第01讲数列的概念（知识清单+9题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高二数学重难点讲义与测试（人教A版选择性必修第二册）

本讲义聚焦数列的概念这一核心内容，系统梳理数列的定义、分类、通项公式、递推公式、表示方法比较及前n项和等知识点，构建从基础概念到表示方法再到求和的完整知识支架，帮助学生逐步建立数列知识体系。 资料亮点在于题型设计注重举一反三，通过例题与变式题结合，培养学生数学思维，强化训练涵盖选择、填空、解答等多样题型，助力学生用数学语言表达问题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第01讲数列的概念 知识清单 知识点01：数列的概念 知识点02：数列的分类 知识点03：数列的通项公式 知识点04：数列的递推公式 知识点05：数列表示方法及其比较 知识点06：数列的前n项和 题型讲解 （举三反三） 题型1：数列的概念和分类 题型2：判断数列的增减性 题型3：已知前几项求通项公式 题型4：确定数列中的最大（小）项 题型5：已知递推关系求项或通项公式 题型6：累乘法求数列通项 题型7：利用an与sn关系求通项或项 题型8：数列周期性的应用 题型9：根据数列的单调性求参数 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 知识点02数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 知识点03数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 知识点04数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 知识点05数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 知识点06数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. = 题型1：数列的概念和分类 【例1-1】（24-25高二下·辽宁·月考）设数列的前项积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列的前项积与前项积的关系即可求解. 【详解】数列的前项积，即； 所以. 故选：A 【例1-2】（24-25高二下·上海·开学考试）若直线与直线平行，则实数 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行列式，由此求得. 【详解】由于，所以， 解得. 故答案为： 【例1-3】（24-25高二上·全国·随堂练习）下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【答案】 ②④⑤ ②⑤ ④ 【分析】由数列的定义及数列的分类可得结论. 【详解】①是集合，不是数列，③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按照一定顺序排列起来， 根据数列定义知：是数列的是②④⑤；是有穷数列的是②⑤；是无穷数列的是④． 故答案为：②④⑤；②⑤；④． 【变式1-1】（24-25高二下·广西南宁·月考）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由极端原理结合题意可得. 【详解】极端原理知，要使得最大，数列的项要尽可能地小.注意到，以此类推. 且， 故的最大值为6. 故选：B 【变式1-2】（24-25高二上·上海青浦·期末）已知直线：与直线：平行，则 . 【答案】3 【分析】根据两直线平行的充要条件：且即可求解. 【详解】因为，由两直线平行的充要条件可得， 且， 解得. 故答案为； 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1)是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)，，1，，5，7，，11是一个项数为8的数列． 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）根据数列的概念逐项分析判断. 【详解】（1）错误．是集合，不是数列． （2）正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列． （3）错误．当，代表数时为项数为8的数列； 当，中有一个不代表数时，便不是数列， 这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成． 题型2：判断数列的增减性 【例2-1】（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用单调数列的定义判断即得. 【详解】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列. 故选：B 【例2-2】（25-26高二上·广西·月考）已知数列的通项公式为，则 . 【答案】 【分析】先求出的解析式，判断它为正值和负值时的取值范围，并据此将的绝对值符号去掉并化简，再根据通项公式计算即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，，当时，， 则 . 故答案为： 【例2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）下列数列，哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ ①2012，2014，2016，2018，2020，2022； ②； ③； ④9，9，9，9，9，9． 【答案】①②是递增数列；③是递减数列；④是常数列． 【分析】利用递增数列、递减数列、常数列的意义判断各个数列即可得解. 【详解】对于①，，①是递增数列； 对于②，任意，，即，②是递增数列； 对于③，任意，，③是递减数列； 对于④，数列9，9，9，9，9，9各项均为9，是常数列. 【变式2-1】（24-25高二下·辽宁辽阳·月考）数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD选项均可举反例说明；C选项证明对任意恒成立即可. 【详解】A，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故A错误； B，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故B错误； C，，则，即对任意恒成立，故数列是递增数列，故C正确； D，，则，，则 ，故数列不是递增数列，故D错误. 故选：C 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列数列中，为递增数列的是 ，为递减数列的是 ，为常数列的是 ． ①1，0.84，，，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④，，，，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1． 【答案】 ② ①④⑤ ③ 【分析】根据数列单调性的定义，即可判断. 【详解】由数列的单调性，易知②是递增数列；①④⑤是递减数列；③是常数列． 故答案为：②；①④⑤；③ 【变式2-3】（24-25高二上·全国）下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ ①； ②， ③ ④，，，，…； ⑤； ⑥. 【答案】①②是递增数列；③是递减数列；⑥是常数列；④⑤是摆动数列 【分析】根据递增数列，递减数列，常数列，摆动数列的概念进行判断. 【详解】（1）递增数列，因为从第2项起，每一项都大于它的前一项； （2）递增数列，因为从第2项起，每一项都大于它的前一项； （3）递减数列，因为从第2项起，每一项都小于它的前一项； （4）摆动数列，因为从第2项起，数列中有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项； （5）摆动数列，因为从第2项起，数列中有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项； （6）常数数列，各项均为9，故为常数数列. 题型3：已知前几项求通项公式 【例3-1】（24-25高二上·甘肃金昌·月考）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用检验法排除ABC，再利用观察法，总结数列的前几项的规律，从而得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确. 故选：D. 【例3-2】（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【分析】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【例3-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知下列三个数列的前4项：①②；③． (1)分别写出这三个数列的通项公式； (2)根据（1）的结果，推测型数列的通项公式． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）这三个都是摆动数列，写出符合其规律的一个通项公式即可; （2）由（1）归纳出型数列的通项公式即可. 【详解】（1）①因为，此时； ②因为，此时； ③因为，此时． （2）由（1）可知，型数列的通项公式为 【变式3-1】数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分析可得数列的前四项与的关系，综合即可得答案． 【详解】根据题意，数列的前四项依次是：4，44，444，4444， 则有，，，， 则数列的通项公式可以是， 故选：C． 【变式3-2】（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分析数列前5项的规律，综合可得答案． 【详解】根据题意，数列的前5项依次为，即， 则的一个通项公式为， 故答案为： 【变式3-3】（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3)． (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【详解】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为． 题型4：确定数列中的最大（小）项 【例4-1】（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知数列的通项公式，则数列的最大值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由数列的通项对应的函数为二次函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】因为，其对应的函数为二次函数， 开口向下，对称轴为，又， 所以或2时，取得最大值，故数列的最大值是. 故选：C. 【例4-2】（2025高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项． 【答案】7 【分析】通过先作商再作差进行数列的单调性判断，进而找出其最大项． 【详解】由已知得， 则． 当，即时，有； 当时，有． 故， 所以数列的最大项为第7项． 故答案为：7． 【例4-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列的通项公式是，．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 【答案】有，为第2项和第3项，． 【分析】建立不等式组解不等式即可. 【详解】根据题意，令， 即，解得． 又，则或． 故数列有最大项，为第2项和第3项，且． 【变式4-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 【变式4-2】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【答案】 【分析】由通项公式得，，根据二次函数的性质确定最小项的值. 【详解】由，又，而， 当时，，当时，， 所以中最小项的值为. 故答案为： 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，求数列的最大项． 【答案】最大项为． 【分析】法一：用作差法判断数列的单调性，找到最大项； 法二：空前绝后法得到数列的最大项. 【详解】法一：． 当时，；当时，． 因此， 所以数列的最大项为． 法二：设数列的最大项为，则，即，解得， 因为，所以，故数列的最大项为． 题型5：已知递推关系求项或通项公式 【例5-1】（25-26高二上·山东·月考）数列满足，，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】通过计算数列前几项，发现数列具有周期性，周期为3，根据项数位置，确定的值. 【详解】数列中，由，，得，，， 因此数列是周期数列，周期为3， 所以. 故选：A. 【例5-2】（25-26高二上·天津河北·月考）已知数列中,,（）则 . 【答案】7 【分析】由递推公式依次求得. 【详解】当时，， 当时，， 故答案为：7 【例5-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）若数列满足，，，求． 【答案】 【分析】利用递推公式计算即可. 【详解】由题意可知：，，， ，． 【变式5-1】（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得 ①， 所以时， ②， ①-②得，所以， 所以. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，设数列的通项公式为，则 ． 【答案】 【分析】根据给定的递推关系求出可得. 【详解】数列满足， 当时，， 两式相减得，因此. 又时，，满足上式，所以. 故答案为：. 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求． 【答案】 【分析】本题在于得到数列隔项成等差数列的递推关系式，从而分奇偶项来求通项． 【详解】因为，， 两式相减可得，因此数列隔项成等差数列． 当为奇数时，； 当为偶数时，． 故 题型6：累乘法求数列通项 【例6-1】（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【分析】根据已知递推公式得出相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式，最后根据通项公式判断数列类型，进而求出前100项的和． 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 【例6-2】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 【例6-3】已知中，，且，求数列通项公式. 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用累乘法列式求解作答. 【详解】数列中，，，显然，当时，， ，也满足上式， 所以数列通项公式是. 【变式6-1】（24-25高二下·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二下·四川广安·月考）数列中，若,，则 . 【答案】 【分析】先由题意结合累乘法求出数列的通项公式即可计算求解. 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】利用累乘法求解即可. 【详解】解：因为， 所以当时，， 所以， 以上个式子相乘得， 即， 所以． 当时，，也与已知相符， 所以数列的通项公式为． 题型7：利用an与sn关系求通项或项 【例7-1】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 【答案】D 【分析】利用与的关系即可求解. 【详解】由，得. 故选：D 【例7-2】（25-26高二上·河南洛阳·月考）若数列的前n项和，则 . 【答案】－3750 【分析】首先根据题设条件，利用，即可求得的值. 【详解】数列的前n项和， . 故答案为：－3750. 【例7-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知数列的前项和为，求的通项公式. 【答案】 【分析】利用公式求数列的通项公式. 【详解】当时，； 当时，. 因为不满足上式， 所以. 【变式7-1】（24-25高二下·浙江温州·期末）数列的前n项和，则（ ） A．140 B．120 C．40 D．50 【答案】C 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】由可得， 故选：C 【变式7-2】（25-26高二上·北京·月考）已知数列的前项和为，则 ， . 【答案】 7 10 【分析】应用及计算求解. 【详解】数列的前项和为， 令，则， . 故答案为：7；10. 【变式7-3】（24-25高二上·陕西·月考）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上． (1)求； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据题意，得到，结合，逐项即可求解； （2）由，结合，即可求解. 【详解】（1）由点均在函数的图象上，可得， 则，， ，. （2）由点均在函数的图象上，可得， 当时，可得； 当时，， 经检验，当时不成立， 所以数列的通项公式为. 题型8：数列周期性的应用 【例8-1】（25-26高二上·重庆·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据数列递推公式，依次计算数列的项，判断数列的周期，进而求出结果. 【详解】由题意可得，，， 所以数列是周期为3的周期数列，即， 则. 故选：D. 【例8-2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知在数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】首先确定数列的周期，再求值. 【详解】，， ，，， 所以数列的周期为3，. 故答案为： 【例8-3】（25-26高二上·陕西延安·月考）设数列满足，且，则 ． 【答案】 【分析】根据递推公式，依次求出数列各项，判断数列周期，进而求出结果. 【详解】由题意得，，，，，以此类推， 可知数列周期为，即，所以. 故答案为：. 【变式8-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据递推公式计算数列的前几项找到周期性并进行计算即可. 【详解】由且， 得， 所以数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）已知数列的首项为2，满足，则 【答案】/ 【分析】根据数列的周期性求得正确答案. 【详解】， ，， ，， 以此类推，可得数列是周期为的周期数列， 所以. 故答案为： 【变式8-3】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知数列满足，若，则 ． 【答案】 【分析】由题意求出，易得数列是周期为的周期数列，从而得解. 【详解】，， 所以数列是周期为的周期数列， 又. 故答案为： 题型9：根据数列的单调性求参数 【例9-1】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是递增数列，所以，不等式恒成立求解参数的取值范围即可. 【详解】由题可知是递增数列，所以，即， 所以，故．因为，所以． 故选：C. 【例9-2】（24-25高二下·上海·月考）已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用数列单调性定义列式求解得到答案. 【详解】由数列为严格增数列， 得，， 因此，，而数列为严格减数列， 所以，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【例9-3】数列的通项公式为，且都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据代入数据化简得到，根据得到答案. 【详解】，即，化简得， 对任意正整数成立，故，，故 【变式9-1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递增数列得，化简即可求的取值范围. 【详解】因为为递增数列，所以， 因为，所以， 化简可得， 因为在上单调递增，且恒大于0， 则在上单调递减， 则数列递减，因为， 所以当时，，所以. 故选：A 【变式9-2】（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【详解】若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式9-3】已知数列是严格增数列，且对任意正整数n，都有，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由已知可得出，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】解：因为是递增数列，所以恒成立， 因为，所以恒成立， 所以对于任意正整数n恒成立． 而在时取得最大值-3， 所以． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可. 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及递推关系得到是以3为周期的数列，进而确定. 【详解】，且， ，， ，， 所以是以3为周期的数列，则. 故选：B 3．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】利用递推公式求出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】当时，， 由， 由，得， 两式相减得，， 所以， 故选：B 4．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知数列的通项公式为 ，则的最小项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列通项公式以及二次函数单调性即可求得结论. 【详解】易知， 当时，由二次函数性质可知函数单调递增，所以的最小项为. 故选：A 5．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意求出数列的项，得出是以为周期的数列，从而可解. 【详解】数列中，且，， 所以 从而可知数列是以为周期的数列，且， 则. 故选：B 6．（25-26高二上·甘肃·月考）已知单调递增数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得到、，讨论、时判断数列性质，即可得. 【详解】由于，即，整理得， 当时，单调递增，符合； 当时，则是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 当时，则，，不符， 当时，则，不符， 当时，则，，不符， 故选：A. 7．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 8．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列的通项公式为为其前项积，则的最小值为（    ） A．－2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用作商法可得，进而求出，可得时，，进而分析求解即可. 【详解】当为奇数时，，当为偶数时，， 要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可， 又， 而， 因此时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的最小值为． 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 【答案】ABD 【分析】根据数列的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，不表示数列，故A错误； 对于B，数列具有有序性，故B错误； 对于C，数列的项可以相等，故C正确； 对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误. 故选：ABD. 10．（25-26高二上·浙江·月考）已知数列满足，，，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C．数列单调递增 D．数列是周期数列 【答案】ACD 【分析】根据递推公式分奇偶项讨论，计算数列的前几项或分析通项公式，进而判断选项的正确性. 【详解】已知，根据递推公式，分为奇数和偶数讨论： 当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 选项A：计算前项和：，因此选项A正确； 选项B：观察奇数项规律：，发现奇数项以为周期循环， 因为是奇数，，对应周期中的第项，即，因此选项B错误； 选项C：分析偶数项，当为奇数时，；当为偶数时，， 由于恒为正数，所以数列单调递增，C正确； 选项D：奇数项：，周期为，即是周期为的周期数列，因此选项D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】通过给定的递推公式求出数列的前几项，进而找出数列的周期规律，计算即可. 【详解】因为，，即， 所以，，，， 所以数列的周期为4，所以的项的有. 故选： AD. 三、填空题 12．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，若为递增数列，为递减数列，则M中最多有 个元素. 【答案】1 【分析】根据两数列单调性，由散点图可得至多有1个交点. 【详解】因为为递增数列，为递减数列，与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列， 故的散点图呈上升趋势，的散点图呈下降趋势，两者至多有1个交点. 故答案为：1 13．（25-26高二上·河北衡水·月考）数列中，，，则 【答案】/ 【分析】根据数列的递推公式，求出数列的前几项，观察可得数列的周期性，利用周期性，可求.. 【详解】因为，， 所以，， ，， 所以，所以. 故答案为：. 14．（25-26高二上·云南文山·月考）已知数列的前n项和，若，数列中 ，的最小值是 . 【答案】5 【分析】根据与的关系求出，进而得到，易得数列单调递增，进而求解即可. 【详解】由，当时，； 当时，满足上式，则， 由， 则对任意都成立，即， 则数列单调递增，因此. 故答案为：5. 四、解答题 15．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系逐项计算可得前5项； （2）根据与的关系推得，利用累乘法计算即得数列通项. 【详解】（1）由且，得，解得， 由且，，得，解得， 由且，，，得，解得， 由且，，，，得，解得； （2）因，当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即，则， 因满足，故数列的通项公式为. 16．（24-25高二上·山西·月考）已知等差数列，的通项公式分别为，，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，…，，…. (1)求，，，； (2)求证：在数列中，但不在数列中的项恰为，，，…，，…； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由数列的递推公式，分别写出数列的前四项，结合题意，可得答案； （2）由题意建立数列中的奇数项与数列中项的等式方程，可得答案； （3）由（2）将数列分为奇数项与偶数项两个子数列，将数列分为等距的个子数列，由题意，可得答案. 【详解】（1）由，可得，，，， 由，可得，，，， 由题可得，，， （2）因为数列是由数列和的项构成，所以只需讨论数列的项是否是数列的项即可. 设，， 所以，即，所以是中的项； 假设，所以， 所以不是的项. 综上所述，在数列中，但不在数列中的项恰为，，…，，…. （3）由（2）知，， ，， 又，， 所以依次可得，，，，， 所以. 17．已知数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（2）利用时，，可得，再利用“累乘法”求数列的通项公式. （2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可. 【详解】（1）当时， 所以， . 当时，，上式亦成立. 所以. （2）对任意恒成立， 即对任意恒成立， 记，故， 所以当时，，所以，即， 当时，，即随着n的增大，递减， 所以的最大值为， 所以，即. 18．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知整数数列满足：①；②． (1)若，求； (2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项； 【答案】(1)或； (2)证明见解析. 【分析】 （1）根据给定条件，反向分段讨论计算即得. （2）借助反证法的思想证得，再探求出整数数列的最小数，借助数列周期性推理即可. 【详解】（1）整数数列满足， 因为，而为偶数，因此，解得，符合题意， 当为奇数时，，显然为偶数，因此，解得，不满足， 当为偶数时，，解得，若为奇数，则；若为偶数，则， 所以或. （2）首先，否则，记为中第一个小于等于0的项， 则或，从而，与的最小性矛盾， 记为的最小值，则为奇数并且， 根据的最小性，知，根据知， 显然第一个1后面的项为2，1，2，1，2，…周期性出现， 所以数列中总包含无穷多等于1的项. 19．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】根据递推关系，用累乘法求通项公式；借助构造法构造等差数列求通项公式；结合分组求和求通项公式； 【详解】（1）因为，所以，所以当时， ， 又，符合上式，所以； （2）由，得，又， 所以数列以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以； （3）因为，所以，又，所以； 因为，所以 ， 又，所以， 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲数列的概念 知识清单 知识点01：数列的概念 知识点02：数列的分类 知识点03：数列的通项公式 知识点04：数列的递推公式 知识点05：数列表示方法及其比较 知识点06：数列的前n项和 题型讲解 （举三反三） 题型1：数列的概念和分类 题型2：判断数列的增减性 题型3：已知前几项求通项公式 题型4：确定数列中的最大（小）项 题型5：已知递推关系求项或通项公式 题型6：累乘法求数列通项 题型7：利用an与sn关系求通项或项 题型8：数列周期性的应用 题型9：根据数列的单调性求参数 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 知识点02数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 知识点03数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 知识点04数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 知识点05数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 知识点06数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. = 题型1：数列的概念和分类 【例1-1】（24-25高二下·辽宁·月考）设数列的前项积，则（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高二下·上海·开学考试）若直线与直线平行，则实数 ． 【例1-3】（24-25高二上·全国·随堂练习）下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【变式1-1】（24-25高二下·广西南宁·月考）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】（24-25高二上·上海青浦·期末）已知直线：与直线：平行，则 . 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1)是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)，，1，，5，7，，11是一个项数为8的数列． 题型2：判断数列的增减性 【例2-1】（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【例2-2】（25-26高二上·广西·月考）已知数列的通项公式为，则 . 【例2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）下列数列，哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ ①2012，2014，2016，2018，2020，2022； ②； ③； ④9，9，9，9，9，9． 【变式2-1】（24-25高二下·辽宁辽阳·月考）数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列数列中，为递增数列的是 ，为递减数列的是 ，为常数列的是 ． ①1，0.84，，，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④，，，，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1． 【变式2-3】（24-25高二上·全国）下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ ①； ②， ③ ④，，，，…； ⑤； ⑥. 题型3：已知前几项求通项公式 【例3-1】（24-25高二上·甘肃金昌·月考）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【例3-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知下列三个数列的前4项：①②；③． (1)分别写出这三个数列的通项公式； (2)根据（1）的结果，推测型数列的通项公式． 【变式3-1】数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为 ． 【变式3-3】（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 题型4：确定数列中的最大（小）项 【例4-1】（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知数列的通项公式，则数列的最大值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【例4-2】（2025高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项． 【例4-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列的通项公式是，．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 【变式4-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-2】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，求数列的最大项． 题型5：已知递推关系求项或通项公式 【例5-1】（25-26高二上·山东·月考）数列满足，，则（   ） A． B．1 C． D．3 【例5-2】（25-26高二上·天津河北·月考）已知数列中,,（）则 . 【例5-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）若数列满足，，，求． 【变式5-1】（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，设数列的通项公式为，则 ． 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求． 题型6：累乘法求数列通项 【例6-1】（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【例6-2】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 【例6-3】已知中，，且，求数列通项公式. 【变式6-1】（24-25高二下·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·四川广安·月考）数列中，若,，则 . 【变式6-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，求数列的通项公式． 题型7：利用an与sn关系求通项或项 【例7-1】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 【例7-2】（25-26高二上·河南洛阳·月考）若数列的前n项和，则 . 【例7-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知数列的前项和为，求的通项公式. 【变式7-1】（24-25高二下·浙江温州·期末）数列的前n项和，则（ ） A．140 B．120 C．40 D．50 【变式7-2】（25-26高二上·北京·月考）已知数列的前项和为，则 ， . 【变式7-3】（24-25高二上·陕西·月考）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上． (1)求； (2)求数列的通项公式． 题型8：数列周期性的应用 【例8-1】（25-26高二上·重庆·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【例8-2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知在数列中，，，则 ． 【例8-3】（25-26高二上·陕西延安·月考）设数列满足，且，则 ． 【变式8-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）已知数列的首项为2，满足，则 【变式8-3】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知数列满足，若，则 ． 题型9：根据数列的单调性求参数 【例9-1】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例9-2】（24-25高二下·上海·月考）已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 . 【例9-3】数列的通项公式为，且都有恒成立，求实数的取值范围. 【变式9-1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ． 【变式9-3】已知数列是严格增数列，且对任意正整数n，都有，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 4．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知数列的通项公式为 ，则的最小项为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高二上·甘肃·月考）已知单调递增数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列的通项公式为为其前项积，则的最小值为（    ） A．－2 B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 10．（25-26高二上·浙江·月考）已知数列满足，，，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C．数列单调递增 D．数列是周期数列 11．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，若为递增数列，为递减数列，则M中最多有 个元素. 13．（25-26高二上·河北衡水·月考）数列中，，，则 14．（25-26高二上·云南文山·月考）已知数列的前n项和，若，数列中 ，的最小值是 . 四、解答题 15．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 16．（24-25高二上·山西·月考）已知等差数列，的通项公式分别为，，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，…，，…. (1)求，，，； (2)求证：在数列中，但不在数列中的项恰为，，，…，，…； (3)求数列的通项公式. 17．已知数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 18．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知整数数列满足：①；②． (1)若，求； (2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项； 19．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $