第2部分 专项训练(4) 全等三角形开放型问题-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（沪科版·新教材）

(3)甲车前40分钟行驶的路程为60×号=40（千米），则 C(0,40),设直线CF的函数表达式为y=mx十n,把C(0, n=40, m=60, 40),F(7,460)代人得 解得 (7m+n=460, n=40, 所以直线CF的函数表达式为y=60.x十40. 易得直线OD的函数表达式为y=90x(0≤x≤4). 设甲、乙两车中途相遇点为G,由60.x十40=90x,解得x =专（小时），即乙车出发专小时后，甲、乙两车相遇。 4 ①当乙车在CG段时，由60x+40一90x=15,解得x= ，介于0~青小时之间，符合题意： 5 ②当乙车在GD段时，由90x-(60.x十40)=15，解得x 号，介于号~4小时之间，符合题意， ③当乙车在DE段时，由360一(60x+40)=15,解得x 61 一2，不介于4~45小时之间，不符合题意： ④当乙车在EF段时，由40x+180-(60x+40)=15,解 得x空，介于4.5一7小时之间，符合题意 所以乙车出发号小时或号小时或孕小时，乙车与甲车 相距15千米. 专项训练（四）全等三角形开放型问题 1.D2.D3.①②④4.AC=AE(或∠C=∠E或 ∠B=∠D) 5.解：(1)①结论：BD=CE,BD⊥CE: ②结论：BD=CE,BD⊥CE. 理由如下：∠BAC=∠DAE=90°，.∠BAC ∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, AB=AC, 在△ABD与△ACE中，{∠BAD=∠CAE, AD-AE, '.△ABD≌△ACE(SAS),.BD=CE,∠ABD= ∠ACE.延长BD交AC于F,交CE于H.在△ABF与 △HCF中，，∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC, ∴.∠CHF=∠BAF=90°，.BD⊥CE. (2)当△ABC和△ADE满足条件乙时，线段BD,CE在 (1)中的位置关系仍然成立 专项训练（五）等腰三角形新题型例析 1.解：(1)如图（共有2种不同的分割法）. 67.522.59 45 45 225 225 225 图① 图② C (2)设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于 D.在△DBC中， ①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB>90°，∠CBD= ∠0DB=合180-)=0-含，∠A=180--此 时只能有∠A=∠ABD,即180-x-y=y-(0°-小， 3x+4=540,即∠A=135-子∠C. 图1 ②若∠C是底角， 第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=∠C= x,△ABD中，∠ADB=2x,∠ABD=y-x.由AB=AD,得 2x=y-x,此时有y=3x,即∠ABC=3∠C.由AB=BD, 得180°-x-y=2x,此时3.x十y=180°，即∠ABC=180° 3∠C. 由AD=BD,得180°-x-y=y-x,此时y=90°，即 ∠ABC=90°，∠C为小于45的任意锐角. D 图2 图3 第二种情况：如图3，当BD=BC时，∠BDC=∠C=x, ∠ADB=180°-x>90°，此时只能有AD=BD,从而∠A= ∠ABD号<∠C,这与题设∠C是最小角牙盾.“当∠C 是底角时，BD=BC不成立. 综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135° ∠C或∠ABC=180-3∠C或∠ABC=3ZC或∠ABC =90°，∠C是小于45的任意锐角. 2.解：(1)90 (2)①a+B=180°，理由：∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC -∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在 AB=AC, △ABD与△ACE中，{∠BAD=∠CAE, AD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.∠B=∠ACE.∴∠B+ ∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=B..'a+∠B+∠ACB =180°，a十3=180°. ②当，点D在射线BC上时，a十B=180°；当点D在射线 BC的反向延长线上时，a=R.证明思路同①.寒假大串联 八年级数学HK 专项训练（四） 全等三角形开放型问题 专题选讲 一、选择条件型 例1如图，已知：点B,F,C,E在一条直线上，FB=CE,AC=DF. 能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能，请给出证明；如果不 能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ ED成立，并给出证明， 供选择的三个条件（请从其中选择一个）： ①AB=ED;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE. 分析根据全等三角形的判定方法可以由SSS或SAS证明△ABC2△DEF就可以得出 结论 答案由上面两条件不能证明ABED.有两种添加方法。 第一种：FB=CE,AC=DF,添加①AB=ED. 证明：因为FB=CE,所以BC=EF,又AC=DF,AB=DE,所以△ABC≌△DEF, 所以∠ABC=∠DEF,所以ABED. 第二种：FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE, 证明：因为FB=CE,所以BC=EF,又∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF, 所以∠ABC=∠DEF,所以ABED 点评本题不仅是一道探索问题，而且是一道开放型问题，这种命题的方式在以往的中考试 卷中不多见，且切入点比较低，学生容易接受， 二、补充条件型 例2如图，已知ACDF,且BE=CF, (1)请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF,你添加的条件是 (2)添加条件后，证明△ABC≌△DEF. B E 分析(1)证明两个三角形全等的现有的条件是BC=EF,∠ACB=∠F,所以可以添加边 AC=DF,利用SAS,也可以添加角相等，利用AAS或ASA;(2)根据添加的条件利用三角形全 等的判定方法证明即可. 答案(1)AC=DF(或AB∥DE,∠B=∠DEF,∠A=∠D) (2)证明：（选择AC=DF).ACDF,∴.∠ACB=∠F,.BE=CF,∴.BC=EF,在△ABC 和△DEF中， 第二部分 融汇跃升 (BC=EF, ∠ACB=∠F,∴.△ABC≌△DEF. AC=DF, 点评本题是一道结论开放型试题，由于全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和 直角三角形的HL判定法，因此，这类题目具有答案不唯一的特点.在添加条件时，要结合图形， 挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件. 三、结论选择型 例3如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论： 、M ①∠1=∠2；②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN 其中正确的结论是 .(注：将你认为正确的结论 都填上) 分析根据已知“∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF”可得△ABE≌△ACF,因此有 ∠EAB=∠FAC,BE=CF,AB=AC,所以①②正确；因为∠CAB=∠BAC,AC=AB,∠C= ∠B,所以△ACN≌△ABM,故③也正确；根据条件，无法推出CD=DN,故④不正确.所以，正 确的结论是①②③. 答案①②③ 点评将多项选择题以填空题的形式出现，因答案的不唯一，加大了问题的难度，我们只有 对所给的选项一一排查，才能得到正确的答案 四、结论探究型 例4如图，点A,E,B,D在同一条直线上，AE=DB,AC=DF,AC DF.请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由 分析根据所给条件，可证△ACB与△DFE全等，得到∠CBA= ∠FED,从而得到BC与EF的位置关系.注意它们不是数量关系. 答案BCEF.理由如下：.'AE=DB,.AE十BE=DB十BE,.AB=DE..AC∥DF, ∴.∠A=∠D,AC=DF,∴.△ACB≌△DFE,∴.∠CBA=∠FED,∴.BC∥EF 点评探索线段关系，有数量关系与位置关系.若探索线段相等，可考虑它们所在两个三角 形是否全等；若探索位置关系，可考虑所对应的角的关系 五、运动变化型 例5在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥ MN于E. (1)当直线MN绕，点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE; (2)当直线MN绕，点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD一BE; (3)当直线MN绕，点C旋转到图3的位置时，试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系？请 写出这个等量关系，并加以证明， 寒假大串联 八年级数学HK D 图1 图2 图3 分析(1)①根据AD⊥MN,BE⊥MN,∠ACB=90°，得出∠CAD=∠BCE,再根据AAS 即可判定△ADC≌△CEB;②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD,CD=BE,进 而得到DE=CE+CD=AD+BE;(2)先根据AD⊥MN,BE⊥MN,得到∠ADC=∠CEB= ∠ACB=90°，进而得出∠CAD=∠BCE,再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB,进而得到CE =AD,CD=BE,最后得出DE=CE一CD=AD一BE;(3)运用(2)中的方法即可得出DE,AD, BE之间的等量关系是：DE=BE一AD. 答案证明：(1)①.'AD⊥MN,BE⊥MN,∴.∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴.∠CAD +∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，.∠CAD=∠BCE..'AC=BC,∴.△ADC≌△CEB. ②.'△ADC≌△CEB,.AD=CE,CD=BE,∴.DE=CE+CD=AD+BE (2).∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴.∠CAD=∠BCE,又.AC=BC,∴.△ACD≌ △CBE,∴.AD=CE,CD=BE,∴.DE=CE-CD=AD-BE (3)当MN旋转到图3的位置时，AD,DE,BE所满足的等量关系是DE=BE一AD(或AD =BE一DE,BE=AD+DE等). .∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴.∠ACD=∠CBE,又.AC=BC,.△ACD≌ ACBE,..AD=CE,CD=BE,..DE=CD-CE=BE-AD. 点评本题以直线MN绕点C旋转过程中与△ABC的不同的位置关系为背景设置的三个 小题，第(1)(2)小题为证明题，第(3)小题为探索性问题，考查同学们从具体、特殊的情形出发去 探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴 的过程，通过前面问题解决过程中所提供的思想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后 续学习的能力. 小试牛刀 1.如图，AD是△ABC的中线，E,F分别是AD和AD延长线上的点，且 DE=DF,连接BF,CE.下列说法：①△BDF≌△CDE;②CE=BF:③BF∥ CE;④△ABD和△ACD面积相等.其中正确的有 ( D.4个 B A.1个 B.2个 C.3个 2.如图，给出下列四组条件： ①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC= EF,∠C=∠F;④AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E. ② 第二部分 融汇跃升 其中能使△ABC≌△DEF的条件共有 B A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 3.在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD=DC,AB=AC;②∠B=∠C,∠BAD= ∠CAD:③∠B=∠C,AD=DC;④∠ADB=∠ADC,BD=DC.其中能证明△ADB≌△ADC 的是 4.如图，已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是 (写出一个即可) B 5.(1)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°. B 图1 图2 ①当点D在AC上时，如图1，线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜 想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转a角(0°<α<90)，如图2，线段BD,CE有怎样的 数量关系和位置关系？请说明理由； (2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，线段BD,CE在(1)中的位置 关系仍然成立？不必说明理由。 甲：AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°， 乙：AB:AC=AD:AE≠1，∠BAC=∠DAE=90° 丙：AB:AC=AD:AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°. 國