题型20：线段/角的动态综合解答题 题型21：有理数+代数式综合压轴解答题 选择题 题型1：绝对值+数轴 +最值综合 1．如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又 ， ， ． 故选：A． 2．已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的性质（绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数）、绝对值的运算规律；掌握将拆分为的形式，通过分析各差值的符号组合求的最小值，是解题的关键．先根据绝对值的性质，得出两种情况；再将差值转化为前三个差值的和，通过绝对值的运算性质表示出；最后分析不同符号组合下的结果，找出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 3．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 4．有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，．云汉数学小组研究了上述数组，得出以下结论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，； ④当，（，且x为整数）时，． 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据运算法则，分别先求出前面的几个数值，再观察发现其规律，再判定结论错误与否即可．本题考查了数的变化规律以及绝对值的知识点，整式的加减，一元一次方程，理解题意，准确计算是关键． 【详解】解：根据题意有， ①当时，， 故①结论错误； ②当时， ， ， 故②结论正确； ③当时， 则有：，，， 当时，或， 故③结论错误； ④，（，且x为整数）时， ， 故④结论正确； 综上所述，正确的结论个数为2个． 故选：B． 5．已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，完全平方非负性，数轴上两点间距离等，根据以上知识解答即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，即①正确， ∵点O是原点，点A所对应的数是a， ∴点A所对应的数是4， ∵， ∴， ∵当点B与点O重合时， ∴点表示的数为， ∵线段在直线上运动（点B在点C的左侧）， ∴表示的数为，即，即②不正确， ∵当点C与点A重合时， ∴点表示的数为4， ∵点B在点C的左侧，， ∴点B表示的数为2， ∵点P是线段延长线上的点， ∴，， ∴，即③正确； ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为四种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ，； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ，； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ，； 第四种情况：当和都在右边时，如图： ，， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确， 故选：D． 6．如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数． 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 7．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，12，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点落在射线上且到点B的距离为4，则C点表示的数是（   ） A． B．3 C．或3 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A的对应点表示的数，再利用中点公式求出C点表示的数． 【详解】解：设是点A的对应点，由题意可知点C是A和的中点 当点A在B的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点A在B的左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故选：C． 题型2：有理数混合运算巧算 +陷阱题 1．计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 2．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 3．对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， 因为，， 所以， 以此类推，得 ， ， ， ， ， ， ， …… ∵， ∴ ， 故选：D． 题型3：有理数规律探究 1．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】D 【分析】本题考查了用点来表示数轴上的有理数，规律探究，正确理解正方形转动的规律是解题的关键．利用已知，找到循环规律，然后看对应的数2026的是谁即可． 【详解】解：正方形在数轴上点对应的数分别为， 正方形的边长为1， 转动时点对应的数依次为； 点对应的数依次是 点对应的数依次是 点对应的数依次是 ， 2026对应的是第507次循环后的点． 故选：. 2．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 3．如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：A． 4．一只跳蚤在一数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，所在位置表示的数是(　　) A．50 B．－50 C．100 D．－100 【答案】B 【详解】【分析】首先根据题意，求得每一次k1，k2，k3，k4，k5，k6点所表示的数，即可得到规律：当n为奇数时：Kn点所表示的数为：；当n为偶数时：Kn点所表示的数为：-．继而求得答案. 【详解】根据题意得：第一次K1点所表示的数为1，第二次k2点所表示的数为-1，第三K3点所表示的数为2，K4点所表示的数为-2，K5点所表示的数为3，K6点所表示的数为-3； ∴K100点所表示的数为：-； 故选：B． 【点睛】此题考查了数轴的性质．此题难度适中，解题的关键是得到规律：当n为奇数时：Kn点所表示的数为：；当n为偶数时：Kn点所表示的数为：-． 5．观察下列算式：，，，，，，，，……根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，（k为正整数）这一列数，每四个数的末尾数字循环一次，依次为2，4，8，6，据此规律求解即可． 【详解】解：∵，，… ∴（k为正整数）这一列数，每四个数的末尾数字循环一次，依次为2，4，8，6， ∵ ∴的末位数字是8． 故选：D． 题型4：方程解的个数判断 1．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况． 【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x 可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n ∵有至少两个不同的解， ∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0， 即m＝﹣2，n＝6， 把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m， ∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值． 2．如果关于x的方程有唯一解，那么实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解，根据方程有解确定出a的范围即可． 【详解】解：∵关于的方程有解， ∴， ∴； 故选：D． 3．已知关于的方程，当，取任意实数时，方程有唯一解；当，时，方程有无数解；当，时，方程无解．若关于的方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将进行去分母、移项、合并同类项得，根据该方程无解并结合题意即可求解． 【详解】解： ， ∵方程无解， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的无解问题，理解题意是解决本题的关键． 4．若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（   ） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程．首先解方程，可得：，再根据方程有两个解的条件可得到a，b的值，然后代入方程中即可知道其解的情况． 【详解】解：解方程， 可得：， ∵有至少两个不同的解， ∴，， 即，， 把，代入中得： ， ∴方程无解． 故选：D． 题型5：方程解的性质辨析 1．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 2．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可． 【详解】解：可化为： ， 即：. . 又为整数， 或或. 故选：． 4．小军同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘2，因而求得方程的解为3，则m的值和方程的正确解为（    ） A．2，2 B．2，3 C．3，2 D．3，3 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 根据错误去分母得到错误方程，代入求出m，再代入原方程求解正确解． 【详解】解：∵去分母时右边未乘2， ∴错误方程为：， 代入得：， 即， 解得：， 将代入原方程：， 去分母两边乘2：， 即， 解得：． 故选：C． 5．有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化类，先根据已知条件中的方程，找出规律，求出第个方程和方程的解，列出关于的方程，求出，从而求出即可．解题关键是根据已知条件找出规律． 【详解】解：观察已知条件中的方程可知：第n个方程为：， 方程的解为：， ∵第n个方程的解为， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟记使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解题的关键． 根据题中两个方程的关系，可知，即可求出y的值． 【详解】解：∵方程的解为， ∴方程的解满足， 解得：． 故选：C． 题型6：方程应用题雏形陷阱 1．A，B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为小时，相距要从相遇前和相遇后； 追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为小时，依题意得： 当快车从地开往地，慢车从地开往地，两车相距时， 则有：，解得； ②当快车继续开往地，慢车继续开往地，相遇后背离而行，两车相距时，，解得 ； ③快车从地到地全程需要(小时)，此时慢车从地到地行驶， ， ∴快车又从地返回地是追慢车，则有：， 解得 ； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有，解得 ； ⑤快车返回地终点所需时间是小时，此刻慢车行驶了 ，距终点还需行驶，则有：，解得 ； 综上所述，两车恰好相距的次数为次． 故选：B． 2．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——猜数游戏．熟练掌握游戏规则，建立一元一次方程，是解题的关键． 设甲想的数为x，根据每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，列式、列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为， ∴乙想的数为，戊想的数为， ∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6， ∴ ， 解得． ∴甲同学心中所想的数是． 故选：C． 3．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2024次相遇在边（   ）上． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了路程问题的一元一次方程应用；设甲的速度为x，正方形的边长为a，需要t秒第2024次相遇，根据路程=速度时间，即可得到关于t的一元一次方程，解得t的值，可得的值，即甲移动的路程，由此即可求得相遇所在的边． 【详解】解：设甲的速度为x，则乙的速度为，设正方形的边长为a，需要t秒第2024次相遇， 第一次相遇，甲乙的路程和为，其余次相遇，每次相遇的路程和为， 由题意：， 解得：， 即， 而， 表明甲还差才能移动圈，因甲是顺时针移动，则此时甲移动到了边上； 故选：B． 4．幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A． B．5 C． D．5或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的四则混合运算，由横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合横、竖两列的数相等及八个数分别为 可求出内圆上最左边的数，结合八个空填写不同的八个数，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：根据题意得：,解得：, 又横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为， 横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为， , 在”幻圆”中填上部分数，如图所示： 可以为或， 当时，， 当时，， 的值为或， 故选：． 5．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，分别给定、、、中一个字母的值，利用方程分别求解图3中未知的数据，从而可得答案． 【详解】解：如图，当， ， ∴②， ∴每一行的和， ∵， ∴，， ∵， ∴③， ∴， ∴，， ∴每一行的和为：， ∴，①， 如图， ∴A不符合题意； 如图，当时，则②， ∴②， ∵， ∴， ∵②， ∴②， ∴每一行的和为：， ∴，， ∴①， ③， 如图， ∴C不符合题意； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴每一行的和为：， ∴， ①， ③， ， ②， 如图， ∴D不符合题意； 如图，当时，则每一行的和为：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴给定的值不能补全图3． 故选：B 题型7：线段动态分类 1．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 【答案】D 【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可． 【详解】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t， ∵PB＝2， ∴|2t−5|＝2， ∴2t−5＝−2，或2t−5＝2， 解得t＝或t＝； ②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t， ∵PB＝2， ∴|20−2t−5|＝2， ∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2， 解得t＝或t＝． 综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒或秒． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键． 2．如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差关系，根据题意可设，，则，，可求出，，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∵动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， 故选：D． 3．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 故选：． 4．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值． 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， …… 由此可得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键． 5．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 6．如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（　　） 甲：当点B与点O重合时，； 乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则； 丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变 A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙 【答案】D 【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法； 乙：画出图形，设点P表示的数为x，则，可判断乙的说法； 丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解． 【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时， ，故甲的说法错误； 乙：如图2，当点C与点A重合时， 设点P表示的数为x，则， ∴，故乙的说法正确； 丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是， ∵O是原点，点A表示的数是4，M，N为线段的中点， ∴点M表示的数是，点N表示的数是， ∴，故丙的说法正确． 故选D． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键． 7．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC． 【详解】设运动时间为t， 则AB=2t，BD=10-2t， ∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点， ∴EB= =t，BC= =5-t， ∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm， 故选：B． 【点睛】此题考查对线段中点的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键． 题型8：角的综合辨析 1．如图，将一张正方形纸片折叠(提示；)，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，角度的和差计算；设，，依据，即可得到的度数，进而得出的度数． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 2．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以设∠EAD′=α，∠FAB′=β，根据折叠可得∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE，进而可求解． 【详解】解：设∠EAD′=α，∠FAB′=β， 根据折叠性质可知： ∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE， ∵∠B′AD′=8°， ∴∠DAF=8°+β， ∠BAE=8°+α， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠DAB=90°， ∴8°+β+β+8°+8°+α+α=90°， ∴α+β=33°， ∴∠EAF=∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′ =8°+α+β =8°+33° =41°． 则∠EAF的度数为41°． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何中角的计算，解决本题的关键在于能够根据题意找到角之间的关系． 3．如图，把一张长方形的纸片沿着折叠，点分别落在的位置，且， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠可知，结合以及可得，求解即可获得答案． 【详解】解：∵在长方形中，纸片沿着折叠， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查几何图形中角的运算、图形折叠等知识，掌握折叠后的图形性质是解题的关键． 题型9：中点/角平分线的多结论判断 1．如图所示，已知，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分．以上结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线、几何图形中角度计算、余角等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据等量代换可知，即可判断结论①；已知条件无法证明，即可判断结论②；结合，可得，即可判断结论③；由角平分的定义可知，进而可得，易得平分，即可判断结论④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故结论①正确； 已知条件无法证明，故结论②错误； ∵， ∴， 故结论③正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有3个． 故选：C． 2．如图，在同一平面内，，平分，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即，所以①正确； ， 所以②正确； ， 而，所以③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴，所以④正确． 所以，正确的结论有3个． 故选：C． 3．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分．下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④ ．其中结论正确的序号是（    ） A．①②④ B．③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的定义及性质，角平分线定义，角的和差计算，根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果判断即可． 【详解】解：∵平分平分， ∴ ∴， ∵， ∴与不互为余角，故①错误； ，故②正确； ∵ ∴ ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵平分平分， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； ∴④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：D． 4．如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分线的定义，互为余角，互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分平分， ， ， ， ∴，故①正确，②错误， ， ， ， ∴与互补，故③正确， ， ∴．故④正确． 故选：D． 5．如图，点为线段外一点，，，，为上顺次排列的四点，连接，，，，在下列结论中：    ①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题综合考查了角平分线和线段中点的相关计算，掌握握手定理内容：有n个人握手，每人握手x次，握手总次数为．根据握手定理求出以O为顶点的角的个数，判断①；根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③；根据，，得到，判断④． 【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， 故②错误； 由中点定义可得：，， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误； 故选：B. 6．如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题综合考查了角平分线和线段中点的相关计算．根据角的表示方法可得以O为顶点的角的个数，判断①；根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③；根据，，得到，判断④． 【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， ∴， 故②正确； 由中点定义可得：，， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误； 故选：C. 7．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 8．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴，，，②错误， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， ∵， ∴．故④正确． 综上所述：错误的结论是②，共1个． 故选A ． 题型10：代数式化简+求值陷阱 1．若代数式的值是6，则代数式的值是（     ） A． B．13 C． D．11 【答案】B 【分析】此题考查了求代数式的值．把原式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵代数式的值是6， ∴． 故选：B 2．当时，代数式的值为5，则当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式求值，把代入得，即，把代入得，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 把代入得， ∴， 故选：C． 3．已知实数a，b，c满足，则当时，多项式的值是（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值．解题的关键是整体代入．把代入多项式可得，再把代入计算即可． 【详解】解：当时， ， ， ， 故选：B． 4．若x、y二者满足等式，且x、y互为倒数，则代数式的值为（    ） A．1 B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值．将原式化简后根据已知条件计算即可． 【详解】解：∵x、y互为倒数， ∴， ∵， ∴ ， 故选：A． 5．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的值为（　　） A．c B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、化简绝对值，整式的加减运算等知识，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是化简绝对值的关键．由有理数a、b、c在数轴上对应点的位置可知：，且，可得、、，进而化简得出结果． 【详解】解：由题意得：，， ∴、、， ∴ ． 故选：A 6．若有理数，，满足，，，则化简的结果为： A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，绝对值的意义，根据绝对值的意义，得出，进而根据得出，根据，得出或，分类讨论，进而化简，再根据整式的加减计算，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴． 若 ，则 ，解得 ． 但 ，且 ，若 ，则 ，符合 ． 若 ，则 ，解得 ． 此时 （因为若 ，则 ，矛盾 )，所以 ． 因此， 的可能值为 或 ． ∵： ∴ ，即 ． 由于 ，有 ． 情况一： 此时：（因为 ）． ． （因为 ）． ∴ 由于 ，有 ，所以： 情况二： 此时：（因为 ）． ．由于 ，有 ，所以 ． （因为 ）． ∴ 两种情况下，化简结果均为 故选：C． 题型11：代数式规律探究进阶 1．探究代数式规律活动课上，小徽用同样大小的正方形按如图所示的规律拼图案，其中图1中有2个白色正方形，图2中有3个白色正方形，图3中有5个白色正方形，，按此规律排列下去，则图10中白色正方形的个数是（   ） A．12 B．14 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，得出计算规律：图（n为正整数）中白色正方形的个数为，图中白色正方形的个数为，据此进行作答即可． 【详解】由所给图形可知， 图1中白色正方形的个数为； 图2中白色正方形的个数为； 图3中白色正方形的个数为； 图4中白色正方形的个数为； 图5中白色正方形的个数为； ， 所以图（n为正整数）中白色正方形的个数为， 图中白色正方形的个数为． 当，即时，， 所以图10中白色正方形的个数为15． 故选：C 2．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第20个图案用的木棍根数是（　　）    A．104 B．109 C．123 D．129 【答案】A 【分析】根据前几个图形，发现每一个图形的木棍数都等于4加上图形位置序数的5的倍数，据此规律求解即可． 本题主要考查了图形的数字规律．根据图形，数出木棍数，数形结合找到规律是解决问题的关键． 【详解】由图可知： 第1个图案用木棍，（根）， 第2个图案用木棍，（根）， 第3个图案用木棍（根）， 第4个图案用木棍，（根）， ∴第n个图案用的木棍根数是，； 当时，． 故选：A． 3．下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（    ） A．69 B．73 C．77 D．83 【答案】B 【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案． 【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1）， 第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3， 第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4， 第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5， 第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6， …… 第⑨个图形中三角形的个数为5+2×8+3+4+5+6+7+8+9+10=73 第n个图形中三角形的个数为5+2×(n-1)+3+4……+(n+1)（n>1） 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出每次变换增加个数规律,列出代数式． 4．观察下面三行数 第一行数： 第二行数： 第三行数： 根据第一行数的排列规律，以及这三行数之间的关系，确定第三行第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数字类规律探索问题，考查了用代数式表示规律问题，由特殊入手，得到一般结论，是本题的关键； 因此先求第一行第8个数，再求第二行第8个数，最后求第三行第8个数． 【详解】∵第一行数的规律是后一项是前一项的倍， ∴第个数可表示为； ∵第二行的每个数比第一行对应数小， ∴第个数可表示为； ∵第三行的每个数是第二行对应数的一半， ∴第个数可表示为 故选：D． 5．观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，题目中的等式表明，，即多项式求和可转化为除以．将题目中的求和式 与上述规律关联，通过添加并减去常数项1，构造符合规律的形式．直接应用公式验证结果，确保答案正确性． 解题的关键是根据题意找出规律． 【详解】解：当时，有， 左边可化简为：． 因此，． 题目要求的和为，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 6．根据图中数字的列规律，在第个图中，的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形中有关数字的变化规律，通过观察图形，得到，，，把代入求出的值，再把的值代入到计算即可求解，仔细观察图形找到规律是解题的关键． 【详解】解：通过观察可得规律：左边三角形上的数字 ， 右边三角形上的数字， 下面三角形上的数字， ∴当时， ，，， ∴， 故选：． 7．根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（    ）． A．168 B．169 C．195 D．196 【答案】A 【分析】在“”区域的规律是第个图：，在“”区域的规律是第个图：，在“”区域的规律是：第个图：；由，可求出，代入的规律即可求解． 【详解】解：由图得 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 在“”区域的规律是： 第个图：， 第个图：， 第个图：， 第个图：； 当时， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了数字类的规律探究，找出规律是解题的关键． 8．观察下列代数式：，，，，…．按此规律，则第n个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别对各式子进行分析得到，代数式的符号，分母，分子的变化规律，写出公式即可． 【详解】解：由四个代数式可知，符号变化，； 分母，； 分子1，5，9，13，，； 所以为． 故选D． 【点睛】本题是规律题，逐一找到各部分的变化规律是解题的关键． 9．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n， m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示2021的有序数对是（    ） A．（63，5） B．（63，59） C．（64，5） D．（64，60） 【答案】D 【分析】根据图中的数字，探究发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2021在第多少排，然后即可写出表示2021的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有个数， ∵当n=64时，=2080， ∴第64排第1个数为2080，此排数字从2080由大到小排列， ∵2080-2021+1=60， ∴表示2021的有序数对是（64，60）， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，探究发现数字的变化特点，写出表示2021的有序数对． 10．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10……这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16．．．．．．这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有（为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意用含n的式子表示出三角形数，正方形数，根据任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和即可求解． 【详解】解：由题意得三角形数3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…， ∴第n个三角形数为，第n+1个三角形数为； 由题意得正方形数为1=12，4=22，9=32，…， ∴第n个正方形数为， ∴． 故选：D 【点睛】本题根据图形找规律，理解“三角形数、正方形数”的定义，并能表示出来是解题关键． 11．如图，观察图形，按此规律，第个图形中三角形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形规律探究，总结归纳出图中三角形的个数出现的规律是解题关键． 根据给出的三个图形可以知道每一个图形中三角形的个数，从而得出规律，第n个图形中三角形的个数为． 【详解】解：第一个图形中三角形的个数为； 第二个图形中三角形的个数为； 第三个图形中三角形的个数为； … ∴第n个图形中三角形的个数为． 故选：C． 12．把面积为1的正方形进行如图分割，观察其规律可得：，则这个“〇”处应填（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形可得规律，，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：根据图形可得规律，， ∴中，这个“〇”处应填， 故选：B． 13．如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据图形变化的规律归纳总结出，然后代入式子变形求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， ， ， ， ， ．．． (n为正整数)， ∴ 故选∶C． 14．如图所示，将一些半径相同的小圆圈“□”按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中“□”的个数为a，第2个图形中“□”的个数为，第3个图形中“□”的个数为，…，以此类推，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形类规律探究．根据图形得到：，进而得到，得到，利用裂项法进行求解即可． 【详解】解：由图可知： ∴， ∴， ∴； 故选：D． 填空题： 题型12：绝对值 + 偶次幂非负性综合 1．若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负数，偶次方的非负数，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0得出a，b的值是解题的关键． 直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：9． 2．有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断，，，然后去掉绝对值合并解题，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】解：根据数轴上点的位置可得，， ∴，，， ∴， 故答案为：3． 题型13：数轴上动点综合计算 1．点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，先根据题意得到A表示的数，再得到点B表示的数，再根据点C到点B的距离为4，利用数轴上两点间的距离公式求出点C的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 2．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 题型14：含参一元一次方程的解的计算 1．如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解、绝对值，先解方程得到，再代入到方程，求出的值，即可得出答案． 【详解】解：解方程，得， 将代入方程，得， 整理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 2．已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查了一元一次方程的解．通过解方程得到关于的表达式，再根据为正整数确定的取值． 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 3．已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及换元法，熟练掌握一元一次方程的解及换元法是解题的关键． 通过整体代换，将关于的方程转化为关于的方程，与已知方程比较求解． 【详解】解： ， 令，上式为， ∵方程的解是， 即，解得， 故答案为：． 4．已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解求参数的值，将代入方程，化简后得到关于的恒等式，令的系数和常数项分别为零，解出和的值，再求它们的和即可． 【详解】解：将代入方程，得． 两边同乘得，即． 整理得． ∵无论为何值方程都成立， ∴且，解得，． ∴． 故答案为：． 5．小文在解关于x的方程时，误将看作，得方程的解为，a的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 将代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：小文误将方程写为，解得， 将代入方程得：， ∴，解得：． 故答案为5． 题型15：一元一次方程应用临界值 1．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米 分钟能追上． 【答案】45 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 设小明每小时走千米，根据题意可得，解出，再计算出追及距离，根据速度差计算追及时间即可． 【详解】设小明每小时走千米， 可得：， 解得， 追及距离为 (千米)， 汽车去追的话需要（小时）， 小时（分钟）． 故答案为：45． 2．一个人乘坐套有3只狗的雪橇赶往朋友家．第一天，雪橇以规定的速度行驶．晚上有1只狗逃走了，剩下的路程只有2只狗拉雪橇，速度是原来的，到达目的地的时间比原计划迟到2天．这个人说：“逃跑的狗如果能再拉雪橇走60千米，那我就只迟到1天．”这个人总共行了 千米． 【答案】180 【分析】本题考查了方程的运用，理解数量关系，设有3只狗的雪橇规定的速度为，则只有2只狗拉雪橇的速度为，由逃跑的狗如果能再拉雪橇走60千米，那我就只迟到1天，由此列式得到有3只狗的雪橇规定的速度为千米，设规定的时间为天，根据行程的数量关系列式求解即可． 【详解】解：设有3只狗的雪橇规定的速度为，则只有2只狗拉雪橇的速度为， ∴， 解得，， ∴有3只狗的雪橇规定的速度为千米， 设规定的时间为天， ∴， 解得，， ∴（千米）， 故答案为： ． 3．科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为，运动过程如下：第次从起点出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点，到达后停止．若机器人的运动速度不超过，记录点恰好为终点，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由机器人的运动速度不超过，可得，再分别以点为终点，分别列出方程求出的值进行判断即可求解，运用分类讨论思想并正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：因为机器人的运动速度不超过， 所以，即， 若恰好为终点，则， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得， 或， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得， 或， 解得， 或， 解得，舍去； 综上所述，记录点恰好为终点时，的值为或或． 4．某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意分情况列一元一次方程是解题的关键． 设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时，由题意知，，解得，，分①当时，②当时，③当时，三种情况列方程计算求解即可． 【详解】解：设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时， 由题意知，，解得，， ①当时， 依题意得，， 解得：， ∴月份的用电量为千瓦⋅时； ②当时， 依题意得，， 解得：，不合题意，舍去； ③当时， 依题意得，， 方程无解； 综上所述，月份的用电量为千瓦⋅时； 故答案为：． 5．为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为 ． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量() 水价(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 【答案】 【分析】本题考查了阶梯计费问题；先判断该同学家的用水量包含哪些阶梯，由表格可知第一阶梯的水费为元，第二阶梯的水费为元，该同学家的用水量明显包含三个阶梯．该同学家缴纳的总水费扣除第一、二阶梯的总水费，就能得出第三阶梯的水费，从而得出第三阶梯的用水量． 【详解】解：根据表格知，，则该同学家的用水量包括第三阶梯费用． 设该同学这一年的用水量为， 依题意得：， 解得： 答：该同学家这一年的用水量为． 故答案为300． 题型16：线段动态计算 1．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 2．如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯． 故答案为：5． 3．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 4．线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为 ． 【答案】或6 【分析】根据时间与速度可以分别表示出AP、BQ，结合分别从相遇前和相遇后，利用线段的和差关系计算出的值． 【详解】解：此题可分为两种情况进行讨论： ①如图1， 点P、Q相遇前，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ， 当时，t＝2(15－t－2t)， 解得t＝； ②如图2， 点P、Q相遇后，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB， 当时，t＝2(t＋2t－15)， 解得t＝6． 综上所述：的值为或6． 故答案为：或6． 【点睛】此题考查了与线段有关的动点问题，正确理解题意，利用线段的和差关系列出方程是解题的关键． 5．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可． 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 6．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 【答案】 20 25或15 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． （1）由折叠的性质得，，，根据当点与点恰好重合时，求解即可； （2）分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴当点与点恰好重合时，， 故答案为：20； （2）当点落在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； 当点落在点的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：25或15． 题型17：角的折叠 + 角平分线综合 1．如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为 ．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 【答案】 【分析】本题考查折叠中的角度计算，根据折叠两重合的角度相等求解即可． 【详解】解：由正方形可得 第一次折叠可得， ∴， ∴， ∴由第二次折叠可得， ∴ 故答案为：． 2．阅读下面材料：利用折纸折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图1，当点在上时，求 ． ②加图2，当点在的内部时，连接，若，，求 ． 【答案】 /度 /度 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算； ①由折叠得出，再由点B'落在上，得出，即可得出结论； ②同①的方法求出，即可得出结论． 【详解】①， 理由：由折叠知，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵点落在， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：． ②由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 题型18：线段 / 角的分类讨论 1．如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 【答案】 【分析】根据A与B表示的数求出AB的长，再由折叠后AB的长，求出BC的长，即可确定出C表示的数． 【详解】解：∵A，B表示的数为-7，3， ∴AB=3-（-7）=4+7=10， ∵折叠后AB=2， ∴BC==4， ∵点C在B的左侧， ∴C点表示的数为3-4=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了数轴，折叠的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 2．如图，将一段长为绳子拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠，若将绳子沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶6，的值可能为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了线段的和差．分别计算三段绳子的长度，再分类讨论，利用线段的和差进行计算即可． 【详解】解：设绳子三段的长分别为、和，两个断点分别为F、E，则，解得：； ①若，，，如图： ∵N为的中点， ∴， ∴； ②若，，，如图： ∵N为的中点， ∴， ∴； ③若，，，如图： ∵N为的中点， ∴， ∴； 故答案为：或或． 3．如图，已知，从点引一条射线，作的角平分线，作的角平分线，的度数为 °． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，掌握“分类讨论思想”是解题的关键．射线的位置不确定，可能在内部，也可能在外部，根据位置不同，分别计算的度数即可． 【详解】当在内部时，如图所示， 平分， ， 平分， ， ， ， ； 当在外部时，如图所示， 平分， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：或 4．已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE= ． 【答案】60°或10° 【分析】需要分类讨论：射线OC在∠AOB的内部和射线OC在∠AOB的外部两种情况．由角平分线的定义以及角的关系求解即可． 【详解】∵∠AOB=70°，∠BOC=50°，且OD，OE分别为∠AOB，∠BOC的角平分线， ∴∠BOD=∠AOB=35°，∠EOB=∠BOC=25°， ①当OC在∠AOB内部时，如图， ∴∠DOE=∠BOD-∠EOB=35°-25°=10°； ②当OC在∠AOB外部时，如图， ∠DOE=∠BOD +∠EOB=35°+25°=60°． 综上所述，∠DOE的度数为60°或10°． 故答案是：60°或10°． 【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义的运用．解题时注意结合图形求得角与角间的和差关系：∠DOE=∠BOD-∠EOB或∠DOE=∠BOD+∠EOB． 5．龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线的垂足O处，并使两条直角边落在直线上，若将绕着点O顺时针旋转一个小于的角得到，射线是的角平分线且满足，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论，①当在内部时，②当在内部时，根据角平分线的定义，以及角度之间的和差关系，即可进行解答． 【详解】解：设， ①当在内部时， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴，解得： ∴； ②当在内部时， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及角度之间的和差关系． 6．已知，射线在同一平面内绕点O旋转，射线分别是和的角平分线．则的度数为 ． 【答案】50°或130°/130°或50° 【分析】分射线OC在∠AOB的内部和射线OC在∠AOB的外部，分别画出图形，结合根据角平分线定义求解． 【详解】解：若射线OC在∠AOB的内部， ∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线， ∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC， ∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOC+∠BOC=50°； 若射线OC在∠AOB的外部， ①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，如图， ∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=50°； ②射线OE，OF都在∠AOB外面，如图， ∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=130°； 综上：∠EOF的度数为50°或130°， 故答案为：50°或130°． 【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． 解答题 题型19：一元一次方程综合应用题 1．有一些相同的教室需要粉刷，一天名师傅去粉刷个教室，结果其中有的墙面未来得及刷；同样的时间内名徒弟粉刷了个教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷的墙面设每个教室墙面面积为． (1)一天名师傅可以粉刷多少； (2)现有个这样的教室需要粉刷，若请名师傅带名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需元，徒弟每天工资需元，则完成所有粉刷共需工资多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题目中所设未知数，正确建立方程求解． （1）根据每个教室墙面面积为，表示出1名师傅一天粉刷墙面积为，1名徒弟一天粉刷墙面积为，再根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面建立方程求解得每个教室的面积，进而计算1名师傅一天的粉刷面积； （2）结合（1）求出徒弟每天单独能够完成的面积，再根据总量求出需要的天数，最后求得费用． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 则师傅每天可粉刷：， 答：名师傅一天可以粉刷； （2）解：徒弟每天可粉刷：， （天）， （元）， 答：共需工资元． 2．在数学综合实践活动课中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 请你根据制作方案，完成下面的问题： 几何体制作方案 步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片． 步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：图1中裁出的一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，图2中裁出的一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元． 步骤3制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个几何体． 若有210张长方形彩纸全部用来制作几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元，才能制作尽可能多的几何体？最多能制作多少个几何体？ 【答案】用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”，最多能制作9个几何体． 【分析】本题考查了列一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 根据题意在不浪费纸张的前提下，设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，列出一元一次方程即可求出结果． 【详解】解：设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，根据题意得： ， 解得， 当时， 即用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”，最多能制作9个几何体． 3．某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1) 267，1698 (2) (3) 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 4．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)42吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的应用——水费问题，正确列出方程是解题的关键． （1）根据7月用水16吨，交水费32元，可得，根据8月费用水28吨，交水费67元，可得，解方程即可； （2）先判断9月份用水量超过了30吨，设为x吨，根据计费规则列方程，解方程即可； （3）设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨，分和两种情况，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：7月用水16吨，交水费32元， ， 解得； 8月份用水28吨，交水费67元， ， 解得； （2）解：当用水量为30吨时，水费为：（元）， 9月份上交水费115元，， 9月份用水量超过30吨，设为x吨， 则， 解得， 即小王家9月用水42吨； （3）解：设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨， 当时，， 解得， 当时， ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上可得，小王家11月份用水13吨． 5．凤翔泥塑是陕西宝鸡的国家级非物质文化遗产，某文创店计划采购泥塑制作工具包和泥塑摆件．已知每套工具包比每个摆件贵20元，购买一套工具包和一个摆件共需花费180元． (1)求每套工具包和每个摆件的售价分别是多少？（列一元一次方程解答） (2)该文创店计划购买100套工具包和个摆件．现有两家工艺品店给出不同优惠方案： 甲店：每购买10套工具包，送一个摆件； 乙店：若购买工具包超过90套，则工具包原价，但购买摆件打八折． ①请用含m的代数式分别表示出到甲店和乙店购买商品所花的费用； ②若文创店的预算是12000元，选择在哪家店购买的摆件更多？ 【答案】(1)每套工具包的售价为100元，每个摆件的售价为80元； (2)①到甲店购买所花的费用为：元，到乙店购买所花的费用为：元；②在甲店购买的摆件更多 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每套工具包的售价为x元，则每个摆件的售价为元，根据买一套工具包和一个摆件共需花费180元，列出方程，解方程即可； （2）①根据题意分别列出代数式即可； ②根据总费用分别列出方程，然后解方程，求出m的值，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设每套工具包的售价为x元，则每个摆件的售价为元， ∴， 解得， ∴， 答：每套工具包的售价为100元，每个摆件的售价为80元； （2）解：①到甲店购买所花的费用为： 元， 到乙店购买所花的费用为： 元； ②当时，解得：； 当时，解得：； 因为购买摆件的数量为整数，所以最大可取， 因为， 所以在甲店购买的摆件更多． 6．在以“六个统筹”谱写“十五五”体育强国建设新篇章的政策指引下，大众健身热情持续高涨，体育用品需求稳步提升．体育用品商店精准把握市场需求，用7800元购进篮球和排球共170个，以满足广大健身爱好者的需求．篮球、排球的进价和售价如下表所示． 篮球 排球 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 100 60 (1)体育用品商店购进篮球和排球各多少个？ (2)某校计划举办校园体育节，准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，且排球的购买数量大于篮球购买数量的，该体育用品商店给出两种优惠方案： 方案一：两种球的售价都打8折； 方案二：每购买2个篮球，赠送1个排球． 学校根据购买清单发现两种方案的购买总价是一样的．求学校准备购买篮球和排球各多少个． 【答案】(1)购进50个篮球，120个排球 (2)购买12个篮球，10个排球 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设体育用品商店购进x个篮球，则购进个排球，根据题意列方程即可； （2）设学校准备购买m个篮球，则购买个排球，根据两种方案的购买总价是一样的列方程求解即可． 【详解】（1）解：设体育用品商店购进x个篮球，则购进个排球， 根据题意，得， 解得， ， 答：体育用品商店购进50个篮球，120个排球； （2）解：设学校准备购买m个篮球，则购买个排球， 根据题意，得， 解得， ， 符合题意， 答：学校准备购买12个篮球，10个排球． 7．某书店为促销经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 12元/本 超过200本但不超过500本的部分 9元/本 超过500本的部分 6元/本 (1)若购买350本这种经典名著，需花费___________元；若购买650本这种经典名著，需花费___________元； (2)某学校为丰富图书馆藏书，花了2517元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ (3)该校教务处先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了900本，其中第一次购买的数量超过450本，且小于700本，两次共花费9150元，求第一次购买的数量． 【答案】(1)3750；6000 (2)213本 (3)第一次购买的数量为550本 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用． （1）根据售价表计算即可； （2）求出购买量位于第二阶梯，用总价减去第一阶梯的总价，再除以第二阶梯的单价即可； （3）设第一次购买本，第二次购买本，分情况求解即可． 【详解】（1）解：若购买350本这种经典名著，需花费元； 若购买650本这种经典名著，需花费元； 故答案为：3750；6000； （2）解：元， 元， 因为， 所以购买数量在200本到500本之间 超过200本的部分花费： （元），对应数量为（本）． 总数量： （本）； （3）解：设第一次购买本，第二次购买本． 分情况计算： 若，则第二次，花费为： 第一次：； 第二次：； 总花费方程：，化简后等式不成立，排除； 若，则第二次（且200），花费为： 第一次：； 第二次：； 总花费方程：， 解得，符合条件． 答：第一次购买的数量为550本． 8．如图，将一条数轴在原点和点（表示）处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点表示，点表示，我们规定：在“折线数轴”上，两点间的距离等于两点在折线路径上的实际长度（例如：点和点的距离为个单位长度）．动点同时出发：点从点出发，以单位秒的速度沿“折线数轴”正方向运动，当经过点后速度变为原来的一半（即单位秒），到达点后立刻恢复原速（单位秒）；点从点出发，以单位秒的速度沿“折线数轴”负方向运动，当经过点后速度变为原来的两倍（即单位秒），到达点后立刻恢复原速（单位秒），设运动时间为秒，请解答下列问题： (1)点从运动到所需的时间为______秒； (2)当秒时，分别求出点在“折线数轴”上表示的数； (3)①当两点相遇时，求相遇点所对应的数； ②当点到的距离与点到的距离相等时，求的值． 【答案】(1) (2)点在“折线数轴”上表示的数分别为， (3)①；②或或或 【分析】（）根据时间路程速度，列出算式解答即可； （）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （）①求出点点到达点和点的时间，点到达点和点的时间，进而可得点在段相遇，设相遇点所对应的数为，根据题意列出方程解答即可求解；②分四种情况，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了有理数的混合运算的实际应用，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：（秒）， ∴点从运动到所需的时间为秒， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴当秒时，点在“折线数轴”上表示的数分别为，； （3）解：①∵点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； 点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； ∴点在段相遇， 设相遇点所对应的数为，则， 解得， ∴相遇点所对应的数为； ②当点到达点前，点到达点前时，， 解得； 当点到达点后，点到达点前时，， 解得； 当点到达点后，点到达点后时，， 解得； 当点到达点后，点到达点后时，， 解得； 综上，当点到的距离与点到的距离相等时，的值为或或或． 9．如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示） (2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t． 【答案】(1)， (2)运动时间为5秒或秒 【分析】本题考查了数轴、有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，分类讨论，是解题关键． （1）根据数轴上12所对应的点与点A的距离为3根木棒的长度，即可得点A所表示的数；根据点的运动速度和方向、以及数轴的性质即可得点Q所表示的数； （2）分、、和四种情况，分别求出点P所表示的数，根据P、Q两点在数轴上相距建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：A点表示的数为：； Q表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：∵点A表示的数为，即， ∴， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（大于3，舍去）或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（舍去）或， 综上所述，运动时间为5秒或秒． 10．列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价； （2）设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解 （3）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元）， 因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元）， 故答案为：，； （2）解：设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件， 已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得： ， 解得：， ， 所以第一次购进商品件，商品件； （3）解：由（2）得第一次购进商品件，商品件， 第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元， 第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元， 已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得： ， 解得：． 11．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 则服装店在甲服装厂购进服装利润为：（元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在乙厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 12．列方程解应用题：重庆一中某校区七年级学生在教育广场乘坐旅游汽车到户外参加拓展训练，七（1）班的学生乘坐红色车，组成红队，车速为千米/时，七（2）班的学生乘坐蓝色车，组成蓝队，车速为千米/时．红队出发1小时后，蓝队才出发，同时蓝队派联络员小梦自驾车在两队之间不断地来回进行联络，小梦自驾车的速度为千米/时． (1)小梦出发多久后，第一次追上红队； (2)小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了多少时间？ 【答案】(1)小梦出发小时后，第一次追上红队 (2)小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设小梦出发小时后，第一次追上红队，根据小梦的路程与红队的路程相等，可列方程，，计算求解即可； （2）设小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了小时，依据小梦和蓝队的总路程等于小梦折返时路程的2倍，可列方程，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设小梦出发小时后，第一次追上红队， 依题意得，， 解得，， ∴小梦出发小时后，第一次追上红队； （2）解：设小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了小时， 依题意得，， 解得，， ∴小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了小时． 13．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为元．每盒坚果礼盒的成本为元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多元，售卖个水果篮获得的利润和售卖盒坚果礼盒获得的利润一样多． (1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； (2)该水果店第一批购进了个水果篮和盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ (3)在年末时，该水果店购进水果篮个和坚果礼盒盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒．水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满元减元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满元减元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有个没办法售出．若该水果店获得的利润率为，求的值． 【答案】(1)每个水果篮售价元，坚果礼盒售价元 (2)计划每个水果篮应打折出售 (3)的值为 【分析】（1）设买水果篮售价元，坚果礼盒售价元，根据等量关系：售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多，即可列出方程，解方程即可； （2）设计划每个水果篮应打折出售，列出方程，即可得出答案； （3）根据方案，得出实际水果篮售价元，坚果礼盒售价元，再根据该水果店获得的利润率为40%，列出方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设买水果篮售价元，坚果礼盒售价元，依题意得： ， 解得：． ∴． 答：每个水果篮售价元，坚果礼盒售价元． （2）设计划每个水果篮应打折出售，依题意得： ， 解得：， 答：计划每个水果篮应打折出售． （3）∵， ∴实际水果篮售价元，坚果礼盒售价元， ∴， ∴． 答：的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键． 题型20：线段/角的动态综合解答题 1．如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足 (1)求线段，的长； (2)线段的中点为，线段中点为，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求移动前线段的长； (3)将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，、分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出在哪一个时间段内． 【答案】(1)， (2)10或2 (3)当时，为定值，定值为6． 【分析】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）设点B表示的数为x，点C表示的数为y,则点M表示的数是，点N表示的数是，运动后点M表示的数是，点N表示的数是，由解得或，运动后，即可求出答案； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：设直线为数轴， ∵，， ∴，， 设点B表示的数为x，点C表示的数为y, ∵点M，N分别为中点． ∴点M表示的数是，点N表示的数是， 运动后点M表示的数是，点N表示的数是， ∵， ∴ 解得，或 运动后 ∴或， 即线段的长为10或2； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 2．如图1，一副三角板、都在直线上方，且直角边、与直线重合，，，． (1)如图1，___________； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周．设运动时间为秒． ①当边平分时，求的度数； ②在旋转过程中，当___________秒时，． 【答案】(1)105 (2)①；②9或57 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，可得到的度数； （2）①根据图2，结合角平分线，得到的度数，从而得到结果； ②根据旋转的不同位置，得到角度之间的数量关系，得到结果． 【详解】（1）解：，， ． 故答案为：105． （2）解：①， ． ∵边平分， ． ， ． ②如图2，由题意得： ． ， ，解得． 如图3，由题意得： ． ． ， ，解得． 故答案为：9或57． 3．已知和是互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，则　　　． (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到使时，求的度数． (4)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，恰好与直线重合，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 (4)28或64 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）根据平角等于求出即可； （4）分两种情况：在一周之内，当与射线的反向延长线重合时，三角板绕点旋转了；当与射线重合时，三角板绕点旋转了；依此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， 又， ． 故答案为：． （2）平分， ． ， ，． ． 所在射线是的平分线． （3）设，则， 如图，当射线在的内部时， ，， ． ， ，解得． ． 如图，当射线在的外部时， ， ，解得， 即． ． 综上所述，的度数为或． （4）如图， 分两种情况： 在一周之内，当与射线的反向延长线重合时，三角板绕点旋转了， ，解得； 当与射线重合时，三角板绕点旋转了， ，解得． 所以当秒或64秒时，与直线重合． 综上所述，的值为28或64． 4．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据角的和差关系即可得解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）是的内余角， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：由旋转得：，， 所以，， 因为是的内余角， 所以， 所以， 解得； （3）解：当在内部时，如图1， 则，， 所以，， 若是的内余角时，则， 所以，无解； 当在射线下方时，如图2， 则，， 若是的内余角，则， 所以， 解得（秒）； 当在上方时，如图3， 则，， 若是的内余角，则， 所以，解得（秒）； 当在内部时，如图4， 则，，， 所以， 若是的内余角，则， 所以，无解； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 5．动点从点出发以每秒3个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿的路径，以每秒个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒． (1)线段的长度为_______； (2)动点在数轴上对应的数为________；（用含t的代数式表示） (3)用含的代数式表示线段的长度； (4)当为何值时，点为线段的中点？ 【答案】(1)24 (2) (3)用含的代数式表示线段的长度为；；； (4)当的值为时，点为线段的中点． 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、整式加减的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质，利用点表示的数减去点表示的数即可得； （2）根据数轴的性质，利用点表示的数加上点运动的距离即可得； （3）先求出动点从点出发运动到点所需时间为8秒，动点从点运动到点所需时间为3秒，从点运动到点所需时间为3秒，再分三种情况：①，②和③，分别求出点，表示的数，利用数轴的性质列出式子，计算整式的加减即可得； （4）分三种情况：①，②和③，根据点，表示的数互为相反数建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵点、在数轴上分别对应和， ∴线段的长度为， 故答案为：． （2）解：∵点在数轴上对应，且动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动， ∴动点在数轴上对应的数为， 故答案为：． （3）解：由题意可知，动点从点出发运动到点所需时间为秒，动点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， ①当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， 若点与点相遇，即，解得，即此时点与点不可能相遇， 则线段的长度为； ②当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， 若点与点相遇，即，解得，即此时点与点不可能相遇， 则线段的长度为； ③当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为6， 则线段的长度为； 综上，当时，线段的长度为；当时，线段的长度为；当时，线段的长度为． （4）解：①当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， ∵点为线段的中点， ∴， 解得，不符合题设，舍去； ②当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， ∵点为线段的中点， ∴， 解得，符合题设； ③当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为6， ∵点为线段的中点， ∴， 解得，不符合题设，舍去； 综上，当为时，点为线段的中点． 6．（1）如图1，是一个直角，在内作射线，再分别作和的平分线，，求的度数． （2）如图2，已知，，在内作射线，，使得当绕点O在内旋转时，平分，平分，求的度数． （3）已知是一个直角（如图），作射线，再分别作和的平分线，当射线在外绕点O旋转时，请直接写出的度数． 【答案】（1）（2）（3）或 【分析】此题考查了角的计算，角平分线，熟练掌握相关知识是解本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得 ，即可求得度数． （2）由于，再根据角平分线的定义即可求解； （3）分三种情况考虑，如图4，图5，图6，分别进行计算即可． 【详解】解：（1）∵，分别是，的平分线，， ∴，， ； （2）∵，分别平分，， ∴，， 又∵，，，， ∴， ； （3）分三种情况：如图4， ∵，分别平分和， ，， ； 如图5，同上可得； 如图6，∵，分别平分和， ∴，， ． 综上所述，的度数为或． 7．如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 8．已知点B，O，C在同一条直线上，． (1)如图1，若，平分，求的度数； (2)如图2，若且与互余，请在图2中画出射线ON，并求出的度数（用含的式子表示）． (3)如图3和备用图，当时，若且，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为：或． (3)的度数为或 【分析】（1）先求解，再表示，进一步可得答案． （2）分两种情况画图：当射线在直线的下方时，当射线在直线的上方时，再进一步求解即可． （3）如图，当在的左边时，当在的右边时，如图，进一步结合角的和差运算与一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，射线即为所求， 当射线在直线的下方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， 当射线在直线的上方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， 综上：的度数为：或． （3）解：如图，当在的左边时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当在的右边时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上：的度数为或． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，余角、补角的含义，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 9．【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①先根据平角定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用对顶角相等得到，另一方面利用余角的定义求出，最后利用角的和差求解即可；②同①思路一致； （2）先利用平角和余角分别求出和，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差求解即可； （3）从种情况，①当在外时，②当在内时，分别由（1）（2）结论求解即可． 【详解】（1）解：①， ， 平分， ， ， ， ， ； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， 平分， ， ； （3）解：①当在外时，如图1， 设， 由（1）知； ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在内时，如图2， 由（2）可知， ， ，， ． 综上，的度数为或． 10．综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】 （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分． ①当为时，求的度数； ②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】 （2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【拓展应用】 （3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）． 【答案】（1）①；②当在内转动时，∠MPN的度数保持不变，理由见解析 （2） （3）或者 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合． （1）①先求出，根据角平分线定义得出，，再根据，求出结果即可； ②先求出，根据角平分线定义得出，，求出，即可得出答案； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，，求出得出． （3）分两种情况：①当∠APB在∠CPD内转动时；②当∠APB在∠CPD外转动时，分别求解即可． 【详解】解：（1）①，， ， 平分，平分， ，， 当时，， 则，， ； ②当在内转动时，的度数保持不变；理由如下： ，， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）当在内转动时，，， ， 平分，平分， ，， ， ． （3）分两种情况：①当在内转动时； 由（2）可知：； ②当在外转动时，如图3， ∵，， ， 平分，平分， ，， ， ． ． 11．如图．已知，平分． (1)在图1中，若，，则的度数为______°，的度数为_____°； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究图2中和之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若从图2的位置继续绕点顺时针旋转，和的数量关系是否会发生变化？若变化，请你画出发生变化时，射线所在的区域（用阴影表示)，并写出变化后的数量关系；若不变化，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2)；理由见解析 (3)和的数量关系会发生变化，变化后的数量关系为．图见解析 【分析】（1）根据题干条件先求得，，再根据角平分线的定义结合角的和差计算即可求解； （2）设，，则，再根据角的和差计算即可求解； （3）同（2）分情况讨论，画出图形，根据角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：；理由如下， ∵平分， ∴， 设，，则， ∴，， ∴； （3）解：和的数量关系会发生变化， 设，，则， 如图，当射线在外，且在射线上方时， ∴，， ∴； 如图，当射线在射线下方时， ∴，， ∴； 如图，当射线在射线左边时， ∴，， ∴； 综上，当射线在射线下方且在射线右边时，如图， 变化后的数量关系为． 题型21：有理数+代数式综合压轴解答题 1．如图，在数轴上，点A、O、B表示的数分别为、0、12． (1)直接写出______，_______； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，求x的值； ②若点P为线段上的一个动点，化简的结果； (3)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在B、A两点之间往返运动，当点M运动到点B时，M和N两点同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10；22 (2)①；②22 (3)存在，或11 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据线段中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案；②若点P为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：10，22； （2）解：①∵点P为线段的中点， ∴， ∴， 解得． ②∵点P为线段上的一个动点， ∴， （3）解：∵动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动， ∴， ∴点M表示的数为； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为． 当时，， ∴或， 解得或； 当时，， ∴或， 解得或． ∴存在t值，使得，或11． 2．已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是，为定值 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及非负数和为零的条件、中点定义求线段长、数轴上两点之间距离表示等知识，数形结合，求出各个点在数轴上表示的数是解决问题的关键． （1）根据题意，由绝对值的非负性、平方的非负性及非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①由（1）可知，结合线段中点定义，数形结合表示出线段之间的和差倍分关系后，代值计算即可得到答案；②将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示，令点表示的数为，分别表示出相关点运动后在数轴上表示的数，由点与点相遇秒后与点相遇，列方程求出，进而确定点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点之间的距离表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ，且， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图所示： 是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ； ②是定值；理由如下： 点与点重合时，如图所示： 由①知，， 点是线段的中点， ， ，， 将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示： 令点表示的数为， 点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，线段以个单位长度/秒的速度向左运动， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点与点相遇秒后与点相遇， 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； ， 解得， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， 在整个运动过程中，，， 则， 即在整个运动过程中，为定值． 3．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：． (1)求、的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为 个单位长度； ②应用：如图所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点需要秒，则火车的速度为 个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①个单位长度；②个单位长度/秒 (3)存在，， 【分析】（1）根据得，计算即可． （2）①设表示的数为， 表示的数为，小火车的长度为，根据题意，，，建立方程计算即可． ②根据①得，火车完全经过点需要秒，点运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令的系数为零计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）①设表示的数为， 表示的数为，小火车的长度为， 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长个单位长度， 故答案为：． ②根据①得，火车完全经过点需要秒， 故点运动路程为单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：． （3）存在，，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 4．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 5．认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【分析】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 6．如果一个四位自然数，其千位数字是十位数字的二倍与百位数字之差，个位数字是十位数字的二倍与百位数字之和，我们称这个数为“共生数”．例如5137，其中，，所以5137是“共生数”． （1）写出最小的“共生数”为_________，最大的“共生数”为_______． （2）若一个“共生数”的前三位数表示的数减去后两位数表示的数之差除以13余数为8，求出所有符合条件的“共生数”． 【答案】（1）1113，8048；（2）6036，5137，4238，3339． 【分析】（1）设这个“共生数”的十位数字是，百位数字是，先利用十位制将这个“共生数”表示出来，再根据的取值范围和整数性，分情况讨论即可得； （2）设这个“共生数”的十位数字是，百位数字是，从而可得这个“共生数”为，先利用十位数可得（其中k为整数），再根据的取值范围和整数性可得，然后分情况讨论即可得． 【详解】（1）设这个“共生数”的十位数字是，百位数字是， 则这个“共生数”为， ， ， ①当“共生数”最小时，先考虑，即的情形， 因此，， 当的值越小，这个“共生数”就越小， ，且为整数， 当时，是三位数，不符题意，舍去， 当时，是1开头的四位数，符合题意， 经检验，此时，符合题意， ②当“共生数”最大时，先考虑，即的情形， ，且为整数， ， 又， ， 因此，此时不存在符合条件的整数， 再考虑，即的情形， 则， 当的值越大，这个“共生数”就越大， ，且为整数， ， 又， ， ， ，此时是8开头的四位数，符合题意， 综上，最小的“共生数”为1113，最大的“共生数”为8048， 故答案为：1113，8048； （2）设这个“共生数”的十位数字是，百位数字是， 则由（1）可知，这个“共生数”为， 这个“共生数”的前三位数表示的数为， 后两位数表示的数为， 则（其中k为整数）， 整理得：， ， 余数8只与有关， ，且为整数， ， ①当时，余数是2，不符题意，舍去； ②当时，余数是8，符合题意， 若，这个“共生数”为， 若，这个“共生数”为， 若，这个“共生数”为， 若，这个“共生数”为， 若，，不符题意，舍去； ③当时，余数是1，不符题意，舍去； ④当时，余数是7，不符题意，舍去； ⑤当时，余数是0，不符题意，舍去； 综上，符合条件的“共生数”是6036，5137，4238，3339． 【点睛】本题考查了列代数式、整数加减的应用，理解“共生数”的定义，并熟练掌握分类讨论思想是解题关键． 7．观察下面三行单项式： x，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 根据你发现的规律，解答下列问题： （1）第①行的第8个单项式为_______； （2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】（1）观察第①行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得； （2）分别观察第②行和第③行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得； （3）先计算整式的加减进行化简，再将x的值代入即可得． 【详解】（1）第①行的第1个单项式为， 第①行的第2个单项式为， 第①行的第3个单项式为， 第①行的第4个单项式为， 归纳类推得：第①行的第n个单项式为，其中n为正整数， 则第①行的第8个单项式为， 故答案为：； （2）第②行的第1个单项式为， 第②行的第2个单项式为， 第②行的第3个单项式为， 第②行的第4个单项式为， 归纳类推得：第②行的第n个单项式为，其中n为正整数， 则第②行的第9个单项式为， 第③行的第1个单项式为， 第③行的第2个单项式为， 第③行的第3个单项式为， 第③行的第4个单项式为， 归纳类推得：第③行的第n个单项式为，其中n为正整数， 则第③行的第10个单项式为， 故答案为：，； （3）由题意得：， 当时，， ， ， 则， ， ． 【点睛】本题考查了单项式的规律型问题、整式的化简求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 8．定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【详解】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 9．【阅读】求值1＋2＋22＋23＋24＋…＋210 解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210① 将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋211② 由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1 即：S＝1＋2＝22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1 【运用】仿照此法计算： (1)1＋3＋32＋33＋34＋…＋350； (2) (3)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022 完成下列问题： ①小正方形S2022的面积等于 ； ②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和． 【答案】(1) (2)2﹣ (3)①；② 【分析】（1）设S=1+3+32+33+34+…+350，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+351，两等式相减得到2S=351﹣1，得到S=，即得； （2）设S=1++++…+，两边都乘以得：S=++++…+，两等式相减得到﹣S=﹣1，推出S=2（1﹣）=2﹣，即得； （3）①根据，，，…，可得； ②设S=S1+S2+S3+…+S2022=+++…+，两边都乘以得到S=++ +…+，两等式相减得到S=﹣，推出S=（﹣）= ，即得． 【详解】（1）设S=1+3+32+33+34+…+350 ①， ①×3，得：3S=3+32+33+34+35+…+351 ②， ②﹣①，得：2S=351﹣1， 则S=， 即1+3+32+33+34+…+350=； （2）设S=1++++…+①， ①×，得：S=++++…+②， ②﹣①，得：﹣S=﹣1， ∴S=2（1﹣）=2﹣， 即1++++…+=2﹣； （3）∵S1=（）2=，S2=S1=，S3=S2=，…， ∴S2022=， 故答案为：； ②设S=S1+S2+S3+…+S2022=+++…+①， ①×，得：S=+++…+②， ①﹣②，得：S=﹣， ∴S=（﹣）= ， 即S1+S2+S3+…+S2022= ． 【点睛】本题考查数字类规律的探索，解决问题的关键是明确题意，探究数字的变化规律，运用探究得到的规律解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习－专题05 压轴突破（21大类题型） 选择题 题型1：绝对值+数轴 +最值综合 题型2：有理数混合运算巧算 +陷阱题 题型3：有理数规律探究 题型4：方程解的个数判断 题型5：方程解的性质辨析 题型6：方程应用题雏形陷阱 题型7：线段动态分类 题型8：角的综合辨析 题型9：中点/角平分线的多结论判断 题型10：代数式化简+求值陷阱 题型11：代数式规律探究进阶 填空题： 题型12：绝对值 + 偶次幂非负性综合 题型13：数轴上动点综合计算 题型14：含参一元一次方程的解的计算 题型15：一元一次方程应用临界值 题型16：线段动态计算 题型17：角的折叠 + 角平分线综合 题型18：线段 / 角的分类讨论 解答题 题型19：一元一次方程综合应用题 题型20：线段/角的动态综合解答题 题型21：有理数+代数式综合压轴解答题 选择题 题型1：绝对值+数轴 +最值综合 1.如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 4．有一组非负整数：，，．从开始，满足，，，．云汉数学小组研究了上述数组，得出以下结论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，； ④当，（，且x为整数）时，． 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①; ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变。其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 6.如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位。将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）。 A． B． C． D． 7.如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，12，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点落在射线上且到点B的距离为4，则C点表示的数是（   ） A． B．3 C．或3 D．或3 题型2：有理数混合运算巧算 +陷阱题 1．计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”。 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 3.对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…则的值是（　　） A． B． C． D． 题型3：有理数规律探究 1.正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 2.如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 3.如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处。按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 4.一只跳蚤在一数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，所在位置表示的数是（　　） A．50 B．-50 C．100 D．-100 5.观察下列算式：，，，，，，，，……根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型4：方程解的个数判断 1.若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 2.如果关于x的方程有唯一解，那么实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知关于的方程，当，取任意实数时，方程有唯一解；当，时，方程有无数解；当，时，方程无解。若关于的方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（   ） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 题型5：方程解的性质辨析 1.已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 2.若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 3.若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 4.小军同学在解关于x的方程去分母时，方程右边的没有乘2，因而求得方程的解为3，则m的值和方程的正确解为（    ） A．2,2 B．2,3 C．3,2 D．3,3 5.有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 6.若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 题型6：方程应用题雏形陷阱 1.A，B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地。两车同时出发，截止它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2.甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏。游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示。请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 3.如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2024次相遇在边（   ）上。 A． B． C． D． 4.幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂。如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等。现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A． B．5 C． D．5或 5.我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产。其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等。在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 题型7：线段动态分类 1.如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点。点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）。若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 2.如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍。在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（    ）    A． B． C． D． 3.如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 4.如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 5.如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化。 A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6.如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（　　） 甲：当点B与点O重合时，； 乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则； 丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变 A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙 7.B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动。C是线段BD的中点。．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 题型8：角的综合辨析 1.如图，将一张正方形纸片折叠（提示；），、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为（   ) A． B． C． D． 2.将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，把一张长方形的纸片沿着折叠，点分别落在的位置，且， 则（     ） A． B． C． D． 题型9：中点/角平分线的多结论判断 1．如图所示，已知，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分．以上结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在同一平面内，，平分，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分．下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④ ．其中结论正确的序号是（    ） A．①②④ B．③④ C．②③ D．②③④ 4.如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 5.如图，点为线段外一点，，，，为上顺次排列的四点，连接，，，，在下列结论中：    ①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 题型10：代数式化简+求值陷阱 1.若代数式的值是6，则代数式的值是（     ） A． B．13 C． D．11 2.当时，代数式的值为5，则当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D．5 3.已知实数a，b，c满足，则当时，多项式的值是（　　） A．1 B． C．3 D． 4.若x、y二者满足等式，且x、y互为倒数，则代数式的值为（    ） A．1 B．4 C．5 D．9 5.有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的值为（　　） A．c B． C．0 D． 6．若有理数，，满足，，，则化简的结果为： A． B． C． D． 题型11：代数式规律探究进阶 1.探究代数式规律活动课上，小徽用同样大小的正方形按如图所示的规律拼图案，其中图1中有2个白色正方形，图2中有3个白色正方形，图3中有5个白色正方形，，按此规律排列下去，则图10中白色正方形的个数是（   ） A．12 B．14 C．15 D．18 2.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，按此规律排列下去，则第20个图案用的木棍根数是（　　）    A．104 B．109 C．123 D．129 3.下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（    ） A．69 B．73 C．77 D．83 4.观察下面三行数 第一行数： 第二行数： 第三行数： 根据第一行数的排列规律，以及这三行数之间的关系，确定第三行第个数是（    ） A． B． C． D． 5.观察下列等式： ; ; ; …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 6.根据图中数字的列规律，在第个图中，的值是（    ）    A． B． C． D． 7.根据图中数字的规律，若第个图中时，则的值为（    ）。 A．168 B．169 C．195 D．196 8.观察下列代数式：，，，，。按此规律，则第n个代数式是（    ） A． B． C． D． 9.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n， m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示2021的有序数对是（    ） A．(63,5) B．(63,59) C．(64,5) D．(64,60) 10.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10……这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16．。。。。。这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，根据上面的规律，用含有（为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11.如图，观察图形，按此规律，第个图形中三角形的个数为（    ） A． B． C． D． 12.把面积为1的正方形进行如图分割，观察其规律可得：，则这个“〇”处应填（    ） A． B． C． D． 13.如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形。第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D．1 14.如图所示，将一些半径相同的小圆圈“□”按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中“□”的个数为a，第2个图形中“□”的个数为，第3个图形中“□”的个数为，以此类推，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 填空题： 题型12：绝对值 + 偶次幂非负性综合 1．若，则 ． 2.有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 题型13：数轴上动点综合计算 1.点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 2.在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位。 题型14：含参一元一次方程的解的计算 1.如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 2.已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 3.已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 4.已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ． 5.小文在解关于x的方程时，误将看作，得方程的解为，a的值为 ． 题型15：一元一次方程应用临界值 1.小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米 分钟能追上。 2.一个人乘坐套有3只狗的雪橇赶往朋友家。第一天，雪橇以规定的速度行驶。晚上有1只狗逃走了，剩下的路程只有2只狗拉雪橇，速度是原来的，到达目的地的时间比原计划迟到2天。这个人说：“逃跑的狗如果能再拉雪橇走60千米，那我就只迟到1天。”这个人总共行了 千米。 3.科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为，运动过程如下：第次从起点出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点，到达后停止。若机器人的运动速度不超过，记录点恰好为终点，则的值为 ． 4.某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 5.为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量。该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为 ． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量() 水价（元/） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 题型16：线段动态计算 1.如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 2.如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次。 3.如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动。图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置。开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 4.线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为 ． 5.已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）。 6.如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）。 （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 题型17：角的折叠 + 角平分线综合 1.如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示。当时，的度数为 ．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 2.阅读下面材料：利用折纸折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图1，当点在上时，求 ． ②加图2，当点在的内部时，连接，若，，求 ． 题型18：线段 / 角的分类讨论 1.如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 2.如图，将一段长为绳子拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠，若将绳子沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶6，的值可能为 ． 3.如图，已知，从点引一条射线，作的角平分线，作的角平分线，的度数为 °． 4.已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE= ． 5.龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角形的直角顶点O放在互相垂直的两条直线的垂足O处，并使两条直角边落在直线上，若将绕着点O顺时针旋转一个小于的角得到，射线是的角平分线且满足，则 ． 6.已知，射线在同一平面内绕点O旋转，射线分别是和的角平分线。则的度数为 ． 解答题 题型19：一元一次方程综合应用题 1.有一些相同的教室需要粉刷，一天名师傅去粉刷间教室，结果其中有的墙面未来得及刷；同样的时间内名徒弟粉刷了间教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷的墙面。设每个教室墙面面积为． （1）一天名师傅可以粉刷多少； （2）现有个这样的教室需要粉刷，若请名师傅带名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需元，徒弟每天工资需元，则完成所有粉刷共需工资多少元？ 2.在数学综合实践活动课中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体。经讨论，形成了如下制作方案： 请你根据制作方案，完成下面的问题： 几何体制作方案 步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片。 步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：图1中裁出的一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，图2中裁出的一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元。 步骤3制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个几何体。 若有210张长方形彩纸全部用来制作几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元，才能制作尽可能多的几何体？最多能制作多少个几何体？ 3.某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示。请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． （1）一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； （2）一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； （3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元。请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 4.下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元。 （1）求a，b的值。 （2）如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ （3）小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨。（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 5.凤翔泥塑是陕西宝鸡的国家级非物质文化遗产，某文创店计划采购泥塑制作工具包和泥塑摆件。已知每套工具包比每个摆件贵20元，购买一套工具包和一个摆件共需花费180元。 （1）求每套工具包和每个摆件的售价分别是多少？（列一元一次方程解答） （2）该文创店计划购买100套工具包和个摆件。现有两家工艺品店给出不同优惠方案： 甲店：每购买10套工具包，送一个摆件； 乙店：若购买工具包超过90套，则工具包原价，但购买摆件打八折。 ①请用含m的代数式分别表示出到甲店和乙店购买商品所花的费用； ②若文创店的预算是12000元，选择在哪家店购买的摆件更多？ 6.在以“六个统筹”谱写“十五五”体育强国建设新篇章的政策指引下，大众健身热情持续高涨，体育用品需求稳步提升。体育用品商店精准把握市场需求，用7800元购进篮球和排球共170个，以满足广大健身爱好者的需求。篮球、排球的进价和售价如下表所示。 篮球 排球 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 100 60 （1）体育用品商店购进篮球和排球各多少个？ （2）某校计划举办校园体育节，准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，且排球的购买数量大于篮球购买数量的，该体育用品商店给出两种优惠方案： 方案一：两种球的售价都打8折； 方案二：每购买2个篮球，赠送1个排球。 学校根据购买清单发现两种方案的购买总价是一样的。求学校准备购买篮球和排球各多少个。 7.某书店为促销经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 12元/本 超过200本但不超过500本的部分 9元/本 超过500本的部分 6元/本 （1）若购买350本这种经典名著，需花费___________元；若购买650本这种经典名著，需花费___________元； （2）某学校为丰富图书馆藏书，花了2517元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ （3）该校教务处先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了900本，其中第一次购买的数量超过450本，且小于700本，两次共花费9150元，求第一次购买的数量。 8.如图，将一条数轴在原点和点（表示）处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点表示，点表示，我们规定：在“折线数轴”上，两点间的距离等于两点在折线路径上的实际长度（例如：点和点的距离为个单位长度）。动点同时出发：点从点出发，以单位秒的速度沿“折线数轴”正方向运动，当经过点后速度变为原来的一半（即单位秒），到达点后立刻恢复原速（单位秒）；点从点出发，以单位秒的速度沿“折线数轴”负方向运动，当经过点后速度变为原来的两倍（即单位秒），到达点后立刻恢复原速（单位秒），设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）点从运动到所需的时间为______秒； （2）当秒时，分别求出点在“折线数轴”上表示的数； （3）①当两点相遇时，求相遇点所对应的数； ②当点到的距离与点到的距离相等时，求的值。 9.如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合。若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒。 （1）图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示） （2）若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动。当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t． 10.列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情。购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”。全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”。某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： （1）每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； （2）若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； （3）在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求得值。 11.希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； （1）每件服装标价多少元？ （2）该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用。同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装。 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过300件服装，每件服装返款0.12元包装费。 （3）在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 12.列方程解应用题：重庆一中某校区七年级学生在教育广场乘坐旅游汽车到户外参加拓展训练，七（1）班的学生乘坐红色车，组成红队，车速为千米/时，七（2）班的学生乘坐蓝色车，组成蓝队，车速为千米/时。红队出发1小时后，蓝队才出发，同时蓝队派联络员小梦自驾车在两队之间不断地来回进行联络，小梦自驾车的速度为千米/时。 （1）小梦出发多久后，第一次追上红队； （2）小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了多少时间？ 13.春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节。俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年。春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来。为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为元。每盒坚果礼盒的成本为元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多元，售卖个水果篮获得的利润和售卖盒坚果礼盒获得的利润一样多。 （1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； （2）该水果店第一批购进了个水果篮和盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ （3）在年末时，该水果店购进水果篮个和坚果礼盒盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒。水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满元减元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满元减元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有个没办法售出。若该水果店获得的利润率为，求的值。 题型20：线段/角的动态综合解答题 1.如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足 （1）求线段，的长； （2）线段的中点为，线段中点为，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求移动前线段的长； （3）将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，、分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值。求出这个定值，并直接写出在哪一个时间段内。 2.如图1，一副三角板、都在直线上方，且直角边、与直线重合，，，． (1）如图1，___________； （2）如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周。设运动时间为秒。 ①当边平分时，求的度数； ②在旋转过程中，当___________秒时，． 3.已知和是互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）。 （1）如图1，使三角板的短直角边与射线重合，则　　　。 （2）如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线。 （3）如图3，将三角板绕点逆时针转动到使时，求的度数。 （4）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，恰好与直线重合，求的值。 4.定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角。 根据以上信息，解决下面的问题： (1）如图1，，，若是的内余角，则 ； （2）如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； （3）把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值。 5.动点从点出发以每秒3个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿的路径，以每秒个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒。 （1）线段的长度为_______； （2）动点在数轴上对应的数为________；（用含t的代数式表示） （3）用含的代数式表示线段的长度； （4）当为何值时，点为线段的中点？ 6.（1）如图1，是一个直角，在内作射线，再分别作和的平分线，，求的度数。 （2）如图2，已知，，在内作射线，，使得当绕点O在内旋转时，平分，平分，求的度数。 （3）已知是一个直角（如图），作射线，再分别作和的平分线，当射线在外绕点O旋转时，请直接写出的度数。 7.如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方。 （1）将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； （2）将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部。则   ． （3）将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 8.已知点B，O，C在同一条直线上，． (1）如图1，若，平分，求的度数； （2）如图2，若且与互余，请在图2中画出射线ON，并求出的度数（用含的式子表示）。 (3）如图3和备用图，当时，若且，求的度数。 9.【问题背景】 直线相交于点在逆时针方向），的平分线在直线上。 （1）【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）。 （2）【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）。 （3）【总结应用】 若，请直接写出的度数。 10.综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系。 【问题情境】 （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分． ①当为时，求的度数； ②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由。 【探究实践】 （2）如图2，在内，设，，（，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【拓展应用】 （3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，（，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）。 11．如图。已知，平分． (1）在图1中，若，，则的度数为______°，的度数为_____°； （2）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究图2中和之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； （3）若从图2的位置继续绕点顺时针旋转，和的数量关系是否会发生变化？若变化，请你画出发生变化时，射线所在的区域（用阴影表示），并写出变化后的数量关系；若不变化，请简要说明理由。 题型21：有理数+代数式综合压轴解答题 1.如图，在数轴上，点A、O、B表示的数分别为、0、12． (1）直接写出______，_______； （2）设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，求x的值； ②若点P为线段上的一个动点，化简的结果； （3）动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在B、A两点之间往返运动，当点M运动到点B时，M和N两点同时停止运动。设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由。 2.已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　,　　． （2）点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动。 ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇。试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。 3.已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：． （1）求、的值； （2）①情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为 个单位长度； ②应用：如图所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点需要秒，则火车的速度为 个单位长度/秒。 （3）在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在，请说明理由。 4.在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = , b= , c= ; （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； （3）若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒。 ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值。 5.认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值。如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： （1）的最小值是_____，此时的取值范围______； （2）请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； （3）如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值。 6.如果一个四位自然数，其千位数字是十位数字的二倍与百位数字之差，个位数字是十位数字的二倍与百位数字之和，我们称这个数为“共生数”。例如5137，其中，，所以5137是“共生数”。 （1）写出最小的“共生数”为_________，最大的“共生数”为_______。 （2）若一个“共生数”的前三位数表示的数减去后两位数表示的数之差除以13余数为8，求出所有符合条件的“共生数”。 7.观察下面三行单项式： x,,,,,，① ,,,,,，② ,,,,,，③ 根据你发现的规律，解答下列问题： （1）第①行的第8个单项式为_______； （2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值。 8.定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1）当，时，若，，求和． （2）直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立。 (3）当，时，若，，若（（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值。 9．【阅读】求值1＋2＋22＋23＋24＋…＋210 解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210① 将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋211② 由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1 即：S＝1＋2＝22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1 【运用】仿照此法计算： (1)1+3+32+33+34+…+350; (2) （3）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、S2022 完成下列问题： ①小正方形S2022的面积等于 ； ②求正方形S1、S2、S3、S2022的面积和。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $