第2部分 专项训练(3) 聚焦一次函数图象信息问题-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（沪科版·新教材）

第二部分 融汇跃升 专项训练（三） 聚焦一次函数图象信息问题 专题选讲 一、依据题意，选择图象 例1货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立 即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/时，小汽 车的速度为90千米/时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶 时间t(小时)之间的函数图象的是 () 4y千米) (千米) (千米) 千米) 180 180 180 180 (小时) (小时) (小时) (小时 A B D 分析本题考查一次函数的应用及其图象，解题的关键是正确判断两车与乙地的距离. 答案甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/时，货车从甲地到乙地需要3小时， 在甲地时，函数图象上对应的点坐标是(0,180)，到了乙地时，对应的点的坐标是(3,0)，因为是匀 速运动，故货车对应的函数图象应该是一条连接(0,180)和(3,0)的线段；小汽车的速度为90千 米/时，从甲地到乙地只要2小时，但是到了乙地之后立刻沿原路返回甲地，再经过2小时，到达 甲地，因为同样是匀速运动，故小汽车对应的函数图象应该形如一个“V”,连接(0,180)、(2,0)和 (4,180)的一条折线，故选择C 点评本题的另一种解法是求函数关系式，即货车离乙地的距离y(千米)与行驶时间t(小 时)之间的函数关系式是y=180一60x,对于小汽车，要分类讨论，从甲地开往乙地的过程中y= 180一90x,从乙地开往甲地的过程中y=90x一180，根据函数关系式画出图象即可. 二、利用函数的观点确定不等式或方程组的解 例2一次函数y=3.x+b和y=ax一3的图象如图所示，其交，点为P(一2， 5),则不等式3.x十b>ax一3的解集在数轴上表示正确的是 A. B. C. D. 分析函数y=3.x+b和y=ax一3的图象交于点P(一2，一5)，求不等式3x+b>ax一3 的解集，就是看函数在什么范围内y=3x十b的图象对应的，点在函数y=ax一3的图象上面. 35 寒假大串联 八年级数学HK 答案从图象得到，当x>一2时，y=3x十b的图象对应的点在函数y=ax一3的图象 上面， .不等式3x+b>ax-3的解集为x>一2. 故选C 点评本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用.解决此类问题的 关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合， 三、依据具体情境，确定函数具体点或线段的含义 例3小慧和小聪沿图1中的景区公路游览，小慧乘坐车速为30k/h的电动汽车，早上7：00 从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆.小聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20km/h, 途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆.图2中 的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系.试结合图中信息回答： (1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？ (2)试求线段AB,GH的交叉点B的坐标，并说明它的实际意义； (3)如果小聪到达宾馆后，立即以30k/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见 小慧？ s(km）C …小聪 50 D G 一小慧 单位：km 40 20 30 A 章甸 飞瀑 20 会静兰 20 10 宾馆10塔林 H F 12345h) 图1 图2 分析本题考查了利用一次函数的图象解决实际问题、分段函数、待定系数法，解决问题的 关键是正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，并能准确读图、识图、析图和用图」 答案(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20=2.5(h),.小聪上午10：00到达宾馆， ∴.小聪上午7：30从飞瀑出发 (2)设直线GH的函数表达式为=十b,由于点G号，50，点H3,0),则有 26+b=50, 3k+b=0, k=一20. 解得 .直线GH的函数表达式为s=一20t+60.又.点B的纵坐标为30，∴.当s=30 b=60. 时，一20十60=30，解得1=2，“点B(号，30).点B的实际意义是：上午8：30小慧与小聪在 离宾馆30km(即景点草甸)处第一次相遇， 36 第二部分 融汇跃升 (3)设直线DF的函数表达式为s=1t十b1,该直线过点D和F(5,0),由于小慧从飞瀑回到 宾馆所用时间为50÷30= 所以小慧从飞录准备返回时1=5-号，即D号50。 则有/3，+b=50, 10 k1=一30， 解得 .∴.直线DF的函数表达式为s=一30t+150, 5k1十b1=0, b1=150. ·小聪上午10：0到达宾馆后立即以30km/h的速度返回飞瀑，所需时间为50÷30=5 (h) 如图，HM为小聪返回时s关于t的函数图象。 s(km)C D M …小聪 50G ·小慧 40 30 AB 20 104 HOF 12345th) 点M的横坐标为3士=14 点M,50,设直线HM的函数表达式为s=k,t十 1 直线过点H(3,0)和点M( k2=30, ,50),则有 3k,十b=50 解得 ,∴.直线HM的函数表 b2=-90. 3k2十b2=0, 达式为s=30t-90.由30t一90=一30t+150解得t=4(h),∴.小聪返回途中上午11：00遇见 小慧 点评1.解图象信息题的一般思路是：读图（表）→提取有用信息→加工搜集到的信息→判 断或决策 2.利用一次函数知识解决实际问题常见的几种题型： (1)建立函数模型，然后借助方程或不等式或函数图象来选择问题解决方案. (2)利用一次函数的图象和性质，如增减性等来解决生活中的优化问题，它常与方程（组）或 不等式（组）一起考查. (3)利用一次函数图象描述事物的变化规律，此问题要仔细分析图中各点以及每条直线（或 线段)表示的意义，并善于从图象中获取有效信息. 小试牛刀 1.小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）.一 天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条路匀 寒假大串联 八年级数学HK 速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不 计)，小明与家的距离s(单位：米)与他所用的时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示.已知 小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上车到他到达学校共用10分钟.下列说法： 4s(米) 3500 3200 400 0 12(分钟) ①小明从家出发5分钟时乘上公交车； ②公交车的速度为400米/分； ③小明下公交车后跑向学校的速度为100米/分； ④小明上课没有迟到， 其中正确的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所 示，则下列说法错误的是 () +s(米) 甲乙 1000 700 600 500 22.53.2541(分钟) A.甲、乙两人进行1000米赛跑 B.甲先慢后快，乙先快后慢 C.比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等 D.甲先到达终点 3.如图，直线y=一x+2与y=ax十b(a≠0且a,b为常数)的交点坐标为(3，一1)，则关于 x的不等式一x+2≥ax十b的解集为 () y=ax+b 3,-1) y=-x+2 A.x≥-1 B.x≥3 C.x≤-1 D.x≤3 细 第二部分 融汇跃升 4.一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后 提速行驶至乙地.货车的路程y1(km),小轿车的路程y2(km)与时间x(h)的对应关系如图所示. (1)甲、乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？ (2)①写出y1与x的函数表达式；②当x≥5时，求y2与x的函数表达式： (3)货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？ y(km) 货车一小轿车 420 5575657xh) 5.甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地.40分钟后，乙车 出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度 减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地.甲、乙两车距A地的路程y(千米)与乙车行驶时 间x(小时)之间的函数图象如图所示 请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出a的值，并求甲车的速度； (2)求图中线段EF所表示的y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)乙车出发多少小时与甲车相距15千米？直接写出答案， +/千米 460 DE G 4a 7x/小时BE=BC·AD,BE=BC·AD8X520 (3),点A1m中的n正好是4的倍数，所以点A1o和A10 AC 6 3 的坐标分别是A1m(50,0),A1m(50,1),所以蚂蚁从点Am 20.解：作辅助线如图， 到A10的移动方向是从下向上. AV 专项训练（二）平移与坐标变换 -6-5-4-3-2012345x 1.D2.D3.B4.B5.C6.A7.14 8.解：(1)如图： 23 -4 -5 6D Saam=S第#m-(Sae十Sn)=号X(3+6)X6 (分×2x3+号×4X6)=12 2=3X8×1x2-号X1X37×2X3=5 21.解：(1)y=-2x+2(2)a=2 专项训练（三） 2.解：(1)依题意得3a-11=2,2b-1=5,a=1 36 聚焦一次函数图象信息问题 =3.(2)依题意得3a-11=-2,2b-1=-5,.a=3,b= 1.D2.C3.D -2,∴.a+b=1. 4.解：(1)由图可知，甲、乙两地相距420km,小轿车中 23.(1)证明：∠CAB=∠EAF,∴.∠CAB+∠CAE= 途停留了2h. ∠EAF+∠CAE,即∠BAE=∠CAF.又·AB=AC,AE= (2)①y1=60x(0≤x≤7). AF,∴.△BAE≌△CAF(SAS),.BE=CF. ②当x=5.75时，y1=60x=60×5.75=345. (2)解：由(1)知△BAE≌△CAF, 当x≥5时，设y2=k.x十b.:y2=kx十b的图象经过 (5.75,345),(6.5,420), ∴.∠ABE=∠ACF,∴.∠BOC=∠BDC-∠ACF= 瓦756+6=345， 解得 k=100, ∠BDC-∠ABE=∠BAC=70°. {6.5k+b=420, b=-230. 24.(1)证明：连接PB,PC.:PQ垂直平分BC,∴.PB .当x≥5时，y2=100x-230. =PC.:AP平分∠DAC,PD⊥AB,PE⊥AC,∴PD=PE, (3)x=5时，y2=100×5-230=270,即小轿车在3≤x ∴.Rt△PBD≌Rt△PCE(HI).'.BD=CE. ≤5停车休整，离甲地270km.x=3时，y1=180;x=5时， (2)解：易证△PAD≌△PAE,.AD=AE.由(1)知 y1=300.∴.货车在3≤x≤5时会与小轿车相遇，即60x= Rt△PBD≌Rt△PCE,∴.BD=CE,∴.AB+AD=AC-AE 270,解得x=4.5.当0<x≤3时，小轿车的速度为270÷3= 90(km/h),而货车速度为60km/h,∴.货车在0<x≤3时不 :.AB+AD=AC-AD.:AD=(AC-AB)=2 cm. 会与小轿车相遇.∴.货车出发4.5h与小轿车首次相遇，相遇 时与甲地的距离是270km. 第二部分融汇跃升 5.解：1a=4.5,甲车的速度=60=60（千米/时）. 专项训练（一） 坐标确定位置 (2)设乙开始的速度为0千米/时，则4u十(7-4.5)(v 1.A2.C3.(-2,3)4.043078 50)=460,解得0=90（千米/时），4u=360,则D(4,360), 5.解：(1)P,(-x,y),P2(-x-5,y+3). E(4.5,360), 设直线EF的表达式为y=k.x十b, (2)由题意可知，一x-5=y,y十3=x,解得：x=一1，y 把E(4.5,360),F(7,460)代人得 =-4,∴.P(-1,-4. (4.5k+b=360 6.解：(1)(0,1)(1,0)(6,0) 7k+b=460, 解得=40. b=180. (2)当n=1时，A4(2,0),当n=2时，Ag(4,0),当n=3 所以线段EF所表示的y与x的函数表达式为y=40x 时，A12(6,0),所以A4n(2n,0). +180(4.5x7). (3)甲车前40分钟行驶的路程为60×号=40（千米），则 (2)设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于 3 D.在△DBC中， C(0,40),设直线CF的函数表达式为y=mx十，把C(0, ①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB>90°，∠CBD 1=40, m=60, 40),F(7,460)代人得 解得 (7m+n=460, n=40, ∠CDB= 7180-2)=90-34∠A=180--3此 所以直线CF的函数表达式为y=60x十40. 易得直线OD的函数表达式为y=90x(0≤x≤4). 时只能有∠A=∠ABD,即180-元-y=y-(o°-x)小， 设甲、乙两车中途相遇点为G,由60.x十40=90x,解得x ∴3+4y=540,即∠AB0=135-是∠C. =专（小时)，即乙车出发专小时后，甲，乙两车相遇， ①当乙车在CG段时，由60x+40一90x=15,解得x= 骨，介于0~青小时之间，符合题意： ②当乙车在GD段时，由90x-(60.x十40)=15，解得x 日，介于号~4小时之间，符合题意： 图1 ②若∠C是底角， ③当乙车在DE段时，由360一(60x+40)=15,解得x 第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=∠C 2,不介于4~4.5小时之间，不符合题意： x,△ABD中，∠ADB=2x,∠ABD=y-x.由AB=AD,得 ④当乙车在EF段时，由40x十180-(60.x+40)=15,解 2x=y-x,此时有y=3x,即∠ABC=3∠C.由AB=BD, 得x5,介于4.5一7小时之间，符合题意 得180°-x-y=2x,此时3.x十y=180°，即∠ABC=180° 3∠C. 所以乙车出发号小时或号小时或孕小时，乙车与甲车 由AD=BD,得180°-x-y=y-x,此时y=90°，即 ∠ABC=90°，∠C为小于45的任意锐角. 相距15千米. A 专项训练（四）全等三角形开放型问题 1.D2.D3.①②④4.AC=AE(或∠C=∠E或 ∠B=∠D) 图2 图3 5.解：(1)①结论：BD=CE,BD⊥CE; 第二种情况：如图3，当BD=BC时，∠BDC=∠C=x, ②结论：BD=CE,BD⊥CE. ∠ADB=180°-x>90°，此时只能有AD=BD,从而∠A= 理由如下：∠BAC=∠DAE=90°，.∠BAC ∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, ∠ABD=号<∠C,这与题设∠C是最小角于盾∴当∠C AB=AC, 是底角时，BD=BC不成立. 在△ABD与△ACE中，{∠BAD=∠CAE, 综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135° AD=AE, 3 .△ABD≌△ACE(SAS),∴.BD=CE,∠ABD= ∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC ∠ACE.延长BD交AC于F,交CE于H.在△ABF与 =90°，∠C是小于45的任意锐角. △HCF中，，∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC, 2.解：(1)90 ∴∠CHF=∠BAF=90,∴.BD⊥CE. (2)①a+B=180°，理由：∠BAC=∠DAE,.∠BAC (2)当△ABC和△ADE满足条件乙时，线段BD,CE在 -∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在 (1)中的位置关系仍然成立 AB=AC, △ABD与△ACE中，{∠BAD=∠CAE, 专项训练（五）等腰三角形新题型例析 AD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴∠B=∠ACE.∠B+ 1.解：(1)如图（共有2种不同的分割法）. ∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=B.,a+∠B+∠ACB =180,.a+B=180° 67.5225 45 459 ②当点D在射线BC上时，a十3=180°；当点D在射线 225 225° 225 BC的反向延长线上时，a=B.证明思路同①. 图① 图②