专题02 整式的乘法运算（十一大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题02 整式的乘法运算（十一大题型） 【题型1 单项式乘单项式】..................................................................................................1 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】................................................................4 【题型3 单项式乘多项式及求值】......................................................................................5 【题型4 单项式乘多项式的应用】......................................................................................6 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】......................................................................10 【题型6 计算多项式乘多项式】..........................................................................................11 【题型7 多项式乘多项式--化简求值】................................................................................14 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】................................................................16 【题型9 多项式乘多项式与图形面积】...............................................................................18 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】..............................................................................24 【题型11 整式乘法混合运算】.............................................................................................27 【题型1 单项式乘单项式】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘法． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （3）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （4）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘单项式，积的乘方： （1）根据单项式乘单项式法则进行计算； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式； （2）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【详解】（1）原式 （2）原式 4．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式运算，幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的、积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则． （1）利用积的乘方运算法则计算； （2）利用幂的、积的乘方运算法则计算； （3）利用幂的、积的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先计算乘方，再计算单项式乘以单项式，即可求解； （2）先计算乘方，再计算单项式乘以单项式，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 1．与互为倒数，则= ． 【答案】6 【分析】本题考查了倒数的性质，互为倒数的两数乘积为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴ 故答案为：． 2．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 3．若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 4．若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】先利用单项式乘单项式法则计算，再根据等式得到指数间关系，最后求出． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴①，②． ∴，得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键． 5．若单项式与的积为，则 ． 【答案】-2 【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】由题意，得，， 则． 故答案为：-2． 【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 【题型3 单项式乘多项式及求值】 1．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，根据分配律，将单项式乘以多项式中的每一项，然后合并结果即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2． ． 【答案】 【分析】根据单项式与多项式的乘法运算法则解答即可． 本题考查了单项式与多项式的乘法运算，需运用分配律和指数法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与单项式的乘法运算，运用分配律将单项式分别乘以多项式中的每一项，再计算系数和变量的乘积． 【详解】原式 ． 故答案为 ． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的法则是解决本题的关键． 先单项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．已知．则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了单项式乘多项式，已知代数式的值求式子的值．将所求表达式展开并化简得，利用已知条件进行代入计算。 【详解】解：∵， 则 ， 故答案为：1 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，幂的乘方、积的乘方逆运算，代数式求值． 将原式展开后，再根据幂的乘方、积的乘方逆运算变形，然后将进行代入计算． 【详解】解： 由已知，得， ， 代入上式： 故答案为：． 7.小刘在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，发现这样一道题：☐，你认为“☐”内应填写 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：☐， ∴“☐”内应填写， 故答案为：． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 2．若一边长为，它的另一边长为，这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，根据长方形的面积边长边长计算即可． 【详解】解：根据题意可得这个长方形的面积 ． 故答案为：． 2．如图，该几何图形的面积可用代数恒等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，最大的长方形的面积等于两个小正方形面积加上两个小长方形面积，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得最大的长方形的长和宽分别为， ∴最大的长方形面积为， 又∵最大的长方形面积等于两个小正方形面积加上两个小长方形面积， ∴， 故答案为：． 3．如图，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以单项式，根据题意可知，阴影部分面积可以分为四个长方形面积，根据长方形面积公式分别表示出四个长方形的面积，再求和即可得到答案． 【详解】解： ， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 4．清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的绿色观光道路，则道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式） 【答案】 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则．根据道路的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可． 【详解】解：道路的面积 （平方米）． 故答案为：． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】 1．，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 2．若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 3．若恒成立，则 ． 【答案】0 【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得： ∵等式左边， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键． 4．若，求 ． 【答案】/0.4 【分析】先把等式左边去括号，再利用对应项系数相等即可求解． 【详解】， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了整式的乘法，多项式相等对应项系数相等进解题的关键． 【题型6 计算多项式乘多项式】 1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 2．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法，多项式乘以多项式运算； （1）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解； （2）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解； （3）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，正确运用相关运算法则计算是解题关键． （1）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （5）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （6）根据多项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 5．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及多项式乘以多项式、单项式乘以多项式及整式的加减运算等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． 先由多项式乘以多项式、单项式乘以多项式及合并同类项运算化简，再将，代入化简后的代数式求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【题型7 多项式乘多项式--化简求值】 1．化简求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 2．化简求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入思想，掌握相关运算法则是解题关键．先利用多项式乘多项式和多项式乘单项式法则展开，再合并同类项，然后代入计算求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及单项式乘以多项式、多项式乘以多项式和整式加减运算等知识，根据整式混合运算法则先化简再求值即可得到答案，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 1．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 2．关于的代数式化简后不含项和常数项． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的混合运算、解一元一次方程、代数式求值． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含 项和常数项， ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，， ∴， 原式． 3．关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值； 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据不含有项和常数项得到，解之即可得到答案． 【详解】解： ， ∵关于的代数式化简后不含有项和常数项， ∴， ∴． 4．关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则进行，然后再合并同类项，然后再根据化简后不含的项和常数项，得出项的系数为0，常数项为0，即可求出、的值； （2）把（1）求出的，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含的项和常数项， ∴， 解得：，； （2）解：把，代入，得： ． 【题型9 多项式乘多项式与图形面积】 1．计算图中阴影部分的面积． (1)用含、的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，计算阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)80 【分析】此题考查整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）大长方形面积减去小长方形面积即可； （2）将与的值代入即可求出值． 【详解】（1）解： ， 即阴影部分面积为：； （2）解：当时， 阴影部分面积为： ． 2．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含a，b的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是20元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2)铺设地砖的面积为 (3)购买所需地砖需要元 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积的关系，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据图形可得阴影部分的长为，宽为，然后问题可求解； （2）根据（1）可利用整个长方形的面积减去阴影部分的面积，进而问题可求解； （3）由（2）可代值进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由（1）可知： ； ∴铺设地砖的面积为； （3）解：由（2）可知：铺设地砖的面积为， ∵，， ∴铺设地砖的面积为， ∴（元）； 答：购买所需地砖需要元． 3．有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 【答案】(1)见解析， (2)12 (3)８ 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形，根据图形面积相等建立等量关系是解题关键． （1）画出长方形可知长方形的长为，宽为，根据拼成的大长方形面积为即可求解； （2）根据1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为即可求解； （3）根据可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知拼成的长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积， ∵拼成的大长方形面积为， ∴大长方形的代数意义为， （2）解：1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为， 故根据的结论可知，，，， 所以，， 故答案为：12； （3）解：∵， ∴需要3号卡片8张． 故答案为：8． 4．如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）． (1)求休息区的面积； (2)休息区比游泳池的面积大多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算的应用等知识． （1）用长方形空地面积减去游泳池的面积，列式计算即可求解； （2）用休息区面积减去游泳池的面积，列式计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 答：休息区的面积为平方米； （2）解： ． 答：休息区比游泳池的面积大平方米． 5．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：． (1)由图2可得等式：________； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： ①已知，求的值； ②已知且，求的值． 【答案】(1) (2)①45；②2 【分析】本题考查多项式的乘法与几何图形面积的关系： （1）利用大正方形面积等于小正方形和小长方形面积之和即可求解； （2）①结合（1）中的公式即可求解；②利用完全平方公式化简整理已知等式，将（1）中公式中的换为，c换为，对比两个等式即可求解． 【详解】（1）解：大正方形的面积为， 大正方形可分割为一个边长为a的小正方形、两个边长为a和b的长方形，两个边长为a和c的长方形、一个边长为b和c的长方形、一个边长为b的小正方形、一个边长为c的小正方形， 故 （2）解：①， ， ∴， ∴． ② ， 由（1）可知， ， 即， ， ， ∴． 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】 1．已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 【详解】解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 2．观察下列各式： ； ； ； ； …… 则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及多项式乘多项式，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， ； ； ； ； …… 所以用含n的等式可表示为：． 令，得， 所以， ， 故答案为：． 3．观察下列各式及其展开式 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了杨辉三角，熟练掌握杨辉三角的系数特征并结合二项式的形式计算指定项的系数是解题的关键． 先根据杨辉三角确定的展开式系数，再结合的形式，找到含项的系数计算方法． 【详解】解：如图， 由杨辉三角可知，的展开式系数为：1，8，28，56，70，56，28，8，1， ∴， 对于，令，，其展开式中含的项对应含项， 该项为： ∴的展开式中含项的系数是 ， 故答案为： 4．观察下列各式的规律： ； ； ； … 可得 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式乘法的运算规律，先根据算式结果的特点归纳出此种算式的规律，再运用该规律进行求解．解题的关键是能准确归纳出该运算规律． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， ∴． 故答案为：． 5．观察下列各式： 则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，由题意总结出规律是解题的关键． 将原式写成后，根据题干中的规律，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， ∴ ， 故答案为：． 【题型11 整式乘法混合运算】 1．计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式展开计算即可； 【详解】（1）； （2） ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以单项式，积的乘方． （1）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （4）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握幂的运算性质，整式的乘法运算法则． （1）先计算乘方和乘法，再计算整式的加减即可； （2）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可； （2）根据多项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开多项式，找到项的系数并令其为零，解出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含有项， ∴， ∴． 故选：B． 2．设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 【详解】解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片张数为（    ）． A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的乘法，数形结合的思想，掌握多项式乘多项式法则及矩形的面积公式是解决本题的关键．先计算拼成图形的面积和长方形的面积，根据计算结果确定需要的张数． 【详解】解： ； 长方形的面积是， 需要类7张． 故选：A． 4．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键． 利用已知方程 得出 ，然后代入化简后的表达式中计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 5．我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出展开式中各项系数之和为是解题的关键． 根据题意，依次求出展开式中各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 展开式中各项系数之和为2； 展开式中各项系数之和为4； 展开式中各项系数之和为8； …， 所以展开式中各项系数之和为 当时， 展开式中各项系数之和是 故选：C． 6．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【详解】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 7．将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． 用含、、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为0即可． 【详解】解：∵ ， 整理，得：， ∵若长度不变，（即）的长度变化，而的值总保持不变， ∴ ， 解得：． 故选：B． 8．观察下列各式： ； ； ； … 根据以上规律计算：=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘法规律探究，找出规律是解题的关键．观察等式得出，利用归纳总结的规律求解即可． 【详解】解：由原题中的等式可得：， 当时，． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘法运算（十一大题型） 【题型1 单项式乘单项式】..................................................................................................1 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】................................................................ 2 【题型3 单项式乘多项式及求值】.......................................................................................2 【题型4 单项式乘多项式的应用】.......................................................................................3 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】........................................................................3 【题型6 计算多项式乘多项式】...........................................................................................4 【题型7 多项式乘多项式--化简求值】.................................................................................5 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】.................................................................6 【题型9 多项式乘多项式与图形面积】................................................................................6 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】..............................................................................9 【题型11 整式乘法混合运算】............................................................................................10 【题型1 单项式乘单项式】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1) (2) (3) 5．计算： (1)； (2)． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 1．与互为倒数，则= ． 2．若，则的值为 ． 3．若，则 ． 4．若，则的值为 ． 5．若单项式与的积为，则 ． 【题型3 单项式乘多项式及求值】 1．计算 ． 2． ． 3．计算： ． 4．计算： ． 5．已知．则的值为 ． 6．已知，则 ． 7.小刘在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，发现这样一道题：☐，你认为“☐”内应填写 ． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 2．若一边长为，它的另一边长为，这个长方形的面积为 ． 2．如图，该几何图形的面积可用代数恒等式表示为 ． 3．如图，阴影部分的面积为 ． 4．清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的绿色观光道路，则道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式） 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】 1．，则 ． 2．若对任意都成立，则 ． 3．若恒成立，则 ． 4．若，求 ． 【题型6 计算多项式乘多项式】 1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1) (2) (3) 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)； (6)． 5．先化简，再求值：，其中，． 【题型7 多项式乘多项式--化简求值】 1．化简求值：，其中，． 2．化简求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 1．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 2．关于的代数式化简后不含项和常数项． (1)求、的值； (2)求的值． 3．关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值； 4．关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【题型9 多项式乘多项式与图形面积】 1．计算图中阴影部分的面积． (1)用含、的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，计算阴影部分的面积． 2．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含a，b的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是20元，那么购买所需地砖需要多少元？ 3．有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 4．如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）． (1)求休息区的面积； (2)休息区比游泳池的面积大多少平方米？ 5．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：． (1)由图2可得等式：________； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： ①已知，求的值； ②已知且，求的值． 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】 1．已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 2．观察下列各式： ； ； ； ； …… 则的结果为 ． 3．观察下列各式及其展开式 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 4．观察下列各式的规律： ； ； ； … 可得 ． 5．观察下列各式： 则的结果为 ． 【题型11 整式乘法混合运算】 1．计算： （1） （2） 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)． 1．若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 2．设，则的值为（） A． B． C． D． 3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片张数为（    ）． A．7 B．6 C．3 D．2 4．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 5．我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 6．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 7．将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 8．观察下列各式： ； ； ； … 根据以上规律计算：=（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $