第08讲 二元一次方程组中含参数问题（寒假预习讲义）七年级数学新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第08讲二元一次方程组中含参数问题 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. ☑知识点2：二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）。 ☑知识点3：二元一次方程组的解的概念 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对代入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若 有方程不成立，则不是方程的解 注：方程组中只要有一个方程代入后不成立，则不是方程的解 ☑知识点4：二元一次方程组的解法 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个 方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法 加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相 减，消去一个未知数的方法 02 练题型强知识 【题型1利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值】 例1.若(m+1)x+5ym+4=2(3-m)是关于x,y的二元一次方程，则m的值是_ 变式1 已知方程2x4-1+(m+2)y=2是二元一次方程，则m= 变式2 1/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若(m-1)x+y=0是关于x,y的二元一次方程，请写出一个符合条件的m的值： 变式3 已知方程nxm28-(m+3)y-1=5是关于x,y的二元一次方程，则m+n的值() A.7 B.5 C.-1 D.7或-1 【题型2已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】 (x=2 例2.已知y=-1是关于x,y的二元一次方程kx+3y=1的-个解，则k的值是（） A.-2 B.-1 C.1 D.2 变式1 若（位日是方2x-3y-5=1的组解，2m-3和的做是(） A.3 B.4 C.5 D.6 变式2. ∫x=3 若y=-2是二元一次方程ax+by=-2的一个解，则6a-4b+2029的值为 变式3. (x=3 若y=2是关于xy的方程mx-y=10的一个解，则m的值为 【题型3已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值】 (ax+by=13 .（x=3 例3. 已知关于，y的二元一次方程组(ax-7y=8的解为y=1则a-b的值是 变式1 X=1 (ax+by=2025 已知y=-1是方程组bx-ay=1的解，则(a+ba-b)的值是 变式2 (X=2 若{y=-1是二元一次方程mx+ny=-2的一个解，则-4m+2n-6的值是一， 变式3 (x=1 若y=3是关于xy的二元一次方程mx+2y=3的解，则m的值为 【题型4己知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】 2x+y=1-3m 例4.已知关于x,y的二元一次方程组 x+2y=2 的解满足x+y=0,则m的值为」 变式1 3x+2y=-7 若方程组 2x一y=2m一1的解互为相反数，求m的值和方程组的解. 变式2. 2/5 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x+y=6-a 己知关于x,y的二元一次方程组： bx-y=2a (1)若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为一： (2)若该方程组无解，则a,b需要满足的条件为 变式3 (2x+3y =5k 方程 2x-y=7k的解满足方程x-2y=5,k值为」 【题型5已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值】 (2x-ay=6 例5。已知关于x,y的方程组4x十y=7的解是整数，a是正整数，那么a的值是 变式1. X-y=2 己知方程组 mx+y=6，若方程组有非负整数解，则正整数m的值是 变式2 x-y=1 若关于x,y的方程组 2x+y=8有正整数解，则符合条件的整数a的和为() A.8 B.7 C.3 D.2 变式3. (x+2y=5-a 己知方程组 3x-4y=2a 的解为正整数，则正整数a的值为 串知识识框架 考点一：利用二元一次方程的定义求参数或代数式的通 考点二：已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 知识点01二元一次方程的概念 考点三：已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 知识点02二元一次方程的解的概念 考点归纳 二元一次方程组中含参数问题 知识点归纳 离碧：已灯二元一次方程组的解的桶况家参数安代数 知识点03二元一次方程组的解的概念 知识点04二元一次方程组的解法 家气码备已阳二元一次方程组的解为整数解时求参数或代 04 过关测稳提升 一、单选题 X=2 1.已知y=-3,是5x+my=-2的-个解，则m的值为() A.4 B.-4 c.- D.号 (x=1 2.已知y=2是关于xy的二元一次方程2xa2+my=4的一个解，则a+m的值为（) 3/5 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-4 B.-2 C.2 D.4 ∫x+y=1 X=-1 3.已知关于x、y的二元一次方程组x-y=a的解为y=b则a的值为（） A.-3 B.3 C.-1 D.1 ∫x=2 (mx+ny=11 4.若y=1是二元一次方程组nx-2my=1的解，则6m+n的值是（） A.18 B.20 C.22 D.25 【2x+y=-3m 5.方程组气2y+x=4m十5的解满足xy互为相反数，则m为(） A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 2x+y=1 6.若关于xy的方程组(3k+1)x-y=3无解，则k的值为(） A.-1 B.1 C.3 D.5 4x-3y=6 7.已知m是整数，方程组6x-my=26有正整数解，则m的值为（） A.4 B.-4 C.±4 D.4或5 4x+3y=14 8.若方程组kx+(k-1)y=6的解中x与y的值的和为4，则k为(） A.4 B.3 C.2 D.1 3x+2y=3m-2 9.已知关于x,y的二元一次方程组 2x+3y =m 的解适合方程x+y=,则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 4x-3y=18 10.已知方程组3x-4y=2k+1的解满足x+y=5,则k的值为(） A.7 B.6 C.8 D.9 二、填空题 ∫x=2 11.若y=1是方程mx-y=3的-个解，则m= |X=2 12.若关于x,y的二元一次方程3x-ay=1有一个解是y=3,则a= x=1 13.y=2是关于x,y的方程ax+y=3的一组解，则a的值为一 ax+y=7 x=3 14.若关于，y的方程组x+by=-2的解为y=1则a,b的值分别是a= b= [x=1 2x+(m-1)y=2 15.已知y=1是方程组 nx+y=1 的解，则(m+n)2021的值为 4/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 (2x+3y=2m+1 16.已知关于x,y的方程组3x+2y=m-一2的解满足x+y=0,求m的值及方程组的解. x+3y=7 17.已知关于x,y的方程组气x-2y+kx+9=0,若方程组的解满足3x+2y=0,求k的值. (x=1|ax+y=7 18.若{y=2是x+by=9关于x、y的二元一次方程组的解，求2a+b的值. 5/5 第08讲 二元一次方程组中含参数问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 知识点2：二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）。 知识点3：二元一次方程组的解的概念 1. 二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2. 检验二元一次方程组解的方法：将有序数对代入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程代入后不成立，则不是方程的解. 知识点4：二元一次方程组的解法 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 【题型1 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值】 例1．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 -3 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义，得且，解之即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 由得或， 解得或， 又因为， 即， 所以， 故答案为：． 变式1． 已知方程是二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，未知数x和y的次数均为1，且y的系数不为0作答即可． 【详解】解；由二元一次方程的定义，得且， 解得：或且， 即． 故答案为：2． 变式2． 若是关于的二元一次方程，请写出一个符合条件的的值： ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，未知数的系数不能为零，因此的系数． 【详解】解：因为方程是关于的二元一次方程， 所以的系数 ，即， 因此，可以是除以外的任意实数，例如． 故答案为：2（答案不唯一）． 变式3． 已知方程是关于x，y的二元一次方程，则的值（ ） A．7 B．5 C． D．7或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程要求未知数和的次数均为1，且系数不为零，根据指数和系数条件列出方程求解，并排除无效解． 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， ∴的指数 ， ∴， 解得或， 又∵的指数， ∴， 解得：， 检查系数： 当时，，符合条件； 当时，，系数为零，不符合二元一次方程要求，故舍去， ∴， ∴． 故选：A． 【题型2已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】 例2．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，将给定的解代入方程，通过解一元一次方程求k的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴把代入得：， 即， ∴， ∴， 因此，k的值为2， 故选：D 变式1． 若是方程的一组解，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将解代入方程，通过移项直接求解的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， 移项得， ∴． 故选：D． 变式2． 若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键. 先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可. 【详解】解：把代入得：． 则． 故答案为：． 变式3． 若是关于x、y的方程的一个解，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将和代入方程，得到关于的一元一次方程，然后求解的值，即可作答． 【详解】解：将，代入方程，得， 移项得， 解得． 故答案为 4． 【题型3 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值】 例3．已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键． 将方程组的解代入原方程组，得到关于和的方程，解出和的值，再计算的值即可． 【详解】解：将代入二元一次方程组，得 由方程②得：，解得 将代入方程①得：，解得 ∴解得： ∴． 故答案为：7． 变式1． 已知是方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2． 若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程得到代数式的值，再进行求解． 把代入方程，可得，再代入代数式，即可求出答案． 【详解】将代入，得：， 整理得；， ∴． 故答案为：． 变式3． 若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将二元一次方程的解代入方程，得到关于的方程，通过求解一元一次方程得到的值． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 解得． 故答案为：． 【题型4 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】 例4．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解， 将方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，再结合的条件，直接求出的值． 【详解】解：将方程组 中的两个方程相加，得 ， 即 ， 所以， 由于，代入得 ， 即， 解得． 故答案为：1． 变式1． 若方程组的解互为相反数，求的值和方程组的解． 【答案】原方程组的解为，的值为 【分析】本题考查了相反数的定义，解二元一次方程组． 根据相反数的定义得到，得，求解后将x的值代入计算即可． 【详解】解：由方程组的解互为相反数， 得，将代入原方程组，得， 解得 ． ∴原方程组的解为，的值为． 变式2． 已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为 ； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为 ． 【答案】 6 且 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握好解的意义与方程组无解的条件是解题关键． （1）由x与y互为相反数得，，代入第一个方程求出a的值； （2）根据二元一次方程组无解的条件，即两方程中的系数之比等于的系数之比，但不等于常数项之比，列出关系式求解． 【详解】解：（1）∵x与y互为相反数， ∴， 代入第一个方程得，， ∴； （2）， 当方程组无解时，未知数的系数对应成比例，但不与常数项成比例， 即， 由得，， 由得，， 解得， 故需要满足的条件为且。 故答案为：（1）6；（2）且． 变式3． 方程组 的解满足方程，k 值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 通过解方程组，用表示和，再代入中求解． 【详解】解：解方程组 由，得： 所以 将代入②，得： 所以 将，代入，得： 所以 故答案为：． 【题型5 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值】 例5．已知关于的方程组的解是整数，是正整数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 通过消元法求出的表达式，根据解为整数及为正整数，确定是的约数，从而求出的值。 【详解】解：解方程组：， 得：， 得：， 即， ∴， ∵解为整数， ∴为整数，是5的约数， 即或， 解得：；；；； 又∵是正整数， ∴， 当时，， 将代入得， 解得：， ∴均为整数，符合条件， 故答案为：． 变式1． 已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解，关键是参数的解方程组得到和的表达式，根据非负整数解的条件，从而确定正整数的可能取值。 【详解】解： 解方程组得：， ∵方程组有非负整数解， ∴的值为：或或， ∴的值为或或， ∴正整数的值为：或． 故答案为：或． 变式2． 若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和． 【详解】解：原方程组为： 得： 得：， ， ∵ y为正整数， ∴为6的正约数，即， ∴ a的值为：， 分别代入求x： 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合； 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合． ∴符合条件的整数a为0和2，其和为． 故选：D． 变式3． 已知方程组的解为正整数，则正整数a的值为 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的整数解，解题的关键是根据题意解出含a的x，y的式子． 通过解方程组得到和，根据解为正整数的条件，确定正整数的值． 【详解】解： ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∵方程的解为正整数， ∴ 且为整数， ∴，即， 又∵是正整数， ∴ 或 ， 当时，，不是正整数； 当时，，是正整数， 因此，正整数的值为 1． 故答案为：1． 一、单选题 1．已知，是的一个解，则m的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解本题的关键． 将给定的解代入方程，即可直接求参数 m 的值． 把代入方程，建立关于m的方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故选：A． 2．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为 （    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，的指数必须为，从而求出的值；再将已知解代入方程求出的值，最后计算． 【详解】∵ 方程是关于，的二元一次方程， ∴ x的指数，解得， ∴ 方程为， 将，代入方程：，即， 解得， ∴． 故选：D． 3．已知关于、的二元一次方程组的解为则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的应用，将方程组的解代入原方程，通过解方程求出未知参数是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，先求出，再求即可判断． 【详解】∵ 方程组的解为 ， 代入 得： ， ∴ ， 代入 得：， ∴ ． 故选：A． 4．若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】D 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将解代入方程组，得到关于m和n的方程，解出m和n后计算的值． 【详解】∵是方程组的解， ∴ 解得， ∴． 故选：D． 5．方程组的解满足互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，相反数的定义． 根据相反数的定义得到，两方程相加得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】∵互为相反数， ∴， ， 得，即， ∴， 解得， 故选：A． 6．若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A 7．已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 8．若方程组的解中x与y的值的和为4，则k为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再把解代入求出答案． 根据解二元一次方程的步骤，可得二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解相同，可得关于k的一元一次方程,根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：由题意得：，解得：， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 9．已知关于的二元一次方程组的解适合方程，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，通过消元与代入求解，关键是将参数m消去后联立已知条件． 通过将原方程组中的m用x和y表示，代入另一个方程消去m，得到关于x和y的方程，再与给定的联立求解x和y，最后代入求m． 【详解】解：∵ 方程组且解适合， 由方程②得：， 代入方程①：， 即， 整理得：，即， 两边乘以：， ∴ 得， 联立方程： 由③得：， 代入：， ， ， ， ， ∴， 代入， 故选：A． 10．已知方程组的解满足，则k的值为（    ） A．7 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查用加减消元法求参数，熟练掌握加减消元法是解题的关键．通过将两个方程相减，直接得到 的表达式，然后利用解出k． 【详解】解：∵ 方程组 由得：， 化简得：， 又∵， ∴ ， 解得． 故选：B． 二、填空题 11．若是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．将代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．若关于，的二元一次方程有一个解是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，灵活运用方程的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程解的定义，将解代入方程，进而求出字母的值． 【详解】把，代入方程， 得， 即， 移项得， 即， 两边同除以， 得． 故答案为：． 13．是关于x，y的方程的一组解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将已知解代入方程中解得的值即可． 【详解】解： 是关于，的方程的一组解， ， 解得：， 故答案为：1． 14．若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入原方程组，得到关于a和b的方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入方程组， 得 解得 故答案为：，． 15．已知是方程组的解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先根据方程组的解的定义，将已知解代入方程组，得到关于、的方程，进而求出、的值，最后代入计算．解题的关键在于利用方程组解的性质求出、．本题主要考查了方程组的解的定义以及求代数式的值．熟练掌握方程组的解是使方程组中每个方程都成立的未知数的值这一概念，能准确根据解求出、的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程组中， 得， 解得，得． 把，代入得 ． 故答案为：． 三、解答题 16．已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 【答案】，方程组的解为 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 先将恒等变形为，代入原方程组得，解得，求出，从而得到原方程组的解． 【详解】解：由得，，代入原方程组， 得， ， 将②代入①得， 解得； 则；； 综上所述，，方程组的解为． 17．已知关于，的方程组，若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数． 先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出k即可． 【详解】解：解方程组，得， 将代入得， 解得． 18．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】14 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入得： 解得： ∴ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $