第02讲 等差数列的概念（知识清单+8题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高二数学重难点讲义与测试（人教A版选择性必修第二册）

本讲义聚焦等差数列的概念、等差中项及通项公式核心知识点，从概念的内涵理解（定义、公差）到等差中项的性质应用，再到通项公式及变形的推导与运用，构建递进式学习支架，帮助学生逐步夯实基础并掌握知识间的逻辑联系。 该资料以“举三反三”题型设计为亮点，通过例题与变式训练培养学生的推理能力（数学思维），结合海拔气温、购物促销等应用情境引导学生用数学眼光观察现实世界，强化训练覆盖多样题型，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用与问题解决能力。

第02讲等差数列的概念 知识清单 知识点01：等差数列的概念 知识点02：等差中项 知识点03：等差数列的通项公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：利用定义求等差数列通项公式 题型2：等差数列通项公式的基本量计算 题型3：由递推关系证明数列是等差数列 题型4：求等差中项、等差中项的应用 题型5：利用等差数列的性质计算 题型6：等差数列的应用 题型7：等差数列的单调性 题型8：利用等差数列通项公式求数列中的项 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 知识点02等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中 项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 知识点03等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 题型1：利用定义求等差数列通项公式 【例1-1】（24-25高二下·辽宁丹东·期末）已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【例1-2】（24-25高二下·陕西安康·期中）已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为 . 【例1-3】（2025高二·全国·专题练习）数列中，，，，求数列的通项公式． 【变式1-1】（24-25高二下·北京房山·期末）数列满足，且，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 【变式1-3】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 题型2：等差数列通项公式的基本量计算 【例2-1】（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）在等差数列中，若，则（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【例2-2】（25-26高二上·广东揭阳·月考）在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则 ． 【例2-3】（24-25高二·全国·课堂例题）已知等差数列的首项为，公差为d，且，求的值．你能判断该数列从第几项开始为正数吗？ 【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·重庆·月考）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式 ． 【变式2-3】（25-26高二上·全国·单元测试）设，数列满足，数列的通项公式为． (1)已知，求的值； (2)若，求数列的最大项及相应的值． 题型3：由递推关系证明数列是等差数列 【例3-1】（24-25高二下·云南昆明·月考）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二下·湖北武汉·期中）设，且，则数列的通项公式为 . 【例3-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知正项数列的前项之积为，且.求证：数列是等差数列. 【变式3-1】设数列的前n项和，若，则（   ） A．数列满足 B．数列为递增数列 C．的最小值为 D．，，不成等差数列 【变式3-2】（25-26高二上·湖北黄冈·月考）记为数列的前项之积，已知，则 . 【变式3-3】（2025高二上·全国·专题练习）记数列的前n项和为，已知，.证明：数列为等差数列. 题型4：求等差中项、等差中项的应用 【例4-1】（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）x是1和2的等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二下·四川达州·月考）方程的两根的等差中项为 . 【例4-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 【变式4-1】（25-26高二上·福建厦门·月考）数列是等差数列，，则（   ） A．12 B．40 C．6 D．20 【变式4-2】（25-26高二上·安徽池州·月考）在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为 ． 【变式4-3】已知数列满足，证明：数列为等差数列． 题型5：利用等差数列的性质计算 【例5-1】（25-26高二上·河南商丘·月考）在等差数列中，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例5-2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）在等差数列中，已知，则 . 【例5-3】（25-26高二上·安徽安庆·月考）在等差数列中，，． (1)求数列的第10项； (2)112是数列的第几项？ 【变式5-1】（25-26高二上·河北邢台·月考）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式5-2】（24-25高二下·广东潮州·期末）已知等差数列中，，则 ． 【变式5-3】（25-26高二上·河南周口·月考）（1）在等差数列中，已知，求首项与公差d； （2）已知数列为等差数列，，，求的值． 题型6：等差数列的应用 【例6-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例6-2】（24-25高二上·全国·期末）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【例6-3】已知是等差数列，当时，其中、、、均为正整数，求证：． 【变式6-1】（24-25高二上·河南·期中）设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 【变式6-3】一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比． 题型7：等差数列的单调性 【例7-1】设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例7-2】写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： ． ①；②单调递增． 【例7-3】已知，为等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【变式7-1】在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【变式7-2】写出同时满足下面两个条件的数列{}的一个通项公式= . ①{}是递减数列；②对任意m，，都有. 【变式7-3】（2024高二·全国·专题练习）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 题型8：利用等差数列通项公式求数列中的项 【例8-1】（25-26高二上·宁夏·月考）若数列满足，，则（    ） A．23 B．21 C．19 D．17 【例8-2】（25-26高二上·安徽·月考）在数列中，，若数列是公差为3的等差数列，则 ． 【例8-3】（25-26高二·全国·假期作业）在等差数列中，，． (1)求的值； (2)2026是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 【变式8-1】（24-25高二下·云南·期中）已知数列中，且且，则（    ） A． B． C． D．9 【变式8-2】（24-25高二下·河北邯郸·期中）在数列中，，，则 ． 【变式8-3】在等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)是不是数列中的项？ 一、单选题 1．（25-26高二上·天津河北·月考）等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·福建·月考）等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 3．（25-26高二上·浙江·月考）等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 4．（25-26高二上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（   ） A．60 B．62 C．64 D．66 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）若数列为等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，设数列的前n项和为，前n项积为，则下列说法错误的是（   ） A．数列是等差数列 B．数列的最大项为 C．使得取得最小值的n为7 D．有最小值，无最大值 7．（24-25高二上·广西贵港·期末）设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 8．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知定义在的函数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽·月考）记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．是等差数列 D． 11．（24-25高二下·江西鹰潭·期中）数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则的公差为1 B．若为等差数列，则的首项为1 C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，，若，则 . 13．（24-25高二上·天津静海·月考）设公差的等差数列中，满足，则的值为 . 14．（24-25高二上·河南·月考）已知数列满足，，则 . 四、解答题 15．（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）（1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项． （2）已知数列的前n项和，求的通项公式． 16．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列和满足，且. (1)当时，求数列的通项公式； (2)若，求证：数列是等差数列. 17．（24-25高二下·河南·月考）已知在正项数列中，为其前项和，且，是与的等差中项． (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，为数列的前项和，证明：． 18．（2025高二上·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 19．（2025高二上·全国·专题练习）对任意的正整数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲等差数列的概念 知识清单 知识点01：等差数列的概念 知识点02：等差中项 知识点03：等差数列的通项公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：利用定义求等差数列通项公式 题型2：等差数列通项公式的基本量计算 题型3：由递推关系证明数列是等差数列 题型4：求等差中项、等差中项的应用 题型5：利用等差数列的性质计算 题型6：等差数列的应用 题型7：等差数列的单调性 题型8：利用等差数列通项公式求数列中的项 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 知识点02等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中 项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 知识点03等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 题型1：利用定义求等差数列通项公式 【例1-1】（24-25高二下·辽宁丹东·期末）已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义和通项公式求解即可. 【详解】因为数列各项均为正数，且，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，， 故选：C 【例1-2】（24-25高二下·陕西安康·期中）已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为 . 【答案】11 【分析】根据等差数列的通项公式求出的表达式，进而得到的表达式，再根据求出的取值范围，最后确定满足条件的的最小值. 【详解】由等差数列的定义可得，则， 所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11. 故答案为：11. 【例1-3】（2025高二·全国·专题练习）数列中，，，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】解法一：利用等差数列的定义和通项公式进行求解即可； 解法二：利用等差数列的定义、待定系数法进行求解即可. 【详解】解法一： 因为， 所以，，，…，，…为等差数列，且公差为， ，，，…，，…为等差数列，且公差为， 当时：， 当时：， 综上所述，． 解法二： 因为， 所以，，，…，，…为等差数列，且公差为， ，，，…，，…为等差数列，且公差为， 令， 由于，即 故， 再将和代入得：，故， 即． 【变式1-1】（24-25高二下·北京房山·期末）数列满足，且，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由等差数列定义得，代入计算即可. 【详解】因为，所以， 而，从而数列是首项为8、公差为的等差数列， 所以， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【详解】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可； （2）由（1）结合已知可得数列的首项为，公差为，从而可求出数列的通项公式. 【详解】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 题型2：等差数列通项公式的基本量计算 【例2-1】（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）在等差数列中，若，则（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】利用已知条件，由求出，从而由可求出. 【详解】设等差数列的公差为d， 则， ∴． 故选：C. 【例2-2】（25-26高二上·广东揭阳·月考）在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则 ． 【答案】 【分析】设，根据是等差数列，分别求出和，根据即可求解. 【详解】设，数列是等差数列， 则，， ，得. 故答案为：. 【例2-3】（24-25高二·全国·课堂例题）已知等差数列的首项为，公差为d，且，求的值．你能判断该数列从第几项开始为正数吗？ 【答案】，第25项 【分析】法一，根据，求得首项与公差，从而求得数列的通项公式，计算可求，令求解可得结论.法二，等差数列的首项为，公差为d，利用，求得公差，利用，计算可得结论. 【详解】方法一，由等差数列可知， 列方程组，解得， ∴． ∴． 令，即． ∴从第25项开始，各项为正数． 方法二，∵等差数列的首项为，公差为d，且， ∴，所以， 则． ∴． 令，即． ∴从第25项开始，各项为正数． 【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·重庆·月考）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】利用等差数列基本量的计算求得公差，可求通项公式. 【详解】设等差数列公差为，由题意：， 又，所以，则； 故等差数列的通项公式为. 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高二上·全国·单元测试）设，数列满足，数列的通项公式为． (1)已知，求的值； (2)若，求数列的最大项及相应的值． 【答案】(1)的值为. (2)数列的最大项为，相应的值为57或58. 【分析】（1）由已知代入即可求解； （2）由题写出数列的通项式，计算，分类讨论的取值，判断与的大小即可得解. 【详解】（1）由已知，所以， 解出. 综上，的值为. （2）若，则，则， 所以. 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以，且. 综上，数列的最大项为，相应的值57或58. 题型3：由递推关系证明数列是等差数列 【例3-1】（24-25高二下·云南昆明·月考）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设易得，可得数列是以为首项，公差为的等差数列，进而求出，进而求解即可. 【详解】对两边取倒数，所以， 则，所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，则，所以. 故选：C. 【例3-2】（24-25高二下·湖北武汉·期中）设，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由已知得，代入得是以为首项，为公差的等差数列，求出通项公式可得答案. 【详解】由已知， 当时，，所以， 代入得，所以， 当时，，，解得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 则数列的通项公式为. 故答案为：. 【例3-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知正项数列的前项之积为，且.求证：数列是等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义推理得证. 【详解】依题意，，当时，得，则， 由，得，则，即， 当时，，于是，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 【变式3-1】设数列的前n项和，若，则（   ） A．数列满足 B．数列为递增数列 C．的最小值为 D．，，不成等差数列 【答案】C 【分析】对于A，验证即可判断；对于B，比较和的大小即可判断；对于C，先证明，再由即可得到C正确；对于D，直接计算是否等于即可判断. 【详解】由于，且当时，有. 所以. 对于A，由于，，，故，故A错误； 对于B，由于，故B错误； 对于C，由于，且当时，有 ， 从而，而，所以的最小值是，故C正确； 对于D，由于 ， 所以，，成等差数列，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·湖北黄冈·月考）记为数列的前项之积，已知，则 . 【答案】 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为， 当时，可得，解得； 当时，可得，整理可得， 可知数列是首项为3，公差为2的等差数列， 则，即， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（2025高二上·全国·专题练习）记数列的前n项和为，已知，.证明：数列为等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，根据等差中项法即可判断其是等差数列. 【详解】由， 当时，， 两式相减得， 即，① 则，② 由①②整理得，， 所以； 又，则当时，， 当时，，则， 所以，满足， 所以对于均成立， 故数列为等差数列，且首项为，公差为. 题型4：求等差中项、等差中项的应用 【例4-1】（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）x是1和2的等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差中项的定义，即可求解. 【详解】因为1、x、2成等差数列，则． 故选：A. 【例4-2】（24-25高二下·四川达州·月考）方程的两根的等差中项为 . 【答案】 【分析】根据韦达定理，结合等差中项的定义，即可求解. 【详解】设方程的两根分别为和，，所以两根的等差中项为. 故答案为： 【例4-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 【答案】1 【分析】由已知可得，结合构成等差数列，可得，结合构成等差数列，可得，求解即可. 【详解】因为，则， 因为构成等差数列，则，即，即， 因为构成等差数列，则，即，解得． 【变式4-1】（25-26高二上·福建厦门·月考）数列是等差数列，，则（   ） A．12 B．40 C．6 D．20 【答案】D 【分析】应用等差中项的性质求. 【详解】由题设，可得. 故选：D 【变式4-2】（25-26高二上·安徽池州·月考）在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为 ． 【答案】14 【分析】由等差中项定义和等差数列的下标和性质可得. 【详解】设该等差数列为，已知，， 第2项与第6项的等差中项为，而， 所以. 故答案为：14 【变式4-3】已知数列满足，证明：数列为等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】根据等差中项的知识证得数列为等差数列. 【详解】依题意，， 以替换得， 两式相减并整理的， 由于，所以， 所以数列为等差数列. 题型5：利用等差数列的性质计算 【例5-1】（25-26高二上·河南商丘·月考）在等差数列中，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用等差数列性质求解即可. 【详解】在等差数列中，因为， 又，所以， 故选：C． 【例5-2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）在等差数列中，已知，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【例5-3】（25-26高二上·安徽安庆·月考）在等差数列中，，． (1)求数列的第10项； (2)112是数列的第几项？ 【答案】(1) (2)第39项 【分析】（1）借助等差数列性质可得，从而得，即可求出公差，可得解； （2）根据等差数列通项公式求解. 【详解】（1）设等差数列公差为，， 则，又，则， 即，则，即； （2）根据（1）， 令，即，即112是数列的第39项． 【变式5-1】（25-26高二上·河北邢台·月考）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】由等差数列的性质可知， 则，故. 故选：D 【变式5-2】（24-25高二下·广东潮州·期末）已知等差数列中，，则 ． 【答案】6 【分析】根据题意与等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，. 又∵，∴. 故答案为：6. 【变式5-3】（25-26高二上·河南周口·月考）（1）在等差数列中，已知，求首项与公差d； （2）已知数列为等差数列，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用等差数列通项公式列出方程组，计算即可； （2）利用等差数列的性质求得，由此能求出． 【详解】（1）在等差数列中，， ∴，解得； （2）数列为等差数列，，， ∴，则． 题型6：等差数列的应用 【例6-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】求出温度差，利用海拔每升高米气温就降低，即可求解. 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 【例6-2】（24-25高二上·全国·期末）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【答案】167 【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，依题可知是首项为0，公差为12的等差数列，根据，解不等式即可. 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故答案为：167 【例6-3】已知是等差数列，当时，其中、、、均为正整数，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据等差数列的通项公式，分别表示出和，最后说明两个等式相等. 【详解】设， 则， ， 因此，当时，. 【变式6-1】（24-25高二上·河南·期中）设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由已知结合等差数列的性质检验充分必要性即可判断． 【详解】若p成立，即成立时，数列不一定为等差数列， 例如，即充分性不成立， 当为等差数列，则由等差数列的性质可知p成立，即必要性成立， 所以p是q的必要不充分条件． 故选：C． 【变式6-2】2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 【答案】65 【分析】探索，，，，的关系，确定的值. 【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以. 故答案为： 【变式6-3】一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比． 【答案】 【分析】由等差数列的性质，设三边分别为、、且，应用勾股定理求m、d之间的数量关系，进而可得三边长的比. 【详解】由题设，设三边分别为、、且， 因为是直角三角形，则，整理得， 所以，故三边分别为、、，即直角三角形三边长的比为. 题型7：等差数列的单调性 【例7-1】设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C 【例7-2】写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： ． ①；②单调递增． 【答案】（符合此种形式即可） 【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案. 【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为，由性质①可得： ， 即， 再根据②可知，公差，显然（）满足题意. 故答案为：（符合此种形式即可） 【例7-3】已知，为等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3)数列是单调递减数列 【分析】（1）设，根据已知的两个点列出关于,的方程组，解出,的值； （2）描出为正整数时的点，即可得到的图象； （3）根据公差的正负判断数列的单调性. 【详解】（1）设， 因为，在等差数列的图像上，所以，， 即 解得 故数列的通项公式为. （2）数列的图象是直线上横坐标为正整数的离散的点，如图所示：    （3）因为，所以是递减数列. 【变式7-1】在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果. 【详解】解：依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增， 所以数列无最大项，数列有最小项. 故选：C 【变式7-2】写出同时满足下面两个条件的数列{}的一个通项公式= . ①{}是递减数列；②对任意m，，都有. 【答案】（答案不唯一） 【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质②得到首项与公差的关系，然后根据性质①得到答案. 【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d， 由性质②可得： ，所以， 再根据①{}是递减数列，可知，取，则， 此时，满足题意. 故答案为：.（答案不唯一） 【变式7-3】（2024高二·全国·专题练习）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)递减数列 【分析】（1）设出公差，列出方程组，求出首项和公差，从而得到通项公式； （2）数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点，画出图象； （3）由公差得到数列的单调性. 【详解】（1）设数列的公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得 因此． （2）由（1）可知，数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点， 其中且， 如图， （3）由（1）可知公差，所以等差数列为递减数列． 题型8：利用等差数列通项公式求数列中的项 【例8-1】（25-26高二上·宁夏·月考）若数列满足，，则（    ） A．23 B．21 C．19 D．17 【答案】D 【分析】由数列相邻项的差为定值，得到数列为等差数列，从而得到数列的通项公式，即可求得结果. 【详解】∵，∴， 即数列是，的等差数列， ∴，∴. 故选：D. 【例8-2】（25-26高二上·安徽·月考）在数列中，，若数列是公差为3的等差数列，则 ． 【答案】23 【分析】根据题意结合等差数列定义可得，再结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为数列是公差为3的等差数列， 则，即， 可知，，，是首项为2，公差为3的等差数列，在这个数列中，是第8项， 所以． 故答案为：23. 【例8-3】（25-26高二·全国·假期作业）在等差数列中，，． (1)求的值； (2)2026是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 【答案】(1)； (2)2026是数列中的项，第507项. 【分析】（1）利用已知及等差数列的通项公式列方程求基本量，进而求项； （2）由（1）得，再结合已知求基本量判断是否为数列中的项，即可得. 【详解】（1）因为在等差数列中，，解得，， 所以； （2）由（1）得，令，得， 所以2026是数列中的项，即2026为中的第507项. 【变式8-1】（24-25高二下·云南·期中）已知数列中，且且，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】可知数列是以首项，公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为，可知数列是以首项，公差的等差数列， 则，所以. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二下·河北邯郸·期中）在数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据递推关系转化为等差数列，利用等差数列的通项公式求解通项公式得解. 【详解】因为，又， 所以，即，又， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以，所以． 故答案为： 【变式8-3】在等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)是不是数列中的项？ 【答案】(1)或； (2)-5或13； (3)详解见解析. 【分析】（1）由等差数列的性质得，解方程组可得和的值，可得公差d，则通项公式可求； （2）分别求出在不同通项公式下的的值； （3）把分别代入两个不同的通项公式，求解n的值得答案 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以，故是一元二次方程的两个实根， 解得或 当时，公差 数列的通项公式为： 当时，公差， 数列的通项公式为： （2）当时， 当时， （3）当时，由，解得，不合题意， 所以不是数列中的项 当时，由，解得，所以是数列中的第20项. 另解：（1）由，得， 又，所以=7， 设数列的公差为则， 化简整理的，解得 数列的通项公式为：或 下解同前 一、单选题 1．（25-26高二上·天津河北·月考）等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由，解得. 故选：D. 2．（25-26高二上·福建·月考）等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】A 【分析】根据等差中项即可求解. 【详解】由等差中项可得 又，故公差为， 故选：A 3．（25-26高二上·浙江·月考）等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 【答案】D 【分析】设公差为d，根据条件，联立求得，代入公式，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为d， 所以，则， 又，联立解得， 所以. 故选：D 4．（25-26高二上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（   ） A．60 B．62 C．64 D．66 【答案】A 【分析】根据递推关系得到，再求出，结合等差数列的通项公式求出即可. 【详解】因为，所以， 两式作差得， 故数列中的偶数项构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列， 又，，得， 故为偶数时，故. 故选：A 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）若数列为等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】等差数列中，由，，得该数列公差， 因此，所以. 故选：C 6．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，设数列的前n项和为，前n项积为，则下列说法错误的是（   ） A．数列是等差数列 B．数列的最大项为 C．使得取得最小值的n为7 D．有最小值，无最大值 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，求得，得到，可得判定A正确；由等差数列的通项公式，求得，结合且，可判定B错误；由通项公式，得到数列取值的正负，可判定C正确；求得的表达式，得到或时，且，当或时，，进而可判定D正确. 【详解】由数列满足，可得，则， 可得，即， 因为，可得， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以A正确； 由等差数列的通项公式，可得， 所以，因为，而， 所以不是数列的最大项，所以B错误； 当时，；当时，；当时，， 可得在时取得最小值，所以C正确； 由 ， 当或时，且，此时取得最小值； 当或时，，且无最大值，所以D正确. 故选：B. 7．（24-25高二上·广西贵港·期末）设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据的关系，构造法求数列的通项公式，并确定为等差数列，最后应用等差中项的性质求. 【详解】因为， 当时，，得， 当时，， 所以，则， 所以，又， 所以，所以是等差数列. 因为，所以. 故选：D 8．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知定义在的函数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过已知的递推公式，逐步推导出的表达式，进而求出的值.首先对递推公式进行变形，构造出一个新的数列，求出新数列的通项公式，再得到的通项公式，最后代入求值. 【详解】因为，等式两边同时除以， 得到. 设，则，且. 所以是以0为首项，为公差的等差数列. 所以该数列的通项公式为. 所以. 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽·月考）记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断. 【详解】等差数列的公差为，， 对于A，，A正确； 对于B，的符号无法确定，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，则，D正确. 故选：AD 10．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．是等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】代入计算判断A；由求解判断B；利用等差数列定义判断C；结合选项C利用等差数列通项公式求得，代入题干即可求解判断D. 【详解】当时，，解得，故A正确； 由，得，上述两式作差，得， 即，故B错误； 由，得，所以是公差为1的等差数列，故C正确； 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高二下·江西鹰潭·期中）数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则的公差为1 B．若为等差数列，则的首项为1 C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查等差数列的应用，根据条件构造出，两式相减得，再根据选项中的条件进行求解来判断A，B；利用求和公式来判断C，D． 【详解】因为，所以，两式相减得． 若数列为等差数列，则的公差． 又，所以，解得，所以A正确，B错误； ， 所以，所以C错误． 因为，所以恒成立， 即成立，所以D正确， 故选：AD． 三、填空题 12．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得数列是等差数列，再求出公差及首项即可. 【详解】由数列满足，得数列是等差数列， 由，得公差，由，得，解得， 所以. 故答案为： 13．（24-25高二上·天津静海·月考）设公差的等差数列中，满足，则的值为 . 【答案】/ 【分析】先根据已知条件求得，再利用等差数列的性质化简、，即可求得比值. 【详解】因为为等差数列，所以， 所以，，， 因为，所以， 整理得：，即， 因为，所以，根据等差数列的性质，有： ， ， 所以. 故答案为： 14．（24-25高二上·河南·月考）已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】化简得出数列是等差数列，再写出通项公式计算即可. 【详解】因为数列满足，， 所以， 所以， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 则. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）（1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项． （2）已知数列的前n项和，求的通项公式． 【答案】（1）91为数列中的第43项；（2） 【分析】（1）利用等差数列的“项的性质”（如，当时）及通项公式求解； （2）利用数列的前项和求通项公式的方法求解（利用，再验证的情况）. 【详解】（1）因为，所以，解得， 因为，所以， 又因为，解得， 代入通项公式为：， 令，即，解得（为正整数）， 即91为数列中的第43项． （2）∵， ∴当时，， 当时，， 将代入，得，与一致， ∴的通项公式是． 16．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列和满足，且. (1)当时，求数列的通项公式； (2)若，求证：数列是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据以及题干，代入计算即可； （2）代入可知，然后根据等差中项进行判断即可. 【详解】（1）当时，， 由题意得， 所以的通项公式为． （2）因为，所以， 则， 两式相减，得， 所以，即， 当时，， 所以公差， 所以是以为首项，为公差的等差数列． 17．（24-25高二下·河南·月考）已知在正项数列中，为其前项和，且，是与的等差中项． (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，为数列的前项和，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用等差中项列式，再依次计算即可. （2）由（1）中信息，利用前项和与第项的关系，借助等差数列定义求解. （3）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）依题意，，即，而， 所以，. （2）由（1）知，，当时，， 则，整理得， 即，又，因此，而， 则数列是首项为1，公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）得，则， 所以. 18．（2025高二上·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）依次将代入递推式即可求解； （2）由及条件可推出，根据等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求结论. 【详解】（1）由题可得，即， 所以，即， 又数列为正项数列，所以， 所以， 所以由，得； （2）因为，所以由（1）当时，， 当时， ， 整理化简得，又， 所以，即， 所以数列是以为公差，1为首项的等差数列， 所以. 19．（2025高二上·全国·专题练习）对任意的正整数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用递推公式，结合赋值法进行求解即可； （2）根据递推公式，结合等差数列的定义进行运算证明即可. 【详解】（1）在中，令，得，把代入，得； 在中，令，得，把代入，得； （2）由， 得， 记，则 得，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 故是等差数列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $