专题08 期末真题百练通关（12大压轴题型，期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题08 期末真题百练通关（44题12大压轴题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线与坐标轴围成的图形面积（共3小题） 题型二 一次函数与动点问题（共3小题） 题型三 一次函数与定点问题（共3小题） 题型四 一次函数与存在性问题（共6小题） 题型五 一次函数与一线三垂直模型综合（共4小题） 题型六 将军饮马问题（共6小题） 题型七 解不等式组与新定义问题（共3小题） 题型八 三角形角平分有关的热考模型（共3小题） 题型九 倍长中线模型（共3小题） 题型十 手拉手模型（共3小题） 题型十一 一线三等角模型（共3小题） 题型十二 其它模型（共4小题） 题型一 直线与坐标轴围成的图形面积（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，在线段上取一点，连结，若的面积为3，求直线的解析式． 2．（20-21八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点，点在直线上，连接OC． (1)求直线的解析式和的面积； (2)点P为直线上一动点，的面积与的面积相等，求点P的坐标． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ． (1)求 的值及直线 的表达式； (2)若点 是直线 上一点，连接 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时， 求点 的坐标． 题型二 一次函数与动点问题（共3小题） 4．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，．点在轴正半轴上，把沿折叠，点恰好落在轴负半轴上的点处．直线交直线于点．点是轴正半轴上的一动点，点是直线上的一动点． (1)填空：点，，坐标分别为___________；___________；___________． (2)求的面积． (3)连结．与全等（点与点不重合），直接写出所有满足条件的点坐标． 5．（20-21八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x，y轴分别交于A(12，0)，B(0，8)，以OA为斜边作等腰Rt△OAC． (1)求直线AB的解析式； (2)如图2，动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点F从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，E、F两点同时运动．在运动过程中，以EF为斜边在x轴上方作等腰直角三角形EFG． 设运动时间为t秒． ①当点G落在AB上时，求EF的长； ②以CG为直角边，点G为直角顶点作等腰Rt△CGD（点C、点G、点D逆时针排列）． 在运动过程中，是否存在某一时刻，使得点D在x轴上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．（20-21八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，等腰的边在y轴的正半轴上，且，点C在第一象限，过点的直线经过点C． （1）求点C的坐标及直线的解析式． （2）点E为直线上的动点，若的面积等于面积的一半，求点E的坐标． （3）点F为y轴上的动点，若，求点F的坐标． 题型三 一次函数与定点问题（共3小题） 7．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 8．（20-21八年级上·浙江·期末）已知一次函数表达式为（为常数）． （1）求证：该一次函数一定经过定点． （2）当图象不经过第一象限时，求m的取值范围． （3）在（2）的条件下，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围． 9．（20-21八年级上·浙江金华·期末）知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A． （1）探求定点A的坐标．把函数表达式作如下变形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标为　 　． （2）如图1，已知△BCD各顶点的坐标分别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值． （3）如图2，设直线l与y轴交于点P，另一条直线y＝（k﹣1）x+3k﹣2与y轴交于点Q，交直线l于点E，点F是EQ的中点．当点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10）时，求点F运动经过的路径长． 题型四 一次函数与存在性问题（共6小题） 10．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：k＝　 ；b＝　 　；m＝　 　； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，点，过作平行x轴的直线，交于点C，点在线段上，延长交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式． (2)当点E恰好是中点时，求长． (3)是否存在m，使得是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 12．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． (1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）． (2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围． (3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上有一点P，且，求点P的坐标； (3)直线上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线上的动点，过点B作直线的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连接．    (1)当点P在线段上时， ①求证：； ②若点P为的中点，求的面积． (2)在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 题型五 一次函数与一线三垂直模型综合（共4小题） 16．（2022八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结． (1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式． (2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标． (3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值． 17．（22-23八年级下·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．    (1)求点A的坐标； (2)将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标． 18．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 19．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，轴正半轴于点，且的面积是． (1)求的值； (2)作的平分线交轴于点，将绕点顺时针旋转得到直线，线段沿着射线方向平移，得到线段，连结，， ①求直线的函数关系式； ②当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标． 题型六 将军饮马问题（共6小题） 20．（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 21．（17-18八年级上·江苏苏州·期末）如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 22．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等腰中，，平分，平分，M，N分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 23．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ． 24．（23-24八年级上·浙江温州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，，是x轴上的两个点，则的最小值为 ． 25．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）已知点A（1，3）、B（5，﹣2），在x轴上找一点P，使|AP﹣BP|最大，则满足条件的点P的坐标是 ． 题型七 解不等式组与新定义问题（共3小题） 26．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．． (1)比较与的大小，并说明理由． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组的解集为，求m的取值范围． 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． (1)方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； (2)若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 28．（22-23七年级下·浙江台州·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 题型八 三角形角平分有关的热考模型（共3小题） 29．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点 (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求的长． 30．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，和的平分线相交于点O，过点O作，分别交和于点E和F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的周长． (3)如图2，过点O作于点G，连接，当，时，求的长度． 31．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，P为边上的一点，．、分别是、的角平分线． (1)若，则的度数为_______，的度数为____________； (2)求证：； (3)设，，过点P作一条直线，分别与，所在直线交于点E、F，若，直接写出的长（用含a的代数式表示） 题型九 倍长中线模型（共3小题） 32．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：已知，如图1，中，若，，点D为边中点，求边上的中线的取值范围． 经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”． (1)请按照上面的思维框图，完成证明． 【探究应用】 (2)已知：如图2，中，是边上的中线，E在边上，连接交于F，且．求证：； 【拓展延伸】 (3)如图3，若，，，是边上的中线，E是上一点，连接交于点F，且，求的长． 33．（21-22八年级上·浙江台州·期末）问题背景： 如图1，是的中线，若延长至点E，使，连接，则与的关系是______； 问题应用： （1）如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于点F，，求证：是等腰三角形； （2）如图3，在中，．分别以、为边在外部作等边三角形和等边，点D为边中点，连接，写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图4，中，，延长至点G，使，D为边中点，连接．若，求中线的长． 34．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 题型十 手拉手模型（共3小题） 35．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 36．（21-22八年级上·浙江衢州·期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 37．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．    题型十一 一线三等角模型（共3小题） 38．（浙江省舟山市定海区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证： 39．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）四根长度均为的木棒，，，要按图示做个创意造型．如图，已知A，C，E三点在同一条直线上，．过B，D两点分别作的垂线，垂足分别为M，N．且． (1)求证：． (2)求线段的长度． 40．（24-25八年级上·河南郑州·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 题型十二 其它模型（共4小题） 41．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，是的高，． (1)若，求的度数； (2)若为的4倍，求的度数． 42．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长； (2)若，则的度数为 ． 43．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【问题初探】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”，，．求证：． 【方法迁移】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答．） 【问题拓展】 （3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段之间的数量关系． 44．（23-24七年级下·广东惠州·期中）将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N． 【发现】 （1）如图1，若点A在内，当时，则 ； （2）如图2，若点A在内，当时， ； 【探究】 若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由； 【应用】 如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数； 【拓展】 如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ． 1．“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)模型探究：如图1，和中，，连接、．这里与有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明与全等的理由． (2)模型应用①：如图2，中，，为平面内一点，且，求的度数．聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，小亮先在线段上找到一点，使得．请你根据小亮的思路，求出的度数（要有必要的说理过程）． (3)模型应用②：如图3，在四边形中，，试探究线段、、的数量关系，并说明理由． 2.【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 3.小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容． “一线三垂直”模型的探索与拓展 【模型呈现】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因为，所以可得．    【模型应用】 问题1：如图2，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，求的长．    问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，．若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．    【模型迁移】 问题3：如图4，已知为等边三角形，点D，E，F分别在三边上，且，．求证：是等边三角形．    4.【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 5.（1）【模型初现】如图1，已知和均为等边三角形，连接交于点P，求； （2）【模型应用】如图2，取等边外一点E，连接，点P为上一点，连接，若，求证：； （3）【模型拓展】]图3，等腰的面积为4，，点P为内一点，若的值最小时，直接写出这个值是____________． 6.综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 7.【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．    【模型应用】    (1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ①则_________； ②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接AD，BC，若，则AD的最小值是__________； (2)如图2，一次函数的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】 (3)如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．   8. 小明在学习画直线的图象时，列表如下： x … 0 1 … y … 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，回答下列问题： (1)这个算错的函数值是 ，这个函数的表达式是 ． (2)若直线过点，，且与y轴交于点B，直线经过点C，且与直线平行的，交y轴于点D，连接．求的面积． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 9. 【问题提出】如图①，直线l：（）与坐标轴分别交于点，．      （1）直线l的函数表达式为 ； （2）过线段的中点作一条直线与x轴交于点F，当为直角三角形时，求出所有满足条件的点F的坐标； 【问题解决】（3）如图②，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，米．按设计要求，要在直线上任取一点C，连接，在右侧作区域，且为等腰直角三角形，．为了便于确定点D的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为．现对区域进行围挡施工，为节约材料，要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合要求的的周长，并说明理由． $专题08 期末真题百练通关（44题12大压轴题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线与坐标轴围成的图形面积（共3小题） 题型二 一次函数与动点问题（共3小题） 题型三 一次函数与定点问题（共3小题） 题型四 一次函数与存在性问题（共6小题） 题型五 一次函数与一线三垂直模型综合（共4小题） 题型六 将军饮马问题（共6小题） 题型七 解不等式组与新定义问题（共3小题） 题型八 三角形角平分有关的热考模型（共3小题） 题型九 倍长中线模型（共3小题） 题型十 手拉手模型（共3小题） 题型十一 一线三等角模型（共3小题） 题型十二 其它模型（共4小题） 题型一 直线与坐标轴围成的图形面积（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，在线段上取一点，连结，若的面积为3，求直线的解析式． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和坐标轴交点问题，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，，，然后利用的面积为3得到，求出，得到，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线与轴，轴分别交于点，， ∴当时， ∴ ∴ ∴当时， 解得 ∴ ∴ ∵的面积为3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为． 2．（20-21八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点，点在直线上，连接OC． (1)求直线的解析式和的面积； (2)点P为直线上一动点，的面积与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，根据三角形面积公式可得，即可求出其面积； （2）设，由直线AB的解析式，易求出A点坐标，再根据三角形面积公式结合题意列出关于t的等式，解出t即可求出P点坐标． 【详解】（1）设直线AB的解析式为， 把，代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ； （2）设， 当时，， 解得， ∴． ∵， ∴，即， 解得或， ∴P点坐标为或． 【点睛】本题为一次函数与几何的综合，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ． (1)求 的值及直线 的表达式； (2)若点 是直线 上一点，连接 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时， 求点 的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等．解决问题的关键是利用图象求解． （1）设正比例函数解析式为：，将点C坐标代入，一次函数可得k，的值，即可求解； （2）如图，连接，求解，求解M的横坐标，即可求解纵坐标． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为：， ∵与交于点， ∴，， ∴，， 正比例函数解析式为： ． （2）解：如图，连接， 当 时， ， ∴， ∴， ∴， 点 M 的横坐标为 4或 ， ∴或， ∴ 的坐标为 ． 题型二 一次函数与动点问题（共3小题） 4．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，．点在轴正半轴上，把沿折叠，点恰好落在轴负半轴上的点处．直线交直线于点．点是轴正半轴上的一动点，点是直线上的一动点． (1)填空：点，，坐标分别为___________；___________；___________． (2)求的面积． (3)连结．与全等（点与点不重合），直接写出所有满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用一次函数的解析式分别代入求出点的坐标，再利用勾股定理求出的值，设利用翻折的性质结合勾股定理列方程求解即可； （2）利用待定系数法，设，代入点的坐标求解直线的解析式，并与直线解析式联立求出点的坐标，然后求解面积即可； （3）分类讨论：当在的延长线时或在线段上，根据，分类讨论①当时，②当时，③当时，利用全等三角形的性质通过添加辅助线计算出点的横坐标，再代入解析式中求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 设，得， ； 设，得， ； 在中，， 设，则， 由折叠可知， ， 在中，， ∴， 解得， ． （2）设直线表达式为， 把代入得，                        解得 ∴直线表达式为                      联立方程组， 解得， ．                ． （3）解：∵， ∵ ∴ ∵与全等； 当在的延长线时 ①当时，过点作轴，过点作轴 ∵ 把代入时， 解得 ∴ ②当时，过点作轴 由题意得： ∴把代入， 解得： ∴ 当点在上时， ∵点与点不重合 ∴不存在 ③当时， ∴把代入， 解得： ∴ 【点睛】本题主要考查一次函数与三角形综合，熟练运用分类讨论，勾股定理以及全等的性质，并能够将线段长度转化为坐标计算是解决本题的关键． 5．（20-21八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x，y轴分别交于A(12，0)，B(0，8)，以OA为斜边作等腰Rt△OAC． (1)求直线AB的解析式； (2)如图2，动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点F从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，E、F两点同时运动．在运动过程中，以EF为斜边在x轴上方作等腰直角三角形EFG． 设运动时间为t秒． ①当点G落在AB上时，求EF的长； ②以CG为直角边，点G为直角顶点作等腰Rt△CGD（点C、点G、点D逆时针排列）． 在运动过程中，是否存在某一时刻，使得点D在x轴上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①9或18②存在，此时的值为2或6 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）①分和两种情况，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，再将其代入直线的解析式求出的值，由此即可得； ②根据（2）①中两种情况下点的坐标，过点作轴的垂线，交轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点，从而可得的长，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为． （2）解：①， ， 由题意得：， 当点与点相遇时，，解得， 分以下两种情况： （Ⅰ）当点在点的左侧，即时， 则， 如图，过点作轴于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， 将点代入得：， 解得， 则此时； （Ⅱ）当点在点的右侧，即时， 则， 如图，过点作轴于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， 如图1，当点在轴正半轴时，，则， 将点代入得：， 解得，不符题设，舍去； 如图2，当点在轴负半轴时，，则， 将点代入得：， 解得，符合题意， 则此时， 综上，的长为9或18； ②如图，过点作轴于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， 根据（2）①两种情况下点的坐标，分以下两种情况： （Ⅰ）如图，当点的坐标为时， 过点作轴的垂线，交轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点， 则，， ， 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得，符合题设； （Ⅱ）如图，当点的坐标为时， 过点作轴的垂线，交轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点， 则， 同理可证：， ，即， 解得，符合题设； 综上，在运动过程中，存在某一时刻，使得点在轴上，此时的值为2或6． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 6．（20-21八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，等腰的边在y轴的正半轴上，且，点C在第一象限，过点的直线经过点C． （1）求点C的坐标及直线的解析式． （2）点E为直线上的动点，若的面积等于面积的一半，求点E的坐标． （3）点F为y轴上的动点，若，求点F的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3）点F坐标为，． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解直线的解析式，然后根据点的坐标特点求得点的坐标； （2）设点的横坐标为，根据题意可知的面积，的面积，根据的面积等于面积的一半，即可求得的值； （3）由已知条件可知，可以分为点F在点D下方和上方两种情况讨论，点F在点D下方时，过点A作交直线于点H，过点H作轴于点G，过点C作轴于点M，根据角度相等可证明，进而可以证明，则，，即可得到的坐标，通过待定系数法即可得到直线的解析式，即可得到F的坐标，因为轴，所以另一个点F关于对称，即可求得． 【详解】（1）设直线：， 把代入，得， ， ∴，， ∴， 设点C的坐标为，代入， 解得，， ∴点； （2）三角形的面积：， 设点的横坐标为， ∴三角形的面积：， ∴ ， ∴， ∴点E的横坐标为， ①当时，， ②当时，， ∴点E的坐标为或； （3）①当点F在点D下方时， 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点A作交直线于点H， 过点H作轴于点G，过点C作轴于点M， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， 得：点H的坐标为， 把H，C(4,4)代入到得， 解得： ∴直线的解析式为：， 将，代入到解析式中，得， ∴点坐标为， ②当点F在点D上方时， 设点F在点D上方时，为， ∵轴， ∴此时点与①中所求的点关于对称， ∵C(4，4)，D(0，4)， ， ∴点的坐标为， ∴点F坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质、三角形的面积、三角形全等等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，正确找出点F，并分情况进行讨论． 题型三 一次函数与定点问题（共3小题） 7．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质； （1）把点，代入，再求解即可；②先得到平移后的，再代入即可得到答案； （2）先求解一次函数为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数为； ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后为， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴一次函数为， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当，函数最小值为：， 当，函数最大值为：， ∴，解得：， ∴， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，函数最大值为：， 当，函数最小值为：， ∴，解得：， ∴， 综上：． 8．（20-21八年级上·浙江·期末）已知一次函数表达式为（为常数）． （1）求证：该一次函数一定经过定点． （2）当图象不经过第一象限时，求m的取值范围． （3）在（2）的条件下，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围． 【答案】（1）（2，-2）；（2）1≤m＜2；（3）0＜S＜2 【分析】（1）将表达式化简为，令m的系数为0，可得x值，从而得到 y值，即可得到定点坐标； （2）根据函数图像不经过第一象限可得关于m的不等式组，解之即可； （3）设1＜m1＜m2＜2，求出两直线y=（m1-4）x-（2m1-2）和直线y=（m2-4）x-（2m2-2）分别与y轴的交点M1和M2的坐标，以及直线y=（m1-4）x-（2m1-2）和直线y=（m2-4）x-（2m2-2）的交点N的坐标，再用三角形的面积公式求出这两条直线与y轴围成的三角形面积，再根据m1与m2的取值范围求得S的取值范围． 【详解】解：（1） = = ∴无论m取何值，当x=2时，y=-2×2+2=-2， ∴该一次函数一定经过点（2，-2）； （2）该函数图像不经过第一象限， ∴， 解得：1≤m＜2， ∴m的取值范围是1≤m＜2； （3）设， 则两条直线和与y轴交点分别为M1和M2， ∴M1（0，），M2（0，）， ∴M1M2==， ∵直线和的交点为C（2，-2）， ∴任意两条直线与y轴围成的三角形即为△CM1M2， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，求一次函数图象的交点坐标，关键是正确理解一次函数的图象与性质，灵活应用一次函数的性质列出方程与不等式． 9．（20-21八年级上·浙江金华·期末）知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A． （1）探求定点A的坐标．把函数表达式作如下变形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标为　 　． （2）如图1，已知△BCD各顶点的坐标分别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值． （3）如图2，设直线l与y轴交于点P，另一条直线y＝（k﹣1）x+3k﹣2与y轴交于点Q，交直线l于点E，点F是EQ的中点．当点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10）时，求点F运动经过的路径长． 【答案】（1） (-3，1)；（2）k=1.5；（3）F1F2． 【分析】（1）y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标(-3，1)； （2）由两点距离可求BC=4，BD=3，在Rt△BCD中，由勾股定理CD=，由AC=-3+4=1，由题意CA+CE=，CE==，可得CE：CD=：5=1：2，可得E为CD的中点E（-2，2.5）由点E在直线l 上，可求k=1.5； （3）当直线l：过（0，5），，另一直线，点Q1（0，2），当直线l：过（0，10），，另一直线，点Q2（0，7），Q1Q2=7-2=5，F1为EQ1中点，F2为EQ2的中点，求出F1、F2坐标即可． 【详解】：（1）y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标 (-3，1)； （2）BC=4，BD=3，在Rt△BCD中，由勾股定理CD=， ∵AC=-3+4=1， ∵CA+CE=，CE==， ∴CE：CD=：5=1：2， ∴E为CD的中点，，E（-2，2.5）， ∵点E在直线l 上， 则2.5＝-2k+3k+1， 则k=1.5； （3）当直线l：过（0，5）， 则， 解得， 另一直线， 则，点Q1（0，2）， 当直线l：过（0，10）， 则， 解得， 另一直线， 则，点Q2（0，7）， Q1Q2=7-2=5， F1为EQ1中点，E（-3，1），Q1（0，2）， ， F1（，） F2为EQ2的中点，E（-3，1），Q2（0，7）， ， F1F2=4-=2.5． 【点睛】本题考查一次函数过定点，按比例分三角形周长，线段中点坐标，掌握求一次函数过定点方法，按比例分三角形周长方法，线段中点坐标求法是解题关键． 题型四 一次函数与存在性问题（共6小题） 10．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：k＝　 ；b＝　 　；m＝　 　； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4，2； (2)存在一点E，使的周长最短，； (3)存在t的值，使和的面积比为1：2，t的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．求出直线的解析式，即可解决问题； （3）分两种情况：①点P在线段上，②点P在线段的延长线上，由和的面积比为，可得，根据比例的性质即可求解． 【详解】（1）∵直线与x轴交于点A，且经过定点， ∴， ∴， ∴直线， ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴． 故答案为：，4，2； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小． ∵， ∴． 设直线的解析式为， 把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， ∴存在一点E，使的周长最短，； （3）∵点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，直线， ∴， ∵， ∴， ∵点P的运动时间为t秒， ∴， 分两种情况：①点P在线段上， ∵和的面积比为， ∴， ∴ ∴   ∴；         ②点P在线段的延长线上， ∵和的面积比为1：2， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上：存在t的值，使和的面积比为，t的值为或 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，点，过作平行x轴的直线，交于点C，点在线段上，延长交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式． (2)当点E恰好是中点时，求长． (3)是否存在m，使得是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，或2 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用直线与直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入函数表达式y=kx+b,即可求解； （2）证明可求解； （3）①当时，，则AC是中线，则，故点，即可求解；②当时，则点，则，故点，即可求解． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得： ， 解得，， 故直线的表达式为：； （2）解：当时， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， （3）解：①当时，，则是中线，则， 故点， 设直线的表达式为， 把点C、F的坐标代入得 解得 ∴直线的表达式为，， 故点，则； ②当时，则点， 则， 故点， 同理直线的表达式为：， 故； 综上，或2． 12．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． (1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）． (2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围． (3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)k的取值范围为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）分别把代入函数解析式，解方程，进一步得出结果； （2）求出，根据恰好落在的内部得出不等式组，求解即可； （3）可推出，，进而得出，从而得出轴，从而得出，求得直线的解析式后，代入求得的值，进而得出结果；当点在轴上时，可求得点，，求得直线直线的解析式后，与直线的解析式联立成方程组，进一步得出结果． 【详解】（1）解：当时， ，， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E． ∴ 解得：． （3）解：如图1， 当点落在轴上时，设， 关于直线的对称点为， ，， 当时，， ， 点是的中点， ， ，， ， ， ， 轴， ，， ， 轴， ， 过， ， ， ， 由得， ， ， 如图2， 当点在轴上时， ，， ， ， ， ， ，即， 设直线的解析式为：， ， ， ， 由得， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解法，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 13．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上有一点P，且，求点P的坐标； (3)直线上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点或 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式、两点之间的距离和全等三角形的性质， （1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的函数表达式． （2）先求出点坐标，再结合，利用几何关系分别求得点P的纵坐标，即可求得点P； （3）分情况：当，则点M即为点A；当，求得过点A与直线平行的直线l的表达式，设点，根据全等得性质和两点之间的距离即可求得a，进一步求得点． 【详解】（1）解：一次函数的图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， 又 设直线的函数表达式为：， 把代入， 解得：， ∴直线的函数表达式为：． （2）一次函数的图象与x轴交于点A， ∴当时，， ∴， 设上有一点使得， 如图， ，得，解得，则点； ，得，解得，则点； 综上所述，点或． （3）①当，则点M即为点A，此时点 ②当， 设过点A与直线平行的直线l∶， 代入， 解得l∶， 设点， ∵，，， ∴，（舍去）， 则点， 故点或． 14．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线上的动点，过点B作直线的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连接．    (1)当点P在线段上时， ①求证：； ②若点P为的中点，求的面积． (2)在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①见解析，② (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定，坐标与图形是解题的关键． （1）①根据一次函数解析式得出，根据垂直关系以及等角的余角相等，得出，进而证明； ②由①知：，则，直线的解析式为：，同理可得：直线的解析式为：，联立得出，进而根据三角形面积公式即可求解； （2）分当点在线段上时，当点在的延长线上时，根据等腰三角形的定义，即可求解． 【详解】（1）①证明：当时，， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：，点是 的中点， ， 由①知：， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， 同理可得：直线的解析式为：， 由得， ， ， ； （2）解：如图1，    当点在线段上时， 若，由于，则有， 即当时，是等腰三角形；， 若，由于，则有， 过点C作轴于点H，显然， 即不可能， 当是等腰三角形时，只有， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，    当点在的延长线上时， 同理可得：， 综上所述：或或． 15．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． （1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把代入中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （2）设，则，则，，由等腰得到，即，求解即可解答； （3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作与AM的延长线交于点N．证明是等腰直角三角形，得到．过点N作轴于点F，过点A作轴于点G．易证，得到，，进而得到．通过待定系数法求出直线的解析式，令，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解． 【详解】（1）解方程组，得． ∴点A的坐标为． 把代入得， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （2）存在． 如图， 设，则． ∴． ∵轴． ∴． ∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）或． 分两种情况： ①若点M在点E的下方， 如图，过点B作与AM的延长线交于点N． ∵，轴， ∴，， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点N作轴于点F，过点A作轴于点G． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∵，． ∴，． ∴． ∴． 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令，得． ∴点M的坐标为． ②若点M在点E的上方， 如图， 由对称性可知． 综上所述：或． 题型五 一次函数与一线三垂直模型综合（共4小题） 16．（2022八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结． (1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式． (2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标． (3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值． 【答案】(1)； (2) (3)6， 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、与等腰直角三角形有关的全等问题，构造“一线三垂直”型全等是解题关键. （1）作轴于轴于，证得即可求解； （2）由的面积为可得，分类讨论当点的横坐标小于3时，当点的坐标大于3时，两种情况即可求解； （3）分类讨论①当时，②当时，③当时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：如图，作轴于轴于， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解： 的面积为， ，即， ， 当点的横坐标小于3时， 分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 同理可证， 点的横坐标为， ， ， 点的坐标为， ，解得， ； 当点的坐标大于3时，如图， 同理可得，点的坐标为， ，解得， 点的坐标为：． （3）解：①当时，由（2）可知与重合， 点的坐标为或， 当点落在直线上时，或，解得：或（舍去）； ②当时，过点作轴的垂线，垂足为，过点作于点， 同理可证明， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当点落在直线上时，， 解得：； ③当时，如图， 设点的坐标为， 则， ， 显然，故此时不成立； 综上可知， 或． 17．（22-23八年级下·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．    (1)求点A的坐标； (2)将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）将点B的坐标代入解析式，解得，得到，当时，，即可得到点A的坐标； （2）过点D作轴于点E，证明，得到，则，得到，用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）由勾股定理得到，得到，求出和点C的坐标是，设点P的坐标为，得到，根据的面积是面积的一半得到，解得，或，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入解析式， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴点A的坐标为； （2）过点D作轴于点E，，    由旋转可知，， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为； （3）在中，， ∵， ∴， ∴， 对于， 当时，， ∴， 则点C的坐标是， 设点P的坐标为，则， 则， ∵的面积是面积的一半， ∴， ∴，或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何综合题，用到了待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、一次函数与坐标轴的交点的等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 18．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3)，． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，即可求解； ②由的面积，即可求解； （3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解． 【详解】（1）由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式得：，则， 故答案为：，； （2）①∵一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， 则点D是两个函数的交点，即，则，即点； ②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为：、，则 则的面积； （3）设直线交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线， 过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点的延长线于点H， 由直线的表达式知，，即， ∵， 则，则为等腰直角三角形，设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， 即点， 由点D、N的坐标得，直线的表达式为：， 当在E下方时， 则直线和关于对称，则的表达式为： 综上所述，或． 19．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，轴正半轴于点，且的面积是． (1)求的值； (2)作的平分线交轴于点，将绕点顺时针旋转得到直线，线段沿着射线方向平移，得到线段，连结，， ①求直线的函数关系式； ②当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)①直线的函数关系式为；② 【分析】由得，，根据的面积是，可得，代入得的值为； 过作于，过作于，过作轴于，过作于，设，在中可得，求出，根据，知是等腰直角三角形，有≌，得，，设，，即得，，从而解得，故直线的函数关系式为； 过作轴于，设，由，线段沿着射线方向平移，得到线段，可得，证明≌，有，有，从而，故． 【详解】（1）在中，令得， ，， 的面积是， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 的值为； （2）过作于，过作于，过作轴于，过作于，如图： 平分， ， ，， ≌， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ≌， ，， 设，， ， ， ， ， 由得，， ， 由，可得直线解析式为， 直线的函数关系式为； 过作轴于，如图： 设， ，， ， 线段沿着射线方向平移，得到线段， ， ， 是以为直角边的直角三角形， ，， ， ， ≌， ， ， 由得， ， ． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型六 将军饮马问题（共6小题） 20．（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：      （1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题，熟知相关性质定理是正确解决本题的关键. （1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，根据勾股定理求的长即可求解； （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，证明为等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    因为点E是的中点，由对称性可得 ∴ 的最小值的值为： 故答案为：． （2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，如图，    ∴ ∴ ∴为等边三角形， ，， 垂直平分， 同理， ， ， ，即， ，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 21．（17-18八年级上·江苏苏州·期末）如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称和等边三角形性质，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质，分别作点关于的对称点、，分别连、、交、于、，则可证明此时周长的最小，由轴对称性，可证明为等边三角形，． 【详解】解：分别作点关于的对称点、，分别连接、、交、于、， 由轴对称周长等于 ， 由两点之间线段最短可知，此时周长的最小， ， 由对称得， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等腰中，，平分，平分，M，N分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∴，当三点共线时最小即， ∵当时，最短， ∴即为所求， ∵， 是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∵， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 23．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键． 分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，连，则，，，，，则的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 的周长， ∴． ∴的周长的最小值是3． 24．（23-24八年级上·浙江温州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，，是x轴上的两个点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，根据图形特点作辅助线，将问题转化为两点之间线段最短是解答此题的关键．首先作出点A关于直线l的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 【详解】解：取在y轴上点使，连接，    ∴点的坐标为． ∴点与点A关于直线l对称． ∴． ∴． 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， 在中，， 故答案为：． 25．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）已知点A（1，3）、B（5，﹣2），在x轴上找一点P，使|AP﹣BP|最大，则满足条件的点P的坐标是 ． 【答案】（13，0） 【分析】作点B（5，﹣2）关于x轴的对称点B′（5，2），连接，AB′，得到，根据，得到当点P在直线上时，，的值最大，求出过点A（1，3）、B′（5，2）的直线解析式，根据y＝0时， x＝13，得到直线AB′与x轴的交点P的坐标为（13，0） 【详解】作点B（5，﹣2）关于x轴的对称点B′，则B′（5，2），连接，AB′， 则， ∵， ∴当点P在直线上时，，的值最大， 设过点A（1，3）、B′（5，2）的直线解析式为y＝kx+b（k≠0）， 那么k+b＝3，5k+b＝2， 解得， 即AB′所在直线的解析式为， ∵此时点P的横坐标是y＝0时，x的值， ∴， ∴x＝13， ∴点P的坐标为（13，0）． 故答案为：（13，0） 【点睛】本题主要考查了轴对称线段差最大问题，解决问题的关键是熟练掌握轴对称两点到对称轴上一点的距离相等的性质，三角形三边的关系，两点之间线段最短． 题型七 解不等式组与新定义问题（共3小题） 26．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．． (1)比较与的大小，并说明理由． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组的解集为，求m的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据关于的一种运算的法则计算，，由此可比较与的大小； （2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围； （3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，然后根据不等式组，的解集为，得，解此不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解： ，理由如下： ， ，， ； （2）解：， 不等式可转化为：， ； （3）解：， 不等式可转化为：， ， 不等式组组的解集为， ， ． 【点睛】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键． 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． (1)方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； (2)若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次不等式组、新定义、数轴与不等式的解集，理解题意新定义是解题的关键． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再解一元一次不等式组，根据“半隐二次方程”的定义，分析得出答案即可； （2）先解一元二次方程，再解不等式组，画出数轴图，根据“半隐二次方程”的定义，得出且，解出答案即可． 【详解】（1）解：是，理由如下， 将方程左边因式分解，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， ∴是不等式组的一个解，不是不等式组的解， ∴方程是不等式组的半隐二次方程； （2）解： 移项得：， 将方程左边因式分解，提取，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， 如图，画出数轴图， ∵若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程， ∴且， 解得：． 28．（22-23七年级下·浙江台州·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“关联方程”的定义即可求得答案． （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“关联方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组． （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据不等式组整数解的个数和“关联方程”的定义，可得到两个关于的一元一次不等式组． 【详解】（1）解方程得 ． 解方程得 ． 解方程得 ． 解不等式组，得 ． 根据“关联方程”的定义可知，方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解关于的方程，得 ． 解不等式组，得 ． 根据“关联方程”的定义，得 解得 ． （3）解关于的方程，得 ． 关于的不等式组 解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 根据不等式组有个整数解，可得 解得 ． 根据“关联方程”的定义，得 解得 ． 综上所述，． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． 题型八 三角形角平分有关的热考模型（共3小题） 29．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点 (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，进而可得，再证明，即可证明结论； （2）过点C作于点，于点H，证明四边形是正方形，结合角平分的性质定理可得，设，证明，易得，进而可得；由（1）可知，是直角三角形，由勾股定理解得；在中，由勾股定理得，易知；证明，易得，故，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， ， 和的角平分线相交于点C， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， 是直角三角形， 又， ∴， ∴， 是等腰直角三角形； （2）解：过点C作于点E，于点H，如图所示， ， 四边形是矩形， 平分，，，， ， 矩形是正方形，且， 设， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可知，是直角三角形，且， ∵， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质定理并正确作出辅助线是解题关键． 30．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，和的平分线相交于点O，过点O作，分别交和于点E和F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的周长． (3)如图2，过点O作于点G，连接，当，时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3)2 【分析】本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形周长的计算，正确地周长辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的性质，可得与的关系，与的关系，根据平行线的性质，可得与的关系，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得； （2）根据等腰三角形的性质、三角形的周长公式，可得答案； （3）根据角平分线的性质和判定证得是的平分线，得到，根据含直角三角形的性质即可求出． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）的方法证得， 由（1）知， ∴的周长， ∵， ∴的周长． （3）解：过点O分别作于M，于N， ∵和的平分线相交于点O，，，， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴． 31．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，P为边上的一点，．、分别是、的角平分线． (1)若，则的度数为_______，的度数为____________； (2)求证：； (3)设，，过点P作一条直线，分别与，所在直线交于点E、F，若，直接写出的长（用含a的代数式表示） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质求得，根据角平分线的定义，得到，，据此即可求解； （2）延长交的延长线于点，证明，推出，，再证明，据此即可证明； （3）分两种情况讨论，①将沿向右平移到，②若点F在上，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图1，延长交的延长线于点， 由（1）得， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：或， 分两种情况讨论， ①将沿向右平移到，且经过点P，交于点E，交的延长线与点F，则， 由（2）的证明过程，同理可证， ∴， ∴， ∵，，， ∴在中，， 解得，， 由（2）可知，， ∴； ②如图3，若点F在上，，过点P作与点N，与点M． 由角平分线性质定理可得， 在中，， ∴， 则， 在和 ∵，，， 由勾股定理可得出，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平移的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 题型九 倍长中线模型（共3小题） 32．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：已知，如图1，中，若，，点D为边中点，求边上的中线的取值范围． 经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”． (1)请按照上面的思维框图，完成证明． 【探究应用】 (2)已知：如图2，中，是边上的中线，E在边上，连接交于F，且．求证：； 【拓展延伸】 (3)如图3，若，，，是边上的中线，E是上一点，连接交于点F，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）延长至点E，使，连接，利用“”易证，得到，，进而得到，再利用三角形的三边关系得到，求出的取值范围，进而求得的取值范围，完成证明； （2）延长到点M，使得，连接，利用“”易证，得到，，进而推出，得到，即可证明结论； （3）延长至N，使，连接，利用“”证明，得到，，再利用等腰三角形性质进行等角替换，得到，设，利用勾股定理，求出，即可的长． 【详解】（1）解：如图1，延长至点E，使，连接， 点D为边中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； （2）解：如图2，延长到点M，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ，     ，， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长至N，使，连接， 由（1）同理得，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定个性质，三角形的三边关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用“倍长中线模型”作辅助线构造全等三角形是解题关键． 33．（21-22八年级上·浙江台州·期末）问题背景： 如图1，是的中线，若延长至点E，使，连接，则与的关系是______； 问题应用： （1）如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于点F，，求证：是等腰三角形； （2）如图3，在中，．分别以、为边在外部作等边三角形和等边，点D为边中点，连接，写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图4，中，，延长至点G，使，D为边中点，连接．若，求中线的长． 【答案】问题背景：相等；问题应用：（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要运用平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质来解题．通过倍长中线构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到线段和角的关系，进而求解． 问题背景∶延长至点E，使，连接，，由是的中线，得到，根据平行四边形的判定和性质定理得到； 问题应用∶ （1）如图2，延长到M，使，连接．由问题背景知∶，根据全等三角形的性质得到，求得，得到是等腰三角形； （2）延长到M，使，连接，由（1）可知， ，根据全等三角形的性质得到，等量代换得到； （3）如图4，延长到M，使．连接， ，由（1）可知， ，根据全等三角形的性质得到， ，根据平行线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：问题背景：相等 延长至点E，使，连接，， 是的中线， ． ， 四边形是平行四边形． ． 问题应用：（1）如图，延长CD到M，使，连接AM． 由问题背景知：． ∵， ∴． ∴． 是边上的中线， ． 在和中 ． ∴． ∵， ∴． ∴是等腰三角形； （2），理由如下： 延长到M；使，连． 由（1）可知，， ∴． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． （3）如图，延长到M，使．连接， 由（1）可知，． ∴，． ∵， ∴．． ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴，． ∴． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． 34．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【详解】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 题型十 手拉手模型（共3小题） 35．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2） 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）①由可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，，由可证，可得，即可求解； （2）先证是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可得，可得，，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ． 在和中， ②， ． 由①得，， ． ， ． ． ， ； （2）解：延长，交于点，过点作于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 36．（21-22八年级上·浙江衢州·期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析 【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，即可得出答案； （3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）如图2， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC， 令AD与CE交于点G， ∵∠AGE=∠DGO， ∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE， ∴∠DOE=∠DAE=60°， ∴∠BOC=60°； （3）∠A+∠BCD=180°．理由： 如图3，延长DC至P，使DP=DB， ∵∠BDC=60°， ∴△BDP是等边三角形， ∴BD=BP，∠DBP=60°， ∵∠ABC=60°=∠DBP， ∴∠ABD=∠CBP， ∵AB=CB， ∴△ABD≌△CBP（SAS）， ∴∠BCP=∠A， ∵∠BCD+∠BCP=180°， ∴∠A+∠BCD=180°． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 37．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．    【答案】（1）证明见解析，；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据都是等边三角形，得出，由，证明，易证，即可得出结论；再通过三角形外角的性质结合全等三角形的性质即可求出的度数； （2）①根据角平分线的定义得到，再结合，，证明，得到，再证明，推出，得到，即可得出结论；②先证明，推出，求出，利用勾股定理求出，设，则，在中，求出，再根据的面积为即可解答． 【详解】（1）证明：都是等边三角形， ∴，， ，即， ， ； ∵， ， ∵， ； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵和都是等腰三角形，， ∴， ，即， ， ； ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点C恰好在延长线上， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴的面积为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，证明三角形全等时解题的关键． 题型十一 一线三等角模型（共3小题） 38．（浙江省舟山市定海区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析 (2)10 (3)见解析 【分析】（1）①根据等边三角形的性质结合折叠的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质，折叠的性质及角的等量代换，得到，设 ，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）作，分别交于．证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵等边三角形，F为中点， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）证明：作 ，，分别交于K，G，H． ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 39．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）四根长度均为的木棒，，，要按图示做个创意造型．如图，已知A，C，E三点在同一条直线上，．过B，D两点分别作的垂线，垂足分别为M，N．且． (1)求证：． (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理． （1）结合垂直的定义、直角三角形的性质、平角的定义求出，，利用证明； （2）根据等腰三角形的性质求出，，根据全等三角形的性质求出，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 40．（24-25八年级上·河南郑州·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 题型十二 其它模型（共4小题） 41．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，是的高，． (1)若，求的度数； (2)若为的4倍，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形角平分线和高，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）根据得，利用三角形外角性质得，在中，根据直角三角形性质即可得出的度数； （2）根据为的4倍设，则，根据得，利用三角形外角性质得，在中，根据直角三角形性质可得，则，再根据平分得，然后在中，由三角形内角和定理可得的度数． 【详解】（1）在中，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的高， ∴， 在中，； （2）∵为的4倍， ∴设，则， 在中，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的高， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵平分， ∴， 在中，． 42．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长； (2)若，则的度数为 ． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据对顶角相等、直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线，     ， 周长； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 43．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【问题初探】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”，，．求证：． 【方法迁移】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答．） 【问题拓展】 （3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容． （1）利用证明即可； （2）（Ⅰ）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； （Ⅱ）选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； （3）如图4，在上截取，连接，先证明，再证明，则，从而可以解答． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ）选择②为条件，①为结论， 如图2，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）选择①为条件，②为结论， 如图3，在取点N，使，连接， 同理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： 如图4，在上截取，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 44．（23-24七年级下·广东惠州·期中）将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N． 【发现】 （1）如图1，若点A在内，当时，则 ； （2）如图2，若点A在内，当时， ； 【探究】 若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由； 【应用】 如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数； 【拓展】 如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ． 【答案】（1）；（2），探究：，理由见解析；应用：；拓展： 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，正确识图是解本题的关键． （1）先判断出，进而得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； 探究：同（1）的方法即可得出结论； 应用：由（探究）知，，进而求出，即可求出，最后用平角的定义即可得出结论； 拓展：首先利用角的关系推导出，结合，得到，进而得解． 【详解】（1）解：∵是直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是直角三角形， ∴， ∴，在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， 应用：由（探究）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 拓展：∵，，，， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 1．“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)模型探究：如图1，和中，，连接、．这里与有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明与全等的理由． (2)模型应用①：如图2，中，，为平面内一点，且，求的度数．聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，小亮先在线段上找到一点，使得．请你根据小亮的思路，求出的度数（要有必要的说理过程）． (3)模型应用②：如图3，在四边形中，，试探究线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)理由见解析 (2)，说理过程见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是利用“手拉手模型”构造全等三角形，结合旋转法转化线段与角的关系． （1）通过角的和差得，结合、，用证； （2）构造，利用等腰三角形性质得角相等，再通过“手拉手模型”证全等，结合角的计算求出； （3）将绕点逆时针旋转，构造等边和直角，利用勾股定理得线段关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：猜想：线段和之间的数量关系为：，理由如下 ∵， ∴将绕着点逆时针旋转得到，连接，如图， 则，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 2.【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 3.小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容． “一线三垂直”模型的探索与拓展 【模型呈现】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因为，所以可得．    【模型应用】 问题1：如图2，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，求的长．    问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，．若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．    【模型迁移】 问题3：如图4，已知为等边三角形，点D，E，F分别在三边上，且，．求证：是等边三角形．    【答案】问题1：4；问题2：点P的坐标为或或或；问题3：证明过程见解析 【分析】问题1：利用等量代换得，证明，可得，，再根据求解即可； 问题2：如图，由题意可得，，分类讨论：当时，当时，根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，证得，可得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】解：问题1：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 问题2：如图，∵，， ∴，， 当时， 过点作轴于点C， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作轴于点D， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，过点作轴于点E， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 过点作轴于点F， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或或或；    问题3：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4.【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【答案】（1）三角形内角和等于；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；（2） ，过程见解析； ；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）①设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， 故答案为：； ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 5.（1）【模型初现】如图1，已知和均为等边三角形，连接交于点P，求； （2）【模型应用】如图2，取等边外一点E，连接，点P为上一点，连接，若，求证：； （3）【模型拓展】]图3，等腰的面积为4，，点P为内一点，若的值最小时，直接写出这个值是____________． 【答案】(1)；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先证明，得到，然后根据和内角和得到； （2）作交于，由可得是等边三角形，即可证明，得到，即可得到； （3）把顺时针旋转得到，即可得到，，根据可得，的最小值为，再计算的长度即可． 【详解】（1）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 如图1，与交于点 ∴， ∵， ∴； （2）如图2，作交于， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，把顺时针旋转得到，连接，， ∴，和均为等边三角形， ∴，， ∴ ∴当、、、四点共线时，的值最小，最小值为， 过作于， ∵， ∴，， ∵等腰的面积为4， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理、“费马点”等知识． 6.综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 7.【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．    【模型应用】    (1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ①则_________； ②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接AD，BC，若，则AD的最小值是__________； (2)如图2，一次函数的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】 (3)如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或 【分析】（1）①先根据函数解析式确定，进而得到，然后根据等腰直角三角形的性质即可解答；②根据点到直线的距离垂线段最短，可得当时，AD有最小值，然后判定可得，最后根据勾股定理求解即可； （2）先证可得，进而得到，最后根据待定系数法即可解答； （3）分，点P在x轴上方或下方和点P在x轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和二元一次方程组解答即可 【详解】（1）解：①∵与x轴，y轴交于A，B两点， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为； ②∵A是定点， ∴如图：当时，有最小值；    ∵, ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴的最小值为． 故答案为． （2）解：如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴．    ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 当时，， ∴． 当时，， ∴． ∴． 设直线l对应的函数表达式为，将和代入， 得     解得 ∴． （3）解：①当,,P在x轴的上方， 如图1：过P作轴，交于M，交y轴于N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴,即， ①②联立解得：， ∴；    ②当,,P在x轴的下方， 如图2：    同①易证： ， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴, ∴,即， ①②联立解得：， ∴;    ③当,,P在x轴的上方， 如图3：易证， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ①②联立解得：， ∴；    ④当,,P在x轴的下方， 如图：易证， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ①②联立解得：， ∴．    综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 8. 小明在学习画直线的图象时，列表如下： x … 0 1 … y … 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，回答下列问题： (1)这个算错的函数值是 ，这个函数的表达式是 ． (2)若直线过点，，且与y轴交于点B，直线经过点C，且与直线平行的，交y轴于点D，连接．求的面积． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）可证明自变量的值每增大1，则函数值增大，据此结合表格中的数据可得第一空的答案，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再分别求出点B和点D的坐标，最后根据列式求解即可； （3）求出，进而得到的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设都是直线上一点， ∴， ∴， ∴自变量的值每增大1，则函数值增大， 由表格中的数据可知，自变量从到时，函数值增大， 自变量从到0时，函数值增大， 自变量从0到1时，函数值增大， ∴这个算错的函数值是， ∴， ∴， ∴这个函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵直线经过点C， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， ∴ ； （3）解：由（2）， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为或． 9. 【问题提出】 如图①，直线l：（）与坐标轴分别交于点，．      （1）直线l的函数表达式为 ； （2）过线段的中点作一条直线与x轴交于点F，当为直角三角形时，求出所有满足条件的点F的坐标； 【问题解决】 （3）如图②，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，米．按设计要求，要在直线上任取一点C，连接，在右侧作区域，且为等腰直角三角形，．为了便于确定点D的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为．现对区域进行围挡施工，为节约材料，要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合要求的的周长，并说明理由． 【答案】（1）；（2）的坐标为或；（3），见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）分情况讨论：①当时，连接，得到直线是线段的垂直平分线，则，在△中利用勾股定理解得；②当时，点在直线上，可求得点，即可得到点； （3）过点作轴于点，可证得△△，有和，设点，则点，可得点在运动轨迹，设直线与轴交于点，与轴交于点，连接并延长至点，使得，过点作轴交于点，连接和，则点，，则线段垂直平分，得到，利用勾股定理得，则，结合、和共线时最小，进一步证得△≌△，有和，求得和，即可求得． 【详解】解：（1）与坐标轴分别交于点，， ，，解得：， 直线的表达式为：， 故答案为：； （2）①当时，连接，如图2， 点是线段的中点， 直线是线段的垂直平分线， ， 在△中，， ， 解得：， ,； ②当时，如图3， 点在直线上， ， 轴且点在轴上， ,， 综上所述，的坐标为或； （3）过点作轴于点，如图4， △为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， △≌△， ，， 设点，则，，故点， 令得， 点在直线上运动， 设直线与轴交于点，与轴交于点，连接并延长至点，使得，过点作轴交于点，连接和，如图5， 则点，， ， ， ， ， 则线段垂直平分， ， ，， ， ， 当、和共线时可以取到最小值， ，，， △≌△， ，， ，， ， ， ， ， △周长的最小值为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是得出三点共线时取最小值． $