第五章 一元函数的导数及其应用（单元自测卷）高二数学人教A版

第五章一元函数的导数及其应用 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若，则f′(2)＝(　　) A．﹣1 B． C．1 D． 2．下面导数运算错误的是(　　) A． B． C．(x2+ln2)'＝2x D．(2x)'＝x2x﹣1 3．若函数f(x)＝x3+ax2+3x﹣6在x＝﹣3时取得极值，则a＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知函数f(x)＝x+sinx，x∈R，若a＝f(log23)，b＝f(log32)，c＝f(2﹣2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c 5．若方程ex＝aln(x﹣2)+alna﹣2a在(2，+∞)上有解，则实数a的取值范围是(　　) A．[3，+∞) B．(0，3] C．[e3，+∞) D．(0，e3] 6．已知函数f(x)＝ax﹣sinx在R上单调，若实数a，b满足f(a2)+f(b2﹣4)＝0，则令s＝b2(a2+3)，则下列关于s的结论正确的是(　　) A．s的最小值1 B．s的最小值6 C．s的最大值12 D．s的最大值 7．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(﹣∞，0) C． D． 8．已知函数f(x)ax+lnx，a∈R．若f(x)有两个极值点x1，x2，且f(x1)+f(x2)＜λ(x1+x2)恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列函数中，既是奇函数又在区间(0，1)上单调递增的是(　　) A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin(﹣x) C．y＝log2|x| D．y＝﹣2x+2﹣x 10．已知函数f(x)＝x3﹣3x﹣2，则(　　) A．f(x)的极小值点为1 B．f(x)有三个零点 C．点(0，﹣2)为曲线y＝f(x)的对称中心 D．过点(0，2)可以作曲线y＝f(x)的两条切线 11．已知函数f(x)＝lnx，则下列判断正确的是(　　) A．存在x∈(0，+∞)，使得f(x)＜0 B．函数f(x)的单调递减区间是(0，2) C．对任意的x∈(0，+∞)，都有f(x)＞0 D．对任意的两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1+x2＞4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设f(x)＝aex+bx，且f′(1)＝e，f′(﹣1)，则a+b＝　 　 ． 13．关于函数f(x)＝sinx﹣xcosx，给出下列三个结论： ①f(x)是奇函数； ②0是f(x)的极值点； ③f(x)在上有且仅有1个零点， 其中，所有正确结论的序号为　 　 ． 14．已知正实数a，b满足a﹣2lna＝2lnb﹣4b+4，则ba＝　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)已知P(x0，y0)是曲线f(x)＝ex上的动点，且A(1，0)，B(0，﹣1)． (1)当x0＝1时，求曲线在点P处的切线方程； (2)求△PAB面积的最小值，并求出相应的点P的坐标． 16．(15分)已知函数f(x)＝3x3+ax+b在x＝1处取得极值﹣1． (Ⅰ)求实数a，b的值； (Ⅱ)求f(x)在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值． 17．(15分)已知函数． (Ⅰ)当a＝﹣1时，讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若x∈(﹣∞，0]时f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 18．(17分)已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π)． (1)当ω＝2，，求函数f(x)在x＝0处的切线方程； (2)若函数f(x)的最小正周期为3π，且在x∈[0，2026π)上恰好有1351个解，求φ的取值范围． 19．(17分)已知函数． (1)m＝1时，求在区间上的最小值． (2)m＝2时，记函数F(x)＝f(x)+sinx． (i)若直线y＝kx+n(k＞1)与函数F(x)的图象至少有两个公共点，记其中两个公共点的横坐标分别为x1，x2，证明：． (ii)确定所有的实数a，使得方程F(x)＝a有解且仅有有限多个解． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章一元函数的导数及其应用 单元自测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D A C C A A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AB AC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．1 13．①③ 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【解答】解：(1)∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex， ∵P(x0，y0)是曲线f(x)＝ex上的动点， ∴当x0＝1时，f′(1)＝e， ……………..(2分) 又f(1)＝e， ∴当x＝1时，曲线在点P处的切线方程为y﹣e＝e(x﹣1)，即y＝ex； ……………..(5分) (2)由A(1，0)，B(0，﹣1)可得，直线AB的方程为x﹣y﹣1＝0， 设与直线AB平行且与曲线f(x)＝ex相切的直线方程为y＝x+b，切点为P， ∴，解得x0＝0，即切点为(0，1)， 则P的坐标为(0，1)时，△PAB面积最小， ……………..(9分) ∵|AB|，P到AB：x﹣y﹣1＝0的距离d． ∴△PAB面积的最小值为，相应的P(0，1)． ……………..(13分) 16．【解答】解：(Ⅰ)f'(x)＝9x2+a，根据函数f(x)在x＝1处取得极值﹣1， 建立方程组 解得a＝﹣9，b＝5． ……………..(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝3x3﹣9x+5f'(x)＝9x2﹣9＝9(x+1)(x﹣1)， 令f'(x)＝0，解得x＝﹣1或x＝1． ……………..(8分) 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x ﹣2 (﹣2，﹣1) ﹣1 (﹣1，1) 1 (1，2) 2 f'(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ﹣1 单调递增 极大值11 单调递减 极小值﹣1 单调递增 11 故：函数f(x)在区间[﹣2，2]上的最大值为11，最小值为﹣1． ……………..(15分) 17．【解答】解：(Ⅰ)当a＝﹣1时，， 其定义域为{x|x＜1，且x≠﹣1}． ∴， ∴函数f(x)在(﹣∞，﹣3)，(0，1)为减函数， 在(﹣3，﹣1)，(﹣1，0)为增函数． ……………..(4分) (Ⅱ)解：(1)当a＝0时，f(x)＝ln(1﹣x)+x， ， ∵x∈(﹣∞，0]，f'(x)≥0，函数f(x)在(﹣∞，0]增函数， 故f(x)≤f(0)＝0，不合题意，所以a≠0．…(6分) (2)若a≠0时，， ①当时，，x∈(﹣∞，0]时，f'(x)≤0， 故f(x)在(﹣∞，0]为减函数，从而f(x)≥f(0)＝0恒成立． ……………..(8分) ②当时，， 函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 则在上存在x0，使f(x0)＜f(0)＝0，故不符合题意． ……………..(11分) ③当a＜0时，∵，∴． 函数f(x)在上单调递减，在、上单调递增， 则在、上存在x0，使f(x0)＜f(0)＝0，故不符合题意． 综上，a的取值范围是{a|}． ……………..(15分) 18．【解答】解：(1)当ω＝2时，f(x)＝sin(2x+φ)， 因为， 所以sin()＝0，即kπ，k∈Z， 所以φ＝kπ，k∈Z， 因为0＜φ＜π，所以φ， 所以f(x)＝sin(2x)， ……………..(3分) 所以f'(x)＝2cos(2x)， 所以f'(0)＝2cos，f(0)＝sin， 故函数f(x)在x＝0处的切线方程为y(x﹣0)， 即2x+2y﹣1＝0． ……………..(7分) (2)因为f(x)的最小正周期为3π， 所以ω， 所以f(x)＝sin(x+φ)， ……………..(8分) 因为在[π，4π)，[4π，7π)，[7π，10π)，…，[2023π，2026π)上各自恰有2个解， 所以在[π，2026π)上恰有675×2＝1350个解， 所以在[0，π)恰有1个解， 当x∈[0，π) 时，， 因为0＜φ＜π， 所以若，则； 若，则， ……………..(16分) 综上，． ……………..(17分) 19．【解答】解：(1)由题意，， 则， 因此函数g(x)在区间上单调递增， 故，所以g(x)在区间上的最小值为； ……………..(3分) (2)(i)证明：由条件知， 两式相减得， 不妨设x1＞x2，记h(x)＝sinx﹣x，x∈R， 则h'(x)＝cosx﹣1≤0，等号成立当且仅当x＝2jπ(j∈Z)， h(x)在R上单调递减，因此sinx1﹣x1＜sinx2﹣x2，即， ……………..(5分) 以下证明：①， 在①两边同时约去0，只需证明：， 记，i＝1，2，则t2＞t1， 上式化为，即， 记，上式化为， 记，x∈[1，+∞)，则有， φ(x)在(1，+∞)上单调递增，故φ(t)＞φ(1)＝0，因此①成立， 这样，， 即，因此结论成立； ……………..(10分) (ii)鉴于y＝sinx的有界性，我们以a＝﹣1，a＝1为界分情形讨论， 当a≤﹣1时，，这时方程F(x)＝a无解，a≤﹣1不符合条件； 当﹣1＜a≤1时，对k∈N，F(﹣2kπ1，， 记，对非负整数k＞k0， ， 故由零点存在性定理知，存在使得F(t1)＝a， 故这时方程F(x)＝a有无数多个解，﹣1＜a≤1不符合条件， 当a＞1时，因为∀x∈(0，+∞)，F'(x)＝e2x+cosx＞1﹣1＝0，所以F(x)在(0，+∞)上单调递增， 又．， 故F(x)＝a在[0，+∞)上有唯一解， 由F(x)＝a知2x＝ln2+ln(a﹣sinx)， 记G(x)＝2x﹣ln2﹣ln(a﹣sinx)，x∈R，对G(x)的任一零点x0， 由0＝G(x0)≥2x0﹣ln2﹣ln(a+1)，0＝G(x0)≤2x0﹣ln2﹣ln(a﹣1)， 可得． ……………..(14分) 记， 则G(x)的零点都在区间[A，B]上， 易知在区间(A，B)上的零点有限， (若零点存在，则满足，其中且， 将这些零点从小到大依次记为a1＜a2＜⋯＜an(若零点不存在，则n＝0)， 则G(x)在(A，a1)，(a1，a2)，…，(an，B)这n+1个区间(当n＝0时即为区间(A，B))上均为单调函数， 故G(x)在[A，a1]，[a1，a2]，…，[an，B]这n+1个区间(当n＝0时即为区间[A，B])中的每一个区间上均至多有一个零点， 因此G(x)在区间[A，B]上至多有n+1个零点，而这些是G(x)在R上的全部零点， 故G(x)在R上的零点有有限多个，即方程F(x)＝a仅有有限多个解，于是a＞1符合条件． 综上所述，所求的实数a∈(1，+∞)． ……………..(17分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章一元函数的导数及其应用 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若，则f′(2)＝(　　) A．﹣1 B． C．1 D． 【解答】解：， 则，解得f'(2)＝1． 故选：C． 2．下面导数运算错误的是(　　) A． B． C．(x2+ln2)'＝2x D．(2x)'＝x2x﹣1 【解答】解：(sin)′＝0，A正确； ()′，B正确； (x2+ln2)'＝2x，C正确； (2x)′＝2xln2，D错误． 故选：D． 3．若函数f(x)＝x3+ax2+3x﹣6在x＝﹣3时取得极值，则a＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：对函数求导可得，f′(x)＝3x2+2ax+3 ∵f(x)在x＝﹣3时取得极值， ∴f′(﹣3)＝0⇒a＝5，经检验，a＝5时，满足题意． 故选：D． 4．已知函数f(x)＝x+sinx，x∈R，若a＝f(log23)，b＝f(log32)，c＝f(2﹣2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c 【解答】解：因为f(x)＝x+sinx，x∈R， 则f′(x)＝1+cosx≥0，则f(x)在R上单调递增． 又log23＞1，log32＜1， 因为， 则， 则， 因为f(x)在R上单调递增． 所以， 即a＞b＞c． 故选：A． 5．若方程ex＝aln(x﹣2)+alna﹣2a在(2，+∞)上有解，则实数a的取值范围是(　　) A．[3，+∞) B．(0，3] C．[e3，+∞) D．(0，e3] 【解答】解：由题意：ex＝aln(x﹣2)+alna﹣2a可化为： ， 即ex﹣lna+x﹣lna＝ln(x﹣2)+x﹣2＝eln(x﹣2)+ln(x﹣2)①， 设f(t)＝et+t，则f′(t)＝et+1＞1，所以f(t)在R上单调递增， 由①得：f(x﹣lna)＝f(ln(x﹣2))， 所以x﹣lna＝ln(x﹣2)，即lna＝x﹣ln(x﹣2)， 设g(x)＝x﹣ln(x﹣2)，则， 当x∈(2，3)时，g′(x)＜0，则g(x)在(2，3)上单调递减， 当x∈(3，+∞)时，g′(x)＞0，则g(x)在(3，+∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(3)＝3，所以lna≥3，a≥e3． 故选：C． 6．已知函数f(x)＝ax﹣sinx在R上单调，若实数a，b满足f(a2)+f(b2﹣4)＝0，则令s＝b2(a2+3)，则下列关于s的结论正确的是(　　) A．s的最小值1 B．s的最小值6 C．s的最大值12 D．s的最大值 【解答】解：因为函数f(x)＝ax﹣sinx在R上单调，其导数为f'(x)＝a﹣cosx， 由于cosx∈[﹣1，1]，要使f'(x)恒非负或恒非正，需满足a≥1或a≤﹣1，故a2≥1． 因为f(x)＝ax﹣sinx＝﹣f(﹣x)，所以f(x)是奇函数， 故f(a2)+f(b2﹣4)＝0可转化为f(a2)＝f(4﹣b2)． 由于f(x)在R上单调，故a2＝4﹣b2，即a2+b2＝4， 结合a2≥1，得b2≤3，且b2≥0，故b2∈[0，3]， 将a2＝4﹣b2代入s＝b2(a2+3)，得s＝b2(7﹣b2)＝﹣b4+7b2． 设t＝b2，则t∈[0，3]，s(t)＝﹣t2+7t，为二次函数且开口向下，对称轴为， 所以s(t)在区间[0，3]上单调递增，故最大值在t＝3时取得，为s(3)＝12． 最小值在t＝0时取得，为s(0)＝0． 故选：C． 7．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(﹣∞，0) C． D． 【解答】解：当x＞0时，，故， 令f'(x)＝0，得x＝e， 当0＜x＜e时，f'(x)＞0，得函数f(x)在(0，e)上单调递增， 当x＞e时，f'(x)＜0，得函数f(x)在(e，+∞)上单调递减， 故的最大值为， 当x→0+时，f(x)→﹣∞；当x→+∞时，f(x)→0， 因此当x＞0时，， 当x≤0时，函数f(x)＝ax2﹣x， 由题意可得此时的f(x)＝ax2﹣x的范围是的子集， 对a进行分类讨论： (1)若a＝0，则f(x)＝﹣x， 当x≤0时，f(x)≥0，不符合范围是的子集的要求，因此a＝0不满足题意； (2)若a＜0，函数f(x)＝ax2﹣x的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为， 故当x≤0时，函数f(x)＝ax2﹣x在对称轴处取得最大值， 且， 由题意得，因为a＜0，解得：； (3)若a＞0，函数f(x)＝ax2﹣x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 故f(x)＝ax2﹣x在(﹣∞，0]上单调递减，且f(0)＝0， 故f(x)≥0，这不符合范围是的子集的要求； 综上，a的取值范围是． 故选：A． 8．已知函数f(x)ax+lnx，a∈R．若f(x)有两个极值点x1，x2，且f(x1)+f(x2)＜λ(x1+x2)恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【解答】解：由f(x)ax+lnx，a∈R． ∴f′(x)＝x﹣a(x＞0)， ∵f(x)有两个极值点x1，x2， ∴x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0(x＞0)的两个不相等实根， ∴Δ＝a2﹣4＞0，且x1+x2＝a＞0，x1x2＝1， 由f(x1)+f(x2)＜λ(x1+x2)， 得ax1+lnx1ax2+lnx2＜λ(x1+x2)， 整理得)﹣a(x1+x2)+lnx1x2(x1+x2)2﹣x1x2﹣a(x1+x2)+lnx1x2a2﹣1﹣a2a2﹣1＜λa， 因为a＞2，所以λa对∀a＞2恒成立， 令φ(a)a， 则φ′(a)(a＞2)， 所以 φ'(a)＜0，φ(a)a在(2，+∞)单调递减， 所以 φ(a)＜φ(2)， 因此 λ． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列函数中，既是奇函数又在区间(0，1)上单调递增的是(　　) A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin(﹣x) C．y＝log2|x| D．y＝﹣2x+2﹣x 【解答】解：易知A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C； 对于A，y＝2x3+4x在区间(0，1)上单调递增，满足题意； 对于B，y′＝1﹣cosx≥0，所以y＝x+sin(﹣x)在区间(0，1)上单调递增，满足题意； 对于D，y＝﹣2x为减函数，y＝2﹣x为减函数，所以y＝﹣2x+2﹣x为减函数，不满足题意． 故选：AB． 10．已知函数f(x)＝x3﹣3x﹣2，则(　　) A．f(x)的极小值点为1 B．f(x)有三个零点 C．点(0，﹣2)为曲线y＝f(x)的对称中心 D．过点(0，2)可以作曲线y＝f(x)的两条切线 【解答】解：f′(x)＝3x2﹣3＝0⇒x＝±1， 当x∈(﹣∞，﹣1)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增， 当x∈(﹣1，1)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增， 所以﹣1为极大值点，1为极小值点，故A正确； 令f(x)＝0，即x3﹣3x﹣2＝0⇒(x+1)2(x﹣2)＝0，则x＝﹣1或x＝2， 所以函数f(x)有两个零点，故B错误； 令g(x)＝x3﹣3x，则f(x)＝g(x)﹣2， 又g(﹣x)＝(﹣x)3﹣3(﹣x)＝﹣x3+3x＝﹣(x3﹣3x)＝﹣g(x)， 所以g(x)为奇函数，其图像关于(0，0)对称， 则f(x)图像关于(0，﹣2)对称，故C正确； 设切点坐标为，则斜率， 则切线方程为， 将点(0，2)代入切线方程，整理可得，解得， 即过点(0，2)可以作曲线y＝f(x)的一条切线，故D错误． 故选：AC． 11．已知函数f(x)＝lnx，则下列判断正确的是(　　) A．存在x∈(0，+∞)，使得f(x)＜0 B．函数f(x)的单调递减区间是(0，2) C．对任意的x∈(0，+∞)，都有f(x)＞0 D．对任意的两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1+x2＞4 【解答】解：， 易得，0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数单调递减，当x＞2时，f′(x)＞0，函数单调递增， 故函数在x＝2处取得极小值也是最小值f(2)＝1+ln2＞0，不存在x∈(0，+∞)，使得f(x)＜0，A错误，B，C正确； 设t∈(0，2)，则2﹣t∈(0，2)，2+t∈(2，4)， 令g(t)＝f(2+t)﹣f(2﹣t)＝ln(2+t)﹣ln(2﹣t)， 则g′(t)0， 故g(t)在(0，2)上单调递减，g(t)＜g(0)＝0， 不妨设x1＝2﹣t， 因为f(x1)＝f(x2)， 所以x2＞2+t，则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，D 正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设f(x)＝aex+bx，且f′(1)＝e，f′(﹣1)，则a+b＝　 　 ． 【解答】解：函数的导数为f′(x)＝aex+b， ∵f′(1)＝e， ∴f′(1)＝ae+b＝e，f′(﹣1)b， 则a＝1，b＝0，即a+b＝1， 故答案为：1 13．关于函数f(x)＝sinx﹣xcosx，给出下列三个结论： ①f(x)是奇函数； ②0是f(x)的极值点； ③f(x)在上有且仅有1个零点， 其中，所有正确结论的序号为　 　 ． 【解答】解：已知f(x)＝sinx﹣xcosx， 因此f(﹣x)＝sin(﹣x)﹣(﹣x)cos(﹣x)＝﹣sinx+xcosx＝﹣f(x)， 因此函数f(x)是奇函数，因此①选项正确； f′(x)＝cosx﹣(cosx﹣xsinx)＝xsinx，f′(0)＝0， 当时，f′(x)＞0，因此f(x)在单调递增， 当时，f′(x)＞0，因此f(x)在单调递增， 因此x＝0不是函数的极值点，因此②选项不正确； 由f′(x)＝xsinx，当，f′(x)≥0， 因此f(x)在单调递增，又f(0)＝0， 因此函数在上有且仅有1个零点，因此③选项正确． 故答案为：①③． 14．已知正实数a，b满足a﹣2lna＝2lnb﹣4b+4，则ba＝　． 【解答】解：由a﹣2lna＝2lnb﹣4b+4，得ln(ab)， 因为a，b均为正实数，所以， 所以，即． 令f(x)＝lnx﹣x+1，则， 当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 故f(x)max＝f(1)＝ln1﹣1+1＝0，即f(x)＝lnx﹣x+1≤0， 因此，即， 由和可得， 则有解得所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)已知P(x0，y0)是曲线f(x)＝ex上的动点，且A(1，0)，B(0，﹣1)． (1)当x0＝1时，求曲线在点P处的切线方程； (2)求△PAB面积的最小值，并求出相应的点P的坐标． 【解答】解：(1)∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex， ∵P(x0，y0)是曲线f(x)＝ex上的动点， ∴当x0＝1时，f′(1)＝e， ……………..(2分) 又f(1)＝e， ∴当x＝1时，曲线在点P处的切线方程为y﹣e＝e(x﹣1)，即y＝ex； ……………..(5分) (2)由A(1，0)，B(0，﹣1)可得，直线AB的方程为x﹣y﹣1＝0， 设与直线AB平行且与曲线f(x)＝ex相切的直线方程为y＝x+b，切点为P， ∴，解得x0＝0，即切点为(0，1)， 则P的坐标为(0，1)时，△PAB面积最小， ……………..(9分) ∵|AB|，P到AB：x﹣y﹣1＝0的距离d． ∴△PAB面积的最小值为，相应的P(0，1)． ……………..(13分) 16．(15分) 已知函数f(x)＝3x3+ax+b在x＝1处取得极值﹣1． (Ⅰ)求实数a，b的值； (Ⅱ)求f(x)在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值． 【解答】解：(Ⅰ)f'(x)＝9x2+a，根据函数f(x)在x＝1处取得极值﹣1， 建立方程组 解得a＝﹣9，b＝5． ……………..(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝3x3﹣9x+5f'(x)＝9x2﹣9＝9(x+1)(x﹣1)， 令f'(x)＝0，解得x＝﹣1或x＝1． ……………..(8分) 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x ﹣2 (﹣2，﹣1) ﹣1 (﹣1，1) 1 (1，2) 2 f'(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ﹣1 单调递增 极大值11 单调递减 极小值﹣1 单调递增 11 故：函数f(x)在区间[﹣2，2]上的最大值为11，最小值为﹣1． ……………..(15分) 17．(15分) 已知函数． (Ⅰ)当a＝﹣1时，讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若x∈(﹣∞，0]时f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 【解答】解：(Ⅰ)当a＝﹣1时，， 其定义域为{x|x＜1，且x≠﹣1}． ∴， ∴函数f(x)在(﹣∞，﹣3)，(0，1)为减函数， 在(﹣3，﹣1)，(﹣1，0)为增函数． ……………..(4分) (Ⅱ)解：(1)当a＝0时，f(x)＝ln(1﹣x)+x， ， ∵x∈(﹣∞，0]，f'(x)≥0，函数f(x)在(﹣∞，0]增函数， 故f(x)≤f(0)＝0，不合题意，所以a≠0．…(6分) (2)若a≠0时，， ①当时，，x∈(﹣∞，0]时，f'(x)≤0， 故f(x)在(﹣∞，0]为减函数，从而f(x)≥f(0)＝0恒成立． ……………..(8分) ②当时，， 函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 则在上存在x0，使f(x0)＜f(0)＝0，故不符合题意． ……………..(11分) ③当a＜0时，∵，∴． 函数f(x)在上单调递减，在、上单调递增， 则在、上存在x0，使f(x0)＜f(0)＝0，故不符合题意． 综上，a的取值范围是{a|}． ……………..(15分) 18．(17分) 已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π)． (1)当ω＝2，，求函数f(x)在x＝0处的切线方程； (2)若函数f(x)的最小正周期为3π，且在x∈[0，2026π)上恰好有1351个解，求φ的取值范围． 【解答】解：(1)当ω＝2时，f(x)＝sin(2x+φ)， 因为， 所以sin()＝0，即kπ，k∈Z， 所以φ＝kπ，k∈Z， 因为0＜φ＜π，所以φ， 所以f(x)＝sin(2x)， ……………..(3分) 所以f'(x)＝2cos(2x)， 所以f'(0)＝2cos，f(0)＝sin， 故函数f(x)在x＝0处的切线方程为y(x﹣0)， 即2x+2y﹣1＝0． ……………..(7分) (2)因为f(x)的最小正周期为3π， 所以ω， 所以f(x)＝sin(x+φ)， ……………..(8分) 因为在[π，4π)，[4π，7π)，[7π，10π)，…，[2023π，2026π)上各自恰有2个解， 所以在[π，2026π)上恰有675×2＝1350个解， 所以在[0，π)恰有1个解， 当x∈[0，π) 时，， 因为0＜φ＜π， 所以若，则； 若，则， ……………..(16分) 综上，． ……………..(17分) 19．(17分) ．已知函数． (1)m＝1时，求在区间上的最小值． (2)m＝2时，记函数F(x)＝f(x)+sinx． (i)若直线y＝kx+n(k＞1)与函数F(x)的图象至少有两个公共点，记其中两个公共点的横坐标分别为x1，x2，证明：． (ii)确定所有的实数a，使得方程F(x)＝a有解且仅有有限多个解． 【解答】解：(1)由题意，， 则， 因此函数g(x)在区间上单调递增， 故，所以g(x)在区间上的最小值为； ……………..(3分) (2)(i)证明：由条件知， 两式相减得， 不妨设x1＞x2，记h(x)＝sinx﹣x，x∈R， 则h'(x)＝cosx﹣1≤0，等号成立当且仅当x＝2jπ(j∈Z)， h(x)在R上单调递减，因此sinx1﹣x1＜sinx2﹣x2，即， ……………..(5分) 以下证明：①， 在①两边同时约去0，只需证明：， 记，i＝1，2，则t2＞t1， 上式化为，即， 记，上式化为， 记，x∈[1，+∞)，则有， φ(x)在(1，+∞)上单调递增，故φ(t)＞φ(1)＝0，因此①成立， 这样，， 即，因此结论成立； ……………..(10分) (ii)鉴于y＝sinx的有界性，我们以a＝﹣1，a＝1为界分情形讨论， 当a≤﹣1时，，这时方程F(x)＝a无解，a≤﹣1不符合条件； 当﹣1＜a≤1时，对k∈N，F(﹣2kπ1，， 记，对非负整数k＞k0， ， 故由零点存在性定理知，存在使得F(t1)＝a， 故这时方程F(x)＝a有无数多个解，﹣1＜a≤1不符合条件， 当a＞1时，因为∀x∈(0，+∞)，F'(x)＝e2x+cosx＞1﹣1＝0，所以F(x)在(0，+∞)上单调递增， 又．， 故F(x)＝a在[0，+∞)上有唯一解， 由F(x)＝a知2x＝ln2+ln(a﹣sinx)， 记G(x)＝2x﹣ln2﹣ln(a﹣sinx)，x∈R，对G(x)的任一零点x0， 由0＝G(x0)≥2x0﹣ln2﹣ln(a+1)，0＝G(x0)≤2x0﹣ln2﹣ln(a﹣1)， 可得． ……………..(14分) 记， 则G(x)的零点都在区间[A，B]上， 易知在区间(A，B)上的零点有限， (若零点存在，则满足，其中且， 将这些零点从小到大依次记为a1＜a2＜⋯＜an(若零点不存在，则n＝0)， 则G(x)在(A，a1)，(a1，a2)，…，(an，B)这n+1个区间(当n＝0时即为区间(A，B))上均为单调函数， 故G(x)在[A，a1]，[a1，a2]，…，[an，B]这n+1个区间(当n＝0时即为区间[A，B])中的每一个区间上均至多有一个零点， 因此G(x)在区间[A，B]上至多有n+1个零点，而这些是G(x)在R上的全部零点， 故G(x)在R上的零点有有限多个，即方程F(x)＝a仅有有限多个解，于是a＞1符合条件． 综上所述，所求的实数a∈(1，+∞)． ……………..(17分) 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $