第2部分 专项训练(5) 等腰三角形新题型例析-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（沪科版·新教材）

寒假大串联 八年级数学HK 专项训练（五） 等腰三角形新题型例析 专题选讲 一、规律探究题 例1已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA 上任意一点，且BM=CN,直线BN与AM相交于Q点. (1)请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？ (2)若M,N两点分别在线段BC,CA的延长线上，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论 是否仍然成立？如果成立，请加以证明：如不成立，请说明理由， 图① 图② 分析(1)题通过猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生 变化后仍然成立.(2)题的证明思路如下：先证△ACM≌△BAN,得到∠M=∠N,所以∠BQM =∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°. 答案(1)∠BQM=60°，理由如下： ,△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠ABC=∠C=60°， 在△ABM和△BCN中， (AB=BC, ∠ABM=∠C,.∴.△ABM≌△BCN, BM=CN, ∴.∠BAM=∠CBN,.∴.∠BQM=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60° (2)成立.理由如下： .△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠BAC=∠ACB=60°， ∴.∠BAN=∠ACM=120° .BM=CN,..CM=AN. 在△BAN和△ACM中， 第二部分 融汇跃升 (AB=AC, ∠BAN=∠ACM, AN=CM, ∴.△BAN≌△ACM, ∴.∠M=∠N,.∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°. 点评随着几何学习的深入，经常会出现规律探究题，要求同学们在运动变化中探求图形某 些不变的性质或变化的规律，培养同学们运动变化的观念，以及发现和解决问题的能力， 二、猜想证明题 例2在直角△ABC中，AB=AC,∠A=90°，D是BC上任意一点，且DF⊥AB于F,DE⊥AC 于E,M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形？并证明你的结论， D M 分析这是一道探索结论的试题，解题时首先利用图形的直观性进行合理的猜想，然后以猜 想为目标寻找证明思路. 答案△MEF是等腰直角三角形.理由如下： 连接AM.由题意可知，∠DFA=90°，∠DEA=90°，又，∠A=90°， ∴.四边形AEDF是矩形..AE=DF .AB=AC,∠A=90°，∴.∠B=∠C=45°， 又.DF⊥AB,∴.∠FDB=∠B=45°， ∴.BF=DF,∴AE=DF=BF, .∠A=90°，M为BC的中点，∴.AM=BM, AE=BF 在△AEM和△BFM中，∠CAM=∠B=45°， AM-BM ∴.△AEM≌△BFM(SAS),故ME=MF,∠AME=∠BMF, 又.'∠AMF+∠BMF=90°，.∴.∠AMF+∠AME=90°， 从而△MEF是等腰直角三角形 点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定的理解及运用，得到AE=BF是正确解答本 题的关键。 寒假大串联 八年级数学HK 小试牛刀 1.(1)已知在△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个 等腰三角形.（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来.只需画图，不必说 明理由，但要在图中标出相等两角的度数) 备用图① 备用图② 备用图③ (2)已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两 个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系 2.在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B,C重合），以AD为一边在AD 的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； (2)设∠BAC=a,∠BCE=B. ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，3之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α，3之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论. 图1 图2 烟(3)甲车前40分钟行驶的路程为60×号=40（千米），则 C(0,40),设直线CF的函数表达式为y=mx十n,把C(0, n=40, m=60, 40),F(7,460)代人得 解得 (7m+n=460, n=40, 所以直线CF的函数表达式为y=60.x十40. 易得直线OD的函数表达式为y=90x(0≤x≤4). 设甲、乙两车中途相遇点为G,由60.x十40=90x,解得x =专（小时），即乙车出发专小时后，甲、乙两车相遇。 4 ①当乙车在CG段时，由60x+40一90x=15,解得x= ，介于0~青小时之间，符合题意： 5 ②当乙车在GD段时，由90x-(60.x十40)=15，解得x 号，介于号~4小时之间，符合题意， ③当乙车在DE段时，由360一(60x+40)=15,解得x 61 一2，不介于4~45小时之间，不符合题意： ④当乙车在EF段时，由40x+180-(60x+40)=15,解 得x空，介于4.5一7小时之间，符合题意 所以乙车出发号小时或号小时或孕小时，乙车与甲车 相距15千米. 专项训练（四）全等三角形开放型问题 1.D2.D3.①②④4.AC=AE(或∠C=∠E或 ∠B=∠D) 5.解：(1)①结论：BD=CE,BD⊥CE: ②结论：BD=CE,BD⊥CE. 理由如下：∠BAC=∠DAE=90°，.∠BAC ∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, AB=AC, 在△ABD与△ACE中，{∠BAD=∠CAE, AD-AE, '.△ABD≌△ACE(SAS),.BD=CE,∠ABD= ∠ACE.延长BD交AC于F,交CE于H.在△ABF与 △HCF中，，∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC, ∴.∠CHF=∠BAF=90°，.BD⊥CE. (2)当△ABC和△ADE满足条件乙时，线段BD,CE在 (1)中的位置关系仍然成立 专项训练（五）等腰三角形新题型例析 1.解：(1)如图（共有2种不同的分割法）. 67.522.59 45 45 225 225 225 图① 图② C (2)设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于 D.在△DBC中， ①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB>90°，∠CBD= ∠0DB=合180-)=0-含，∠A=180--此 时只能有∠A=∠ABD,即180-x-y=y-(0°-小， 3x+4=540,即∠A=135-子∠C. 图1 ②若∠C是底角， 第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=∠C= x,△ABD中，∠ADB=2x,∠ABD=y-x.由AB=AD,得 2x=y-x,此时有y=3x,即∠ABC=3∠C.由AB=BD, 得180°-x-y=2x,此时3.x十y=180°，即∠ABC=180° 3∠C. 由AD=BD,得180°-x-y=y-x,此时y=90°，即 ∠ABC=90°，∠C为小于45的任意锐角. D 图2 图3 第二种情况：如图3，当BD=BC时，∠BDC=∠C=x, ∠ADB=180°-x>90°，此时只能有AD=BD,从而∠A= ∠ABD号<∠C,这与题设∠C是最小角牙盾.“当∠C 是底角时，BD=BC不成立. 综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135° ∠C或∠ABC=180-3∠C或∠ABC=3ZC或∠ABC =90°，∠C是小于45的任意锐角. 2.解：(1)90 (2)①a+B=180°，理由：∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC -∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在 AB=AC, △ABD与△ACE中，{∠BAD=∠CAE, AD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.∠B=∠ACE.∴∠B+ ∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=B..'a+∠B+∠ACB =180°，a十3=180°. ②当，点D在射线BC上时，a十B=180°；当点D在射线 BC的反向延长线上时，a=R.证明思路同①.