专题12 探究猜想判断线段与角度之间的关系 重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题12 探究/猜想/判断线段与角度之间的关系目录 A · 重难点题型分类 题型1：探究线段之间的关系…………………………………………………… 1 题型2：探究角度之间的关系…………………………………………………… 4 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 8 重难点题型分类 【题型1：探究线段之间的关系】 【例1】如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． (1)试判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 【变式1-1】如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 【变式1-2】【问题初探】（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图，在中，高，交于点，且，试说明，有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出． 小明证明的依据可能是______（填序号）               ④ 【引导发现】（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上． 填空： ______； 判断线段与的数量关系，并写出证明过程． 【变式1-3】如图，在中，，，，交边于点D，，垂足为点A，且，连接． (1)写出图中与相等的一个角，并说明理由； (2)求证：； (3)若点D是射线上的一个动点，且不与点B，C重合，试探究线段，和之间的数量关系． 【变式1-4】【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 【题型2：探究角度之间的关系】 【例1】直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动（点A、B均不与点O重合）． (1)如图1，，与的角平分线相交于点E，则的度数为______； (2)如图2，，与的角平分线相交于点E，点A、B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值； (3)如图3，若，与的角平分线相交于点E，延长至点G，的角平分线交射线于点F．点A、B在运动的过程中，试探索与之间的数量关系，并证明． 【变式1-1】如图，已知等腰中，，，交于点，平分，与交于点，与交于点． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)当是等腰三角形时，求的度数． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E． 【问题提出】 （1）如图①，已知点，求线段BD的长度； 【尝试探究】 （2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值． 【变式1-3】学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 能力提升 一、解答题 1．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含30°角的直角三角板进行了如下探究活动：将三角板中60°角的顶点B放在直线上，过30°角的顶点．作直线的平行线，直线始终位于直线的上方． 探究发现： （1）如图1，若，则的度数为________°． （2）若直角三角板的直角顶点C位于直线与之间． ①如图1，若的角度未知，试猜想和之间存在的数量关系，并说明理由； ②如图2，将三角板沿直线向右平移，使直角顶点恰好落在上，得到三角形（点的对应点分别为），连接．若，请求的度数． 深入探究： （3）若直角三角板的直角顶点不在直线与之间，请直接写出和之间的数量关系． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． 【基础探究】 （1）若点P在直线的下方且在直线的上方（如图1所示），试探究，，之间的数量关系，并给出详细的证明过程． 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，过点E作的角平分线交的延长线于点M，过点F作的角平分线交的反向延长线交于点N（如图2所示），若与互补，试探究直线与直线的位置关系，并说明理由； 【扩展探究】 （3）若点P在直线的上方且不在直线上，过点F所作的角平分线与过点E所作的角平分线所在直线相交于点N，请直接写出与的数量关系． 3.（24-25七年级下·山东泰安·期末）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 4.（24-25七年级下·广东深圳·期末）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 6．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 8．（24-25七年级下·山东济南·期末）【材料阅读】在数学探究课程《玩转学具》中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．同学们踊跃参与，尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），设计出不同的题目，请你帮他们完成作答． (1)【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ①请在图1中找出一对全等三角形，并在横线上填出推理所得的结论： 在和中 ___________ ②若，，则___________； (2)【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (3)【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 9．（24-25七年级下·广西南宁·期末）在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______ ）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． (1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）． (3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系． 11．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 （1）如图1，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是 ； ②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】 （2）如图2，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是 ； ②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °； 【迁移拓展】 （3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由． 12．（24-25八年级上·江苏·期末）类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 13．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果） (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 14．（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 15．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践——折纸中的数学： 已知，在长方形纸片中，，，．点在边上，点在边上，将长方形按如图方式沿折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点，设． 【初步探索】（1）若，则_____； 【深入探究】（2）如图2，将四边形沿翻折至四边形，交于点，求和的数量关系； 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，连接，将沿翻折至，当平分时，求和的数量关系，用含的式子直接表示出的大小，并写出的范围． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题12 探究/猜想/判断线段与角度之间的关系目录 A · 重难点题型分类 题型1：探究线段之间的关系…………………………………………………… 1 题型2：探究角度之间的关系…………………………………………………… 11 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 22 重难点题型分类 【题型1：探究线段之间的关系】 【例1】如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． (1)试判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析． 【分析】此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用方法是解题的关键． （）先利用等角对等边得出，再证出，进而判断出，即可得出结论； （）先根据三角形的内角和求出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（）知，， ∴ 【变式1-1】如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 【答案】(1)全等，理由见解析；垂直 (2) (3) 【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出，得出结论即可； （2）根据的运动速度与的运动速度不相等，可得，那么要使与全等，则只存在这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可； （3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 当时，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ， ， ， ∴， 线段与线段垂直． （2）解：设点的运动速度， ∵的运动速度与的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴要使与全等，则只存在这种情况， ∴，， ∴， 解得， ∴当点的运动速度为时，能使与全等． （3）解：，分别是，中点，， ， 以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动， 第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程， 设运动时间为秒， 则， 解得：， 故经过，点与点第一次相遇． 【变式1-2】【问题初探】（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图，在中，高，交于点，且，试说明，有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出． 小明证明的依据可能是______（填序号）               ④ 【引导发现】（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上． 填空： ______； 判断线段与的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（）（） ； ，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，同角的余角相等等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （）根据可证明，则可得出答案； （）延长交延长线于，由平分，则，又，则有，从而得； 证明，则，再证明，根据性质得，从而求证． 【详解】（）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 解：（）延长交延长线于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ，理由如下， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，在中，，，，交边于点D，，垂足为点A，且，连接． (1)写出图中与相等的一个角，并说明理由； (2)求证：； (3)若点D是射线上的一个动点，且不与点B，C重合，试探究线段，和之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及垂直的定义，通过角的等量代换来找出与相等的角． （2）通过证明和全等，利用全等三角形的性质得到对应角相等，再结合已知条件推出． （3）分点在线段上和点在的延长线上两种情况，利用全等三角形的性质和线段的和差关系来探究线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由（1）知． 在和中， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：当点D在线段上时，由（2）知， ∴，则． 当点D在线段的延长线上时，如图， ， ， ∴． 与（2）同理可证， ∴，则． 综上所述，当点D是射线BC上的一个动点，且不与点B，C重合时，线段和之间的数量关系为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及角的等量代换．解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质． 【变式1-4】【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 【答案】【问题情境】；【类比解答】；【拓展延伸】（1），证明见解析；（2） 【分析】问题情境：根据角平分线的定义得到，根据垂直的性质得到，再利用证明即可； 类比解答：延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； 拓展延伸：（1）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论；（2）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（1）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【详解】解：问题情境： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，． 故答案为：； 类比解答： 延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； 故答案为：； 拓展延伸： （1），证明如下： 如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； （2）如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（1）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的定义以及平行线的性质，利用角平分线构造全等三角形是解题的关键． 【题型2：探究角度之间的关系】 【例1】直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动（点A、B均不与点O重合）． (1)如图1，，与的角平分线相交于点E，则的度数为______； (2)如图2，，与的角平分线相交于点E，点A、B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值； (3)如图3，若，与的角平分线相交于点E，延长至点G，的角平分线交射线于点F．点A、B在运动的过程中，试探索与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3) 【分析】本题考查三角形的内角与外角，角平分线有关的角的计算，掌握三角形内角和定理和外角的性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理、角分线定义即可求得的度数； （2）与（1）同理，只是把内角平分线转化为外角平分线，借助外角的性质即可得结论； （3）根据内角和外角平分线的定义可得，，再利用可得结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵分别是和的角平分线， ， ， ， 故答案为：． （2）解：不会发生变化． ∵与的角平分线相交于点， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：． 如图： ∵与的角平分线相交于点，的角平分线交射线于点F， ， 由外角的性质可得：， ∴， ∵，， ， ． 【变式1-1】如图，已知等腰中，，，交于点，平分，与交于点，与交于点． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据等边对等角求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求出的度数，再利用垂线性质求出的度数，最后利用三角形外角性质求出结果； （2）根据等边对等角求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求出的度数，再利用垂线性质求出的度数，最后利用三角形外角性质求出结果； （3）由（2）可知，再分情况当时，当时，当时，分别利用等边对等角，三角形内角和定理求出结果即可 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知， 是等腰三角形， 当时， ， 在中，， ， 解得，不能构成三角形，此种情况不存在； 当时， 在中，， ， 解得：； 当时， ， 在中，， ，解得：， 综上所述的度数为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形外角性质等知识，根据等腰三角形的定义分情况讨论求解为解题关键． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E． 【问题提出】 （1）如图①，已知点，求线段BD的长度； 【尝试探究】 （2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1）5；（2）；（3）2 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，全等三角形性质与判定，垂直平分线的性质，垂线段最短等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）利用题中条件，证明，可得； （2）利用题中条件证明垂直平分，可得，由推出， 再利用三角形的外角知识和直角三角形的性质，推出； （3）连接DB并延长到点N，利用题中条件，证明，可得，利用（2）推出的垂直平分， 可得，，可得，从而点D在直线BN上运动，过点E作于点H， 当点D运动到点H时，ED最小，此时，． 【详解】（1）是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， 由可得，， 线段BD的长度为5． （2），理由如下： 轴， ， 是等边三角形， ， ，， ， 垂直平分， ， ， 由（1）知，，可得， ， ，， ． （3）ED的最小值为2． 如图3，连接DB并延长到点N， ，为等边三角形， ，，， ，即， 又，， ， ， 由（2）知，垂直平分，，， ， ， ， 点 D 在直线 BN上运动，过点E作于点H， 当点 D 运动到点H时，ED最小，此时， 的最小值为2． 【变式1-3】学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)选择条件②，见解析 (2)①②④ (3)或 【分析】本题考查选择合适的条件证明三角形全等，全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）选择条件②，利用证明即可； （2）根据轴对称的性质，得到，，证明，进而得到，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出，推出，再证明，进而推出，根据全等三角形的面积相等，推出即可； （3）作于点，于点，证明，得到，分分别与重合以及与不重合，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：选择条件②，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：过点作的对称点， 则：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴，， ∴；故④正确； 无法得到，故③错误； 综上：正确的是①②④； （3）作于点，于点，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当分别与重合时，满足， 则：， 当与不重合时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 能力提升 一、解答题 1．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含30°角的直角三角板进行了如下探究活动：将三角板中60°角的顶点B放在直线上，过30°角的顶点．作直线的平行线，直线始终位于直线的上方． 探究发现： （1）如图1，若，则的度数为________°． （2）若直角三角板的直角顶点C位于直线与之间． ①如图1，若的角度未知，试猜想和之间存在的数量关系，并说明理由； ②如图2，将三角板沿直线向右平移，使直角顶点恰好落在上，得到三角形（点的对应点分别为），连接．若，请求的度数． 深入探究： （3）若直角三角板的直角顶点不在直线与之间，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）30；（2）①与互余，理由见解析；②；（3）． 【分析】本题考查了直线平行的性质、图形平移的性质及三角形外角的性质，解题关键是： （1）利用即可求解； （2）①延长交于R，利用即可求解；②利用图形平移的性质及三角形外角的性质即可求解：； （3）作出图象，利用直线平行的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：30； （2）①猜想：与互余，理由如下： 如图， 延长交于R， ， ， ， ∴， ， 即与互余； ②由平移的性质可知，，， ， ； （3）（i）如图， ∵， ， 即； （ii）如图， 设与交于T， 同理，， 即； 综上，． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． 【基础探究】 （1）若点P在直线的下方且在直线的上方（如图1所示），试探究，，之间的数量关系，并给出详细的证明过程． 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，过点E作的角平分线交的延长线于点M，过点F作的角平分线交的反向延长线交于点N（如图2所示），若与互补，试探究直线与直线的位置关系，并说明理由； 【扩展探究】 （3）若点P在直线的上方且不在直线上，过点F所作的角平分线与过点E所作的角平分线所在直线相交于点N，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2），理由见解析；（3）或 ，理由见解析 【分析】（1）过作，根据平行线的性质可得； （2），根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，进而可得结论； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图，过P作， 又∵， ∴， ∴，， ∴． （2），如图， 理由： 平分，平分， ，， ， ， 由（1）得，， ， ， 与互补， ， 整理得，， ； （3）或．理由如下： ①．如图， ， ，， 平分，平分， ，， ，， ， ． ②．如图， ， ， ， 由（1）得，， ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查平行线判定和性质，角平分线的定义，三角形外角与内角的关系，根据题意理清各角之间的关系是解题关键． 3.（24-25七年级下·山东泰安·期末）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用等判定定理证明全等，进而推导边的关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中点． 4.（24-25七年级下·广东深圳·期末）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果； （2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果； （3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出． 【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接、，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ，即， ； （3）；理由如下： 延长与的延长线交于点，如图所示： 点是中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即：， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形三边关系、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质可得，即可推导，由（1）可知，根据全等三角形的性质可得，由即可确定的度数； （3）根据等腰直角三角形的性质，易得，再结合平分，可得，，进而确定，可推导；然后证明，可得，结合，即可证明． 【详解】解：（1）．证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）∵为等边三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴； （3）∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题关键是证明，熟练运用全等三角形的性质． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），过程见解析 （2），，图见解析 （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至M，使，连接，先证明 继而证明，可推导出，，则有，即可解答． 【详解】（1） 证明：如图2， 平分， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． （2）， 辅助线如图3 （3） 证明：如图4中，延长至M，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ． 8．（24-25七年级下·山东济南·期末）【材料阅读】在数学探究课程《玩转学具》中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．同学们踊跃参与，尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），设计出不同的题目，请你帮他们完成作答． (1)【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ①请在图1中找出一对全等三角形，并在横线上填出推理所得的结论： 在和中 ___________ ②若，，则___________； (2)【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (3)【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 【答案】(1)①；②5 (2)，见解析 (3)42 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，以及线段之间的和差关系，熟记相关定理内容，合理借助辅助线构造全等三角形是进行几何推理的解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，由图中进行等量代换，即可得线段，，之间的数量关系； （3）过点作，交的延长线于点，图见解析．由两个三角形全等的判定定理得到，从而得到，则可根据求得，再由内错角相等证明，即可由“平行线间距离处处相等”得到的底为则高为，代入面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②， ，， ； （2）；理由如下： （3）如图， 过点作，交的延长线于点， 9．（24-25七年级下·广西南宁·期末）在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______ ）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；；；（2）①互余，理由见解析；②；（3）10秒或16秒． 【分析】（1）由平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）①利用平行线的性质及角平分线的定义推出，再利用平角的性质即可求解； ②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论得到，据此计算即可求解； （3）旋转一周运动停止，求得总时间为20秒，与重合时间为10秒，分在前10秒内和后10秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可． 【详解】（1）证明；如图1，延长到点， 过点作的平行线． （两直线平行，同位角相等）． ． ； 故答案为：两直线平行，同位角相等；；； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即与互余； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，   ∴； （3）∵旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， ∵与重合时再以原速返回， ∴重合时间为（秒），此时，延长交于点Q， ∵在前10秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至， 又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至， ∴在前10秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒； 同理，后10秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行，如图所示， 有， 解得， ∴（秒）， 综上，的值为10秒或16秒． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． (1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）． (3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)图见详解，当点在线段的延长线上运动时：，当点在线段的延长线上运动时： 【分析】（1）根据证明，则可得，由点为的中点，可得，则可得，由可得； （2）同（1）证法相同，先证，则可得，由，，可得； （3）①当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得； ②当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点在线段上（不与重合）时，线段，，之间的数量关系为，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：①如图，当点在线段的延长线上运动时， 同（1）得， ∴ ∵，， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上运动时， 同（1）得， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 11．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 （1）如图1，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是 ； ②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】 （2）如图2，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是 ； ②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °； 【迁移拓展】 （3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）①；②；（3）当时，，见解析 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，作角平分线，角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键； （1）①根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理可得，即可得出； ②根据题意作出，的平分线，相交于点，根据角平分线的定义得出，，结合①的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）①连接，根据三角形的外角的性质可得，，进而可得 ②根据①的结论得出，，即可求解． （3）延长交于点，根据角平分线的定义得出，，根据②的结论得出，即可得出，进而根据得出，根据内错角相等，即可得证 【详解】解：（1）①解：∵，是的两个外角． ∴ ∴； 故答案为：． ②. 证明如下： ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴. （2）①如图，连接， ∵，是，的外角 ∴， ∴； 故答案为：． ②∵，， ∴ ∵，的平分线，相交于点， ∴ 由①可得， ∴ 故答案为：； （3）当时，.理由如下： 延长交于点， ∵，分别平分，， ∴，， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 12．（24-25八年级上·江苏·期末）类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质． （1）证明 ，再利用等腰三角形判定及性质即可得到本题答案； （2）过点作交延长线于，交于，再证明 ，继而得到本题答案； 【详解】解：（1）延长交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ （ASA）， ∴， ∵， ∴； （2）过点作交延长线于，交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； 13．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果） (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题是考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形及三角形全等的性质与判定，熟练掌握相关知识点，添加恰当的辅助线是解题的关键； （1）延长交于点M．利用平行线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的定义，依次证明， 再证明，得，由等量代换即可； （2）延长相交于点N，利用平行线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的定义，依次证明， 再证明，得，由等量代换求的长； （3）延长与相交于点G，利用平行线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的定义，依次证明， 再证明，得，由等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 如图1，延长交于点M． ， ， ， ， ， 平分， ， ，即 ， ， ， ， ， ， 由得． （2）如图2，延长相交于点N， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ，， 平分， ， ，即 ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：6． （3），理由如下： 如图3，延长与相交于点G， ， ， ， ， 又， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得． 14．（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 15．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践——折纸中的数学： 已知，在长方形纸片中，，，．点在边上，点在边上，将长方形按如图方式沿折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点，设． 【初步探索】（1）若，则_____； 【深入探究】（2）如图2，将四边形沿翻折至四边形，交于点，求和的数量关系； 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，连接，将沿翻折至，当平分时，求和的数量关系，用含的式子直接表示出的大小，并写出的范围． 【答案】（1）；（2）；（3）；或 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键； （1）根据平行线的性质得出，根据折叠的性质可得，进而可得，即可求解； （2）根据折叠的性质分别表示出和得出，即可求解； （3）根据折叠的性质分别表示出和，分两种情分别表示出， 即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵ ∴ ∵沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵折叠， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， （3）由（2）可得， 由折叠可得： ∴ ∵沿翻折至， ∴ ∴ ∵ ∴ 当即时， 解得：， ∴ 当即时， ∴ 综上所述，；或 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $