吉林省长春市绿园区2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年吉林省长春市绿园区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作+10元，则支出5元可记作（　　） A．﹣5元 B．5元 C．﹣10元 D．10元 2．（3分）下列单项式中，ab3的同类项是（　　） A．3ab3 B．2a2b3 C．﹣a2b2 D．a3b 3．（3分）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000km，数据149600000用科学记数法可表示为（　　） A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×107 4．（3分）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m ﹣415 ﹣28 ﹣156 ﹣40 其中最低海拔最小的大洲是（　　） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 6．（3分）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 7．（3分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，C分别在直线m，n上，若m∥n，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（3分）﹣3的绝对值是 　 　 ． 10．（3分）有理数0.009493精确到千分位的结果为 　 　 ． 11．（3分）南朝宋•范晔在《后汉书•联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是　 　 ． 12．（3分）如图，已知∠AOC＝90°，直线BD过点O，∠COD＝115°，则∠AOB＝　 　 ． 13．（3分）图①是1个纸杯的示意图，图②是n个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母）：①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．请选用适当的字母表示H＝　 　 ． 14．（3分）如图，∠AOB＝90°，射线OD平分∠BOC，且∠AOC＝51°，给出下面四个结论： ①∠BOC＝39°； ②∠BOD＝19°30′； ③∠AOD＝70°； ④∠COD＝19.5°． 上述结论中，正确结论的序号有：　 　 ． 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15．（6分）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）． 16．（6分）先化简再求值：5（3x2y﹣xy2）﹣（xy2+3x2y），其中，y＝﹣1． 17．（6分）如图是10×10的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在∠AOB的边OB上． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H． （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C． （3）线段PH的长度是点P到　 　 的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是　 　 （用“＜”号连接），依据是　 　 ． 18．（7分）完成下面的证明： 如图．在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1＝∠2，∠C＝110°，求∠D的度数． 解：∵BE平分∠ABC（已知）， ∴∠2＝　 　 （ 　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝　 　 （ 　 　 ）， ∴AD∥BC（ 　 　 ）， ∴∠C+　 　 ＝180°（ 　 　 ）， 又∵∠C＝110°（已知）， ∴∠D＝　 　 ． 19．（7分）如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数． 20．（7分）如图，已知线段AB． （1）尺规作图：在线段AB的延长线上找一点C，使得BC＝2AB；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） （2）在（1）的条件下，若点D是AB的中点，试判断线段AD与线段CD的数量关系并给出证明． 21．（8分）某直播平台计划每天销售一种农副产品200千克．上周的实际销售记录如表（超过200的差额记为正数，不足200的差额记为负数，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 +11 +3 ﹣9 +2 ﹣4 +14 +5 （1）销售最多的一天比销售最少的一天多销售多少千克？ （2）上周实际销售总量是多少千克？ 22．（9分）某车队组织50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，每辆货车只能装运一种原材料，且必须装满，设装运沙子的货车为m辆，根据表中提供的信息，解答下列问题．（结果用含m的代数式表示，并化简） 原材料种类 沙子 水泥 每吨所需运费（元） 150 100 每辆汽车运载量（吨） 5 4 （1）装运水泥的货车为　 　 辆． （2）50辆货车共装运了多少吨原材料？ （3）装运这批原材料的总费用为多少元？ 23．（10分）【感知】如图①，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P是夹在直线AB、CD之间的一点，连结PE、PF．过点P作PQ∥AB，如果∠AEP＝45°，∠CFP＝60°，则∠EPF＝　 　 °． 【探究】如图②，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P是夹在直线AB、CD之间的一点，连结PE、PF．请判断∠AEP、∠CFP、∠EPF之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，且直线AD∥BC，点P是射线OM上一动点，且不与点A、B、O重合，若∠ADP＝α，∠BCP＝β，用含α、β的代数式表示∠CPD． （1）当点P在线段OB上时，∠CPD＝　 　 ． （2）当点P在线段AB上时，∠CPD＝　 　 ． （3）当点P在射线AM上时，∠CPD＝　 　 ． 24．（12分）【背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面． 【感知】若折叠后数1对应的点与数﹣1对应的点重合，则此时数﹣3对应的点与数　 　 对应的点重合． 【探究】（1）若折叠后数2对应的点与数﹣4对应的点重合，则此时数0对应的点与数　 　 对应的点重合． （2）若如（1）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在点A的右侧），则点A对应的数为　 　 ，点B对应的数为　 　 ． （3）在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． ①动点P从点B向右出发，当P、A两点之间的距离为15个单位长度时，求t的值． ②请直接写出动点P从点B向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 2025-2026学年吉林省长春市绿园区七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B． B A B D A 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作+10元，则支出5元可记作（　　） A．﹣5元 B．5元 C．﹣10元 D．10元 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若收入10元记作+10元，则支出5元可记作﹣5元． 故选：A． 2．（3分）下列单项式中，ab3的同类项是（　　） A．3ab3 B．2a2b3 C．﹣a2b2 D．a3b 【分析】根据同类项的定义：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同．据此进行解题即可． 【解答】解：根据同类项的定义可知， ab3的同类项是3ab3． 故选：A． 3．（3分）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000km，数据149600000用科学记数法可表示为（　　） A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×107 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：149600000＝1.496×108． 故选：B． 4．（3分）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：根据几何体的特点可得：从几何体的正面可以看到选项B的图形． 故选：B． 5．（3分）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m ﹣415 ﹣28 ﹣156 ﹣40 其中最低海拔最小的大洲是（　　） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 【分析】根据有理数大小比较方法解答即可． 【解答】解：∵﹣415＜﹣156＜﹣40＜﹣28， ∴海拔最低的是亚洲． 故选：A． 6．（3分）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【分析】根据两点确定一条直线判断即可． 【解答】解：这样做应用的数学知识是两点确定一条直线， 故选：B． 7．（3分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 【分析】先求出∠BOD的度数，再根据角的和差关系得结论． 【解答】解：∵∠AOC＝75°， ∴∠AOC＝∠BOD＝75°． ∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠BOD， ∴∠2＝∠BOD﹣∠1 ＝75°﹣25° ＝50°． 故选：D． 8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，C分别在直线m，n上，若m∥n，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 【分析】由平行线的性质可得∠ACD＝∠1＝50°，则可求∠BCD的度数，利用平角的定义即可求∠2的度数． 【解答】解：如图， ∵m∥n，∠1＝50°， ∴∠ACD＝∠1＝50°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝40°， ∴∠2＝180°﹣∠BCD＝140°． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（3分）﹣3的绝对值是 　3　 ． 【分析】根据绝对值的定义即可求得答案． 【解答】解：|﹣3|＝3． 故答案为：3． 10．（3分）有理数0.009493精确到千分位的结果为 　0.009　 ． 【分析】把万分位上的数字4进行四舍五入即可． 【解答】解：有理数0.009493精确到千分位的结果为0.009． 故答案为：0.009． 11．（3分）南朝宋•范晔在《后汉书•联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是　竟　 ． 【分析】根据正方体表面展开图的特征解答即可． 【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知： “志”字所在面相对的面上的汉字是“竟”， 故答案为：竟． 12．（3分）如图，已知∠AOC＝90°，直线BD过点O，∠COD＝115°，则∠AOB＝　25°　 ． 【分析】根据平角等于180°和∠COD＝115°，求出∠BOC，再根据直角为90°，求出∠AOB的度数． 【解答】解：∵∠COD＝115°， ∴∠BOC＝180°﹣115°＝65°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠AOB＝90°﹣65°＝25°． 故答案为：25°． 13．（3分）图①是1个纸杯的示意图，图②是n个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母）：①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．请选用适当的字母表示H＝h+an ． 【分析】根据题意，得出每增加1个纸杯，高度增加a，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 每增加1个纸杯，高度增加a， 因为1个纸杯的高度为h+a， 所以H＝h+a+（n﹣1）a＝h+an． 故答案为：h+an． 14．（3分）如图，∠AOB＝90°，射线OD平分∠BOC，且∠AOC＝51°，给出下面四个结论： ①∠BOC＝39°； ②∠BOD＝19°30′； ③∠AOD＝70°； ④∠COD＝19.5°． 上述结论中，正确结论的序号有：　①②④　 ． 【分析】根据∠AOB＝90°，∠AOC＝51°，可得∠BOC＝39°，即可判断A； 由角平分线的定义得到∠BOD＝∠COD＝19.5°，即可判断B和D；进而可判断C；即可求解． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝51°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC ＝90°﹣51° ＝39°， 故选项A正确； ∵射线OD平分∠BOC， ∴， 故选项B正确，选项D正确； ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣19.5°＝70.5°， 故选项C错误； ∴正确的选项为ABD， 故选：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15．（6分）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）． 【分析】先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可． 【解答】解：原式＝（﹣1）×（﹣4）+4÷2 ＝4+2 ＝6． 16．（6分）先化简再求值：5（3x2y﹣xy2）﹣（xy2+3x2y），其中，y＝﹣1． 【分析】根据整式的加减运算顺序进行化简，再代入值计算即可． 【解答】解：原式＝15x2y﹣5xy2﹣xy2﹣3x2y ＝12x2y﹣6xy2， 当，y＝﹣1时， 原式 ＝﹣3﹣3 ＝﹣6． 17．（6分）如图是10×10的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在∠AOB的边OB上． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H． （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C． （3）线段PH的长度是点P到OA 的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC （用“＜”号连接），依据是　垂线段最短　 ． 【分析】（1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，垂线段最短判断即可． 【解答】解：（1）如图，直线PH即为所求； （2）如图，直线PC即为所求； （3）线段PH的长度是点P到OA的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC，依据是：垂线段最短． 故答案为：OA；PH＜PC＜OC；垂线段最短． 18．（7分）完成下面的证明： 如图．在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1＝∠2，∠C＝110°，求∠D的度数． 解：∵BE平分∠ABC（已知）， ∴∠2＝　∠EBC （ 　角平分线的定义　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝　∠EBC （ 　等量代换　 ）， ∴AD∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠C+　∠D ＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）， 又∵∠C＝110°（已知）， ∴∠D＝　70°　 ． 【分析】根据角平分线的定义得到∠2＝∠EBC，又根据∠1＝∠2等量代换得到∠1＝∠EBC，根据内错角相等，两直线平行得到AD∥BC，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠C+∠D＝180°，根据∠C＝110°即可得出答案． 【解答】解：∵BE平分∠ABC（已知）， ∴∠2＝∠EBC（角平分线的定义）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠EBC（等量代换）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠C+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠C＝110°（已知）， ∴∠D＝70°． 故答案为：∠EBC；角平分线的定义；∠EBC；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，同旁内角互补；70°． 19．（7分）如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数． 【分析】根据角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可． 【解答】解：由题意可得：∠BOD＝2∠BOC＝30°， ∵OB平分∠AOD， ∴∠AOB＝∠BOD＝30°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝45°． 20．（7分）如图，已知线段AB． （1）尺规作图：在线段AB的延长线上找一点C，使得BC＝2AB；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） （2）在（1）的条件下，若点D是AB的中点，试判断线段AD与线段CD的数量关系并给出证明． 【分析】（1）以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交AB的延长线于点E，再以点E为圆心，AB的长为半径画弧，交BE的延长线于点C，则点C即为所求． （2）由题意得AB＝2AD＝2BD，可得BC＝4AD，则CD＝BC+BD＝4AD+AD＝5AD． 【解答】解：（1）如图，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交AB的延长线于点E，再以点E为圆心，AB的长为半径画弧，交BE的延长线于点C， 则点C即为所求． （2）CD＝5AD． 证明：∵点D是AB的中点， ∴AB＝2AD＝2BD． ∵BC＝2AB， ∴BC＝4AD， ∴CD＝BC+BD＝4AD+AD＝5AD． 21．（8分）某直播平台计划每天销售一种农副产品200千克．上周的实际销售记录如表（超过200的差额记为正数，不足200的差额记为负数，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 +11 +3 ﹣9 +2 ﹣4 +14 +5 （1）销售最多的一天比销售最少的一天多销售多少千克？ （2）上周实际销售总量是多少千克？ 【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出销售最多的一天比销售最少的一天多销售多少千克； （2）根据表格中的数据，可以计算出上周实际销售总量是多少千克． 【解答】解：（1）由题意可得， 14﹣（﹣9） ＝14+9 ＝23（千克）， 即销售最多的一天比销售最少的一天多销售23千克； （2）200×7+[11+3+（﹣9）+2+（﹣4）+14+5] ＝1400+22 ＝1422（千克）， 即上周实际销售总量是1422千克． 22．（9分）某车队组织50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，每辆货车只能装运一种原材料，且必须装满，设装运沙子的货车为m辆，根据表中提供的信息，解答下列问题．（结果用含m的代数式表示，并化简） 原材料种类 沙子 水泥 每吨所需运费（元） 150 100 每辆汽车运载量（吨） 5 4 （1）装运水泥的货车为　（50﹣m）　 辆． （2）50辆货车共装运了多少吨原材料？ （3）装运这批原材料的总费用为多少元？ 【分析】（1）根据50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，即可列出代数式； （2）根据“每辆汽车沙子的运载量×装运沙子货车的数量+每辆汽车水泥的运载量×装运水泥货车的数量”列式计算即可； （3）根据“每吨沙子所需运费×每辆汽车沙子的运载量×装运沙子货车的数量+每吨水泥所需运费×每辆汽车水泥的运载量×装运水泥货车的数量”列式计算即可． 【解答】解：（1）由题意得，装运水泥的货车为（50﹣m）辆， 故答案为：（50﹣m）； （2）5m+4（50﹣m）＝（m+200）吨， 答：50辆货车共装运了（m+200）吨原材料； （3）150×5m+100×4（50﹣m）＝（350m+20000）元． 答：装运这批原材料的总费用为（350m+20000）元． 23．（10分）【感知】如图①，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P是夹在直线AB、CD之间的一点，连结PE、PF．过点P作PQ∥AB，如果∠AEP＝45°，∠CFP＝60°，则∠EPF＝　105　 °． 【探究】如图②，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P是夹在直线AB、CD之间的一点，连结PE、PF．请判断∠AEP、∠CFP、∠EPF之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，且直线AD∥BC，点P是射线OM上一动点，且不与点A、B、O重合，若∠ADP＝α，∠BCP＝β，用含α、β的代数式表示∠CPD． （1）当点P在线段OB上时，∠CPD＝　α﹣β　 ． （2）当点P在线段AB上时，∠CPD＝　α+β　 ． （3）当点P在射线AM上时，∠CPD＝　β﹣α　 ． 【分析】【感知】根据平行线的性质即可解答． 【探究】过点P作PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质即可解答． 【应用】（1）当点P在线段BO上时，过点P作PQ∥AD∥BC，交ON于点Q，连接PD、PC，根据平行线的性质即可解答． （2）当点P在线段AB上时，过点P作PQ∥AD∥BC，交ON于点Q，连接PD、PC，根据平行线的性质即可解答． （3）当点P在射线AM上时，过点P作PQ∥AD∥BC，交ON于点Q，连接PD、PC，根据平行线的性质即可解答． 【解答】解：【感知】∵AB∥PQ∥CD， ∴∠EPQ＝∠AEP＝45°，∠QPF＝∠CFP＝60°， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠QPF＝105°， 故答案为：105°； 【探究】∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 如图，过点P作PQ∥AB∥CD， ∵PQ∥AB∥CD， ∴∠EPQ＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠QPF＝∠AEP+∠CFP； 【应用】（1）如图，当点P在线段BO上时，过点P作PQ∥AD∥BC，交ON于点Q，连接PD、PC， ∵PQ∥AD∥BC， ∴∠DPQ＝∠ADP＝α，∠CPQ＝∠BCP＝β， ∴∠CPD＝∠DPQ﹣∠CPQ＝α﹣β； 故答案为：α﹣β； （2）如图，当点P在线段AB上时，过点P作PQ∥AD∥BC，交ON于点Q，连接PD、PC， ∵PQ∥AD∥BC， ∴∠DPQ＝∠ADP＝α，∠CPQ＝∠BCP＝β， ∴∠CPD＝∠DPQ+∠CPQ＝α+β； 故答案为：α+β； （3）如图，当点P在射线AM上时，过点P作PQ∥AD∥BC，交ON于点Q，连接PD、PC， ∵PQ∥AD∥BC， ∴∠DPQ＝∠ADP＝α，∠CPQ＝∠BCP＝β， ∴∠CPD＝∠CPQ﹣∠DPQ＝β﹣α； 故答案为：β﹣α． 24．（12分）【背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面． 【感知】若折叠后数1对应的点与数﹣1对应的点重合，则此时数﹣3对应的点与数　3　 对应的点重合． 【探究】（1）若折叠后数2对应的点与数﹣4对应的点重合，则此时数0对应的点与数　0　 对应的点重合． （2）若如（1）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在点A的右侧），则点A对应的数为　﹣6.5　 ，点B对应的数为　4.5　 ． （3）在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． ①动点P从点B向右出发，当P、A两点之间的距离为15个单位长度时，求t的值． ②请直接写出动点P从点B向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 【分析】感知：根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； 探究：（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （3）①根据题意，BP＝2t，点P对应的数为4.5+2t，用代数式表示PA，列方程求解即可； ②根据题意，点P在点A的左侧，点P对应的数为4.5﹣2t，用代数式表示PA，列方程求解即可． 【解答】解：感知：根据题意，得对称中心是原点，则数﹣3对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； 探究：（1）因为数2对应的点与数﹣4对应的点重合， 所以，对称中心是数﹣1对应的点， ∴﹣1﹣[0﹣（﹣1）]＝﹣2， 此时数0对应的点与数﹣2对应的点重合； 故答案为：0； （2）由（2）可知，对称中心是数﹣1对应的点， 数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧）， 设点A对应的数为x，点B对应的数为11+x， ∴﹣1﹣[x﹣（﹣1）]＝11+x， 解得：x＝﹣6.5， 则11+x＝4.5， 所以，点A对应的数为﹣6.5，点B对应的数为4.5， 故答案为：﹣6.5，4.5； （3）①根据题意，BP＝2t， 点P对应的数为4.5+2t， PA＝4.5+2t﹣（﹣6.5）＝15， 解得：t＝2， 答：t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②动点P从B点向左出发，P、A两点之间的距离为15个单位长度时， 此时，点P在点A的左侧， 点P对应的数为4.5﹣2t， PA＝﹣6.5﹣（4.5﹣2t）＝15， 解得：t＝13， 答：t＝13时，P、A两点之间的距离为15个单位长度． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/9 16:55:30；用户：15617845770；邮箱：15617845770；学号：67949997 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $